Series De Fourier

Cap¶³tulo 7 Series Funcionales. Series de Fourier. Problemas resueltos Salvador Vera Ballesteros www.satd.uma.es/matap/svera

7.1

Series de funciones

7.2

series de potencias

De¯nici¶ on 7.1 Se llama serie de potencia a la serie de funciones del tipo 1 X n=0

an xn = a0 + a1x + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn + ¢ ¢ ¢

o del tipo 1 X n=0

an(x ¡ x0)n = a 0 + a1 (x ¡ x0) + a2(x ¡ x0 )2 + ¢ ¢ ¢ + an (x ¡ xn )n + ¢ ¢ ¢

donde los coe¯cientes a 0; a1; a 2; ¢ ¢ ¢ ; an; ¢ ¢ ¢ son constantes. Teorema 7.1 Para la convergencia de la serie de potencias

1 X n=0

caben las tres posibilidades siguientes 1

an xn s¶olamente

2

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

1. La serie converge u¶nicamente en el punto x = 0 2. La serie converge en toda la recta real (¡1; 1) 3. La serie converge en un intervalo centrado en el origen (¡R; +R) y diverge fuera de ¶el. Pudiendo ser convergente o no en los extremos de dicho intervalo. De¯nici¶ on 7.2 Al intervalo donde converge la serie se le llama intervalo de convergencia y a R radio de convergencia Teorema 7.2 El radio de convergencia de una serie de potencias puede calcularse por cualquiera de las dos f¶ormulas siguientes R = lim

n!1

j an j j an+1 j

1 j an j

R = lim p n n!1

Teorema 7.3 (Continuidad uniforme) La serie de potencias converge absolutamente y de manera uniforme en cualquier intervalo cerrado totalmente comprendido en el intervalo de convergencia [¡a; a] ½ (¡R; R) Teorema 7.4 1. La suma de la serie de potencias S(x) es continua en cada punto x de su intervalo de convergencia (¡R; R) 2. La serie de potencias puede derivarse e integrarse dentro del intervalo de convergencia,conserv¶andose el radio de convergencia. Ejemplo 7.1 Halla el campo de convergencia de la serie 1 X xn n! n=1

Soluci¶ on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el radio de convergencia directamente. Tenemos an =

1 n!

an+1 =

1 (n + 1)!

de donde ¯ ¯ ¯ an ¯ ¯ = lim (n + 1)! = lim (n + 1) ¢ n! = lim (n + 1) = 1 R = lim ¯¯ n!1 an+1 ¯ n!1 n!1 n!1 n! n!

Por consiguiente, el intervalo de convergencia es (¡1; 1), es decir, la serie converge en toda la recta real.

7.2. SERIES DE POTENCIAS

3

Ejemplo 7.2 Halla el campo de convergencia de la serie 1 X

n! xn

n=1

Soluci¶ on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el radio de convergencia directamente. Tenemos an = n!

an+1 = (n + 1)!

de donde ¯ ¯ ¯ an ¯ n! n! 1 ¯ ¯ = lim R = lim ¯ = lim = lim =0 ¯ n!1 an+1 n!1 (n + 1)! n!1 (n + 1) ¢ n! n!1 n + 1 Por consiguiente, la serie converge s¶olo en el punto x = 0. Ejemplo 7.3 Halla el campo de convergencia de la serie 1 X (¡1)n¡1 n=1

n ¢ 3n

(x + 1)n

Soluci¶ on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el radio de convergencia directamente. Tenemos an = de donde

(¡1)n¡1 n ¢ 3n

an+1 =

(¡1)n (n + 1) ¢ 3n+1

¯ ¯ n+1 ¯ an ¯ 1 ¯ = lim (n + 1) ¢ 3 R = lim ¯¯ = lim 3(1 + ) = 3 ¯ n n!1 an+1 n!1 n!1 n¢ 3 n Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo j x + 1 j< 3, y eliminando el valor absoluto tenemos j x + 1 j< 3 ! ¡3 < x + 1 < 3 ! ¡4 < x < 2 Tenemos que comprobar la convergencia de la serie en los extremos del intervalo Cuando x = ¡4, obtenemos la serie num¶erica 1 X (¡1)n¡1 n=1

n ¢ 3n

n

(¡3) =

1 X (¡1)n¡1 n=1

n

n

(¡1) =

n=1

que es la serie armonica divergente. Cuando x = 2, obtenemos la serie num¶erica 1 X (¡1) n¡1 n=1

n ¢ 3n

n

(3) =

1 X (¡1)2n¡1

1 X (¡1)n¡1 n=1

n

n

1 X 1 =¡ n n=1

4

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

que es una serie alternada condicionalmente convergente. Por lo tanto el campo de convergencia de la serie es ¡4 < x · 2. Ejemplo 7.4 Halla el campo de convergencia de la serie 1 X (¡1)n (x + 1)n n n n=1 Soluci¶ on: Podemos elegir entre aplicar el criterio de la raiz o calcular el radio de convergencia directamente. Tenemos (¡1)n an = nn de donde s p 1 R = lim n = lim n nn = lim n = 1 n!1 n!1 j a n j n!1 Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo (¡1; 1), es decir, la serie converge para todos los valores de x.

7.2.1

Desarrollo de funciones en series de potencias

Para hallar el desarrollo de una funci¶on en serie de potencias se suele segir uno de los dos procedimientos siguientes: 1. Mediante la serie geom¶etrica 2. Mediante la serie de Taylor.

Desarrollo de funciones en series de potencias mediante la serie geom¶ etrica Teniendo en cuenta que la suma de la serie geom¶etrica viene de¯nida por 1 = 1 + r + r2 + r3 + ¢ ¢ ¢ 1¡r y que la convergencia en este caso viene determinada por j r j< 1. Resulta que aquellas funciones que puedan expresarse en la forma del primer miembro podr¶an desarrollarse en serie de potencia mediante la serie geom¶etrica, sin m¶as que sustituir r por la expresi¶on correspondiente, y el intervalo de convergencia vendr¶a determinado por la raz¶on correspondiente. (en este caso la convergencia en los extremos no ser¶a necesaria veri¯carla, ya que la serie geom¶etrica diverge en los mismos).

7.2. SERIES DE POTENCIAS

5

Ejemplo 7.5 Desarrollar en serie de potencias, indicando el intervalo de convergencia, la funci¶on 1 f(x) = 1+x Soluci¶ on: Teniendo en cuenta la suma geom¶etrica 1 = 1 + x + x2 + x3 + ¢ ¢ ¢ 1¡x

Cambiando x por ¡x obtenemos el desarrollo pedido

1 1 = = 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + ¢ ¢ ¢ 1+x 1 ¡ (¡x)

Ejemplo 7.6 Desarrollar en serie de potencias, indicando el intervalo de convergencia, la funci¶on 5 f(x) = 3¡x Soluci¶ on: Teniendo en cuenta la suma geom¶etrica 1 = 1 + r + r2 + r3 + ¢ ¢ ¢ 1¡r

Tratamos de expresar la funci¶on en la forma del primer miembro y sustituimos r por la expresi¶on correspondiente µ ¶ 5 5 5 1 5 x x2 f (x) = = = = 1 + + 2 ¢¢¢ 3¡x 3(1 ¡ x3 ) 3 1 ¡ x3 3 3 3 El intervalo de convergencia viene dado por j r j=j es decir IC = (¡3; 3)

x 3

j< 1, de donde j x j< 3,

Ejemplo 7.7 Desarrollar en serie de potencias, centrada en x0 = 1, indicando el intervalo de convergencia, la funci¶on f(x) =

5 3¡x

Soluci¶ on: Teniendo en cuenta la suma geom¶etrica 1 = 1 + r + r2 + r3 + ¢ ¢ ¢ 1¡r

Tratamos de expresar la funci¶on en la forma del primer miembro, intentando que r sea del tipo (x ¡ 1), y sustituimos r por la expresi¶on correspondiente f(x) =

5 5 5 5 = = = = 3¡x 3 ¡ (x ¡ 1 + 1) 3 ¡ (x ¡ 1) ¡ 1 2 ¡ (x ¡ 1)

6

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

µ ¶ 5 1 5 x ¡ 1 (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)3 = = 1+ + + ¢¢¢ 21 ¡ x¡1 2 2 22 23 2 El intervalo de convergencia viene dado por j r j=j x¡1 j< 1, de donde 2 j x ¡ 1 j< 2, y quitando el valor absoluto resulta ¡2 < x ¡ 1 < 2, de donde ¡1 < x < 3, es decir IC = (¡1; 3) Desarrollo de funciones en series de potencias mediante la serie de Taylor Toda funci¶on in¯nitamente derivable en un intervalo (x0 ¡ r; x0 + r) puede desarrollarse en este intervalo mediante una serie in¯nita de potencias de la forma: f(x) = f (x0) +

f 0 (x0) f 00 (x0) f (n)(x0) (x¡x0) + (x ¡x0 )2 + ¢ ¢ ¢+ (x¡x0)n + ¢ ¢ ¢ 1! 2! n!

Cuando x = 0 obtenemos la llamada serie de Mac Laurin. f (x) = f(0) +

f 0 (0) f 00(0) 2 f (n)(0) n x+ x +¢¢ ¢ + x + ¢¢¢ 1! 2! n!

Teorema 7.5 (Convergencia de la serie de Taylor) Para que sea posible desarrollar la funci¶on f (x) en serie de Tailor en un intervalo I es necesario y su¯ciente que el t¶ermino complementario Rn(x) tienda a cero, cuando n ! 1, para todos los x 2 I f (n+1)(c) lim Rn (x) = lim (x ¡ x0 )n+1 = 0 para todos los x 2 I n!1 n!1 (n + 1)! Teorema 7.6 (Condici¶ on su¯ciente de convergencia) Para que sea posible desarrollar la funci¶on f (x) en el intervalo I = (x0 ¡ R; x0 + R), en una serie de Taylor, es su¯ciente que f(x) tenga en este intervalo derivadas de todos los ¶ordenes y que exista una constante K > 0 tal que j f (n)(x) j· K para n = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ y para todos los x 2 I Series de taylor de las funciones elementales x x2 x3 ex = 1 + + + + ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x < 1 1! 2! 3! x3 x5 sen x = x ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x < 1 3!2 5!4 x x cos x = 1 ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x < 1 2! 4!

7.2. SERIES DE POTENCIAS

7

8 < m ¸ 0 ! ¡1 · x · 1 m m(m ¡ 1) m (1+x) = 1+ x+ +¢ ¢ ¢ ; ¡1 < m < 0 ! ¡1 < x · 1 1! 2! : m · ¡1 ! ¡1 < x < 1 x2 x3 ln(1 + x) = x ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x · 1 2 3 x3 x5 arctan x = x ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢ ; ¡1 · x · 1 3 5 Ejemplo 7.8 Desarrollar en series de potencias las funciones f(x) = e ¡x

y

2

g(x) = e¡x

Soluci¶ on: En el desarrollo de x x2 x3 + + + ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x < 1 1! 2! 3! sustituimos x por ¡x y obtenemos ex = 1 +

¡x

e

x2 x3 = 1¡x+ ¡ + ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x < 1 2! 3!

y si sustituimos x por ¡x2 obtenemos 2

e¡x = 1 ¡ x2 +

7.2.2

x4 x6 ¡ + ¢ ¢ ¢ ; ¡1 < x < 1 2! 3!

Desarrollo de funciones en series de potencias a partir de otros desarrollos conocidos

Teorema 7.7 Dos series de potencia se pueden sumar miembro a miembro y multiplicar por la regla de multiplicaci¶on de polinomios. La nueva serie obtenida, tendr¶a un intervalo de convergencia, que coincidir¶a con el intervalo com¶ u n de los intervalos de convergencia de las series primitivas. Pudiendo ser o no convergente en los extremos de dicho intervalo. Teorema 7.8 Las series de potencias se pueden derivar e integrar t¶ermino a t¶ermino. El radio de convergencia de la serie obtenida por derivaci¶on o integrai¶on es el mismo que el de la serie original, sin embargo, el intervalo de convergencia puede cambiar, porque unas sean convergentes en los extremos y las otras no. Ejemplo 7.9 Desarrolla en serie de potencias la funci¶on ln

1 +x 1¡x

8

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

Soluci¶ on Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos que ln

1+x = ln(1 + x) ¡ ln(1 ¡ x) 1¡x

Teniendo en cuenta el desarrollo concolido de ln(1 + x) x x2 x3 x4 ln(1 + x) = ¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢ (¡1 < x · 1) 1 2 3 4 Cambiando x por ¡x tenemos x x2 x3 x4 ln(1 ¡ x) = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ (¡1 · x < 1) 1 2 3 4 Restando miembro a miembro ambas series resulta µ ¶ 1 +x x3 x5 ln = 2 x+ + + ¢ ¢ ¢ (¡1 < x < 1) 1¡x 3 5 Ejemplo 7.10 desarrolla en serie de potencias la funci¶on x2

1 ¡ 3x + 2

Soluci¶ on: Descomponemos la fracci¶on en fracciones simples x2

1 1 1 1 = = ¡ ¡ 3x + 2 (x ¡ 1)(x ¡ 2) x ¡ 2 x ¡ 1

Transformamos las fracciones buscando la serie geom¶etrica 1 1 1 1 1 1 1 ¡ = ¡ = ¡ x¡2 x ¡1 1¡x 2¡x 1¡x 21¡

x 2

Desarrollamos en serie cada una de las fracciones 1 = 1 + x + x2 + x3 + ¢ ¢ ¢ ! IC = (¡1; 1) 1¡x

1 x x2 x3 = 1 + + + + ¢ ¢ ¢ ! IC = (¡2; 2) 1 ¡ x2 2 4 8

luego, las dos series convergen en el intervalo com¶un (¡1; 1), y en ese intervalo las podemos sumar t¶ermino a t¶ermino µ ¶ 1 1 x x2 x3 1 3 7 2 3 = (1+x+x +x +¢ ¢ ¢ )¡ 1+ + + + ¢ ¢ ¢ = + x+ x2+¢ ¢ ¢ 2 x ¡ 3x + 2 2 2 4 8 2 4 8 Ejemplo 7.11 Desarrolla en serie de potencias la funci¶on arctan x

7.2. SERIES DE POTENCIAS

9

Soluci¶ on Partimos de que arctan x =

Z

x 0

dx 1 + x2

Teniendo en cuenta el desarrollo de la serie geom¶etrica 1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ¢ ¢ ¢ 1¡x

Cambiando x por ¡x2 obtenemos el desarrollo de la funci¶on subintegral 1 1 = = 1 ¡ x2 + x4 ¡ x6 + ¢ ¢ ¢ 2 2 1+x 1 ¡ (¡x ) E integrando t¶ermino a t¶ermino obtenemos es desarrollo pedido Z x x3 x5 x7 arctan x = (1 ¡x2 + x4 ¡x6 +¢ ¢ ¢ )dx = x¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢ (1 · x · 1) 3 5 7 0 Ejemplo 7.12 Determinar el desarrollo en serie de potencias, alrededor del punto x0 = 0, de la funci¶on µ ¶ 1+x f (x) = ln 1¡x Estudiar el intervalo m¶aximo de convergencia de la serie funcional resultante 1 X 1 y utilizarla para calcular (2n + 1) 32n+1 n=1 Soluci¶ on: Si intentamos aplicar el desarrollo de Taylor directamente a la funci¶on dada resulta que las derivadas sucesivas son cada vez m¶as complicadas. Por eso puede convenir descomponer el logaritmo en una diferencia µ ¶ 1+x ln = ln(1 + x) ¡ ln(1 ¡ x) 1¡x Podemos ahora aplicar el desarrollo de Taylor conjuntamente a los dos t¶erminos, o bien desarrollar en serie cada t¶ermino por separado y despu¶es sumar las series resultantes t¶ermino a t¶ermino. Sin embargo, en este caso podemos observar que al derivar la serie inicial obtenemos una serie geom¶etrica de raz¶on x2. En efecto f 0(x) =

1 ¡1 1 ¡x+1+x 2 ¡ = = 1+x 1 ¡x (1 + x)(1 ¡ x) 1 ¡ x2

Con lo cual podemos obtener el desarrollo en serie de f 0 (x)

1 X 2 2 4 2n f (x) = = 2+2x +2x +¢ ¢ ¢+2x +¢ ¢ ¢ = 2x2n para 2 1¡x n=0 0

x 2 (¡1; 1)

10

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

Ahora bien, f (x) es una primitiva de f 0 (x) que podemos obtener integrando t¶ermino a t¶ermino la serie obtenida. Para determinar la constante de integraci¶on buscamos un punto donde f (x) = 0, y desde ¶el integramos. Teniendo en cuenta que f(0) = 0 resulta ! Z x ÃX 1 1 Z x 1 X X x2n+1 2n f(x) = 2x dx = 2x2ndx = 2 2n + 1 o n=0 n=0 o n=0 que es la serie buscada. Para estudiar la convergencia de la serie podemos aplicar sobre la misma el criterio del cociente, o bien utilizar el intervalo obtenido para su derivada, comprobando la convergencia en los extremos del mismo. 9 1 > > f (1) = 2 Divergente > = 2n + 1 n=0 IC = (¡1; 1) 1 1 X (¡1)2n+1 X (¡1) > > f (¡1) = = 2 = Divergente > ; 2n + 1 2n + 1 n=0 n=0 1 X

La serie num¶erica dada se obtiene de la inicial, para x = 1=3, en efecto, 0 1 1 Ã ! 1 1 X 1 x2n+1 1 X x2n+1 B1 + 3 C f ( ) = ln @ =2 + 1 A = ln 2 = 2 3 2n + 1 3 2n + 1 n=0 n=1 1¡ 3 de donde despejando la suma de la serie propuesta 1 X x2n+1 ln 2 1 = ¡ 2n + 1 2 3 n=1

7.2.3

Derivaci¶ on e integraci¶ on de las series de potencias

La suma de algunas series de potencias puede conseguirse manipul¶andolas mediante derivaci¶on, integraci¶on o sacando factor com¶un, hasta conseguir una serie conocida (normalmente la geom¶etrica), sumamos esta serie conocida y deshacemos las operaciones anteriores. Ejemplo 7.13 Halla el intervalo de convergencia y la suma de la serie: 1 X xn n n=1

7.2. SERIES DE POTENCIAS

11

Soluci¶ on: LLamamos f (x) a la serie dada 1 X xn f(x) = n n=1

Transformamos la serie (derivando, integrando, o sacando factor com¶un) hasta conseguir una serie geom¶etrica. En este caso, derivando obtenemos una serie geom¶etrica. 1 1 X ¢ nxn¡1 X n¡1 ¡ 1 0 f (x) = = x = 1 + x + x2 + x3 + ¢ ¢ ¢ = n 1¡x n=1 n=1 Al tratarse de una serie geom¶etrica de raz¶on r = x, el intervalo de convergencia viene de¯nido por jxj < 1, es decir ¡1 < x < 1, y por tanto IC = (¡1; 1), sin que sea convergente en los extremos del mismo, ya que las series geom¶etricas no convergen en los extremos del intervalo. La funci¶on buscada f(x) es una primitiva de f 0 (x) que adem¶as, en este caso, ha de complir f (0) = 0, en consecuencia: Z x Zx 1 0 f (x) = f (x)dx = dx = ¡ ln j1 ¡ xj 0 0 1¡x nota: Tambi¶en podemos hacer primero la primitiva y despues determinar la constante, teniendo en cuenta cualquier valor concreto de la funci¶on f(x). En consecuencia, 1 X xn = ¡ ln j1 ¡ xj n n=1

Para determinar el intervalo de convergencia s¶olo tenemos que comprobar la convergencia de la serie dada en los extremos del intervalo de convergencia de su derivada. 9 1 X 1 > > f (1) = Divergente > = n n=1 IC = [¡1; 1) 1 X > (¡1)n > > f (¡1) = Convergente ; n n=1 Ejemplo 7.14 Halla el intervalo de convergencia y la suma de la serie: 1 X

nenx

n=1

Soluci¶ on: LLamamos f (x) a la serie dada f(x) =

1 X n=1

nenx

12

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

Transformamos la serie (derivando, integrando, o sacando factor com¶un) hasta conseguir una serie geom¶etrica. En este caso, integrando hacemos desaparecen el factor n y obtenemos una serie geom¶etrica. Llamemos F (x) a una primitiva cualquiera. F (x) =

Z

f(x)dx = C +

1 X

e

ex = C + (e + e + e + ¢ ¢ ¢ ) = C + 1 ¡ ex

nx

x

n=1

2x

3x

El intervalo de convergencia de esta serie geom¶etrica de raz¶on r = ex viene dado por jexj < 1, de donde ex < 1, luego x < 0, y por tanto IC = (¡1; 0) La serie dada la obtenemos derivando la obtenida f(x) = F 0(x) = 0 + en consecuencia, 1 X

ex(1 ¡ ex) ¡ e x(¡ex) ex = (1 ¡ ex)2 (1 ¡ ex)2 nenx =

n=1

ex (1 ¡ ex)2

para determinar el intervalo de convergencia s¶olo tenemos que estudiar la convergencia en el extremo del intervalo obtenido. f(0) =

1 X n=1

0

ne =

1 X n=1

n Divergente ) IC = (¡1; 0)

Ejemplo 7.15 Halla el intervalo de convergencia y la suma de la serie: 1 X x3n+1 3n n=1

Utiliza el resultado para calcular:

1 1 1 1 1 ¡ + ¡ + ¡ ¢¢¢ 3 6 9 12 15

Soluci¶ on: LLamamos f(x) a la serie dada f(x) =

1 X x3n+1 n=1

3n

Transformamos la serie (derivando, integrando, o sacando factor com¶un) hasta conseguir una serie geom¶etrica. En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el 3n del denominador, pero s¶³ lo podemos conseguir eliminando previamente una x del numerador. En efecto, sacando x factor com¶ un, resulta: 1 1 X X x3n+1 x3n f(x) = =x 3n 3n n=1 n=1

7.2. SERIES DE POTENCIAS

13

Llamando g(x) a la serie obtenida, resulta: g(x) =

1 X x3n n=1

3n

Que se convierte en una serie geom¶etrica por derivaci¶on, en efecto: 0

g (x) =

1 X 3nx3n n=1

3n

=

1 X n=1

x3n = x2 + x5 + x8 + ¢ ¢ ¢ =

x2 1 ¡ x3

El intervalo de convergencia de esta serie g 0(x) al ser una serie geom¶etrica de r = x3 viene dado por jx3j < 1, luego jxj < 1, y por tanto IC = (¡1; 1) La funci¶on g(x) la obtenemos integrando g 0 (x) y teniendo en cuenta un valor concreto de g(x) para determinar la constante, en este caso g(0) = 0 y, en consecuencia Z x Z x Z x2 1 x ¡3x2 1 0 g(x) = g (x)dx = dx = ¡ dx = ¡ ln j1 ¡ x3j 3 3 3 0 1¡x 3 0 0 1¡x En consecuencia: x f(x) = x g(x) = ¡ ln j1 ¡ x3j 3 luego la serie buscada es 1 X x3n+1 n=1

x = ¡ ln j1 ¡ x3j 3n 3

Para calcular el intervalo de convergencia bastar¶a con estudiar la convergencia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para g 0 (x) 9 1 X 1 > > f (1) = Divergente > = 3n n=1 IC = [¡1; 1) 1 X > (¡1)3n+1 > f (¡1) = Convergente > ; 3n n=1 La serie num¶erica dada se obtiene de la inicial, para x = ¡1, por lo tanto, 1 X 1 1 1 1 1 (¡1)3n+1 1 ¡ + ¡ + ¡ ¢¢¢ = = f (¡1) = ln 2 3 6 9 12 15 3n 3 n=1 Ejemplo 7.16 Halla el intervalo de convergencia y la suma de la serie: 1 X p n xn n+1 n=0

Utiliza el resultado para calcular:

1 X n=0

con

p>0 1 + 1)

4n(n

14

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

Soluci¶ on: LLamamos f(x) a la serie dada 1 X pnxn f(x) = n+1 n=0

Transformamos la serie (derivando, integrando, o sacando factor com¶un) hasta conseguir una serie geom¶etrica. En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el n + 1 del denominador, pero s¶³ lo podemos conseguir introduciendo previamente una x en el numerador. En efecto, multiplicando y dividiendo por x, resulta: 1 1 X p n xn 1 X pnxn+1 f (x) = = n+1 x n=0 n + 1 n=0

Llamando g(x) a la serie obtenida, resulta: g(x) =

1 X pnxn+1 n=0

n +1

Que se convierte en una serie geom¶etrica por derivaci¶on, en efecto: 1 1 1 X pn(n + 1)xn X n n X 0 g (x) = = p x = (px)n = n+1 n=0 n=0 n=0 = 1 + px + (px)2 + (px)3 + ¢ ¢ ¢ =

1 1 ¡ px

El intervalo de convergencia de esta serie g 0 (x) al ser una serie geom¶etrica de r = px viene dado por jpxj < 1, luego jxj < 1p , y por tanto IC = (¡ 1p ; 1p ) La funci¶on g(x) la obtenemos integrando g 0(x) y teniendo en cuenta un valor concreto de g(x) para determinar la constante, en este caso g(0) = 0 y, en consecuencia Z x Zx Z 1 1 x ¡p 1 0 g(x) = g (x)dx = =¡ dx = ¡ ln j1 ¡ pxj p 0 1 ¡ px p 0 0 1 ¡ px En consecuencia: f(x) =

1 1 g(x) = ¡ ln j1 ¡ pxj x px

luego la serie buscada es 1 X pnxn 1 = ¡ ln j1 ¡ pxj n+ 1 px n=0

Para calcular el intervalo de convergencia bastar¶a con estudiar la convergencia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para g 0 (x)

7.2. SERIES DE POTENCIAS

15

1 X

1 f (1=p) = Divergente n +1 n=0 1 X (¡1)n f (¡1=p) = Convergente n +1 n=0

9 > > > = > > > ;

IC = [¡1=p; 1=p)

La serie num¶erica dada se obtiene de la inicial, para p = 1 y x = 1=4, por lo tanto, 1 X n=0

1 1 1 3 =¡ ln j1 ¡ j = ¡4 ln = 4(ln 4 ¡ ln 3) + 1) 1=4 4 4

4n (n

Ejemplo 7.17 Determina el campo de convergencia y sumar la siguiente 1 X 1 serie de potencias: (x ¡ 3)n n + 2 n=1 Soluci¶ on: Llamamos f(x) a la serie dada f(x) =

1 X n=1

1 (x ¡ 3)n n +2

Transformamos la serie (derivando, integrando, o sacando factor com¶un) hasta conseguir una serie geom¶etrica. En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el n + 2 del denominador, pero s¶³ lo podemos conseguir introduciendo previamente un (x ¡ 3)2 en el numerador. En efecto, multiplicando y dividiendo por (x ¡ 3) 2, resulta: 1 X 1 (x ¡ 3)n+2 f(x) = (x ¡ 3)2 n=1 n + 2

Llamando g(x) a la serie obtenida, resulta: g(x) =

1 X (x ¡ 3)n+2 n=1

n+2

Que se convierte en una serie geom¶etrica por derivaci¶on, en efecto: 1 X g (x) = (x¡3)n+1 = (x¡3)2 +(x¡3)3+(x¡3)4+¢ ¢ ¢ = 0

n=1

(x ¡ 3)2 x2 ¡ 6x + 9 = 1 ¡ (x ¡ 3) ¡x + 4

El intervalo de convergencia de esta serie g 0(x) al ser una serie geom¶etrica de r = x ¡ 3 viene dado por jx ¡ 3j < 1, luego ¡1 < x ¡ 3 < 1, y por tanto IC = (2; 4) La funci¶on g(x) la obtenemos integrando g 0 (x) y teniendo en cuenta un valor concreto de g(x) para determinar la constante, en este caso g(3) = 0 y, en

16

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

consecuencia Z x Z 0 g(x) = g (t)dt =

SERIES DE FOURIER.

· 2 ¸x Z x t ¡ 6t + 9 1 t dt = (¡t+2+ )dt = ¡ + 2t ¡ ln j4 ¡ tj = ¡t + 4 ¡t + 4 2 3 3 3 3 x2 3 = ¡ + 2x ¡ ln j4 ¡ xj ¡ 2 2 En consecuencia: µ 2 ¶ 1 1 x 3 f(x) = g(x) = ¡ + 2x ¡ ln j4 ¡ xj ¡ (x ¡ 3)2 (x ¡ 3)2 2 2 luego la serie buscada es 1 X n=1

x 2

1 ¡x2 + 4x ¡ 2 ln j4 ¡ xj ¡ 3 (x ¡ 3)n = n+2 2(x ¡ 3)2

Para calcular el intervalo de convergencia bastar¶a con estudiar la convergencia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para g 0 (x) 9 1 X 1 > f (4) = Divergente > > = n+2 n=1 IC = [2; 4) 1 X > (¡1)n+2 > f (2) = Convergente > ; n + 2 n=1 Ejemplo 7.18 Determinar el campo de convergencia y sumar la serie: 1 X n=2

1 (x + 5)n n¡1

Soluci¶ on: Para estudiar la convergencia aplicamos el criterio del cociente: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ ¯ (x + 5)n+1 (x + 5)n ¯ ¯ n ¡ 1 (x + 5)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=¯ ¯ ! jx + 5j : ¯ an ¯ = ¯ n n ¡ 1 ¯ ¯ n (x + 5)n ¯ Luego la serie ser¶a:

Convergente cuando jx + 5j < 1 ) ¡1 < x + 5 < 1 ) ¡6 < x < ¡4 Divergente cuando jx + 5j > 1 y habr¶a duda cuando jx + 5j = 1 ) x = ¡6; x = ¡5 La duda la resolvemos sustituyendo los valores en la serie P 1 ¾ n alternada Convergente x = ¡6 ) (¡1) P n¡1 ) IC = [¡6; ¡4) 1 n x = ¡4 ) onica Divergente n¡1 (1) arm¶

Para sumar la serie lo primero que hacemos es ponerle un nombre, llamarle f(x) 1 X 1 f(x) = (x + 5)n n¡ 1 n=2

7.2. SERIES DE POTENCIAS

17

y transformamos la expresi¶on hasta conseguir una serie geom¶etrica. La serie dada no es geom¶etrica debido al t¶ermino que aparece en el denominador. Si derivamos la serie, dicho t¶ermino no desaparece, necesitariamos, para ello, que el exponente fuera n ¡ 1. Pero ¶esto lo podemos conseguir sacando factor com¶un. En efecto: f(x) =

1 X n=2

1 X 1 1 n (x + 5) = (x + 5) (x + 5)n¡1 n¡1 n ¡ 1 n=2

Llamamos g(x) a la nueva serie, y ¶esta ya si se convierte en geom¶etrica por derivaci¶on: 1 X f(x) 1 g(x) = = (x + 5)n¡1 x +5 n¡1 n=2 Y derivando t¶ermino a t¶ermino resulta: g 0(x) =

1 1 X X n ¡1 (x + 5)n¡2 = (x + 5)n¡2 = 1 + (x + 5) + (x + 5)2 + ¢ ¢ ¢ n ¡ 1 n=2 n=2

que es una serie geom¶etrica de raz¶on r = x + 5, cuya suma es: g 0 (x) =

1 1 1 ¡1 = = = 1 ¡ (x + 5) 1 ¡ x ¡ 5 ¡x ¡ 4 x +4

de donde: g(x) =

Z

¡1 dx = ¡ ln jx + 4j + C x +4

La constante de integraci¶on la determinamos igual¶ando g(-5) en ambas expresiones: ¾ P g(¡5) = 0 = 0 )C =0 g(¡5) = ¡ ln 1 + C = C Con lo cual resulta: g(x) = ¡ ln jx + 4j, y en consecuencia: f(x) = ¡(x + 5) ln jx + 4j

7.2.4

Aplicaciones de las series de potencias para el c¶ alculo de integrales de¯nidas

Para calcular el valor aproximado de la integral de¯nida de una funci¶on f(x), se desarrolla la funci¶on en series de potencias f(x) = S(x), se integra la serie t¶ermino a t¶ermino, y se toma como valor aproximado de la integral la suma de los n primeros t¶erminos de la serie. Para estimar el error del valor aproximado distinguiremos tres situaciones:

18

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

1. Si la serie num¶erica resultante es alternada, que satisface el criterio de Leibniz, el error cometido vendr¶a determinado por el primer t¶ermino que no se suma, es decir: j Rn j< tn+1 2. Si la serie resultante es de signo constante entonces el error se puede determinar comparando el resto de la serie con una progresi¶on geom¶etrica in¯nita decreciente. 3. En cualquier otro caso acudimos a la f¶ormula de resto de Taylor. Ejemplo 7.19 Calcula, con un error menor que una mil¶esima: Z 1 2 e¡x dx 0

Soluci¶ on: Desarrollamos la funci¶on subintegral en series de potencias. Para ello utilizamos el desarrollo de ex ex = 1 +

x x2 x3 xn + + + ¢¢¢ + + ¢¢¢ 1! 2! 3! n!

Sustituyendo en esta serie x por ¡x2, obtenemos: 2

e ¡x = 1 ¡

x2 x4 x6 x2n + ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1) n +¢ ¢¢ 1! 2! 3! n!

de ¶ Z 1donde Z 1µ 2n x2 x4 x6 ¡x2 nx e dx = 1¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1) + ¢ ¢ ¢ dx = 1! 2! 3! n! 0 0 · ¸1 x3 x5 x7 x9 x11 1 1 1 1 1 = x¡ + ¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢ = 1¡ + ¡ + ¡ +¢ ¢ ¢ 3 2! 5 3! 7 4! 9 5! 11 3 2! 5 3! 7 4! 9 5! 11 0 Como hemos obtenido una serie alternada que cumple el criterio de Leibniz, el error de la aproximaci¶on vendr¶a determinado por el valor absoluto del primer t¶ermino que no sumemos. Observamos que: j t6 j=

1 1 1 = < 5! 11 1320 1000

Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶on requerida, bastar¶a con sumar los cinco primeros t¶erminos de la serie, es decir, Z 1 2 1 1 1 1 e ¡x dx ¼ 1 ¡ + ¡ + = 00747 3 2! 5 3! 7 4! 9 0 Ejemplo 7.20 Calcula, con precisi¶on de hasta 0'001: Z 1=2 1 ¡ cos x dx x2 0

7.2. SERIES DE POTENCIAS

19

Soluci¶ on: Desarrollamos la funci¶on subintegral en series de potencias. Para ello utilizamos el desarrollo de cos x cos x = 1 ¡

x2 x4 x6 x2n + ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1)n +¢¢ ¢ 2! 4! 6! (2n)!

Sustituyendo en la expresi¶on subintegral obtenemos: 1 ¡ cos x = x2

1¡1 +

x2 x4 x6 ¡ + ¡ ¢¢¢ 1 x2 x4 2! 4! 6! = ¡ + + ¢¢¢ x2 2! 4! 6!

de1donde Z Z 1µ ¶ 1 ¡ cos x 1 x2 x4 dx = ¡ + + ¢ ¢ ¢ dx = x2 2! 4! 6! 0 0 ·

x x3 x5 = ¡ + + ¢¢¢ 2! 4! 3 6! 5

¸1=2

=

0

1 1 1 ¡ + ¡ ¢¢¢ 3 _ 2! ¢ 2 4! ¢ 3 ¢ 2 6!5 ¢ 25

Como hemos obtenido una serie alternada que cumple el criterio de Leibniz, el error de la aproximaci¶on vendr¶a determinado por el valor absoluto del primer t¶ermino que no sumemos. Observamos que: j t2 j=

1 1 1 = > 4! ¢ 3 ¢ 23 576 1000

y

j t3 j=

1 1 1 = < 6! ¢ 5 ¢ 25 115200 1000

Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶on requerida, bastar¶a con sumar los dos primeros t¶erminos de la serie, es decir, Z 1 1 ¡ cos x 1 1 dx ¼ ¡ = 00 25 ¡ 00 0017 = 0024831 2 3 x 2! ¢ 2 4! ¢ 3 ¢ 2 0 Ejemplo 7.21 Calcula, con precisi¶on de hasta 0'001: Z

00 1

0

ln(1 + x) dx x

Soluci¶ on: Desarrollamos la funci¶on subintegral en series de potencias. Para ello utilizamos el desarrollo de ln x ln x = x ¡

x2 x3 x4 + ¡ + ¢¢¢ 2 3 4

Sustituyendo en la expresi¶on subintegral obtenemos: ln(1 + x) = x

x¡

x2 x3 x4 + ¡ +¢¢¢ x x2 x3 2 3 4 = 1¡ + + +¢¢¢ x 2 3 4

20

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

de ¶ Z 0donde 01 Z 00 1 µ ln(1 + x) x x2 x3 dx = 1¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢ dx = x 2 3 4 0 0

· ¸00 1 x2 x3 x4 00 01 00001 = x¡ + ¡ + ¢¢¢ = 00 1 ¡ + ¡ ¢¢¢ 4 9 16 4 9 0

Como hemos obtenido una serie alternada que cumple el criterio de Leibniz, el error de la aproximaci¶on vendr¶a determinado por el valor absoluto del primer t¶ermino que no sumemos. Observamos que: j t2 j=

00 01 1 1 = > 4 400 1000

y

j t3 j=

00 001 1 1 = < 9 9000 1000

Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶on requerida, bastar¶a con sumar los dos primeros t¶erminos de la serie, es decir, Z 0 01 ln(1 + x) 00 01 dx ¼ 00 1 ¡ = 001 ¡ 00 0025 = 00 098 x 4 0

7.3 7.3.1

Series de Fourier. Serie de Fourier de periodo 2¼

De¯nici¶ on 7.3 Se llama serie de Fourier de la funci¶on f(x) a la siguiente serie trigonom¶etrica: 1

a0 X + (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1 cuyos coe¯cientes a0, an , bn se determinan a trav¶es de la funci¶on f (x) mediante las f¶ormulas: Z 1 ¼ an = f(x) cos nx dx ¼ ¡¼ Z 1 ¼ bn = f(x) sen nx dx ¼ ¡¼ Los coe¯cientes a 0, a n, bn , que se determinan seg¶un estas f¶ormulas, se denominan coe¯cientes de Fourier de la funci¶on f (x) nota 1: En la pr¶actica. el coe¯ciente a0 debe calcularse de manera separada del resto de los coe¯cientes a n, es decir: Z 1 ¼ a0 = f (x) dx ¼ ¡¼

7.3. SERIES DE FOURIER.

21

nota 2: En el c¶alculo de los coe¯cientes de Fourier aparecen las siguientes expresiones: cos n¼ = (¡1)n sen n¼ = 0 A cada funci¶on f(x) integrable en el intervalo [¡¼; ¼] se le puede poner en correspondencia su serie de Fourier 1

X a f(x) » 0 + (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1 Sin embargo, en general, esta correspondencia no se corresponde con una igualdad. Para que as¶³ sea, la serie tiene que converger hacia la funci¶on.

7.3.2

Condiciones su¯cientes de la desarrollabilidad de una funci¶ on en serie de Fourier.

Teorema 7.9 (Teorema de Dirichlet) Si una funci¶on peri¶odica f (x) de periodo 2¼ es mon¶otona a trozos y acotada en el intervalo [¡¼; ¼], entonces su serie de Fourier converge en cada punto x de este intervalo. Adem¶as para la suma 1 a0 X S(x) = + (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1 de esta serie se cumplen las igualdades:

1. S(x) = f(x) si x es un punto de continuidad de f(x) 2. S(x) =

f (x+0)+f (x¡0) 2

si x en un punto de discontinuidad de f(x)

Ejemplo 7.22 Desarrolla en serie de Fourier la funci¶on peri¶odica de periodo 2¼ ½ 0 si x 2 [¡¼; 0] f(x) = x si x 2 [0; ¼] Utiliza el resultado para calcular la suma de la serie num¶erica:

1 X n=1

Soluci¶ on: La funci¶on dada satisface las condiciones del teorema. Hallamos ¶ Z los coe¯cientesµde Z Fourier: Z¼ 0 1 ¼ 1 a0 = f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = ¼ ¡¼ ¼ ¡¼ 0 µZ 0 ¶ · ¸ Z ¼ 1 1 x2 ¼ ¼ = 0 ¢ dx + x dx = = ¼ ¼ 2 0 2 ¡¼ 0

1 (2n ¡ 1)2

22

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

Z 1 ¼ an = 0 + x cos nx dx ¼ 0 Calculamos la integral por partes ¾ · ¸ R x sen nx R sen nx u=x du = dx x cos nx dx = = ¡ dx = sen nx dv = cos nx dx v= n n n x sen nx cos nx + n n2 Luego µ ¶ 1 h x sen nx cos nx i¼ 1 ¼ sen n¼ cos n¼ cos 0 an = + = ¡0+ ¡ 2 = 2 ¼ n n2 0 ¼ n n n ( ) µ ¶ 0 si n es par 1 (¡1)n 1 1 (¡1)n ¡ 1 = 0¡0 + ¡ 2 = = ¡2 = ¼ n2 n ¼ n2 si n es impar 2 n ¼ Z ¡2 1 ¼ 8n bn = 0 + x sen nx dx (2n ¡ 1)2 ¼ ¼ 0 Calculamos la integral por partes ¾ · ¸ R ¡x cos nx R cos nx u=x du = dx x sen nx dx = = + dx = ¡ cos nx dv = sen nx dx v= n n n ¡x cos nx sen nx + n n2 Luego · ¸ µ ¶ 1 ¡x cos nx sen nx ¼ 1 ¡¼ cos n¼ sen n¼ cos n¼ bn = + = ¡0 + ¡0 = ¡ = 2 2 ¼ n n ¼ n n n 0 (¡1)n (¡1)n+1 ¡ = n n Por consiguiente, la serie de Fourier ser¶a: ¸ 1 · ¼ X 2 cos (2n ¡ 1)x (¡1)n+1 sen nx f(x) = + ¡ + 4 n=1 ¼ (2n ¡ 1)2 n En todos los puntos de continuidad de la funci¶on ser¶a: S(x) = f (x), mientras que en los extremos del intervalo [¡¼; ¼], es decir, en los puntos de discontinuidad de la funci¶on, los valores de la serie vendr¶an dado por: S(x) =

0 +¼ ¼ = 2 2

Para hallar la suma de la serie numerica damos un valor adecuado a x de modo que obtengamos la serie que nos interesa. En este caso, haciendo x = 0, desaparecen todos los senos, y los cosenos se transforman en 1. x = 0 ) S(0) = f(0) = 0, con lo cual µ ¶ ¼ 2 1 1 1 0= ¡ + + +¢¢ ¢ 4 ¼ 12 32 52 de donde: 2 ¼

µ

1 1 1 + 2 + 2 + ¢¢¢ 2 1 3 5

¶

=

¼ 4

7.3. SERIES DE FOURIER.

23

Con lo que resulta: 1 X n=1

1 1 1 1 ¼2 = + + + ¢ ¢ ¢ = (2n ¡ 1)2 12 32 52 8

El mismo resultado se obtiene si en vez de darle a x el valos x = 0, le damos el valor x = ¼, sin embargo, en este caso la funci¶on no es continua en este punto, y por lo tanto el valor de la serie hay que calcularlo como la media aritm¶etica de los valores laterales, es decir, f(¼ ¡ 0) + f(¼ + 0) ¼ +0 ¼ x = ¼ ) S(¼) = = = , con lo cual 2 2 2 1 ¼ ¼ 2X 1 = + 2 4 ¼ n=1 (2n ¡ 1)2 de donde,

1 X n=1

1 ¼ ¼ ¼ ¼2 = ( ¡ ) = (2n ¡ 1)2 2 4 2 8

Ejemplo 7.23 Utilizando el desarrollo de Fourier de la extensi¶on peri¶odica de la funci¶on f(x) = ex en el intervalo [¡¼; ¼), probar que " ¶# 1 µ n n X 2 ¢ senh ¼ 1 (¡1) n(¡1) ex = + cos nx ¡ sen nx ; 8x 2 (¡¼; ¼) ¼ 2 n=1 1 + n2 1 + n2 Adem¶as, utilizar la igualdad anterior para calcular

1 X n=1

1 1 + n2

ex + e ¡x ex ¡ e¡x (Indicaci¶on: cosh x = ; senh x = ) 2 2

soluci¶ on: El desarrollo de Fourier de la extensi¶on peri¶odica de una funci¶on f (x) en el intervalo [¡¼; ¼) se puede escribir como 8 Z ¼ 1 > > an = f (x) cos nx dx n = 0; 1; 2 ¢ ¢ ¢ > > 1 < ¼ ¡¼ X a0 + (an cos nx+bn sen nx) siendo Z ¼ > 2 n=1 > 1 > > f(x) sen nx dx n = 1; 2; 3 ¢ ¢ ¢ : bn = ¼ ¡¼ Al no ser f (x) ni par ni impar, los coe¯cientes han de calcularse por la forma general Z Z 1 ¼ 1 ¼ x 1 1 2 e ¼ ¡ e¡¼ a0 = f(x) dx = e dx = [ex] ¼¡¼ = (e¼ ¡ e¡¼) = = ¼ ¡¼ ¼ ¡¼ ¼ ¼ ¼ 2 2 senh ¼ ¼

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

24

SERIES DE FOURIER.

Z Z 1 ¼ 1 ¼ x an = f(x) cos nx dx = e cos nx dx = ¼ ¡¼ ¼ ¡¼ Calculamos esta integral por partes¾(dos veces). ¸ · Z Z x ex sen nx 1 u=e du = ex dx x e cos nx dx = = ¡ ex sen nxdx sen nx dv = cos nx dx v = n n n · ¾ ¸ Z Z ¡ex cos nx 1 u = ex du = e xdx x e sen nx dx = = + ex cos nxdx nx dv = sen nx dx v = ¡ cos n n n Con lo cual aparece nuevamente la integral que quer¶³amos calcular. La pasamos al primer miembro y la sumamos con la existente Z Z ex sen nx ex cos nx 1 x e cos nx dx = + ¡ 2 ex cos nx dx n n2 n Pasando esta integral al primer miembro y operando resulta Z n2 + 1 ex(n sen nx + cos nx) x e cos nx dx = n2 n2 luego

Z

ex cos nx dx =

ex(n sen nx + cos nx) n2 + 1

de donde · resulta, ¸ 1 ex(n sen nx + cos nx) ¼ an = = ¼ n2 + 1 ¡¼ =

£ ¼ ¤ 2(¡1)n senh ¼ 1 ¡¼ e (n sen n¼ + cos n¼) ¡ e (¡n sen n¼ + cos n¼) = ¼(n2 + 1) ¼(n 2 + 1)

analogamente

Z Z 1 ¼ 1 ¼ x bn = f (x) sen nx dx = e sen nx dx = ¼ ¡¼ ¼ ¡¼ Calculamos esta integral por partes¾(dos veces). ¸ · Z Z x ex cos nx 1 u=e du = ex dx x e sen nx dx = =¡ + ex cos nxdx ¡cos nx dv = sen nx dx v = n n n · ¾ ¸ Z Z ex sen nx 1 u = ex du = exdx x e cos nx dx = = ¡ ex sen nxdx dv = cos nx dx v = sennnx n n Con lo cual aparece nuevamente la integral que quer¶³amos calcular. La pasamos al primer miembro y la sumamos con la existente Z Z ex cos nx ex sen nx 1 x e sen nx dx = ¡ + ¡ 2 ex sen nx dx n n2 n Pasando esta integral al primer miembro y operando resulta Z n2 + 1 ex(¡n cos nx + sen nx) x e sen nx dx = n2 n2

7.3. SERIES DE FOURIER. luego

Z

ex cos nx dx =

25

ex(¡n cos nx + sen nx) n2 + 1

de donde · resulta, ¸ 1 ex(¡n cos nx + sen nx) ¼ bn = = ¼ n2 + 1 ¡¼

£ ¼ ¤ ¡2n(¡1)n senh ¼ 1 ¡¼ = e (¡n cos n¼ + sen n¼) ¡ e (¡n cos n¼ ¡ sen n¼) = ¼(n2 + 1) ¼(n 2 + 1) Sustituyendo los coe¯cientes en la serie de Fourier resulta 1 senh ¼ X 2(¡1) n senh ¼ ¡2n(¡1)n senh ¼ x e = + cos nx + sen nx = ¼ ¼(n 2 + 1) ¼(n2 + 1) n=1 " ¶# 1 µ 2 ¢ senh ¼ 1 X (¡1)n n(¡1)n = + cos nx ¡ sen nx ; 8x 2 (¡¼; ¼) ¼ 2 n=1 1 + n2 1 + n2

Para encontra la serie num¶erica dada, hacemos x = ¼ con lo cual eliminamos todos los senos de la serie de Fourier y al mismo tiempo eliminamos la alternancia de signos de los t¶erminos an. Pero con esta sustituci¶on hay que tener en cuenta que se realiza en un punto de discontinuidad, luego el valor de la serie se obtiene de la media aritm¶etica de los valores laterales de la funci¶on, es decir, f(¼ +) + f (¼¡ ) e¼ + e¡¼ S(¼) = = = cosh ¼ 2 2 de donde " " ¶# ¶# 1 µ 1 µ X 2 ¢ senh ¼ 1 X (¡1)n 2 ¢ senh ¼ 1 1 cosh ¼ = + (¡1)n ¡ 0 = + ¼ 2 n=1 1 + n2 ¼ 2 n=1 1 + n2 Y despejando la serie pedida resulta 1 ´ X 1 ¼ cosh ¼ 1 1³ ¼ = ¡ = ¡1 1 + n2 2 senh ¼ 2 2 tanh ¼ n=1

7.3.3

Desarrollo de las funciones pares e impares en series de Fourier.

Una funci¶on f(x) de¯nida en el intervalo [¡¼; ¼] se llama par si f(¡x) = f(x) para todos los x 2 [¡¼; ¼] La gr¶a¯ca de la funci¶on par es sim¶etrica respecto al eje de ordenadas. Una funci¶on f(x) de¯nida en el intervalo [¡¼; ¼] se llama impar si f(¡x) = ¡f(x) para todos los x 2 [¡¼; ¼] La gr¶a¯ca de la funci¶on impar es sim¶etrica respecto al origen de ordenadas.

26

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

Teorema 7.10 Los coe¯cientes de Fourier de una funci¶on par f(x) se pueden obtener, de manera simpli¯cada, mediante las siguientes f¶ormulas: Z 2 ¼ an = f(x) cos nx dx ¼ 0 bn = 0 Por consiguiente, la serie de Fourier de una funci¶on par contiene s¶olo los cosenos, es decir, tiene la forma: 1

X a f (x) = 0 + (an cos nx) 2 n=1 Teorema 7.11 Los coe¯cientes de Fourier de una funci¶on impar f(x) se pueden obtener, de manera simpli¯cada, mediante las siguientes f¶ormulas: an = 0 bn =

2 ¼

Z

¼

f(x) sen nx dx 0

Por consiguiente, la serie de Fourier de una funci¶on impar contiene s¶olo los senos, es decir, tiene la forma: 1 X f (x) = (bn sen nx) n=1

Ejemplo 7.24 Desarrollar en serie de Fourier la siguiente funci¶on peri¶odica de periodo 2¼ f(x) = x2 ¡¼ ·x·¼ 1 X 1 Utiliza el resultado para calcular la suma de la serie num¶erica: n2 n=1 Soluci¶ on: La funci¶on cumple las condiciones del teorema de desarrollabilidad. la funci¶on es par, luego se trata de una serie de cosenos, y los coe¯cientes se pueden calcular mediante la forma simpli¯cada. La serie de fourier tendr¶a la forma: 1 a0 X 2 x = + (an cos nx) 2 n=1 Los coe¯cientes de Fourier, por la forma simpli¯cada, son: b0 = 0

7.3. SERIES DE FOURIER.

27

· ¸ Z 2 ¼ 2 2 x3 ¼ 2 2 a0 = x dx = = ¼ ¼ Z0 ¼ 3 0 3 ¼ 2 a0 = x2 cos nx dx ¼ 0 Calculamos esta ·integral por partes ¾ (dos veces) ¸ R 2 x2 sen nx 2 R u = x2 du = 2x dx x cos nx dx = = ¡ x sen nxdx sen nx dv = cos nx dx v = n n n · ¾ ¸ R ¡x cos nx R cos nx u=x du = dx x sen nx dx = = + dx = ¡cos nx dv = sen nx dx v= n n n ¡x cos nx sen nx + n n2 Luego µ ¶ R 2 x2 sen nx 2 ¡x cos nx sen nx x2 sen nx 2x cos nx x cos nx dx = ¡ + = + ¡ n n n n2 n n2 2 sen nx de donde, n3 · 2 ¸ 2 x sen nx 2x cos nx 2 sen nx ¼ 2 2¼ cos n¼ 4 cos n¼ an = + ¡ = = = 2 3 2 n n n n ¼ n n2 0 4 (¡1)n Por lo tanto la serie de Fourier de la funci¶on dada es: n2 1 X ¼2 (¡1)n x = +4 cos nx 3 n2 n=1 2

o en forma desarrollada µ ¶ ¼2 cosx cos2x cos3x x = ¡4 ¡ + ¡ ¢¢¢ 3 12 22 32 2

Dado que la funci¶on dada es continua en todo <, la serie coincide con la funci¶on S(x) = f (x) para cualquier n¶umero real x. Sin embargo hay que tener en cuenta que fuera del intervalo [¡¼; ¼] tenemos que f(x) 6 = x2 , y habr¶a que calcular el valor de f(x) de acuerdo con la periodicidad de¯nida. La serie num¶erica pedida podemos obtenerla haciendo x = ¼ x = ¼ ) S(¼) = f (¼) = ¼ 2, luego µ ¶ ¼2 1 1 1 2 ¼ = ¡ 4 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¢ ¢¢ 3 1 2 3 de donde:

µ ¶ 1 X 1 1 ¼2 2¼ 2 ¼2 2 = ¼ ¡ = = n2 4 3 12 6 n=1

Ejemplo 7.25 Desarrolla en serie de Fourier la siguiente funci¶on peri¶odica de periodo 2¼ f(x) = x ¡¼ < x·¼

28

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

1 X (¡1)n Utiliza el resultado para calcular 2n + 1 n=0

La funci¶on f(x) satisface las condiciones del teorema de desarrollabilidad. La funci¶on f(x) es impar, luego se trata de una serie de senos, y los coe¯cientes se pueden calcular por las f¶ormulas reducidas. La serie ser¶a de la forma: 1 X x= bn sen nx n=1

los coe¯cientes ser¶an: an = 0 Z ¼ 2 bn = x sen nx dx ¼ 0 Calculamos la integral· por partes ¾ ¸ R ¡x cos nx R cos nx u=x du = dx x sen nx dx = = + dx = ¡ cos nx dv = sen nx dx v= n n n =

¡x cos nx sen nx + n n2

Luego

· ¸ µ ¶ 2 ¡x cos nx sen nx ¼ 2 ¡¼ cos n¼ sen n¼ bn = + = ¡0+ ¡0 = ¼ n n2 ¼ n n2 0 2 2 (¡1)n+1 = ¡ cos n¼ = ¡ (¡1) n = 2 n n n

Por consiguiente, la serie de Fourier ser¶a: µ ¶ 1 X sen x sen 2x n+1 sen nx x=2 (¡1) =2 ¡ + ¢¢¢ n 1 2 n=1 Esta igualdad tiene lugar para todos los x 2 (¡¼; ¼), sin embargo, en los extremos del intervalo la funci¶on no es continua y el valor de la serie hay que calcularlo mediante la media aritm¶etica correspondiente, en este caso S(§¼) = 0. Fuera del intervalo habr¶a que tener en cuenta el valor correspondiente debido a la periodicidad. La serie num¶erica dada la obtenemos haciendo x = ¼2 x=

¼ ¼ ¼ ¼ ) S( ) = f( ) = 2 2 2 2

luego, µ ¶ µ ¶ µ ¶ sen ¼2 sen 2 ¼2 sen 3 ¼2 ¼ 1 1 1 =2 ¡ + ¡ ¢¢¢ = 2 1¡ 0¡ + ¢¢¢ = 2 1¡ + ¡ ¢¢¢ 2 1 2 3 3 3 5

7.3. SERIES DE FOURIER.

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y por lo tanto: µ ¶ 1 X (¡1)n 1 1 ¼ = 1¡ + ¡ ¢¢¢ = 2n + 1 3 5 4 n=0 Ejemplo 7.26 Calcula la serie de Fourier de la funci¶on f (x) = jxj en el intervalo [¡¼; ¼]. 1 X 1 Usar el desarrollo obtenido para sumar la serie (2n + 1)2 n=0 Soluci¶ on: La funci¶on f(x) = jxj es par, ya que: f(¡x) = j ¡ xj = jxj = f (x) por lo tanto se trata de una serie de cosenos y los coe¯cientes pueden calcularse por el m¶etodo simpli¯cado. Z Z 2 ¼ 2 ¼ a0 = f (x)dx an = f(x) cos nx dx bn = 0 ¼ 0 ¼ 0 de donde:

· ¸ Z 2 ¼ 2 x2 ¼ a0 = xdx = = ¼ Z0 ¼ 2 0 2 ¼ an = x cos nx dx ¼ 0 hacemos la integral por partes: ½ ¾ Z u=x x cos nx dx = dv = cos nx dx con lo cual:

2¼ 2 =¼ 2¼

du = dx v = sennnx

¾

Z x sen nx sen nx x sen nx cos nx = ¡ = + 2 n n n n

· ¸ 2 h x sen nx cos nx i¼ 2 cos n¼ cos 0 2(cos n¼ ¡ cos 0) an = + = 0+ ¡0+ 2 = = 2 2 ¼ n n ¼ n n ¼n 2 0 ( ) 0 si n es par 2((¡1)n ¡ 1) ¡4 = = ¡4 = para n = 1; 2; 3 ¢ ¢ ¢ 2 ¼n ¼(2n ¡ 1)2 si n es impar 2 ¼n De donde. · ¸ 1 ¼ X ¡4 ¼ 4 cos x cos 3x cos 5x jxj = ¡ cos(2n¡1)x = ¡ + + + ¢¢¢ 2 n=1 ¼(2n ¡ 1)2 2 ¼ 12 32 52 La serie num¶erica pedida se obtiene de la obtenida, para x = 0, donde la funci¶on es continua. Luego: 1 1 ¼ X ¡4 ¼ 4X 1 j0j = ¡ cos 0 = ¡ 2 2 n=1 ¼(2n ¡ 1) 2 ¼ n=1 (2n ¡ 1)2

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CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

de donde:

SERIES DE FOURIER.

1 4X 1 ¼ = 2 ¼ n=1 (2n ¡ 1) 2

Con lo que resulta: 1 X

1 X 1 1 ¼2 = = (2n + 1)2 n=1 (2n ¡ 1)2 8 n=0