Series De Fourier

SERIES DE FOURIER Las series de Fourier tienen la forma:

Donde función

y

se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la .

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras. Funciones pares

. Funciones impares

.

PROBLEMA Dada la función periódica

f ( t ) = Sen ( t ) −π < t < π f (t + 2π) = f (t)

1) 2) 3) 4)

Graficar la función Analizar la paridad Calcular los coeficientes de Fourier Dar la serie de Fouier

Solución: Primero vamos a graficar la función t -π -π/2 0 π/2 π

f (t) 0 0.9 0 0.9 0

f(t)

-π

w=

-π/2

π/2

π

t

2π 2π = =1 T 2π

2) Esta función es PAR ya que su grafico tiene simetría con el eje y Si la función es par por lo tanto bn = 0 . 3) Cocientes de fourier:

d +T

2 ao = T

∫

f ( t ) dt

d

2 ao = 2π

π

∫π

Sen ( t ) dt

−

Si tomamos solo parte positiva de la grafica en el periodo de 0 a π Entonces T= π

ao = ao =

∫

π

[−

π

ao = −

Sen ( t ) dt

0

2

ao = −

ao =

π

2

2

π 2

π

Cos ( t ) ]

(cos π (−

π 0

− Cos 0 )

1 − 1)

4

π

2 an = T

d +T

2 an = 2π

∫ f (t )Cos ( nwt ) dt d

π

∫π Sen (t ) Cos ( nwt ) dt

−

Si tomamos solo parte positiva de la grafica en el periodo de 0 a π

Entonces T= π

w=

2π 2π = =2 T π

2 an = 2π an =

2

π

π

∫ Sen ( t ) Cos ( nwt ) dt 0

π

∫ Sen ( t ) Cos ( 2 nt ) dt 0

Esta integral se la puede resolver de diferentes formas por ejemplo por Integración por partes pero esto no es un curso de calculo integral ya que lo que importa es obtener la seria si que lo vamos hacer por tablas.

Sea

∫ Sen (mt )Cos ( pt )dt = −

Cos ( m + p )t Cos ( m − p )t − +c 2( m + p ) 2( m − p ) π

2  Cos (1 + 2 n ) t Cos (1 − 2 n ) t  an = − −  π  2 (1 + 2 n ) 2 (1 − 2 n )  0

an =

2  Cos (1 + 2 n )π Cos (1 − 2 n )π −  − π  2(1 + 2 n ) 2(1 − 2 n )

  Cos (1 + 2 n ) 0 Cos (1 − 2 n ) 0    −    − 2 ( 1 + 2 n ) 2 ( 1 − 2 n )   

2  Cos(1 + 2n)π Cos(1 − 2n)π  an = − −  π  2(1+ 2n) 2(1 − 2n) 

an = −

2Cos(1 + 2n)π 2Cos(1 − 2n)π − 2π (1 + 2n) 2π (1 − 2n)

5) La serie de Fourier estaría dada por ∞ ∞ 1 f (t ) = ao + ∑ anCos (nwt ) + ∑ bnSen( nwt ) 2 n =1 n =1

1  4  ∞  2Cos(1 + 2n)π 2Cos(1 − 2n)π  Cos(nt) f (t) =   + ∑ − − 2  π  n=1  2π (1 + 2n) 2π (1 − 2n) 

f (t) =

 2Cos(1 + 2n)π 2Cos(1 − 2n)π  Cos(nt) + ∑ − − π n=1  2π (1 + 2n) 2π (1 − 2n)  2

∞