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Convergenza di successioni di funzioni. Sia {fn (x) : x ∈ [a, b], n ∈ N} una successione di funzioni definite in un intervallo chiuso e limitato [a, b] ed a valori in R oppure C. Diremo che la successione fn (x) converge puntualmente alla funzione f (x) se lim fn (x) = f (x) ,

n→+∞

∀x ∈ [a, b] .

(1)

Se le funzioni |fn (x) − f (x)|2 sono integrabili in [a, b] per ogni n ∈ N, allora diremo che la successione fn (x) converge in media quadratica alla funzione f (x) se Z b |fn (x) − f (x)|2 dx = 0 . lim n→+∞

(2)

a

Successioni e serie di funzioni ortogonali. Sia {φn (x) : x ∈ [a, b], n ∈ N} una successione di funzioni definite in un intervallo chiuso e limitato [a, b] ed a valori in R oppure C. Assumiamo che, per ogni n ed m ∈ N, le funzioni φn (x) φm (x) siano integrabili in [a, b]. Allora diremo che tale successione `e costituta da funzioni ortonormali se Z

b

φn (x) φm (x) dx = δnm

∀ n, m ∈ N .

a

Teorema 1. Sia f : [a, b] → R (oppure C) una funzione di quadrato integrabile, {φk (x)} una successione di funzioni ortonormali in [a, b] ed n un intero positivo. Assumiamo che f (x) φk (x) sia integrabile in [a, b] per ogni k ≤ n. Posto sn (x) =

n X

ck φk (x) e

tn (x) =

k=1

n X

γk φk (x)

k=1

dove Z ck =

b

f (x) φk (x) dx a

(si chiamano coefficienti di Fourier della funzione f rispetto alla successione φk ) e γk sono numeri, eventualmente complessi, arbitrariamente scelti, allora Z b Z b 2 |f (x) − sn (x)| dx ≤ |f (x) − tn (x)|2 dx , a

a

e il segno di uguaglianza vale se e solo se γk = ck per k = 1, ..., n. Dimostrazione. 1

Z

b

|f (x) − tn (x)|2 dx =

a b

Z

b

Z

2

Z

b

b

Z

f (x) tn (x)dx − |tn (x)|2 dx = f (x) tn (x)dx + a a a a " n # " n # Z b Z b Z b X X 2 f (x) |f (x)| dx − = γk φk (x) dx − f (x) γk φk (x) dx+ |f (x)| dx −

=

a

a

a

k=1

k=1

2 Z b Z b X n n n n X X X 2 |f (x)| dx − γk φk (x) dx = + γk ck − γk ck + |γk |2 = a a k=1

k=1

Z =

b

|f (x)|2 dx +

a

n X

|γk − ck |2 −

n X

k=1

k=1

k=1

|ck |2 .

k=1

Da questa, se γk = ck per ogni k = 1, ..., n, si ottiene Z

b

Z

2

b

|f (x) − sn (x)| dx =

2

|f (x)| dx −

a

a

n X

|ck |2 ,

(3)

k=1

e la tesi. N Dalle (3) segue anche n X

2

b

Z

2

Z

cio´e

b

Z

2

|sn (x)| dx = a

|f (x)|2 dx ,

a

a

a

b

|f (x) − sn (x)| dx ≤

|f (x)| dx −

|ck | =

k=1

b

Z

2

n X

2

Z

|ck | ≤

b

|f (x)|2 dx .

(4)

a

k=1

Se `e possibile calcolare ck per ogni k ∈ N, allora (4) implica ∞ X k=1

2

Z

b

|f (x)|2 dx (diseguaglianza di Bessel)

|ck | ≤

(5)

a

ed in particolare lim cn = 0 (teorema di Riemann.)

n→+∞

(6)

Infine, sempre dalla (3), se la successione sn (x) converge in media quadratica alla funzione f (x), allora vale la formula di Parseval Z

b 2

|f (x)| dx = a

+∞ X k=1

2

|ck |2 .

(7)

Polinomio trigonometrico. Definiamo P (x) = a0 +

n X

x ∈ R.

(ak cos kx + bk sen kx)

k=1

dove i coefficienti ak e bk possono essere reali oppure complessi. Poich´e eiz = cos z + i sen z ⇒ sen z =


1 iz e − e−iz 2i

e

cos z =


1 iz e + e−iz 2

si ha:

1 1 ikx ak cos kx + bk sen kx = ak eikx + e−ikx + bk e − e−ikx = 2 2i     1 1 1 1 ikx = ak + b k e + ak − bk e−ikx = 2 i 2 i 1 1 = (ak − i bk ) eikx + (ak + i bk ) e−ikx . 2 2 Posto p 0 = a0 ,

pk =

1 (ak − i bk ) 2

e p−k =

1 (ak + i bk ) , 2

segue che P (x) =

n X

pk eikx .

(8)

k=−n

Essendo inoltre 1 2π

Z

π

−π

eikx dx =

  1

se k = 0

1 eikx 2πik h



i+π

se k 6= 0

−π

=

  1

se k = 0

0

se k 6= 0



,

(9)

si ha: Z π n 1 1 X −imx P (x) e dx = pk eikx e−imx dx = 2π −π 2π k=−n −π Z

π

(

pm

se |m| ≤ n

0

altrimenti

.

Serie trigonometrica di Fourier. Consideriamo la successione 

 1 inx √ e :n∈N . 2π 3

(10)

Tenendo conto della (9) `e immediato verificare che questa successione `e costituita da funzioni ortonormali in [−π, π]. Se f ´e integrabile e limitata in [−π, π], allora sono soddisfatte le ipotesi del teorema 1 e vale anche il limite (6), cio´e Z π 1 lim √ f (x) e−inx dx = 0 . n→∞ 2π −π Da ci`o segue che 1 lim √ n→∞ 2π e quindi Z

π

f (x) [cos(nx) − i sen (nx)] dx = 0 , −π

π

lim

n→∞

Z

Z f (x) cos(nx) dx = 0 ,

π

lim

n→∞

−π

f (x) sen(nx) dx = 0 .

(11)

−π

I coefficienti di Fourier della funzione f sono: Z π 1 cn = √ f (x) e−inx dx . 2π −π Sia ora f : [−π, π] → R una funzione integrabile. Posto Z π 1 f (x) e−ikx dx k ∈ Z fk = 2π −π

(12)

(13)

definiamo serie di Fourier della funzione f la serie di funzioni +∞ X

fk eikx

x ∈ R.

(14)

k=−∞

I coefficienti fk , definiti in (13) si chiamano ancora coefficienti di Fourier della funzione f , anche se non coincidono con i coefficienti ck definiti in (12). Infatti per ogni n > 0 si √ ha cn = 2πfn . Moltissime importanti applicazioni della serie di Fourier riguardano le funzioni periodiche. Una funzione reale f , definita su tutto R, si dice periodica, di periodo T > 0, se f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ R. Una funzione periodica, di periodo T > 0, si dice regolare a tratti se `e possibile trovare un numero finito di punti x0 = 0 < x1 < x2 < · · · < xm = T tali che valgano le seguenti condizioni: 4

(a) la funzione f `e continua con la sua derivata prima in ogni intervallo aperto (xi−1 , xi ) per i = 1, 2, ..., m; (b) per ogni i = 1, 2, ..., m esistono finiti i seguenti limiti lim f (x) ,

x→x+ i−1

lim f (x) ,

x→x− i

lim f 0 (x) ,

x→x+ i−1

lim f 0 (x) .

x→x− i

Teorema 2. Sia f una funzione periodica e regolare a tratti. Allora la serie di Fourier a0 +

+∞ X

(an cos nωx + bn sen nωx) ,

n=1

ω=

2π T

dove T 2

1 a0 = T

Z

2 an = T

Z

f (x) dx , − T2 T 2

f (x) cos nωx dx , − T2

2 bn = T

Z

T 2

f (x) sen nωx dx , − T2

converge puntualmente in R alla funzione   1 ˆ f (x) = lim f (t) + lim− f (t) per ogni x ∈ R. t→x 2 t→x+

5

n = 1, 2, ...