Serie1 Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES SERIE 1 SEMESTRE 2010-1 (Modelado Matemático) 1) En la teoría del aprendizaje, se supone que la velocidad con que se memoriza un tema es proporcional a la cantidad de material a memorizar. Suponga que M denota la cantidad total de un tema a memorizar y que

A ( t ) es la cantidad memorizada en el tiempo t . Determine la ecuación diferencial para la cantidad A ( t )

Z_MGH_1.3_25 (Modelado Matemático) 2) En el ejercicio (1), asuma que la velocidad a la que el material se olvida es proporcional a la cantidad

memorizada en el tiempo t . Determine una ecuación diferencial para A ( t ) cuando se tome en cuenta el olvido.

Z_MGH_1.3_26 (Modelado Matemático) 3) Cierto medicamento se inyecta al torrente sanguíneo de un paciente a velocidad constante de r gramos por segundo. Al mismo tiempo, el medicamento se elimina a una velocidad que es proporcional a la cantidad

x (t )

presente en el tiempo t . Determine una ecuación diferencial que establezca la cantidad x ( t ) . Z_MRH_1.3_27 4) Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales de acuerdo a la siguiente tabla: Ecuación diferencial

Ordinaria o Parcial

2 ⎡ ⎛d y⎞ ⎤ x ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = C , C = cte. d x ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ 2 ⎛∂2U ∂U ∂ U⎞ = k⎜ + , k = cte. 2 2 ⎟ ∂t ∂y ⎠ ⎝ ∂x 2

⎛d2 y⎞ − ⎜ 2 ⎟ ⎝dx ⎠

3

d y dx ∂N ∂γ

dx dt

3

2

=

∂ N ∂β

2

+

2

+ y = cos x

1 ∂N γ ∂γ

+ k N , k = cte.

= k ( 4 − x ) (1 − x )

S2_082_1.EDE

, k = cte.

Orden

Lineal o No lineal

Variables independientes

Variables dependientes

Coeficientes constantes o coeficientes variables

SERIE 1

SEM: 2010-1

5) Determine la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de curvas

y = x + C sen x F2081A1A.EDE 6) Verifique que 4 x − y = C , donde C es una constante arbitraria, proporciona una familia uniparamétrica de soluciones implícitas de la ecuación diferencia 2

2

dy − 4x = 0 dx y grafique las curvas solución C = 0 , C = 1 y C = − 1 y

E3081A1A.EDE 7) Obtenga la ecuación diferencial cuya ecuación general es la representación analítica de la familia de circunferencias con centro sobre la recta y = 2x y que pasan por el origen. P1042A2A.EDE 8) Determine la solución de la ecuación diferencial ⎛x⎞ ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ ⎜ y⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ 1 + 2 e⎝ ⎠ ⎟ d x + 2 e⎝ y ⎠ ⎜ 1 − x ⎟ d y = 0 ⎜ ⎟ y⎠ ⎝ ⎝ ⎠ sujeta a la condición inicial y ( 0) = 1

E3072A1A.EDE 9) Sea la ecuación diferencial ⎛d y⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠

2

− 2

dy + 4x − 4y = 0 dx

cuya solución general es y = (x + C) − C 2

Verificar si las funciones dadas a continuación satisfacen la ecuación diferencial, y de ser así, identifique en cada caso que tipo de solución se tiene a) y = x 2 + 4 x + 2 b) y + x = 8 c) 2 x + 2 y = 1

2

P1012B2A.EDE

SERIE 1

SEM: 2010-1

10) Obtenga la ecuación diferencial que tiene como solución general a la representación analítica de todas las circunferencias con centro en la recta y = 3 x y que son tangentes al eje de las ordenadas. E2091A1A.EDE 11) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general está representada por la familia de las curvas de ecuación x y − y x = C 2

2

P1012B1A.EDE 12) Muestre que la ecuación diferencial y ' = −

x + y , tiene por solución general la relación ( x − y)

x 2 − y 2 + 2x y = C y obtenga la solución particular que satisfaga la condición y ( − 3) = 2 F1081BM1A.EDE

3x + x y2 13) La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto ( x , y ) está dada por y ' = − . 2y + x2 y Obtenga la ecuación del miembro de la familia que pasa por P ( 2 , 1) E2091A1A.EDE 14) Resuelva la ecuación diferencial

(2 x

4

)

+ y 4 dy − x 3 y dx = 0

F1091BM1A.EDE 15) Obtenga la solución de la ecuación diferencial

2x y 2 − 3x2 dx + dy = 0 y3 y4 P1031A3A.EDE 16) Sea la ecuación diferencial

(x

− y)

2

dy = 4 dx

Mediante la sustitución u = x − y , obtenga su solución general P1071A5A.EDE

SERIE 1

SEM: 2010-1

17) Resuelva la ecuación diferencial

( 2 x y Ln y ) dx

(

+ x2 + y2

)

y2 + 1 dy = 0

P1011A4A.EDE 18) Obtenga la solución general de la ecuación diferencial

(e

)

(

)

+ e −x d x + e y + 2 y e −x d y = 0

y

F1081BM1A.EDE 19) Resuelva la ecuación diferencial

⎡ ⎛ x3 ⎞ ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ ⎛3⎞⎤ ⎢ 4 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ dx + ⎢ 3 ⎜ 2 ⎟ + 4 y ⎥ dy = 0 ⎝y ⎠ ⎦ ⎣ ⎝y ⎠ ⎦ ⎣ ⎝y ⎠ 20) La función f ( x , y ) que determina la solución general de la ecuación diferencial

(x

3

)

(

y − 2 dx + x

4

+ 6x

1) f ( x , y ) = xy + 3 y

2

3

)

y dy = 0 es la que se indica en ........................................................... 1

− x

3) f ( x , y ) = xy + 3 y

2

+

2) f ( x , y ) = xy + 2 y

2

1

+

2x

1 2x

3

4

4) f ( x , y ) = xy + 3 y

2

1

+ x

2

4