Serie 7 Complexes

‫ثانوية مولي إدريس الكبر‬ ‫رباط الخير‪ -‬صفرو‬

‫التمرين الول‬

‫‪‬‬

‫‪6 2 i‬‬

‫نضع‬

‫سلسلة تمارين رقم ‪7 :‬‬ ‫‪2‬علوم تجريبية‬

‫‪‬‬

‫‪u  6 2‬‬

‫‪ -1‬أحسب ‪ u 2‬واكتبه على شكله المثلثي‪.‬‬ ‫‪ -2‬استنتج الشكل المثلثي للعدد ‪. u‬‬ ‫التمرين الثاني‬ ‫نعتبر العدد ‪u  3  3i‬‬ ‫‪ -1‬اكتب ‪ u‬على شكله المثلثي‪.‬‬ ‫‪ -2‬حدد العدد ‪ z‬اذا علمت أن‬ ‫‪17‬‬ ‫‪17 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uz  6 2  cos‬‬ ‫‪ i sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪. sin‬‬ ‫‪ cos‬و‬ ‫‪ -3‬استنتج‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫التمرين الثالث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -1‬حل في ‪ £‬المعادلة ‪z  1  0‬‬ ‫‪ -2‬نعتبر المعادلة ‪ E  z 3  46i  9  0‬‬

‫أ‪ -‬تحقق أن ‪ t 0  3  2i‬هو حل للمعادلة ‪.  E ‬‬

‫ب‪ -‬استنتج جميع حلول المعادلة ‪.  E ‬‬ ‫التمرين الرابع‬ ‫‪4‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪ -1‬حل في‬ ‫‪£‬‬ ‫‪z 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬استنتج حلول المعادلة ‪z  z  z  1  0‬‬ ‫‪ -3‬حل في ‪ £‬المعادلة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ z i ‬‬ ‫‪ z i ‬‬ ‫‪ z i ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 1  0‬‬ ‫‪ z i ‬‬ ‫‪ z i ‬‬ ‫‪ z i ‬‬ ‫التمرين الخامس‬ ‫‪5‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪ -1‬حل في ‪£‬‬ ‫‪z 1‬‬ ‫‪ -2‬بين أن مجموع الحلول منعدم‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪ cos‬‬ ‫‪ -3‬استنتج أن ‪ ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ cos‬ثم استنتج قيمة‬ ‫‪ cos‬بدللة‬ ‫‪ -4‬أحسب‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. cos‬‬ ‫‪ cos‬و‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫التمرين السادس‬ ‫‪‬‬

‫‪2i‬‬ ‫نعتبر العدد ‪z  e 7‬‬ ‫نضع ‪ A  z  z 2  z 4‬و ‪B  z 3  z 5  z 6‬‬ ‫‪ -1‬بين أن ‪ A  B‬و أن ‪. Im  A  f 0‬‬ ‫‪ -2‬أحسب ‪ A  B‬و ‪ A  B‬ثم استنتج ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫التمرين السابع‬ ‫نعتبر المعادلة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E   z  £  : z  z  z  z 1  0‬‬

‫‪2006/2007‬‬ ‫ذ ‪ :‬شكيب الزاوي‬

‫‪E‬‬

‫‪ -1‬حل في ‪ £‬المعادلة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬نضع ‪u   z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ .‬أ‪ -‬بين أن المعادلة ‪  E ‬تكافىء المعادلة‬ ‫ب‪ -‬حل في‬

‫‪ F  :u 2  u 1  0‬‬ ‫‪ £‬المعادلة ‪.  F ‬‬

‫‪2‬‬ ‫ج‪ -‬استنتج قيمة‬ ‫‪5‬‬ ‫التمرين الثامن‬ ‫‪ -1‬أكتب على الشكل المثلثي حلول المعادلتين‬ ‫‪cos‬‬

‫‪2i ‬‬

‫و‬

‫‪2 i ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪z 3 e‬‬

‫‪z 3 e 3‬‬ ‫‪ -2‬حل في ‪ £‬المعادلة‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ z  1   z  1  1  0‬‬

‫التمرين التاسع‬ ‫نعتبر المتتالية ‪  z n  n¥‬المعرفة بمايلي‬ ‫‪ z 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ z n 1  3 z n  3 i‬‬ ‫‪ -1‬نضع ‪n  ¥ : u n  z n  i‬‬ ‫أ‪ -‬بين أن ‪  u n ‬متتالية هندسية محددا أساسها وحدها‬ ‫الول ‪ .‬ثم استنتج ‪ z n‬بدللة ‪. n‬‬ ‫ب‪ -‬أحسب ما يلي ‪Re  u n ‬‬ ‫‪ nlim‬و‬ ‫‪‬‬ ‫‪Im  u n ‬‬ ‫‪. nlim‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -2‬في المستوى العقدي نضع النقط ‪ A n  u n ‬و‬ ‫‪Bn  z n ‬‬

‫أ‪ -‬حدد الشكل المثلثي للعدد ‪u n‬‬ ‫ب‪ -‬بين أن ‪ A n L , A 2 , A1‬هي نقط مستقيمية‪.‬‬ ‫ج‪ - -‬بين أن ‪ B n ,L , B 2 , B 1‬هي نقط مستقيمية‪.‬‬ ‫التمرين العاشر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -1‬حل في ‪z   1  i  z  2i  0 £‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬لتكن الحدودية ‪. p  z   z  2  2i‬‬

‫أ‪ -‬أحسب ‪ p  1  i ‬ثم استنتج تعميل ل ‪. p  z ‬‬

‫ب‪-‬حل المعادلة ‪p  z   0‬‬ ‫‪ -3‬حدد الجذور المكعبة للعدد ‪ 2  2i‬على شكلها‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ cos‬و ‪. sin‬‬ ‫المثلثي ‪.‬ثم استنتج مما سبق‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫ثانوية مولي إدريس الكبر‬ ‫رباط الخير‪ -‬صفرو‬

‫سلسلة تمارين رقم ‪7 :‬‬ ‫‪2‬علوم تجريبية‬

‫‪-4‬بين أنه توجد ثلث متتاليات هندسية ‪.  u n  n¥‬‬ ‫بحيث ‪ u 6  2  2i‬و ‪u 3  i‬‬ ‫أحسب بالنسبة لكل منهما الساس والحد الول‪.‬‬ ‫‪-5‬نعتبر المتتالية ‪  z n  n¥‬المعرفة ب‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 1  i ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z n 1   1  i  z n‬‬ ‫‪‬‬ ‫أ‪ -‬أحسب ‪ z n‬بدللة ‪n‬‬ ‫ب‪ -‬أكتب ‪ z n‬على الشكل المثلثي‪.‬‬ ‫ج‪ -‬حدد قيم ‪ n‬التي من أجلها يكون ‪ z n‬حقيقي‪.‬‬ ‫التمرين الحادي عشر‬ ‫نعتبر التطبيق ‪ f‬من ‪ £   i ‬نحو ‪£   1‬‬ ‫‪z  2i‬‬ ‫‪f z  ‬‬ ‫المعرف ب‬ ‫‪z i‬‬ ‫‪ -1‬بين أن ‪ f‬تقابل وحدد تقابله العكسي‪.‬‬ ‫‪ -2‬ليكن ‪ z‬عددا عقديا مخالفا للعدد ‪. i‬وصورته‬ ‫في المستوى العقدي هي ‪. M‬‬ ‫أ – حدد مجموعة النقط ‪ M‬بحيث‬ ‫‪arg  f  z    0  2 ‬‬ ‫‪ z0 ‬‬

‫ب‪ – -‬حدد مجموعة النقط ‪ M‬بحيث‬ ‫‪‬‬ ‫‪. arg  f  z     2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫التمرين الثاني عشر‬ ‫ليكن ‪ m‬عددا عقديا معياره ‪ 2‬وعمدته ‪. ‬‬ ‫ونعتبر المعادلة ‪z  £ : mz 2  2z  m  0‬‬ ‫‪  1 i‬‬ ‫‪ z  m‬‬ ‫‪ -1‬بين أن حلي المعادلة هما‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z   1  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪.‬على الشكل المثلثي‪.‬‬ ‫‪ -2‬أكتب ‪ z ‬و ‪ z ‬و‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪ -3‬في المستوى العقدي المنسوب الى م‪.‬م‪.‬م‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪ o ,u ,v‬نعتبر النقط ‪ A  z  ‬و ‪ B  z  ‬و‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. C  z   z  ‬‬ ‫بين أن ‪ OABC‬مربع‪.‬‬ ‫التمرين الثالث عشر‬ ‫‪2z  i‬‬ ‫‪z  £   i  : p  z  ‬‬ ‫نضع‬ ‫‪z i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ونضع ‪ z  x  iy‬حيث ¡ ‪.  x , y  ‬‬ ‫‪-1‬أ‪ -‬حدد ‪ Re  p  z  ‬بدللة ‪ x‬و ‪. y‬‬

‫‪2006/2007‬‬ ‫ذ ‪ :‬شكيب الزاوي‬

‫‪r r‬‬ ‫ب‪ -‬المستوى منسوب الى م‪.‬م‪.‬م‪ . o ,u ,v .‬حدد‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪   ‬مجموعة النقط بحيث ‪. Re  p  z   =0‬‬

‫‪ -2‬أ‪ -‬بين أن لكل ‪ z‬من ‪£   i ‬‬ ‫‪  2  i  z  i  0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ pz  z  z‬‬

‫ب‪ -‬حل في ‪ £‬المعادلة‬ ‫‪z 2  2i  z i  0‬‬

‫‪‬‬ ‫ج‪ -‬ليكن ‪ ‬عددا حقيقيا من المجال ‪ 0; 2 ‬‬ ‫أكتب على الشكل المثلثي كل من العددين‬ ‫‪1  cos     i sin   ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1  cos     i sin   ‬‬

‫د‪ -‬استنتج الشكل المثلثي للعددين‬ ‫‪2 3i‬‬ ‫‪2 3i‬‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬التمرين الرابع عشر‬ ‫ليكن ‪ ‬عدد حقيقي بحيث ‪    ;  ‬‬ ‫‪ -1‬بين أن‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪sin 2     2  1  cos      4 cos 4  ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ -2‬حل في ‪ £‬المعادلة ذات المجهول التالية‪.‬‬ ‫‪z 2  2sin    z  2  1  sin      0‬‬ ‫‪ .‬التمرين الخامس عشر‬ ‫أخطط ما يلي‬ ‫) ‪. f (x )  cos3 (x‬‬ ‫) ‪g ( x )  sin 3 (x )  cos 2 (x‬‬ ‫) ‪h (x )  cos(3x )  cos 2 (5x‬‬ ‫) ‪k (x )  sin 4 (x‬‬ ‫التمرين السادس عشر‬ ‫‪-1‬أكتب على الشكل المثلثي‬ ‫‪1 i‬‬ ‫‪3 i‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪;b ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬حدد العداد النسبية ‪ n‬التي من أجلها يكون‬ ‫‪n‬‬ ‫¡ ‪.  ab   i‬‬ ‫‪ -3‬حل في ‪ £‬المعادلة‬ ‫‪z   1  2i  z  i  0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -4‬ليكن ‪ z 1‬و ‪ z 2‬هما حلي المعادلة بحيث ‪.‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪ . Im  z 1  p Im  z 2 ‬بين أن ‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -5‬استنتج الشكل المثلثي للعدد ‪. z 1‬‬

‫‪az 1 ‬‬

‫ثانوية مولي إدريس الكبر‬ ‫رباط الخير‪ -‬صفرو‬

‫سلسلة تمارين رقم ‪7 :‬‬ ‫‪2‬علوم تجريبية‬

‫‪ -6‬أكتب ‪ z 1z 2‬على الشكل المثلثي ثم استنتج الشكل‬ ‫المثلثي للعدد ‪. z 2‬‬

‫‪2006/2007‬‬ ‫ذ ‪ :‬شكيب الزاوي‬