Sequencia Equa 2grau Eliane

Equação do 2º Grau

ELIANE MATESCO CRISTOVÃO

I EQUAÇÕES Aplicando as regras aqui expostas um homem inteligente pode inventar milhares de problemas semelhantes. Assim como o Sol empalidece as estrelas Com o seu brilho, um homem discreto eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, propondo e resolvendo problemas. Este texto, extraído de um manual de Matemática da Índia Antiga, fala de um passatempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver. Escritos por sacerdotes brâmanes, os grandes clássicos matemáticos eram um misto de ciência e religião. Cada assunto consistia de um texto básico chamado sutra, que o professor lia em voz alta e os alunos repetiam centenas de vezes até que o texto se lhe grudasse na garganta , ou seja, até que eles conseguissem decorar.

Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava Com alegres gritos doze gritando no campo estão Sabes quantos macacos há na manada no total?

Os sutras eram constituídos de ditos populares, em forma de versos: Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava. Com alegres fritos, doze gritando no campo estão. Sabes quantos macacos há na manada no total? Hoje, podemos traduzir este quebracabeça para o idioma da Álgebra, a equação. Veja:

............................................................

x

............................................................

........................................................

......................................................

12

x=

+ 12

Desenvolvendo a equação temos: x= x=

+ 12 + 12

64x = x2 + 64. 12

Levou muito tempo para os matemáticos desenvolverem uma fórmula resolutiva das equações do 2º grau. Mesmo sem conhecer a fórmula, os bravos matemáticos da Antiguidade, que escreviam as equações totalmente em palavras, inclusive os números, conseguiam resolver a maioria delas.

64x = x2 + 768 x2 - 64x + 768 = 0 Note que obtivemos uma equação que contém o termo x2. Esta equação, que contém o termo x2, é chamada de equação do 2ª grau.

Como isto era possível? Isso é o que vamos investigar a partir de agora, percorrendo o caminho geométrico de resoluções de equação até chegarmos a fórmula hoje tão conhecida... Antes disso, tente resolver este quebracabeças, só para aquecer!

VAMOS JOGAR COM A MATEMÁTICA?

Traduza este quebra-cabeça hindu para o idioma da Álgebra: De um enxa me de a belha s, dirige-se a uma flor de lótus,

a uma bananeira.

Um número igua l a três vezes a diferença entre os dois números precedentes, oh, bela de olhos de gazela, voa em direção a uma arvore. Por fim, uma outra a belha , indecisa , voa erra nte pa ra lá e pa ra cá nos a res, a tra ída a o mesmo tempo pelo delicioso perfume do jasmim e do pândano. Diga-me, oh, minha encantadora, quantas abelhas existem?

II - EQUAÇÃO DO 2º GRAU PROBLEMAS 1- Quanto mede o lado de um quadrado cuja diagonal mede 4 cm?

2- Quanto deve medir a diagonal de um retângulo cujos lados medem 12 cm e 5 cm?

Como podemos notar, a resolução destes problemas pode ser expressa por uma equação da forma: ax2 = c x2 = x=±

Vamos resolver juntos, as seguintes equações: a) 10x2 90 = 0 b) 10x2 + 90 = 0 c) -7x2 + 28 = 0 d) x2 16 = 0

Agora é a sua vez... a) b) c) d) e) f)

x2 121 = 0 2x2 98 = 0 2x2 = -8 4x2 + 100 = 0 5x2 50 = 0 x2 80 = 0

Vejamos agora algumas equações um pouco diferentes. Note que nessas equações temos a incógnita x aparecendo duas vezes! Quando isso acontece, é preciso usar um outro recurso da matemática: a fatoração. Vamos começar relembrando então a fatoração e depois analisando algumas afirmações importantes para entendermos a resolução desse tipo de equação. 1) Fatore o 1º membro das seguintes equações: a) 2x2 + 3x = 0 b) x2 5x = 0

c) -3x2 2x = 0 d) x2 + x = 0

2) Coloque V ou F nas afirmações seguintes: a. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores um deles é 3 e o produto é zero, então, o outro fator é, necessariamente, igual a zero. b. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, um dos fatores é, necessariamente, igual a zero. c. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é cinco, então, um dos fatores pode ser igual a 5. d. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é 5, então, um dos fatores é, necessariamente, igual a 5. e. ( ) Se numa multiplicação de 100 fatores o produto é zero, então, um dos fatores é, necessariamente, igual a zero. f. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, ambos os fatores são, necessariamente, igual a zero. g. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, ambos os fatores podem ser iguais a zero. 3) Considerando os exercícios 1 e 2, encontre quais valores de x satisfazem as seguintes equações: a) -3x = 0 b) x.x = 0 c) 5 (x 1) = 0

d) x (x + 2) = 0 e) 2x (x 5) = 0 f) x (3x + 9) = 0

4) Agora faça o mesmo para as equações do 1º exercício. PROBLEMAS 1) Determinar o lado do quadrado cuja área é numericamente igual ao perímetro. 2) A soma do quadrado de um número não nulo com seu triplo é zero. Que número é esse?

Uma grande descoberta para a Matemática

Com a introdução do zero no mundo da Matemática, equações do 2º grau como esta: x2 = 2x passaram a ser resolvidas corretamente.

Foi no século VI que ocorreu um dos maiores avanços de toda a história da Matemática: a invenção do zero na Índia. Enquanto o zero ainda não era conhecido, equações do 2º grau semelhantes à que acabamos de ver tinham somente uma resposta. No século IX, as obras dos matemáticos hindus traduzidas para a língua árabe, o brilhante matemático árabe alKhowarizmi tomou conhecimento dos fantásticos cálculos realizados na Índia. E qual não foi sua surpresa ao verificar que os hindus faziam todos aqueles cálculos utilizando apenas dez símbolos, por sinal bem estranhos:

Mas a resolução ainda era expressa totalmente em palavras e seguia exatamente estes passos Primeiro os matemáticos subtraíam 2x dos dois membros de equação: x2 2x = 2x 2x x2 2x = 0 Depois fatoravam a expressão do primeiro membro: x . (x 2) = 0 Se o produto de dois números é zero, então um dos fatores é igual a zero, ou os dois simultaneamente são iguais a zero. x=0

Al-Khowarizmi quis logo divulgar para o mundo sua descoberta. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando como aqueles dez símbolos maravilhosos . A partir de então, o zero se incorporou definitivamente ao mundo da Matemática. E a forma de calcular dos homens sofreu uma radical transformação. Assim, o sistema de numeração decimal se impôs sobre todos os outros sistemas de numeração.

x 2=0 x=2

Logo, a resposta é 0 ou 2. Esses dois tipos de equação do 2º grau eram facilmente resolvidos pelos matemáticos de todo o mundo, através de duas propriedades dos números: A operação inversa da potenciação é a radiciação.

x2 = 50

Se b.c = 0, então b = 0 ou c = 0.

x2 = 2x

III - EQUAÇÕES COMPLETAS PROBLEMAS 1) Seu Joaquim comprou um terreno retangular de área igual a 140 m2. Se o comprimento do terreno mede 4 metros a mais que a largura, quais são as dimensões do terreno? 2) O produto de dois números inteiros consecutivos é 156, que números são estes?

A resolução dos dois últimos problemas se traduzem em equações do 2º grau do tipo ax2 + bx + c, ou seja, completa. Estas equações não podem ser resolvidas pelos métodos anteriores. As atividades que seguem têm por objetivos compreender um novo método que possibilita a resolução de equações completas do 2º grau. 1) Atividade a) Destaque a figura da folha anexa e monte com essas 4 peças um quadrado de modo que os dois retângulos tenham um único ponto comum e formem com um dos quadrados uma configuração em forma de L .

b) Calcule a área de cada uma das peças que compõem o quadrado. Escreva cada área no interior de cada peça correspondente. c) Qual é a medida do lado do quadrado formado pelas 4 peças? d) Qual é a expressão que representa a área desse quadrado? e) Escreva, em linguagem simbólica a relação existente entre a área desse quadrado e as áreas das 4 peças que o compõem. f) Aplicando a propriedade distributiva efetue a potenciação (x + 3)2 = g) Compare as respostas de e e f . O que você observa?

2) Para cada potenciação abaixo, faça o seguinte : 1º) desenvolva algebricamente, quando necessário; 2º) faça a correspondência entre cada um dos termos obtidos no desenvolvimento algébrico e a área de cada uma das partes da figura. Anote essas áreas no interior de cada parte. 3º) escreva na figura as medidas dos lados de cada quadrado e de cada retângulo. a) (x + 5)2 =

d) x2 + 12x + 25

b) ( m + 1)2 =

c) (a + 2)2 =

e) y2 + 6y + 4

O que você observou nos itens d e e ?

Como se pode notar, eles não representam quadrados perfeitos.

3)

Fatore os trinômios, que você verificará, através da geometria, se são quadrados perfeitos. a) x2 + 12 + 36

b) x2 + x +

c) x2 + 10x - 39

4) Coloque V ou F nas afirmações seguintes: a. ( ) Todo trinômio é um quadrado perfeito. b. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é suficiente que dois de seus termos representem as áreas de dois quadrados. c. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é suficiente que um de seus termos represente a soma das áreas de dois retângulos congruentes. d. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é necessário que dois de seus termos representem as áreas de dois quadrados e que o outro termo represente a soma das áreas de dois retângulos congruentes. e. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é necessário e suficiente que dois de seus termos representem as áreas de dois quadrados e que o outro termos represente a soma das áreas de dois retângulos congruentes cujos lados tenham medidas iguais dos quadrados. 5) Para cada trinômio, faça o seguinte: 1º) Verifique se é trinômio quadrado perfeito. 2º) Em caso afirmativo, fatore-o. a) b) c) d) e)

y2 + 10y + 25 = p2 + 16p + 64 = b2 + 6 + 5b = m2 + 6m + 16 = x2 + 2x + 1 =

6) Complete cada trinômio quadrado perfeito seguinte e em seguida fatore-o: a) m2 + 18m + ____ =

c) x2 + x + ____ =

b) x2 + 7x + ____ =

d) x2 +

+ ____ =

IV - A FORMA ALGÉBRICA DE COMPLETAR QUADRADOS

Al-jabr: uma fonte preciosa para a resolução de equações

Durante o reinado de Harun al-Raschid califa de Bagdá do ano 786 até 809 , os povos da Península Arábica, abalados por uma grave crise econômica, travaram uma série de guerras de conquista.

Foi assim que o Museu de Alexandria se converteu em premio de guerra ao vencedor, livros escritos em grego foram transportados de Alexandria para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.

Procurando tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, al-Mamum contratou os grandes sábios muçulmanos da época, entre eles alKhowarizmi.

Em 809, Harum al-Raschid foi sucedido por seu filho al-Mamum que, orgulhoso, dizia com toda a convicção.

Foi em Bagdá que al-Khowarizmi escreveu sua grande obra: Hisab al-jabr wa-al-muqabalah.

Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu.

Tecendo grandes elogios a al-Mamum, al-Khowarizmi confessou ter sido o califa quem o encorajara a:

... compor uma breve obra sobre cálculos, restringindo-a ao que os homens constantemente necessitam em casos de heranças, legados, partições, processos legais e comercio, e em todas as suas transações uns com os outros, ou onde se trata de medir terras e escavar canais.

Estudando o Al-jabr A primeira coisa necessária para um estudioso da Álgebra era compreender os quadrados, as raízes e os números assinalados no Al-jabr. Al-Khowarizmi não utilizava nenhum tipo de símbolo. Ao invés de x2, ele escrevia quadrado, no lugar de x, colocava raízes; e por números, entendia os coeficientes das variáveis e os termos independentes. Uma equação do 2º grau, como por exemplo 2x2 = 5x, seria expressa mais ou menos deste modo: Se o quadrado junto a dois é igual a cinco raízes, digam-me, quanto vale uma raiz?

No Al-jabr o livro mais importante de alKhowarizmi , os matemáticos encontraram uma clara exposição de como resolver as equações, especialmente de 2º grau. A palavra Al-jabr que deu origem ao nome álgebra, significa restauração, refere-se á passagem de um termo para o outro lado da equação: 9x + 12 = 6x + 30 9x = 6x + 30 - 12

A palavra muqabalah quer dizer redução ou equilíbrio, e significa o cancelamento de termos semelhantes em lados opostos de uma equação:

9x = 6x + 30 12 9x = 6x + 18 9x 6x = 6x + 18 6x 3x = 0 + 18 x=6

No Al-jabr al-Khowarizmi separou e classificou as equações do 2º grau em vários tipos: Quadrados iguais e raízes x2 = 5x

x2 = 10x

2x2 = 5x

Quadrados e números iguais a raízes x2 + 21 = 10x x2 + 51 = 20x x2 + 50 = 15x Raízes e números iguais a quadrados 3x + 4 = x2 5x + 6 = x2 2x + 35 = x2 Quadrados e raízes iguais a números x2 + 10x = 39

Al-Khowarizmi resolvia as equações utilizando somente palavras, inclusive para expressar os números, e seu método consistia em completar o quadrado

Em p rim e iro lug a r vo c ês d evem p erc e b er q ue so m a nd o o q ua d ra d o c o m d ez ra ízes, va m o s encontrar trinta e nove. Po rta nto , d evem o s d eterm ina r a metade das raízes nesta forma

............

.............

x2 + 10x = 39

(Al-Khowarizmi toma, na

linguagem matemática de hoje, a metade do coeficiente termo em x.)

E m ultip lic a r e sta m eta d e p o r si mesma, o que dá vinte e cinco.

..............

Vinte e c inc o so m a d o ao q ua d ra d o e á s d ez ra ízes resulta sessenta e quatro.

.............. x2 + 10x + 25 =

Co m p re end a m , entã o , q ue o núm ero q ue m ultip lic a nd o p o r si mesmo dá sessenta é o oito.

............... ( x + 5)2 = 64 x+5=

E se d o o ito d im inuirm o s c inc o

............... x = 8 - 5 x=3

Essa equação do 2º grau tem duas raízes: uma positiva e outra negativa. Al-Khowarizmi não conhecia os números negativos. Por isso, seus métodos determinavam somente as raízes positivas e o zero.

64

x+5=8

Mas al-Khowarizmi era um matemático brilhante: ele resolvia uma equação do 2º grau totalmente com palavras, por meio de um método que só seria usado por outros matemáticos anos mais tarde, após a invenção da Álgebra puramente simbólica.

V - COMO RESOLVER GEOMETRICAMENTE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Seja, por exemplo, resolver a equação x2 + 6x

7=0

1º) Verificar se o trinômio dado na equação é um trinômio quadrado perfeito. No caso da equação acima é fácil perceber que não é um trinômio quadrado perfeito uma vez que -7 não representa a área de um quadrado. 2º) Neutralizar o termo independente da equação. Para isso, devemos somar 7 a ambos os membros da equação. x2 + 6x 7 = 0 x2 + 6x 7 + 7 = 0 + 7 x2 + 6x = 7 A expressão x2 + 6x representa a soma das áreas de um quadrado cujo lado mede x, e de dois retângulos cujos lados medem 3 e x. Como nos indica o 2º membro da equação a soma dessas áreas deve ser igual a 7. Representando essas áreas geométricas, temos: x

1º

3

3x

3 3

x

x2 x

3x

x

3

3º) A fim de tornar a figura acima um quadrado perfeito, devemos completá-la com um quadrado cuja área é 9. X 3

2º

3

x

3x

9

x2 x

3x

3

x

3

Como vimos anteriormente, a soma das áreas da figura em forma de L é 7, isto é, x2 + 6x = 7 Acontece que, ao transformarmos essa figura em forma de L num quadrado perfeito, acrescentamos um quadrado cuja área é 9. Desta forma, a área total do quadradão passa a ser 16, isto é, x2 + 6x + 9 = 7 + 9 x2 + 6x + 9 = 16

O lado desse quadradão assim construído mede (x + 3) e a sua área será (x + 3)2. Logo (x + 3)2 = 16. Se a área desse quadradão é 16, concluímos que a medida do lado desse quadradão é 4, pois 42 = 16. Assim: x+3=4 x+3 3=4 3 x=1 Geometricamente o valor de x = 1 representa a medida do lado do quadrado, bem como a medida de um dos lados de cada retângulo da figura 2. Teríamos ainda, para essa equação, uma outra solução ou raiz, para a qual não é possível dar uma interpretação geométrica. Vamos chamá-la de raiz algébrica. Essa raiz surge pelo fato de podermos legitimamente supor que na equação (x + 3)2 = 16 o binômio x + 3 seja igual a -4, valor esse que também satisfaz a equação, pois (-4)2 = 16. Logo se x + 3 = -4, temos: x + 3 3 = -4 3 x = -7 Se quiséssemos resolver a equação de forma puramente algébrica teríamos: x2 + 6x 7 = 0

(equação dada)

x2 + 6x 7 + 7 = 0 + 7

(somando 7 aos dois membros da equação)

x2 + 6x = 7 (equação equivalente à equação dada) x2 + 6x + 9 = 7 + 9 (somando 9 a ambos os membros da equação a fim de completar o quadrado ou afim de tornar a expressão do 1º membro um trinômio quadrado perfeito) x2 + 6x + 9 = 16 (equação equivalente a equação dada) (x + 3)2 = 16 (fatorando o trinômio quadrado perfeito do 1º membro da equação) x + 3 = 4 ou x + 3 = -4 (pois tanto 4 como -4 elevado ao quadrado resultam 16) x + 3 -3 = 4 -3 ou x + 3 -3 = -4 3 (subtraindo 3 de ambos os membros da equação) x = 1 ou x = -7 (raízes da equação dada)

VI - ATIVIDADES 1. Resolva, utilizando o método geométrico, as seguintes equações: a) x2 + 4x

b) m2 + 2m

5=0

24 = 0

c) p2

x2 8x + 7 = 0

b)

x2 2x + 1 = 0

c)

p2 + 3p + 2 = 0

d)

2m2 + 10m + 7 = 0

e)

4y2 20y

f)

ax2 + bx + c = 0

24 = 0

11 = 0

d) x2 + 8x = 0

2. Agora resolva apenas algebricamente as equações:

a)

10p

Ao resolver a equação do item f , você deve ter encontrado dificuldades que podem ser eliminadas se você acompanhar o desenvolvimento dessa equação comparando-a com uma equação numérica como segue:

2x2

..... ax2 + bx + c = 0

5+3=0

a

0

..... x2 -

..... x2 +

=-

..... ..... x-

..... x +

x-

..... x +

x=

..... x =

x=

..... x =

O fato de resolvermos uma equação onde os coeficientes são letras, na verdade nos dá a generalização da resolução de qualquer equação de 2º grau, pois as letras podem ser substituídas por qualquer número, o que formará infinitas equações. Podemos então concluir que as raízes de uma equação são dadas pela seguinte fórmula:

ou

onde

= b2

4ac (discriminante da equação)

Esta é, então, a fórmula que permite resolver qualquer equação do 2º grau com uma incógnita. No Brasil esta formula é conhecida como fórmula de Bháskara. Mas não foi o matemático Bháskara quem a descobriu. Portanto, no mundo todo, ela é conhecida apenas como fórmula resolutiva da equação do 2º grau.

Para que serve o ? Quando o < 0, a equação não tem soluções reais, pois o quadrada, e não existe raiz quadrada de número negativo. Quando

= 0, a solução é

Quando

> 0, as soluções são obtidas pela fórmula:

está dentro da raiz

pois raiz quadrada de 0 é igual a 0.

3. Resolva as equações seguintes, aplicando a fórmula ou outro método que você aprendeu. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

x2 8x + 15 = 0 4x2 12x + 9 = 0 x2 + 3x + 4 = 0 x2 + 8x + 15 = 0 x2 6x + 5 = 0 x2 x 6 = 0 x2 11x + 28 = 0 4x2 4x 3 = 0 x2 + 14x + 49 = 0

j) k) l) m) n)

x2 + 11x 28 = 0 5y2 9y 2 = 0 4t2 20t + 25 = 0 (x 5)2 = 2x (x 5) (2x + 1) 2 = (3x 1).(6x 1)

o) p)

0

4. Com base na atividade anterior, coloque V ou F nas afirmações seguintes: a. ( ) Qualquer equação de 2º grau com uma incógnita sempre possui duas raízes diferentes. b. ( ) Existem equações de 2º grau com uma incógnita que possuem uma única raiz. c. ( ) Existem equações de 2º grau com uma incógnita que não possuem raízes reais. d. ( ) Existem equações de 2º grau com uma incógnita que possuem mais de duas raízes diferentes. e. ( ) Toda vez que o discriminante ( de uma equação de 2º grau com uma incógnita for igual a zero a equação possui uma única raiz real. f. ( ) Toda vez que o discriminante ( ) de uma equação de 2º grau com uma incógnita for maior que zero (isto é, um número positivo) a equação possui duas raízes diferentes. g. ( ) Toda vez que o discriminante ( ) de uma equação de 2º grau com uma incógnita for menor que zero (isto é, um número negativo) a equação não possui raízes reais.

5. Resolva as seguintes equações fracionárias.

a)

g)

b)

h)

c)

i)

d)

j)

e) f)

x+

6. Resolva as seguintes equações literais, na incógnita x, aplicando a fórmula. a) b) c) d) e) f)

x2 x2 6x2 4x2 x2 ax2

8mx + 12m2 = 0 2abx 3a2b2 = 0 13mx + 6m2 = 0 3ax a2 = 0 (a + b) x + ab = 0 mx = 0

g) h) ax2 + 2x = 0 i) x2 2mx + m2 9 = 0 j) x2 + bx + c = 0

7. Agora vamos resolver alguns problemas que podem ser expressos por uma equação do 2º grau: a) A soma do quadrado com o dobro de um mesmo número é igual a 48. Calcule esse número. b) Dados dois números naturais, o maior supera o menor em 5 unidades. Sabendose que o produto deles é 14, determinar os dois números. c) Determine um número tal que o seu quadrado seja igual ao seu dobro d) Determine um número tal que o dobro do seu quadrado seja igual a 200. e) O produto de números inteiros e consecutivos é 156. Quais são esses números.

f) A representação geral de um número par é 2n. Calcule, então, dois números pares naturais e consecutivos cujo produto é igual a 80. g) A representação geral de um número ímpar é 2n + 1. Calcule então, dois números ímpares naturais e consecutivos cujo produto é 323. h) Um terreno de forma retangular tem 300m2. Sabendo que a diferença entre o comprimento e a largura desse terreno é 5m, calcule as medidas desse terreno. i) As medidas dos lados e triângulo retângulo são expressas por 3 números inteiros positivos e consecutivos. Determine as medidas dos lados desse triângulo. j) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm. Sabendo-se que a medida de um cateto supera a do outro em 7 cm, determine as medidas dos catetos desse triângulo. k) A fórmula para determinar o número de diagonais de um polígono é: , onde d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. 1) Qual é o polígono cujo número de diagonais é 5? 2) Qual é o polígono cujo número de diagonais é 35? l) Determine as medidas dos catetos de um triângulo isósceles cuja área mede 169 cm2. (OBS: Um triângulo retângulo é isósceles quando as medidas dos catetos são iguais.)

BIBLIOGRAFIA Imenes, Jakubo, Lellis. Equação do 2º Grau. Ed. Atual Guelli, Oscar. Contando a hist. da Matemática

Eq. 2º Grau. Ed. Atica

Nacarato, A. Miguel, A. Funcia, M. Tópicos do Ensino da Matemática 16 Xis Ed. Ltda. Imenes, Jakubo. Telecurso do 2º Grau. Ed. Globo Jakubo, Lellis. Matemática na Medida Certa

8ª série. Ed. Scipione

Eq. 2º Grau. Delta

FOLHA ANEXA

This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.