UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA DEPARTAMENTO DE QU´ IMICA E EXATAS ´ ´ LIC. EM MATEMATICA COM ENFOQUE EM INFORMATICA ´ ´ CALCULO NUMERICO
I Lista de Exerc´ıcio 1. Enuncie e comente todos os teoremas sobre sequˆencias. 2. Defina formalmente quando uma sequˆencia ´e convergente. ∞ 1 converge para o n´ umero zero. 3. Mostre que a sequˆencia n n=1 4. Para quais valores positivos de b a sequˆencia 0, b, 0, b2 , 0, b3 , 0, b4 , . . . converge? Justifique sua resposta. 5. Determine se a seq¨ uˆencia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. ∞
a) {n(n − 1)}n=1 c)
3 + 5n2 n + n2
e)
(−1)n−1 n 1 + n2
g)
√ √ n+2− n
i)
1 1+ 3n
b)
d)
n+1 3n − 1
√ 1+
n √ n
∞
n=1
f ) {sin(nπ/2)} h) {ln(n + 1) − ln n}
n
j)
2 1+ n
n
˜ SUGESTAO: lim (1 + x)1/x = e x→0
6. Demonstre que se a seq¨ uˆencia {an } ´e convergente e se lim an = L, ent˜ ao a seq¨ uˆencia {|an |} n→+∞
tamb´em converge e lim |an | = L n→+∞
7. Demonstre que se a seq¨ uˆencia {an } ´e convergente e se lim an = L, ent˜ ao a seq¨ uˆencia {a2n } n→+∞
tamb´em converge e lim a2n = L2 n→+∞
8. Discuta a convergˆencia da seq¨ uˆencia an = n!/nn , onde n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n. 9. Determine se a s´erie ´e convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. n−1 ∞ X 2 5 a) 3 n=1 c)
∞ X
n=1
3−n 8n+1
b)
d)
∞ X (−3)n−1 4n n=1
∞ X
n 5+n n=1
1
e)
∞ X (n + 1)2 n(n + 2) n=1
f)
∞ X
ln
n 2n + 5
ln
n 2n + 5
n=1
∞ X (n + 1)2 e) n(n + 2) n=1
f)
∞ X
n=1
10. O que est´ a errado com o seguinte c´alculo? 0 =
0 + 0 + 0 + ···
= =
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ···
= = =
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · 1 + 0 + 0 + 0 + ··· 1.
( Guido Ubaldo pensou que isso provava a existˆencia de DEUS, porque ”alguma coisa tinha sido criado do nada”) P P P 11. Se ambas an e bn s˜ ao divergentes, (an + bn ) ´e necess´ariamente divergente?
12. Determine se a s´erie diverge ou converge. ∞ X
a)
1 2+n+1 n n=1
c)
∞ X 3 n n2 n=1
e)
b)
d)
∞ X
n=1
∞ X n2 + 1 n3 − 1 n=2
f)
∞ X
5 2 + 3n n=1 1
p
∞ X
n(n + 1)(n + 2) sen
n=1
1 n
P P P 13. Se an e bn forem ambas s´eries convergentes com termos positivos, ´e verdade que an bn tamb´em ´e convergente? 14. Teste a convergˆencia ou divergˆencia das s´eries. a)
∞ X n2 − 1 n2 + n n=1
c)
∞ X
ln n (−1)n √ n n=1
e)
∞ X
sin n
n=2
g)
∞ X (−1)n+1 4n2 + 1 n=1
b)
∞ X
1 2+n n n=1 d)
f)
∞ X n n e n=1
∞ X
2n (2n + 1)! n=1 f)
∞ X
n=2
(−1)n
n ln n
2
15. (a)Mostre que
+∞ X
xn /n! converge para todo x.
n=0
(b)Deduza que lim xn /n! = 0 para todo x. n→∞
16. Determine se a s´erie ´e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. a)
∞ X (−1)n+1 √ n n n=1
c)
∞ X (−1)n 5+n n=1
e)
∞ X
1 (2n)! n=2
b)
d)
∞ X (−3)n n3 n=1
∞ X
(−1)n
n=1
f)
∞ X
n 5+n
e−n n!
n=1
DEUS os aben¸coe
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