Sequencia

  • May 2020
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  • Words: 707
  • Pages: 3
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA DEPARTAMENTO DE QU´ IMICA E EXATAS ´ ´ LIC. EM MATEMATICA COM ENFOQUE EM INFORMATICA ´ ´ CALCULO NUMERICO

I Lista de Exerc´ıcio 1. Enuncie e comente todos os teoremas sobre sequˆencias. 2. Defina formalmente quando uma sequˆencia ´e convergente.  ∞ 1 converge para o n´ umero zero. 3. Mostre que a sequˆencia n n=1 4. Para quais valores positivos de b a sequˆencia 0, b, 0, b2 , 0, b3 , 0, b4 , . . . converge? Justifique sua resposta. 5. Determine se a seq¨ uˆencia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. ∞

a) {n(n − 1)}n=1 c)



 3 + 5n2 n + n2

e)



(−1)n−1 n 1 + n2

g)

√ √ n+2− n

i)



1 1+ 3n

b)

d) 



n+1 3n − 1

 √ 1+

n √ n

∞

n=1



f ) {sin(nπ/2)} h) {ln(n + 1) − ln n}

n 

j)



2 1+ n

n 

˜ SUGESTAO: lim (1 + x)1/x = e x→0

6. Demonstre que se a seq¨ uˆencia {an } ´e convergente e se lim an = L, ent˜ ao a seq¨ uˆencia {|an |} n→+∞

tamb´em converge e lim |an | = L n→+∞

7. Demonstre que se a seq¨ uˆencia {an } ´e convergente e se lim an = L, ent˜ ao a seq¨ uˆencia {a2n } n→+∞

tamb´em converge e lim a2n = L2 n→+∞

8. Discuta a convergˆencia da seq¨ uˆencia an = n!/nn , onde n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n. 9. Determine se a s´erie ´e convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.  n−1 ∞ X 2 5 a) 3 n=1 c)

∞ X

n=1

3−n 8n+1

b)

d)

∞ X (−3)n−1 4n n=1

∞ X

n 5+n n=1

1

e)

∞ X (n + 1)2 n(n + 2) n=1

f)

∞ X

ln



n 2n + 5



ln



n 2n + 5



n=1

∞ X (n + 1)2 e) n(n + 2) n=1

f)

∞ X

n=1

10. O que est´ a errado com o seguinte c´alculo? 0 =

0 + 0 + 0 + ···

= =

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ···

= = =

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · 1 + 0 + 0 + 0 + ··· 1.

( Guido Ubaldo pensou que isso provava a existˆencia de DEUS, porque ”alguma coisa tinha sido criado do nada”) P P P 11. Se ambas an e bn s˜ ao divergentes, (an + bn ) ´e necess´ariamente divergente?

12. Determine se a s´erie diverge ou converge. ∞ X

a)

1 2+n+1 n n=1

c)

∞ X 3 n n2 n=1

e)

b)

d)

∞ X

n=1

∞ X n2 + 1 n3 − 1 n=2

f)

∞ X

5 2 + 3n n=1 1

p

∞ X

n(n + 1)(n + 2) sen

n=1

  1 n

P P P 13. Se an e bn forem ambas s´eries convergentes com termos positivos, ´e verdade que an bn tamb´em ´e convergente? 14. Teste a convergˆencia ou divergˆencia das s´eries. a)

∞ X n2 − 1 n2 + n n=1

c)

∞ X

ln n (−1)n √ n n=1

e)

∞ X

sin n

n=2

g)

∞ X (−1)n+1 4n2 + 1 n=1

b)

∞ X

1 2+n n n=1 d)

f)

∞ X n n e n=1

∞ X

2n (2n + 1)! n=1 f)

∞ X

n=2

(−1)n

n ln n

2

15. (a)Mostre que

+∞ X

xn /n! converge para todo x.

n=0

(b)Deduza que lim xn /n! = 0 para todo x. n→∞

16. Determine se a s´erie ´e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. a)

∞ X (−1)n+1 √ n n n=1

c)

∞ X (−1)n 5+n n=1

e)

∞ X

1 (2n)! n=2

b)

d)

∞ X (−3)n n3 n=1

∞ X

(−1)n

n=1

f)

∞ X

n 5+n

e−n n!

n=1

DEUS os aben¸coe

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