Seminar 6

6

Subgrupuri. Subgrupuri normale. Grupuri factor

P. 6.1. Fie (G, ·) un grup, H ≤ G ¸si g ∈ G. Dacˇa |g| = n ¸si g m ∈ H, unde n, m ∈ N∗ , (m, n) = 1, atunci g ∈ H. P. 6.2. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K ≤ G, cu H ≤ K. Arˇatat¸i cˇa [G : H] = [G : K] · [K : H] . P. 6.3. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K, L ≤ G, cu H ≤ K. Arˇatat¸i cˇa [K : H] ≥ [K ∩ L : H ∩ L] . P. 6.4. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K ≤ G. Arˇ atat¸i cˇa [G : K] ≥ [H : H ∩ K] . P. 6.5. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K ≤ G. Arˇ atat¸i cˇa [G : H] · [G : K] ≥ [G : H ∩ K] . P. 6.6. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K ≤ G finite. Arˇatat¸i cˇa |HK| · |H ∩ K| = |H| · |K| . P. 6.7. Fie (X, d) un spat¸iu metric. O funct¸ie bijectivˇa ϕ : X −→ X se nume¸ste izometrie a spat¸iului metric (X, d) dacˇ a ((x)ϕ, (y)ϕ)d = (x, y)d , (∀)x, y ∈ X . a) Arˇ atat¸i cˇ a Izom(X) = {ϕ ∈ SX | ϕ − izometrie} ≤ SX . b) Dacˇ a Y ⊆ X, arˇ atat¸i cˇ a SX (Y ) = {ϕ ∈ Izom(X)| (Y ) = (Y )ϕ} ≤ Izom(X). c) Fie n ∈ N, n ≥ 3, ¸si [A1 A2 . . . An ] un poligon regulat cu n laturi ˆın planul euclidian P. Determinat¸i grupul SP ([A1 A2 . . . An ]). Acest grup se noteazˇa ˆın general cu Dn ¸si se nume¸ste grupul diedral de grad n. P. 6.8. Determinat¸i ordinele grupurilor urmˇ atoare prezentate ˆın termeni de generatori ¸si relat¸ii: a) G = hx, y| x3 = y 2 = (xy)2 = 1i. b) G = hx, y| x3 = y 2 = (xy)3 = 1i. c) G = hx, y| xy 2 = y 3 x, yx3 = x2 yi. P. 6.9. Fie (G, ·) un grup ¸si H ≤ G. Arˇ atat¸i cˇa H E G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)a, b ∈ G :

ab ∈ H ⇐⇒ ba ∈ H .

P. 6.10. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K E G, cu H ∩ K = 1. Arˇatat¸i cˇa hk = kh, (∀)h ∈ H, k ∈ K. P. 6.11. Fie (G, ·) un grup ¸si H ≤ Z(G). Arˇ atat¸i cˇa H E G. ˆIn particular, Z(G) E G. P. 6.12. Fie (G, ·) un grup, G0 = h[a, b]| a, b ∈ Gi subgrupul sˇau comutator ¸si H ≤ G, cu G0 ≤ H. Arˇ atat¸i cˇ a H E G. ˆIn particular, G0 E G. P. 6.13. Fie (G, ·) un grup ¸si G[2] = ha2 | a ∈ Gi. Arˇatat¸i cˇa G[2] E G. P. 6.14. Fie (G, ·) un grup ¸si a ∈ G un element cu proprietatea cˇa a este unicul element de ordin 2 din G. Arˇ atat¸i cˇ a a ∈ Z(G). P. 6.15. Fie (G, ·) un grup ¸si g ∈ G. Arˇ atat¸i cˇa aplicat¸ia ig : G −→ G : x 7−→ g x (= x−1 gx) este un automorfism al grupului G(numit automorfismul interior al grupului G, asociat elementului g). Verificat¸i cˇ a ig · ih = igh ¸si ig−1 = (ig )−1 .

1

P. 6.16. Fie (G, ·) un grup ¸si H ≤ G. Arˇ atat¸i cˇa H x ≤ G. Dacˇa H este abelian(resp. ciclic, generat de x elementul a), atunci H este de asemenea abelian(resp. ciclic, generat de elementul ax ). P. 6.17. Fie Inn(G) := {ig | g ∈ G} mult¸imea automorfismelor interioare. Arˇatat¸i cˇa Inn(G) E Aut(G) ¸si Inn(G) ∼ = G/Z(G). P. 6.18. Fie K un corp ¸si n ∈ N∗ . Fie GLn (K) = {A ∈ Mn (K)| det(A) 6= 0} grupul liniar general de grad n peste corpul K, iar SLn (K) = {A ∈ Mn (K)| det(A) = 1} grupul liniar special de grad n peste corpul K. Arˇ atat¸i cˇ a SLn (K) E GLn (K) ¸si GLn (K)/SLn (K) ∼ = K∗ . P. 6.19. Fie (G, ·) un grup ¸si H E G, cu |G/H| = n. Arˇatat¸i cˇa a) g n ∈ H, (∀)g ∈ G. b) dacˇ a g m ∈ H, unde m ∈ Z, astfel ˆıncˆ at (m, n) = 1, atunci g ∈ H. P. 6.20. Fie (G, ·) un grup ¸si H E G, cu |H| = m, iar n ∈ N∗ , cu (m, n) = 1. Arˇatat¸i cˇa a) dacˇ a x ∈ G are |x| = n, atunci |xH| = n ˆın grupul factor G/H. b) dacˇ a x ∈ G are proprietatea cˇ a |xH| = n ˆın grupul factor G/H, atunci existˇa y ∈ xH, astfel ˆıncˆat |y| = n. P. 6.21. Fie (G, ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G, astfel ˆıncˆat |H| = m, [G : N ] = n, cu m, n ∈ N∗ , (m, n) = 1. Arˇ atat¸i cˇ a H ⊆ N. P. 6.22. Fie (G, ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G, astfel ˆıncˆat |N | = m, [G : H] = n, cu m, n ∈ N∗ , (m, n) = 1. Arˇ atat¸i cˇ a N ⊆ H. P. 6.23. Fie (G, ·) un grup ¸si vid 6= A ⊆ G. Arˇatat¸i cˇa CG (A) E NG (A) ¸si NG (A)/CG (A) este izomorf cu un subgrup al grupului simetric SA al mult¸imii A. T x P. 6.24. Fie (G, ·) un grup, H ≤ G ¸si coreG (H) = H . Arˇatat¸i cˇa x∈G

a) coreG (H) E G ¸si coreG (H) ⊆ H. b) dacˇ a K E G, cu K ⊆ H, atunci K ⊆ coreG (H). c) G/coreG (H) este izomorf cu un subgrup al grupului simetric S(G/H)s al mult¸imii (G/H)s a claselor laterale la stˆ anga ale lui H ˆın G. d) dacˇ a [G : H] = n, atunci [G : coreG (H)] | n!. e) H E G ⇐⇒ H = coreG (H). P. 6.25. Fie (G, ·) un grup finit, p cel mai mic divizor prim al ordinului grupului G ¸si H ≤ G, astfel ˆıncˆ at [G : H] = p. Arˇ atat¸i cˇ a H E G. P. 6.26. Fie (G, ·) un grup. Arˇ atat¸i cˇ a G/G0 este abelian, iar dacˇa H E G, atunci G/H este abelian dacˇ a ¸si numai dacˇ a G0 ≤ H. P. 6.27. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K ≤ G. Comutatorul subgrupurilor H ¸si K este [H, K] = h[h, k]| h ∈ H, k ∈ Ki. Arˇ atat¸i cˇ a a) H E G ⇐⇒ [H, G] ≤ H. b) dacˇ a K E G ¸si K ≤ H ≤ G, atunci H/K ≤ Z(G/K) ⇐⇒ [H, G] ≤ K. P. 6.28. Fie (G, ·) un grup ¸si H ≤ Z(G). Arˇ atat¸i cˇa dacˇa G/H este un grup ciclic, atunci G este abelian. P. 6.29. Fie (G, ·) un grup cu proprietatea cˇ a grupul tuturor automorfismelor Aut(G) este ciclic. Arˇatat¸i cˇ a G este abelian.

2