Seminar 3

3

Operat¸ii binare. Semigrupuri. Monoizi

P. 3.1. Fie (M, ·) un grupoid ˆın care sunt verificate relat¸iile: i) x · x = x, (∀)x ∈ M . ii) (x · y) · z = (y · z) · x, (∀)x, y, z ∈ M . Arˇ atat¸i cˇ a operat¸ia · este comutativˇ a. P. 3.2. Fie (M, ·) un grupoid ˆın care sunt verificate relat¸iile: i) (x · y) · y = x, (∀)x, y ∈ M . ii) x · (x · y) = y, (∀)x, y ∈ M . Arˇ atat¸i cˇ a operat¸ia · este comutativˇ a. P. 3.3. Fie (M, ·) un grupoid ˆın care sunt verificate relat¸iile: i) (x · y) · x = y · x, (∀)x, y ∈ M . ii) (∃)u ∈ M : x · u = x, (∀)x ∈ M . iii) x · x = u, (∀)x ∈ M . Arˇ atat¸i cˇ a |M | = 1. P. 3.4. Fie (M, ·) un grupoid ˆın care sunt verificate relat¸iile: i) (a · b) · (c · d) = (a · c) · (b · d), (∀)a, b, c, d ∈ M . ii) a · a = a, (∀)a ∈ M . Arˇ atat¸i cˇ a a) a · (b · c) = (a · b) · (a · c), (∀)a, b, c ∈ M . b) (a · b) · c = (a · c) · (b · c), (∀)a, b, c ∈ M . c) Dacˇ a ˆın plus operat¸ia admite un element neutru, atunci ea este asociativˇa ¸si comutativˇa. P. 3.5. Fie (M, ·) un grupoid ˆın care sunt verificate relat¸iile: i) a · (a · b) = b, (∀)a, b ∈ M . ii) a · b = b · a, (∀)a, b ∈ M . iii) (a · b) · (c · d) = (a · c) · (b · d), (∀)a, b, c, d ∈ M . Arˇ atat¸i cˇ a a) ((a · b) · c) · d = ((a · d) · c) · b, (∀)a, b, c, d ∈ M . Dacˇ a ˆın plus este verificatˇ a relat¸ia iv) (a · b) · c = a · (b · c) =⇒ a = c arˇ atat¸i cˇ a b) a · a = b · b =⇒ a = b. c) (a · a) · (b · b) = c · c =⇒ a · b = c. Dacˇ a ˆın plus mult¸imea M este finitˇ a, arˇ atat¸i cˇa d) |M | este un numˇ ar impar. P. 3.6. Fie (M, ·) un semigrup cu proprietatea cˇa existˇa un element a ∈ M astfel ˆıncˆat (∀)x ∈ M (∃)y ∈ M : x = a · y · a . Arˇ atat¸i cˇ a (M, ·) este un monoid. P. 3.7. Fie (M, ·, u) un monoid. a) Arˇ atat¸i cˇ a a, b ∈ U (M ) =⇒ a · b ∈ U (M ). b) Dacˇ a existˇ a un element z ∈ M \ {u} care este absorbant la dreapta(i.e., x · z = z, (∀)x ∈ M ), iar u, z sunt singurele elemente idempotente din M , arˇatat¸i cˇa a · b ∈ U (M ) =⇒ a, b ∈ U (M ) . P. 3.8. Pe mult¸imea N∗ a numerelor naturale nenule se considerˇa operat¸ia binarˇa ∗ definitˇa prin m ∗ n = mn

, (∀)m, n ∈ N∗ .

Determinat¸i toate tripletele (m, n, p) ∈ N∗ × N∗ × N∗ cu proprietatea cˇa (m ∗ n) ∗ p = m ∗ (n ∗ p). 1

P. 3.9. Fie a, b, c ∈ Z, b 6= 0. Definim pe Z o operat¸ie binarˇa ∗ prin x ∗ y = axy + b(x + y) + c

, (∀)x, y ∈ Z .

Arˇ atat¸i cˇ a a) (Z, ∗) este semigrup dacˇ a ¸si numai dacˇ a ac + b − b2 = 0. b) (Z, ∗) este monoid dacˇ a ¸si numai dacˇ a ac + b − b2 = 0 ¸si b|c. P. 3.10. Fie n ∈ N∗ un numˇ ar natural nenul ¸si a, b ∈ Z∗ douˇa numere ˆıntregi fixate. Definim pe Zn o operat¸ie binarˇ a ∗ prin \ x b ∗ yb = ax + by , (∀)x, y ∈ Z . Arˇ atat¸i cˇ a a) operat¸ia ∗ este comutativˇ a dacˇ a ¸si numai dacˇa n|a − b. b) operat¸ia ∗ este asociativˇ a dacˇ a ¸si numai dacˇa n|a(a − 1) ¸si n|b(b − 1). c) operat¸ia ∗ admite un element neutru dacˇ a ¸si numai dacˇa ∗ coincide cu operat¸ia de adunare pe Zn . P. 3.11. Fie (M, ·) un semigrup finit cu proprietatea cˇa x, y ∈ M ∧ (∃)a, b ∈ M : x = a · y ∧ y = b · x =⇒ x = y . Arˇ atat¸i cˇ a M cont¸ine cel put¸in un element absorbant la dreapta.

2