Semestr3 Mpf

9 Variaèní poèet

x1.

Histori ký úvod

Variaèní poèet mù¾eme rozdìlit, by» je vzniklá hrani e neostrá, jak z obsahového, tak z histori kého hlediska na dvì èásti: klasi ký a abstraktní. Svým vznikem sahá klasi ký variaèní poèet a¾ do 17. století. Mezi tìmi, kteøí se významnì podíleli na jeho rozpra ování, jmenujme alespoò Leonharda Eulera (1707-1783), Josepha Louise de Lagrangea (1736-1813); zrovna tak je ale mo¾né jmenovat Isaa a Newtona èi bratry Bernoulliovy, pùsobí í bezmála o sto let døíve. Základní úloha klasi kého variaèního poètu je analogi ká problému, který jsme øe¹ili pøi hledání extrémù funk í ví e promìnný h. Ve variaèním poètu v¹ak nehledáme extrém funk e na nìjaké otevøené podmno¾inì R n, ale extrém funk ionálu, zobrazují ího podmno¾inu (ne nutnì koneènìdimenzionálního) vektorového prostoru (pøevá¾nì reálný h funk í) do mno¾iny reálný h èísel. Øe¹ením tohoto problému je pak funk e, na které nabývá funk ionál svého extrému. Metody této partie variaèního poètu jsou èetnì u¾ívány analyti kou me hanikou. Jeden ze zákonù analyti ké me haniky lze zapsat ÆS =R t0: dìj, který se uskuteèní, je harakterizován extremální hodnotou ak e S . De ni e funk ionálu je S = t01 L dt, kde L je tzv. lagrangeián, de novaný

1 L x; y; z; x0(t); y0 (t); z 0 (t); t = m x02 (t) + y02 (t) + z 02 (t) U (x; y; z; t); 2 kde U je poten iální energie v daném bodì a èase [x; y; z; t℄. Jiným pøíkladem je klasi ká úloha o bra histo hronì1, která v této kapitole bude probrána. Podmínka ÆS = 0 nápadnì pøipomíná podmínku pro extrém funk e ví e reálný h promìnný h na otevøené mno¾inì. Klíèový je znak Æ, který bude pøedmìtem na¹eho dal¹ího ¹etøení. Abstraktní variaèní poèet souvisí se jmény Bana ha a Hilberta, kteøí odhlédli od prakti kého u¾ití klasi kého variaèního poètu a vhodným zobe nìním problémù se zaslou¾ili o rozvoj funk ionální analýzy, její¾ je variaèní poèet v jistém smyslu souèástí. x2.

Prostory funk í: Skalární souèin. Norma. Ekvivalen e norem. Cau hyovskost

a konvergen e. Úplnost. Hilbertovy a Bana hovy prostory.

De ni e 1: Skalární souèin Buï V vektorový prostor nad tìlesem reálný h (resp. komplexní h) èísel. Funk i f nazveme skalárním souèinem, pokud f je pozitivnì de nitní bilineární (resp. sesquilineární) forma na V nad tìlesem reálný h

(resp. komplexní h) èísel. Po zn á m ka : Proveïme podrobnì reformula i de ni e (1) pro vektorové prostory nad tìlesem komplexní h èísel. Po¾adujeme, aby souèasnì 1. f byla funk e s de nièním oborem D(f ) = V  V a oborem hodnot R(f )  C , 2. (8x; y; z 2 V )(8; 2 C ) f (x + y; z) = f (x; z) + f (y; z)
| lineárnost v 1. slo¾ e,   3. (8x; y 2 V ) f (x; y) = f (y; x) | antilineárnost ve 2. slo¾ e, 4. (8x 2 V ) x 6= 0 ) f (x; x) > 0
| pozitivní de nitnost. 1 Mezi dvìma body A; B pevnými v prostoru máme natáhnout drátek tak, aby korálek vypu¹tìný z bodu A volnì po drátku klouzají í dorazil do bodu B za nejkrat¹í mo¾ný èas. Pøedpokládáme, ¾e na korálek pùsobí kromì vazbový h sil jen jeho vlastní tíha.

1

 1

1

1

1

1

1

Obr. 1: Okolí bodu (0; 0) o polomìru 1 indukovaná normami k:k1, k:k2, k:k1. Podmínky 2. a 3. se nìkdy souhrnnì nazývají sesquilineárnost. Úmluva: Ve fyzikální h aplika í h bývá zvykem, ¾e funkèní hodnota skalárního souèinu v bodì [x; y℄, tj. f (x; y), je oznaèována struènì (x; y) (v kvantové fyzi e pak braketovým zápisem) hxjyi). Zde budeme skalární souèin oznaèovat (x; y), popø. hx; yi. De ni e 2: Norma Buï X vektorový prostor nad tìlesem komplexní h èísel. Funk i k:k : X

pokud platí zároveò 1. (8x 2 X ) (kxk  0) ^ (kxk = 0 ) x = 0)
, 2. (8 2 C )(8x 2 X )(kxk = jjkxk) a 3. þtrojúhelníková nerovnostÿ (8x; y 2 X )(kx + yk  kxk + kyk). Pøíklad: Èasto se pou¾ívají tyto normy (závislé na volbì báze v X ):

! R nazveme normou na X ,

8x 2 X; x = (x1 ; : : : ; xn ); kxkp =df (Pni=1 jxi jp )1=p pro dané p 2 R  ; p  1 df Pn p = 1 : kxk1 = i=1 jxi j; p P df n x2 ; p = 2 : kxk2 = i=1 i df p = 1 : kxk1 = i=1 max jx j: ;:::;n i

(1) (2) (3)

Úkol 1: Doka¾te z de ni e, ¾e tato zobrazení X ! C

jsou normy. Úkol 2: Doka¾te, ¾e f (x; y) = kx yk je metrika (de ni e byla probrána v minulém semestru) pro ka¾dou normu k:k. De ni e 3: Vektorový normovaný prostor Uspoøádanou dvoji i (A;  ) nazveme vektorový normovaný prostor, pokud A je vektorový prostor a  je norma na A. Obdobnì de nujeme vektorový prostor se skalárním souèinem.

Po zn á m ka : Pøipomeòme si, ¾e v normovaný h prostore h máme pro kladné " a a 2 X pojem okolí de novaný takto: U" (a) = fx 2 X j kx ak < "g. Tato okolí vypadají ov¹em pro rùzné normy rùznì. Na obráz í h jsou znázornìna okolí bodu (0; 0) v E2 s polomìrem 1. Po zn á m ka : Jak je nám známo z minulého roèníku, pomo í okolí je de nována té¾ limita, spojitost i konvergen e. Zopakujme napø. de ni i limity. Buï (X;  ) vektorový normovaný prostor nad C . Buï Y 2 X , y0 2 X ,  : X ! X
a ne h» (9U  (y0 )  D()). Øekneme, ¾e limita  v bodì y0 je Y , pokud (8" > 0)(9Æ > 0) 8y 2 UÆ(y0) ((y) 2 U" (Y )). Po zn á m ka : Eukleidovský prostor En nad R resp. C je s spolu se skalárním souèinem (x; y) = Pn j =1 ;:::;n i;j =1 ij xi yj , kde fij gi=1;:::;n je pozitivnì de nitní mati e, skládají í se z prvkù tìlesa R resp. C , 2

p

vektorovým prostorem se skalárním souèinem. Skalární souèin (x; y) generuje normu kxk = (x; x), a proto (En; k:k) tvoøí normovaný vektorový prostor. Úkol 3: Doka¾te, ¾e platí následují í tvrzení (o konvergen i po slo¾ká h): Ne h» pro ka¾dé i 2 N je j m m xi = (x1i ; : : : ; xm i ) 2 R vùèi libovolné bázi B v R , pak platí: (8j 2 f1; : : : ; mg) (9 lim xi ) , (9 lim xi ). Pøipomenutí: zopakujte si bod 3. v de ni i normy (2). Uka¾te, ¾e naví platí: pokud je splnìna existen e alespoò na jedné stanì, pak je lim(xi ) = (lim x1i ; : : : ; lim xmi ) Tuto rovnost uva¾ujeme opìt vùèi bázi B v R m. Takovou vìtu známe ji¾ z minulého roèníku. Po zn á m ka : Pøipomeòme, ¾e ve tvrzení o konvergen i po slo¾ká h je podstatná koneèná dimenze X , ov¹em pouze v jednom smìru | ve kterém? De ni e 4: Ekvivalen e norem Buï X vektorový prostor, k:k1; k:k2 normy na X . Øekneme, ¾e k:k1 je ekvivalentní k:k2, pokud (9 1 ; 2 2 R + )(8x 2 X )( 1 kxk1  kxk2  2 kxk1 ). Tuto skuteènost zapí¹eme k:k1  k:k2 .

Po zn á m ka : Pokud X je vektorový prostor, pak rela e R = f(1; 2)j1 ; 2 jsou normy na X a 1  2g je rela e ekvivalen e, nebo»: 1. pro re exivnost staèí v de ni i vý¹e polo¾it 1 = 2 = 1, 2. pro symetrii uvá¾it, ¾e pokud k:k1  k:k2, pak existují pøíslu¹ná kladná 1; 2, aby pro ka¾dé x 2 X platilo: 1kxk1  kxk2  2kxk1. Z tì hto nerovností plyne: (1= 2)kxk2  kxk1  (1= 1)kxk2, o¾ bylo dokázat. 3. Tranzitivnost odvodíme struènìji: a  b ) 1 a(x)  b(x)  2a(x) a b  ) d1b(x)  (x)  d2 b(x), proto 1 d1 a(x)  (x)  d2 2 a(x), o¾ znaèí a  . Vìta 1: Ekvivalen e norem na koneènìdimenzionální h prostore h Buï X vektorový prostor nad tìlesem T , buï n 2 N a dimT X = n, pak platí: Je-li a norma na X norma na X , pak a  b.

ab

Dùkaz: Na pøedná¹ e nebyl proveden. Sporem. Ne h» pro ka¾dé > 0 existuje x 2 X , ¾e a(x) > b(x) (zbylý pøípad je analogi ký). Z toho plyne, ¾e pro ka¾dé m 2 N existuje xm 2 X , ¾e a(xm ) > mb(xm). Pro ka¾dé m 2 N a pøíslu¹ná xm polo¾me ym =df a(xxmm) . Platí, ¾e a(ym) = a a(xxmm) = a(x1m) a(xm ) = 1,

o¾ dle vý¹euvedeného znaèí, ¾e 1 a(xm ) > 1 mb(xm) = 1 mb( xm a(xm )) = 1 ma(xm)b xm
= mb(ym); a(xm ) a(xm ) a(xm ) a(xm ) a(xm ) a(xm ) tedy 1 > mb(ym): 1 fe1 ; :::en g  X báze Takto odhadneme b(ym) < m , a proto mlim !1 b(ym) = 0. Jeliko¾ dim X = n, existuje n P X , a proto existují pro ka¾dé m 2 N a ka¾dé i 2 f1; :::; ng èísla fim 2 T , ¾e ym = fim ei . Z øe¹ení úkolu2 i=1 (3) je zøejmé, ¾e lim fim = 0 pro ka¾dé i 2 f1; :::; ng. Z toho (opìt pomo í tvrzení úkolu (3), pou¾itého tentokrát v opaèném smìru a pro jinou normu) plyne, ¾e lim a(ym) = 0, o¾ je spor s tím, ¾e a(ym) = 1 pro ka¾dé m 2 N . Po zn á m ka : Dobøe si v¹imnìme, kdy jsme v dùkazu vìty 1 potøebovali, aby prostor X byl koneèné dimenze. Ukazuje se, ¾e klíèovou vlastností koneènìdimenzionální h prostorù, která zaruèuje platnost vìty 1, je v tomto dùkazu tvrzení o konvergen i po slo¾ká h (viz úkol (3)), které pro tyto prostory platí. Úkol 4: Doka¾te, ¾e platí následují í tvrzení. Pokud ;  jsou ekvivalentní normy na vektorovém prostoru X a platí-li, ¾e f ! a na (X; ), pak f ! a na (X;  ). Návod: pøepi¹te de ni i konvergen e a uka¾te, ¾e 2 Norma, s ní¾ jsme v tomto úkolu poèítali byla z ela obe ná.

3

z de ni e ekvivalen e norem plyne, ¾e okolí, zadaná tìmito rùznými ekvivalentími normami, lze do sebe þvpisovatÿ. Po zn á m ka : Dùsledkem vìty (1) a obsahu úkolu (1) je skuteènost, ¾e doká¾eme-li konvergen i zobrazení na koneènìdimenzionálním prostoru V nad tìlesem T vùèi normì d, pak mù¾eme prohlásit platnost této konvergen e na prostoru V vùèi libovolné normì de nované na tomto prostoru, nebo» tyto normy jsou ekvivalentní. Po zn á m ka : Vyhraïme tyto symboly:  1 R 1 = fxi g1 i=1 j fxi gi=1  R ; `2 =

n

1 X

fxi g1 i=1

i=1



1 jxi j2 < +1 ^ fxi g1 i=1 2 R


o

Pokud zji¹»ujeme, zda je `2 vektorový prostor, potøebujeme prozkoumat pøednì uzavøenost vzhledem ke sèítání (u R 1 je toto triviální). Pou¾ijeme následují í úvahu: !  1 1 1 X X 1 (jxi j jyi j)2  0 ) X 1 1 2 2 jxi jjyi j  2 jxi j + 2 jyi j ; 2 i=1 i=1 i=1 tedy na `2 lze de novat také následují í skalární souèin, který indukuje pøíslu¹nou normu:


fxi g; fyig =df

1 X i=1

jxi jjyi j:

(4)

Proveïte dùkaz, ¾e `2 je uzavøený na sèítání (z de ni e normy indukované tímto skalárním souèinem).

Úkol 5:

De ni e 5: Cau hyovská posloupnost Buï (X;  ) vektorový normovaný prostor. Posloupnost fxi g1i=1, její¾ obor hodnot je podmno¾inou X, nazveme au hyovskou vùèi  , pokud platí: (8" 2 R +)(9m0 2 N )(8m; n  m0)  (xm xn) < ")
. Lemma (konvergen e implikuje au hyovskost): Buï (X;  ) vektorový normovaný prostor nad C , fxmg1m=1 konverguje na (X;  ), pak je fxmg1m=1 au hyovská vùèi  .

buï posloupnost prvkù z X . Pokud xm

Limitu xm oznaème A. Víme, ¾e A 2 X . Buï " > 0; z de ni e konvergen e máme  "    8 2 > 0 (9m0 2 N )(8m  m0 )  (xm A) < 2" : (5) Buï n  m0, pak opìt z konvergen e máme:   (8n  m0 )  (xn A) < 2" : (6) Pro ka¾dé m; n platí, ¾e  (xm xn ) =  (xm A xn + A)   (xm A) +  (xn A); (7) jak plyne z vlastností normy (ovìøte, které v¹e hny vlastnosti byly nutné). Pro m; n > m0 pak dosadíme do výrazu (7) výrazy (5,6). Dostaneme:  (xm xn) < "=2 + "=2 = ", èím¾ je au hyovskost dokázána. Po zn á m ka : Tvrzení obrá ené k tvrzení lemmatu tedy neplatí | na X existuje vùèi  au hyovská posloupnost, která není konvergentní na (X;  ). Sestrojme ji. Uva¾me konvergen i na X = Q (mno¾ina v¹e h ra ionální h èísel) vùèi normì posloupnosti de nované takto:  (x) = jxj pro ka¾dé x 2 Q . De nujme posloupnost xn = [p2:10n℄=10n, kde [x℄ znaèí tzv. elou èást x (èíslo x zaokrouhlené dolù). Obor hodnot takto de nované posoupnosti je jistì podmno¾inou mno¾iny v¹e h ra ionální h èísel. Leh e uká¾ete, ¾e Dùkaz lemmatu:

4

p fxn g je au hyovská. Spoètete-li v¹ak její limitu, zjistíte, ¾e je rovna 2 2= Q . (Pamatujete si je¹tì dùkaz

z gymnázia?)

De ni e 6: Úplný, Bana hùv a Hilbertùv prostor Buï (X; ) metri ký prostor. Øekneme, ¾e (X; ) je úplný, pokud ka¾dá posloupnost na X , která je vùèi  au hyovská, je konvergentní v (X; ) (tj. konverguje k nìjakému a 2 X ). Je-li (X;  ) vektorový normovaný prostor, který je naví úplný, pak jej nazveme Bana hùv. Vektorový prostor se skalárním souèinem (X; f ), který je úplný, nazveme Hilbertùv. Úmluva: Pro  R n ; X = ff

: ! R j f spojitá a omezená na D(f )g oznaème kf k = sup jf (x)j. x2


Pokud X = f :

! R j f 2 C k ( ) ^ (8i 2 f1; : : : ; k g)(f (i) je omezená na ) , polo¾íme kf kk = P sup jDf (x)j, kde jj = k znaèí, ¾e sèítáme pøes v¹e hny  = (1 ; :::; n) 2 N n0 , pro které jest Pjnj=k i=1 i = k , pøièem¾  jjf (x) D f (x) = 1 : x1 : : : xnn Napøíklad 2 2 2 2 f (x) + sup  f (x) + sup  f (x) + sup  f (x) : kf k2 = sup  x 2 2 x x x x x x x x x 

1

1

Po zn á m ka : nerovnosti

`2 ; (x; y) =

P1

i=1 xi yi

"  fx(n) g




2

2

2

1

je Hilbertùv prostor. Dùkaz byl proveden na vièení h. Pomo í

fx(m) g =

1 X i=1

(x(in)

x(im) )2

1=2





 x(jn) x(jm)

 (k ) po slo¾ká h (ka¾dé x(k) je posloupnost): vyberedoká¾eme konvergen i au hyovské posloupnosti x  (j ) 1 me libovolné pevné i a xi j=1 je pak au hyovská posloupnost . Tuto limitu po slo¾ká h oznaèíme  Xi . Pak u¾íváme limitní pøe hody v nerovnoste h; ty mù¾eme ov¹em pou¾ívat pouze pro posloupnosti èísela nikoliv posloupností. Provedeme tedy následují í obrat: pro libovolnou posloupnost fxig1i=1 N oznaèíme xei i=1 þzkrá enouÿ posloupnost (èleny xi pro i > N dode nujeme napø. nulami). (8n 2 N )(8" > 0)(9n0 2 N )(8m; n  n0) èísel

  (m)  (n)  (m) m!1  (n) 

 x

 x Xe e xe e x "  x(n)

 (n)

 (n)  N !1 fX g : Xe ) "  x "  xe  Oba dva limitní pøe hody jsme tedy provádìli s èísly (norma je pro xe jen koneèný souèet) a nikoliv

limitami (nekoneènými souèty). Po zn á m ka : Zva¾me prostory analogi ké k `2 obsahují í funk e na intervalu I místo posloupností: n

X1 = f : I ! R j(f n

spojitá na R ) ^

X2 = f : I !

 Z R R

Z

o

I

f (x)2 dx < +1 ;

f (x)2 dx < +1

se skalárním souèinem 8f; g 2 X hf; gi =df

Z

I

o

f (x)g(x) dx:

(8)

Pokud v tì hto de ni í h pou¾ijeme Riemannùv integrál, uká¾e se, ¾e ani jeden z takto zavedený h prostorù není úplný. To nás povede k zavedení nového integrálu (Lebesgueova), který bude indukovat prostory úplné. Pøíklad: Tvrzení v poznám e doká¾eme snadno protipøíkladem. O limitá h posloupností spojitý h funk í víme, ¾e jsou spojité, pokud posloupnost konverguje stejnomìrnì. Tedy musíme hledat mezi nestejnomìrnì konvergují ími posloupnostmi, napø. gn(x) =df 1=(1 + n2x2 ) na intervalu h 1; 1i nebo fn(x) de novanou pro " = 1=n na obrázku. 5

 f

fn

1

"

"

1

1

1

Obr. 2: Spojité funk e fn(x) a jeji h nespojitá limita

Pokud se zajímáme o prostor X2, staèí seøadit ra ionální èísla na intervalu h0; 1i do posloupnosti an. Funk e fn(x) je pak rovna 1 ve v¹e h bode h a1; a2; : : : ; an a rovna 0 ve v¹e h ostatní h bode h. Limita posloupnosti fn, tedy Diri hletova funk e, jak známo integrabilní není. Po zn á m ka : Zamyslete se nad tím, v jakém smyslu mohou být normy (1,2,3) analogi ké normám v prostore h nespoèetné dimenze. x3.

^ teauxùv diferen iál. Varia e funk ionálu. Abstraktní variaèní poèet: Ga

Eulerova a Lagrangeova nutná podmínka.

De ni e 7: G^ateauxùv diferen iál, druhý G^ateauxùv diferen iál Buïte (X; k:k) vektorový normovaný prostor h 2 X; a 2 X a funk ionál  : X ! R . G^ateauxovým diferen iálem funk ionálu  v bodì a ve smìru h nazveme reálné èíslo G, pokud existuje deriva e d dt [(a + th)℄t=0 a je rovna G. Pro daný funk ionál , daná a; h znaèíme toto G výrazem Æ (a; h) nebo h(a). Zobrazení Æ(a) : X ! R ; h 7! Æ(a; h) 2nazveme varia í funk ionálu  v a. Druhým G^ateauxovým diferen iálem míníme èíslo Æ2 (a; h; h) =df ddt2 [(a + th)℄t=0.

Po zn á m ka : Je-li X = R n , pak Æ(a; h)  d(a; h) a Æ(a; ei) =  (a)=xi:

Vìta 2: Eulerova nutná podmínka pro extrém variovatelného funk ionálu Pro ka¾dý normovaný vektorový prostor (X; k:k), pro ka¾dý funk ionál  : X 7! C a ka¾dé a 2 X platí následují í tvrzení. Pokud
existuje varia e Æ(a) na X a pokud  má v a lokální extrém, pak Æ(a)  0, tj. (8h 2 X ) Æ(a; h) = 0 .

Pro ka¾dé h 2 X de nujme funk i jedné reálné promìnné h (t) = (a + th). Jeliko¾ a je bod extrému  (berme napøíklad minimum), existuje okolí U"(a) takové, ¾e pro v¹e hna d 2 U"(a), tj. pro d splòují í kd ak < ", je (a)  (d): Pro toto "
a libovolné h 2 X potom existuje okolí Vr (0)  R o polomìru r = "=khk, v nìm¾ platí 8t 2 Vr (0) (kthk < "). Vektory d =df a + th pak splòují kd ak = kthk < ", þjsou od a vzdáleny ménì ne¾ o "ÿ, a tím pádem pro nì platí nerovnost: (a)  (d) = (a + th). Pøepí¹eme-li tuto nerovnost pomo í de ni e , dostaneme h (t) > h (0), pro 8t 2 Vr (0) a 8h 2 X , h nabývá minima v t = 0 pro ka¾dé h 2 X . Z pøedpokladu existen e varia e  v a plyne existen e deriva e funk e  v bodì nula, 0h (0). V minulém roèníku byla vyslovena vìta, která praví, ¾e pokud funk e jedné reálné promìnné nabývá v nìkterém bodì oboru hodnot extrému a v odpovídají ím bodì de nièního oboru existuje její deriva e, pak je tato deriva e nulová. Proto pro ka¾dé h 2 X platí 0h (0) = 0. Z de ni e G^ateauxova diferen iálu a funk e h plyne závìr tvrzení vìty (2) pro funk ionál . Po zn á m ka : Dùkaz této vìty byl proveden dùkladnì, aby hom se dùkazy vìt analogi ký h nemuseli pøíli¹ podrobnì zabývat a pøene hali prá i ètenáøi. Dùkaz kopíruje ideu dùkazu analogi ké vìty3 z teorie funk í ví e promìnný h: opìt se provádí restrik e na þpøímkuÿ, a problém se tak pøevádí na vìtu o funk i jedné reálné promìnné. Doposud jsme se v¹ak zajímali pouze o pøímky ve smìre h bázový h vektorù.

Dùkaz:

3 Probrané v minulém semestru.

6

Potí¾e nastanou, pokud budeme htít extrém nalézt a X nebude koneèné dimenze. Axiom výbìru si e zaruèuje existen i báze i v nekoneènìdimenzionálním prostoru, ale rozepsání nekoneènì mnoha (pro ka¾dý prvek báze jedné) podmínek 0h(t) = 0 nebo snad jeji h øe¹ení obe nì není te hni ky v na¹i h mo¾noste h. Proto zde po¾adujeme, aby deriva e byla nulová v ka¾dém smìru. Následují í vìtu formulujme ji¾ struènìji. Vìta 3: Lagrangeova

Ne h» funk ionál  nabývá lokálního minima v a 2 X a ne h» pro ka¾dé h 2 X existuje Æ2 (a; h; h). Potom pro ka¾dé h 2 X je Æ2(a; h; h)  0. Dùkaz: je analogi ký dùkazu vìty pøed hozí, proto jej pøene háváme ètenáøi. Úkol 6: Obdobná vìta platí i pro maximum. Doka¾te pøesnì, jak analogie pro maximum plyne z Lagrangeovy vìty (3). Uvìdomte si, ¾e pokud funk e f nabývá v nìjakém bodì minima, pak funk e f nabývá v tém¾e bodì maxima. x4.

Klasi ký variaèní poèet: Výpoèet varia e typi kého funk ionálu. Eulerovy{

Lagrangeovy rovni e a jeji h první integrály.

Typi ký problém variaèního poètu lze formulovat takto: Ne h» f 2 C 1 (ha; bi  R 2), X = C 1 (ha; bi),
df R b 0 (y) = a f x; y(x); y (x) dx, kde y 2 X , tj. D() = X . Hledáme extrém (resp. maximum nebo minimum) funk ionálu  na X .
Nìkdy bývá
X modi kován dodateènými okrajovými podmínkami:  Xe = y 2 C 1 (ha; bi) y(a) = A & y(b) = B , pro nìjaká A; B 2 C . Tehdy v¹ak Xe není4 vektorovým prostorem právì tehdy, kdy¾ A 6= 0 nebo B 6= 0. Úmluva: Název þtypi ký problémÿ podr¾íme i ní¾e. Pro funk ionál v typi kém problému rezervujme název þtypi ký funk ionálÿ a znaème jej pro danou f symbolem f . Jeliko¾ velmi èato budeme u¾ívat prostoru Xe nad ha; bi pro A = B = 0, rezervujme pro nìj znak C1(ha; bi). Vìta 4: Výpoèet G^ateauxova diferen iálu typi kého funk ionálu Buïte f 2 C 1(ha; bi R 2) : (x; y; z) 7! f (x; y; z), f odpovídají í typi ký funk ionál a x 2 ha; bi; y0; h 2 C 1 (ha; bi). Pak Æf (y0 ; h) =

Z b f

a





f x; y0 (x); y00 (x) h(x) + x; y0 (x); y00 (x) h0 (x) y z

dx:

(9)

Dùkaz: Podstatné bude u¾ití tvrzení þo zámìnì integrálu a deriva eÿ, o nìm¾ se ji¾ mluvilo v pøed hozím semestru (pro funk e dvou promìnný h), a které øádnì doká¾eme v kapitole o Lebesgueovì integrálu. Pøedpoklad vìty (existen e spojitý h par iální h deriva í podle v¹e h promìnný h) je splnìn. Dal¹í vìtou, kterou u¾ijeme, bude vìta o deriva i slo¾ené funk e, èi h ete-li (v algebrai ké verzi), o skládání totální h diferen iálù. U¾itím tì hto dvou tvrzení pøi zvá¾ení x=t = 0 dostaneme pro G^ateauxùv diferen iál dosazením do de ni e: 4 Pak se jedná o a nní prostor.

7

Æf (y0 ; h) =

d f (y0 + th) = d h Z b f x; y0 (x) + th(x); y0 (x) + th0(x)
dxi = 0 t=0 dt a dt  t=0  Z b d 0 0
 = dt f x; y0(x) + th(x); y0(x) + th (x) t=0 dx = a



Z b f 




 x f x; y0 (x) + th(x); y00 (x) + th0 (x) t=0
+ t t=0 a x   

 + f f x; y0 (x) + th(x); y00 (x) + th0 (x) t=0
y0 (x) + th(x) + y t t =0    

 0 f x; y0 (x) + th(x); y00 (x) + th0 (x) t=0
y0 (x) + th0 (x) dx = + f z t t=0  Z b

0 f f 0 0 = x; y0 (x); y0 (x) h(x) + x; y0 (x); y0 (x) h (x) dx: z a y

=

Úmluva: Deriva e funk e f podle první, resp. druhé, resp. tøetí promìnné znaème: fx, resp. fy , resp. fz . Èasto nebudeme uvádìt argument funk e | tehdy míníme argument (x; y0 (x); y00 (x)). Po zn á m ka : Cílem na¹eho sna¾ení bude uvést podmínku, kterou musí splòovat funk e, pokud v ní nabývá klasi ký funk ionál extrému. Podmínka je ve tvaru obyèejné diferen iální rovni e druhého øádu pro tuto funk i. Nalezneme-li její øe¹ení, neznamená to ov¹em, ¾e na nìm typi ký funk ionál nabývá extrému, je to pouze jeden z podezøelý h bodù (nìkdy té¾ nazývaný kriti ký èi sta ionární bod), tedy bod, kde je varia e typi kého funk ionálu nulovou funk í. Vyu¾ijeme samozøejmì vìtu (2). Po zn á m ka : Pouèeni Eulerovou podmínkou
víme, ¾e pokud
y0 2 C 1(ha; bi) je bod extrému variovatelného funk ionálu , pak 8h 2 C1(ha; bi) Æf (y0; h) = 0 . Pro typi ký funk ionál lze tento vztah pøepsat v rovnost: Z b (fy h + fz h0) = 0: (10) a Pou¾ijeme-li integra i per partes, dostaneme podmínku:  Z b  Z b Z b d d b (fy h) + [fz h℄a fz h = fy h dx fz h = a a dx a Z b  d f  h = 0; 8h 2 C1 (ha; bi): (11) = fy dx z a

Kdyby hom se pohybovali na prostore h koneèné dimenze (nikoliv na prostoru spojitý h funk í C1 ) a integrál nahradili skalárním souèinem na tomto prostoru (napø. souèinem generovaným eukleidovskou metrikou), pak by z rovnosti (11) ji¾ plynulo, ¾e: fy dfz = dx = 0. Jedna známá vìta z lineární algebry toti¾ tvrdí, ¾e pro koneènì dimenzionální prostory se skalárním souèinem existuje právì jeden vektor, který je kolmý ke ka¾dému vektoru | nulový vektor. Dal¹í problém ov¹em je, zda vùbe lze fz derivovat podle x. K dùkazu, ¾e tomu tak je, pou¾ijeme dvou následují í h lemmat. Pøíklad: Nepovinnì. Stejným þtrikem s metodou per partesÿ by hom mohli dokázat podmínku postaèují í pro to, aby nalezený kriti ký bod byl minimem (èi maximem). Pokud u¾ijeme Lagrangeovu vìtu (3), mù¾eme ukázat, ¾e minimum nastává, pokud platí 2f > 0: z 2

Vypoèteme nejprve druhý G^ateauxùv diferen iál. Do výsledku vìty (4) znovu dosadíme y0 7! y0 + th a derivujeme podle t v bodì t = 0: 8

d h Z b  f x; y0(x) + th(x); y0 (x) + th0(x)
h(x) + 0 dt a y  i
+ f x; y0 (x) + th(x); y00 (x) + th0 (x) h0 (x) dx = z  Z b Z b
d 0 2 2 0 0 0 2 2 2 = fyy h + fyz hh + fzy h h + fzz (h ) dx = fyy h h fyz + fzz (h ) dx = dx a a  Z b 2 Z b   d  f  02 f + fzz (h0 )2 dx = f = h2 2 (h ) dx: y y dx z a z a fyz znaèí samozøejmì druhou par iální deriva i f nejprve podle y a pak podle z (pøedpokládáme ov¹em zámìnnost). Ve zmiziv¹ím èlenu ètenáø zajisté poznal výraz, který jsme v minulé poznám e prohlásili za nulový v kriti ký h bode h y0 funk ionálu f . Æ2 f (y0 ; h; h) =

Lemma 1: Buï 2 C (ha; bi). Pokud

8h 2 C1 (ha; bi)


Rb

a


(x)h0 (x) dx = 0 , pak (9 2 R )(8x 2 ha; bi)( (x) = ).

Uká¾eme, ¾e staèí volit konstantu jako støední hodnotu na ha; bi, tj. =df b 1 a Rab (x) dx. De nujme H (x) =df Rax () d (x a); (x) je spojitá, a tedy integrál existuje. 1. Uka¾me, ¾e H 2 C1(ha; bi): leh e zjistíme, ¾e H (a) = H (b) = 0. Spoètìme je¹tì deriva i H : H 0 (x) = (x) . Z pøedpokladu o funk i plyne, ¾e je spojitá, a proto H (x) nále¾í do tøídy spojitì diferen ovatelný h funk í. 2. U¾ijeme-li pøedpoklad lemmatu pro funk i H (x) (to,R¾e H splòuje vlastnosti po¾adované v lemmatu bylo ukázáno v prvním bodì dùkazu), dostaneme, ¾e ab (x)H 0 (x) dx = 0. Dosadíme-li za h = H (x), obdr¾íme rovnost Z b (x)( (x) ) dx = 0: (12) a Uvìdomme si ale také, ¾e platí Z b Z b Z b  Z b 1 Z b (x) dx = 0: (13)

( ) dx = (x) dx

dx = (x) dx (b a)
Dùkaz:

a

a

a

b a a

a

Odeèteme-li výrazy (12) a (13) od sebe, získáme nulový výraz, a naví bude platit: 0=

Z a

b

(




) ( ) dx =

Z b

a

(

)2 dx

(14)

Proto¾e je spojitá, znaèí výraz (14) na základì známého tvrzení z teorie Riemannova integrálu, ¾e (8x 2 ha; bi)( (x) = ), o¾ bylo dokázati. Lemma 2: Jsou-li ; 2 C (ha; bi) a pokud

8h 2 C1 (ha; bi)


Rb

a


(x)h(x) + (x)h0 (x) dx = 0 , pak

1. 2 C 1 (ha; bi), 2. (8x 2 ha; bi) (x) = 0 (x)
: Dùkaz: Buï A(x) jedna z primitvní h funk í k (x) na ha; bi, tj. A0 (x) = (x) na ha; bi. U¾itím metody integra e per partes a faktu, ¾e h(a) = h(b) = 0 dostaneme, ¾e: 0=

Z b

a

(h + h0) =

Z b

a

(A0 h + h0) = [Ah℄ba

Z b

a

Ah0 +

Z b

a

h0 =

Z b

a

(

A)h0

(15)

Zjistili jsme, ¾e pro ka¾dé h 2 C1 platí (15). Tím jsme ovìøili
platnost pøedpokladù lemmatu 1. Jeho závìr øíká, ¾e existuje 2 R , ¾e (8x 2 ha; bi) = (x) A(x) . Jeliko¾ A je spojitì diferen ovatelná 9

(nebo» její deriva e  je spojitá dle pøedpokladu), tak i je spojitì diferen ovatelná na ha; bi. Snadno té¾ spoèteme, ¾e 0 (x) = A0 (x) = (x) na ha; bi. Nyní budeme formulovat vìtu se zásadním významem pro tuto kapitolu. Poskytne nám prakti ký prostøedek, jak hledat sta ionární body typi kého funk ionálu. Vìta 5: Eulerova{Lagrangeova rovni e Ne h» f : R 3 ! R je prvek C 1(ha; bi 
R 2), f je typi ký funk ionál
y0 2 C 1 (ha; bi  R 2 ) platí 8h 2 C1 (ha; bi) Æ(y0 ; h) = 0 , pak

na C (ha; bi  R 2). Jestli¾e pro

1. existuje deriva e

d  f x; y0(x); y0 (x)
 0 dx z 2. a pro y0 platí tzv. Eulerova{Lagrangeova rovni e: d fy dx fz = 0: Dùkaz: Staèí u¾ít lemmatu 2 pro funk e:
f f x; y0 (x); y00 (x) y
f df x; y0 (x); y00 (x) : (x) = z

df (x) =

(16) (17) (18) (19)

Po zn á m ka : Uva¾me dva spe iální pøípady funk e f , úz e souvisejí í s fyzikální problematikou. Vìty nebudou formulovány z ela pre iznì. Pokud si ètenáø nebude jist jeji h významem, doporuèujeme mu, aby si tvrzení pøeformuloval pøesnìji | viz poznámku za následují ími dvìma vìtami. Vìta 6: 1. integrál Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pro f = f (x; z ) Eulerova{Lagrangeova rovni e pro funk i f (x; z) je tvaru:
f x; y0 (x); y00 (x) = konst: z

Staèí dosadit f (x; z) do Eulerovy{Lagrangeovy rovni e a uvá¾it, ¾e fy = 0. Vìta 7: 1. integrál Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pro f = f (y; z ) Eulerova{Lagrangeova rovni e pro funk i f (y; z) je tvaru: f y0 fz = konst:

(20)

Dùkaz:

(21)

Zkoumejme deriva i rovnosti (21) pro y = y0 s ohledem na f=x = 0. d f y0 f  = f y0 + f y00 y00 f y0 d f = 0 dx z dx z y=y0 y 0 z 0 0 z   f d f 0 = y0 y dx z = 0; jak plyne z obe né vìty (5). Po zn á m ka : Uvìdomte si, ¾e vìty tvrdí toto: Splòuje-li funk e y0 Eulerovu{Lagrangeovu rovni i, pak splòuje rovni i jejího prvního integrálu. Obrá ené tvrzení v¹ak obe nì neplatí. Na závìr tohoto paragrafu uká¾eme, jak s pomo í Eulerovy{Lagrangeovy rovni e øe¹it klasi ký problém bra histo hrony. Zopakujme zadání:

Dùkaz:

10

Pøíklad: Mezi dvìma body A, B v rùzné vý¹ e (A je vý¹e) je nata¾en drátek, po nìm¾ mù¾e volnì klouzat hmotný korálek. Jaký má mít drátek tvar, aby korálek pouze pùsobením tíhy sklouzl z A do B za nejkrat¹í mo¾ný èas? Tvar drátku popí¹eme funk í y(x) na h0; bi, pøièem¾ y(0) = 0 a y(a) = b. Skuteènost, ¾e tvar lze popsat funk í (drátek nevytváøí smyèku, ale ani není v ¾ádném úseku rovnobì¾ný s osou y) vezmeme jako þpøijatelný pøedpokladÿ | viz obrázek. Nejprve potøebujeme získat funk ionál T , který udává èas, za který korálek sklouzne, má-li drátek tvar podle y(x). Aby hom nemuseli vy házet pøímo z pohybový h rovni pro korálek, pokusíme se pøi výpoètu vyu¾ít zákon za hování energie. Oznaèíme-li m hmotnost korálku, v(x) jeho ry hlost v bodì [x; y(x)℄ a g tíhové zry hlení, pak platí mv2(x)=2 = mgy(x). Dále pou¾ijeme nìkolik úprav, které se dùsledný ètenáø mù¾e pokusit pre izovat, my se v¹ak spokojíme s náznakem my¹lenky. Oznaème t(x) èas, za nìj¾ dosáhne korálek bodu [x; y(x)℄, s(x) dráhu od poèátku do [x; y(x)℄, tedy délku pøíslu¹né èásti køivky y.   Z a d t(x) d t ds dt ds(x) ds(x) 1 ds(x) 1 T (y) = dx; dx = dx ds = dx = dt v (x): dt 0 dx Pro délku køivky platí vztah Z xq  2 d s(x) q  0 2 0 1 + y () d; dx = 1 + y (x) ; s(x) = 0 a tím pádem q Z a 1 + y0(x)2 p dx: T (y) = 2gy(x) 0 Vidíme, ¾e T (y) není expli itnì závislý na x, tedy pro nalezení kriti ký h bodù lze pou¾ít vìty (7). Jednodu¹¹í tvar diferen iální rovni e ov¹em poskytuje vìta (6), pro její¾ pou¾ití lze T (y) upravit zámìnou závislé a nezávislé promìnné. Budi¾ tedy dále y nezávislá promìnná a x = x(y) | bereme-li toto jako substitu i, dostáváme q

q

p2 Z a  0 2 1 + 1Æx0(y)2 0 x (y) + 1 + 1: p2gy p2gy dy; f (x; z ) = pz 2gx T (x) = x (y) dy = 0 0 Podle vìty (6) (nene hte se zmást zmìnou písmen | x je v této vìtì nezávislá promìnná, podle ní¾ se integruje) nyní máme najít øe¹ení rovni e (k je konstanta): Z a

f z

z

tj. k22gx 1 + (x0 )2
= (x0 )2 ; po úpravì   (x0 )2 1 2x = 2x ; = 4k12g : Dosazením se mù¾eme pøesvìdèit (proveïte), ¾e øe¹ení této rovni e pro házejí í bodem [0; 0℄ v parametri kém tvaru je x( ) = ( sin  ); y( ) = (1 os  ): Konstantu (pota¾mo k) nastavíme tak, aby øe¹ení pro házelo kon ovým bodem B (je ov¹em je¹tì tøeba nalézt takové  2 (0; ), ¾e x( ) = a; y( ) = b. Celkem vzato, elý postup takto není proveden pøíli¹ peèlivì, ale doufáme, ¾e o to názornìji; nalezli jsme napøíklad pouze kriti ký bod, o nìm¾ je¹tì nevíme, zda je extrémem, nato¾ pak minimem. k=

x5.

=p

; 2gx(1 + z2)

Aplika e variaèního poètu: analyti ká me hanika

Veli e u¾iteèným prin ipem analyti ké me haniky je Hamiltonùv prin ip nejmen¹í ak e. Tento prin ip (plynou í z d'Alembertova prin ipu, který je dùsledkem Newtonový h zákonù pohybu) je velmi obe ný a má znaèný rozsah u¾ití. Umo¾òuje takøíkají me hani ky øe¹it velmi rùznorodé fyzikální problémy. Známeli poten iální U a kineti kou energii T hmotného bodu, vyjádøenou v daný h zobe nìný h souøadni í h, 11

zobe nìný h ry hloste h5 a èase q1; : : : ; qn; q_1; : : : ; q_n; t, de nujeme tzv. lagrangeián L = T U . Nám bude staèit vìdìt, ¾e obvykle L
2 C 1 (R 7). Hamiltonùv prin ip øíká, ¾e funk ionál S (zvaný ak e), de novaný RB S (q) = A L t; qi (t); q_i (t) dt a pøiøazují í ka¾dé trajektorii q(t) reálné èíslo, je pro realizovaný pohyb sta ionární. Realizována je jen ta trajektorie, je¾ odpovídá sta ionární hodnotì ak e. Tuto podmínku lze pomo í na¹eho formalizmu zapsat: ÆS = 0. Jeliko¾ S je typi ký funk ionál pro funk i L, plyne z podmínky sta ionárnosti, ¾e lagrangeián L splòuje tzv. Lagrangeovu rovni i 2. druhu, v ní¾ poznáváme Euler{Lagrangeovu rovni i: d  L  L = 0: (22) dt  q_i qi Pomo í lagrangeiánu lze de novat známé pojmy Newtonovy me haniky: 1. pi = L= q_i se nazývá kovektor hybnosti (zobe nìná hybnost), 2. fi = L=qi se nazývá kovektor síly (zobe nìná síla), 3. E (t; q; q_) = Pni=1 q_i pi L se nazývá zobe nìná energie. Ne h» nadále index znaèí pøíslu¹nou par iální deriva i. Buï h 2 C1(ha; bi) a qi = hei (tedy qi = hÆji ). Ve fyzi e bývá zvykem psát následují í øetìze vztahù: Z



Z

Z

Z

(Lqi h + Lq_i h0) dt = Lqi h + Lq_i h0 = Z Z Z d d b = Lqi h + [Lq_i h℄a dx Lq_i h = (Lqi dx Lq_i )h = 0: Polo¾íme-li integrand rovný nule, dostaneme Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pro ak i èi, h ete-li, Lagrangeovy rovni e druhého druhu (i probíhá hodnoty 1; : : : ; n). Zmiòme je¹tì zákony za hování a první integrály Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pro jednodu host pøi n = 1. 1. Ne h» lagrangeián nezávisí na èase, tj. L = L(q; q_). První integrál Eulerovy{Lagrangeovy rovni e dle vìty (7) je: L(q; q_) qL _ q_ (q; q_) = konst. Dosadíme-li do této rovni e, obdr¾íme po deriva i levé strany podle t: d (L q:p _ )= dt = 0. Dle de ni e energie E dostáváme: E = konst., tedy zákon za hování energie. 2. Pokud lagrangeián nezávisí na zobe nìné souøadni i q, pak dle vìty (6) získáme následují í rovni i: dLq_ = dt = 0. Tato rovnost podle pøed hozí h de ni znaèí: dp= dt = 0, tedy p = konst. Získali jsme zákon za hování hybnosti. ÆSh (q) = Æ

L(t; qi (t); q_i (t)) q=hei dt =

5 q_(t) df = dq(t)= dt

12



 J

I

Obr. 3: Interval v R 2 a jeho dìlení

Obr. 4: Elementární funk e nad intervalem v R 10 Lebesgueùv integrál

V minulém semestru jsme rozvinuli teorii funk í ví e promìnný h. De novali jsme u ni h pojmy ví e èi ménì analogi ké pojmùm vztahují ím se k funk ím jedné promìnné | okolí, limitu, deriva i, nauèili jsme se poèítat par iální deriva e, gradient, rozvíjet tyto funk e v Taylorovy øady. Integrovat je zatím korektnì neumíme. Mohli by hom tedy roz¹íøit na¹e de ni e z kapitoly o Riemannovì integrálu do ví e dimenzí. Byla by to ale prá e z ela formální a nièím nová a pøinesla by také jen malý u¾itek. Mno¾ina riemannovsky integrovatelný h funk í je toti¾ relativnì malá, a o je podstatné, netvoøí úplný metri ký prostor | tuto vlastnost budou zanedlouho po integrálu po¾adovat fyzikové. Proto vybudujeme integrál nový | tzv. Lebesgueùv.

De ni e 8: Interval v R n a jeho èásti Intervalem I v R n nazveme mno¾inu (a1; b1i (a2 ; b2i : : :  (an; bni; ai < bi. Stìnou intervalu I nazveme mno¾inu (a1 ; b1i  (a2; b2i  : : :  fbig  : : :  (an; bni, pøièem¾ Q jednobodová mno¾ina se v kartézském souèinu vyskytuje právì jednou. Objem intervalu de nujeme V = i (bi ai). Dìlení intervalu I je takový systém disjunktní h intervalù, jeji h¾ sjedno ením je elý I a mno¾iny jeji h krajní h bodù v i-té slo¾ e tvoøí dìlení intervalu (ai ; bi) ve smyslu de ni e dìlení pro jednorozmìrný Riemannùv integrál. Zjemnìním

dìlení intervalu rozumíme dìlení, jeho¾ v¹e hna slo¾ková dìlení zjemòují slo¾ková dìlení pùvodního dìlení. Dìlení intervalu J  I je roz¹íøením dìlení intervalu I , mají-li obì dìlení stejné krajní body. Pøíklad: V R 2 je interval obdélník a dìlení intervalu þètver ová sí»ÿ, viz obrázek. x1.

Prostor s hodovitý h funk í: elementární funk e a jeji h vlastnosti

De ni e 9: S hodovitá funk e Funk e f : R n ! R se nazývá s hodovitá (té¾ elementární nebo jednodu há)6, pokud existují interval I ,

6 Ètenáø se mù¾e setkat i s jinou de ni í jednodu hé funk e, a» u¾ v rám i jiné metody budování Lebesgueova integrálu, nebo pøi výstavbì jiný h integrálù.

13

jeho dìlení Ij a èísla fj 2 R ; j = 1; : : : ; N taková, ¾e f

=

N X i=1

fj Ij :

Zde Ij oznaèuje harakteristi kou funk i intervalu Ij . Tato funk e je rovna jedné na tomto intervalu a nule v¹ude jinde. Mno¾inu v¹e h s hodovitý h funk í oznaèíme H . Integrál ze s hodovité funk e de nujeme pøirozeným vztahem Z N X f = fj V (Ij ): I

i=1

Po zn á m ka : Roz¹íøíme-li dìlení z intervalu I na vìt¹í interval J , integrál se nezmìní, proto¾e funk e je na mno¾inì J n I nulová (jsou zde nulové harakteristi ké funk e Ij ). Ani pøi zjemnìní se integrál nezmìní, jak ka¾dý hned vidí. Integrál tedy nezávisí na volbì dìlení | pro dvì rùzná dìlení staèí uva¾ovat jeji h spoleèné zjemnìní. Vìta 8: O struktuøe mno¾iny H 1. Mno¾ina H je vektorový prostor. 2. Jestli¾e f 2 HR , pak jf j 2 H . R 3. (8f; g 2 H ) (f + g)
=  Rf + R g

. 4. (8f 2 H ) (8x) f (x)  0 7 ) ( f  0) : 5. Buï ffk g11 posloupnost funk í z H , (8x)(fk (x) & 0)8, pak R fk ! 0. Dùkaz: První ètyøi tvrzení této vìty jsou natolik jednodu há, ¾e je ètenáø

po konfronta i s de ni í jistì prohlásí za zøejmá. Páté tvrzení je naproti tomu netriviální a jeho dùkaz bude vy¾adovat tro hu opatrnìj¹í uva¾ování. Oznaème I interval, mimo nìj¾ je f1 = 0. Z monotonie konvergen e plyne, ¾e ¾ádná z funk í fk nemù¾e mimo tento interval nabývat nenulový h hodnot. Dále oznaème Ijk dìlení intervalu I taková, ¾e na ka¾dém podintervalu Ijk je fk konstantní (jedná se o dìlení u¾itá v de ni i s hodovité funk e). Ka¾dému takovému dìlení pøíslu¹í koneèná mno¾ina stìn S k (zaøaïme tam i vnìj¹í stìny intervalu I ). Sjedno ení v¹e h S k pro k 2 N oznaèíme Z . Mno¾ina Z je zjevnì spoèetná (obsahuje spoèetnì mnoho stìn). Nejprve uva¾me, ¾e libovolnou stìnu je mo¾né pro libovolnì malé " pokrýt intervalem K , jeho¾ objem bude men¹í9 ne¾ ". Kdy¾ potom seøadíme prvky spoèetné mno¾iny Z do posloupnosti indexované pøirozenými èísly poèínaje jednièkou a i-tý èlen pokryjeme intervalem o objemu V (Ki) < 2"i , podaøí se nám tak pokrýt elé Z systémem intervalù o elkovém objemu men¹ím ne¾ libovolné kladné " = Pi "=2i. Nyní obra»me na¹i pozornost k zatím nepokrytému zbytku. Ne h» " je pevné, Ki je spoèetný systém intervalù pokrývají í h dohromady stìny, pro nìj¾ platí V (S Ki ) < ". Ka¾dá z mno¾in I n S k je otevøená (I n Z obe nì není) a fk je na ní spojitá. Pro ka¾dé x 2 I n Z existuje k0(x) takové, ¾e fk0 (x) < " (nerovnost samozøejmì díky monotonii platí i pro ka¾dé k > k0 (x)). Díky spojitosti existuje taková otevøená mno¾ina Jx  I n S k0 (x), na ní¾ je funk e fk0 konstantní, tedy men¹í ne¾ ". Intervaly Jx a Ki tvoøí otevøené (ne nutnì spoèetné) pokrytí kompaktní mno¾iny I. Z tohoto pokrytí lze vybrat spoèetné 10 a ze spoèetného na základì Borelovy vìty koneèné fJx ; : : : ; Jx ; Ki ; : : : ; Ki g. Mno¾inám Jx a¾ Jx m 1 p 1 m 1 pøíslu¹í èísla k0(x1 ) a¾ k0 (xm), jeji h¾ maximum oznaèíme N . Pro ka¾dé x 2 I n Z je hN (x) < ", mù¾eme tedy integrál z hn pro n  N omezit nerovností Z Z hn (x)  hN (x) < "V (I ) + "M; 7 V dal¹ím textu budeme pou¾ívat zkrá eného zápisu f  0 8 Monotónní konvergen e: (lim fk = 0) ^ (8k)(fk+1  fk )
9 Stìnu (a1 ; b1 i  : : :  f i g  : : :  (an ; bn i vlo¾íme do kvádru (a1 ; b1 i  : : :  (an ; bn i, v nìm¾ i 2 (ai ; bi ) a bi ai < "=(b1 a1 ) : : : (bi 1 ai 1 )(bi+1 ai+1 ) : : : (bn an ). 10 To jsme zatím nedokázali. Nepovinnì: tvrzení souvisí s existen í spoèetné husté podmno¾iny Rn , o¾ mù¾e být napøíklad

Q n , pomo í ní¾ mù¾eme sestrojit spoèetnou tzv. bázi otevøený h mno¾in. To je systém, z nìho¾ lze pomo í opera e sjedno ení

vygenerovat libovolnou otevøenou mno¾inu. Nejsnaz¹í je konstruk e takové báze jako¾to mno¾iny v¹e h otevøený h koulí s ra ionálním polomìrem a støedem v oné spoèetné husté podmno¾inì. Máme-li pak nìjaké otevøené pokrytí, mù¾eme ka¾dou z mno¾in rozvinout podle této báze a obdr¾et tak elé pokrytí zapsané jako sjedno ení nìjaké podmno¾iny báze, která je spoèetná.

14

kde M je maximum funk e f1. Po zn á m ka : V dal¹í h dùkaze h budeme vyu¾ívat pouze výsledkù této vìty a vlastností integrálu z jednodu hé funk e jako¾to zobrazení H ! R . Tím dosáhneme urèité nezávislosti na¹eho integrálu na volbì konkrétní de ni e jednodu hé funk e. Ètenáø zajímají í se o danou problematiku pak bude mo i vybudovanou teorii snadno u¾ít i ke studiu jiný h integrálù. x2.

Mno¾iny míry nula: vlastnosti platné skoro v¹ude

Integrál na kon i pøed hozího dùkazu je omezen souètem dvou èlenù. První z ni h po hází z vy¹etøování hování funk e na mno¾inì jen nepatrnì se li¹í í od elého intervalu I , zatím o pøi urèování druhého jsme s funk í vùbe nepra ovali. Mno¾ina stìn je v nìjakém smyslu malá, k hování funk e zde je mo¾né nepøihlí¾et, ani¾ by hom tím zmìnili hodnotu integrálu. Pojem þmaláÿ by hom htìli matemati ky zpøesnit. Jak vidno z pøed hozího dùkazu, mno¾iny s dimenzí men¹í ne¾ n malé jsou, dokon e i spoèetné sjedno ení takový h mno¾in je malé. To znamená, ¾e vezmeme-li za body dìlení ve v¹e h slo¾ká h ra ionální èísla, dostaneme také malou mno¾inu, a to i pøesto, ¾e bude tato mno¾ina hustá (v I n Z nezbyde ¾ádné okolí) a bude mít þstejnou mohutnostÿ jako elý prostor. Budeme tedy muset najít nìjaký ra novaný postup, jak se vypoøádat i s takovýmito zákeønostmi. Ve zmiòovaném dùkazu jsme pokrývali mno¾inu Z intervaly Ki, které mohly mít libovolnì malý objem. Objem intervalu mù¾eme zapsat pomo í jeho harakteristi ké funk e, která je zjevnì s hodovitá, tedy, aby byl objem sjedno ení jako R Ki . Objem sjedno ení mù¾eme omezit souètem objemù,P h eme-li men¹í èi roven libovolnému kladnému ", staèí, aby (8k 2 N ) k1 R Ki < "
. Funk e hk  Pk1 Ki jsou s hodovité, tvoøí neklesají í posloupnost a jeji h limita pro k ! 1 (která je zároveò i jeji h supremem) je v ka¾dém bodì Z vìt¹í nebo rovna jedné, proto¾e v ka¾dém bodì je alespoò jedna Ki = 1. Tyto úvahy nyní zobe níme formou de ni e. De ni e 10: Mno¾ina míry nula Øekneme, ¾e Z je mno¾ina míry nula, právì kdy¾ (8" > 0)

1. 0  h1  h2  : : :  hk  : : : 2. (8k 2 N )(R hk < ")
3. (8x 2 Z ) sup hk (x)  1




9fhk g1 1 2 H splòují í:

k2N

Vìta 9: Spoèetné sjedno ení mno¾in míry nula

Sjedno ení spoèetnì mnoha mno¾in míry nula je mno¾ina míry nula. Dùkaz: Seøaïme mno¾iny Mi míry nula do posloupnosti a sestrojme ke ka¾dé Mi funk e hij splòují í po¾adavky de ni e, konkrétnì pro pevné i budeme po¾adovat (8j 2 N )(R hij < 2"i ).

F1  M1  h12  h13 


! F2  M2  h22  h23 


! ...  ...  h33 


!  M3 volme funk e H jako¾to maNa základì naznaèenéhoF3 s hématu j

h11 h21

xima z funk í uzavøený h v plnì vyznaèený h obdélní í h, tedy Hj = 1max h . Zároveò jsou to maxima ij ij pøes èárkované ètver e (vyznaèili jsme jen jeden). Integrál z maxima k nezáporný h funk í je men¹í nebo roven integrálu z jeji h souètu (rozmyslete) tedy R Hj < ". Jeliko¾ posloupnost fHj g11 je neklesají í a platí i sup Hj  sup hij  1 (pokud x 2 Mj , pak hij (x) ! Fj (x)  1), splòuje tato posloupnost po¾adavky v de ni i mno¾iny míry nula. De ni e 11: Platnost skoro v¹ude

Øekneme, ¾e urèitá vlastnost platí skoro v¹ude (s.v.), platí-li na R n n Z , kde Z je mno¾ina míry nula. Oznaèení: Oznaème kladnou èást funk e  symbolem +  maxf; 0g, zápornou èást   15

maxf

; 0g. Zjevnì jsou to nezáporné funk e a  lze psát jako + 

.

Vìta 10: Vlastnosti s hodovitý h funk í Ne h» h; k; fhig11 2 H . Pak

1. 2. 3. 4. 5. 6.

maxfh; kg; minfh; kg 2 H R

R

hk) h k R R h  jhj R hi & 0 s.v. ) lim hi = 0 R R h = k s.v. ) h = k R R h  k s.v. ) h  k

Dùkaz:

1. 2. 3. 4.

Rozepí¹eme maxfh; kg = 21 [jh kj + h + k℄ a pou¾ijeme vìtu (8), minfh; kg = maxf h; kg. Platí k h  0, tedy podle vìty (8) R (k h)  0 a opìt dle vìty (8) R k  R h. Plyne z ( h  jhj) ^ (h  jhj) a pøed hozího bodu. Ne h» je nejprve hi  0 nerostou í v¹ude, tedy lim R hi  0 a dále lim hi = 0 skoro v¹ude. Oznaème Z inkriminovanou mno¾inu míry nula. Dále oznaème M  max h
1. Dle de ni e 9fki g11 2 H
R nezáporná neklesají í, ¾e (8i) ki < "=M , (8x 2 Z ) sup ki (x)  1 . Tedy funk e hi Mki tvoøí nerostou í posloupnost. O této posloupnosti tvrdíme, ¾e lim(hi Mki)  0. To je jistì pravda, nebo» pro body z R n n Z jde hi do nuly a Mki  0 a pro body ze Z je pro v¹e hna i od urèitého indexu vý¹e Mki  M , tedy vìt¹í nebo rovno ne¾ jakákoliv z funk í hi kdekoliv. Pomo í posledního bodu vìty (8) mù¾eme usoudit, ¾e lim (

h i!1 i

Mki )+ = 0 )

Z

lim (hi

i!1

Mki )+ = 0 )

Z

lim (hi

i!1

Mki )  0;

odkud roztr¾ením integrálu na dva èleny plyne lim R hi  M M" = ". K dùkazu obe nìj¹í verze budeme potøebovat tvrzení následují í h bodù, proto napøed doká¾eme je. 5. De nujme konstantní posloupnost funk í fjk hjg11 . Je to posloupnost nerostou í a nezáporná a dle pøedpokladu jk hj = 0Rs.v. Mù¾eme na ni tedy pou¾ít slab¹í verzi pøed hozího bodu, kterou R R (k h)  jk hj = 0, èili jsme ji¾ dokázali, podle ní¾ j k h j = 0. Podle bodu 3 této vìty R R k = h. R 6. Podle pøedpokladù jk hj R= k h s.v.,R zároveò dle vìty (8) j k h j  0 ) jk hj  0. U¾itím R R pøed hozího bodu pak 0  jk hj = (k h) = k h. 7. Nyní se vrátíme k obe né verzi bodu 4. Ne h» existuje mno¾ina Z míry nula taková, ¾e (8x 2 + + R n n Z )(hi & 0). De nujme novou posloupnost fe hi g1 i 1 ; hi g Pro 1 vztahy eh1 = h1 , hei = minfhg tuto posloupnost platíR pøedpoklady slab¹í verze bodu 4, nebo» je nerostou í a má nulovou limitu R e e skoro v¹ude, tedy lim hi = 0. Naví ov¹em hi = hi s.v., o¾ podle bodu 5 znamená, ¾e lim hi = 0. x3.

Systém lebesgueovsky integrovatelný h nezáporný h funk í: vìty o

limitní h pøe hode h

De ni e 12: Systém L+ Øekneme, ¾e f : R n ! R 

nále¾í do L+ (systém lebesgueovsky integrovatelný h nezáporný h funk í), právì kdy¾ existuje posloupnost nezáporný h s hodovitý h hi % f s.v. a (9K 2 R )(R hi  K ). Pro takovou funk i de nujeme horní Lebesgueùv integrál (L)

Z

f = lim

16

Z

hi

Po zn á m ka : Systém L+ je podmno¾inou systému M + mìøitelný h nezáporný h funk í, který má obdobnou de ni i, ale hybí v ní po¾adavek omezenosti. Vìta 11: Vlastnosti funk í z L+ Ne h» f; g 2 L+. Pak

1. f  g ) R f  R g 2. f = g ) R f = R g 3. R f nezávisí na volbì posloupnosti fhig11 . 4. f je koneèná s.v. 5. ; 2 R +0 ) f + g 2 L+ 6. minff; gg, maxff; gg 2 L+ Po zn á m ka : V bodì 5 jsou ;  0! L+ proto není vektorový prostor. 1 Dùkaz: Oznaème fhi g1 s hodovitý h funk í, hi % f s.v., ki % g s.v., (9K 2 1 R, fki g1 posloupnosti
R R )(8i 2 N ) ( hi  K ) ^ ( ki  K ) . 1. Ne h» i; j 2 N ,R polo¾me i pevné, potom hRi kj & hi g  0 s.v. Podle vìty (10) (hi kj )+ & R + 0 s.v. ) jlim !1 (hi kj ) = 0, èiliR jlim !1 (hRi kj )  0. Proto¾e lim kj existuje (rozmyslete), mù¾eme tento výraz roztrhnout na hi  lim kj a pomo í vìty o limitním pøe hodu v nerovnosti R R a de ni f , g snadno dokonèit dùkaz. 2. (f = g) s.v. , (f  g s.v.) ^ (g  f s.v.)
) (R f  R g) ^ (R g  R f )
) (R f = R g) 3. Formálnì mù¾eme f de nované pomo í dvou rùzný h posloupností pova¾ovat za dvì funk e, které se sobì rovnají, a pou¾ít tvrzení pøed hozího bodu. 4. Oznaème Z1 = fx 2 R nj Neplatí hn(x) % f (x)g a budi¾ R hi < K pro v¹e hna i. Mno¾ina Z1 je míry nula, na ní¾ mù¾e mít f jakékoliv hodnoty, tedy i nekoneèné. Dále oznaème Z2 = fx 2 " h , pro kterou na základì vlastností h R n n Z1 j f (x) = 1g a de nujme posloupnost funk í Hi  K i i platí: (a) Hi je neklesají í a nezáporná. (b) R Hi = K" R hi  " ( ) (8x 2 Z2)(sup Hi = lim K" hi = 1  1) Tedy Z2 je míry nula a podle vìty (9) Z1 [ Z2 je míry nula. 5. Z de ni e. 6. maxfhi; ki g % maxff; gg, R maxfhi; ki g  2K .

Vìta 12: Limitní pøe hod v L+ 1 + , fn % f s.v., (9K 2 R )(8i 2 N )(R fn  K ). Pak f 2 L+ a Ne h» f f g je posloupnost funk í z L i 1 R R f = lim fi . R Dùkaz: Oznaème fhij g1 1 posloupnosti s hodovitý h funk í z de ni e (12) (hij % fi , hij  K ). Podle s hématu analogi kého s hématu v dùkazu vìty (9) de nujme funk e Hj  1max h . Oznaème ij ij  dále f  lim Hj . Podle vìty o limitním pøe hodu v nerovnosti mù¾eme pro i  j psát hij  Hj  fj # # # j!1 fi  f   f # # # i!1  f  f  f:

17

R

Konvergen e jsou samozøejmì mínìny s.v. Platí tedy Hj % f s.v. Funk e Hj jsou s hodovité a Hj  fj  K , splòují tedy podmínky z de ni e (12). Nyní staèí jen provést dal¹í dva limitní pøe hody: R R R hij  Hj  fj j# ! 1 # # R R R fi  f  lim fj # # i# ! 1 R R lim fi f  lim R fj x4.

Lebesgueùv integrál

De ni e 13: Lebesgueovsky integrovatelné funk e Øekneme, R¾e f : RR n ! RR  je lebesgueovsky integrovatelná, pakli¾e (9f1; f2 2 L+)(f = f1 f2 s.v.). Pak de nujeme f = f1 f2 a oznaèíme L mno¾inu v¹e h lebesgueovsky integrovatelný h funk í. Vìta 13: Vlastnosti funk í z L Ne h» f; g 2 L. Pak platí:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Hodnota R f nezávisí na rozkladu f = f1 f2. (f  0 s.v.) ) (8" > 0)(9f1; f2 2 L+) (f = f1 f2) ^ (R f2 < ")
. Ne h» ; 2 R . Pak f + g 2 L a R (f + g) =  R f + R g. R R R R f  g s.v. ) f  g, f = g s.v. ) f = g jf j, f + , f , maxff; gg, minff; gg 2 L Funk e f je koneèná s.v.

Dùkaz:

1. Uva¾ujme dva RrozkladyR f1 f2R= f =Rfe1 fe2R, f1; f2R; fe1; fe2 2 L+. Pak (f1 + fRe2 = fe1 + f2 2 L+) ) R R ( f1 + fe2 = fe1 + f2) ) ( fe1 fe2 = f1 f2), o¾ je dle de ni e f . 2. (9f1; f2 2 L+)(f =R f1 f2)
) (9K 2 R ) (9f1i 2 H )(f1i % f1 s.v.)(R R f1i R K )
^ (9f2i 2 H )(f2i % f2 s.v.)( f2i  K ) . Pro dané " > 0 lze zvolit m 2 N , aby f2 f2m < ". Potom ov¹em novì de nované funk e fe1  f1 f2m, fe2  f2 R f2m splòují kritéria hledaného rozkladu: f1 f2m 2 L+ , nebo» (9p0 )(8p > p0 )(f1p f2m  0), a fe2 < ". 3. Uva¾ujme rozklady f R= f1 f2, Rg = g1 g2R z de ni e. Pak rozklad f + g mù¾eme psát jako (f1 + g1) (f2 + g2) a (f + g) = (f1 + g1) (f2 + g2) = R f1 R f2 + R g1 R g2. Pro   0 je mo¾ným rozkladem f = (f1 ) (f2 ), pro  < 0 je to f = ( f2) ( f1). 4. Podle pøed hozího bodu mù¾eme de novat funk i '  f gR 2 L, která má rozklad ' = '1 '2, R + '1 ; '2 2 L , a '  0 s.v. Podle vìty (11) ('1  '2 s.v.) ) ( '1  '2 ), o¾ nám po úpravì dává první tvrzení tohoto bodu. Druhé tvrzení je u¾ jen triviální dùsledek. 5. Pro f zapsané rozkladem f1 f2 je rozklad jf j mo¾né psát ve tvaru maxff1; f2g minff1; f2g (podle vìty (11) jsou obì z L+). Zbylá tvrzení postupnì odvodíme pomo í tohoto a bodu 3: f + = 12 (f +jf j), f = 21 (jf j f ), maxff; gg = f + (g f )+ , minff; gg = maxf f; gg. 6. Funk e f1 a f2 z rozkladu jsou podle vìty (11) koneèné s.v., tedy i f je koneèná s.v. Po zn á m ka : V dùkazu posledního bodu jsme nezmínili pøípad, kdy budou obì funk e f1 i f2 nekoneèné a jeji h rozdíl nebude de nován. Tehdy ov¹em mù¾eme (díky tomu, ¾e takové body tvoøí mno¾inu míry nula) funk i f nade novat libovolným èíslem | podle de ni e toti¾ h eme aby f = f1 f2 jen skoro v¹ude. Po zn á m ka : Bod 5 øíká velmi dùle¾itou vì | Lebesgueùv integrál je absolutnì konvergentní, èím¾ se sin( x ) výraznì odli¹uje od integrálu Newtonova. Newtonùv integrál napøíklad zintegruje funk i x v mezí h od 18

0 do 1, ale R01 jsin(xx)j = 1.11 Naproti tomu Lebesgueùv integrál nekonverguje pro ¾ádnou z tì hto funk í. Je to rùznými metodami sèítání. Newtonùv integrál postupuje podél osy a pøièítá pøírùstky primitivní funk e. V pøípadì prvního integrálu mu díky os ila ím nad a pod osu nakone vyjde koneèné èíslo. Naproti tomu Lebesgue nejprve seète v¹e hno nad osou a odeète od toho souèet v¹eho pod osou, jeliko¾ jsou to obì nekoneèna12 , není integrál z elé funk e de nován. Zklamaného ètenáøe, který má po it, ¾e budoval nový integrál jen proto, aby s ním zintegroval ménì funk í ne¾ se starým, mù¾eme utì¹it Diri hletovou funk í, která je reprezentantem bohaté tøídy funk í, je¾ jsme doposud integrovat neumìli, a to ani Riemannovým integrálem. Jako demonstra i nadvlády na¹í nové Lebesgueovy teorie nad starou Riemannovou uveïme bez dùkazu je¹tì jeden teoreti ký výsledek, tzv. Lebesgueovu vìtu13: funk e je Riemannovsky integrovatelná, právì kdy¾ je spojitá a¾ na mno¾inu nulové míry14. x5.

Vìty o limitním pøe hodu

Vìta 14: Beppo{Levi Ne h» ffig11 je posloupnost nezáporný h funk í z L, (9K 1 1 souèet øady F  P fi s.v. a R F = P R fi.



2 R )(8m 2 N )

m R P

1

fi



 K . Pak existuje

1

1

m P

Dùkaz: De nujme Fm  fi . Podle pøedpokladù a vìty (13) víme, ¾e Fm 2 L, Fm % F s.v. a 1 (8m)(R Fm  K ). Dále víme, ¾e (9gi ; hi 2 L+) (fi = gi hi s.v.) ^ (hi  0) ^ (R hi < 21i )
. 1 m Dále de nujme Hm  P hi % H . Podle vìty (12) (H 2 L+) ^ (R H = P R hi < 1). Poslední 1 1 nerovnost plyne ze zpùsobu zavedení funk í hi . Proto¾e gi = fi + hi  0 s.v., mù¾eme do tøeti e zavést m P Gm  gi % G. Na základì pøedpokladù a de ni e funk í hi platí nerovnost 1

Z

Gm =

m Z X

1

gi =

m Z X

1

1

m Z X

fi +

1

hi < K + 1

a podle vìty (12) G 2 L+ a R G = P R gi. De nièní rozklad funk e F tedy mù¾e být G 1 de nován i integrál Z

F

=

Z

G

Z

H = mlim !1

Z

m X

1

m X

gi

Vìta 15: Monotónní limita funk í z L Uva¾ujme posloupnost ffig11 funk í z L, fi R R f = lim fi

1

!

hi

= mlim !1

Z X m

(f

f1 ) =

(lim fk

f1 ) =

1Z X 1

fi

R

Pro k 2 R de nujme funk e 'k  fk+1 fk  0 s.v., èili fk pou¾ít Beppo{Leviho vìtu (ovìøte pøedpoklady) a obdr¾íme tak Z

hi ) =

èím¾ je

% f s.v., (9K 2 R )(8i 2 N )( fi  K ). Pak f 2 L a

Dùkaz:

Z

1

(gi

H,

Z X 1

1

'i =

1Z X 1

f1 =

'i = lim

k P

Z

1

'i . Na øadu

fk

Z

1 P 1

'i mù¾eme



f1 ;

11 Obì tato tvrzení jsme ovìøovali v minulém roèníku. 12 Není-li vám to zøejmé, doka¾te si to. Zvolte k f + vhodnou minorantu, napøíklad vepisujte do obloukù sinusovky rovnoramenné trojúhelníky, pøeveïte problém na souèet øady a uka¾te, ¾e tato øada diverguje. 13 Po Lebesgueovi, podobnì jako napøíklad po Cau hym nebo Eulerovi, je pojmenováno nìkolik vìt, proto nebuïte zmateni,

budeme-li o kus dál øíkat Lebesgueova vìta nìèemu do ela jinému. 14 Pozor! To neznamená, ¾e se li¹í od nìjaké spojité funk e na mno¾inì nulové míry! Viz Diri hletova funk e.

19

y

x

Obr. 5: Pøíklad fn ! f , R fn 6! R f . odkud odeètením konstanty lim R f1 dostáváme tvrzení vìty. Po zn á m ka : Podle vìty (13) víme, ¾e f = 0 s.v. implikuje R f = 0. Jde tato implika e obrátit? Vìta 16: Ne h» f 2 L, f

R

 0, f = 0. Pak f = 0 s.v. Dùkaz: De nujme posloupnost Fk  kf . Tato posloupnost splòuje pøedpoklady vìty (15) (je neklesají í, R R Fk 2 L, Fk = k f = 0), podle vìty (13) je tedy její limita F skoro v¹ude koneèná. Jeliko¾ ale F (x) = lim Fk (x) = 1, je-li f (x) > 0, je mno¾ina fxjf (x) > 0g míry nula, tudí¾ f = 0 s.v. Vìta 17: Fatouovo lemma

1. Ne h» fk  0, fk 2 L, (9K 2 R )(8k 2 N )(R fk  K ), fk ! f s.v.. Pak f 2 L, R f  K . 2. Ne h» fk 2 L, (9K 2 R )(8k 2 N )(R jfk j  K ), fk ! f s.v.. Pak jf j 2 L, R jf j  K .

Lemma: Ne h» fk ; gk 2 L, f0; g0 supfg1; g2; : : :g 2 L.




2 L, (8k 2 N ) (fk  f0 ) ^ (gk  g0 ) . Pak F  inf ff1; f2 ; : : :g 2 L, G 

Dùkaz: De nujme posloupnost Gk  maxfg1; g2 ; : : : ; gk g. Podle vìty (13) Gk 2 L, dále zøejmì Gk % G. Proto¾e (8k)(gk  g0), je i Gk  g0, o¾ podle vìty (13) znamená R Gk  R g0. Posloupnost Gk splòuje po¾adavky vìty (15), tedy G 2 L. Symetri ké tvrzení se doká¾e obdobnì. Dùkaz vìty:

1. RDe nujme posloupnost Fk  inf ffk ; fk+1 ; : : :g. Podle lemmatu FkR 2 L, zøejmì Fk % f s.v. a R R Fk  fk  K . To jsou opìt pøedpoklady vìty (15), tudí¾ f 2 L, f = lim Fk  K . 2. Staèí pou¾ít bod 1 pro posloupnost fjfk jg11 . Pøíklad: Pro pou¾ití Fatouova lemmatu staèí, aby posloupnost fi pouze konvergovala (nikoliv tedy monotónnì konvergovala). Za to ov¹em doká¾eme R f pouze omezit a nikoliv spoèítat jeho hodnotu. Pøíkladem budi¾ posloupnost fn = n sin nx s tím, ¾e fn je nenulové pouze na intervalu (0; =n) (viz obrázek). Jak brzy uká¾eme, lze Lebesgueùv integrál poèítat pomo í Riemannova integrálu. Vidíme, ¾e R R fn ! 0, ale zatím o f = 0, neplatí 2  fn 6! 0. Vìta 18: Lebesgue funk í z L, fk Ne h» ffk g11 je posloupnost (8k)(jfk j  g). Pak f 2 L a R f = lim R fk . Dùkaz: g  Fk

! f , se spoleènou integrovatelnou majorantou g 2 L,

Oznaème Fk = inf ffk ; fk+1 ; : : :g % f s.v., Gk = sup ffk ; Rfk+1 ; : : R:g & f Rs.v.. Podle pøedpokladù R R  fk  Gk  g, pøejdeme-li k integrálùm, pak g  Fk  fk  Gk  g. Podle vìty 20

g

g

Obr. 6: Funk e max  minff; gg;

g



.

(15) lim R Fk = lim R Gk = R f a podle vìty o dvou strá¾ní í h pak lim R fn = R f . Vìta 19: Ne h» fi 2 L, fi ! f s.v. 1. Ne h» (9g; h 2 L)(8i 2 N )(g  fi  h). Pak f 2. Ne h» (9g 2 L)(jf j  g). Pak f 2 L.

R

R

2 L, f = lim fi .

Dùkaz:

1. Dùsledek Lebesgueovy vìty. 2. De nujme Fi  maxfminffi; gg; gg. Geometri ky to znamená, ¾e z fi þoøíznemeÿ úseky vyboèují í z pásu od g do g a funkèní hodnoty tam nahradíme funkèními hodnotami g resp. g (viz obrázek). Sporem se snadno uká¾e, ¾e Fi ! f s.v. Posloupnost ffig11 splòuje pøedpoklady Lebesgueovy vìty, z ní¾ plyne ký¾ené tvrzení. x6.

Prostor s normou definovanou pomo í Lebesgueova integrálu

De ni e 14: Prostor L1 (R n ) Ne h» L je prostor lebesgueovsky integrovatelný h funk í na R n. Na tomto prostoru zavedeme rela i ekvivalen e15 f  g , f = g s.v.. Tato rela e de nuje jednoznaèný rozklad na tøídy ekvivalen e. Prostor L1 (R n )  L=  de nujeme jako prostor tøíd ekvivalen e, na nìm¾ de nujeme algebrai ké opera e pomo í reprezentantù.16 Podobnì de nujeme jf j; f +; f ; max ff; gg; supffi g pro spoèetnou mno¾inu ffi g. Na R L1 (R n ) de nujeme normu prvku f vztahem kf k1  jf j 2 R .

Po zn á m ka : Striktnì vzato by hom mìli ovìøit korektnost de ni e, ale ètenáø jistì hápe, ¾e by to byla jen zdlouhavá formální prá e. Ovìøíme pouze, ¾e k:k1 je skuteènì norma: 1. kf k1  0, kf k1 = 0 , f = 0 plyne z vìt (13) a (16). 2. Linearita kf k1 = kf k1 plyne z vìty (13). 3. Trojúhelníkovou nerovnost obdr¾íme také z vìty (13): kf + gk1 = R jf + gj  R jf j + R jgj = kf k1 + kgk1 Úmluva: Nebude-li hrozit nedorozumìní, budeme index u normy vyne hávat a psát jen k:k. Vìta 20: Riesz{Fis her Prostor L1(R n) je úplný normovaný vektorový prostor (Bana hùv prostor).

Doká¾eme pouze vlastnost úplnosti, zbytek je triviální. Ch eme ovìøit, zda v¹e hny au hyovské posloupnosti konvergují k nìjakému prvku z prostoru.

Dùkaz:

15 Tj. rela i, která je re exivní, symetri ká a tranzitivní. 16 Souèet tøíd je tøída pøíslu¹ná souètu libovolný h dvou funk í ze sèítan ù apod.

21

Uva¾ujme au hyovskou posloupnost ffig11 funk í z L1(R n), èili (8" > 0)(9i0 2 N )(8i; j  i0)(kfi fj k < "). Nejprve sestrojíme kandidáta na její limitu. Jistì existuje rostou í posloupnost indexù fik g1 1, r P splòují í (8i  ik )(kfi fik k < 21k ), spe iálnì kfik+1 fik k < 21k . De nujme posloupnost Fr  jfik+1 k=1 fik j To je rostou í posloupnost z L1 (R n ), respektive z L, hápeme-li symboly fi jako reprezentanty a ne jako tøídy. Naví Z r Z r X X Fr = jfik+1 fik j = kfik+1 fik k < 1; k=1

k=1

o¾ podle Beppo{Leviho vìty znamená, ¾e F  lim Fr 2 L. Podle trojúhelníkové nerovnosti a vìty o limitním pøe hodu v nerovnosti 1 X fik+1

k=1

fik

(

)

1 X fi

k=1

k+1



fik = F

2 L;

Funk e vlevo je s.v. rovna j lim fik+1 fi1 j a je z L, o¾ podle vìty (13) znamená, ¾e je s.v. koneèná. Tedy existuje lim fik+1 s.v. Tuto limitu nazveme f a uká¾eme o ní, ¾e je z L1(R n). Zvolme p pevné. Posloupnost ffip fik g11 konverguje k ffip f g s.v. Pro k > p mù¾eme její èleny v absolutní hodnotì omezit nerovnostmi fi

fik

p



k 1 X fi

m=p

m



fim+1  F:

Funk e F je integrovatelná, posloupnost tedy splòuje pøedpoklady Lebesgueovy vìty, z ní¾ plyne fip f 2 L neboli f 2 L. Funk e fik jsme si zavedli tak, aby kfip fik k < 21p . Lebesgueùv integrál je podle vìty

(13) absolutnì konvergentní, díky èemu¾ mù¾eme pou¾ít Lebesgueovu vìtu i na posloupnost absolutní h hodnot: Z Z



1

fip fik = fip lim fik = fip f  p lim f fik = klim k!1 !1 k!1 ip 2 V závìru jsme uèinili limitní pøe hod v nerovnosti. Koneènì uka¾me, ¾e f je limitou elé posloupnosti. Ta je au hyovská | (8" > 0)(9i0 2 N )(8i; j  i0 )(kfi fj k < 2" ). Zároveò jsme ukázali, ¾e (8" > 0)(9k0 2 N )(8k  k0 )(kfik f k < 2" ). Z trojúhelníkové nerovnosti potom plyne 8i  ik  i0; k  k0



kfi f k  fi fik0 + fik0 f < ": x7.

Jak se Lebesgueùv integrál poèítá

Po zn á m ka : Dosud jsme se zabývali zejména otázkou, za jaký h pøepdokladù je funk e lebesgueovsky integrovatelná. Jediný zpùsob výpoètu Lebesgueova integrálu, který zatím známe, je výpoèet pøímo z de ni e. Následují í vìta øíká, ¾e lebesgueovsky integrovatelné funk e jsou nadmno¾inou funk í riemannovsky integrovatelný h (zde máme na mysli vlastní Riemannùv integrál) a hodnoty obou integrálù jsou stejné. Vìta 21: Souvislost Riemannova a Lebesgueova integrálu Ne h» jsou a; b 2 R a funk e f : ha; bi ! R je omezená. Ne h» dále existuje Riemannùv integrál funk e f

b

na ha; bi (znaème (R) R f ). De nujme funk i F na intervalu ha; bi rovnu funk i f a jinde rovnu nule. a

b

b

a

a

Potom je F 2 L a platí (L) R F = (R) R f . Oznaème Dn posloupnost dìlení intervalu ha; bi z de ni e Riemannova integrálu, bez újmy na obe nosti pøedpokládejme, ¾e následují í dìlení je v¾dy zjemnìním pøed hozího. Norma dìlení  (Dn) jde

Dùkaz:

22

Æ

Obr. 7: Jednodu hé funk e mi , Mi v R 1. (monotónnì) k nule. De nujme jednodu hé funk e hn a Hn následují ím pøedpisem (viz obrázek): X hn = mi hxi 1 ;xi) mi = inf f (x) Dn = hx0 ; : : : ; xkn i hxi 1 ;xi) Hn =

X

Mi =

Mi hxi 1 ;xi )

sup f (x)

hxi 1 ;xi )

Dn = hx0 ; : : : ; xkn i

Z de ni e integrálu jednodu hý h funk í ihned plynou rovnosti: Z

Z

hn = s(f; Dn )

Hn = S (f; Dn )

Posloupnost funk í hn 2 L (resp. Hn 2 L) jde monotónnì (Dn jsou postupná zjemnìní) k funk i F1 (resp. F2 ), nebo» hn  H0 (Hn  h0 ). Lebesgueùv integrál z tì hto funk í je omezen (napøíklad Riemannovým R R f integrálem funk e f ), tedy funk e F1 2 L (resp. F2 2 L) a naví platí (L) R F1 = nlim ( L ) h = ( R ) n !1 R R R (resp. (L) F2 = nlim !1(L) Hn = (R) f ) dle Beppo{Leviho vìty. Vzhledem k tomu, ¾e hn  F  Hn, musí platit pro limity posloupností funk í hn a Hn platit: F1  F  F2 . Funk e F2 F1 je nezáporná lebesgueovsky integrovatelná funk e, její¾ integrál je roven nule (horní a dolní Riemannùv integrál si jsou rovny). Potom ale musí dle vìty (16) platit F2 F1 = 0 s.v. a tedy F1 = F2 = F s.v. Potom ale u¾ F je lebesgueovsky integrovatelná funk e a její integrál je roven integrálu funk e F1, který je roven Riemannovu integrálu funk e f . Vìta 22: Fubiniho Ne h» jsou n; k; p 2 N , ¾e platí n = k + p. Zápisem x = (x0 ; x00 ), kde x 2 R n ; x0 2 R k ; x00 2 R p budeme rozumìt, ¾e první h k slo¾ek x je rovno slo¾kám x0 a zbylé jsou rovny x00 . Ne h» je dále f (x) : R n ! R ,

lebesgueovsky integrovatelná. Potom platí: 1. Pro ka¾dé x00 2 R p pevné, je funk e '(x0 ) = f (x0 ; x00 ) lebesgueovsky integrovatelná na R k . 2. Oznaèím-li F (x00 ) = R '(x0 ; x00 ) dx0 , potom je F jako funk e x00 lebesgueovsky integrovatelná na R p. Rk

3. Pro integrál pùvodní funk e platí: Z

Rn

f (x) dx =

Z

F (x00 ) dx00 =

Rp

Z h Z

Rp

i

'(x0 ; x00 ) dx0 dx00 :

Rk

Vìtu doká¾eme nejprve pro elementární funk e (jádrem bude rovnost V (I ) = V (I 0)
V (I 00) pro I = I 0  I 00 ), pak pou¾ijeme limitní pøe hod. Formální dùkaz provádìt nebudeme. Pøíklad: Uva¾me Diri hletovu funk i, která je de novaná na intervalu h0; 1i pøedpisem f (x) = 1; x 2 R nQ a f (x) = 0; x 2 Q . Vzhledem k tomu, ¾e mno¾ina, kde je funk e nulová na intervalu h0; 1i je spoèetná, je míry nula. Potom ale je integrál Diri hletovy funk e roven integrálu funk e, která je na tomto intervalu Idea dùkazu:

23

rovna jedné, a integrál Diri hletovy funk e se dle vìty o souvislosti Riemannova a Lebesguova integrálu rovná 1. Vìta 23: Postaèují í podmínka pro integrovatelnost Ne h» f  0, ne h» existují hn 2 H , které hn ! f s.v. . Ne h» je dále

R R

Rk Rp

f (x0 ; x00 ) dx0 dx00

koneèný.

Potom je f Lebesguovsky integrovatelná na R k+p . Pøi integra i v R n jsme èasto odkázáni pouze na Fubiniho vìtu a poèítání Riemannový h integrálù v R . Pøitom ov¹em nevíme, zda pùvodní funk e v R n byla integrovatelná, o¾ je pøedpoklad Fubiniho vìty. Proto je u¾iteèná vìta (23). Zkonstruujeme nejprve posloupnost funk í fn ! f , o které uká¾eme, ¾e fn 2 L. Mù¾eme pak pou¾ít jednak Fubiniho vìtu a dále vìtu Lebesgueovu. Dùkaz: Oznaème Hn = maxfh1; : : : ; hn g 2 L. Dále oznaème 'n = minff; Hng 2 L (podle Lebesgueovy vìty), nebo» j'nj  Hn (pøièem¾ Hn % f   f ) a 'n = mlim !1 minfhm ; Hn g. Nyní si pov¹imnìme, ¾e 'n % f . Aby hom dokázali platnost f 2 L staèí dle Beppo{Leviho vìty ovìøit omezenost integrálu z 'n ,

o¾ uká¾eme za pou¾ití Fubiniho vìty následovnì: Idea dùkazu:

Z

'n (x0 ; x00 ) dx =

Z Z

'n (x0 ; x00 ) dx0 dx00 

Rk Rp

x8.

Z Z

f (x0 ; x00 )dx0 dx00 2 R :

Rk Rp

Míra: mìøitelné funk e, mìøitelné mno¾iny, míra,

-algebry

Po zn á m ka : Zabývejme se nyní následují í otázkou: je-li f funk e lebesgueovsky integrovatelná na R n , za jaký h podmínek bude platit, ¾e pro mno¾inu M  R , je funk e F de novaná pøedpisem F (x) = f (x)M (x) integrovatelná? Funk e F je de novaná na mno¾inì M hodnotami funk e f a vnì této mno¾iny je rovna nule. Mno¾ina M nemù¾e být libovolná | protipøíklad ji¾ brzy zkonstruujeme. De ni e 15: Mìøitelná funk e Funk i f : R n ! R  nazveme mìøitelnou, pokud existuje taková posloupnost hn 2 H , ¾e platí hn ! f . Mno¾inu v¹e h mìøitelný h funk í budeme znaèit M.

jednodu hý h funk í

Po zn á m ka k vìtì (19): Je-li f mìøitelná a existuje-li její integrovatelná majoranta, je f i lebesgueovsky integrovatelná. Po zn á m ka o mno¾inì M: M je lineární vektorový prostor, jak jistì ètenáø sám snadno z de ni e ovìøí. L je podmno¾inou M. Vìta 24: Základní vlastnosti mìøitelný h funk í

1. fn 2 M; fn ! f =) f 2 M, 2. f; g; fhng 2 M =) jf j; maxff; gg; minff; gg; supfhng; inf fhng; lim inf hn; lim sup hn; f + g; fg 2 M Ne h» F (x1; : : : ; xn ) je spojitá na R n, f1,: : : , fn 2 M(R p) s.v. koneèné, potom funk e F (f1 (y); : : : ; fn (y)) 2 M(Rp ). 3. 4. Je-li funk e spojitá je i mìøitelná. Po zn á m ka : Dùkaz této vìty je vyne hán. Z vìt¹í èásti je tvoøen pouze me hani kým u¾íváním de ni a jednodu hý h vlastností zkoumaný h funk í. Tomuto konstatování se v¹ak vymyká tøetí èást vìty, její¾ dùkaz mù¾e ètenáø nalézt v pøíslu¹né literatuøe. Po zn á m ka o skládání mìøitelný h funk í: Ka¾dou funk i lze vyjádøit jako slo¾ení dvou mìøitelný h 24

funk í. Ne ka¾dé slo¾ení mìøitelný h funk í je tedy mìøitelná funk e. Po zn á m ka o integrovatelnosti posunuté funk e: Je-li funk e f integrovatelná (na R n) je i funk e fa(x) = f (x + a) integrovatelná a hodnoty integrálù jsou si rovny. Pøíklad: Sestrojme nyní nemìøitelnou funk i: Uva¾ujmeinterval h0; 1i. Uva¾me systém podmno¾in M tohoto intervalu takový, ¾e platí (8N 2 M )(x 2 N; y 2 N ) () (x y 2 Q ). Ètenáø jistì snadno ovìøí, ¾e prvky tohoto systému podmno¾in jsou vesmìs disjunktní. Z ka¾dé takové mno¾iny vyberu jeden prvek a mno¾inu tì hto prvkù oznaèím A. Dále oznaèím Aq = fx + qjx 2 Ag pro q 2 Q \ h 1; 1i. Vzhledem ke spoèetnosti Q je systém mno¾in Aq spoèetný. Pro jeho (spoèetné) sjedno ení B = [q Aq tedy platí: h0; 1i  B  h 1; 2i Ovìøte levou inkluzi. Zajímá nás nyní hodnota integrálu funk e B (pøedpokládejme, ¾e B je mìøitelná; pak B je integrovatelná). Je-li hodnota integrálu A nulová, je A mno¾ina míry nula, potom ale spoèetné sjedno ení Aq je také míry nula, o¾ je spor, nebo» interval h0; 1i, který urèitì není míry nula, je jeho (nevlastní) podmno¾inou. Ne h» naopak je hodnota tohoto integrálu nenulová | oznaème ji K . Potom integrál funk e B není koneèný, nebo» je vìt¹í ne¾ nK , pro libovolné pøirozené n. Co¾ je spor, nebo» tento integrál lze odhadnout shora integrálem z funk e h 1;2i, který je roven tøem. De ni e 16: Mìøitelná mno¾ina, míra Øekneme, ¾e mno¾ina M  R n je mìøitelná, pokud je funk e M mìøitelná. Míru (mìøitelné) mno¾iny pak de nujeme následovnì: (M ) = R M , pokud je M 2 L, jinak (M ) = +1. Systém v¹e h mìøitelný h mno¾in oznaème (R n). Dále oznaème L(M ) lebesgueovsky integrovatelné funk e na M .

Po zn á m ka : Je-li M 2  a f 2 L, potom je i M f 2 L, dle Lebesgueovy vìty (f je integrovatelná majoranta). Po zn á m ka : Míra mno¾iny  je funk e z jistého systému podmno¾in R n do R . De ni e 17: Systémy podmno¾in a funk e na ni h Ne h» X je daná mno¾ina,  systém její h podmno¾in. Øekneme, ¾e  je -okruh, pokud platí:

1. 2.

A; B 2  =) A n B; A [ B 2 , 1 S 2 . An 2  =) n=1

Pokud naví X 2 , pak je  -algebrou. Øekneme, ¾e mno¾inová funk e  : X ! R  je 1. nezáporná, pokud (M )  0; 8M 2 , 2. -aditivní, pokud 

1 S

i=1

Ai



1

= P (Ai ) pro Ai 2  po dvou disjunktní, i=1

3. míra, pokud je nezáporná a -aditivní, 4. úplná míra, pokud platí (A  B 2 ) ^ (B) = 0
=) (A 2 ). Po zn á m ka o Kolmogorovì modelu pravdìpodobnosti: Je-li (X; ; ) -algebra a  úplná míra na , kde X je mno¾ina v¹e h mo¾ný h elementární h jevù,  mno¾ina podmno¾in X (napøíklad potenèní mno¾ina), pak pravdìpodobnost, ¾e nastane daný jev M 2 , lze de novat jako (M ). Po zn á m ka o alternativní de ni i Lebesgueova integrálu: Alternativnì lze nejprve vybudovat pojem míry v R n , tj. vytvoøit troji i (X; ; ) = (R n; ; ), následnì de novat mìøitelné funk e a poté i funk e 25

jednodu hé | ty v¹ak nabývají jednu hodnotu nikoliv na intervalu, ale na mìøitelné mno¾inì. Ty vyu¾iji k de ni i Lebesgueova integrálu. Po zn á m ka o mno¾iná h míry nula: Ji¾ døíve jsme de novali význam výroku þmno¾ina je míry nulaÿ. Nyní máme funk i, kterou oznaèujeme jako míra. Ovìøme, ¾e pouze pro mno¾iny míry nula nabývá míra nulové hodnoty: (M ) = 0 ()

Z

M

= 0 () M = 0 s.v. () M je míry nula

Úmluva: Je-li funk e f de nována mno¾iny M a pøípadnì i v bode h

s.v. na mno¾inì M , poté ji automati ky dode nujeme nulou vnì mno¾iny M , kde není de nována. Hodnota integrálu takto novì de nované funk e pøes R n bude stejná jako hodnota integrálu pùvodní funk e f pøes mno¾inu M . Po zn á m ka o integrálu komplexní h funk í: Integrálem komplexní funk e f : R n ! C bude souèet následují í h dvou integrálù, pokud má pravá strana rovnosti smysl: Z

f

M

Z

Z

M

M

= Re(f ) + i Im f :

8.1 Vlastnosti míry a mìøitelný h mno¾in Vìta 25:

Mno¾ina v¹e h mìøitelný h mno¾in  je -algebra a  je míra na . Dùkaz: Ne h» provede ètenáø sám tím, ¾e ovìøí platnost jednotlivý h podmínek v de ni i (17). D ù s l ed e k : 1. 8M; N 2  : M  N =) (M )  (N ) 2. 8M; N 2  : (M [ N ) + (M \ N ) = (M ) + (N ) 3. 8Mn 2  : Mn  Mn+1 =)  4. 8Mn 2  : Mn+1  Mn =) 





1 S

n=1

1 T

n=1

Mn Mn





= nlim !1 (Mn ) = nlim !1 (Mn )

Tyto dùsledky si mohou zájem i zkusit dokázat jako vièení. Rovnosti zkuste dokazovat jako dvì neostré nerovnosti. Po zn á m ka : Platí, ¾e R n 2 , ale neplyne to z konstruk e Lebesgueova integrálu. K tomu, aby funk e f (x) = 1 byla mìøitelná, je postaèují í následují í podmínka: 1. 8h 2 H : minfh; 1g 2 H 2. 9hn  0; hn 2 H; R hn > 0; 8x : sup hn (x) > 0 n Po zn á m ka o borelovský h mno¾iná h: Je-li mno¾ina M otevøená nebo uzavøená, je mìøitelná. Vzhledem k tomu, ¾e  je -algebra, je i spoèetné sjedno ení nebo prùnik tì hto mno¾in mìøitelný. Ne h» tedy On jsou otevøené mno¾iny, mno¾inu v¹e h spoèetný h prùnikù otevøený h mno¾in oznaème GÆ | G se obvykle oznaèuje otevøená mno¾ina, Æ v indexu reprezentuje prùnik17 . Mno¾inu v¹e h spoèetný h sjedno ení prvkù GÆ oznaème GÆ |  reprezentuje sjedno ení18. Takto mù¾eme postupovat dále a tvoøit mno¾iny GÆÆ : : : Mno¾inu v¹e h mno¾in, které vzniknou koneèným poètem sjedno ení nebo prùnikù 17 Z nìm. Dur hs hnitt. 18 Opìt z nìm. Summe.

26

spoèetnì otevøený h mno¾in oznaème B a tyto mno¾iny nazvìme borelovské mno¾iny. V¹e hny borelovské mno¾iny jsou mìøitelné, nebo»  je -okruh. Místo otevøený h mno¾in lze uvá¾it i mno¾iny uzavøené a získáme stejnou mno¾inu mno¾in. Mno¾ina B je nejmen¹í vzhledem k inkluzi -algebra obsahují í v¹e hny otevøené mno¾iny. Stejnì tak je nejmen¹í -algebra obashují í v¹e hny uzavøené mno¾iny. Po zn á m ka o mìøitelnosti mno¾in míry nula: Ka¾dá podmno¾ina mno¾iny míry nula je mìøitelná a má míru nula. Naví v¹ak lze dokázat, ¾e kdyby nìkterá podmno¾ina M mno¾iny míry nula nebyla mìøitelná, lze ji do daného -okruhu pøidat, tj. nahradit uva¾ovaný -okruh nejmen¹ím -okruhem, který jej obsahuje a naví obsahuje mno¾inu M , a de novat míru v¹e h mno¾in N , které neobsahoval pùvodní -okruh jako míru mno¾iny N n M . Po zn á m ka o mno¾iná h míry nula: Je-li F : ! R n,  R k , k < n, F spojitì diferen ovatelné, potom platí, ¾e  F ( )
= 0. Po zná m ka (Sardova vìta): Ne h» F : R n ! R k ; k < n, F 2 C 1 (R n). Potom mno¾ina M = x 2
 R n h Ja F (x) < k , tj. mno¾ina obrazù kriti ký h bodù19 zobrazení F , má míru nula, tj. (M ) = 0. Pøed hozí poznámka je dùsledkem této vìty. Po zn á m ka o hrani í h mno¾in: Oznaème hrani i mno¾iny M jako M . Èasto je M hladká, tzn. je lokálnì grafem funk e f : R n 1 ! R n, vìt¹inou má i nulovou míru (ne v¾dy). Platí, ¾e je-li (M ) = 0 a M je otevøená, potom libovolná mno¾ina N taková, ¾e M  N  M , je mìøitelná. Po zn á m ka - varování: Existuje spojité zobrazení z h0; 1i do h0; 1ih0; 1i. Toto zobrazení není bijektivní a nesplòuje podmínky jedné z pøed hozí h poznámek, nebo» není spojitì diferen ovatelné. x9.

Závislost integrálu na integraèním oboru

Vìta 26:

1. (a) f 2 L(M ), M 2 , M = (b) f mìøitelná,M = f

2L

1 S i=1

1 S i=1

Mi , Mi 2  po dvou disjunktní, potom platí:

Mi , Mi 2  po dvou disjunktní, f  0,

1 R P i=1 Mi

f

R

M

f=

1 R P i=1 Mi

f

koneèná, potom platí, ¾e

2. f mìøitelná, M míry nula, potom R f = 0 M

1 S

R = ilim !1

f

R 4. f 2 L(M ), M = T Mi, Mi 2 , Mi+1  Mi, potom platí R f = ilim !1

f

3. f 2 L(M ), M =

i=1

Mi , Mi 2 , Mi  Mi+1 , potom platí

1

i=1

R

M

f

Mi Mi

M

5. f mìøitelná, MR 2 , (M ) koneèná a existuje K 2 R +, ¾e 8x 2 M : jf (x)j  K , potom platí, ¾e f 2 L(M ) a j f j  K(M ). M

6. f 2 L(M ), f  0, M mìøitelná, N  M mìøitelná, potom R f  R f . N

Dùkaz:

1. (a) Integrály

R

Mi

f

M

existují dle Lebesgueovy vìty, nebo» funk e jf j je pro nì integrovatelnou majo1

k

rantou. Tvrzení o rovnosti R f = P R f , plyne z té¾e vìty, nebo» P Mi f ! M f . M

i=1

i=1 Mi

19 Ja obián má hodnost men¹í ne¾ k.

27

(b) Dùkaz se provede analogi ky jako v pøed hozí èásti pou¾itím Beppo{Leviho vìty, nebo» 1 R k P P f. Mi f % M f a omezenost je zaruèena pøedpokladem koneènosti sumy i=1 Mi

i=1

2. Triviální z de ni e. fi = Mi n Mi 1 a M f1 = M1 a u¾itím ji¾ dokázané první 3. Dùkaz se provede pøe hodem k mno¾inám M èásti vìty. 4. Plyne pøímo z první a tøetí èásti vìty. 5. Existen e integrálu je zaruèena dle Lebesgueovy vìty. Na mno¾inì M platí, ¾e jf (x)j  K , a tedy Z

M

f

Z

Z

 jf j  K M  K(M ): M

6. Plyne pøímo z nezápornosti f a následují í rovnosti: Z Z Z f f+ N

x10.

M nN

N

f=

Z

f:

M

Výpoèet Lebesgueova integrálu: vìta o substitu i

Po zn á m ka o substituování: Nejprve si pøipomeòme substituovaní pøi integrování funk í jedné promìnné: Z Z
f (y) dy = f '(x) '0 (x) dx: za jistý h pøedpokladù. Lze tedy oèekávat, ¾e pøi integrování funk í ví e promìnný h bude platit analogi ky vztah: Z Z f (y) dy = f ((x))(?) dx  1 (M )

M

Pøedpokládejme nyní, ¾e by hom integrovali funk i rovnou jedné po objemu rovnobì¾nostìnu A. Tento rovnobì¾nostìn by hom popsali funk í  z h0; 1in. Poté by substituovaný integrál vypadal následovnì (jAj znaèí objem rovnobì¾nostìnu). Z Z jAj = 1 dy = 1jAj dx: h0;1in

A

O výpoètu objemu rovnobì¾nostìnu hovoøí následují í poznámka. Po zn á m ka o objemu rovnobì¾nostìnu: Uva¾me rovnobì¾nostìn, parametri ky popsaný jako x = n P

i Ai , kde 0  i  1, x; Ai 2 R n . Oznaème A mati i se sloup i Ai . Grammovou mati í odpovídají í i=1 mati i A budeme rozumìt mati í skalární h souèinù jednotlivý h sloup ù mati e A, tj. mati i: 0

G=B 

hA1 ; A1 i : : : hAn ; A1 i

...

...

...

hA1 ; An i : : : hAn ; An i p

1 C A

= AT A

Pro objem V (A) rovnobì¾nostìnu poté platí V (A) = det G = j det Aj, jak známo z lineární algebry. Vìta 27: o substitu i Ne h»  : R n 7! R n je prosté regulární zobrazení z O  R n na = (O)  R n, O M je mìøitelná mno¾ina funk e f je mìøitelná na , potom platí: Z

( M )

f (y) dy =

Z

M

f (x)

28




j det Ja (x)j dx:

a otevøené. Ne h»

 z

1

1

z

2y + z = =1 x

y

1 2

1 x 2

x

y

Obr. 8: Ètyøstìn a øez kolmo na osu x

Po zn á m ka : Vìtu dokazovat nebudeme, dùkaz je pomìrnì slo¾itý. k výpoètu Lebesgueova inetgrálu Uva¾ujme funk i f 2 L(R k  R p) a mìjme za úkol spoèítat  R R R f (x; y) dx dy. Ne h» je funk e f nenulová pouze na mìøitelné mno¾inì M f (x; y) dx dy = Rp Rk | je ov¹em¾e mo¾né, ¾e M = R k  R p = R m. Potom platí R f = R f . Oznaème dále P (M ) prùM Rm mìt mno¾iny M do R , tj. M = f y 2 R j 9 x 2 R ; ( x; y ) 2 M g , potom je pùvodní integrál roven p p k   R R f (x; y) dx dy. Dále oznaème My0 øez mno¾iny M (nad)rovinou o rovni i y = y0 , tj. mno¾iny

P (M )

Rk

R





R

f (x; y) dx dy, èím¾ jsme výraznì = fx 2 R k j (x; y) 2 M g. Integrál je potom roven i P (M ) M y zmen¹ili mno¾inu, pøes kterou integrujeme. Pøíklad: Zkusme nyní vypoèítat x-ovou souøadni i tì¾i¹tì homogenního ètyøstìnu, jeho¾ podstavu tvoøí pravoúhlý trojúhelník o odvìsná h délky 1 a 1=2. Jeho vý¹ka je 1 a hrana vy házejí í z vr holu podstavy naproti pøeponì je kolmá k rovinì podstavy (viz obrázek). Tento ètyøstìn je urèen tedy rovni emi: x0 y0 z0 x + 2y + z  1 Integrál pøes elý prostor lze pak upravovat (øez kolmo na x viz té¾ na obrázku): My

Z

x R3

dx dy dz =

Z1

1

1 x 1 x 2y Z

Z1 Z2

0 0

0

(1

1 x

x dz dy dx =

x)2

1

Z1 Z2

0 0

Z dx = 14 (2x

x

x2

Z1

2xy dy dx = [xy 0

1 x

x2 y xy2 ℄0 2

dx =

1

1 x 2x2 + x3 dx = : 2 2 2 48 0 0 0 Pokud výsledek vydìlíme objemem ètyøstìnu, získáme hledanou polohu tì¾i¹tì. = (x

x11.

x2 )

x

x

x)(1

Z 2x + x2 ) dx = 14

Integrály závislé na parametru: zámìna integrálu a limity èi deriva e

Po zn á m ka o integrálu závislém na parametru: Uva¾ujme mìøitelné mno¾iny M; A, M  R n a A  R p. Ne h» funk e f 2 L(M  A), potom de nujme funk i '() = R f (x; ) dx. Funk e '() je hodnota M integrálu funk e f , pøièem¾ se funk e f , a tedy i hodnota integrálu z ní se mù¾e mìnit v závislosti na parametru . Vìta 28: Zámìna limity a integrálu

Ne h»

29

1. A = U (0 )  R p,M  R n,M 2  2. 8 2 A : f (x; ) je mìøitelná na M 3. Existuje lim !0 f (x; ) s.v., její hodnotu oznaème f (x) 4. 9g(x) 2 L(M ); 8A : jf (x; )  g(x)j s.v. na M R Potom platí f (x) 2 L(M ) a naví R f = lim !0 f (x; ) dx. M

Dùkaz: Pro libovolnou posloupnost n ! 0 jsou splnìny pøedpoklady Lebesgueovy vìty. Zejména f (x) 2 L(M ), fR(x) jako limita je dle Heineho vìty stejná pro libovolnou posloupnost n ! 0 , a dále platí R f = nlim !1 M f (x; n ) dx. Nyní ov¹em z Heineho vìty, hápeme-li hodnotu integrálu jako funk i ,

plyne i druhá èást tvrzení vìty. Po zn á m ka o spojité funk i závislé na parametru: Ne h» funk e f (x; ) je spojitá pro ka¾dé  2 A a existuje Rfunk e g(x) 2 L(M ), ¾e jf (x; )j  jg(x)j. Potom jsou ji¾ splnìny pøedpoklady pøed hozí vìty a '() = f dx je spojitá v 0 .

Vìta 29: Zámìna limity a integrálu jinak

Ne h» 1. 0 2 R [ f+1g, A = U  (0), M  R n,M 2  2. 8 : f (x; ) 2 L(M ) 3. 8; 2 A;   : f (x; )  f (x; ) s.v. na M 4. 9K 2 R ; 8 2 A : R f (x; ) dx  K R f ( x;  ) s.v. na M , oznaème ji f ( x ) a dále platí f ( x ) 2 L ( M ) a naví f = Potom existuje lim !0 R lim f (x; ) dx. !0 M

Pro libovolnou neklesají í posloupnost n ! 0 jsou splnìny pøedpoklady Beppo{Leviho vìty. Zejména f (x) 2 L(M ), f (x) jako limita je dle Heineho vìty stejná pro libovolnou posloupnost n ! 0 , R f ( x; n ) dx. a proto¾e je lebesgueovsky integrovatelná, je i koneèná s.v. na M . Dále platí R f = nlim !1 M Nyní ov¹em¾e z Heineho vìty, hápeme-li hodnotu integrálu jako funk i  plyne i druhá èást tvrzení vìty. Po zn á m ka o pøe hozí vìtì: Ètenáø si jistì snadno sám zformuluje zbylé tøi analogie pøed hozí vìty, kdy posloupnost funk í je klesají í, resp. se poèítá limita parametru zprava. Dùkaz:

Vìta 30: O deriva i podle parametru

Ne h» 1. I  R je netriviální interval, M  R n je mìøitelná 2. 8 2 I je f (x; ) mìøitelná 3. 9N  M , (N ) = 0, 8x 2 M n N : f=(x; ) je koneèná 8 2 I 4. dùle¾ité: 9g 2 L(M ); 8x 2 M n N : 8 2 I : jf=(x; )j  g(x) 5. a je¹tì naví : 90 2 I ; f (x; 0 ) 2 L(M ) Potom platí: 1. 8 2 I : f (x; ) 2 L(M ) 2. '() = R f (x; )dx, funk e '() je diferen ovatelná na I M

30

f (x; )dx 3. '0() = R  M Dùkaz: Nejprve uka¾me první bod tvrzení. Dle Lagrangeovy vìty o støední hodnotì platí: f (x; ) f (x; 0 ) f g(x; ) = =  (x; );  2 (0 ; )  0 Odtud v¹ak okam¾itì plyne odhad pro absolutní hodnotu funk e f (x; ), pro  pevné: f
jf (x; )j  f (x; 0 ) +  x;  () j 0 j  jf (x; 0 ) + jg(x)jj 0 j; èím¾ jsme nalezli integrovatelnou majorantu pro f (x; ), opírají e se ov¹em o 5. pøedpoklad. Nyní ji¾ mù¾eme pøedpokládat, ¾e 8 2 M : f (x; ) 2 L(M ). K dùkazu vìty staèí ukázat, ¾e existuje deriva e funk e '() v 0 . Dle de ni e deriva e platí: '0 (0 ) = lim !0 g(x; ). Ale funk e g(x; ) splòuje pøedpoklady vìty o limitì vzhledem k parametru a tím je pøed hozí vìta dokázána. Po zn á m ka o vy¹etøování konvergen e Lebesgueova integrálu: Vy¹etøit konvergen i Lebesgueova integrálu znamená zjistit, zda existuje Lebesgueùv integrál z dané funk e, pøípadnì ukázat, ¾e neexistuje. Ve vìt¹inì pøípadù se integraèní obor nejprve rozlo¾í na nìkolik (koneènì) podmno¾in. Na tì hto jednotlivý h podmno¾iná h se vy¹etøuje konvergen e integrálu zvlá¹» | nejèastìji se pou¾ívá vìta o existen i Lebesgueova integrálu funk e na omezeném intervalu, existuje-li zde integrál Riemannùv. Na okrají h podmno¾in, na ni h¾ le¾í obvykle singularity funk e, zejména pokud zde limita funk e není koneèná, se vy¹etøí porovnáním funk e s funk emi, o ni h¾ je známo, zda konvergují nebo nekonvergují.

Pøíklad:

1

Vy¹etøíme nyní konvergen i integrálu R 1=x dx pro  2 R pevné. Je-li  < 1 existuje zobe nìný 0

1

R 1 koneèná. Pro " > 0 je tedy funk e f"(x) de novaná Riemannùv integrál funk e, tedy spe iálnì je "lim !0+ " x 1 na h"; 1i jako x , vnì nulou, lebesgueovsky integrovatelná (spojitá funk e) a dle Beppo{Leviho vìty pro posloupnost funk í f1=n i vy¹etøovaná funk e lebesgueovsky integrovatelná. 1 1 Je-li nyní naopak   1, potom "!lim0+ R x1 diverguje k +1. Jestli¾e by funk e R x1 byla lebesgueovsky " 0 integrovatelná, oznaème její hodnotu K . Potom pro " > 0 dostateènì malé je hodnota integrálu f" vìt¹í ne¾ K , o¾ je ov¹em¾e ve sporu s monotonií Lebesgueova integrálu. Tedy vy¹etøovaná funk e není lebesgueovsky integrovatelná pro   1.

Cvièení:

11 x dx.

Vy¹etøete konvergen i integrálu R 1

Po zn á m ka o vy¹etøování konvergen e Lebesgueova integrálu: Nyní mù¾eme dále zpøesnit návod k vy¹etøování konvergen e Lebesgueova integrálu. Urèitý interval, kde je vy¹etøovaná funk e spojitá, si rozdìlíme na tøi èásti. Prostøední èást bude tvoøit uzavøený interval, kde je funk e lebesgueovsky integrovatelná. Na krají h intervalu, se vy¹etøovaná funk e porovnává s násobky funk í tvaru f (x) = x1 ; je-li funk e men¹í ne¾ násobek integrovatelná funk e f , získáme po úvahá h obdobný h úvahám v pøed hozím pøíkladu, výsledek, ¾e integrál funk e konverguje. Je-li v¹ak vìt¹í ne¾ násobek neintegrovatelná funk e f , potom integrál funk e nekonverguje. Po zn á m ka o souvislosti zobe nìného Riemannova integrálu a Lebesgueova integrálu: V minulém pøíkladu jsme vidìli, ¾e Lebesgueùv integrál existoval právì tehdy, kdy¾ existoval zobe nìný Riemannùv integrál. V obe ném pøípadì v¹ak tato implika e neplatí, jak ji¾ bylo ukázáno v nìkteré z pøed hozí h b poznámek. Platí ale následují í tvrzení: ne h» existuje (zobe nìný) Riemannùv integrál R f (x) dx a f  0, a

Rb

potom existuje Lebesgueùv integrál f (x) dx a rovnají se. Ètenáø jistì snadno toto tvrzení doká¾e jako a dùsledek Beppo{Leviho vìty. Po zn á m ka o vy¹etøování konvergen e Lebesgueova integrálu: Vy¹etøujme konvergen i R f , spojité M

31

mimo koneènì mnoha bodù | singularit. Ne h» S Mi = M a funk e je na ka¾dé mno¾inì Mi spojitá. i2I Dle vìty o závislosti integrálu na integraèním oboru platí R f = P R f . Singularity budou obvykle body, i2I Mi M kde funk e nemá vlastní limitu | v opaèném pøípadì ji zde spojitì dode nuji. Ne h» b je vy¹etøovaná singularita. Ne h» platí: lim f (x) 2 R ;  < 1 1

x!b

x

Potom je násobek funk e x1 integrovatelnou majorantou funk e f na levém okolí bodu b a dle Beppo{ Leviho vìty zde integrál funk e konverguje. Ne h» naopak platí: lim f (1x) > 0;   1 x!b x

Potom by na levém okolí bodu b byla funk e f integrovatelnou majorantou násobku funk e x1 , a tedy by dle Lebesgueovy vìty integrál funk e x1 na levém okolí bodu b konvergoval, o¾ je ov¹em spor. Integrál funk e f tedy na levém okolí b nekonverguje. Pøíklad: Vypoètìme +1 Z 2 I (b) = e ax osh(bx) dx; a; b 2 R : 1

Urèete I 0 (b), je-li a > 0. Nejprve proveïme následují í výpoèet: +1 Z

1 "

2 e ax 2a

 ax2 e

osh(bx) dx = b # +1

sinh(bx)

+ 2ba 1

+1 Z

1

e

ax2

+1 Z

1

2 xe ax sinh(bx) dx =

osh(bx) dx =

b 2a

+1 Z

1

2 e ax osh(bx) dx

Nyní ovìøme pøedpoklady vìty o deriva i podle parametru: 1. b f (x; b) existuje pro v¹e hny x; b 2 R 2. Funk e f (x; b) je pro b pevné spojitá, a tedy mìøitelná. 3. Potøebujeme nalézt integrovatelnou majorantu funk e b f (x; b) = xe ax2 sinh(bx). Tu se nám nepodaøí nalézt pro v¹e hny b najednou, ale dle vìty o deriva i podle parametru, se pro libovolné b staèí omezit na 2netriviální interval obsahují í b | napøíklad ( B; B ). Majorantou je pak napøíklad sup jxe ax sinh(bx)j = jxe ax2 sinh(Bx)j, která je spojitá, a tudí¾ integrovatelná. b2( B;B )

4. Ovìøení posledního pøedpokladu o konvergen i integrálu b 2 ( B; B ) je snadné, napøíklad pro b = 0. Dle vìty o deriva i funk e podle parametru tedy platí: b I 0 (b) = 2a

+R1

1

2 e ax osh(bx) dx

pro alespoò jedno

+1 Z

1

2 e ax osh(bx) dx

Zkusme je¹tì urèit hodnotu integrálu nebo jeho deriva e. Pøedev¹ím si pov¹imnìme, ¾e platí I 0(b) = 2 =4a b (b=2a)I (b), potom ale nutnì platí I (b) = Ke , K 2 R . Velikost K urèíme z hodnoty integrálu pro +R1 p 2 b = 0, která je e ax dx = a . Zjistili jsme tedy, ¾e: 1

I (b) =

r

32

 4b2a e : a

x12.

Hilbertùv prostor

L2 (M )

Po zn á m ka o konstruk i L2(M ): Nyní zkonstruujeme Hilbertùv prostor nad prostorem M. Budeme postupovat analogi ky konstruk i Bana hova prostoru L1(M ). De ni e 18: Prostor L2 (M ) Ne h» M 2 , potom oznaème L2 = ff 2 M (M ); jf j2 2 L(M )g. Zaveïme na této mno¾inì rovnost dvou funk í, jestli¾e se tyto funk e rovnají skoro v¹ude. Oznaème L2(M ) mno¾inu tøíd funk í z L2(M ), které se rovnají dle zavedené rovnosti. Po zn á m ka o prostoru L2(M ): Prostor L2(M ) je lineární vektorový prostor | linearitu lze dokázat napøíklad za pou¾ití KA{nerovnosti20. De ni e 19: Skalární souèin na L2 (M ) De nujme skalární souèin funk í f a g z L2(M ) jako hf jgi = R fg. M

Po zn á m ka o skalárním souèinu na L2(M ): Ètenáø jistì snadno ovìøí, ¾e skalární souèin, který jsme de novali má vlastnosti skalárního souèinu: 1. hf1 + f2jgi = hf1 jgi + hf2 jgi 2. hf jgi = hgjf i 3. hf jf i = 0 () f = 0 Dále je samozøejmì potøeba ovìøit, ¾e skalární souèin na tomto prostoru je dobøe de nován | tj. je koneèný. Plyne to pøímo z KG{nerovnosti21: jfgj  12 jf j2 + 21 jgj2 : p

Po zn á m ka o normì prostoru L2(M ): Dle poznatkù z lineární algebry je tedy jjf jj = hf jf i normou prostoru L2(M ). Vìta 31: o úplnosti L2 (M ) Prostor L2(M ) je Hilbertùv prostor. Po zn á m ka k dùkazu vìty: Doporuèujeme, aby ètenáø porovnal dùkaz této vìty s dùkazem RieszFis herovy vìty. Ètenáø se té¾ mù¾e zamyslet, zda má smysl konstruovat prostory Lp(M ), kde p  1. Dùkaz: Ne h» fn je libovolná au hyovská posloupnost funk í z L2 (M ), tj. platí (8" > 0)(9n0 2 N )(8m; n > n0 )(jjfn fm jj < "). 1. Sestrojme rostou í posloupnost pøirozený h nk takový h, ¾e platí jjfnk+1 fnk jj < 21k (lze díky n

au hyovskosti posloupnosti funk í). De nujme funk i Fn = P jfnk+1 fnk j. k=1 Platí: Z n  1=2 X jFn j2 = jjFn jj  jjfnk+1 fnk jj < 1: Dále oznaème 20 21

q q

k=1

F

= nlim !1 Fn =

2 +y 2

x+y 2  2 p x2 +y 2 2  xy. x

33

1 X k=1

jfnk+1 fnk j:

2 2 2 2 R 2 Zøejmì platí nlim !1 jFn j = jF j , pøièem¾ ov¹em jFn j % jF j a jFn j < 1, a dle Beppo{Leviho vìty tedy platí jF j2 2 L(M ). jF j2 je potom koneèná s.v., 1a tím pádem i jF j je s.v. koneèná. 1 P jfnk+1 fnk j proto konverguje, a tedy konverguje i øada P (fnk+1 fnk ). Potom ale existuje

k=1

lim f = k!1 nk

1 X k=1

k=1

(fnk+1

df fnk ) + fn1 = f:

2 2. Nyní uka¾me, ¾e je f 2 L2(M ). Platí: jf fnk j2 = plim !1 jfnp fnk j . Pro ka¾dou z funk í nále¾í jfnp fnk j2 2 L(M ) a dle Lebesgueovy vìty i pro jeji h limitu platí jf fnk j2 2 L(M ). Tedy f fnk 2 L2 (M ) a fnk 2 L2 (M ). Potom ale f 2 L2 (M ), nebo» L2 (M ) je lineární vektorový prostor. 3. Poslední krok je ukázat platnost nlim !1 fn = f . Ov¹em¾e platí: jjfn f jj  jjfnk fnjj + jjfn f jj: Oba èleny na pravé stranì jsou v¹ak pro n a nk dostateènì men¹í ne¾ libovolné " > 0; odhad prvního plyne z au hyovskosti posloupnosti a odhad druhého plyne zejména z úvah v prvním bodì dùkazu. 12.1 Obe ná konstruk e Lebesgueova integrálu

Vìta 32: Ne h» X je libovolná mno¾ina. Ne h» A je libovolný systém mno¾in z X , pro který platí: 1. (8B; C 2 A)(B [ C ) ) (B \ C 2 A)

2. (8B; C 2 A)(B  C ) ) (C n B 2 A)   1 S Bn = X 3. (8Bn 2 A; n 2 N ) n=1 Ne h»  : A ! R je mno¾inová funk e s následují ími vlastnostmi: 1. 8B 2 A : (B)  0  1 1  P 1 S S (Bn ) Bn = 2. 8Bn 2 A; Bn disjunktní; Bn 2 A :  n=1 n=1 n=1  je elementární míra na A. Oznaème H lineární vektorový prostor tvoøení funk emi tvaru h(x) = P j Aj , kde J je koneèná j 2J mno¾ina a Aj 2 A. Integrál této funk e de nujme jako R h = P j (Aj ). Prostor H s takto de novaným j 2J integrálem má vlastnosti 1 a¾ 5 z vìty (8). Zopakujeme-li konstruk i Lebesgueova integrálu zùstanou v platnosti limitní vìty a vìty o závislosti na integraèním oboru. Po zn á m ka o Fubiniho vìtì a vìtì o substitu i: Fubiniho vìta platit nebude, nebo» obsahuje jisté po¾adavky na tvar mno¾in, pøes které se integruje | vy¾aduje, aby se daly zapsat jako kartézský souèin jiný h mno¾in. Vìta o substitu i je typi ká pro R n, a tedy platit také obe nì nebude. Po zn á m ka o pravdìpodobnosti a integrálu: Pravdìpodobnost, jak ji¾ bylo øeèeno v pøede¹lý h poznámká h, lze vyjádøit jako troji i (X; A; ), kde X je mno¾ina jevù, A systém jeji h podmno¾in a  funk e, která jim pøiøazuje pravdìpodobnosti. Lze ovìøit, ¾e tato mno¾ina má vlastnosti Lebesgueova integrálu. Po zn á m
ka o Stieltjesovì míøe a integrálu: Ne h» F je neklesají í zprava spojitá funk e. De nujme  (; i = F ( ) F (). Takto zavedenou míru lze vyu¾ít ke konstruk i Lebesgue{Stieltjesova integrálu. Spe iálnì, je-li F 0 = g spojitá, potom R f dF =df R fg dx | funk e g tedy vyjadøuje þhustotuÿ. M M Je-li F (x) = 0 pro x < a F (x) = 1 pro x  , potom platí (M ) = 1 () 2 M , jinak je (M ) = 0. 34

11 Køivkový a plo¹ný integrál

x1.

Úvod

V této kapitole se budeme zabývat integra í v R n po mno¾iná h þdimenzeÿ men¹í ne¾ n | název napovídá, o je tím my¹leno. Pro funk i de novanou napøíklad na plo¹e nemá smysl pou¾ít metody z pøed hozí kapitoly, toti¾ dode novat ji v¹ude mimo plo hu nulou. Integrál by byl samozøejmì roven nule (zopakujte vìtu (26)). Pokud by plo ha þdimenzeÿ22 k byla podmno¾inou nìjakého R k (tedy byla þrovnáÿ), vìdìli by hom si rady. V opaèném pøípadì tu¹íme, ¾e vhodnou (nelineární) transforma í souøadni , by bylo v nìkterý h pøípade h mo¾né plo hu þnarovnatÿ. Oèekáváme proto obdobu vìty o substitu i, která nám umo¾ní dát takovým integrálùm smysl. Druhým významným poznatkem bude souvislost mezi integrálem pøes oblast M a integrálem pøes hrani i této oblasti, tj. M . S pøíslu¹nými vzor i ji¾ ètenáø umí za házet, proto se nejprve pokusíme systematizovat na¹e vìdomosti v této oblasti a vyslovit obe né tvrzení, které pozdìji doká¾eme. Po zn á m ka : Ètenáøi jsou jistì známy termíny þskalární poleÿ, þvektorové poleÿ. þPolemÿ máme obe nì na mysli zobrazení F : R n ! R m, pøièem¾ pøes R n zamý¹líme pole nìjakým zpùsobem integrovat a m bývalo èasto rovno 1 nebo n ( o¾ odpovídá dvìma vý¹euvedeným pøíkladùm polí). Po zn á m ka o køivkový h integrále h: Za køivku v R n pova¾ujme mno¾inu C  R n, pro ni¾ existuje spojitì diferen ovatelné zobrazení ' : ha; bi  R ! R n takové, ¾e '(ha; bi) = C . Pomo í ' je køivka parametrizována, ka¾dému þèasuÿ t 2 ha; bi je pøiøazena poloha na køiv e '(t). Ètenáø patrnì pou¾íval køivkový integrál ze skalárního, resp. vektorového pole f , resp. F, které poèítal podle vzor ù23:
pPn Rb R 0 (23) i=1 ' (t) dt; C f ds = a f '(t)
0 R b Pn R (24) C F
ds = a i=1 Fi '(t) 'i (t) dt: Znaky ds a ds znaèily element dráhy po køiv e (jeho délku nebo jeho vektor). Výraz na pravé stranì (23) pøipomíná vzore pro délku køivky v R n pou¾itý na þkøivkuÿ ds. Z formálního hlediska zde mù¾eme vidìt analogii s vìtou o substitu i v Newtonovì integrálu: ds 7! jj'0 jj dt, ds = '0 dt (tedy vyjádøení ds, ds pomo í parametrizaèní funk e ' a dt). Pokud v pøípadì vektorového pole F nezávisel integrál na prùbìhu samotné køivky, ale jen na její h krajní h bode h, bylo skrze nìj mo¾né jednoznaènì (a¾ na konstantu) de novat poten iál U tohoto pole: 8x; y 2 R n :

Z y

x

df U (x) U (y ) F ds =

(25)

Vzpomeòme si na Newtonùv vzore v R 1 : Rab f 0(x) dx = f (b) f (a). Integrál z deriva e f pøes køivku v R 1 (úseèku) souvisí s hodnotami f v krajní h bode h. Oèekáváme proto, ¾e F by mohlo být také v jistém smyslu þderiva eÿ U . Tuto deriva i oznaèujeme symbolem rU a po dosazení do (25) je mo¾né (25) pova¾ovat za de ni i operátoru r. Po zn á m ka : Integrály (23), (24) se nazývají køivkové integrály prvního a druhého druhu. Cvièení: Zkuste si rozmyslet, jak z této de ni e uká¾ete, ¾e v kartézský h souøadni í h má r skuteènì tvar      ; ; r = x : (26) y z Po zn á m ka o plo¹ný h integrále h: Plo hu v R n de nujme opìt pomo í spojitì diferen ovatelného zobrazení  : R 2  O ! R n, tentokrát pro mno¾inu O. Samotná plo ha S bude potom mno¾ina otevøenou

22 Pre iznìji øeèeno, má-li mno¾ina P (plo ha) v R nenulovou míru. 23 Pokud integrujeme po þrovnéÿ oblasti, èemu¾ lzek samozøejmì napomo i vhodnou volbou souøadni , deriva e ' vymizí

(budou identi ky rovny konstantì, èasto jedniè e).

35

(O). Pro n = 3 bude mít  tvar  = (1; 2; 3) = (u; v), u; v 2 R . I v tomto pøípadì lze uva¾ovat plo¹né integrály prvního, resp. druhého druhu pøes skalární, resp. vektorová pole. Je tøeba ov¹em vymyslet, jak vyjádøit element plo hy dS pomo í  (ètenáø doposud pravdìpodobnì pou¾íval ortogonální parametriza e24, kde platilo þdS = j duj
j dvjÿ, þdélkaÿ du, dv mohla pøípadnì záviset na u; v | viz pøíklad). Pro obe né souøadni e u; v je pøirozené brát dS =



    d u d v=  u v u v



du dv;

(27)

nebo», jak jsme vidìli u køivkového integrálu druhého druhu, vektor  (u0; v0)=u du má význam vektoru elementu dráhy po køiv e v = v0 = konst. v bodì u0. Plo¹né integrály (v R 3) je pak pøijatelné poèítat pomo í vzor ù

R R

  f f d S =  (28)

u v du dv; O S   R R   (29) S F
dS = O F
u  v du dv: Cvièení: Analogie s vìtou o substitu i (tentokrát ji¾ spí¹e s vìtou probranou v kapitole o Lebesgueovì integrálu) vysvitne, pokud vektorový souèin v (28) rozepí¹eme do slo¾ek. Pøedpokládejte, ¾e  = (1 ; 2 ; 3 ) je zapsáno ve vhodné bázi: ortonormální, aby bylo mo¾no vektorový souèin poèítat známým jednodu hým vzor em, a takové, ¾e  =u i  =v jsou kolmé na (0; 0; 1). Výsledkem by mìl být determinant Ja obiho mati e. Pøíklad: Ve fyzi e se èasto pou¾ívají ylindri ké a sféri ké souøadni e. Zvolme v obou pøípade h plo hy  = konst., resp. r = konst. a vzpomeòme si na vyjádøení plo¹ný h elementù na tì hto plo há h (tyto elementy byly oznaèovány dS% , resp. dSr ). 9 9 x = r os  os '= x = % os '= y = % sin ' dS% =  d' dz 0 y = r os  sin ' dSr = r2 sin  d d': ; ; z = r sin  z = z0

Po zn á m ka : Zopakujme je¹tì vìty, které hovoøily o plo¹ný h a objemový h integrále h v R 3. Gaussova vìta o divergen i tvrdila, ¾e pro þrozumnouÿ oblast  R 3 (objem), její hrani i  a þrozumnéÿ vektorové pole T jsou si rovny integrály Z



r
T dV =

Z



T
dS:

(30)

Stokesova vìta naopak ukazovala souvislost mezi rota í T na plo¹e S a T na hrani i S této plo hy: Z




S

r  T
dS =

Z

Obì tyto vìty spoleènì s (25) mají jednotný tvar, toti¾ Z

M

dT =

Z

M

S

T
ds:

T:

(31) (32)

Integrál z vektorového pole pøes hrani i oblasti M je roven integrálu þnìjaké deriva eÿ pole pøes vnitøek M , to v¹e v prostoru R n . Tuto (zatím) my¹lenku nazveme pozdìji obe nou Stokesovou vìtou. Jak jsme ji¾ naznaèili v úvodu, stojí pøed námi tedy dva úkoly: 1. Najít zpùsob, jak þrozumnìÿ integrovat pøes oblast  R k v R n. 2. Zjistit, jak má být de nována þnìjaká deriva eÿ v (32).

24 Køivky u = konst. a v = konst. na S jsou na sebe v¾dy kolmé.

36

Pøeformulujte Gaussovu a Stokesovu vìtu pro R 2. Po zn á m ka : Vra»me se je¹tì k plo¹nému integrálu druhého druhu. Pokud integrujeme vektorové pole T = (T1 ; T2 ; T3 ) a polo¾íme dS = (dx2 dx3 ; dx3 dx1 ; dx1 dx2 ), nabude zøejmì integrál tvaru Cvièení:

Z

S




T1 dx2 dx3 + T2 dx3 dx1 + T3 dx1 dx2 :

(33)

Pøi pøe hodu od x1 ; x2; x3 k u; v pou¾ijeme (podle vìty o substitu i a poznámky vý¹e) determinant Ja obiho mati e 0 x x 1 dxi dxj = det

B 

i

u xi v

j

u C du dv: xj A v

(34)

Pozorný ètenáø mo¾ná namítne, ¾e ve vìtì o substitu i byl determinant v absolutní hodnotì. Tam byl ale na
 : (u; v) 7! (x1 ; x2 ; x3) kladen po¾adavek regularity. V jednorozmìrném pøípadì (f (x) dx 7! f '(t) '0 (t) dt) tento po¾adavek25 nebyl, a ja obián (tj. '0 (t)) zde potom v absolutní hodnotì. Podmínka '0 (t) 6= 0 by zajistila, aby paramtriza e ' nemohla køivku (úseèku v R 1), pøes kterou integrujeme, probìhnout ví ekrát (aby se nemohla þvra etÿ). V pøípadì plo¹ného integrálu má také smysl hovoøit o orienta i plo hy, tj. smìru normály dS kvùli tomu, ¾e T
dS 6= T
( dS). Odpovídá to tomu, ¾e pøi výpoètu dS pomo í (27) zále¾í na poøadí souøadni u; v, o¾ se v (34) projeví zmìnou znaménka pøi výmìnì øádkù v determinantu. Stejného efektu ov¹em do ílíme pøi výmìnì sloup ù, tedy zji¹»ujeme, ¾e dxi dxj = dxj dxi . Pøi házíme tak k my¹len e zavést mezi elementy dxi nový druh násobení. Kromì vý¹euvedené antikomutativity by ov¹em mìlo mít v¹e hny vlastnosti obyèejného násobení. Nové násobení (brzy jej nazveme vnìj¹í souèin) bude mít zajímavou vlastnost: 8i; j 2 f1; : : : ; ng : dxi ^ dxj = dxj ^ dxi ) 8i 2 f1; : : : ; ng : dxi ^ dxi = 0: (35) není

Pøíklad: Uká¾eme, jak naopak jen z této de ni e þnásobení diferen iálùÿ mezi xi ; xj a u; v. Bereme-li xi = xi (u; v), xj = xj (u; v), mù¾eme psát

Nyní dosaïme =

vyplyne vztah pro pøe hod

i j j i du + x dv; dxj = x du + x dv: dxi = x u v u v 







xj x x i d u + i dv ^ d u + j dv = dxi ^ dxj = x u v u v xi xj i xj i xj i xj du ^ du + x du ^ dv + x dv ^ du + x dv ^ dv = u u u v v u v v 0 xi xj 1 xi xj xi xj u u C d u ^ dv du ^ dv = det B  xi xj A du ^ dv: u v v u v v

Shròme nyní na¹e poznatky o zpùsobe h, jak integrovat skalární èi vektorová pole (f èi T) po plo há h, a pokusme se je roz¹íøit i na plo hy v R 4. 25 Regularita, tj. nenulovost ja obiánu zde znamená triviálnì '0 (t) 6= 0.

37

Dimenze Integrovaný výraz plo hy 0 f , místo integrálu bereme jen funkèní hodnotu v bodì V R 2: 1 T1 dx1 + T2 dx2 ; 2 f dx1 ^ dx2 26 0 f, 1 T1 dx1 + T2 dx2 + T3 dx3 ; V R 3: 2 T1 dx2 ^ dx3 + T2 dx3 ^ dx1 + T3 dx1 ^ dx2 ; 3 f dx1 ^ dx2 ^ dx3 0 T; , 1 T1 dx1 + T2 dx2 + T3 dx3 + T4 dx4 ; V R 4: 2 T12 dx1 ^ dx2 + T13 dx1 ^ dx3 + : : : ; 3 T123 dx1 ^ dx2 ^ dx3 + T134 dx1 ^ dx3 ^ dx4 + : : : ; 4 T1234 dx1 ^ dx2 ^ dx3 ^ dx4 : V pøípadì R 4 jsme ji¾ pøe¹li k výhodnìj¹ímu znaèení slo¾ek pole T. Vidíme, ¾e pokud integrujeme pøes þk-rozmìrnouÿ plo hu v R n, sestavujeme integrand jako lineární kombina i souèinù typu dxi1 ^ : : : ^ dxik , pøièem¾ mno¾inu indexù I vybíráme z f1; : : : ; ng. Nezávislé souèiny budou ty, které se li¹í alespoò jedním indexem. Pokud se dva souèiny li¹í pouze poøadím indexù (napø. a dx2 ^ dx3 + b dx3 ^ dx2), mù¾eme je snadno s vyu¾itím (35) seèíst. Koe ienty této lineární kombina e jsou pak slo¾ky integrovaného pole, a je tedy logi ké je oznaèovat v¹emi indexy pøíslu¹ného souèinu. To, zda za slo¾ku pole budeme pova¾ovat napø. T123 nebo T213, které se li¹í znaménkem, je jen otázka konven e. Zapsáno formálnì jsme se tedy rozhodli de novat Z Z n X df ' : R k  O ! R n; T= Ti1 ;:::;ik dxi1 ^ : : : dxik ; I = fi1; : : : ; ik g  f1; : : : ; ng: (36) Prostor

'(O )

'(O ) I

Výraz, jeho¾ strukturu jsme právì þuhádliÿ, se nazývá diferen iální forma. Ve druhém kroku se pokusíme urèit, o se skrývá za pojmem þnìjaká deriva eÿ. Inspirováni Newtonovým vzor em, pota¾mo formálním zápisem (32), zkusíme vzít dT jako totální diferen iál T . Pøíklad: Ve Stokesovì vìtì o rota i je T = T1 dx1 + T2 dx2 + T3 dx3 . Bereme-li d(dxi ) = 0 (dxi nezávisí na ¾ádné ze souøadni xj ), mù¾eme dT zapsat následovnì:
d T = d T1 dx1 + T2 dx2 + T3 dx3 = dT1 ^ dx1 + dT2 ^ dx2 + dT3 ^ dx3 =     T1 T2 T1 T1 T2 T2 = x dx1 + x dx2 + x dx3 ^ dx1 + x dx1 + x dx2 + x dx3 ^ dx2+

1

2

+



3

1

T3 dx + T3 dx + T3 dx x1 1 x2 2 x3 3



2

^ dx3 :

3

Pou¾ijeme-li de ni i násobení diferen iálù (35), po roznásobení závorek se nìkteré èleny anulují a jiné bude mo¾no seèíst za enu zmìny znaménka. Dospìjeme k výrazu       T3 T2 T1 T3 T2 T1 d x1 ^ dx2 + d x2 ^ d x3 + dx3 ^ dx1 ; x1 x2 x2 x3 x3 x1 který má správný tvar pro integra i pøes dvoudimenzionální plo hu v R 3. Integrované pole lze hápat jako vektorové pole se slo¾kami vektoru r  T. Po hopili jsme ji¾ význam vnìj¹ího násobení þ^ÿ, pokusíme se proto nyní vybudovat pøíslu¹nou teorii pre iznì. Pøed tím ale je¹tì uèiníme malou odboèku jako ukázku u¾ití Gaussovy vìty ve variaèním poètu. Zopakujme, o øíká Gaussova vìta. Pro vektorové pole f = (f1; : : : ; fn) hladké na  R n platí27 Z Z r
f dx = f
n dS;

27 znaèí uzávìr mno¾iny (tj. sjedno ena s  ).



38

kde n = (n1; : : : ; nn) znaèí normálový vektor elementu plo hy dS . Toto tvrzení je snadným dùsledkem Greenovy vìty, podle ní¾ dokon e platí pro ka¾dé i = 1; : : : ; n a hladkou funk i g na

Z

Z

g dxi = gni dS: 

xi

(37)

Tuto vìtu nyní doká¾eme v R 2 pro spe iální volbu za pøedpokladu g  0 na  . Ètenáø se ji¾ pravdìpodobnì s tímto dùkazem døíve seznámil, a následují í odstave slou¾í tedy spí¹e jako opakování. Pozdìji doká¾eme obe nou Stokesovu vìtu, jejím¾ spe iálním pøípadem je i Gaussova vìta. Po zn á m ka : Vidíme opìt analogii mezi Greenovou vìtou a Newtonovým vzor em Rab f 0(x) dx = f (b) f (a). Greenovu vìtu budeme dokazovat napø. pro i = 2. Pøedpokládejme, ¾e lze hrani i  R 2 rozdìlit na dvì èásti, které jsou grafy urèitý h funk í a1(x1 ); a2 (x2 ) na ha; bi a ¾e a1(a) = a1 (b) = P . Oblast

rozdìlíme pøímkou x2 = P na þhorníÿ a þdolníÿ èást 1 ; 2. Pro výpoèet integrálu na levé stranì (37) pou¾ijeme Fubiniho vìty Z Z b Z b Z a1 (x1 ) Z b g g(x1 ; x2 ) dx = dx2 dx1 = g x1 ; a1(x1 )
g(x1 ; P ) dx1 = g(x1 ; P ) dx1 :

1 x2

a

x2

P

a

a

Analogi ky vypoèteme integrál pøes 2, elkem získáme Z

Z

Z

Z

b
g g g d x= d x+ d x= g(x1 ; P ) + g(x1 ; P ) dx1 = 0; x x x

2

1 2

2 2 a

o¾ je samozøejmì rovno integrálu z g po  , kde je g identi ky nulová. Pro dvì funk e hladké funk e g; h dává tato vìta spoleènì s vìtou o integra i per partes jednodu hé

tvrzení:

8x 2  : h(x)  0 )

Z

Z

Z

h dx + ghni dS =

xi 

g h dx =

xi

g

Z

h dx:

xi

(38)

g

Proberme je¹tì pojem funk ionálu pro funk e ví e promìnný h. Pøednì uva¾ujme þkulturníÿ28 mno¾iny . Budi¾ f = f (x1; : : : ; xn; y; z1; : : : ; zn) hladká funk e na  R n+1. Funk í hladkou na uzavøené mno¾inì máme na mysli funk i hladkou na nìjaké otevøené nadmno¾inì : 

C 1 ( ) = y : ! R n j 9O 















9y~ : O ! R n y~ 2 C 1 ( ) & y = y~ na :

Stejnì jako v kapitole o variaèním poètu de nujeme je¹tì C1 ( ) jako funk e hladké na s nulovými hodnotami na  . Klasi ký funk ionál nad vý¹euvedeným prostorem má pak tvar 8y 2 C 1 ( ) :

(y) =

Z





f x; y; ry



dx =

Z





f x1 ; : : : ; xn ; y;

y y ;:::; ) dx: x1 xn

Spoèítejme nyní Gateauxùv diferen iál (y) a pokusme se sestavit pøíslu¹né Euler{Lagrangeovy rovni e. Postup bude témìø shodný jako v kapitole o variaèním poètu. Pro první krok (deriva e ve smìru h, h 2 C1 ( )) pou¾ijeme de ni i: Z b Z b  (y + th)   Æh (y) = =  f (x; y + th; (y + th); : : : ;  (y + th) dx = fh dx = t

=

t x1 xn n  X h  f (x; y; z1; : : : ; zn)j(z1 ;:::;zn)=ry dx: h f (x; y; ry) + y a i=1 xi zi

t=0 Z b 

t t=0 a

a

28 Kompaktní a souvislé.

39



t=0

Prozkoumejte, zda byly splnìny pøedpoklady pro pou¾ití vìty o zámìny integrálu a deriva e. Pokud nìkteré hybí, zamyslete se, zda je þrozumnéÿ je skuteènì po¾adovat. Nyní pou¾ijeme þmetodu per partesÿ, pøesnìji ka¾dou slo¾ku v sumì zvlá¹» upravíme pomo í (38) | zde tedy pøi hází k u¾ití Greenova vìta. Dostaneme opìt sumu Cvièení:

Æh (y) =

Z b

a

h

n i X   h  f (x; y; ry) h f (x; y; z1; : : : ; zn)j(z1 ;:::;zn)=ry dx: y i=1 xi zi

(39)

Lemma: Ne h» f 2 C 1 ( ) je pevná funk e a ne h» pro ka¾dé g 2 C1( ) platí Z



fg dx = 0:

Potom f  0 na . Dùkaz: provedeme pro jednorozmìrné (rovné ha; bi), ètenáø ne h» my¹lenku sám roz¹íøí na dvourozmìrné þkulturníÿ mno¾iny . Budeme postupovat sporem. Ne h» existuje x0 2 takové, ¾e napø. f (x0 ) = A > 0. Pak ze spojitosti f plyne, ¾e existuje okolí U"(x0 )  , na nìm¾ je v¹ude f (x) > A=2. Nyní u¾ jen staèí najít vhodnou funk i g (napøíklad nezápornou), která bude nabývat nenulový h hodnot pouze na U" (x0 ) a její¾ integrál B pøes

bude kladný. Pak bude zøejmì R gf  R gA=2 = AB=2 > 0, o¾ je spor. Je zøejmé, ¾e jediný problém je po¾adavek hladkosti (jinak by staèilo brát funk i identi ky rovnou nule mimo U" (x0 ) a identi ky rovnu B=2" uvnitø). Ke konstruk i vyu¾ijeme funk i exp ( 1=x2). Pøesný postup v konkrétním pøípadì uká¾eme na následují ím pøíkladu. Pøíklad: Sestrojme hladkou funk i na I = ( 2; 2), která nabývá nenulový h hodnot pouze na ( 1; 1), a její¾ integrál pøes I je vìt¹í ne¾ dvì. Na¹ím ílem bude funk e, která má na ( 1=2; 1=2) hodnoty vìt¹í ne¾ dvì a mimo ( 1; 1) je identi ky rovna nule. Pokud bude nezáporná, bude její integrál tím pádem vìt¹í ne¾ 2. Staèí u¾ jen najít þhladké propojeníÿ mezi body 1; 1=2 a 1=2; 1. Ji¾ víme, ¾e funk e exp( 1=x2) dode novaná v x = 0 nulou je v tomto bodì spojitá a v¹e hny její deriva e jsou zde nulové29. Tím pádem je ale i hladká na R . Podobnì bude hladká i funk e ( 1 1 x2 pro jxj < 1 f (x) = e 0 pro jxj  1:

Proto¾e je tato funk e sudá a na ( 1; 0) rostou í, mù¾eme z f ( 1=2) > 1=e2 usoudit, ¾e funk e 2e2f (x) je urèitì na ( 1=2; 1=2) vìt¹í ne¾ dvì. Tato funk e proto splòuje v¹e hny na¹e po¾adavky. Nyní ji¾ vidíme, ¾e pro kriti ký bod y funk ionálu  (tj. Æh(y) = 0 pro ka¾dé h) musí na platit n i X   h  f (x; y; ry) h f (x; y; z1 ; : : : ; zn )j(z1 ;:::;zn)=ry = 0: y i=1 xi zi Eulerova{Lagrangeova rovni e pro funk ionál nad prostorem funk í n-promìnný h.

(40)

Toto je Jedná se ov¹em o par iální diferen iální rovni i druhého øádu, a její øe¹ení v obe ném pøípadì je tím pádem velmi obtí¾né. n P Pøíklad: Buï funk e f klasi kého funk ionálu dána f (xi ; y; zi ) = jz j2 = zi . Hledáme tedy minimum i=1 funk ionálu Z jryj2 dx:

Z Eulerový h{Lagrangeový h rovni získáme podmínku f   y  = 2 zi ) 2 = 0; to jest r2y = 0: z x x i

i

i

29 Opakování z prvního semestru: místo jednostranné deriva e v nule vy¹etøujeme limitu oboustranný h deriva í do nuly,

pou¾íváme l'H^ospitalova pravidla.

40

Toto je známá Lapla eova rovni e vyjadøují í napøíklad prùbìh elektrostati kého poten iálu v prostoru bez nábojù. Její øe¹ení se nazývají harmoni ká a mohou napøíklad záviset pouze na radiální souøadni i (y = y(r)) a být pak ve tvaru ln jrj pro n = 2 a jrj2 n pro ostatní n. Pøíklad: Na M  R 4 (èasoprostoru) de nujme klasi ký funk ionál pomo í f (xi ; y; zi ) = z02 z12 z22 z32 my2 , i = 0; : : : ; 3. De ni e skalárního souèinu na M je jiná, ne¾ jsme doposud pou¾ívali: (a0; a1; a2; a3)
(b0 ; b1; b2; b3) = a0b0 Funk ionál a Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pak mají tvar (y) = 2y 2my 2 x 2 0

 2y + 2 x 2 1

 2y + 2 x 2 2

Z



3 X i=1

a i bi :




kryk2M my2 dx; 2

2

y  2 + 2 x 2 = 0; de nujeme-li 2 = x2
= rM ; 3 0 (2 m)y = 0: V posledním øádku je uvedena tak zvaná Klein{Gordonova vlnová rovni e. p Pøíklad: Na R n budi¾ f (xi ; y; zi ) = 1 + jz j2 . Pøíslu¹ný funk ionál pak dává obsah plo hy y = y(xi ) v R n+1. Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pak vedou k urèení extremální plo hy (takto lze zjistit napøíklad plo hu s minimálním obsahem). ! n X  y 1 p 2 = 0: i=1 xi xi 1 + jry j

Zkuste sestavit Eulerovy{Lagrangeovy rovni e pro funk ionály de nované funk emi f~: f~(xi ; y; zi ) = f (xi ; y; zi) 2ky; k = konst. kam za f dosazujeme funk i z nìkterého ze tøí pøed hozí h pøíkladù. Takto þzapoèítámeÿ do na¹i h úloh poten iální energii v gravitaèním poli (k = mg=2). Cvièení:

x2.

Vnìj¹í algebry vektorového prostoru

Je-li I koneèná mno¾ina, oznaèíme jI j poèet její h prvkù (poten i mno¾iny I ). Pí¹eme-li pro dvì mno¾iny A ' B, máme tím na mysli, ¾e mezi A a B existuje bijek e (vzájemnì jednoznaèné zobrazení). Mno¾iny si tedy navzájem urèitým zpùsobem þodpovídajíÿ, napøíklad jako prostor a jeho duální prostor. Po zn á m ka : Algebrou nazýváme (neprázdnou) mno¾inu A nad tìlesem T s dvìma vhodnì de novanými opera emi mezi prvky z A: sèítáním (+) a násobením (
). Na v¹e hny opera e klademe po¾adavek uzavøenosti a dále pøidáváme aso iativitu, distributivitu, pøípadnì i komutativitu. Pøíklad: Algebra polynomù nebo ra ionální h lomený h funk í. Rozmyslete si, jak je to s neutrálními a inverzními prvky sèítání a násobení u tì hto algeber. Po zn á m ka : Máme-li daný vektorový prostor V , je zøejmé, ¾e jediná pøeká¾ka, která brání vytvoøení algebry z V , je opera e násobení mezi prvky V . Uva¾ujme ve V bázi feg2M . Prostor V pak lze zapsat Oznaèení:

V

=

n

a=

X

2M

a e ja 2 R

41

o

' R jM j :

Pokud po¾adujeme, aby hledané násobení mìlo þrozumné vlastnostiÿ (bylo napø. distributivní vùèi sèítání), pøevedeme problém, èemu je roven souèin a
b pro libovolná a; b, na otázku jak de novat ei
ej ; 8i; j 2 M . Pøíklad: V R 2 s kanoni kou bází e1 , e2 uva¾ujme antikomutativní násobení ^. Jednou z mo¾ností je prostor R 2 o prvek e12 =df e1 ^ e2 a dále o jednotkový prvek násobení 1 =df e;. Nový prostor pak bude lineární obal (R 2) = L(fe;; e1; e2; e12g): Násobení v tomto prostoru bude dáno tabulkou, kterou ji¾ snadno odvodíme z aso iativity a antikomutativity roz¹íøit

^

e; e1 e2 e; e1 e2 e1 0 e12 e2 e12 0 e12 0 0 e2 ^ (e1 ^ e1 ) = 0.

e12 e12

e; e1 0 e2 0 e12 0 Napøíklad e12 ^ e1 = (e1 ^ e2) ^ e1 = V¹imnìme si je¹tì, ¾e prvky báze  jsou indexovány podmno¾inami M

= f1; 2g. Prostor  lze tedy

rozlo¾it podle poètu prvkù tì hto podmno¾in: 0-vektory (èísla): 0(R 2) = a
1 = ae;j a 2 R ' R  (R 2); 1-vektory: 1(R 2) = ae1+ be2j a; b 2 R ' R 2  (R 2); 2-vektory: 2(R 2 ) = ae12j a 2 R ' R  (R 2);  = 0  1  2:

Proveïme analogi ký postup v R 3. 0-vektory (èísla): 0(R 3 ) = a
1 = ae;j a 2 R ' R  (R 3); 1-vektory: 1(R 3) = ae1 + be2 + e3j a; b; 2 R ' R 3  (R 3); 2-vektory: 2(R 3) = ae12 + be 23 + e31j a; b; 2 R ' R 3  (R 3 ); 3-vektory: 0(R 3) = ae123j a 2 R ' R  (R 3 ):  = 0  1  2  3 : Pro násobení bázový h vektorù nepou¾ijeme ji¾ tabulku, ale zapí¹eme obe né pravidlo: ( I \ J 6= ; ) e ^ e = 0 (41) 8I; J  f1; 2; 3g : I \ J = ; ) eII ^ eJJ = eI [J
sgn  I; J  : I [J Uèiòme úmluvu, ¾e indexy v I u vektoru eI budou uspoøádány vzestupnì. Pøi násobení eI ^ eJ zøejmì oba èinitele rozepí¹eme do souèinù bázový h 1-vektorù a postupnými zámìnami poøadí se budeme sna¾it do ílit správného poøadí indexù. Pokud se pøitom v elém souèinu vyskytují dva stejní èinitelé, tìmito zámìnami je þdostaneme k sobìÿ, èím¾ elý souèin vynulujeme. Znaménko sgn(
) tedy porovnává mno¾iny I a J zapsané za sebou (I; J ) a sjedno ené, a tudí¾ ji¾ správnì seøazené. Nabývá hodnoty +1, pokud je pøi pøe hodu I; J ! I [ J tøeba provést sudý poèet výmìn sousední h prvkù, a je rovno 1 pokud je tento poèet li hý.
Úkol 7: Rozmyslete si, pro je dim  (R n ) = 2n a dim k (R n ) = nk . Pøíklad:

De ni e 20: Vnìj¹í algebra R n Ne h» e1; : : : ; en je kanoni ká báze R n. Pro libovolnou I = fi1; : : : ; ik g  f1; : : : ; ng oznaème eI

= ei1:::ik = ei1 ^ : : : eik ;

e; = 1 2 R ;

42

je-li i1 < : : : < ik :

(42)

Prostor s bází feI gI  f1; : : : ; ng oznaèíme (R n): n X (R n) = a =

I f1;:::;ng



aI eI aI

o

2 R ' R 2n :

Násobení prvkù z (R n) je dáno pøedpisem (41). De nujeme podprostory k (R n)  (R n) a jeji h prvky nazveme k-vektory: n o X k (R n) = a = aI eI aI 2 R : jI j=k

Po zn á m ka : 1. Pro libovolné I je e; ^ eI = eI = eI ^ e;. Odpovídá to pøedstavì, ¾e 0-vektory jsou þèíslaÿ (tj. 0 ' R ). 2. V R 3 þvypadajíÿ vektory a 2-vektory podobnì; obe nì je n 1(R n ) ' 1(R n ) ' R n. Bereme-li napø. a; b 2 1(R 3) a x; y 2 R 3 ' 1(R 3), pozorujeme podobnost mezi 2-vektorem a ^ b a vektorem x  y. k (R n ) je ve skuteènosti duální prostor (kovektorù) k prostoru vektorù R (nk) . Vìta 33: Vlastnosti vnìj¹í algebry  (R n ) 1. dim k (R n) = nk
, dim (R n) = 2n. 2. Opera e ^ je aso iativní. 3. ! 2 k (R n );  2 l(R n ) ) ! ^  = ( 1)kl  ^ !.j 4. Je-li v1; : : : ; vn 2 1(R n), pak v1 ^ : : : ^ vn det(vi )e1:::n. Po zn á m ka : 1. Teprve díky druhému bodu vìty mù¾eme psát ei1 ^ : P : : ^ eik = eI pro I = fi1; : : : ; ik g bez závorek. 2. Jsou-li v1 ; : : : ; vk 2 1(R n) zapsány v bázi jako vj = vji ei, pak platí X

i

eI det VI ; jI j=k mati e fvji g; j = 1; : : : ; k, i

v1 ^ : : : ^ vk =

kde pro I = fi1; : : : ; ik g je fVI gi2I minor = 1; : : : ; n (pone háváme pouze sloup e s indexy z I ). 3. Pozor, podle bodu 3. vidíme, ¾e obe nì neplatí dxI ^ dxJ = dxJ ^ dxI , a tudí¾ násobení ^ na E  ( ) není ani komutativní ani antikomutativní! Ni ménì, antikomutativita je splnìna napøíklad pro 1-formy (1-vektory). K vlastnímu rozmy¹lení pøedkládáme ètenáøi následují í tvrzení:

Lemma:

Pro ka¾dé tøi mno¾iny I; J; K  f1; : : : ; ng (po dvou disjunktní) platí           sgn II;[J;J;KK sgn II[[JJ;[KK = sgn I I;[ JJ;[KK ; a sgn II;[JJ = sgn II;[J;J;KK :

Dùkaz:

1. bylo ji¾ zadáno jako úkol (7). 2. Zapí¹eme-li libovolné dva prvky z (R n) pomo í bázový h vektorù, je patrné, ¾e díky distributivitì ^ vùèi sèítání staèí pouze dokázat aso iativitu právì pouze u bázový h vektorù. Ne h» I; J; K  f1; : : : ; ng jsou po dvou disjuktní (pokud by tomu tak nebylo, souèin by vy¹el samozøejmì nulový). S pomo í lemmatu pak odvodíme (eI ^ eJ ) ^ eK = eI [J ^ eK sgn 









I; J I [J



=





I [ J; K = eI [J [K sgn I; J; K : I [J [K I [J [K Ke stejnému výrazu dospìjeme i pro eI ^ (eJ ^ eK ) (zkuste).

= eI [J [K sgn

I; J I [J

sgn

43

3. Opìt staèí uva¾ovat pouze bázové vektory. Zkoumejme souèiny eI ; eJ , jI j = k, jJ j = l, I \ J = ;. eI ^ eJ

= eI [J sgn



I; J  = e sgn  J; I  sgn I; J J [I J; I J [I I [J





= eJ ^ eI sgn





I; J : J; I

(43)

Zbývá se pøesvìdèit, ¾e signum v posledním výrazu je rovno ( 1)kl . Ètenáø v¹ak snadno nahlédne, ¾e na þproházeníÿ k-prvkové mno¾iny þskrzÿ l-prvkovou mno¾inu je tøeba právì k
l prohození. 4. Pøímým výpoètem a pøeuspoøádáním ek : n X i1 =1

v1i1 ei1



n X

^ :::^ e1:::n

in =1

X

i1 ;:::;in



vnin ein

=

X

i1 ;:::;in

v1i1 : : : vnin sgn



v1i1 : : : vnin ei1 ^ : : : ^ ein

=

i1 ; : : : ; in  1; : : : ; n :

Znaménko v posledním výrazu je de nováno stejnì jako dosud s tím, ¾e pokud se nìkterý z indexù

ik opakuje, je znaménko 0. Výsledná suma pak ov¹em pøesnì odpovídá de ni i determinantu mati e fvij g. Tvrzení v poznám e (pro souèin k vektorù) se odvodí stejným zpùsobem. x3.

Diferen iální formy na

Rn

De ni e 21: Vnìj¹í algebra diferen iální h forem o n Oznaème T (R n) vektorový prostor s
bází fdx1; : : : ; dxn g, tj. T (R n ) = a = Pi ai dxi jai 2 R ' R n. De nujeme vnìj¹í algebru  T (R n) . Diferen iální formou na otevøené mno¾inì  R n nazveme libovolné hladké zobrazení ! : !  T (R n)
, ve slo¾ká h:

8x 2 : !(x) =

X

I f1;:::;ng

!I (x) dxI ; !I

2 C 1 ( ):

(44)

Mno¾inu v¹e h diferen iální h forem na oznaèíme E ( ), mno¾inu diferen iální h forem k-tého øádu na de nujeme a znaèíme takto: o n X !I (x) dxI j!I 2 C 1 ( ) : (45) E k ( ) = jI j=k

Po zn á m ka o hladkosti: V dal¹ím budeme po¾adovat, aby rùzná zobrazení byla hladká, tedy nekoneènì diferen ovatelná. Vìt¹inou staèí slab¹í podmínka (spojitá diferen ovatelnost), vzhledem k prakti kému pou¾ití budeme ov¹em pou¾ívat tento silnìj¹í pøedpoklad, èím¾ se také dùkazy vìt ponìkud zpøehlední. Pøíklad: Co jsou diferen iální formy ! 2 E k ( ),  R n ? 1. k = 0: E 0 ( ) ' C 1( ) = ff g, tedy mno¾ina v¹e h hladký h funk í  ! R , nebo» dx; = 1. 2. k = 1: E 1 ( ) = f! = f1(x) dxn1 + : : : + fn(x) dxn jfi 2 C 1( )g ' C 1( )n . E 1 ( ) lze hápat jako pole kovektorù k C 1 ( ) 30: je to prostor v¹e h lineární h forem nad C 1 ( )n . Libovolné funk i (vektoru) f (x) je jednoznaènì pøiøazena lineární forma !(f ) : ! R . Pro f 2 C 1( )n a vektor x~ = (x~1 ; : : : ; x~n ) 2 si mù¾eme pod zápisem (44) pøedstavit napøíklad takto: !(f )(~x) = f1x~1 + : : : + fn x~n . Pokud ov¹em v tomto zápisu bereme f=xi místo fi , nabude ! þtvaru totálního diferen iáluÿ a èíslo !(f (x))(~x) pak znamená lineární aproxima i hodnoty funk e f (x + ~x) f (x) pomo í hodnot a par iální h deriva í v bodì x. 30 Tedy prostoru v¹e h hladký h vektorový h polí na .

44

3. kP= n 1: E n 1( ) = ! = f1(x) dx2 ^ : : : dxn f2 (x) dx1 ^ dx3 ^ dx4 ^ : : : + : : : = ! = fi (x)( 1)i+1 dx1 ^ : : : dxi 1 ^ d^xi ^ dxi+1 ^ : : : ^ dxn pro fi 2 C 1 ( ): Oznaèení d^xi znamená, i ¾e èlen dxi v souèinu . Co se týèe støídání znamének, jedná se pouze o konven i v oznaèování souøadni prvkù E n 1. Tato volba má význam pozdìji, kdy¾ budeme htít tyto souøadni e ztoto¾nit (v tomto pøípadì) s rota í vektorového pole. 4. k = n: E n( ) = ! = f (x) dx1 ^ : : : dxnjf 2 C 1 ' C 1 ( ): Prostor E n je samozøejmì þpodobnýÿ31 prostoru v¹e h hladký h skalární h polí, proto tyto diferen iální formy nazýváme pseudoskaláry. Po zn á m ka : Zabývali jsme se zatím pouze otázkou de ni e diferen iální h forem, nemluvili jsme je¹tì vùbe o tom, jak tyto objekty integrovat. Je-li plo ha S parametrizována funk í , to jest  : R k  O ! R n , O otevøená, (O) = S ' k-dimenzionální plo ha, pak oèekáváme, ¾e integrál z f pøes S je rozumné de novat pomo í nad O. Budou-li ov¹em  a 0 dvì rùzné parametriza e té¾e plo hy, musí pak nutnì platit rovnost integrálù?

hybí

pøenesení do prostoru parametrù

Z

S

df f=

Z

O

f Æ  =?

Z

O0

f Æ 0 :

Tu¹íme, ¾e se jedná o urèitou substitu i, a tedy by nezávislost mohl za urèitý h pøedpokladù þzajistit nìjaký ja obiánÿ. x4.

Pøená¹ení diferen iální h forem

Po zn á m ka : Uva¾ujeme-li formu ! = f (x) dxi 2 E 1 ( ); O  a parametriza i  : O ! R n ,
x = (u) = 1 (u); : : : ; n (u) , kde x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 S; u = (u1 ; : : : ; uk ) 2 O, získáme þformálním dosazenímÿ formu na O: k

X  i (u) f (u) di (u) = f (u) dxj : x j =1

j

Oèekáváme, ¾e obì formy by mìly být þstejnéÿ | tedy alespoò po integra i pøes S , resp. O dát stejný výsledek. Proto¾e zatím nevíme, jak poèítat integrál formy pøes plo hu, navrhneme toto jako jeho de ni i a bude nás samozøejmì zajímat, zda takto de novaný integrál závisí na volbì . De ni e 22: Diferen iál funk e Budi¾ f 2 C 1 ( ),  R n; x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 . Diferen iálem df E 1 ( ): n X df = fx(x) dxi : i i=1

funk e f nazveme následují í prvek (46)

Diferen iál je tedy zobrazení E 0 ( ) ! E 1 ( ). Pøíklad: Pro souøadni ovou funk i 'i : R n ! R ; 'i (x) = xi je zøejmì d'i = dxi . De ni e 23: Pøená¹ení diferen iální h forem Budi¾  hladké zobrazení otevøené mno¾iny O  R k do  R n . Ne h» ! = P !I (x) dxI 2 E p ( ). jI j=p Pak de nujme zobrazení  : E p( ) ! E p (O), (u1; : : : ; uk ) = 1 (u); : : : ; n(u)
následovnì:

(!) =

X

jI j=p

!

(u)
di1 ^ : : : ^ dip ; pokud I = fi1; : : : ; ipg; i1 < : : : < ip:

(47)

Pøíklad: Tento postup jsme ji¾ intuitivnì pou¾ívali v úvodu (viz poslední pøíklad úvodního paragrafu | tam jsme se pouze pøená¹eli R 3 do R 3 ). Nyní jsme jej pouze formálnì de novali a následnì o nìm doká¾eme nìkteré vìty. 31 Rozumìj duální.

45

Pro zopakování zkusme pøevést následují í formu z E 2(R 3) do prostoru parametrù u; v: ! = xy dz ^ dy xz dx ^ dz; (u; v) = (u2 ; v u; 2v) (!) = u2(v u) d(2v) ^ d(v u) u22v d(u2 ) ^ d(2v) = 2u2(v u) dv ^ (dv
du) 2u2v
4u du ^ dv = = 2u2(v u) dv ^ du 8u3v du ^ dv = 2u2(v u) 8u3v du ^ dv: Po zn á m ka : Víme, ¾e pro libovolnou hladkou funk i f je df 2 E 1( ). Dále pro libovolnou ! 2 E 1( ) platí ! ^ ! = 0, jak plyne napøíklad z bodu 3. vìty (33). Ètenáø si mù¾e zkusit jako vièení rozepsat násobení 1-vektoru sebou samým zapsaným pomo í báze. Cvièení: Formy !1 = x dx + y dy + z dz a !2 = x2 dx + y2 dy + z 2 dz pøeneste do prostoru parametrù ;  , pokud platí x = os  os ; y = os  sin ; z = sin : Vìta 34: Vlastnosti zobrazení  Ne h»  : R k  O !  R n je hladké a !;  1. (! +  ) = (!) + ( );

2 E k ( ). Potom

2. (! ^  ) = (!) ^ ( ); 3. pro libovolné : R l  U ! O  R k hladké je  Æ
(!) =  (!)
; tedy ( Æ ) =  Æ ; 4. je-li k = n a ! = f (x) dx1 ^ : : : ^ dxn 2 E n( ), pak (!) = f (u)
det

Oznaèení:

 x 

i

uj

du1 ^ : : : dun:

Determinant ja obiánu zobrazení  : R n ! R n zapisujeme také takto:  x  i df  (x1 ; : : : ; xn =  (u ; : : : ; u ) : det J = det u j 1 n

(48)

Po zn á m ka : Bod 4. lze samozøejmì zobe nit i pro k  n. Pokud ! = f (x) dxi1 ^ : : : ^ dxik , pak analogi ky jako pro k = n odvodíme i1 ; : : : ; xik (!) = f (u)
x du1 ^ : : : ^ duk : u ; : : : ; u 1

k

Dùkaz:

1. Dosazením do de ni e. 2. Díky pøed hozímu bodu staèí tvrzení dokázat pro formy ! = fI dxI ,  = gJ dxJ . Budi¾ I = fi1; : : : ; ipg; J = fj1; : : : ; jq g: (! ^  ) =  fI dxI ^ gJ dxJ
=  fI dxi1 ^ : : : dxip ^ dxj1 ^ : : : ^ dxjq
= = (fI Æ )(gJ Æ ) di1 ^ : : : ^ ip ^ j1 ^ : : : ^ jq =  (!) ^ ( ): Striktnì vzato jsme nebyli z ela pøesní: poté, o jsme spolu vynásobili formy ! a  , mìli jsme pøeuspoøádat dxi a dxj podle rostou í h indexù. De ni e (23) je napsána pouze pro formy v tomto tvaru. Po pøenesení ov¹em musíme èinitele di , dj pøeuspoøádat zase zpìt, aby hom mohli souèin þrozdìlitÿ, pøièem¾ obì provedená pøeuspoøádání jsou þstejnáÿ, tedy pøípadná zmìna znaménka po prvním z ni h se vykompenzuje. Skuteènost, ¾e formy fI a gJ volnì þproplouvajíÿ elým souèinem, odrá¾í fakt, ¾e fI ; gJ 2 E 0 ( ), a tedy komutují se v¹emi formami. 46

3. Pou¾ijeme-li body 1. a 2., vidíme, ¾e staèí uva¾ovat formy ! = f 2 E 0 ( ) a  = dxi 2 E 1( ). V prvním pøípadì je  Æ
f = f Æ ( Æ ) = (f Æ ) Æ =  (f )
: Ve druhém pøípadì budeme upravovat obì strany rovnosti: l l X k  X X
 (i Æ )  i P hi Æ  (dxi ) = d(i Æ ) = d uj = u j j =1 j =1 s=1 vs

 (dxi )
= 

k  i  X d vs = s=1 s=1 vs

k X



 Æ u s duj

l  s i Æ  X du

vs

j =1

uj

j

!

j

:

Oba výrazy jsou si zøejmì rovny. To, ¾e v deriva i slo¾ené funk e zbyl místo par iální h deriva í výraz ( i=vs)Æ , znamená pouze, ¾e po provedení deriva e budeme do výsledné funk e dosazovat v promìnný h uj a nikoliv vs. 4. Polo¾íme xi = i(u1; : : : ; un) a podle bodu 2. se staèí zajímat pouze o  = dx1 ^ : : : ^ dxn. Uvedené tvrzení jsme potom dokázali ve vìtì (33), bodu 4. Nyní ji pouze pou¾íváme pro vektory dxi = Pj xi =uj duj . x5.

Integra e diferen iální h forem

Po zn á m ka : Zatím jsme témìø výhradnì de novali pojmy (þformaÿ a þparametriza eÿ) a ukazovali, jak se s novými objekty pra uje. Nyní se pøesvìdèíme, zda tyto de ni e dávají smysluplné výsledky. De ni e 24: Integra e pøes parametri kou plo hu

1. Ne h»  R n je otevøená mno¾ina a ! = f (x) dx1 ^ : : : ^ dxn 2 E n( ). Potom de nujeme Z



df (L) !=

Z



f dx1 dx2 : : : dxn ;

(49)

pokud je výraz na pravé stranì de nován. 2. Pokud je  : R k  O !  R n hladké a ! 2 E k ( ), de nujeme Z



df !=

Z

O

(!):

(50)

Po zn á m ka : Rozdíl mezi obìma de ni emi je zøejmý: prvá èást øíká, jak vùbe integrovat objekt ! a ztoto¾òuje bázový vektor dxi se stejným znakem v Lebesgueovì integrálu. Druhá èást dává návod jak poèítat integrál po k-dimenzionální þrozumnéÿ plo¹e v n-dimenzionálním prostoru tak, aby nevy¹el nula. Po zn á m ka : Zatím jsme na parametriza i  nekladli ¾ádné po¾adavky kromì hladkosti.  takto napøíklad nemusí být regulární nebo mù¾e plo hu þprobìhnout nìkolikrátÿ, èím¾ se samozøejmì výsledná hodnota integrálu násobí. Ch eme-li, aby integrál na parametriza i nezávisel, musíme tedy volbu parametriza e ponìkud omezit. Pøíklad: Ovìøme, zda podle de ni e vy házejí nám známé vztahy pro køivkový a plo¹ný integrál (srovnejte s úvodním paragrafem). Pro ! = f1 dx1 + : : : + fn dxn 2 E 1 ( ) a parametriza i ' : (a; b) ! R n, ' = ('1 ; : : : ; 'n ) je Z

'

!=

Z b

a

' (!) =

Z bh

a

i



f1 '1 (t) '01 (t) + : : : + f1 'n (t) '0n (t) dt:

47

Pro dvoudimenzionální plo hu S   R 3 , parametriza i ' : R 2  O ! , ' = ('1 ; '2; '3 ), 'i = 'i (u1 ; u2 ), '(O) = S a napøíklad formu ! = !1 dx23 2 E 2 ( ) je Z Z 
 ('2 ; '3 )  du du : !1 '(u) !=  (u1 ; u2 ) 1 2 ' O Po zn á m ka : Na pøed hozím pøíkladu je vidìt, jak lze jednodu hou zmìnou parametriza e do ílit zmìny hodnoty integrálu. PokudR pro (u2;Ru1) 2 O bereme '~(u1; u2) = '(u2; u1), zmìní determinant ja obiánu znaménko, a bude tudí¾ '~ ! = ' !. Zjistili jsme tedy dva þproblémové bodyÿ. Poslední obtí¾ mù¾eme zøejmì odstranit, pokud budeme ¾ádat, aby determinant ja obiánu mìl na O nemìnné znaménko. Otázku ví enásobného probìhnutí oblastí

potom øe¹í po¾adavek na prostotu parametriza e. Zdá se tedy úèelné zavést následují í dvì de ni e. De ni e 25: Difeomor zmus Zobrazení  : R k  O ! O0  R k nazveme difeomor zmus, právì kdy¾ je bijek e (tedy prosté a zobrazuje O na O0 ), hladké a  1 je rovnì¾ hladké. De ni e 26: Parametriza e, orienta e parametriza í Parametriza í plo hy S  R k v R n nazveme ka¾dé hladké zobrazení  : R k  O ! R n takové, ¾e (O) =S . Parametriza e (u1; : : : ; uk ) = (1; : : : ; n) je regulární, pokud hodnost pøíslu¹né Ja obiho mati e  i=uj je k v¹ude na O. Dvì parametriza e ' : R k  O !  R n, '0 : R k  O0 !  R n nazveme souhlasnì orientované ('  '0 ), pokud existuje difeomor zmus  : O0 ! O, det J > 0 na O0 takový, ¾e '0 = ' Æ . Pokud tento difeomor zmus splòuje na O0 podmínku det J < 0, nazveme parametriza e nesouhlasnì orientované (' 6 '0 ).

Po zn á m ka : Regulární parametriza e ' : O ! R n je þdifeomor zmemÿ mezi O a '(O).

Vìta 35: Nezávislost integrálu na parametriza i a¾ na znaménko Buïte ' : R k  O !  R n, '0 : R k  O0 !  R n souhlasnì, resp. nesouhlasnì orientované hladké parametriza e té¾e plo hy S a ! 2 E k ( ). Pak platí Z

'0

!=

Z

'

!;

resp.

Z

'0

!=

Z

'

!:

Lemma o znaménku difeomor zmu: Ne h»  : O0 ! O je difeomor zmus. Pak sgn(det J) je konstantní na O0 .

Dùkaz lemmatu: Proto¾e je  hladké zobrazení, je det J spojitý. Proto¾e je  1 hladké, je spojitý
i det J 1 . Z rovnosti det J(x)J 1 (x)  1 na O0 (þsouèin determinantù je stále 1ÿ) pak plyne, ¾e det J je na O0 nenulové. ®e spojitá funk e nenabývají í nikde nulové hodnoty nemù¾e mìnit znaménka,

je ji¾ zøejmé. Lemma vyu¾ijeme na kon i dùkazu vìty. Dùkaz vìty: Víme, ¾e v obou pøípade h existuje difeomor zmus  : O0 ! O, '0 = ' Æ . Z de ni e (24) a vìty (34) pak mù¾eme psát Z

Z


'0  (!) =

Z




Z


( !) =  ' (!) : O O '0 O0 Dále ji¾ jen pøená¹íme formy; opìt díky vìtì (34) staèí bez újmy na obe nosti uva¾ovat napøíklad ! = f (x) dx1 ^ : : : dxk .

!=

'Æ

48


x1 ; : : : ; xk

' (!) = f '(u)

du ^ : : : ^ duk u1; : : : ; uk 1

 x1 ; : : : ; xk d1(u0) : : : dk (u0);  ' (!) = f ' Æ (u) u ; : : : ; u 0 0 1 k O O Z Z
x ; : : : ; xk ' (!) = f '(u) 1 du ^ : : : ^ duk : u1 ; : : : ; uk 1 O O Nyní dokonèíme pøená¹ení druhého øádku z O do O0 (provedeme naznaèené diferen ování i a upravíme Z

Z

dle poznámky za vìtou (34)) a dále pou¾ijeme na tøetí øádek vìtu o substitu i v Lebesgueovì integrálu (pøejdeme z O do O0 ). Z Z

 x1 ; : : : ; xk u1 ; : : : ; uk  ' (!) = f ' Æ (u) du0 : : : du0k ; u ; : : : ; u u0 ; : : : ; u0 1 0 0 O

Z

Z

O 




1

k

1 k  x1 ; : : : ; xk u1 ; : : : ; uk 0 u ::: u ; : : : ; u u0 ; : : : ; u0 1

d du0k : 1 k O 1 k Podle lemmatu víme, ¾e det J nemìní znaménko, a tedy mù¾eme zapsat Z  u ; : : : ; u  Z
1 k  ' (!) = sgn ' (!); u01; : : : ; u0k O O0

o¾ pøi srovnání s de ni í souhlasné, resp. nesouhlasné orienta e dává tvrzení vìty. Po zn á m ka (odjinud): V¹imnìte si, ¾e místo vìty o substitu i jsme (alespoò formálnì a a¾ na znaménko, tj. absolutní hodnotu) mohli pou¾ít tvrzení det AB = det A det B. Mù¾eme to hápat jako náznak, ¾e pou¾ití determinantu ve vìtì o substitu i mìlo svùj význam. Po zn á m ka : V dal¹ím budeme blí¾e zkoumat plo hy v R n. De nujeme nejprve pojem køivkové souvislosti plo hy, který patøí do po¾adavkù na þkulturnostÿ plo hy. ' (!) =

O0

f ' Æ  (u)

De ni e 27: Souvislá mno¾ina Øekneme, ¾e otevøená mno¾ina O  R n je souvislá, pokud pro libovolné dva její body x; y existuje spojité zobrazení ' : ha; bi ! O takové, ¾e '(a) = x; '(b) = y.

Mno¾inu  R n nazveme oblast, pokud je otevøená a souvislá. Doka¾te tvrzení, ¾e spojitý obraz souvislé mno¾iny je souvislá mno¾ina.

Oznaèení: Cvièení:

De ni e 28: Regulární plo ha dimenze k Mno¾inu S  R n nazveme plo hou dimenze nejvý¹e k, pokud existuje oblast O  R k ' : O ! R n hladké takové, ¾e '(O) = S . Øekneme, ¾e S  R n je regulární plo ha dimenze k v R n, pokud existuje interval I  R k ' : I ! R n prosté a hladké32 takové, ¾e S = '(I 0 ) a hodnost J' je na33 I 0 rovna k.

a zobrazení a zobrazení

Po zn á m ka : Pokud se omezíme na regulární plo hy, nabízí se samozøejmì otázka, kolik existuje tøíd (rozdìlený h podle ekvivalen e ) parametriza í dané plo hy. Odpovìï dává následují í vìta. Vìta 36: Tøídy parametriza í regulární plo hy

Existují právì dvì tøídy ekvivalen e regulární h parametriza í libovolné regulární plo hy dimenze k v .

Rn

Lemma o difeomor zmu mezi regulárními parametriza emi: Jsou-li ' : I ! R n; '0 : I 0 ! R n regulární parametriza e té¾e regulární plo hy dimenze k v R n, pak existuje difeomor zmus  : I 00 ! I 0 takový, ¾e '0 = ' Æ . Dùkaz lemmatu: Zøejmì staèí brát  = ' 1 Æ '0 . Je ov¹em tøeba je¹tì ovìøit, zda takové  je skuteènì difeomor zmus. Nejprve provìøme hladkost: zøejmì staèí, aby ' 1 bylo hladké. Je-li v¹ak ' regulární, 32 Zopakujme: ' je hladké na neotevøené mno¾inì M , pokud existuje otevøená mno¾ina O  M , na ní¾ je nìkteré roz¹íøení ' hladké. 33 I 0 znaèí vnitøek mno¾iny I .

49

znamená to podle de ni e, ¾e hodnost pøíslu¹né Ja obiho mati e je rovna k na I 0. V ka¾dém bodì x 2 I 0 proto existují indexy fi1; : : : ; ik g takové, ¾e 'i1 ; : : : ; 'ik (x) 6= 0: u1; : : : ; uk

Podle vìty o inverzním zobrazení z minulého semestru to postaèuje pro existen i hladkého zobrazení 'x 1 : R n  U ! I 0 na urèitém okolí U bodu '(x). Taková zobrazení existují v ka¾dém bodì '(O) a z jeji h jednoznaènosti a ze souvislosti I 0 plyne, ¾e je mù¾eme na sebe navázat a vytvoøit tak jediné zobrazení ' 1 : '(I 0 ) ! I 0 . Skuteènost, ¾e výbìr indexù i1; : : : ; ik mohl záviset na x nás nemusí znepokojovat. Díky výbìru by hom byli dokon e s hopni sestrojit zobrazení 'x 1R k ! R k , ale nám staèí zobrazovat z R n , s tím, ¾e zobrazení si jednou þbude v¹ímatÿ nìkterý h k souøadni xi a jindy zase jiný h. Stejnì by hom ovìøili, ¾e i '0 1 je hladké, a tím pádem i zobrazení '0 1 Æ ' =  1 je hladké (èím¾ jsme ov¹em také ukázali jeho existen i). Pak je ale  i prosté.  je také surjek e (zobrazení na), nebo» ' i '0 parametrizují elou plo hu S . Navr¾ené  je tedy difeomor zmus. Dùkaz vìty: Dle lemmatu o þznaménku difeomor zmuÿ nyní víme, ¾e ka¾dé dvì parametriza e jsou buï souhlasnì, nebo nesouhlasnì orientovány. Proto¾e  je ekvivalen e34, staèí vybrat libovolnou regulární parametriza i ' a jednu, resp. druhou tøídu vytvoøit z parametriza í orientovaný h souhlasnì, resp. nesouhlasnì s '. De ni e 29: Orienta e plo hy Ne h» S je regulární plo ha dimenze k

v R n. Orientovat S znamená vybrat jednu ze dvou tøíd ekvivalen e její h parametriza í. Jakoukoliv regulární parametriza i z této vybrané tøídy oznaèím za kladnì orientovanou parametriza i. Plo hu S nazveme orientovaná plo ha. Je-li S orientovaná plo ha, pak S oznaèíme tuté¾ mno¾inu s opaènou orienta í. Pokud je S~ regulární plo ha dimenze k v R n, S~  S , pak orienta í S~ rozumíme výbìr stejné tøídy parametriza í jako u S pouze naví zú¾ený h na S~. Pøíklad: k = 1: køivka parametrizovaná ' : ha; bi ! R n . Opaènou orienta i má napøíklad '~ : h b; ai ! df R n , '(t) = ' ~(t) = '( t). k = 2: plo¹e parametrizované pomo í  = (u; v) lze zmìnit orienta i napøíklad zámìnou souøadni (napi¹te si determinant).  =df ~ (u; v) = (v; u): Po zn á m ka : Pojem orienta e plo hy zøejmì souvisí s orienta í vektorového prostoru V . Èemu odpovídá na¹e de ni e? Uva¾ujme mno¾inu B v¹e h bází V . Dva prvky z B nazveme ekvivalentní, pokud mati e pøe hodu mezi nimi má kladný determinant. Mno¾inu B lze podle této ekvivalen e rozlo¾it na dvì disjunktní tøídy. Jednu z ni h pak oznaèíme +, druhou . Pøíklad: Jak zjistit orienta i bez pou¾ití determinantu? dim V = 1. Kladná orienta e mù¾e být napøíklad zleva doprava. dim V = 2. Za kladnì orientovanou oznaèíme napøíklad dvoji i v1 ; v2, u ní¾ je orientovaný úhel od v1 k v2 proti smìru hodinový h ruèièek men¹í ne¾ . dim V = 3. Zde pomáhají rùzná þpravidla pravé rukyÿ | za kladnou bereme pravotoèivou bázi. Pøíklad: Pokud je zadána normála n k prostoru W dimenze n ve V dimenze n + 1, mù¾eme za kladnì orientovanou pova¾ovat takovou bázi fw1; : : : ; wng ve W , pro ní¾ je fw1; : : : ; wn; ng kladnì orientovaná ve V . Po zn á m ka : Jak pøejdeme od orienta e vektorového prostoru dimenze k zpìt k orienta i obe né plo hy té¾e dimenze? Pro parametriza i  = (u1; : : : ; uk ) staèí zjistit orienta i teèného prostoru vytvoøeného jako lineární obal vektorù  =uj , j = 1; : : : ; k. Z lemmatu o znaménku difeomor zmu pak plyne, ¾e 34 Pamatujete si je¹tì de ni i ekvivalen e? Zkuste  provìøit.

50

orienta e v¹e h tì hto teèný h prostorù je stejná. Po zn á m ka : Orientovat vektorový prostor V dimenze n lze buï výbìrem n lineárnì nezávislý h vektorù v1 ; : : : ; vn z V nebo také výbìrem nenulového prvku z n (V ) ' R . Pokud by hom v n (V ) zvolili bázi fdxi g, odpovídal by tento prvek 0-vektoru v, který splòuje v1 ^ : : : ^ vn = v dx1 ^ : : : ^ dxn (zopakujte vìtu (33)). De ni e 30: Integrál diferen iální formy nezávislý na volbì parametriza e Ne h» S je orientovaná plo ha dimenze k v R n, S   R n, ! 2 E k ( ). Pak pro orientovanou parametriza i  plo hy S polo¾íme Z

S

df !=

Z



libovolnou kladnì (51)

!:

Vìta 37: Nezávislost integrálu na parametriza i R ! nezávisí na volbì parametriza e . S

Dùkaz: Není témìø o dokazovat, prá i jsme si odbyli ve vìtì (35). Staèí si uvìdomit, ¾e difeomor zmus , který mezi dvìma kladnì (a tedy shodnì) orientovanými parametriza emi existuje, má kladný ja obián.

Po zn á m ka : Pro zápornì orientovanou parametriza i  bude samozøejmì R ! = RS !. Celá teorie vypadá nyní uspokojivì. Bohu¾el mno¾ina v¹e h regulární h plo h nezahrnuje nìkteré u¾iteèné exempláøe. Pøíklad: Kvádr, tedy plo ha ohranièují í interval v R n není hladký. Pokud z nìj ale vyjmeme v¹e hny hrany, zbude soubor koneèného poètu hladký h regulární h plo h. Sféra není regulární plo ha, nebo» je kompaktní; prosté zobrazení nemù¾e otevøenou mno¾inu zobrazit na kompaktní mno¾inu. Je mo¾né ji ale napøíklad rozdìlit na dvì poloviny a z ni h vyjmout þplo hy øezuÿ (v R 3 je to kru¾ni e). Rýsuje se tedy øe¹ení: z plo hy S vyjmeme þproblémovouÿ mno¾inu M , která je dostateènì þmaláÿ, a formu zintegrujeme pøes S n M . Klasi ka e þdostateènì maláÿ v pøed hozím odpovídala tomu, ¾e v M byl koneèný poèet plo h dimenze men¹í ne¾ dim S . Pojem regulární plo hy tedy zobe níme. De ni e 31: Zobe nìná plo ha, orienta e zobe nìné plo hy, integrál pøes zobe nìnou plo hu Ne h» M  R n, a dále ne h» existují regulární plo hy M1; : : : ; Ms  R n dimenze k a mno¾ina N  R n

takové, ¾e 1. M = N [ S Mi a mno¾iny M1; : : : ; Ms; N jsou po dvou disjunktní, i

2. existují plo hy N1; : : : ; Nt dimenze nejvý¹e k 1 takové, ¾e N  S Nj . j

Ka¾dý takový rozklad fMi; N g mno¾iny M nazveme pøípustný rozklad M . Plo hu M nazveme zobe nìnou plo hou dimenze k, pokud existuje alespoò jeden její pøípustný rozklad. Orientovat M znamená orientovat ka¾dou z èástí Mi. Dva rozklady fMi; N g, fMj0 ; N 0g mno¾iny M oznaèíme jako souhlasnì orientované, pokud jsou obì orienta e Mi \ Mj0 plynou í z orienta e Mi a Mj0 stejné pro ka¾dé i; j . Za kladnì orientovaný rozklad oznaèím ka¾dý rozklad souhlasnì orientovaný s rozkladem, jeho¾ v¹e hny èásti Mi jsou orientovány kladnì. Budi¾ M  R n orientovaná zobe nìná plo ha,  R n ; M  otevøená mno¾ina a ! 2 E k ( ). Potom pro libovolný pøípustný kladnì orientovaný rozklad fMi; N g polo¾íme Z

M

df !=

s Z X i=1 Mi

51

!:

(52)

Po zn á m ka : Poèet v¹e h mo¾ný h orienta í pro daný rozklad M1; : : : ; Ms; N je roven 2s. Vìta 38: Nezávislost integrálu na volbì rozkladu Z ! nezávisí na volbì rozkladu zobe nìné plo hy M . M

Dùkaz: Budi¾ dimenze M rovna k. Uva¾ujme dva kladnì orientované rozklady fMi ; N g; i = 1; : : : ; s a fMj0 ; N 0g; j = 1; : : : ; s0 mno¾iny M . Pro ka¾dé i; j jsou tedy dány kladnì orientované parametriza e Mi ; Mj0 a intervaly Ij ; Ii 'i : R k  Ii0 ! R n ; '0j : R k  Ij0 ! R n : Mno¾inu Mi, resp. Mj0 pro libovolné i zapí¹eme ve tvaru Mi = (Mi \ M10 ) [ : : : [ (Mi \ Ms00 ) [ (Mi \ N 0 ); Mi0 = (Mi0 \ M1 ) [ : : : [ (Mi0 \ Ms ) [ (Mi0 \ N ) a provedeme integra i s Z X i=1 Mi

!=

Z

s0 Z

s Z

X ' (!) =

i Ii0

X ' (!) +

i 1 i=1 i (Mi \N 0 )

 (!):

'i 1 j =1 i (Mi \Ms0 )

Bez dùkazu pone háme tvrzení, ¾e mno¾inu Mi \ Mj0 lze regulárnì parametrizovat pomo í zobrazení 'i. Integrály pøes oblasti Mi \ N 0 nebo Mi0 \ N jsou zøejmì rovny nule, nebo» mno¾iny ' 1 (N \ X ) pro libovolné X mìøitelné mají v prostoru parametrù (v R k ) míru nula. Celkem jsme tedy integrál pøes M vyèíslili takto: Z s X s0 Z X != ' (!): 1 0 i M

i=1 j =1 i (Mi \Ms )

Ke stejnému výrazu ov¹em dojdeme, pakli¾e pou¾ijeme druhého rozkladu fMj0 ; N 0g, a vìta je tím dokázána. Pøíklad: Prozkoumejme, jak se právì naznaèený postup aplikuje pøi parametriza i ji¾ zmínìné sféry v R 3 . Budi¾ tedy plo ha S a parametriza e ' následují í: S = f[x1 ; x2 ; x3 ℄j x21 + x22 + x23 = 1g; '(;  ) = ( os  os ; os  sin ; sin );       3 0 (;  ) 2 2 ; 2  (0; 2) = I1 ; resp. (;  ) 2 2 ; 2  (0; 2) = I20: Z rozkladu M = '(I10) [ '(I20 ) [ N , kde N je kru¾ni e  = =2, vidíme, ¾e sféra je zobe nìná plo ha. Po zn á m ka : Dal¹ím zobe òováním pojmu plo hy by hom dospìli k varietám35. þZmírnit nárokyÿ lze napøíklad povolením i nedisjunktní h rozkladù fMi; N g. Ve fyzi e se variety uplatòují napøíklad v obe né teorii relativity jako model prostoroèasu.

35 Angl. manifold.

52

Obsah Kapitola 9, Variaèní poèet . . . x1 Histori ký úvod . . . . . x2 Prostory funk í . . . . . x3 Abstraktní variaèní poèet x4 Klasi ký variaèní poèet . x5 Aplika e variaèního poètu

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Kapitola 10, Lebesgueùv integrál . . . . . . . . . . . . . . . x1 Prostor s hodovitý h funk í . . . . . . . . . . . . . . x2 Mno¾iny míry nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 Systém lebesgueovsky integrovatelný h nezáporný h funk í . x4 Lebesgueùv integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . x5 Vìty o limitním pøe hodu . . . . . . . . . . . . . . . x6 Prostor s normou de novanou pomo í Lebesgueova integrálu x7 Jak se Lebesgueùv integrál poèítá . . . . . . . . . . . . x8 Míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Vlastnosti míry a mìøitelný h mno¾in . . . . . . . . x9 Závislost integrálu na integraèním oboru . . . . . . . . . x10 Výpoèet Lebesgueova integrálu . . . . . . . . . . . . x11 Integrály závislé na parametru . . . . . . . . . . . . . x12 Hilbertùv prostor L2 (M ) . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Obe ná konstruk e Lebesgueova integrálu . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15 16 18 19 21 22 24 26 27 28 29 32 34

Kapitola 11, Køivkový a plo¹ný integrál . x1 Úvod . . . . . . . . . . . . . x2 Vnìj¹í algebry vektorového prostoru x3 Diferen iální formy na Rn . . . . x4 Pøená¹ení diferen iální h forem . . x5 Integra e diferen iální h forem . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

35 35 41 44 45 47

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

53

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

1 1 1 6 7 11