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Preuniversitario Sur Austral Ecuaciones
(Se suma (-4) a ambos lados de la ecuación).
Semana Nº9
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual hay cantidades conocidas y cantidades desconocidas. Las desconocidas se llaman incógnitas o variables y se representan con letras: x, y,...; , , .. ; X1, X2, … etc. Ejemplos: 1)
En la práctica, cuando se resuelve una ecuación y se está despejando la incógnita, se utiliza un procedimiento convenido y este es que toda cantidad que está sumando en un lado de la igualdad, “pasa” restando al otro lado y viceversa.
Propiedad 2: “Una igualdad se mantiene si se multiplica (divide ) por una misma cantidad.”
2) 3) 26 + log x = 235
Luego, cada vez que se resuelve una ecuación, se debieran aplicar las propiedades de una igualdad. Pero resulta más operativo aplicar las siguientes técnicas:
Resolver una ecuación Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad. Para resolver ecuaciones, se aplican propiedades y métodos que varías según el tipo de ecuación. Raíces de una ecuación Se denominan soluciones o raíces de una ecuación al valor o los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Ecuaciones polinómicas 2
3
n
Son aquellas cuya forma general es un polinomio: a + bx + cx + dx + .... j x = 0. El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la incógnita. El número de raíces de una ecuación polinómica equivale al grado de la ecuación. Ejemplos: 1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces. 2) La ecuación 13 - 2x = 4 es de primer grado y tiene una solución. 3) La ecuación 7x2 - x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones. Propiedades en una ecuación Propiedad 1: “Una igualdad se mantiene si se suma o resta una misma cantidad a ambos lados”.
- Toda cantidad que está sumando (o restando) pasa al otro lado de la igualdad restando (o sumando). - Toda cantidad que está multiplicando (o dividiendo) pasa al otro lado de la igualdad dividiendo (o multiplicando). Ecuaciones de Prim er Grado Una ecuación de primer grado o lineal es aquella en que la incógnita lleva exponente uno. Ecuaciones lineales de la forma ax + b = 0, con a 0 y a y b IR. Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupan los términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términos constantes en el otro.
Ejemplo: 1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5 Solución: Primero se reducen términos semejantes: ; Se agrupan las “x“ y los números en distintos lados de la igualdad: Se vuelven a reducir términos semejantes:
Ejemplo: Bajo este principio, se resuelve el primer ejemplo:
Finalmente, se despeja la x:
La idea es aislar la incógnita x, para lo cual se suma el inverso aditivo de 4. Se simplifica la solución.
-
Resolvamos ahora la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x.
Solución: x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5, que es una contradicción. Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
-
Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4:
Solución: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4
Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos Para su resolución, se multiplica la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo) entre los denominadores.
Ejemplo: Resolver
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa? La igualdad que has obtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución? Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees. En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución). Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades. Ecuaciones fraccionarias con denom inadores enteros Para su resolución, se multiplica la igualdad por el mcm (mínimo común múltiplo) entre los denominadores.
Solución: Se multiplica la ecuación por (x + 1) · 2x
/·
Y se simplifican los términos correspondientes: Se desarrollan los productos:
Ejemplo: Resolver Y se reducen términos semejantes: Solución: Quedando finalmente que: / Ecuaciones Literales La técnica principal es, una vez agrupada la incógnita, aplicar la factorización y simplificación. Luego se simplifica: Ejemplo Resolver Transformándose en una ecuación lineal:
Solución: Se realizan los productos:
Reemplazando: 0=0 Se agrupan términos, dejando la incógnita en uno de los dos miembros:
Tipos de ecuaciones de 2° grado A continuación mostraremos los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y sus formas de resolución. Ecuación incom pleta binom ial
Se factoriza la incógnita:
La ecuación incompleta binomial es de la forma: ax2 + bx = 0. Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0.
Y se despeja x:
Para que un producto de los factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero, por el principio general: Si , entonces, A = 0 o B = 0.
Se simplifica, quedando que:
En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tienen como soluciones:
Ecuaciones de Segundo Grado La ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica, cuya incógnita tiene como máximo exponente el dos. Esta ecuación tiene la forma: ax2 + bx + c = 0 con a, b, c
lR, con a
Resolver
.
Una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones o raíces. Por ejemplo, la ecuación: tiene como solución:
Comprobación para
:
Ejemplo
y
Solución: Primero se factoriza por x. y luego se aplica:
.
O bien:
Reemplazando: Ecuación incom pleta pura
La ecuación incompleta pura es de la forma: ax2 + c = 0. Comprobación para
:
Despejando x2, se tiene:
Ejemplo: Resolver: x2 - 5x + 6 = 0. Solución: En este caso los coeficientes a, b y c son: a = 1; b = -5; c = 6. Si el radicando es negativo, entonces, ax2 + c = 0, no tiene solución real, pues no existe en los números reales, la raíz cuadrada de un número negativo.
Reemplazando estos coeficientes en la fórmula:
Si el radicando es positivo, la ecuación tiene como soluciones:
Ejemplo Resolver
.
La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2. Análisis del discriminante
Solución:
/
A la expresión b2 - 4ac que aparece en las fórmulas de resolución de la ecuación completa general, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, . = b2 - 4ac. Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Se distinguen tres casos: Caso A: Si
Ecuación completa general
> 0.
Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales y distintas:
Una ecuación de segundo grado completa general puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales distintos de cero.
Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:
Caso B:
= 0.
Si el discriminante es cero, las dos soluciones coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso, es una solución doble: Por lo tanto, x1 = x2. De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado completa general tiene las siguientes soluciones, llamadas x1 y x2:
Caso C: < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe. Resolver 2x2 – 5x – 10 = 0.
Solución: En esta ecuación a = 2; b = -5; c = -10.
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
Aplicando la fórmula:
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y siendo x1 y x2 sus soluciones, se cumple que: 1: La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es:
La ecuación tendrá dos soluciones reales y distintas, porque el discriminante es mayor que cero.
2: El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es:
En efecto: Ejemplo:
Resolver x2 + x + 1 = 0 Solución: En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.
Determinar, sin resolver la ecuación , el valor de la suma y del producto de sus soluciones: Solución: En la ecuación, los coeficientes son: a = 2; b = 7 y c = -15. Aplicando la propiedad de la suma de las raíces de la ecuación:
Aplicando la fórmula: Aplicando la propiedad del producto de las raíces de la ecuación: La ecuación no tiene solución real, ya que el discriminante es negativo.
Resolver: 10x2 + 5(4x + 2) = 0
Problem as de Aplicación
Solución: Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0. 10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo por 10, quedando:
La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos números
x2 + 2x + 1 = 0. Entonces: a = 1, b = 2, c = 1
Solución: Sea: El 1° número: 2x+1 El 2° número: 2x+3 El 3° número: 2x+5
Se aplica la fórmula:
Interpretando el enunciado, se forma la ecuación:
Por ser el discriminante igual a cero, la ecuación tiene una solución doble: x1 = x2 = -1
Cuya solución es:
3) Resolver:
4) Luego, el primer número es: El segundo es: El tercero:
5) En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm2. Se pide calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial.
Respuesta: los tres números son: 11, 13 Y 15.
6) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años, la edad del padre será el doble de la de su hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno?
En una familia trabajan el padre, la madre, el hijo mayor, ganando conjuntamente $720.000. La ganancia de la madre es igual a los madre. ¿Cuánto gana cada uno? Solución: Sea
x:
lo
Entonces la madre gana
que
del padre y la del hijo es
gana
el
de la de su
padre.
7) En el cuadrado de la figura, la suma de diagonales, filas y columnas es la misma. ¿Cuál es valor de x + y + z? A) 1/2 B) 5/4 C) 7/12 D) 13/12 E) 19/12
1/2
x
1/6
1/12
5/12
y
2/3
z
1/3
y el hijo gana
Luego, la ecuación que interpreta este hecho es:
8) La expresión: “el cuádruplo del cubo de x es igual al triple del cuadrado de la diferencia entre x e y” se puede escribir algebraicamente: A) 4 x3 = 3 (x – y)2 B) (4x)3 = 3 (x – y)2 C) 4 x3 = 3 (x2 – y2) D) 4 x3 = 3x2 – y2 E) 4 x3 = (3x – y)2
Resolviendo: /
9) Si, A) 4
, con x
, entonces x =
B) Luego, el padre gana $320.000, la madre $240000 y el hijo $120.000.
C)
Ejercicios 1)Resolver la ecuación:
D)
x - {5 + 3x - [5x - (6 + x)]} = -3 . 2) Cierto número aumentado en tres, multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24. ¿Cuál es el número?
E) 10) Una niña gasta los 3/5 del dinero de su mesada y le sobra la décima parte más $2.700 ¿A cuánto asciende su mesada?:
A) $6.000 B) $9.000 C) $12.000 D) $15.000 E) $18.000
C)
D) E) –4
11) Si en la igualdad
,
y
, entonces, el valor numérico de
es: 16) Una máquina puede hacer un trabajo en 6 horas menos que otra .Si juntas lo realizan en 4 horas, ¿Cuántas horas demoraría la máquina más lenta en realizar ella sola el trabajo?:
A) –1 B) –3 C) –5 D) 5 E) 1/2 12) Una cañería de cobre de 6 metros de longitud se corta en dos trozos, siendo uno de ellos 1,8 m más largo que el otro. ¿Cuánto mide el trozo más largo? A) 1,2 m B) 1,8 m C) 2,1 m D) 3,9 m E) 5,7 m. 13) Al escribir la ecuación: el valor de b?:
en la forma:
, ¿Cuál es
A) 14 B) 5 C) –7 D) –9 E) –14
A) 3 horas B) 6 horas C) 8 horas D) 10 horas E) 12 horas
17)
Si (4x)x = (216)2, entonces el conjunto solución es:
A) B) C) D) E)
2, -2 4 -3 4, -4 -4 Si 25m = 32, entonces 2-m =
18) A) B)
-2 2 1 2 1 2 1 4
C) 14) Las raíces de la ecuación:
suman:
D)
A) 3/2 B) 3 C) –1,5 D) –3 E) – 14 15) Si el discriminante de la ecuación en x: el valor numérico de k? A) 4
E)
Al resolver 49x – 1 : 7-x-2 = 1, se obtiene
19) es -7, entonces, ¿Cuál es
A) B) C) D) E)
x x x x x
= = = = =
-2 -1 0 1 2
B)
20)
Si 82x = 4, entonces 8-x =
1 2 1 B) 2 C) 2 1 D) 4 1 E) 4
A)
21)
Si 3 2 x 2 48 , entonces 2 x 4
A) B) C) D) E)
2 4 6 8 16
A) B) C) D) E)
3-3 3-3 3-3 3-3 3-3
26)
Si a =
A)
-2 7 64 1 4 2 6
B) C) D) E)
x+1
22) Al calcular x en 25 A) B) C) D) E)
1-x
= (0,2) , se obtiene
-3 -2 -1 0 1
27)
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
106 10-6 1024 10-24 1011
(4k)5 2s
1 a−1 a−2 , entonces = 4 2 4
=
A) B) C) D) E)
32k 2k5 10k5 16k5 32k5
28)
Si 2x = 23,
23) m3(m4)2 =
A) B) C) D) E) 24)
m9 m10 m11 m14 m24 4 10
4
A) B) C) D) E) +
3 3
10
+
1 = 10
A) B) C) D) E)
0,134 0,1304 0,1034 0,00000008 0,00001304
25)
(0,00051)-3 : (17000)-3 =
entonces 2(2x + 1) =
18 16 14 10 4
29)
(-2,5)3 ⋅ (-0,4)3 =
A) B) C)
3 1 -1 1 10
D)
E)
5 2
1 , entonces al ordenar de menor a mayor los 3 números: x, x2, x3, x4 se obtiene: 30)
Si
x
= -
A) B) C) D) E)
x4, x3, x2, x x, x2, x3, x4 x, x4, x2, x3 x3, x, x4, x2 x, x3, x4, x2
31)
0,00024 * 200 = 3 * 0,0008
A) B) C) D) E)
2 ⋅ 10-2 2 ⋅ 10 5 ⋅ 10 5 ⋅ 10-7 200
2
34)
1 1 P P a =
A) B)
aP a2P
C)
a P2
2
D)
a
E)
aP
35)
El valor de -3 −2 es:
A)
-9 1 9 1
1
B) 32)
Si x = -3 e y = -2, entonces x3 - y3 =
A) B) C) D) E)
2 19 16 18 -19
C)
9 1
D)
6 9
E) 36) 2
4 P2
La expresión
2
33)
(0,1) - (0,05) =
A) B) C) D) E)
0,0075 0,075 0,07 7,5 75
A) B) C) D) E)
2 2 5 5 2
· · · · ·
0,08 · 16000000 0,0004 · 0,064
es igual a:
1011 1010 1011 1010 109
37)
¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente con
A)
4a-4
2a−2 8a−6
?
B) C) D) E) 38)
1 -4 a 4 4a4 1 4 a 4 16a4
A) -10 x10 B) -25 x10 C) 25 x25 D) 25 x10 E) 10 x10
0, 017 17 ⋅ = 0, 34
42) En la regularidad
numérica
4−1 40 41 42 ; ; ; ;….. el 30 3−1 3−2 3−3
término es A) B) C) D) E)
0,1 0,85 8,5 1 85
A) B) C)
39)
A) B) C) D) E)
40) A) B) C) D) E) 41)
−1
(0,2)
+4
−1
2−3
=
D) E)
40 3 10 1 10 42 1 42
410 3−9 49 3−3 48 3−9 49 3−10 410 3−10
43) Si x = -3
( 4 + 5 : 9)
−1
=
41 9 1 9 41 -1 41 − 9 Dado el monomio -5x 5 , entonces su cuadrado es
e
y = -2, entonces x2 y3 =
A) -17 B) -1 C) 0 D) 1 E) 17 44) El número A)
B) C) D) E)
0, 00015 es igual a 60 ⋅ 10−2
0,0002 0,25 ⋅ 10-4 2,5 ⋅ 10-4 0,4 ⋅ 10-3 0,4 ⋅10-4
undécimo
45)
an a3
=
a3
A) B) C) D) E)
A) B) C) D) E)
an an-1 an+3 an+6 a3n+3
46) ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) reales negativos ?
3 ±3 9 2 -3
50)
2 -
A)
28
B)
18
I)
3
−2
C)
12
II)
1− 2 2
D)
8
E)
III)
−
2
A) B) C) D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
5
−1
I)
144 36 12 2 3
D)
II)
48)
3
a2 ⋅
5
A)
3
a2b3
B)
3
a2b3
C)
8
a2b3
D)
15
a10b9
E)
15
a2b3
49)
Si 2x - 3 = 15, entonces
b3 =
x =
1 m m
>
1 n n
< n m III) m · n > 3 A) B) C) D) E)
3 2
E)
18 =
51) Si m = 2 y n = 3 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I III I y II I y III II y III
47) La cuarta parte de la raíz cuadrada de cierto número es 3. ¿Cuál es el número? A) B) C)
8 +
Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo II y III I, II y III