Semana.8.ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones Exponenciales Una ecuación es exponencial cuando la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Para calcular su solución existen distintas estrategias, según sea el caso.

Solución: Primero, se aplica la propiedad de transformación de raíz a potencia:

Caso I: Cuando se pueden igualar las bases para concluir que sus exponentes son iguales. Ejemplo 1:

Este ejemplo es muy elemental, pero nos servirá para que entiendas el principio. El número 32 es un número que se puede escribir como potencia de base 2. Así:

Entonces, se concluye que x = 5, puesto que si las bases son iguales, entonces, los exponentes son iguales.

Ahora, se dividen potencias de igual base:

Se operan las fracciones y simultáneamente, se expresa el 1 como potencia de exponente cero:

Ejemplo 2: Ya igualadas las bases, se igualan los exponentes: Solución: Tanto 27 como 81 se escriben como potencia de base 3.

Ahora se aplica potencia de una potencia. Caso III: Cuando el formato es una suma que se puede factorizar: Finalmente, se aplica la igualdad de los exponentes. . Calcular el valor de x.

Solución: Primero, se descomponen las potencias para visualizar la potencia

Caso II: Cuando se recurre al manejo de raíces y potencias. Ahora, se factoriza por Ejemplo: En la igualdad

, el valor de x es:

.

Se aplica ahora la propiedad de logaritmo:

Sin embargo, a pesar de haber calculado el valor de x, la igualdad aún se puede seguir trabajando: Se simplifica el 31 en 744, quedando:

Luego, se simplifica el 3 en 24:

A su vez, tanto 8 como 16 se escriben como potencias de base 2

Ecuaciones Logarítmicas Son aquellas en que la incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para su resolución hay que recordar la definición: si y sólo si

; con a > 0,

y b no puede ser NEGATIVO.

Ejemplo 1. El valor de x en la ecuación log(x+2)+log(x+3)=log2 es: Caso IV: Cuando no se pueden igualar las bases se aplica logaritmo a la igualdad. Solución: Ejemplo: resolver:

Solución: Como se puede observar, no hay forma de igualar las bases. Luego, se aplica logaritmo a toda la igualdad: /log

log(x+2)+log(x+3)=log2 Aplicando la propiedad, log A + log B = log A B log(x+2) + log(x+3) = log2 Para que esta igualdad se cumpla, los argumentos de los logaritmos deben ser iguales. Esto es:

Que es una ecuación de segundo grado, con raíces: x = -1 y x = -4. Análisis: La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, pero hay que verificar si las dos satisfacen la ecuación logarítmica: Reemplazando para x= -1. log(-1 + 2) + log(-1 + 3) = log2 log1 + log2 = log 2 Como log1 = 0, entonces queda la igualdad: log2 = log2 Entonces, x = -1 sí es solución de la ecuación logarítmica. Verifiquemos para x = - 4: log(-4 + 2) + log(-4 + 3) = log2 log(-2) + log(-1) = log2 Ecuación de segundo grado con raíces 2 y 10. Pudiendo concluir que el valor x= - 4 no es solución porque ha dado argumentos NEGATIVOS. Conclusión: En las ecuaciones logarítmicas hay que verificar las soluciones.

Análisis: Al reemplazar tanto x = 10 como x = 2, generan argumentos POSITIVOS para el logaritmo. Por lo tanto, ambos valores son solución.

Ejemplo 2:

Ejemplo 3.

Solución: Aplicando las propiedades, se tiene:

Este modelo consiste en darse cuenta que al lado derecho no hay escritura de logaritmo, por lo que hay que escribir el 3 como un logaritmo de base 2 Quedando:

Luego, aplicando propiedades:

Luego, se igualan los argumentos:

Ahora se igualan los argumentos de los logaritmos:

Luego, aplicando proporción:

c.

log 110 meses

d. e. 4) En la ecuación

5) ¿Cuál es el valor de x si

Análisis: x = 9 genera argumentos x = 8 genera el siguiente logaritmo:

validos.

Por

lo

tanto,

es

solución.

6) Si log a. b. c. d. e.

Pero el logaritmo de cero no esta definido. Por lo tanto x = 8 no es solución. Ejercicios:

1) Resuelva:

2) El número N de individuos de una colonia de insectos que está en estudio está dado por la ecuación: N = 1,5 ; siendo N en miles y t , el tiempo transcurrido, en meses. Si esto es así, ¿En cuántos meses esta colonia tendrá 2.160 individuos?

= 16?

= 2, entonces, x = 10 100

7)En la igualdad: a. b. c. d. e.

; y será igual a 8 cuando x valga:

, el valor de x es:

-1 -3/4 -1/2 0 0,5

8) Un señor tiene cierta cantidad de dinero invertido en negocios que le rentan bien. En cualquier momento t, el monto M de su inversión está dado por la ecuación: M = 2,5 1,

; donde M está en millones de pesos y t en meses.

De las siguientes expresiones, ¿cuál es igual al tiempo en el cual el monto de la inversión asciende a 25 millones de pesos? 3) Un señor tiene cierta cantidad de dinero invertido en negocios que le rentan bien. En cualquier momento t, el monto M de su inversión está dado por la ecuación: M = 2,5 1,

; donde M está en millones de pesos y t en meses.

De las siguientes expresiones, ¿cuál es igual al tiempo en el cual el monto de la inversión asciende a 25 millones de pesos? a. b.

9,1 meses log 1,1 meses

a. b. c. d. e.

9,1 meses log 1,1 meses log 110 meses

9) Si a. b. c. d.

, el valor de x es: 14) La ecuación

–6ó2 6 ó –2 –6ó0 7ó0

a. b. c. d. e.

e.

10) Dada la igualdad a. b. c. d. e.

¿Cuál es el valor de x?:

entonces x =

1/100 2/100 1/10 10 100

15) Para que la igualdad

–8 8 1/8 - 1/8 2

a. b. c. d. e.

1 - 1/2 - 5/4 - 19/4 - 13

16) Si 11) ¿Cuánto vale x, si a. b. c. d. e.

?

2/3 -3 2 3 - 2/3

sea verdadera, el valor de t debe ser:

, el valor de x es:

A) -6 y 2 B) 6 y –2 C) –6 y 0 D) 7 y 0 E) –2 +

y

–2 -

17) El valor de x en la ecuación: 12) Si a. b. c. d.

, entonces 2ª = -2 1 log2 log a

A)

B)

e. 13) Si log (3x - 4) (x + 2) = log (15x + 2) + logx - log5, entonces, x =

C) a. b. c. d. e.

1/10 1/100 10/2 10 100

D) 2 E) 3

es: