Preuniversitario Sur Austral
AREA MATEMÁTICAS
Clase 14
Raíces
Ejemplo:
La radicación es una propiedad inversa a la potenciación. La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b”, tal que, elevado a “n”, resulta “a”.
si y sólo si Donde: n: es el índice de la raíz. a: es cantidad subradical o radicando.
o bien:
Ejemplo:
De manera inversa, se puede enunciar que la raíz de un producto es el producto de raíces (lo mismo para el cociente):
Ejemplo: 1)
2)
, porque 23 = 8.
Ejemplo: 1.)
, porque 52 = 25
(el índice 2 de una raíz se omite)
2) Potencia de una raíz
-Prop iedades de las ra íces Suma y resta de raíces
Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes, o sea, aquellas del mismo índice y mismo radicando:
Si
está definida en lR, con
y m
, entonces:
Ejemplo:
= Como se puede comprobar, la raíz de una suma o resta no es la suma de raíces: Raíz de una raíz:
Producto y división de raíces:
Solo se pueden multiplicar y dividir raíces del mismo índice: Se mantiene el índice y se multiplican y/o dividen las cantidades subradicales:
Ejemplo:
(se multiplican los índices).
Raíz Expresada como potencia:
Ejemplo: 1)
y la raíz del denominador desapareció. 2) 2do caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er, 4to, 5to y más grado.
Producto de raíces de distintos índices
Para racionalizar el denominador de una fracción bastará amplificar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad subradical, pero el exponente de esta última debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad subradical. Ejemplo:
=
Ingresar un factor dentro de una raíz
Ejemplo:
= Ejemplos:
1) 3
=
2)
=
Para racionalizar
amplificaremos por
. Entonces:
= , y la raíz del denominador desapareció
=2
3) Reducir: 3er caso: cuando el radical del denominador es un binomio Para racionalizar el denominador de una fracción bastará amplificar la fracción por la conjugada del denominador. Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciándose solamente en el signo del 2do término del 2do binomio. Por ejemplo, la conjugada de la expresión (7 + +
-Racionalización
) es (7 -
), la de la expresión (
-
) es (
), etc.
Es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer el radical del denominador de una fracción. Ejemplo: Para racionalizar la expresión 1er caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir, el denominador tiene una raíz cuadrada:
(
+
). Entonces:
Para racionalizar el denominador de una fracción bastará amplificar la fracción por el factor del denominador. Ejemplo:
Para racionalizar
Ejercicios:
, amplificaremos la fracción por
. Esto es:
1)
se amplificará por la conjugada del denominador, que es
Porque 2) Al reducir la expresión
, se obtiene:
Logaritmos El logaritmo de un número real y positivo “b“, en base “a”, positiva y distinta de 1, es un número “m“ al que se debe elevar la base “a” para obtener el número “b”. Esto es: , con La expresión
;
Logaritmo de la base es uno: Porque Logaritmo de un producto:
Ejemplo:
se lee: “El logaritmo de b en base a es m” 1) 2) Log 7x = Log 7 + Log x , con
La expresión
Logaritmo de un cuociente:
;
se lee: “El logaritmo de b en base a es m” Ejemplo:
Ejemplo: 1) El logaritmo en base 3 de 81 es 4, porque
2) 3) log10
= 4 + 2 = 6.
. Nótese que el logaritmo es el exponente.
, porque
1)
2) Log
= Log 100 – Log x = 2 – Log x.
Logaritmo de una potencia:
10.000 = 4, porque 104 = 10.000.
Logaritmos decimales Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales o comunes. Es este caso, se acostumbra a no escribir la base 10. Esto es:
Ejemplo: Log
X3 = 3 · Log X
Ejercicios Ejemplo: 1) Si
El log10 315 se escribe simplemente: Log 315
, entonces,
Logar itmos co munes de poten cia s de 10: 2) Si log 5 = 0,699, entonces, log 2.500 =
log 10 = 1, porque 101 = 10 log 100 = 2, porque 102 = 100 log 1000 = 3, porque 103 = 1000, etc. En general: log 10n = n Prop iedades de los logar itmos Logaritmo de la unidad es cero:
log 0,1 = -1, porque 10-1 = 0,1 log 0,01 = -2, porque 10-2 = 0,01 log 0,001 = -3, porque 10-3 = 0,001, etc. En general: log 10-n = -n
3) Si log 5 = m; entonces, log 2 = ?
Anexo: Notación Científica Consiste en escribir un número en la forma:
D) 5) La expresión:
es igual a:
E)
A)
;
9) Si el logaritmo común de 2 tiene un valor aproximado de 0,301, entonces, el valor aproximado del logaritmo común de 400 es:
B) Donde k es un número decimal con una sola cifra entera y 10n, es una potencia de 10, con n Z. Ejemplo: 1) 243.000 = 2,43 · 100.000 =
2) 0,0045 =
A) 2,301 B) 2,602 C) 2,842 D) 60,2 E) 120,4
C) D) 4 E) 8
6) Al racionalizar la expresión
=
se obtiene:
A) 1 -
Ejercicios varios:
B)
-1
C)
+1
1) 2) El valor aproximado de
se ubica entre:
A) 20 y 25 B) 26 y 29 C) 30 y 32 D) 33 y 34 E) 35 y 36
D) 10) Dado = 3,16 ¿cuál es el valor de aproximadamente?
E)
7) La expresión 3) Si P = , Q = log 1.100 y R = menor a mayor de P, Q y R es: A) P < Q < R B) P < R < Q C) Q < R < P D) Q < P < Q E) R < P < Q 4) La expresión
, entonces, el orden de
A) 2 + B) 2 +
D) 1 +
A) 0,03 B) 0,289 10-3 C) 2,89 10-2 D) 2,89 103 E) 28,9 102
E) 1 +
es igual a: 8)
B) C) 81 D) 243 E) 59.049
11) Si a = 8,5` 10-5 y b = 0,4 107, entonces, expresado en notación científica, el producto a2 b =
C) 1 +
A)
es igual a:
A) 1,26 B) 0,20 C) 0,87 D) 0,13 E) 0,63
= 12) En un curso hay 36 alumnos. Si 24 son hombres, la razón entre mujeres y hombres es:
A)
B) C)
A) 1 : 2 B) 2 : 3 C) 24 : 12 D) 36: 12 E) 36 : 24
13) Las edades de un hijo y un padre están en la razón 1 : 5. Hace 5 años, las edades de ambos estaban en la razón 1 : 9. ¿Qué edad tiene el hijo?: A) 5 años B) 6 años C) 7 años D) 10 años E) 12 años