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¡La universidad para todos!

¡La Universidad para todos!

Tema: SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Docente: Mg. José Martín DE LA CRUZ UCAÑAN

Escuela Profesional INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

Periodo académico:2019-1B Semestre: 5 Unidad: 3

¡La universidad para todos!

SOLUCION DE SISTEMAS NO LINEALES

¡La universidad para todos!

ORIENTACIONES

• Siga cuidadosamente todas las definiciones hechas. • Resuelva paso a paso los ejemplos y ejercicios propuestos. • Revise los links correspondiente a esta semana.

¡La universidad para todos!

Contenido Newton para Sistemas. Ejemplo de aplicación. Punto fijo para Sistemas. Ejemplo de aplicación.

4

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Newton para Sistemas Sea el sistema NO lineal:

F(x, y) = 0 G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución:

F .G y  G .Fy x n 1  x n  J( F, G) (xn, yn)

G .Fx  F .G x y n 1  y n  J( F, G)

(xn, yn)

F x G Gx  x

Fx 

F y G Gy  y

Fy 

J( F , G) .Fx G y .Gx Fy

5

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación El siguiente sistema NO lineal:

F( ,x y)  (sen ) y x G( ,x y)  ycos(  ) 0.01 x 

Tiene solución en el siguiente cuadrante de solución según la gráfica: F(x, y)

Cuadrante de solución (0, 1)x(0, 1)

( x, 0 y)(00.6,0.7) 

G(x, y)

6

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Necesitamos analizar las siguientes funciones:

F( ,x y)  (sen ) y x G( ,x y)  ycos(  ) 0.01 x  Fx( ,x y)  1 F y( ,x y) cos(  ) y G x( ,x y)  (sen ) x G y( ,x y) 1  J( F, G) .F x G y .F y G x

7

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 1: F( x,0 y)0  (sen) y 0  x 0(0.7)sen 0.6



0.04422

G( x,0 y)0  y 0cos(  ) 0.01 x 0  0.7 cos(0.6) 0.01 0.11534  Fx( x,0 y)0 1  F y( x,0 y)0 cos(  ) cos( y 0 0.7) 0.76484 G x( x,0 y)0  (sen) x 0 (0 .6) sen G y( x,0 y)0 1 

0.56464

J( F, G) .Fx G y .F y G x  1.43186

F .G y  G .Fy J( F, G) (0.04422 *1)( 0.11534   * 0.76484) x 1  0.6  1.43186

G .Fx  F .G x J( F, G) ( 0.11534  * 1) (0.04422  * 0.56464) y 1  0.7  1.43186

x1  x 0 

y1  y 0 

x 1  0.69249

y 1  0.76311

8

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 2:

F( x, 1 y)1 0.00131  G( x, 1 y)1 0.00345  Fx( x, 1 y)1 1  F y( x, 1 y)1 0.72269  G x( x, 1 y)1 0.63845  G y( x, 1 y)11  J( F, G) .Fx G y .F y G x 1.46140 

F .G y  G .F y x 2  x1  J( F, G) x 2  0.68988 Error_x =0.003 k=2, n=2

G .Fx  F .G x y 2  y1  J( F, G) y 2  0.76132 Error _y=0.002

k=2, n=2 9

¡La universidad para todos!

Ejercicio Resolver el sistemas:

F ( x, y )  x  3 ln( x)  y 2 G( x, y )  2 x 2  xy  5 x  1 Para la solución cercana a (x0, y0) = (3.4, 2.2) Emplee el método de Newton para sistemas y encuentre la solución con 3 dígitos correctos. Use redondeo a 6 decimales.

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Punto Fijo para Sistemas Sea el sistema NO lineal:

F(x, y) = 0 G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución: Criterio de convergencia

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Ejemplo de Aplicación Considere el Sistema no lineal: X2 – Y2 – 6X + 8 = 0 X2 + 9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0

Encuentre dichas soluciones con 2 dígitos correctos, tanto para x como para y. Trabaje con redondeo a 4 decimales.

Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::

(X2 – 6x) - Y2 + 8 = 0 (X – 3)2 – Y2 + 8 – 9 = 0

(X – 3)2 – Y2 = 1

Hipérbola

12

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Considere el Sistema no lineal:

X2 – Y2 – 6X + 8 = 0 X2 +9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0 Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente:: (X2 – 6x) + 9(Y2 – 2y + 1) = 0 (X – 3)2 + 9(Y- 1)2 – 9 = 0 (X – 3)2 + 9(Y-1)2 = 9 (X – 3)2 + (Y – 1)2 32 12

=1

Elipse

13

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma: F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1 2 2 G (x, y) = (X – 3) + (Y – 1) 32 12

=1

F

G

14

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma: F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1 2 2 G (x, y) = (X – 3) + (Y – 1) 32 12

=1

(0.5, 1.5) x (1, 2) Sugerimos tomar (x0, y0) = (1, 1.6)

15

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Vamos ha estudiar ahora la convergencia, para ello debemos despejar de la función F, la variable x, y de la función G, la variable y.

F (x, y) = 0, entonces

x =

1 + y2 + 3 f (x, y)

G (x, y) = 0, entonces

y =

9 – (x – 3)2 + 1 3 g (x, y)

16

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y respectivamente: 1 + y2 + 3

f (x, y) =

fx (x, y) = 0

2y

fy (x, y) = 2

1 + y2

=

y 1 + y2

17

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y respectivamente:

g (x, y) =

gx (x, y) =

1 3 2

9 – (x – 3)2

-2(x-3)

9 – (x-3)2

+ 1

3 -(x-3)

=

3

9 – (x-3)2

gy (x, y) = 0

18

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Ahora evaluamos en el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6): fx (x0, y0) +

gx (x0, y0)

fy (x0, y0) =

0

+ gy (x0, y0) =

+

1.6 1.8868

2 6.7082 +

= 0.8480 < 1

0

= 0.2981 < 1

Por lo tanto f y g, son convergentes en el punto (1, 1.6) Xn+1 = f (xn, yn) = Yn+1 = g (xn, yn) =

1 + yn2 + 3 9 – (xn – 3)2

+ 1

3 19

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Ejemplo de Aplicación Comenzamos el proceso iterativo con el punto inicial

(x0, y0) = (1, 1.6):

Iteración 1 X1 =f (x0, y0) = Y1 =g (x0, y0) =

1 + y02 + 3 = - 1 +1.62 + 3 = 1.1132

9 – (x0 – 3)2

+ 1=

9 – (1 – 3)2

3

+ 1 = 1.7454

3

∆x = x1 – x0 = 1.1132 – 1 = 0.1132

k = 0, n = 1

∆y = y1 – y0 = 1.7454 – 1.6 = 0.1454

k = 0, n = 1

20

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 2 X2 =f (x1, y1) = Y2 =g (x1, y1) =

1 + y12 + 3 = - 1 +1.74542 + 3 = 0.9884 9 – (x1 – 3)2 3

+ 1=

9 – (1.1132 – 3)2

+ 1 = 1.7775

3

∆x = x2 – x1 = 0.9884 – 1.1132 = 0.1248

k = 0, n = 0

∆y = y2 – y1 = 1.7775 – 1.7454 = 0.0321

k = 1, n = 2

21

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 3 X3 =f (x2, y2) = -

Y3 =g (x2, y2) =

1 + y22 + 3 = - 1 +1.77752 + 3 = 0.9605 9 – (x2 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9884 – 3)2

+ 1 = 1.7419

3

∆x = x3 – x2 = 0.9605 – 0.9884 = 0.0279

k = 1, n = 1

∆y = y3 – y2 = 1.7419 – 1.7775 = 0.0356

k = 1, n = 2

22

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 5 X5 =f (x4, y4) = -

Y5 =g (x4, y4) =

1 + y42 + 3 = - 1 +1.73342 + 3 = 0.9988 9 – (x4 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9915 – 3)2

+ 1 = 1.7428

3

∆x = x5 – x4 = 0.9988 – 0.9915 = 0.0073

k = 1, n = 1

∆y = y5 – y4 = 1.7428 – 1.7334 = 0.0094

k = 1, n = 2

23

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 6 X6 =f (x5, y5) = -

Y6 =g (x5, y5) =

1 + y52 + 3 = - 1 +1.74282 + 3 = 0.9907 9 – (x5 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9988 – 3)2

+ 1 = 1.7450

3

∆x = x6 – x5 = 0.9907 – 0.9988 = 0.0082

k = 1, n = 1

∆y = y6 – y5 = 1.7450 – 1.7428 = 0.0022

k = 2, n = 3

24

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 7 X7 =f (x6, y6) = -

Y7 =g (x6, y6) =

1 + y62 + 3 = - 1 +1.74502 + 3 = 0.9888 9 – (x6 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9907 – 3)2

+ 1 = 1.7426

3

∆x = x7 – x6 = 0.9888 – 0.9907 = 0.0019

k = 2, n = 2

∆y = y7 – y6 = 1.7426 – 1.7450 = 0.0024

k = 2, n = 3

Podemos decir que la solución aproximada es: X = 0.98 88

Y = 1.74 26 25

¡La universidad para todos!

Ejercicio Resolver el sistema:

F ( x, y)  x  sen( x  y ) G( x, y )  y  cos( x  y)

Si (x0, y0) = (0.9, 0.85), emplee el método de punto fijo para sistemas y encuentre la solución aproximada con 3 dígitos correctos para x e y. Trabaje con redondeo a 6 decimales.

26

¡La universidad para todos!

Newton para Sistemas Sea el sistema NO lineal:

F(x, y) = 0 G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución:

F .G y  G .Fy x n 1  x n  J( F, G) (xn, yn)

G .Fx  F .G x y n 1  y n  J( F, G)

(xn, yn)

F x G Gx  x

Fx 

F y G Gy  y

Fy 

J( F , G) .Fx G y .Gx Fy

27

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación El siguiente sistema NO lineal:

F( ,x y)  (sen ) y x G( ,x y)  ycos(  ) 0.01 x 

Tiene solución en el siguiente cuadrante de solución según la gráfica: F(x, y)

Cuadrante de solución (0, 1)x(0, 1)

( x, 0 y)(00.6,0.7) 

G(x, y)

28

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Necesitamos analizar las siguientes funciones:

F( ,x y)  (sen ) y x G( ,x y)  ycos(  ) 0.01 x  Fx( ,x y)  1 F y( ,x y) cos(  ) y G x( ,x y)  (sen ) x G y( ,x y) 1  J( F, G) .F x G y .F y G x

29

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 1: F( x,0 y)0  (sen) y 0  x 0(0.7)sen 0.6



0.04422

G( x,0 y)0  y 0cos(  ) 0.01 x 0  0.7 cos(0.6) 0.01 0.11534  Fx( x,0 y)0 1  F y( x,0 y)0 cos(  ) cos( y 0 0.7) 0.76484 G x( x,0 y)0  (sen) x 0 (0 .6) sen G y( x,0 y)0 1 

0.56464

J( F, G) .Fx G y .F y G x  1.43186

F .G y  G .Fy J( F, G) (0.04422 *1)( 0.11534   * 0.76484) x 1  0.6  1.43186

G .Fx  F .G x J( F, G) ( 0.11534  * 1) (0.04422  * 0.56464) y 1  0.7  1.43186

x1  x 0 

y1  y 0 

x 1  0.69249

y 1  0.76311

30

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 2:

F( x, 1 y)1 0.00131  G( x, 1 y)1 0.00345  Fx( x, 1 y)1 1  F y( x, 1 y)1 0.72269  G x( x, 1 y)1 0.63845  G y( x, 1 y)11  J( F, G) .Fx G y .F y G x 1.46140 

F .G y  G .F y x 2  x1  J( F, G) x 2  0.68988 Error_x =0.003 k=2, n=2

G .Fx  F .G x y 2  y1  J( F, G) y 2  0.76132 Error _y=0.002

k=2, n=2 31

¡La universidad para todos!

Ejercicio Resolver el sistemas:

F ( x, y )  x  3 ln( x)  y 2 G( x, y )  2 x 2  xy  5 x  1 Para la solución cercana a (x0, y0) = (3.4, 2.2) Emplee el método de Newton para sistemas y encuentre la solución con 3 dígitos correctos. Use redondeo a 6 decimales.

32

¡La universidad para todos!

Punto Fijo para Sistemas Sea el sistema NO lineal:

F(x, y) = 0 G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución: Creterio de convergencia

33

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Considere el Sistema no lineal: X2 – Y2 – 6X + 8 = 0 X2 + 9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0

Encuentre dichas soluciones con 2 dígitos correctos, tanto para x como para y. Trabaje con redondeo a 4 decimales.

Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::

(X2 – 6x) - Y2 + 8 = 0 (X – 3)2 – Y2 + 8 – 9 = 0

(X – 3)2 – Y2 = 1

Hipérbola

34

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Considere el Sistema no lineal:

X2 – Y2 – 6X + 8 = 0 X2 +9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0 Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente:: (X2 – 6x) + 9(Y2 – 2y + 1) = 0 (X – 3)2 + 9(Y- 1)2 – 9 = 0 (X – 3)2 + 9(Y-1)2 = 9 (X – 3)2 + (Y – 1)2 32 12

=1

Elipse

35

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma: F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1 2 2 G (x, y) = (X – 3) + (Y – 1) 32 12

=1

F

G

36

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma: F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1 2 2 G (x, y) = (X – 3) + (Y – 1) 32 12

=1

(0.5, 1.5) x (1, 2) Sugerimos tomar (x0, y0) = (1, 1.6)

37

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Vamos ha estudiar ahora la convergencia, para ello debemos despejar de la función F, la variable x, y de la función G, la variable y.

F (x, y) = 0, entonces

x =

1 + y2 + 3 f (x, y)

G (x, y) = 0, entonces

y =

9 – (x – 3)2 + 1 3 g (x, y)

38

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y respectivamente: 1 + y2 + 3

f (x, y) =

fx (x, y) = 0

2y

fy (x, y) = 2

1 + y2

=

y 1 + y2

39

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y respectivamente:

g (x, y) =

gx (x, y) =

1 3 2

9 – (x – 3)2

-2(x-3)

9 – (x-3)2

+ 1

3 -(x-3)

=

3

9 – (x-3)2

gy (x, y) = 0

40

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Ahora evaluamos en el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6): fx (x0, y0) +

gx (x0, y0)

fy (x0, y0) =

0

+ gy (x0, y0) =

+

1.6 1.8868

2 6.7082 +

= 0.8480 < 1

0

= 0.2981 < 1

Por lo tanto f y g, son convergentes en el punto (1, 1.6) Xn+1 = f (xn, yn) = Yn+1 = g (xn, yn) =

1 + yn2 + 3 9 – (xn – 3)2

+ 1

3 41

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Comenzamos el proceso iterativo con el punto inicial

(x0, y0) = (1, 1.6):

Iteración 1 X1 =f (x0, y0) = Y1 =g (x0, y0) =

1 + y02 + 3 = - 1 +1.62 + 3 = 1.1132

9 – (x0 – 3)2

+ 1=

9 – (1 – 3)2

3

+ 1 = 1.7454

3

∆x = x1 – x0 = 1.1132 – 1 = 0.1132

k = 0, n = 1

∆y = y1 – y0 = 1.7454 – 1.6 = 0.1454

k = 0, n = 1

42

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 2 X2 =f (x1, y1) = Y2 =g (x1, y1) =

1 + y12 + 3 = - 1 +1.74542 + 3 = 0.9884 9 – (x1 – 3)2 3

+ 1=

9 – (1.1132 – 3)2

+ 1 = 1.7775

3

∆x = x2 – x1 = 0.9884 – 1.1132 = 0.1248

k = 0, n = 0

∆y = y2 – y1 = 1.7775 – 1.7454 = 0.0321

k = 1, n = 2

43

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 3 X3 =f (x2, y2) = -

Y3 =g (x2, y2) =

1 + y22 + 3 = - 1 +1.77752 + 3 = 0.9605 9 – (x2 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9884 – 3)2

+ 1 = 1.7419

3

∆x = x3 – x2 = 0.9605 – 0.9884 = 0.0279

k = 1, n = 1

∆y = y3 – y2 = 1.7419 – 1.7775 = 0.0356

k = 1, n = 2

44

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 5 X5 =f (x4, y4) = -

Y5 =g (x4, y4) =

1 + y42 + 3 = - 1 +1.73342 + 3 = 0.9988 9 – (x4 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9915 – 3)2

+ 1 = 1.7428

3

∆x = x5 – x4 = 0.9988 – 0.9915 = 0.0073

k = 1, n = 1

∆y = y5 – y4 = 1.7428 – 1.7334 = 0.0094

k = 1, n = 2

45

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 6 X6 =f (x5, y5) = -

Y6 =g (x5, y5) =

1 + y52 + 3 = - 1 +1.74282 + 3 = 0.9907 9 – (x5 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9988 – 3)2

+ 1 = 1.7450

3

∆x = x6 – x5 = 0.9907 – 0.9988 = 0.0082

k = 1, n = 1

∆y = y6 – y5 = 1.7450 – 1.7428 = 0.0022

k = 2, n = 3

46

¡La universidad para todos!

Ejemplo de Aplicación Iteración 7 X7 =f (x6, y6) = -

Y7 =g (x6, y6) =

1 + y62 + 3 = - 1 +1.74502 + 3 = 0.9888 9 – (x6 – 3)2 3

+ 1=

9 – (0.9907 – 3)2

+ 1 = 1.7426

3

∆x = x7 – x6 = 0.9888 – 0.9907 = 0.0019

k = 2, n = 2

∆y = y7 – y6 = 1.7426 – 1.7450 = 0.0024

k = 2, n = 3

Podemos decir que la solución aproximada es: X = 0.98 88

Y = 1.74 26 47

¡La universidad para todos!

Ejercicio Resolver el sistema:

F ( x, y)  x  sen( x  y ) G( x, y )  y  cos( x  y)

Si (x0, y0) = (0.9, 0.85), emplee el método de punto fijo para sistemas y encuentre la solución aproximada con 3 dígitos correctos para x e y. Trabaje con redondeo a 6 decimales.

48

¡La universidad para todos!

¡Gracias!