Preuniversitario Sur Austral Clase 5
AREA MATEMÁTICAS
Razones y Proporciones
PROPORCIONES
Es la igualdad entre dos razones.
La comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) se denomina razón. La primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.
Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12.
-Ejemplo 1: 3 : 4 (se lee 3 es a 4 ), donde el 3 es el antecedente y el 4, el consecuente. Esta razón
3 : 4 = 0,75 y 9 : 12 = 0,75
también puede escribirse como
Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se forma la proporción:
.
-Eje mplo 2 Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena? Solución: La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.
La razón pedida es:
Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones.
3 : 4 = 9 : 12 Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12.
Esta proporción también puede escribirse como: Propiedad fundamen tal de las propor ciones
Simplificando por 8, la razón queda en , lo que significa que la mezcla está conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena. -Eje mplo 3 Repartir $ 125.000 entre Pedro y Patricio en razón 2 : 3, respectivamente. Solución: La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro ---> 2 partes y Patricio ---> 3 partes. Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000. Algebraicamente: 2p + 3p = 125.000 5p = 125.000 p = 25.000
a : b = c : d <===> a · d = b · c; o bien Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es frecuentemente enunciada como “El producto de los medios es igual al producto de los extremos”. Cálcu lo del térm ino descono cido de una proporción Si en la proporción propiedad fundamental:
se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularlo aplicando la
De este modo, si
w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z.
O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde: Pedro = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000 Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000 Eje mplo 4 Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números? Solución: 5p - 2p = 60 3p = 60 p = 20
w=
;
z=
;
Ejemplo: Calcular x en la proporción Solución: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40 7,5 · 10 = 4 · x 75 = 4x
x=
;
y=
=x Descomponer una proporción Es comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo antecedente y consecuente.
x = 18,75 Prop iedades de una proporción Componer una proporción Es comparar la suma del antecedente y consecuente con su respectivo antecedente y consecuente: ;
o bien:
Ejemplo: Hallar dos números cuya suma sea 55 y están en la razón 5 : 6. Solu ción 1 : Sea X el primer número e Y el segundo. Entonces, se tiene que al interpretar el enunciado formamos la siguiente proporción:
; o bien: Ejemplo: La diferencia de las edades de un Padre y la de su Hijo es 20 años y están en la razón 7: 3. Solución: Edad del padre = x Edad del hijo = y
Entonces, se tiene:
.
Al descomponer se tiene:
. componiendo y comparándola con el numerador se tiene:
. Al sustituir el enunciado se tiene. como en el enunciado, la suma de los números debe ser 55, se remplaza este valor en la igualdad, quedando:
Resolviendo: Resolviendo:
Lo que significa que el padre tiene 35 años, y como: Luego, el valor de X es 25 y el de Y es 30 Solu ción 2 Volviendo a la estrategia de razones, podríamos haber razonado que hay que repartir 55 en partes proporcionales, teniendo:
, entonces, el hijo tiene 15 años.
Componer y descomponer Es comparar suma y diferencia simultáneamente
Ser ie de razones o ser ie de proporcione s La serie de razones: a:c:e=b:d:f
Puede ser expresada como Entonces la primera parte es
y el otro número es
; con k = constante.
Entonces, se verifica que:
Por ejemplo, en la serie de razones 2 : 4 : 6 = 3 : 6 : 9 o bien:
;
se puede verificar que:
y
Es decir que:
constante.
Ejemplo: Hallar x, y, z,
Definic ión de proporcional idad directa Dos cantidades A y B son directamente proporcionales si su cuociente es constante. Esto es:
si x + y + z = 50 y
Desarrollo: Podemos interpretar la proporción por: siendo k = constante de proporcionalidad. De aquí, despejando A, se tiene: A=k·B Al aplicar la propiedad se tiene:
Luego:
Esta igualdad se lee: “A es directamente proporcional a B”.
, lo que nos lleva a concluir que x =15. En el ejemplo de los libros, podemos enunciar:
Análogamente:
, de lo que se deduce que y = 25.
“El precio a pagar por los libros es directamente proporcional al número de libros”.
Entonces, z = 10.
Haciendo P = Precio a pagar y N = número de libros, tenemos:
Concep to de proporciona lidad dire cta Observa la siguiente tabla, que muestra, para un libro determinado, el precio a pagar según el número de libros:
P = k · N; o bien:
Nº libros 1 2 3 4
Precio a pagar $ 2.400 $ 4.800 $ 7.200 $ 9.600
= k. Es decir, que el precio a pagar, dividido por el número de libros, es una constante, que representa el precio de 1 libro. Verificando según valores de la tabla:
A medida que aumenta el número de libros aumenta el precio a pagar y, mientras menos libros, menos precio a pagar. Esto nos ilustra el principio fundamental para reconocer una proporcionalidad directa, que es, “el aumento de una variable hace aumentar el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable disminuye también la otra.”
= .... = $2.400. Siendo k = 2.400.
Concep to de proporciona lidad inv ersa Consideremos la siguiente tabla, que muestra el número de días que emplean en pintar una casa un determinado número de obreros, suponiendo que el rendimiento es constante: Nº Obreros 2 3 6 8
N° días 12 8 4 3
A medida que aumenta el número de obreros, disminuye el número de días que emplean en pintar la casa. Si disminuye el número de obreros, aumentan los días que emplean. Este es el principio de análisis para reconocer una proporcionalidad inversa, que es, “el aumento del valor numérico de una variable hace disminuir el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable, aumenta el valor de la otra.” En forma gráfica, este caso de proporcionalidad se representa por una curva denominada hipérbole. Para el caso de los obreros pintores, la grafica es la siguiente:
Verificando según los valores de la tabla: 12 · 2 = 8 · 3 = 6 · 4 = ... = 24. Siendo k = 24. Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad: 1º: Lectura comprensiva del texto del problema. 2º: Identificación y ordenación de los datos dados. 3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa. 4º: Planteamiento de la proporción según tipo. 5º: Resolución algebraica. 6º: Respuesta y verificación de la solución. Eje mplo 1: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo? Ordenación y análisis de los datos: 6 obreros 9 obreros
18 metros x metros
En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia, se forma la siguiente proporción:
La cual, al ser resuelta, se tiene:
Definición de proporcional idad inv ersa Dos cantidades A y B son inversamente proporcionales si su producto es constante. Esto es: metros. , siendo k = constante de proporcionalidad. De aquí, despejando A, se tiene:
A= Esta igualdad se lee: “A es inversamente proporcional a B”. En el caso de los obreros pintores podemos enunciar: “Los días que emplean en pintar la casa es inversamente proporcional al número de pintores”.
Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja. El resultado al cual se llega es consistente con lo esperado, ya que a mayor cantidad de obreros, mayor cantidad de metros de zanja cavados. Eje mplo 2: Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas diarias, con el mismo rendimiento? Ordenación y análisis de los datos: 8 obreros 3 semanas 6 obreros x semanas Para este caso se tiene que mientras menos obreros trabajan, se necesitan más semanas para construir la casa. Entonces se trata de una proporción inversa y nos permite igualar el producto de las variables.
Llamando D = días que emplean en pintar la casa y N = número de obreros que la pintan, se tiene que:
D=
, o bien: D · N = k, siendo k la constante de proporcionalidad inversa.
6x = 8 · 3 6x = 24 x = 4 semanas Respuesta: los 6 obreros se demoran 4 semanas en construir la casa.
Ejercicios
10)En un paseo que hicieron 24 alumnos consumieron 16 bebidas. Si al paseo hubieran ido 39 alumnos ¿cuántas bebidas habrían consumido?
1)prueba de matemática tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de estas preguntas y omite una. Escribe la razón entre: a) el número de preguntas correctas y el número total de preguntas, b) el número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas. c) el número de preguntas omitidas y el número total de preguntas.
2)La escala de un diseño es la razón entre en el dibujo y la correspondiente longitud real, expresadas ambas en la misma unidad. ¿Cuál fue la escala utilizada en el diseño de una casa, si una longitud de 6 m fue representada por una longitud de 3 cm?
3)En un curso, la razón entre el número de niños y de niñas es 3 : 2. Si el número de niños es 18, ¿Cuál es el número de niñas?
4)La razón entre las edades de un padre y su hija es 11 : 4. Si la hija tiene 16 años, ¿cuál es la edad del padre?
11)El pavimento de un tramo de la carretera lo hacen 6 obreros en 12 días. ¿Cuánto se demorarían 9 obreros, trabajando en igualdad de condiciones?
12)Manuel y Paula ganaron en un negocio $800.000, pero como ambos no trabajaron lo mismo, se lo repartirán en la razón 2: 3. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Manuel?
13)El perímetro de un rectángulo mide, 54cm. Si uno de sus lados mide 15 cm, ¿en qué razón están las longitudes de los lados?
14) La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es
P⋅V = constante, donde P es la T
presión del gas, V su volumen y T su temperatura absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 5)A una velocidad promedio de 75 km/hr. un vehículo demora 9 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuántas horas tardaría si aumentara el promedio de su velocidad en 15 km./hr?
6)Diez toneles iguales contienen 800 litros de vino ¿Cuántos toneles son necesarios para almacenar 36.000 litros de vino?
I) II) III) A) B) C) D) E)
A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temperatura A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al volumen A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III
15)Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea : 6 : 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas? 7)12,5 m. de alambre cuestan $ 32.025. ¿Cuánto cuestan 8 m? ¿Y cuál es el precio de 50 cm. del mismo alambre?
8)En un establo hay vacas que consumen 35 fardos de pasto en 40 días. ¿En cuántos días consumirán 28 fardos?
A) B) C) D) E)
180 mm ; 120 mm ; 90 mm 420 mm ; 180 mm ; 120 mm 320 mm ; 240 mm ; 160 mm 510 mm ; 120 mm ; 90 mm Ninguna de las medidas anteriores
16) Se sabe que a es directamente proporcional al número
1 y cuando a toma el valor 15, el valor de b b
es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es : 9)Un cajón que pesa 9,6 kg contiene 1.152 clavos. ¿Cuántos clavos, del mismo tamaño de los anteriores, habrá en un cajón que pesa 17 kg ?
8
A) 10
B)
8 5
C)
5 8
D)
1 10
E)
15 4