Semana 4_20190402002514

Escuela Profesional de Ingeniería Civil Semestre 2019 - I

Ciclo III

Asignatura: Matemática Aplicada I

Tema: Integracion Numérica

Docente: Velásquez Boza, Yasser

Apellidos y Nombres:

Turno:

/04/2019

INTEGRACIÓN NUMÉRICA Introducción 𝑏

Para calcularla integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , por el teorema fundamental del cálculo, primero se encuentra una integral indefinida o anti derivada F(x), es decir: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥 ) ∕𝑏𝑎 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 1

2

3𝜋⁄2 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Pero para las integrales tales como ∫0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥, ∫𝜋⁄2

𝑥

2 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥

𝑑𝑥 , ∫1

𝑥

𝑑𝑥, no existe un método

conocido para encontrar primero su integral indefinida o anti derivada, sin embargo si la función f es 𝑏

continua en el intervalo cerrado [a, b], la integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 existe y es un numero único. Para estos casos en que no se puede encontrar la integral indefinida o antiderivada, veremos los siguientes métodos para calcular un valor aproximado de una integral definida y que puede ser utilizado para calcular una integral definida por medio de computadoras electrónicas.

Regla Del Trapecio Si f(x) es una función continua en [a, b], la integral definida es dado por: 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑐𝑖 ) ∆𝑖 𝑥 𝑎

|∆,𝑥|→0

𝑖=1

Geométricamente la suma de Riemann ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑐𝑖 ) ∆𝑖 𝑥 es igual a la suma de las medidas de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje X, más el negativo de los rectángulos que están abajo del eje x.

Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en vez de rectángulos, para este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la función en los puntos cuyas distancias sean las mismas. 𝑏

En la integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, al intervalo [a, b], dividiremos en n sub-intervalos cada uno de longitud ∆ 𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

, dando n + 1 puntos

𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥, 𝑥2 = 𝑎 + 2∆𝑥, … , 𝑥1 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥, … , 𝑥𝑛−1 = 𝑎 + (𝑛 − 1) + ∆𝑥, 𝑥𝑛 = 𝑏 𝑏

Luego a la integral ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 expresaremos como la suma de n integrales definidas. 𝑏

𝑥𝑖

𝑥2

𝑥𝑖

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑎

𝑎

𝑥𝑖

𝑥𝑚

𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫

𝑥𝑖−1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑥𝑛−1

𝑥

La integral ∫𝑎 1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, da la medida del área de la región acotada por el eje X, las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑥1 ̂ 𝑥1 y la porción de la curva𝑃 0 𝑃1 ∩. luego a la integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 se puede aproximar por la

medida del trapecio formado por las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑥1 , ̅̅̅̅̅̅ 𝑃0 𝑃1 y el eje X, donde la medida del trapecio es

1 2

[𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓 (𝑥1 )]∆𝑥, en forma similar para las otras integrales, pueden ser aproximadas

por la medida del área de un trapecio, mediante el símbolo ≈, entonces para la i-ésima integral definida se tiene: 𝑥𝑖

1 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≈ [𝑓 (𝑥𝑖−1 ) + 𝑓 (𝑥𝑖 )]∆𝑥 2 𝑥𝑖−1

∫

𝑏

Por lo tanto, para la integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 se tiene:

𝑏

1 1 1 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ [𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )]∆𝑥 + [𝑓 (𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )]∆𝑥 + ⋯ + [𝑓 (𝑥𝑛−1 ) + 𝑓 (𝑥𝑛 )]∆𝑥 2 2 2 𝑎 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈

∆𝑥 2

… (*)

[𝑓(𝑥0 ) + 2𝑓 (𝑥1 ) + 2(𝑥2 ) + ⋯ + 2𝑓 (𝑥𝑛−1 ) + 𝑓 (𝑥𝑛 )]

La fórmula (*) se denomina la Regla del Trapecio. Observación. - Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se comentan errores que denominaremos por 𝜀𝜏 y que se puedan hallar mediante el teorema siguiente: Teorema. - Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], y que 𝑓´ , 𝑓´´ existen en [a, b]. 𝑏

𝑏

Si 𝜀𝜏 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑇, donde T es el valor aproximado de ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 que se encontro mediante la Regla Trapecial, entonces existe un numero 𝜂 en [a, b] tal que:

𝜀𝜏 =

1 (𝑏 − 𝑎)𝑓´´(𝜂)(∆𝑥)2 12

Regla de Simpson 𝑏

También se conoce con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 por la regla de los trapecios, los puntos sucesivos en la gráfica y = f(x) eran conectados por segmentos de la línea recta, mientras que la regla de Simpson, los puntos son conectados por segmentos parabólicos. La regla de Simpson da una mejor aproximación que la regla de los trapecios, pero si, con un mayor esfuerzo. Para establecer la Regla de Simpson veremos primero el teorema siguiente. Teorema 1 Si 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑦𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) son tres puntos no colineales en la parábola de ecuación 𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶, donde 𝑦0 ≥ 0 𝑦 𝑦1 ≥ 0, 𝑦2 ≥ 0, 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑥2 = 𝑥0 + 2ℎ, entonces la medida del área de la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas ℎ 3

(𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2 ).

𝑥 = 𝑥0 , 𝑥 = 𝑥2 esta dado por

Sea 𝐴𝑟 el área de la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas

𝑥 = 𝑥0 , 𝑥 = 𝑥0 + 2ℎ,

entonces. 𝑥0 +2ℎ

(𝐴𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝐶 )𝑑𝑥 =

𝐴𝑟 = ∫ 𝑥0

𝐴𝑥 3 𝐵𝑥 2 𝑥 +2ℎ + + 𝐶𝑥)/𝑥00 2 2

𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴𝑟 = [ (𝑥0 + 2ℎ)3 + (𝑥0 + 2ℎ)2 + 𝐶 (𝑥0 + 2ℎ)] − [ 𝑥03 + 𝑥02 + 𝐶𝑥0 ] 3 2 3 2 𝐴𝑟 =

ℎ [𝐴(6𝑥02 + 12ℎ𝑥0 + 8ℎ2 ) + 𝐵 (6𝑥0 + 6ℎ) + 6𝐶 ] 3

ℎ

∴ 𝐴𝑟 = 3 (𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2 ) Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que 𝑓(𝑥) ≥ 0 y tomemos una partición regular en el intervalo [a, b] de 2n sub-intervalos (2n se usa en vez de n) donde la longitud de cada subintervalo esta dado por∆ 𝑥 =

𝑏−𝑎 2𝑛

Aproximemos el segmento de la curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑒 𝑃0 𝑎 𝑃2 Por el segmento parabólico con su eje a través de 𝑃0 , 𝑃1 𝑦 𝑃2 y de acuerdo al teorema se tiene: La medida del área de la región acotada por esta parábola, el eje X y las rectas 𝑥0 , 𝑥 = 𝑥2 𝑒𝑛∆ 𝑥 = ℎ es: ∆𝑥 3

(𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2 ) 𝑜

∆𝑥 3

(𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )).

En forma análoga para el segmento de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑒 𝑃2 𝑎 𝑃4 se tiene:

𝑥=

∆𝑥 ∆𝑥 (𝑦2 + 4𝑦3 + 𝑦4 ) 𝑜 (𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 )) 3 3 Y para la última región se tiene: ∆𝑥 ∆𝑥 (𝑦2𝑛−2 + 4𝑦2𝑛−1 + 𝑦2𝑛 ) 𝑜 (𝑓(𝑥2𝑛−2 ) + 4𝑓(𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )) 3 3 La suma de la medida de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la región 𝑏

acotada por la curva de ecuación 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ), el eje X y las rectas x = a, x= b y como ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 da la medida de la región, entonces una aproximación para esta integral es: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≈ 𝑎

∆𝑥 ∆𝑥 (𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥1 ) + 𝑓 (𝑥2 )) + (𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓 (𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 )) + ⋯ + 3 3 ∆𝑥 (𝑓(𝑥2𝑛−2 ) + 4𝑓(𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )) 3

𝑏

∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 ≈ 𝑎

∆𝑥 (𝑓 (𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥1 ) + 2𝑓 (𝑥2 ) + 4𝑓 (𝑥3 ) + 2𝑓 (𝑥4 ) + ⋯ + 4𝑓 (𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )) 3

… (*). A la ecuación (*) se le denomina La Regla de Simpson. Observación. - Así como la regla de los trapecios se comete un error 𝐸𝑇 , también en la regla de Simpson se comete un error 𝐸𝑠 y es calculado mediante el teorema siguiente. Teorema 2.- Si y = f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y si 𝑓´, 𝑓´´ , 𝑓´´´ 𝑦 𝑓 𝑖𝑣 existen en [a, 𝑏

𝑏

b], si 𝐸𝑠 = ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 − 𝑆, donde S es el valor aproximado de∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥, entonces∃ 𝑘 ∈ [a, b] tal que: 𝐸𝑠 = −

1 (𝑏 − 𝑎)𝑓 𝑖𝑣 (𝑘)(∆ 𝑥)4 180

Observación. -si f(x) es un polinomio de grado 3 o menor entonces 𝑓 𝑖𝑣 (𝑥 ) = 0 ⟹ 𝐸𝑠 = 0 entonces 𝑏

la regla de Simpson da un valor exacto para la integral ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥. 𝑏

Al aplicar la regla de Simpson a la integral ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 donde f(x) es un polinomio de tercer gradoy tomemos 2𝑛 = 2, 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏

∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 =

𝑏−𝑎 2

𝑎+𝑏

[𝑓(𝑎) + 4𝑓 (

2

𝑎+𝑏 2

, 𝑥2 = 𝑏, ∆ 𝑥 =

𝑏−𝑎

) + 𝑓(𝑏)]

La ecuación (*) se denomina la formula Prismoidal.

2

𝑏

, el valor exacto de la integral ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥: … (*)