Semana 10 Y 11-2016-1 Impulso.pdf

Dinámica

2016-1

Impulso y Cantidad de Movimiento en 2D Semana 11

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN 2D

IMPULSO Y MOMENTUM DE UN CUERPO RIGIDO (2D)  1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal L

 

Modelo General (Traslación + Rotación):

Por otro lado con respecto a O:

vG  T .

Y

 rG 



 mi vi

mi

 vG

 ri  rG

ri / G

  mi ri

m

Derivando:

G

X

Para una partícula de masa mi Li  mi vi Para todo el cuerpo rígido:

L   mi v i

L: Siempre actúa en el centro de masa del cuerpo:

i

  mrG 

  mi ri

  mvG   mi vi

   L  m.vG

2. Momentum Angular  H  (Válida para un estado dinámico) vi  vP    r

H  i

P

El Momentum angular siempre se determina respecto de un punto o eje

 r  mi vi  ( xiˆ  yjˆ)  mi  vP    r 

 H i  P kˆ  mi ( xiˆ  yjˆ)   vXP iˆ  vYP ˆj  kˆ  ( xiˆ  yjˆ) 

H  H  i

i

P

P

  m ( xiˆ  yjˆ)   (v

 mi ( xiˆ  yjˆ)  v XP iˆ  vYP ˆj  x ˆj  yiˆ i

P X



 y )iˆ  (vYP  x ) ˆj



 H i  P  mi xv yP  mi yvxP  mi ( x 2  y 2 ) Cuandomi  dmint egrando P P 2  H i  P  mi xv y  mi yvx   mi r paratodoelcuerporigido :

HP  v

P y

 xdm  v  ydm    r dm P x

2

x eselcentrodemasa en xdelcuerporigido

xm   xdm

y eselcentrodemasa en ydelcuerporigido

ym   ydm

Que sucede si consideramos que el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo rigido:

HP  v

P y

 xdm  v  ydm    r P x

2 P

dm

y

H G  v Gy  xdm  vxG  ydm    rG2 dm H G  v Gy  xm   vxG  ym     rG2 dm Cuando G coincide con P entonces:

H G    rG2 dm  I G

H G  I G    H G  I G   

x 0



y 0

H G  I G

En el plano se puede tomar escalarmente el Momento Angular, de acuerdo a la Regla de la Mano Derecha.

x

Casos particulares: a) Traslación pura:   0   L  mvG  HG  0

(Rectilínea y curvilínea).

b) Rotación pura respecto a un punto fijo en el cuerpo:

O



O  rG

 rG

 mvG

G







  H G  I G

 mvG

  I G

G m

T  cuerpo.rigido  G  I G .  0  mvG 

 O  I G  rG mvG  I G  rG m .rG 

 O   ( I G  mrG2 )

  L  mvG

En el plano es aplicable esta ecuación en casos de rotación pura y para cuerpos rodantes.

I O  I G  rG m 2

H O  I O

c) Traslación y Rotación: (Movimiento general del cuerpo en el plano)

H G  I G .

L  mvG

vG  .rG

3. Principio del Impulso y el Momentum (se evalúa entre 2 estados dinámicos): t1

t  t 2  t1 .Se aplica para un cambio de estado. t2

  L  mvG

1) Momentum Lineal:

Sabemos que para todo cuerpo en movimiento:  vG 2 t2     d .vG   F  maG  F  m dt F dt  m d . v  t  G v 1

t2

  Fdt  mv

G2

t1

   J  mvG 2  mvG1

 mvG1 J:

   mvG1   Fdt  mvG 2

G1

   mvG1  J12  mvG 2

Impulso lineal

t2

t1

Ecuación general del Principio del Impulso y la Cantidad De Movimiento Lineal

Ecuación General del Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal

   L1  J 12  L2

a) Para un cuerpo rígido: De donde:       L1x  J 12 x  L2 x   2 D   3D   L2 y  L1 y  J 12 y      L1z  J 12 z  L2 z

 F  :

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados: 2) Principio del Impulso y la cantidad de movimiento angular:     d   M G  I G  M G  I G dt  d  d   M G  I G dt  M G  dt I G  t2 2   d  M . dt  I d   G G t    M G  dt H G    1 1 12  d  M   A dt H A 

 

Nota:

M

G

Suma de las fuerzas externas, sobre el sistema

    L1   J12   L2

12  I G2  I G1 



12 :

Impulso angular

t2

 I G1   M G dt  I G2 t1

t2    H G1   M G dt  H G 2 t1

    H G1  12   H G 2

: Suma de momentos de las fuerzas externas al sistema

Para un cuerpo rígido Para un sistema

4. Conservación del Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento: En un eje cualquiera:

   F .dt  0

t2

   mvG1   Fdt  mvG 2 t2

Si

Haciendo el D.C.L.  L  cte.

Entonces

t1

t1

a) Para un Cuerpo Rígido:     L1  L2 m.vG1  m.vG 2

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas útil):

  L1 

  vG1  vG 2

  L2

t2

  I G1   M G dt  I G2

5. Conservación del Momentum Angular:

t1

En el plano:  M   G dt  0

t2

Si

t1

Entonces

 H G  cte.

  H G1  H G 2

a) Para un Cuerpo Rígido:





  I G1  I G2

1   2 b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas útil):

  HG





1

   HG





2

RESUMEN

  L  m.vG

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal

  H G  I G

2. Momentum Angular

Validas solo para un estado dinámico

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

   mvG1   Fdt  mvG 2 t2

   L1  J12  L2

t1

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

   H G1  12  H G 2

   I G1   M G dt  I G2 t2

t1

5. Conservación de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

  L1 

  L2

6. Conservación del Momentum Angular:

  HG





1

   HG





2

En el disco de 20 kg, actúan un Momento M y una fuerza F. Si parte del reposo, para t = 2 s determine: a.- La rapidez angular del disco.(rad/s) b.- La aceleración angular del disco.(rad/s2) c.- La magnitud de la fuerza de reacción horizontal en el pasador A.(N) d.- La magnitud de la fuerza de reacción vertical en el pasador A.(N)

a.- 9,7777 rad/s b.- 4,8888 rad/s2 c.- 0 N d.- 206 N

El cilindro tiene una masa de 6 kg y cuelga de una cuerda, la cual se enrolla alrededor de la periferia de un disco de 20 kg. Si inicialmente desciende con una rapidez de 2 m/s, para t = 3 s, determine: a.- La rapidez angular del disco.(rad/s) b.- La rapidez del bloque.(m/s) c.La aceleración angular del disco.(rad/s2) d.- La fuerza de tensión del cable.(N) e.- La magnitud de la fuerza de reacción horizontal sobre el pasador en A.(N) f.- La magnitud de la fuerza de reacción vertical sobre el pasador en A.(N)

a.- 65,125 rad/s b.- 13,025 m/s c.- 18,375 rad/s2 d.- 36,75 N e.- 0 f.- 232,75 N

Si se tomara Momentum Angular respecto de un punto A que no fuera el centro de masa se agrega el Momento que produce la cantidad de movimiento lineal respecto del punto A En el estado que se muestra:

  H G   I G k

  I G k

Hay dos posibilidades de resolver un problema

 mvG i

a) Aplicando el Principio del Impulso y Momentum angular con respecto al Centro de Masa G: t2

I G1   M G dt  I G2

H A   I G k  0, 75(mvG )k

t1

b) Aplicando el Principio del Impulso y Momentum angular con respecto al punto A (donde se encuentra la fuerza de reacción del apoyo A): t2

I G1  r1  mvG1   M A dt  I G2  r2  mvG 2 t1

El carrete de 100 kg, tiene un radio de giro KG = 0,35 m. Se enrrolla un cable alrededor del carrete y se aplica una fuerza horizontal de magnitud variable P. Si el carrete parte del reposo, para t = 5s, determine: a.- La rapidez angular del carrete.(rad/s) b.- La aceleración angular del carrete.(rad/s2) c.- La magnitud de la fuerza de fricción estática en A.(N) d.- La magnitud de la fuerza de reacción normal en A.(N)

a.- 1,0492 rad/s b.- 0,2518 rad/s c.- 3,8868 N d.- 980 N

Los engranes A y B de 10 kg y 50 kg tienen radios de giro respecto a sus centros de masa kGA = 80 mm y kGB = 150 mm. Si en engrane A se somete a un Momento de Par M = 10 N.m, después de que comienza a girar del reposo, para t = 5s determine: a.- La rapidez angular del piñón.(rad/s) b.- La rapidez angular del engrane.(rad/s) c.- La magnitud de la fuerza sobre el piñon en el diente.(N) d.- La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo A, en el eje X.(N) e.- La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo A, en el eje Y.(N)

a.- 144,8225 rad/s b.- 72,4112 rad/s c.- rad/s2 d.- N e.- N

CHOQUES

6. Análisis Para Choques Excéntricos: El impacto excéntrico entre 2 cuerpos ocurre cuando la línea que une los centros de masa de los cuerpos no coincide con la línea del impacto. En estos choque, se cumplen las ecuaciones dadas, pero se agrega la que corresponde al coeficiente de restitución (e) Antes del impacto Después del impacto

vP1

n

v

v

n P1

P

vQt 1

t P1

Q

vQt 2

vQ1

n Q1

v

n

vPn 2

vQ 2

P

vP 2

Q

v

t P1

vQn 2

t

e

vrel. despues del impacto vrel. antes del impacto

t

(Solo se aplica en el punto de contacto, en la línea de Impacto (eje normal n)

En el ejemplo:

e

n n vP  v 2 Q2 n n vP  v 1 Q1

Nota: Si no hubieran fuerzas externas sobre el sistema 3, "El sistema seria conservativo".

7. Conclusiones Importantes:

Para todo movimiento plano: en un estado dinámico:

    d d d   M G  I G  I G . dt  dt I G   dt H G



   M G dt  dH G



12

   H G 2  H G1

t2

   M G dt 

HG 2

t1

H G1



  dH G

H G1  1 2  H G 2

a) Aplicando el Principio del Impulso y Momentum angular con respecto al Centro de Masa G:

t2

I G1   M G dt  I G2 t1

1

F1

2 F2

IG1

IG2

d2 G

G

G RO O

O

mg

rG O

t2

 I G1kˆ   ( F1d1  F2 d 2  RO d O )dtkˆ  I G2 kˆ t1 t2

 I G1   ( F1d1  F2 d 2  RO d O )dt  I G2 t1

Nota: Hay dos incognitas en una sola ecuación: 2 y R0

a) Aplicando el Principio del Impulso y Momentum angular con respecto al punto O (donde se encuentra la fuerza de reacción del apoyo O): t2

I G1  r1  mvG1   M O dt  I G2  r2  mvG 2 t1

1

F1

2 F2

IG1 G O

IG2

r2

G

G RO

rG

O

rO

mg

rG O

t2

 I G1kˆ  rG (mvG1 )kˆ   ( F1r1  F2 r2  rO mg )dtkˆ  I G2 kˆ  rG (mvG 2 )kˆ t1

Nota: Hay una sola incognita en una sola ecuación: 2

Dos casos a tomar en consideración para la aplicación del Impulso del Peso: a) Cuando ∆t → grande, apreciable. Se considera el Impulso del Peso y otras fuerzas pequeñas. b) Cuando ∆t → muy pequeño (Choques). El impulso del peso y otras fuerzas pequeñas, no impulsivas son despreciables.

RESUMEN

  L  m.vG

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal

  H G  I G

2. Momentum Angular

Validas solo para un estado dinámico

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

   mvG1   Fdt  mvG 2 t2

   L1  J12  L2

t1

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

   H G1  12  H G 2

   I G1   M G dt  I G2 t2

t1

5. Conservación de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

  L1 

  L2

6. Conservación del Momentum Angular:

  HG





1

   HG





2

La barra delgada ABC tiene una masa de 2,4 kg y se une a un soporte de pasador en B. La esfera D de 0,8 kg golpea el extremo de la barra con una rapidez v1 = 3 m/s. Si L = 0,75 m y e = 0,5, inmediatamente después del impacto, determine: a.- La rapidez angular de la barra ABC.(rad/s) b.- La rapidez de la esfera D.(m/s) c.- La magnitud de la aceleración angular de la barra ABC.(rad/s2) d.- La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo B.(N) e.- El máximo ángulo alcanzado por la barra después del impacto.()

I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Lineal SOLO para la bola entre los estados 1 y 2:

a )0,8(3 ˆj )   F .dtjˆ  0,8v2 ˆj   F .dt  0,8v2  2, 4.........(1) II) Utilizando el coeficiente de restitución entre la bola y la barra entre los estados 1 y 2:

2

L  0,1875m 4

v A 2  0,18752

e  0,5 

v2  v A 2 v2  0,18752  3 3

0,18752  v2  1,5............(2)

I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Angular para la barra entre los estados 1 y 2, con respecto al punto B:

H B1   M B dt  H B22

+ H B1   0,1875 F .dtkˆ  H B 2

= IG 

1 (2, 4)(0, 75) 2  0,1125kg.m 2 12

0  0,1875 F .dt  I G2  0,1875(mvG 2 ) 0,1875 F .dt  0,11252  0,1875(2, 4)(0,18752 )

 F .dt  1, 05 .............(3) 2

1, 052  0,8v2  2, 4 1, 052  0,8v2  2, 4.............(4) 0,18752  v2  1,5............(2)

2  3rad / s v2  0,9375m / s

III) Utilizando el concepto de Fuerzas y aceleraciones sobre la barra en el estado 2: 23,52N

BX

= B



a ) M B



BY causas

maGn

L=0,75m



 M B



maGt efectos

:

01875(23,52)  0,1125 2  (0,1875)  (2, 4)(0,1875) 2 

 2  22, 4rad / s 2 b) Fn  maGn : c) Ft  maGt :

BX  m(22 .r )  2, 4(3) 2 (0,1875) BX  4, 05 N

BY  23,52  m( 2 .r )  2, 4(22, 4)(0,1875)  10, 08 BY  13, 44 N

RB  ( BX ) 2  ( BY ) 2  (4, 05) 2  (13, 44) 2  14, 0369 N

RB  14, 0369 N

IV) Observamos que sobre el cuerpo después del impacto, solo actúan sobre el, fuerzas conservativas como el peso y fuerzas en el apoyo B que no trabajan, por lo cual se cumple la Conservación de la Energía Mecánica: Aplicamos el Principio de Conservación de la Energía Mecánica entre los estados 2 y 3: Estado 3

Estado 2

vG 3  0

vG 3  0,5625m / s 2  3rad / s 0,1875

B

EM 2  EM 3

+

BX BY



= B

mg

3  0

B

0,1875Sen N.R.

1 2 1 1 2 1 2 2 mv  I   mg . y  mv  I  G2 G 2  G2 G3 G 3   mg . yG 3   2 2 2  2 

1 1 2 (2, 4)(0,5625)  (0,1125)(3) 2  0  (0)  2, 4(9,8)(0,1875.Sen ) 2 2 Sen  0, 2008

  11,5837

Bibliografia a utilizar: Hibbeler y Beer

PROBLEMA 1 (4 puntos) Cada una de las barras delgadas uniformes A tienen una masa de 20 kg. Se sabe que OC es 300 mm. La barra B de 8 kg se suelta del reposo en la posición mostrada, si e = 0,5. Determine: a.- La velocidad angular de la doble barra después del choque.(rad/s) b.- La velocidad angular de la barra B después del choque.(rad/s) c.- La aceleración angular de B un instante después del choque.(rad/s2) d.- El máximo ángulo que se eleva la doble barra.()

a.- w = 1,2219 rad/s b.- vn = 42,8342 m/s

1.- A2 = 25,1328 rad/s 2.- t = 0.8691 s 3.- Fm = 46,2651 N 4.- Ot = 22,7451 N 5.- On = 17,64 N 6.- 2 = 71,5359 rad/s2

KB = 1,6 m

1.- AB2 = 3,834 rad/s 2.- AB3 = 1,246 rad/s 3.- CD3 = 4,3132 rad/s 4.- OY = 170,4221 N 5.- 3 = 0 6.- max = 105.4

THE END!

Higher Education: Let’s make it all that it can be and needs to be! Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!

Professor: M.Sc Tito Vilchez