Sem01 Y Parte De 02

Números Reales Matemática Básica Mgtr. Consuelo Silva Rivera [email protected]

www.usat.edu.pe

www.usat.edu.pe

OBJETIVO



2

Resuelve operaciones en los diferentes conjuntos numéricos, aplicando correctamente las propiedades pertinentes.

www.usat.edu.pe

LISTA DE CONTENIDOS • Pre-requisitos: áreas, ángulos , triángulos, álgebra • Visión general de los números. • Propiedades de los números reales.

3

www.usat.edu.pe

Leyes de Exponentes y Radicales

4

www.usat.edu.pe

Propiedades de Desigualdades

Productos Notables • • • •

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b = a3 + b3 + 3ab (a + b) • (a - b)3 = a3 - 3a2b = a3 - b3 - 3ab (a - b) • (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 • (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

+

3ab2

+

b3

+

3ab2

-

b3

Calcular : 1234568 5

2

 1234567

www.usat.edu.pe

2

ÁREAS Y PERÍMETROS PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

6

RECTÁNGULO

CUADRADO

ROMBOIDE

ROMBO

P = 2.b+2.h

P = 4.l

P= 2.b + 2.l

P = 4.l

A = b.h

A = l.l

A = b. h

A = D.d / 2

TRAPECIO

TRIANGULO

POLIGONO

EXÁGONO

P = B+b+2.l

P = b+l+l’

P = n.l

P = 6.l

A = (B+b). h / 2

A = b.h / 2

A = (P.ap) /2

A = 3.V3.l.l / 2

CORONA CIRCULAR

SECTOR CIRCULAR

TRAPECIO CIRCULAR

P = 2.π (R+r)

2. π .r. n P = -------------- + 2.r 360

2. π .(R + r). n P=----------------------+ 2.(R-r) 360

2 2 A = π .(R - r )

2 A = π .r . n / 360

A=π .(R - r ). n / 360

R=Radio círculo mayor

r = Radio círculo menor

n = Nº de grados del ángulo

www.usat.edu.pe

2

2

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 16

53

25*K

24*K

5*K

3*K 4*K

0

90

180

0/1=0

1/1=1

0/1=0

-1/1=-1

Cos

1/1=1

0/1=0

-1/1=-1

0/1=0

Tan

0/1=0

1/0=∞

0/-1=0

-1/0=∞

Cot

1/0=∞

0/1=0

-1/0=∞

0/-1=0

Sec

1/1=1

1/0=∞

1/-1=-1

1/0=∞

csc

1/0=∞

1/1=1

1/0=∞

1/-1=1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS sen A 

C

A b

7

www.usat.edu.pe

lado opuesto a  hipotenusa c

lado adyacente b  hipotenusa c

Tan A 

a

30

1*K

cos A 

c

45

270

Sen

B

2*K

1*K 1*K

37

7*K

60

1*K

74

Ø

45

Lado opuesto a  lado adyacente b

Csc A 

hipotenusa c  lado opuesto a

Sec A 

hipotenusa c  lado adyacente b

Cot A 

Lado adyacente b  Lado opuesto a

Hallar el área de la figura sombreada: Hallar el área de la figura sombreada, si el radio del círculo mayor es igual a 8 cm:

Tenemos: • 2 paralelogramos = 2 A =2(b.h)= 2 (4. 4) = 32 m2 • 2 triângulos = 2B = 2 (b.h)/ 2 == 2 { (6. 4)/ 2 } = 24 m2 • 1 Rectángulo=C =b*h =8.4 = 32 m2 •

8

ÁREA PEDIDA = 88 m 2

www.usat.edu.pe

• • • • • •

A pedida = 1/2 (A círculo) A pedida = 1/2 (pi. r 2) A pedida = 1/2 {3,14. (8)2} A pedida = 1/2 {3,14. 64} Respuesta. A pedida = 100.48 cm2

Problema: Un terreno posee la forma sgte y se cobra 1.5 soles por metro cuadrado.¿Cuanto se pagará por todos los metros cuadrados?

Área de figuras planas

20m 24m

10m

Área del rectángulo= b x h = 24 x 20 = 480 (m^2)

Área del circulo

Área del semicírculo =

3.14 x(r^2)

=

2 =

3.14 x 100

2 Área del triángulo=

=

314

= 157m

2

2

2 Bxh = 2

10 x 20 2

=

200 = 100 2

Área Total=480+157+100=727(m^2) Costo=1.5*727= S/.1,097.5 www.usat.edu.pe

=

Encontrar el área y perímetro de la figura

Problema ¿Cuánto mide la superficie A? Teniendo presente que Superficie B es igual a la Superficie C. a) b) c)

90 m2 50 m2 60 m2

B

10 m

5m

3m

A

C

9m www.usat.edu.pe

Triángulos rectángulos Puente Tacoma en el estado de Washington. El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940 y rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el puente se derrumbó completamente debido a las grandes oscilaciones.

Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se conocen son el ángulo de elevación  y la longitud de la sombra proyectada sobre el piso.

60° 187 m www.usat.edu.pe

Ejemplo

www.usat.edu.pe

www.usat.edu.pe

Números Reales 2  1.41, y   3.1416 •

• •

El record de temperatura mas alta , de 134˚F, en Estados Unidos fue registrado en el Valle de la Muerte, California, en 1913. El record de temperatura mas baja fue de – 80 ˚F en Prospect Creek, Alaska, en 1971. ¿Cual es la diferencia entre la temperatura mas alta y la mas baja? 134 – (-80) = 134 + 80 = 214 La diferencia es 214 ˚F

origen Números enteros negativos Números enteros no negativos 7/2

-1/2 -3

14

-2

-1

0

www.usat.edu.pe

1

2

3

Aplicaciones de los número reales

15

www.usat.edu.pe

Axiomas-Números Reales

16

www.usat.edu.pe

Casos sobre Fracción Generatriz 2345 23,45  100

17

www.usat.edu.pe

Operaciones con decimales: Adición,Sustracción y Multiplicación • Para sumar o restar números decimales se escribe uno debajo del otro, de manera que queden alineadas las comas y las unidades correspondientes al mismo orden. Luego se suman o se restan como si fueran números enteros. 11,269 + 4,52 15,789

18

11,269 – 4,52 6,749

www.usat.edu.pe

• Para multiplicar números decimales multiplicamos los números sin las comas, y después se añade al resultado la coma, teniendo en cuenta que el número de cifras decimales del resultado coincide con la suma de las cifras decimales de los números multiplicados. 5,86 x 2,4 2344 1172 14,064

Operaciones con Decimales: División Si el divisor es entero, ponemos la coma en el cociente cuando vamos a dividir la cifra de las décimas. 3,47 2 14 1,735 07 10 0 Si el divisor es una potencia de 10 se traslada la coma tantos lugares a la izquierda como ceros tenga la potencia de 10.

el divisor es decimal, multiplicamos el dividendo y el divisor por una potencia de 10 de manera que el divisor sea un número entero. 80 : 2,5  800 : 25 • Si el dividendo y el divisor son números decimales, multiplicamos el dividendo y el divisor por una potencia de 10 de manera que el divisor sea un número entero.

28,92: 27,2  289,2 : 272

34,7 : 1 000 = 0,0347

19

• Si

www.usat.edu.pe

Si se avanza de izquierda a derecha se multiplica por 10, si el proceso es en viceversa, se divide entre 10

Unidades de Medida X10

t

q

mam

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

longitud

mal

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

capacidad

mag

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

masa

X100

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2 superficie

X1000

km3

20

hm3 dam3

m3

dm3

www.usat.edu.pe

cm3

mm3 volumen

Un pasillo de 860cm de largo y 240cm de ancho, se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuál es esta dimensión y cuántas baldosas se emplearon?

Solución: Sea “x” el lado de cada baldosa. MCD(860;240) 860=(2^2)*5*43*1 240=(2^4)*3*5*1 MCD=(2^2)*5=20 cm. Las baldosas miden 20 cm de lado

Para saber cuantas baldosas empleamos, dividimos la longitud y anchura del pasillo entre el número de baldosas por filas y columnas 860/20=43 por fila 240/20=12 por columna Luego el número de baldosas que empleamos es: 43*12=512 baldosas

21

www.usat.edu.pe

Bibliografía 1) Allen, R. Álgebra intermedia (4ª ed.). Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1977. Código: 515.25/L32. 2) Arya, J. Matemáticas aplicadas a la administración, economía, economía, ciencias biológicas y sociales. 3ª ed. Prentice Hall,México, 1992. Código: 519/A78M. 3) Espinoza, E. Matemática Básica. Lima – Perú, 2002. Código: 510/E88M. 4) Figueroa, R. Geometría analítica. Graficas América,Lima – Perú, 2002. Código: 516.3/F52 5) Haeussler, E. y Paúl R. Matemática para administración y economía. 10ª ed. Pearson Educación,México, 2003. Código: 519/H14. 6) Kolman, B. Algebra lineal. 6ª ed. Prentice Hall,México, 1999. Código: 512.5/k73. 7) Lehmann, Ch. Geometría analítica. Graficas América. Lima – Perú, 2002. Código: 516.3/L41G. 8) Venero, A. Matemática Básica.Ediciones Gemar. Lima – Perú, 1999. Código: 510/V45. • http://studylib.es/doc/5564517/soluci%C3%B3n-mcd-y-mcm-33---problemas-dematem%C3%A1ticas-resueltos • https://www.youtube.com/watch?v=cZ9HB58Mb_A • https://www.youtube.com/watch?v=jGZwtlU2jiE • https://www.youtube.com/watch?v=rYhY23COYHw • https://www.youtube.com/watch?v=dqabThSnS_Y

22

www.usat.edu.pe

Msc. Consuelo Silva Rivera [email protected] http://www.facebook.com/usat.peru https://twitter.com/usatenlinea https://www.youtube.com/user/tvusat https://plus.google.com/+usateduperu

www.usat.edu.pe