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COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA FACULTAD DE NEGOCIOS SEMINARIO-EP – SOL - COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA – NEGOCIOS

1. Simplificar:

5(2 x  2 )  2 x 4  6(2 x 1 ) 2 x 5  15 (2 x )  2(2 x 3 )

SOLUCIÓN: Recordemos la propiedad de la teoría de exponentes : a m  a n  a mn .

5(2 x 2 2 )  2 x 2 4  6(2 x 2 1 ) 2 x 2 5  15 (2 x )  2(2 x 2 3 ) Multiplicando en cada factor se tiene:

1 20(2 x )  16(2 x )  6(2 x )  2 x x 32(2 )  15 (2 )  16(2 x ) Factorizando por factor común tanto en el numerador como denominador tenemos

2 x (20  16  3) 2 x (32  15  16) Factorizando el factor común tanto en el numerador como en el denominador tenemos

20  16  3 32  15  16 Por lo tanto, efectuando se tiene

7 7 1

2. Simplificar:

Q  10

513  684  855  1026 2899  153  52  93  24

SOLUCIÓN:

Descomponiendo cada número compuesto en sus factores primos se tiene:

Q  10

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(3 17)3 (22 17) 4 (5 17)5 (2  3 17)6 (172 )9 (3  5)3 (52 )(32 )3 (24 )

Ciclo: 2018-2

Usar las propiedades: (ab)n  a nbn , a m  a n  a mn y a m  a n  a mn

Q

10

Q  10

33 173  28 174  55 175  26  36 176 1718  33  53  52  36  24 214  39  55  1718 2 4  39  55 1718

Q  10 210 Q2

3. Melissa recibió 4 soles y tuvo entonces 5 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 4 soles. ¿Cuánto tenía al principio? SOLUCIÓN:

Tenía x

Tiene después recibir 4 soles x+4

de

Tiene después perder 4 soles x-4

de

Se plantea según el problema

x  4  5( x  4) x  4  5x  20 4  20  5x  x 24  4 x x6 Por lo tanto, tenía 6 soles.

N  258 Por lo tanto, el número es 258

4. Carla tiene S/. 120 y su hermana no tiene dinero. ¿Dentro de cuántos días tendrán lo mismo si Carla deposita S/. 3 por día y su hermana empieza a depositar S/. 5 por día? SOLUCIÓN:

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Ciclo: 2018-2

Sea “x” los días transcurridos HOY DEPÓSITO DIARIO DINERO DENTRO DE “x” DÍAS CARLA HERMANA

120

3

120+3x

0

5

5x

Del cuadro se tiene:

5x  120  3x 5x  3x  120 2 x  120 x  60

Por lo tanto, dentro de 60 días ambas tendrán la misma cantidad de dinero. 5. Tres socios han obtenido en su negocio un beneficio de S/. 17200. ¿Qué parte corresponde a cada uno si el primero aportó inicialmente S/. 1800, el segundo, S/.1500, y el tercero, S/.1000?

SOLUCIÓN: El beneficio obtenido se reparte directamente proporcional a las cantidades aportadas inicialmente. Es decir:

17200  1800k  1500k  1000k 17200  (1800  1500  1000)k 172 00 k 4300 k 4

Rpta. A cada uno le corresponde: S/. 7200 , S/. 6000 y S/. 4000 6. Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas respectivamente. Se encuentran con un cazador cansado y de hambre, con quien comparten las truchas en partes iguales. El cazador al despedirse, como agradecimiento, les obsequia $ 42, ¿cuánto le corresponde a cada pescador?

SOLUCIÓN: Primer Pescador: Segundo Pescador: Cazador

Nro truchas 5 4

Truchas compartidas 3 3 3

Por lo tanto el primer pescador compartió 2 truchas (2k) y el segundo 1 trucha (k)

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Tenemos:

2k  k  42 3k  42 k  14

Respuesta: Al primer pescador le corresponde $ 28 y al segundo $ 14.

7. Se reparten 930 dólares entre tres ciclistas del mismo equipo que han participado en una carrera, de forma inversamente proporcional a su orden de llegada, 2º, 3º y 5º. ¿Cuánto ha de recibir cada uno de ellos?

SOLUCIÓN: Según el enunciado los 930 se debe repartir de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 5. Esto es equivalente a repartir de manera directamente proporcional a

1 1 (30) , (30) y 2 3

1 (30) . Donde 30 es el m.c.m(2,3,5). Entonces, de lo expuesto se tiene: 5

930  15k  10k  6k 930  (15  10  6)k 930 k 31

k 3

Rpta. Cada uno recibe la cantidad de: 450 dólares, 300 dólares y 180 dólares. 8. Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. ¿Cuántos días demorarán 10 obreros de doble eficiencia, en hacer 40 carpetas, si la dificultad es la tercera parte de la anterior? Solución: Cant. Obreros

x

Cant. Carpetas

Cant. Días trabajados

15

30

18

10

40

x

18 15  40 11 10  30  2  3

eficiencia 1 2

dificultad 3 1

 6 días

Interpretación del resultado: Diez obreros, doblemente eficientes, necesitarán de 6 días de trabajo para hacer 40 carpetas, con la tercera parte de dificultad.

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9. Se necesitan 5 hombres durante 2 días, trabajando 4 horas diarias, para construir una piscina rectangular de 8 metros de largo, 5 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días se necesitarán si solo son tres hombres trabajando, 3 horas diarias, para construir una piscina de 6 metros de largo, 6 metros de ancho y 2 metros de profundidad?

SOLUCIÓN IP DP # hombres días x h/diarias dimensiones piscina (m)=𝑚3 5(+) 2.(4)=8(+) (8m).(5m).(4m)=160𝑚3 (-) 3(-) 3.x= 3x (-) (6m).(6m).(2m)=72𝑚3 (+) (8). (5). ( 72𝑚3) 3𝑥 = (3). (160𝑚3) 6 X=3X=2 h Respuesta: Se necesita trabajar 3 días a 2 horas diarias para construir una piscina de 6 de ancho, 6 metros de largo y 2 metros de profundidad.

10. Un comerciante minorista compró un artículo en $160. Determine ¿cuál fue el precio de lista, si se sabe que al venderlo él hizo un descuento del 20% y aun así ganó el 25%?

SOLUCIÓN: Nos pide hallar el precio de lista (PL), es decir ¿PL? Por datos tenemos que: PC=160 D=20%(PL) G=25%(PC) Usando la fórmula: PL=PC+G+D PL=160+25%(160)+20%PL PL-20%PL=125%(160) 80%PL=125%(160) PL=125(160)/80 PL=250 Interpretación: el artículo tuvo el precio de lista de $250.

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11. Al realizarse las elecciones municipales en la comuna liberteña el 38% de los sufragantes eran mujeres. Se sabe además que el 70% de las mujeres no han votado por el partido “La Vida Feliz” y el 35% de los hombres si votaron por dicho partido. En consecuencia hallar el porcentaje de votación que alcanzo el partido “La Vida Feliz”.

Solución: Sufragantes: Mujeres: 38%; hombres: 62% Por datos, podemos indicar que votaron por el partido “La Vida feliz”: 30% de las mujeres + 35% de los hombres. 30 35 (38%) + (62%) VF = 100 1140

217

100 331

VF = 100 + 10 = 10 % VF = 33,1% Por tanto el porcentaje que obtuvo dicho partido fue de: 33,1%

12. Un comerciante vende cierto articulo a S/. 131 000 obteniendo una ganancia liquida de S/. 20 200 siendo el impuesto a la venta de 16% de la ganancia bruta y los otros gastos ascienden a S/. 5 000. Determinar qué porcentaje del precio de fábrica es la ganancia neta.

SOLUCIÓN: 𝐺𝑁 = 𝐺𝐵 − 𝐺𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 = 20 200 Pero los gastos son: 16%𝐺𝐵 + 5 000 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐺𝐵 − (16%𝐺𝐵 + 5 000) = 20 200 De dónde: 𝐺𝐵 = 30 000 Como el precio de venta es S/. 131 000 el precio de fábrica será S/. 101 000. El (20 200)100 porcentaje que representa la 𝐺𝑁 es: 101 000 = 20% El porcentaje del precio de fábrica que es la ganancia neta es: 20%

13. Un orfebre recibe el encargo de confeccionar un trofeo, en oro y en plata, para un campeonato deportivo. Una vez realizado, resulta de un peso de 1 300 gramos, habiendo costado $2 840. ¿Qué cantidad ha utilizado de cada metal precioso, si el oro sale 8 $/gramo y la plata por 1,7 $/gramo?

Solucionario: Peso en oro: x Peso en plata: y x + y = 1300 ………………. ecuación 1 de donde y= 1300-x Costo del trofeo: 8x + 1,7y= 2840……………….ecuación 2 Sustituyendo el valor de y (de la ecuación 1) en la ecuación 2, se obtiene el valor de x: 8x + 1,7y= 2840

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8x + 1,7(1300-x) =2840 X=100 Luego: Y= 1300-100 Y=1200 Respuesta: Se ha utilizado 100 gramos de oro y 1200 gramos de plata.

14. Un fabricante de bombillas gana $0,60 por cada bombilla que sale de fábrica, pero pierde $0,80 por cada una que sale defectuosa. Un determinado día en el que fabricó 2 100 bombillas obtuvo un beneficio de $966. ¿Cuántas bombillas buenas fabricó ese día?

Solucionario: Sea x el número de bombillas buenas y 2100-x el número de bombillas defectuosas Entonces: El monto que recibe por las bombillas buenas menos el monto que pierde por las bombillas defectuosas es igual al beneficio: 0,60x –(2100-x)0,80=996 1,4x-1680=966 1,4x=2646 X=1890 Respuesta: Fabricó ese día 1890 bombillas buenas.

15. Resolver las siguientes ecuaciones: 6𝑥−7 3𝑥−5 5𝑥+78 a) + = 4 7 28

Solución: Calculamos el MCM: 28 7(6x-7) + 4(3x-5) = 5x+78 42x – 49 + 12x – 20 = 5x + 78 42x + 12x – 5x = 78 + 49 + 20 49x = 147 147 𝑥= 49 x=3

b) (2𝑥 − 3)2 = (𝑥 + 3)2 − 24

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Solución:

4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 24 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 24 4𝑥 2 − 𝑥 2 − 12𝑥 − 6𝑥 + 24 = 0 3𝑥 2 − 18𝑥 + 24 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 0 𝑥=4 ; 𝑥=2 𝐶𝑆: 𝑥 = {2; 4}

c) 2x – 3 = 1 – 2x + x2

Solución: 1 – 2x + x2 -2x + 3 = 0 x2 - 4x + 4 = 0 x -2 Aplicando método del aspa x -2 simple. Entonces tenemos: (x – 2)(x – 2) = 0 X–2=0  x=2

16. Una persona desea adquirir un artefacto cuyo precio es de S/.800. En cierta tienda, logra un descuento por parte del vendedor del 10%; más no contento con ello, se acerca donde el gerente, quien le hace un descuento del 15% sobre el precio del vendedor. Indique cuánto pagó dicha persona por el artefacto y cuál es el descuento único que se aplicó, expresado en tanto por ciento.

SOLUCIÓN: Se puede observar: DESCUENTO

QUEDA

10% 15%

90% 85%

𝑷𝒂𝒈ó 𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = (𝟖𝟓%)(𝟗𝟎%)(𝟖𝟎𝟎) 𝟕𝟔. 𝟓%(𝟖𝟎𝟎) = 𝟔𝟏𝟐 Luego, el descuento único será:

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𝟏𝟎𝟎%(𝟖𝟎𝟎) − 𝟕𝟔. 𝟓%(𝟖𝟎𝟎) = 𝟐𝟑. 𝟓%(𝟖𝟎𝟎) Por lo tanto, 𝒑𝒂𝒈ó = 𝟔𝟏𝟐 ∴ 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒐 ú𝒏𝒊𝒄𝒐 = 𝟐𝟑. 𝟓% 17. Al inicio de un año un empleado recibe un aumento del 20% de su sueldo y, en el mes de abril del mismo año, recibe un nuevo aumento del 10%, respecto del nuevo sueldo que percibe. ¿En qué tanto por ciento aumento su sueldo en relación con el que recibió el año pasado?

SOLUCIÓN: Sea 𝑁 el sueldo hasta fines del año pasado. Se observa: AUMENTO

QUEDA

20% 10%

120% 110%

𝐴𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟á = (110%)(120%𝑁) = 132%𝑁 Luego: 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 Ú𝑛𝑖𝑐𝑜 = 132%𝑁 – 100%𝑁 = 32%𝑁

18. Un vendedor realiza un descuento del 10% a una mercadería, sobre el precio de venta al público, para un cliente, pero éste se acerca al gerente y consigue un descuento al 10% sobre lo facturado por el vendedor. Si se dirige a la caja y paga S/.1620. ¿Cuál es el precio de venta al público?

SOLUCIÓN: Sea: 𝑆/. 𝑁 el precio de venta al público El precio de venta ofrecido por el vendedor es 90%𝑁 El precio ofrecido por el gerente es (90%)(90%𝑁)

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(90%)(90%𝑁) = 1620 ∴ 𝑁 = 𝑆/.2000

19. Un artículo se ha vendido en s/.12000 ganando el 20% del precio de costo más el 15% del precio de venta Hallar el precio de costo de dicho artículo.

SOLUCIÓN: 𝑃𝑣 = 𝑃𝑐 + 𝐺 𝑃𝑣 = 𝑃𝑐 + 20%𝑃𝑐 + 15%𝑃𝑣 0.85 ∗ 12000 = 1.2𝑃𝑐 𝑃𝑐 = 8500 20. ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, si el costo del artículo es S/. 28 000 y la ganancia es el 20% del precio de fabricación más 20% del precio de venta?

SOLUCIÓN: Sea: Pv = precio de lista del artículo (porque el descuento es cero) Pc = S/. 28 000 (precio de fabricación) Del enunciado:

Por fórmula:

G  20% Pc  20% Pv 20 G  28000   20% Pv 100 G  5600  20% Pv

Pv  Pc  G

Reemplazando valores, obtenemos:

Pv  28000   5600  20% Pv 

100%Pv  28000  5600  20%Pv 100%Pv  20%Pv  28000  5600

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80% Pv  33600 80 Pv  33600 100 33600 100 Pv  80 Pv  42000 Respuesta: El precio de lista del artículo es de S/. 42 000 21. El ingreso total mensual de cierta compañía está dado por I = 800p − 7p2 , donde “p” es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. Determine: ¿A qué precio el ingreso total mensual será de 10 000 dólares, si el precio debe ser mayor de 50 dólares? SOLUCIÓN Ingreso total mensual: I = 800p – 7p2 “p”: precio del producto (en dólares) Para qué valor de “p”; I = 10 000; si p>50 10 000 = 800p – 7p2 7𝑝2 − 800𝑝 + 10000 = 0 800 ± √(800)2 − 4(7)(10000) 14 800 ± √360000 800 ± 600 𝑝= = 14 14 𝑝1 = 100

𝑝=

𝑝2 = 14,285 Como p>50, entonces p= 100 INTERPRETACIÓN: $100 debe ser el precio del producto. 22. Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $2 una botella y la vende a “p” dólares por botella. El volumen de ventas “x” (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x =24 – 2p, cuando el precio es “p”. Determine: a) ¿Qué valor de “p” da un ingreso total de $7 millones por semana? b) ¿Qué valor de “p” da, a la Cámara del Vino, una utilidad total de $4.8 millones semanales? SOLUCIÓN

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Sea x = número de botellas en cientos de miles por semana Costo total por la compra = 2 (24 – 2p) Ingreso total por las ventas = p (24 – 2p) Como las ventas son en miles de cientos entonces el ingreso simplificado quedaría: 7 000 000 / 100 000 = 70 Entonces: a) El valor de “p” que da un ingreso total de 7 millones (simplificado seria 70) Ingreso total = (precio) (cantidad) 70 = p (24 – 2p) 70 = 24p – 2p2 2p2 -24p + 70 = 0 p2 – 12p + 35 = 0 p –7 p –5 (p – 7)(p – 5) = 0 p= 7; 5 INTERPRETACIÓN: El precio de la botella puede ser $5 o $7; para que de un ingreso total de 7 millones de dólares por semana. b) Como 4,8 millones se debe considera primero en cientos de miles: 4 800 000 Y como la cantidad es en cientos de miles, entonces reducimos a unidades: 4 800 000 / 100 000 = 48 Ahora Utilidad total = Ingreso total – Costo total 48 = p (24 – 2p) – 2(24 – 2p) 48 = 24p – 2p2 – 48 + 4p p2 – 14p + 48 = 0 p –8 p –6 (p – 8)(p – 6) = 0 p=8; 6 INTERPRETACIÓN: El precio de la botella puede ser $8 o $6; para que de una utilidad total de 4,8 millones de dólares por semana.

23. Cada semana una compañía puede vender q unidades de un producto a un precio de p dólares cada uno, donde p  600  5q . A la compañía le cuesta 8000  75q dólares, producir q unidades. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para

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generar un ingreso de 17500 dólares? ¿Cuántas unidades deben vender cada semana para obtener una utilidad semanal de 5500 dólares? SOLUCIÓN: Datos: Producción

C  8000  75q Venta

a) I  (600  5q)q  5q 2  600q 5q 2  600q  17500  q 2  120q  3500  0  (q  70)(q  50)  0  q  50  q  70

p  600  5q Preguntas del problema: a) q=??/ I=17500 b) q=??/ U=5500

Resolución:

Interpretación del resultado: Para obtener un ingreso de $17500 se debe producir y vender 50 unidades, pues produciendo 70 unidades se elevaría el costo total.

b) U  I  C  5q 2  525q  8000 5q 2  525q  8000  5500  q 2  105q  2700  0

 q  45 q  60   0

 q  45  q  60 Interpretación del resultado: Para obtener utilidades de $5500, se debe producir y vender 45 unidades, ya que vendiendo 60 unidades, se elevan los costos de producción. 24. Mary Olson es propietaria de un negocio que fabrica y vende teléfonos celulares. El ingreso, R(n), de la venta de teléfonos celulares se determina multiplicando el número de teléfonos celulares por el costo por teléfono. Suponga que el ingreso de venta de n teléfonos celulares, n≤50, es

𝑅(𝑛) = 𝑛(50 − 0.2𝑛) Donde (50 − 0.2𝑛) es el precio por teléfono celular, en dólares a) Determine el ingreso cuando se vende 30 teléfonos celulares b) Para tener un ingreso de $480, ¿Cuántos teléfonos celulares deben venderse? Solución a) Para determinar el ingreso cuando se venden 30 teléfonos celulares evaluamos la función de ingreso para n=30 𝑅(𝑛) = 𝑛(50 − 0.2𝑛)

𝑅(30) = 30[50 − 0.2(30)] = 30(50 − 6) = 1320 El ingreso por venta de 30 teléfonos celulares es de $1320

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b) Queremos determinar el número de teléfonos celulares que deben venderse para tener un ingreso de $480. Así necesitamos hacer 𝑅(𝑛) = 480 y despejar n. 𝑅(𝑛) = 𝑛(50 − 0.2𝑛) 480 = 𝑛(50 − 0.2𝑛) 480 = 50𝑛 − 0.2𝑛2 0.2𝑛2 − 50𝑛 + 480 = 0 Utilizando la formula cuadrática para resolver la ecuación. 𝑎 = 0.2, 𝑏 = −50, 𝑐 = 480 −𝑏 ∓ √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 50 ∓ √2116 𝑛= 0.4 −𝑏 ∓ √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑛= 2𝑎 𝑛=

𝒏 = 𝟐𝟒𝟎 𝒏 = 𝟏𝟎

Como el problema especificó que n≤50, la única solución aceptada es n=10, para obtener un ingreso de $480, Mary debe vender 10 teléfonos celulares 25. Cuánto tiempo tendrá que pasar para que una inversión de $1000 doble su valor, si la tasa de interés continuo es de 8.5% anual? SOLUCIÓN: Usando la fórmula con P=$1000, r=0.085. Queremos encontrar el valor t para el cual A(t)=2(1000)=2000. A(t)= 1000 𝑒 0.085∗𝑡 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 1000𝑒 0.085𝑡 2 = 𝑒 0.085𝑡 ln(2) = ln(𝑒 0.085𝑡 ) 𝑙𝑛2 = 0.085𝑡 𝑙𝑛𝑒 𝑙𝑛2 = 0.085𝑡 𝑙𝑛2 =𝑡 0.085 𝑡 ≈ 8.15 Respuesta: la inversión duplicará su valor después de aproximadamente 8.15 años. 26. Interés compuesto (ganancia de dinero por interés compuesto)

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 r A  P 1    n

n. t

Suponga que se invierten $24800 en una cuenta al 7.5% de interés compuesto semanalmente. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta en año y medio y en 13 años? SOLUCIÓN P: Monto inicial A: Monto Final: 24800 r: 7.5% = 0.075 n: interés compuesto semanalmente t: años: si t=1.5 (año y medio) 0.075 52(1.5) 𝐴 = 24800 (1 + ) ⟹ 𝐴 = 27750.7 52 Respuesta: En año y medio habrá aproximadamente 27750.7 dólares. t=13 0.075 52(13) ) ⟹ 𝐴 = 65702.78 52 Respuesta: En 13 años habrá aproximadamente 65702.78 dólares. 𝐴 = 24800 (1 +

27. Los costos de producción (en cientos de dólares) de una empresa están descritos por la ecuación C  180  40e 0. 03 x en donde “x” es el número de unidades producidas. ¿Cuánto será la producción, cuando los costos de producción sea de 178? (en cientos de dólares)

Solución: Nos piden hallar “x”, cuando C = 178; reemplazamos: 178 = 180 − 40𝑒 −0.03𝑥 2

⟹

40𝑒 −0.03𝑥 = 180 − 178 ⟹ 40𝑒 −0.03𝑥 =

⟹ 20𝑒 −0.03𝑥 = 1 ⟹ 20 =

1 𝑒 −0.03𝑥

⟹ 20 = 𝑒 0.03𝑥 ⟹ 𝐿𝑛20 = 𝐿𝑛𝑒 0.03𝑥 ⟹ 𝐿𝑛20 = 0.03𝑥𝐿𝑛𝑒

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝐿𝑛20 = 0.03𝑥 ⟹ 𝑥 =

𝐿𝑛20 ⟹ 𝑥 = 100 0.03

Respuesta: La producción será de 100 unidades.

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