Segundo

CLASE 09: PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación tradicional, término a término. Algunos de ellos son los siguientes: Cuadrado del Binomio Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio “a+b”, multiplicando término a término, se obtendría:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + ab + ba + b 2

= a 2 + 2ab + b 2

pero si comparamos la expresión “ ( a + b ) ” con el resultado de su expansión “ a 2 + 2ab + b 2 ” podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente: 2

Donde

representa al primer término del binomio y

al segundo.

Si tomamos como ejemplo al binomio “a-b”, ocurre lo mismo que para a+b sólo que en la reducción de términos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es:

Algunos ejemplos: i.

( p + 2b ) 2

= p 2 + 2 ⋅ p ⋅ 2b + ( 2b ) = p 2 + 4 pb + 4b 2

ii.

( 3m + 4n ) 2 = ( 3m ) 2 + 2 ⋅ 3m ⋅ 4n + ( 4n ) 2

2

= 9m 2 + 24 mn + 16 n 2

iii.

II.

( 5x − y ) 2 = ( 5x ) 2 + 2 ⋅ 5x ⋅ y + ( y ) 2

= 25 x 2 + 10 xy + y 2

Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio

El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano. Consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a+b“ y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b” :

a

b

Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b“:

a+ b y con él un cuadrado de la misma longitud:

Si se extienden los extremos de los trazos “a” y “b“ éstos dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado “a” y otro menor de lado “b“, y dos rectángulos de largo “a” y ancho “b“.

La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a+ b, es decir:

Suma por Diferencia Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a + b ” por su diferencia “ a − b ”. Al desarrollar el producto:

( a + b )( a − b ) = a ⋅ a − a ⋅ b + b ⋅ a − b ⋅ b = a 2 − b 2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue: “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Algunos ejemplos son: I.

( x + 5) ( x − 5 ) = x 2 − 25

II.

( a − 3) ( a + 3 ) = a − 9 ( 2 p + 6q ) ( 2 p + 6q ) = 4 p

III.

III.

2

2

5

4

4

5

4

10

− 36q 8

Representación Geométrica de la Suma por Diferencia

Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectángulo de largo “a+b“ y ancho “ab”. Considere dos trazos “a” y “b“ cualesquiera:

a

b

Con el trazo a se construye el siguiente cuadrado:

A este cuadrado se le agrega un rectángulo de lados “a“ y “b”:

De este rectángulo (de lados “a“ y “a+b”) se le recorta un rectángulo de lados “a“ y “b“ (el achurado en la figura):

quedando:

El área buscada es la del rectángulo de lados “a+b“ y “ab“, para lo que debemos recortarle a la figura anterior el cuadrado de lado “b”,

Finalmente, la representación geométrica de la suma por diferencia se puede resumir por el siguiente esquema:

Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a + b ” por “ a + c ”. Al desarrollar el producto

( a + b ) ⋅ ( a + c ) = a 2 + ( b + c ) a + bc

se observa que la estructura es la siguiente:

La fórmula para el producto de BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN se enuncia como sigue: “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos” Ejemplos: 

( x + 3) ⋅ ( x + 2) = x 2 + ( 3 + 2) x + 3 ⋅ 2 = x 2 + 5 x + 6 ,



( a + 8) ⋅ ( a − 7 ) = a 2 + ( 8 − 7 ) a + 8 ⋅ − 7 = a 2 + a − 56 ,observa que

observa que

3 + 5 = 5  3 ⋅ 2 = 6

 8 +− 7 =1  − − 8 ⋅ 7 = 56



( p − 9) ⋅ ( p −12 ) = p 2 + ( − 9 + − 12 ) ⋅ p + − 9 ⋅ − 12 = p 2 + − 21 p +108 ,

observa que

 9 + 12 = 1 − −  9 ⋅ 12 = 108 −

IV.

−

Representación Geométrica de la Multiplicación de Binomios con un Término Común

Se consideran tres trazos “a”, “b“ y “c“ de medidas distintas, por ejemplo: a

c

b

Con ellos se construyen dos trazos de longitudes “a+b“ y “a+c”:

Y a partir de estos se construye un rectángulo de lados “a+b“ y “a+c”:

De aquí podemos establecer la siguiente igualdad entre áreas:

( a + b ) ⋅ ( a + c ) = a 2 + ab + ac + bc El siguiente esquema muestra este producto:

( a + b) ⋅ ( a + c)

= a2

+

ab

+

ac

+ bc

FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Factorización de un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Por la ley distributiva de la multiplicación, se tiene: m( x - y + z ) = mx - my + mz. Para factorizar este último polinomio basta, pues, proceder a la inversa y escribir:

mx - my + mz = m( x - y + z ). Ejemplo: Factorizar el binomio 3a2 - 6ab y el trinomio 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4. 3a2 - 6ab = 3a(a - 2b). 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ). Observación. Se elige, como factor común, el máximo común divisor de los términos del polinomio. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a Luego, se tendrá inversamente que a2

± b)2 = a2 ± 2ab + b2.

± 2ab + b2=(a ± b)2.

Factorizar un Binomio de la forma: xn ±yn. Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2. Inversamente, se puede escribir: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Ejemplo: Factorizar las expresiones siguientes. 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b). Factorización de la suma de dos cubos. De la igualdad (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3, se deduce inversamente que a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2). Ejemplo. Factorizar: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2). Factorización de la diferencia de dos cubos. Al igual que para la suma de dos cubos, de la igualdad: (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 se obtiene inversamente: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3 = (5a - bc)(25a2 + 5a·bc +b2c2) = (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2). Factorización por agrupación. Sea el polinomio: ac + ad + bc + bd, que se supone provenir del producto de dos factores binomios. Agrupando los términos de dos en dos, de manera que cada grupo tenga un factor común, se puede escribir: (ac + ad) + (bc + bd). Como se ve, el primer grupo es divisible por a, y el segundo lo es por b ; resulta por tanto: (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d). poniendo el binomio c + d en factor común, se tiene: a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d).

Factorización un trinomio de la forma x2 + mx + n. Teniendo presente que el producto de dos binomios, tales como (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, Ejemplos: a) Factorizar x2 + 7x + 12. El producto +12 indica que los factores son del mismo signo, y la suma +7 indica que los dos son positivos. El producto 12, con factores enteros, puede obtenerse multiplicando 12 por 1, ó 6 por 2, ó 4 por 3 . Los dos últimos factores son los buscados, pues su suma es 4 + 3 = 7. Se tiene, por consiguiente, que: x2 + 7x +12 = (x + 4)(x + 3). b)

Factorizar x2 - 5x - 14.

El producto -14 indica que los dos factores son de signo contrario, y, puesto que su suma es negativa, el mayor en valor absoluto debe ser negativo. El producto -14 con factores enteros, puede obtenerse multiplicando -14 por 1, ó -7 por 2. La suma de estos dos últimos factores da -5; por consiguiente, los números buscados son -7 y 2. Por lo tanto: x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2). Factorización de un trinomio de la forma ax2 + mx + n. Los trinomios de la forma ax2 + mx + n, proviene de la multiplicación de dos binomios, como se ve en los ejemplos que siguen: (3x + 5)(2x + 2) = 6x2 + 6x + 10x + 10 = 6x2 + 16x +10 Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + mx + n, búsquese dos números cuya suma algebraica sea igual al coeficiente de x, y su producto sea igual al coeficiente de x2 multiplicado por el término independiente. Una vez hallados los dos números, sustitúyase el término mx por dos términos en x cuyos coeficientes sean dichos números, y póngase luego en factor, agrupando términos. Ejemplos: a) Factorizar el trinomio: 3x2 + 14x + 8. Hay que buscar dos términos cuya suma sea 14, y su producto, 8·3 = 24. El producto 24 puede resultar de 24·1, 12·2, 8·3, ó 6·4. Los únicos factores cuya suma da 14, son 12 y 2; éstos son pues los números buscados, y se puede escribir: 3x2 + 14x + 8 = 3x2 + 12x + 2x + 8 = 3x(x + 4) + 2(x + 4). Poniendo el binomio (x + 4) en factor común, resulta: 3x2 + 14x + 8 = (x + 4) (3x + 2) Comprobación: (x + 4) (3x + 2) = 3x2 + 12x + 2x + 8 = 3x2 + 14x + 8. b)

Factorizar el trinomio: 6x2 - 13x -5.

Deben buscarse dos números cuya suma sea -13, y su producto, 6(-5)=-30. El producto de -30 puede resultar de -30·1, -15·2, -6·5, ó -10·3.

Los únicos factores cuya suma es -13 son -15 y 2; luego: 6x2 - 13x -5 = 6x2 - 15x + 2x -5 = 3x(2x - 5) + (2x - 5), 6x2 - 13x -5 = (2x-5)(3x+1). Comprobación: (2x - 5)(3x + 1) = 6x2 - 15x + 2x -5 = 6x2 - 13x -5. Ejercicio PSU: ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo cuya área es x2 + 5x + 6? Para determinar los lados de este rectángulo debemos factorizar, obteniéndose (x+ 2)(x + 3). Luego el perímetro del rectángulo será 2(x + 2) + 2(x + 3) = 2x + 4 + 2x + 6 = 4x + 10