Segunda Separata Tercera Leccion

SEGUNDA SEPARATA DE LA LECCIÓN No 3 (www.contractil.com)

FUNCIONES TAU-BETA TEORÍA DE SERIES

(Tau-Beta Functions)

URRA-SAAVEDRA VENEZUELA, OCTUBRE - 2006

Palabras a los lectores La segunda separata de la Lección Nº 3 es consecuencia de un trabajo preparado para ser presentado ante una audiencia conformada por profesores e investigadores de una prestigiosa universidad cuya sede está en la ciudad de Caracas, Venezuela. El acuerdo implicaba la exposición de resultados que, además de su propia relevancia, constituyeran innovaciones en el campo de la Matemática. Por lo tanto, debía tratarse también, de material inédito. Esta triple exigencia fue la motivación que nos indujo a practicar una segunda excisión a la Lección Nº 3. (La Lección Nº 3 está en proceso de revisión. Su publicación se hará en el mes de Diciembre-2006). Desafortunadamente, no existió la coordinación apropiada para realizar el evento. Ahora bien, siendo los lectores de Contráctil.com los destinatarios naturales de nuestra producción científica, a ellos hacemos llegar sin más demora, el contenido de esta separata. La demostración de las proposiciones proporcionadas en los preámbulos, puede buscarse en la primera separata de la misma Lección. Todo lector que necesite material adicional para aclarar conceptos o resolver problemas, puede solicitarlo por medio de nuestro correo electrónico. La comunicación puede realizarse en Español o en Ingles. Apartándonos del asunto inicial y de otros protocolos, enviamos un afectuoso saludo a los lectores de: Venezuela, México, Colombia, España, Estados Unidos, China, Argentina, Chile, Uruguay, Japón, Alemania y de otros países; cuyas frecuentes visitas a Contráctil.com ponen de manifiesto su interés en conocer nuestro trabajo.

URRA-SAAVEDRA

2

Palabras Clave Función Beta, Función Tau Beta, p-función Tau, τ z − p función Tau, Triángulo Tau (Triángulo Tau-beta) Keywords Beta Function, Tau Beta Function , p- Tau function, τ z − p Tau function, Tau Triangle (Tau-beta Triangle)

3

PREÁMBULOS 1.- Función Beta.- Definición: 1

β ( x, y ) = ∫ t x −1 (1 − t )

y −1

x, y ∈ , x , y > 0

dt ,

0

2.-Teorema.- Para cada número real α > 0 , la serie ∞

∑ β (1 ⊕ α , k )

n = 1, 2,...

,

k =n

es divergente. 3.- Fórmulas de Urra-Saavedra.∞

3.1.-

∑ β (1 + α , k ) = β (α , n )

α > 0,

,

n = 1, 2,...

k =n ∞

3.2.-

∑ β (1 + α , p + k ) = β (α , p + n )

,

α > 0, p + n > 0, n ∈ .

k =n

4.- Funciones Tau-Beta.- Definición: Para cada número real z > 0,

τ z ( x, y ) =

β ( x, y ) β ( z, y )

x, y > 0

5.- Teorema.- La serie ∞

∑ τ ( x, k ) k =n

z

, x > 0,

z > 0, n = 1, 2,...

diverge si x ≤ z + 1 y converge si x > z + 1 . 6.- Teorema.∞

6.1.-

∑τ (1 + x + z, k ) = τ ( x, z )τ ( x + z, n ) k =n

z

1+ x

z

4

,

x, z > 0,

n = 1, 2,...

6.2.∞

∑τ (1 + x + z, p + k ) = τ ( x, z )τ ( x + z, p + n ) , x, z > 0, p + n > 0, n ∈ k =n

1+ x

z

z

i=n

7.- Teorema.- Si ϕ ( x, y ) = ∑ ai τ i ( x, y ) con ai ∈ , 1 ≤ i ≤ n , entonces i =1

yϕ ( x, y ) =

i = n +1

∑ i =1

i −1 i τ ( x, y ) ai ai −1 i

con la condición adicional a0 = an +1 = 0 8.- Teorema.- Para cada número entero positivo números reales, λ1 ,..., λn , tales que,

n , existe un conjunto único de

i =n

y n β ( x, y ) = ∑ λi τ i ( x, y ) i =1

9.- Triángulo Tau-Beta.-

n =1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

1 −1 1

1 −3

2

−1 7 − 12 6 1 − 15 50 − 60 24 −1 31 − 180 390 − 360 120

Nota: Los elementos de la n-ésima fila del triángulo Tau-Beta son los coeficientes λ1 ,..., λn correspondientes a la función y n β ( x, y ) , con arreglo al Teor. 8. Por ejemplo, y 5 β ( x, y ) = τ 1 ( x, y ) − 15τ 2 ( x, y ) + 50τ 3 ( x, y ) − 60τ 4 ( x, y ) + 24τ 5 ( x, y )

5

FUNCIONES TAU-BETA 1.-

Proposición.-

τ z ( x, y ) τ x ( z , y ) = 1 ,

x, y , z > 0

Demostración.- La proposición es obvia. ├ 2.-

Proposición.- Primera Identidad Tau-beta. (PITB)

τ z ( z + x, y ) = τ z ( z + y , x ) ,

x, y , z > 0

Demostración.- Ambos miembros de esta igualdad tienen el valor común, Γ( x + z)Γ( y + z) Γ( z)Γ( x + y + z)

2.1

├

En el apartado C de la primera Separata se mostró esta propiedad de las funciones tau-beta (C-8.6), además, se hizo ver que tiene incidencia significativa en operaciones numéricas. 3.-

Proposición.- Segunda Identidad Tau-beta. (SITB)

τ z + x ( z, y ) = τ z + y ( z, x ) ,

x, y , z > 0

Demostración.3.1

τ z + x ( z, y ) =

1 τ z ( z + x, y )

=

,

1 , τ z ( z + y, x )

= τ z + y ( z, x )

,

(Prop. 1)

(PITB) (Prop. 1) ├

La SITB tiene también incidencia significativa en operaciones numéricas. Obsérvese el siguiente ejemplo.

6

τ 27 ( 25, 49 ) = τ 25+ 2 ( 25, 49 )

3.2

= τ 25+ 49 ( 25, 2 ) = τ 74 ( 25, 2 )

74.75 25.26 111 = 13

=

4.-

Teorema de Factorización. ( T.F ).

τ a ( x , y + z ) = τ a ( x, y ) τ a + y ( x + y , z ) ,

x, y , z > 0

Demostración.-

τ a ( x, y + z ) =

4.1

=

β ( x, y + z ) β ( a, y + z )

β ( x, y ) τ y ( y + z , x ) β ( a, y )τ y ( y + z , a )

= τ a ( x, y )

= τ a ( x, y )

τ y ( x + y, z ) , (PITB) τ y ( a + y, z )

β ( x + y, z ) β ( a + y, z )

= τ a ( x, y ) τ a + y ( x + y , z )

├ El teorema de factorización tiene gran importancia teórica; y también en el cálculo numérico. 4.2.-

Corolario.-

τ a ( x, y + 1) =

a+ y τ a ( x, y ) x+ y

Demostración.4.2.1

τ a ( x, y + 1) = τ a ( x, y )τ a + y ( x + y,1)

7

, (T. F.)

=

a+ y τ a ( x, y ) x+ y

├ Consideremos ahora el teorema C-8 de la primera separata. Esto es, ∞

5.

∑τ (1 + x + z, k ) = τ ( x, z )τ ( x + z, n ) k =n

1+ x

z

z

,

x, z > 0, n = 1, 2,…

Aplicando la SITB se tiene, ∞

5.1

∑τ (1 + x + z, k ) = τ ( x,1)τ ( x + z, n ) k =n

x+ z

z

z

x+ z τ z ( x + z, n ) x

=

La fórmula 5.1 permite obtener la siguiente forma simplificada para el Teor. C-8. b −1 ∑τ ( b, k ) = b − a − 1τ ( b − 1, n ) ∞

5.2

k =n

a

a

, donde, a, b > 0, b > a + 1, n = 1, 2,...

También para el teorema C-9 se obtiene una forma simplificada b −1 ∑τ ( b, p + k ) = b − a − 1τ ( b − 1, p + n ) ∞

5.3

k =n

a

a

, a, b > 0, b > a + 1, n = 0,1,...

Veamos los siguientes ejemplos. ∞

5.4

8 8 5.6 10 ∑τ ( 9, k ) = 3 τ (8, 2 ) = 3. 8.9 = 9 k =2

5

5

∞

5.5

6 2.3.4.5 5 ∑τ ( 7, 2 + k ) = 3 τ ( 6,3) = 6.7.8 = 14 k =1

3

3

Las fórmulas proporcionadas en los teoremas C-8 y C-9; así como sus formas simplificadas 5.2 y 5.3, son una consecuencia de las fórmulas de Urra-Saavedra. Volveremos nuevamente al triángulo tau-beta. En general, sin riesgo de confusión, usaremos la expresión “Triángulo tau”, en lugar de triángulo tau-beta.

8

Para cada fila p , ( λ1 , λ2 ,..., λ p ) del triángulo Tau, existe una “p-función tau”

(τ ) , definida de la manera siguiente: p

6.

τ

λi i =1 ( x − i ) β ( y , i )

i= p

( x, y ) = ∑

p

,

x, y ∈ , x > p , y > 0

Obsérvense los siguientes ejemplos de evaluación de p-funciones tau. 6.1

λi i =1 ( 6 − i ) β ( 2, i ) λ3 λ1 λ2 λ4 = + + + 5β ( 2,1) 4 β ( 2, 2 ) 3β ( 2,3) 2 β ( 2, 4 ) i=4

τ 4 ( 6, 2 ) = ∑

Donde λ1 , λ2 , λ3 , λ4 son los elementos de la cuarta fila del triángulo tau. Esto es, 6.1.1 Luego, 6.1.2

6.2

λ1 = −1, λ2 = 7, λ3 = −12, λ4 = 6 1.2 7.2.3 12.3.4 6.4.5 + − + 5.1 4.1 3.1 2.1 221 = 10

τ 4 ( 6, 2 ) = −

λi ⎛ 7 3 ⎞ i =3 τ ⎜ , ⎟=∑ ⎝ 2 5 ⎠ i =1 ⎛ 7 − i ⎞ β ⎛ 3 , i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝5 ⎠ 1 −3 2 = + + 5 ⎛3 ⎞ 3 ⎛3 ⎞ 1 ⎛3 ⎞ β ⎜ ,1⎟ β ⎜ ,2⎟ β ⎜ ,3 ⎟ 2 ⎝5 ⎠ 2 ⎝5 ⎠ 2 ⎝5 ⎠ 414 = 125 3

Extenderemos el concepto de p-función tau para p = 0 , definiendo la 0-función tau por 6.3

τ 0 ( x, y ) =

1 x

,

x, y > 0

9

A partir de las p- funciones tau se define una familia no- contable de funciones. 7.Definición.tau” la función,

Para cada número real z ≠ 0 , se entenderá por “ τ z -p- función

j= p

⎛ p⎞

j =0

⎝ ⎠

τ zp ( x, y ) = ∑ ⎜ ⎟ ( − z ) τ p − j ( x, z + y ) j j

Donde, x, y ∈ , x > p, z + y > 0 La Definición 7 se extiende a z = 0 , definiendo la τ 0 -p- función tau por 7.1

τ 0p ( x, y ) = τ p ( x, y ) Además, si z ≠ 0 , aplicando la Def. 7 se tiene,

7.2

τ z0 ( x, y ) = τ 0 ( x, y ) =

1 x

Ejemplos de evaluación de funciones τ zp 7.3 7.4

1 , (Def. 7.1) x τ 1z ( x, y ) = τ 1 ( x, z + y ) − zτ 0 ( x, z + y ) , z ≠ 0

τ 00 ( x, y ) = τ 0 ( x, y ) =

=

=

7.5

τ

2 z

1

( x − 1) β ( z + y,1)

−

z x

z+ y z − x −1 x ⎛ 2⎞ j =0 ⎝ j ⎠

j =2

j ( x , y ) = ∑ ⎜ ⎟ ( − z ) τ 2 − j ( x, z + y )

= τ 2 ( x, z + y ) − 2 zτ 1 ( x, z + y ) + z 2τ 0 ( x, z + y )

2z z2 =− + − + ( x − 1) β ( z + y,1) ( x − 2 ) β ( z + y, 2 ) ( x − 1) β ( z + y,1) x 1

1

10

=

( z + y )( z + y + 1) − (1 + 2 z )( z + y ) + z 2 x−2

x −1

x

8.Teorema.- Para cada número entero positivo p y cada par de números reales α , y tales que α > p , y + n > 0 , ∞

∑ ( y + k ) β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n )τ (α , y + n ) p

p

, n = 0,1,...

k =n

Demostración.- Aplicando el Teor. C-5 de la primera Separata se tiene, ∞

∞ i= p

∑ ( y + k ) β (1 + α , y + k ) = ∑∑ λτi i (1 + α , y + k )

8.1

p

k =n

k = n i =1

donde λ1 , λ2 ,..., λ p es la p-fila tau.

Luego, ∞

i= p

∞

i =1

k =n

∑ ( y + k ) β (1 + α , y + k ) = ∑ λi ∑τ i (1 + α , y + k )

8.2

k =n

p

i= p

= ∑ λi i =1

α τ (α , y + n ) , (5.3) α −i i

λi α β (α , y + n ) i =1 (α − i ) β ( i, y + n )

i= p

=∑

λi i =1 (α − i ) β ( y + n, i )

i= p

= α β (α , y + n ) ∑

= α β ( α , y + n ) τ p (α , y + n )

├ 8.3

Corolarios.-

8.3.1

∑k

∞

p

β (1 + α , k ) = α β (α , n )τ p (α , n ) ,

k =n

11

p∈

+

, α > p, n = 1, 2,...

∞

8.3.2

∑k

p

β (1 + α , k ) =τ p (α ,1) ,

p∈

+

,α > p

k =1

8.4.-

Problema.- Determinar el valor límite de la serie, ∞

k2

∑ ( k + 1)( k + 2 )( k + 3)( k + 4 ) k =2

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie 8.4.1

λ=

1 ∞ 3 ∑ k β ( 5, k ) 24 k = 2

λ=

1 4 β ( 4, 2 ) τ 3 ( 4, 2 ) 24

Luego, 8.4.2

,

(8.3.1)

=

⎞ 1 ⎛ 1 3 2 − + ⎜⎜ ⎟ 120 ⎝ 3 β ( 2,1) 2 β ( 2, 2 ) 1 β ( 2,3) ⎟⎠

=

47 360

Esto es, 8.4.3

∞

k2

47

∑ ( k + 1)( k + 2 )( k + 3)( k + 4 ) = 360 k =2

9.Teorema.- Para cada número entero positivo p y cada par de números reales α , y tales que α > p , y + n > 0, y ≠ 0 . ∞

∑ k β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n )τ (α , n ) p

p y

k =n

Demostración.∞

9.1.-

Sea λ = ∑ k p β (1 + α , y + k ) k =n

12

, n = 1, 2,...

Luego, ∞

λ = ∑ ( ( y + k ) − y ) β (1 + α , y + k )

9.2.-

p

k =n

∞ j= p p ⎛ ⎞ p− j j = ∑∑ ⎜ ⎟ ( y + k ) ( − y ) β (1 + α , y + k ) k = n j =0 ⎝ j ⎠

j= p ∞ ⎛ p⎞ j p− j = ∑ ⎜ ⎟ ( − y ) ∑ ( y + k ) β (1 + α , y + k ) j =0 ⎝ j ⎠ k =n j= p ⎛ p⎞ j = ∑ ⎜ ⎟ ( − y ) α β ( α , y + n ) τ p − j (α , y + n ) j =0 ⎝ j ⎠

, (Teor. 8)

j= p ⎛ p⎞ j = α β (α , y + n ) ∑ ⎜ ⎟ ( − y ) τ p − j (α , y + n ) j =0 ⎝ j ⎠

= α β (α , y + n ) τ yp (α , n )

├ Corolario. ∞

9.3.-

∑k

p

⎛ 1⎞ ⎜y ⎟ ⎝ α⎠

β (1 + α , y + k ) = 1

k =1

τ yp (α ,1)

El Teor. 9 es aplicable también si p = 0. En tal caso éste se reduce a la fórmula de Urra-Saavedra. En efecto, ∞

9.4.-

∑ k β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n )τ (α , n ) 0

0 y

k =n

= α β (α , y + n ) = β (α , y + n )

1

,

α

(7.2)

├ 10.- Teorema.- Para cada número entero positivo p y cada par de números reales α , y tales que, α > p, y ≠ 0, ∞

∑( y + k )

p

β (1 + α , k ) = α β (α , n )τ p (α , y + n ) , n = 1, 2,... −y

k =n

13

Demostración.10.1.

∞ j= p p ⎛ ⎞ p y k β 1 α , k + + = ( ) ( ) ∑∑ ⎜ ⎟ y i k p − j β (1 + α , k ) ∑ k =n k =n j =0 ⎝ j ⎠ j= p ⎛ p⎞ ∞ = ∑ ⎜ ⎟ y j ∑ k p − j β (1 + α , k ) j =0 ⎝ j ⎠ k =n j= p ⎛ p⎞ = ∑ ⎜ ⎟ y jα β (α , n )τ p − j (α , n ) j =0 ⎝ j ⎠ j= p ⎛ p⎞ = α β ( α , n ) ∑ ⎜ ⎟ y j τ p − j (α , n ) j =0 ⎝ j ⎠ ∞

= α β (α , n )τ −py (α , y + n )

├ Corolario.∞

10.2.-

∑( y + k )

p

β (1 + α , k ) = τ p (α , y + 1) −y

k =1

11.- Teorema.- Para cada número entero positivo p y cada trío de números reales α , y, z tales que, α > p, y ≠ z , y + n > 0 . ∞

∑( z + k )

p

β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n )τ p (α , z + n ) , n = 1, 2,... y−z

k =n

Demostración.∞

11.1.- Sea λ = ∑ ( z + k ) β (1 + α , y + k ) p

k =n

Luego, ∞

11.2.- λ = ∑ ( ( y + k ) + ( z − y ) ) β (1 + α , y + k ) p

k =n

∞ j= p p ⎛ ⎞ j p− j = ∑∑ ⎜ ⎟ ( z − y ) ( y + k ) β (1 + α , y + k ) k = n j =0 ⎝ j ⎠ j= p ∞ ⎛ p⎞ j p− j = ∑ ⎜ ⎟ ( z − y ) ∑ ( y + k ) β (1 + α , y + k ) j =0 ⎝ j ⎠ k =n

14

j= p ⎛ p⎞ j = ∑ ⎜ ⎟ ( z − y ) α β ( α , y + n ) τ p − j (α , y + n ) j =0 ⎝ j ⎠ j= p ⎛ p⎞ j = α β ( α , y + n ) ∑ ⎜ ⎟ ( z − y ) τ p − j (α , y + n ) j =0 ⎝ j ⎠

= α β (α , y + n ) τ yp− z (α , z + n )

,

(Teor. 8)

├

11.3.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie ∞

1

∑ ( k + 3)( k + 5)( k + 6 )( k + 7 ) k =1

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie 1 ∞ ∑ ( k + 4 ) β ( 5, k + 3) 24 k =1 Aplicando el teorema 11, se tiene,

11.3.1.-

λ=

11.3.2.-

λ=

1 4β ( 4, 4 )τ 1−1 ( 4,5 ) 24 1 = β ( 4, 4 ) (τ 1 ( 4, 4 ) + τ 0 ( 4, 4 ) ) 6 1 ⎛4 1⎞ = β ( 4, 4 ) ⎜ + ⎟ 6 ⎝3 4⎠ 1 6 19 . = . 6 4.5.6.7 12 19 = 10080

Sugerencia.- Revisar la solución del Prob. 8.10 presentado en la primera parte de esta lección.11.4.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie

( k − 5) ∑ k = 3 ( k − 2 )( k − 1) k ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 ) 4

∞

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie

15

λ=

11.4.1

1 ∞ 4 ( k − 5) β ( 6, k − 2 ) ∑ 120 k =3

Aplicando de inmediato el Teor. 11 se tiene,

λ=

11.4.2

1 5 β ( 5,1) τ 34 ( 5, −2 ) 120

De donde,

λ=

11.4.3

1 4 τ 3 ( 5, −2 ) 120

Esto es, 1 j =4 ⎛ 4 ⎞ j 4− j λ= ∑ ⎜ ⎟ ( −3) τ ( 5,1) 120 j =0 ⎝ j ⎠ 1 = (τ 4 ( 5,1) − 12 τ 3 ( 5,1) + 54τ 2 ( 5,1) − 108 τ 1 ( 5,1) + 81τ 0 ( 5,1) ) 120

11.4.4

Evaluando separadamente τ p ( 5,1) , 1 5

p = 0,1, 2,3, 4 se obtienen los valores,

1 4

τ 0 ( 5,1) = , τ 1 ( 5,1) = , τ 2 ( 5,1) =

11.4.5

5 5 125 , τ 3 ( 5,1) = , τ 4 ( 5,1) = 12 4 12

Introduciendo estos valores en 11.4.4 queda, 1 ⎛ 125 12.5 54.5 108.1 81.1 ⎞ − + − + ⎜ ⎟ 120 ⎝ 12 4 12 4 5 ⎠ 427 = 7200

λ=

11.4.6

Luego,

( k − 5) 427 = ∑ 7200 k = 3 ( k − 2 )( k − 1) k ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 ) 4

∞

11.4.7

12.- Teorema.Sea p un número entero positivo y α , x, y, z números reales tales que, α > p, z > 0, y + n > 0 , entonces, ∞

∑( x + k ) k =n

p

τ z (1 + α + z, y + k ) = (α + z )τ z (α + z, y + n )τ p

z+ y− x

Demostración.-

16

(α , x + n )

∞

12.1.- Sea λ = ∑ ( x + k ) τ z (1 + α + z , y + k ) p

k =n

Luego, ∞

12.2.- λ = ∑ ( x + k ) τ z ( z + y + k ,1 + α ) p

k =n

=

∞ 1 p ( x + k ) β (1 + α , z + y + k ) ∑ β ( z,1 + α ) k = n

Aplicando el Teor. 11 se tiene, 12.3.- λ =

=

α β (α , z + y + n ) p τ z + y − x (α , x + n ) β ( z, α + 1)

α β (α , z ) τ (α + z , y + n ) τ zp+ y − x (α , x + n ) β ( z, α )τ α ( z + α ,1) z

= (α + z ) τ z (α + z , y + n ) τ zp+ y − x (α , x + n )

├ 12.4.- Corolarios.∞

12.4.1- ∑ ( y + k ) τ z (1 + α + z , y + k ) = (α + z )τ z (α + z , y + n )τ zp (α , y + n ) p

k =n ∞

12.4.2- ∑ k p τ z (1 + α + z , k ) = (α + z )τ z (α + z , n )τ zp (α , n ) k =n ∞

12.4.3- ∑ k p τ z (1 + α + z , k ) = z τ zp (α ,1) k =1

12.5.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie, ∞

k 4 .3.4. . ( 3 + k )

∑ 11.12. . (11 + k ) k =1

Solución.Sea λ el valor límite de la serie, Luego, 3 ∞ λ = ∑ k 4 τ 4 (12, k ) 12.5.1.11 k =1

17

3 ∞ 4 ∑ k τ 4 (1 + 7 + 4, k ) 11 k =1 Aplicando el corolario 12.4.3 se tiene, =

12.5.2.-

λ=

12 4 τ 4 ( 7,1) 11

Esto es, 12.5.3.-

12 λ= 11

j =4

⎛ 4⎞

∑ ⎜ j ⎟ ( − 4)

j

τ 4− j ( 7,5 )

⎝ ⎠ De donde, 12.5.4.12 λ = (τ 4 ( 7,5 ) − 16 τ 3 ( 7,5 ) + 96τ 2 ( 7,5 ) − 256 τ 1 ( 7,5 ) + 256τ 0 ( 7,5 ) ) 11 j =0

Evaluando separadamente τ p ( 7,5 ) , p = 0,1, 2,3, 4 se obtienen los valores, 12.5.5

τ 0 ( 7,5 ) =

1 1 5 31 106 4 1717 , τ ( 7,5 ) = , τ 2 ( 7,5 ) = , τ 3 ( 7,5 ) = , τ ( 7,5 ) = 7 6 6 3 6

Introduciendo estos valores en 12.5.4 queda, 12 ⎛ 1717 16.106 96.31 256.5 256 ⎞ λ= ⎜ − + − + 12.5.6 ⎟ 11 ⎝ 5 3 6 6 7 ⎠ Por lo tanto, 12 561 306 λ= . = 12.5.7 11 14 7 Luego, ∞ k 4 .3.4. . ( 3 + k ) 306 12.5.8 = ∑ . (11 + k ) 7 k =1 11.12. 12.6.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie, 202.1.4 232.1.4.7 262.1.4.7.10 + + + 17.20 17.20.23 17.20.23.26 Solución.- Sea λ el valor límite de la serie. El primer paso es determinar el término general. 12.6.1.-

18

λ=

202.1. (1 + 3)

( 20 + 3) .1. (1 + 3) . (1 + 3.2 ) + ( 20 + 3.2 ) .1. (1 + 3) . (1 + 3.2 ) . (1 + 3.3) + 17. (17 + 3) 17. (17 + 3) . (17 + 3.2 ) 17. (17 + 3) . (17 + 3.2 ) . (17 + 3.3) 2

2

+

Luego, 12.6.2.-

∞

λ =∑

1⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ . ⎜ + 1⎟ . . ⎜ + k ⎟ 3⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ 17 ⎛ 17 ⎞ ⎛ 17 ⎞ . ⎜ + 1⎟ . . ⎜ + k ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

( 20 + 3 ( k − 1) )

k =1

2

De donde, 12.6.3.-

∞

⎛ 17

⎞

λ = ∑ (17 + 3k ) τ 1 ⎜ , k + 1⎟ 3 ⎠ k =1 3 ⎝ 2

Otra forma para la serie es, 12.6.4.-

2

∞

⎛ 17 ⎞ ⎛ 13 1 ⎞ λ = 9 ∑ ⎜ + k ⎟ τ 1 ⎜1 + + ,1 + k ⎟ 3 3 ⎠ 3⎝ ⎠ k =1 ⎝ 3

Aplicando el Teor. 12 se tiene, 12.6.5.-

λ = 9.

14 ⎛ 14 ⎞ 2 ⎛ 13 20 ⎞ τ 1 ⎜ , 2 ⎟τ 13 ⎜ , ⎟ 3 3⎝ 3 ⎠ −3 ⎝ 3 3 ⎠

Esto es, 12.6.6.-

λ=

12 2 ⎛ 13 20 ⎞ τ 13 ⎜ , ⎟ 17 − 3 ⎝ 3 3 ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 2− j ⎛ 13 7 ⎞ ∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟ τ ⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠ j =0 ⎝ j ⎠ ⎝ 3 ⎠ 12 ⎛ 2 ⎛ 13 7 ⎞ 26 1 ⎛ 13 7 ⎞ 169 0 ⎛ 13 7 ⎞ ⎞ = τ ⎜ , ⎟+ τ ⎜ , ⎟+ τ ⎜ , ⎟⎟ 17 ⎜⎝ ⎝ 3 3 ⎠ 3 ⎝ 3 3⎠ 9 ⎝ 3 3 ⎠⎠ Ahora bien, 12 = 17

12.6.7

j =2

j

⎛ 13 7 ⎞ 3 , ⎟= ⎝ 3 3 ⎠ 13 ⎛ 13 7 ⎞ 7 τ1 ⎜ , ⎟ = ⎝ 3 3 ⎠ 10

τ0⎜

19

⎛ 13 7 ⎞ 79 , ⎟= ⎝ 3 3 ⎠ 30

τ2⎜

Introduciendo estos valores en 12.6.6 queda, 12 ⎛ 79 26.7 169.3 ⎞ + ⎜ + ⎟ 17 ⎝ 30 3.10 9.13 ⎠ 46 = 5

=

12.6.8

Por lo tanto, 202.1.4 232.1.4.7 262.1.4.7.10 + + + 17.20 17.20.23 17.20.23.26

12.6.9

=

46 5

Estudiaremos ahora, la conexión entre la función gama ( Γ ) y las funciones tau-beta. 13.-

Proposición.- Si x, y, z son números reales positivos, entonces Γ( z + y) Γ( z) τ z ( x, y ) = Γ ( x + y) Γ ( x) Demostración. Es suficiente partir de la definición

13.1

τ z ( x, y ) =

β ( x, y ) β ( z, y )

y usar las relaciones, 13.2

β ( x, y ) =

Γ ( x) Γ ( y) Γ( x + y)

,

β ( z, y ) =

Γ( z)Γ( y) Γ( z + y) ├

13.3

Ejemplo.

20

1⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ Γ⎜ ⎟ Γ⎜6 + ⎟ 2 ⎠ Γ ( 6 ) ⎛ 1 ⎞ 5! ⎛ 13 ⎞ ⎝2⎠= ⎝ τ 8, = τ = ,2 1 ⎞ Γ ( 8 ) 6 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 7! 6 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎛ 17 ⎞ ⎛ Γ⎜ ⎟ Γ⎜8 + ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1 6.7 4 . = = 6.7 13 . 15 195 2 2 13.4.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie, ∞

k!

∑ ( k + 4 )! k =1

Solución.13.4.1.- Nota: Este problema aparece en la primera separata con la referencia C-13; y se resolvió allí por tres métodos diferentes. Sin embargo, k ! y ( k + 4 ) ! tienen una representación en términos de la función gama, por lo tanto, existe otra vía para resolver este problema.En efecto, ∞ Γ ( k + 1) k! =∑ ∑ k =1 ( k + 4 ) ! k =1 Γ ( k + 5 ) ∞

13.4.2.-

Γ (1) τ 1 ( 5, k ) k =1 Γ ( 5 ) 1 4 = . .τ 1 ( 4,1) 4! 3 1 = 72 ∞

=∑

14.-

,

(Prop. 13)

Teorema.- Sean x, z números reales positivos. Entonces la serie

∞

k =n

converge si y sólo si x > z + 1 y el valor límite de la serie es: Γ ( z + n) ( x − z − 1) Γ ( x − 1 + n ) Demostración.- La igualdad

21

,

n = 0,1,...

Γ(z + k)

∑ Γ(x + k)

Γ( z + k ) ∞ Γ( z) τ z ( x, k ) =∑ ∑ k =n Γ ( x + k ) k =n Γ ( x ) ∞

14.1.-

,

(Prop. 13)

Implica que las series de ambos miembros convergen para los mismos valores de x. Pero la serie del segundo miembro converge sólo si x > z + 1. Para el valor límite se tiene, 14.2.-

( ) ( ) ∑ Γ ( x + k ) = Γ ( x ) ∑ τ ( x, k ) ∞

Γ z+k

Γ z

∞

k =n

k =n

= = =

z

Γ ( z ) x −1 . . τ z ( x − 1, n ) Γ ( x) x − z −1

Γ( z) x −1 . . τ z ( x − 1, n ) x − z − 1 ( x − 1) Γ ( x − 1)

Γ ( z + n) ( x − z − 1) Γ ( x − 1 + n )

,

(Prop. 13) ├

14.3.- Corolarios.∞

14.3.1

Γ(z + k)

Γ( z)

∑ Γ ( x + k ) = ( x − z − 1) Γ ( x − 1) ,

z ≥ 0 , x ≥ z +1

k =0

14.3.2

∞

Γ(z + k)

zΓ ( z )

∑ Γ ( x + k ) = ( x − z − 1) Γ ( x ) ,

z ≥ 0 , x ≥ z +1

k =1

15.- Teorema.- Si p es un número entero positivo y x, y, z son números reales tales que, x > z + 1 + p , z > 0 , entonces,

( y + k ) Γ ( z + k ) = Γ ( z + n ) τ p x − z − 1, y + n ( ) ∑ Γ(x + k) Γ ( x −1+ n) k =n p

∞

z− y

Demostración.-

( y + k) Γ(z + k) Sea λ = ∑ Γ(x + k) k =n p

∞

15.1.-

Luego, ∞

15.2.- λ = ∑ ( y + k ) k =n

p

Γ( z) τ z ( x, k ) Γ ( x)

22

,

n = 0,1,...

=

Γ( z) ∞ p ( y + k ) τ z ( x, k ) ∑ Γ ( x ) k =n

Aplicando el Teor. 12 se tiene, 15.3.- λ = ( x − 1) = ( x − 1) =

Γ( z) τ z ( x − 1, k )τ zp− y ( x − z − 1, y + n ) Γ ( x)

Γ( z) τ ( x − 1, n )τ zp− y ( x − z − 1, y + n ) ( x − 1) Γ ( x − 1) z

Γ ( z + n) p τ z− y ( x − z − 1, y + n ) Γ ( x −1+ n)

├ 15.4.- Corolarios.-

( y + k ) Γ ( z + k ) = Γ ( z ) τ p x − z − 1, y ( ) ∑ Γ(x + k) Γ ( x − 1) k =0 p

∞

15.4.1.-

z− y

p∈

+

, x, y, z ∈ , z > 0, x > z + 1 + p

( y + k ) Γ ( z + k ) = zΓ ( z ) τ p x − z − 1, y + 1 ( ) ∑ Γ(x + k) Γ ( x) k =1 p

∞

15.4.2.-

z− y

p∈

+

, x, y, z ∈ , z > 0, x > z + 1 + p

15.5.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie

( k − 3) ∑ k =1 ( k + 3 )( k + 4 )( k + 5 )( k + 6 )( k + 7 ) 2

∞

Solución.-

Sea λ el valor límite de la serie,

15.5.1-

( k − 3) ( k + 2 ) ! λ =∑ ( k + 7 )! k =1 2

∞

Luego,

( k − 3) Γ ( k + 3) λ =∑ Γ ( k + 8) k =1 ∞

15.5.2.-

2

23

Aplicando el corolario 15.4.2 se tiene, 15.5.3.-

λ=

3Γ ( 3) 2 τ 6 ( 4, −2 ) Γ (8)

3.2! 2 τ 6 ( 4, −2 ) 7! 1 2 = τ 6 ( 4, −2 ) 840 De donde, =

15.5.4

1 j =2 ⎛ 2 ⎞ j 2− j λ= ∑ ⎜ ⎟ ( −6 ) τ ( 4, 4 ) 840 j =0 ⎝ j ⎠ 1 = ( τ 2 ( 4, 4 ) − 12 τ 1 ( 4, 4 ) + 36τ 0 ( 4, 4 ) ) 840 1 ⎛ 4 4.5 12.4 36 ⎞ = − + ⎜− + ⎟ 840 ⎝ 3 2.1 3.1 4 ⎠ 1 5 = . 840 3 1 = 504

Observación.- Si en lugar de reducir la serie 15.5 a la forma 15.5.1, se reduce a la forma siguiente, 15.5.5

15.5.6

1 ∞ 2 ( k − 3) β ( 5, k + 3) ∑ 4! k =3 Entonces, aplicando directamente el Teor. 11, se tiene,

λ=

1 4β ( 4, 4 )τ 62 ( 4, −2 ) 24 1 4.3! 2 = . τ 6 ( 4, −2 ) 24 4.5.6.7 1 2 = τ 6 ( 4, −2 ) 840

λ=

Obteniéndose idéntico resultado a 15.5.3 15.6.- Problema.-

Determinar el valor límite de la serie,

24

k 3 ( k − 6 )! ∑ 1⎞ ⎛ k =7 Γ⎜k + ⎟ 2⎠ ⎝ ∞

Solución.-

k 3 ( k − 6 )! Sea λ = ∑ 1⎞ ⎛ k =7 Γ⎜k + ⎟ 2⎠ ⎝ ∞

15.6.1.Luego,

k 3Γ ( k − 5 ) 1⎞ ⎛ k =7 Γ⎜k + ⎟ 2⎠ ⎝ ∞

λ =∑

( k + 7) Γ ( k + 2) 3

∞

=∑

15 ⎞ ⎛ Γ⎜k + ⎟ 2⎠ ⎝

k =0

Aplicando el corolario 15.4.1 queda, 15.6.2.-

λ=

Γ ( 2) 3 ⎛ 9 ⎞ τ −5 ⎜ , 7 ⎟ ⎛ 13 ⎞ ⎝ 2 ⎠ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠

De donde, 15.6.3.-

λ=

64 ⎛9 ⎞ τ −35 ⎜ , 7 ⎟ 10395 π ⎝2 ⎠

⎛9 ⎞ La evaluación de τ −35 ⎜ , 7 ⎟ da, ⎝2 ⎠ ⎛ 9 ⎞ 33842 τ −35 ⎜ , 7 ⎟ = 15.6.4.315 ⎝2 ⎠ Por lo tanto, 15.6.5.-

λ=

2165888 3274425 π

Esto es,

25

k 3 ( k − 6 )! 2165888 = ∑ 1⎞ ⎛ k =7 Γ ⎜ k + ⎟ 3274425 π 2⎠ ⎝ ∞

15.6.6.-

16.- Notación.teoremas.

Introduciremos una notación que será usada en los próximos i =r

16.1.- Sea Pr ( x ) = ∑ ai x i un polinomio con coeficientes ai ∈ , 0 ≤ i ≤ r . i =0

Entonces, la expresión Pr (τ z )( x, y ) denotará la suma

17.-

i=r

∑ a τ ( x, y ) i =0

i

i z

Teorema.- Sea Pr ( x ) un polinomio de grado r con coeficientes reales. Entonces, ∞

∑ P ( z + k ) β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n ) P (τ ) (α , z + n ) , k =n

r

r

y−z

α , y, z ∈ , n = 0,1,…, α > r , y + n > 0 . Demostración.∞

17.1.- Sea λ = ∑ Pr ( z + k ) β (1 + α , y + k ) k =n

i =r

17.2.- Escribamos,

Pr ( x ) = ∑ ai x i i =0

Luego, ∞ i=r

17.3

λ = ∑∑ ai ( z + k ) β (1 + α , y + k ) i

k = n i =0 i=r

∞

i =0 i =r

k =n

= ∑ ai ∑ ( z + k ) β (1 + α , y + k ) i

= ∑ ai α β (α , y + n ) τ yi − z (α , z + n ) ,

(Teor. 11)

i =0

i =r

= α β (α , y + n ) ∑ ai τ yi − z (α , z + n ) i =0

= α β (α , y + n ) Pr (τ y − z ) (α , z + n )

26

,

(16.2)

├ 17.4.- Corolario.∞

∑ P ( k ) β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n ) P (τ ) (α , n ) k =n

r

r

y

α , y ∈ , n = 0,1,…, α > r , y + n > 0 Mostraremos un problema sencillo para ilustrar la aplicación del Teorema 17. 17.5.- Problema.-

Determinar el valor límite de la serie,

∑ ( 3 ( k + 1) ∞

2

)

+ 5 β ( 7, k + 2 )

k =0

Solución.∞

17.5.1.-

(

)

Sea λ = ∑ 3 ( k + 1) + 5 β ( 7, k + 2 ) k =0

2

Aplicando directamente el Teor. 17, se tiene, 17.5.2.-

λ = 6 β ( 6, 2 ) ( 3τ 12 ( 6,1) + 5τ 10 ( 6,1) ) =

1 3τ 12 ( 6,1) + 5τ 10 ( 6,1) ) ( 7

Ahora bien, 17.5.3.-

17.5.4.-

7 15 1 τ 10 ( 6,1) = 6 Introduciendo estos valores en 17.5.2 queda,

τ 12 ( 6,1) =

1 ⎛ 3.7

5⎞

+ ⎟ λ= ⎜ 7 ⎝ 15 6 ⎠ =

67 210

Esto es,

∑ ( 3 ( k + 1) ∞

17.5.5

k =0

18.-

Teorema.-

2

)

+ 5 β ( 7, k + 2 ) =

67 210

Sea Pr ( x ) un polinomio con coeficientes reales. Entonces,

27

∞

∑ P ( x + k ) τ (1 + α + z, y + k ) = (α + z ) τ (α + z, y + n ) P (τ k =n

r

z

z

r

z+ y−x

) (α , x + n )

α , x, y ∈ , n = 0,1,… , α > r , z ≥ 0, y + n > 0 Demostración.∞

18.1

Sea λ = ∑ Pr ( x + k ) τ z (1 + α + z , y + k ) k =n

i=r

18.2

Escribamos, Pr ( x ) = ∑ ai xi i =0

Luego, ∞ i =r

18.3

λ = ∑∑ ai ( x + k ) τ z (1 + α + z , y + k ) i

k = n i =0 i =r ∞

= ∑ ai ∑ ( x + k ) τ z (1 + α + z , y + k ) i =0

i

k =n

i=r

= ∑ ai (α + z ) τ z (α + z , y + n ) τ iz+ y− x (α , x + n )

,

(Teor. 12)

i =0

i=r

= (α + z ) τ z (α + z , y + n ) ∑ ai τ zi + y − x (α , x + n ) i =0

= (α + z ) τ z (α + z , y + n ) Pr (τ z + y − x ) (α , x + n ) ├ 18.4.- Corolario.∞

∑ P ( k ) τ (1 + α + z, y + k ) = (α + z )τ (α + z, y + n ) P (τ ) (α , n ) k =n

r

z

z

r

z+ y

α , x, y, z ∈ , n = 0,1,… , α > r , z ≥ 0, y + n > 0

19.-

Teorema.-

Sea Pr ( x ) un polinomio con coeficientes reales. Entonces,

Pr ( y + k ) Γ ( z + k ) Γ ( z + n) = Pr (τ z − y ) ( x − z − 1, y + n ) Γ(x + k) Γ ( x −1+ n) k =n x, y, z ∈ , x > z + 1 + r , z > 0, n = 0,1, … ∞

∑

Demostración: Pr ( y + k ) Γ ( z + k ) Γ(x + k) k =n ∞

19.1.- Sea λ = ∑

28

i=r

19.2.- Escribamos Pr ( x ) = ∑ ai x i i =0

Luego, ∞ i =r

19.3.- λ = ∑∑ ai ( y + k )

Γ(z + k) Γ(x + k)

i

k = n i =0 i=r

∞

i =0

k =n

= ∑ ai ∑ ( y + k ) i =r

= ∑ ai i =0

=

i

Γ(z + k) Γ(x + k)

Γ(z + k) i τ z − y ( x − z − 1, y + n ) Γ(x + k)

,

(Teor. 15)

Γ ( z + n) Pr (τ z − y ) ( x − z − 1, y + n ) Γ ( x + n) ├

19.4.- Corolario.

( ) ( ) ∑ P ( k ) Γ ( x + k ) = Γ ( x − 1 + n ) P (τ )( x − z − 1, n ) Γ z+k

∞

Γ z+n

r

k =n

r

z

x, z ∈ , n = 0,1,…, x > z + 1 + r , z > 0 19.5.- Problema.-

Determinar el valor límite de la serie, ∞ k ∑ k = 5 ( k − 1)( k + 1)( k + 3 )( k + 4 )

Solución.19.5.1.-

∞

Sea λ = ∑ k =5

k

( k − 1)( k + 1)( k + 3)( k + 4 )

Luego, 19.5.2.-

k 2 ( k + 2 )( k − 2 ) ! λ =∑ ( k + 4 )! k =5 ∞

∞

=∑ k =5 ∞

=∑ k =0

(k

3

+ 2k 2 ) Γ ( k − 1) Γ ( k + 5)

( ( k + 5) + 2 ( k + 5) ) Γ ( k + 4 ) 3

2

Γ ( k + 10 )

Aplicando ahora el Teor. 19 se tiene,

29

19.5.3.-

λ=

Γ ( 4) 3 (τ −1 ( 5,5) + 2τ −21 ( 5,5) ) Γ (9)

=

1 τ −31 ( 5,5 ) + 2τ −21 ( 5,5 ) ) ( 6720

Ahora bien, 19.5.4.-

306 5 118 τ −21 ( 5,5 ) = 15

τ −31 ( 5,5 ) =

Introduciendo estos valores en 19.5.3 queda, 19.5.5

1 ⎛ 306 2.118 ⎞ + ⎜ ⎟ 6720 ⎝ 5 15 ⎠ 577 = 50400

λ=

Esto es, 19.5.6

∞

577

k

∑ ( k − 1)( k + 1)( k + 3)( k + 4 ) = 50400 k =5

Sugerencia.- Revisar el problema 8.11 resuelto en la primera parte de esta lección.20.-

Notación.- Para cada par de números enteros positivos α , p tales que p > 1, la

expresión P ( p ,α ) ( x ) denotará el polinomio k =α p −1

∏ (x + k)

k =1 k∉m( p )

Donde m ( p ) = {ip / i ∈

}

Para p = 1 , se define P (

1,α )

( x) = 1

En cada caso, el grado del polinomio P ( p ,α ) ( x ) es ( p − 1) α 20.1.- Ejemplos. 3,2 20.1.1 P ( ) ( x ) = ( x + 1)( x + 2 )( x + 4 )( x + 5 ) 2,4 20.1.2 P ( ) ( x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + 5 )( x + 7 )

30

20.1.3 P ( p ,1) ( x ) = ( x + 1)( x + 2 ) 20.2 ( p, α ) r

Q

( x + ( p − 1) )

Sea Qr ( x ) un polinomio de grado r con coeficientes reales. Entonces,

( x ) denota el producto de polinomios Qr ( x ) .P ( p ,α ) ( x )

21. Proposición.- Si α , p, k son números enteros positivos y x es un número real tal que x + k > 0 , entonces ⎛ x + k ⎞ α ! pα +1 ( p ,α ) P β ⎜1 + α , ( x + k ) β (1 + α p, x + k ) ⎟= p ⎠ (α p ) ! ⎝ Demostración.21.1 21.2

Si p = 1 , la proposición es obvia. Para p > 1 se tiene, ⎛

β ⎜1 + α , ⎝

x+k ⎞ α! ⎟= p ⎠ ⎛ x + k ⎞⎛ x + k ⎞ ⎛ x + k ⎞ ⎜ p ⎟⎜ p + 1⎟ ⎜ p + α ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α +1 α !. p = ( x + k )( x + k + p ) ( x + k + α p )

=

α !. pα +1 ( p ,α ) P ( x + k ) β (1 + α p, x + k ) (α p ) ! ├

21.3

Corolario. ⎛ k ⎞ α ! pα +1 ( p ,α ) P β ⎜1 + α , ⎟ = ( k ) β (1 + α p, k ) p ⎠ (α p ) ! ⎝

21.4. Ejemplo. 3 ⎛ k + 1 ⎞ 2!3 ( 3, 2) β ⎜ 3, P ( k + 1) β ( 7, k + 1) ⎟= 3 ⎠ 6! ⎝ 3 = ( k + 2 )( k + 3)( k + 5 )( k + 6 ) β ( 7, k + 1) 40

31

=

22.

(

)

3 4 3 2 ( k + 1) + 12 ( k + 1) + 49 ( k + 1) + 78 ( k + 1) + 40 β ( 7, k + 1) 40

Proposición.- Para cada par de números enteros positivos α , p , tales que p > 1, ∞

1

∑ k (k + p) (k + α p)

=

k =n

P ( p , α ) (τ 0 )(α p, n ) n ( n + 1) ( n + α p − 1)

n = 1, 2,... Demostración.22.1

∞

Sea λ = ∑ k =n

22.2

k (k + p)

1

(k +α p)

Luego, 1 ∞ ( p ,α ) λ= P ( k ) β (1 + α p, k ) (α p ) ! ∑ k =n Aplicando ahora 17.4 se tiene,

22.3

λ=

α p β (α p, n ) ( p ,α ) P (τ 0 )(α p, n ) (α p ) !

De donde, 22.4

λ=

P ( p ,α ) (τ 0 )(α p, n ) n ( n + 1) ( n + α p − 1) ├

22.5

Corolario. ∞

1 1 ∑ k ( k + p ) ( k + α p ) = (α p )! P( α ) (τ )(α p,1) p,

0

k =1

23.

Teorema.Sean α , p números enteros positivos tales que p > 1 y x un número real positivo. Entonces,

32

∞

⎛

k =n

⎝

∑ β ⎜1 + α ,

x + k ⎞ α ! pα +1 β (α p, x + n ) P ( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) ⎟= p ⎠ (α p − 1) ! n = 1, 2,...

Demostración.∞ ⎛ x+k ⎞ Sea λ = ∑ β ⎜ 1 + α , ⎟ p ⎠ k =n ⎝ Luego,

23.1

λ=

23.2

α ! pα +1 ∞ ( p ,α ) P ( x + k ) β (1 + α p, x + k ) (α p ) ! ∑ k =n

(Prop. 21)

Aplicando el Teor. 17 se tiene,

λ=

23.3

α ! pα +1 α p β (α p, x + n ) P( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) (α p ) !

De donde, α ! pα +1 λ= β (α p, x + n ) P ( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) (α p − 1)!

23.4

├ 23.5

Corolarios

23.5.1

⎛ k ⎞ α ! pα +1 1 , + β α β (α p, n ) P ( p ,α ) (τ 0 )(α p, n ) ∑ ⎜ ⎟= p ⎠ (α p − 1) ! k =n ⎝ ∞

⎛ k ⎞ α ! pα +1 23.5.2 ∑ β ⎜1 + α , ⎟ = β (α p, n ) P ( p ,α ) (τ 0 )(α p,1) p ⎠ (α p ) ! k =1 ⎝ ∞

24.

Sea Qr ( x ) un polinomio con coeficientes reales y α , p

Teorema.-

números enteros positivos tales que p > 1 . Entonces, ⎛

∞

∑ Q ( x + k ) β ⎜1 + α , k =n

r

⎝

x + k ⎞ α ! pα +1 β (α p, x + n ) Qr( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) ⎟= p ⎠ (α p − 1) !

x ∈ , x > 0, n = 1, 2,...

33

Demostración.24.1

24.2

∞ ⎛ x+k ⎞ Sea λ = ∑ Qr ( x + k ) β ⎜ 1 + α , ⎟ p ⎠ k =n ⎝ Luego,

λ=

α ! pα +1 ∞ Qr ( x + k ) P ( p ,α ) ( x + k ) β (1 + α p, x + k ) ∑ (α p ) ! k = n

(Prop. 21)

Por lo tanto, 24.3

λ=

α ! pα +1 ∞ ( Qr (α p ) ! ∑ k =n

p ,α )

( x + k ) β (1 + α p, x + k )

(20.2)

Aplicando el teorema 17 queda, 24.4

α ! pα +1 λ= α p β (α p, x + n ) Qr( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) (α p ) ! =

α ! pα +1 β (α p, x + n ) Qr( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) (α p − 1)! ├

24.5

Corolarios.-

24.5.1

⎛ k ⎞ α ! pα +1 Q k 1 , + β α β (α p, n ) Qr( p ,α ) (τ 0 )(α p, n ) ( ) ∑ r ⎜ ⎟= p ⎠ (α p − 1) ! k =n ⎝ ∞

⎛ k ⎞ α ! pα +1 ( p ,α ) Qr 24.5.1 ∑ Qr ( k ) β ⎜ 1 + α , ⎟ = (τ 0 )(α p,1) p ⎠ (α p ) ! k =1 ⎝ ∞

34

A continuación presentamos una colección de fórmulas relacionadas con el cálculo del valor límite de series. Sólo algunas de estas fórmulas se demuestran en esta separata. No se hace referencia a las condiciones de convergencia. Sin embargo, es necesario que tales condiciones las conozca el usuario, cual dato previo a la aplicación de la fórmula correspondiente, en cada caso.25.-

SERIES INFINITAS. (VALOR LÍMITE) (SI) ∞

- 1)

∑ (1 ⊕ α )

k

= 1+ α

k =0 ∞

- 2)

∑1(

k 1⊕α )

k =0 ∞

- 3)

= 1+ α

∑ (1 ⊕ α ) = (1 + α )(1 ⊕ α ) k

n

k =n ∞

- 4)

∑1(

k 1⊕α )

= (1 + α )1(

n α)

k =n ∞

- 5)

1

1

∑ k ( k + 1) ...( k + α ) = α .α ! k =1 ∞

1

1

- 6)

∑ k ( k + 1) ...( k + α ) = α n ( n + 1) ...( n + α − 1)

- 7)

∑ b ( b + 1) ...( b + k ) = b − a − 1

k =n ∞

a ( a + 1) ... ( a + k )

a

a ( a + 1) ... ( a + k )

1

k =0 ∞

- 8)

a ( a + 1) ... ( a + n )

∑ b ( b + 1) ...( b + k ) = b − a − 1 . b ( b + 1) ... ( b + n − 1) k =n

- 9) - 10) - 11)

1

1

1

n!

k =n

∑ k ( k + α ) = α Hα k =1 ∞

- 14)

k!

−1

∑ ( α + k ) ! = α − 1 . (α − 1 + n ) ! ∞

- 13)

−1

⎛α + k ⎞ α ⎛α −1 + n ⎞ ∑ ⎜ ⎟ = α − 1 ⎝⎜ α − 1 ⎠⎟ k =n ⎝ α ⎠ ∞ k! 1 1 . = ∑ α − 1 (α − 1) ! k = 0 (α + k ) ! ∞

∞

- 12)

−1

⎛α + k ⎞ α ∑ ⎜ ⎟ = α −1 k =0 ⎝ α ⎠ ∞

1 1 = ∑ α k =n k ( k + α )

k = n +α −1

∑ k =n

1 k

35

∞

- 15) - 16)

1 1 = H 2α 2 2α k = +1 k − α ∞ 1 1 k = n + 2α −1 1 = ∑ 2 2 2α ∑ k k =α + n k − α k =n

∑α

2

∞

- 17)

∑1(

q , k 1⊕α )

= 1 + ( q + 1) α

∑1(

q , k 1⊕α )

= (1 + ( q + 1) α )1(

k =0 ∞

- 18)

k =n ∞

- 19)

q, n α )

1

∑ β (1 + α , k ) = α k =1 ∞

- 20)

∑ β (1 + α , k ) = β (α , n ) k =n ∞

- 21)

∑ β (1 + α , p + k ) = β (α , p + n ) k =n ∞

- 22)

z ∑τ (1 + x + z, k ) = x k =1

z

∞

- 23)

∑τ (1 + x + z, k ) = τ ( x, z )τ ( x + z, n ) k =n ∞

- 24)

1+ x

z

z

∑τ (1 + x + z, y + k ) = τ ( x, z )τ ( x + z, y + n ) k =n

1+ x

z

z

∞

- 25)

a ∑τ ( b, k ) = b − a − 1 k =1

a

b −1 ∑τ ( b, k ) = b − a − 1τ ( b − 1, n ) ∞

- 26)

k =n ∞

- 27)

a

a

b −1 ∑τ ( b, c + k ) = b − a − 1τ ( b − 1, c + n ) k =n

a

a

∞

- 28)

∑ k β (1 + α , k ) = αβ (α , n )τ (α , n ) p

p

k =n ∞

- 29)

∑ k β (1 + α , k ) = τ (α ,1) p

p

k =1 ∞

- 30)

∑ k β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n ) τ (α , n ) p

p y

k =n

- 31)

⎛ 1⎞ ⎜y ⎟ ⎝ α⎠

∞

∑ k β (1 + α , y + k ) = 1 p

k =1 ∞

- 32)

τ yp (α ,1)

∑ ( y + k ) β (1 + α , k ) = αβ (α , n )τ (α , y + n ) k =n

p

p −y

36

∞

- 33)

∑ ( y + k ) β (1 + α , k ) = τ (α , y + 1) p

p −y

k =1 ∞

- 34)

∑k

p

k =n

τ z (1 + α + z, k ) = (α + z )τ z (α + z , n )τ zp (α , n )

∞

- 35)

∑ k τ (1 + α + z, k ) = zτ (α ,1) p

k =1 ∞

- 36)

p z

z

Γ(z + k)

Γ ( z + n)

Γ(z + k)

Γ( z)

∑ Γ ( x + k ) = ( x − z − 1) Γ ( x − 1 + n ) k =n ∞

- 37)

∑ Γ ( x + k ) = ( x − z − 1) Γ ( x − 1) k =0 ∞

- 38)

Γ(z + k)

zΓ ( z )

∑ Γ ( x + k ) = ( x − z − 1) Γ ( x ) k =1

( y + k ) Γ ( z + k ) = Γ ( z + n ) τ p x − z − 1, y + n ) ∑ z− y ( Γ(x + k) Γ ( x −1+ n) k =n p ∞ ( y + k ) Γ ( z + k ) = zΓ ( z ) τ p x − z − 1, y + 1 ) ∑ z− y ( Γ(x + k) Γ ( x) k =1 p

∞

- 39) - 40)

∞

- 41)

∑ ( z + k ) β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n ) τ (α , z + n ) p

k =n ∞

- 42)

∑(x + k )

p

k =n

p y−z

τ z (1 + α + z, y + k ) = (α + z ) τ z (α + z, y + n ) τ zp+ y − x (α , x + n )

∞

- 43)

∑ P ( z + k ) β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n ) P (τ ) (α , z + n ) k =n

r

y−z

r

∞

- 44)

∑ P ( k ) β (1 + α , y + k ) = α β (α , y + n ) P (τ ) (α , n ) k =n ∞

- 45)

r

r

y

∑ P ( k ) β (1 + α , k ) = P (τ )(α ,1) k =1

r

r

0

∞

- 46)

∑ P ( x + k ) τ (1 + α + z, y + k ) = (α + z ) τ (α + z, y + n ) P (τ k =n

r

z

z

r

∞

- 47)

∑ P ( k ) τ (1 + α + z, k ) = z P (τ )(α ,1) k =1

r

z

r

z

Pr ( y + k ) Γ ( z + k ) Γ ( z + n) = Pr (τ z − y ) ( x − z − 1, y + n ) Γ(x + k) Γ ( x −1+ n) k =n ∞

- 48)

∑

- 49)

Pr ( k ) Γ ( z + k ) z Γ ( z ) = Pr (τ z )( x − z − 1,1) Γ(x + k) Γ ( x) k =1 ∞

∑

37

z+ y−x

) (α , x + n )

- 50) - 51) - 52)

p

−1

−1

⎛α + k ⎞ ⎛α −1+ n ⎞ p k ⎜ ∑ ⎟ =α ⎜ ⎟ τ 1 (α − 1, n ) k =n ⎝ α ⎠ ⎝ α −1 ⎠ ∞ k p k! 1 = τ 1p (α − 1,1) ∑ α! k =1 (α + k ) ! ∞

p

∞

- 53)

−1

⎛α + k ⎞ p k ⎜ ∑ ⎟ = τ 1 (α − 1,1) k =1 ⎝ α ⎠ ∞

k k! n! ∑ (α + k )! = (α − 1 + n )!τ (α − 1, n ) p

p 1

k =n

- 54)

∞

∑(x + k )

−1

p

k =n

- 55)

∞

∑(x + k )

−1

p

k =1

- 57) - 58) - 59) - 60)

- 63)

−1

−1

⎛α + k ⎞ ⎛α −1+ n ⎞ Pr ( k ) ⎜ ∑ ⎟ =α ⎜ ⎟ Pr (τ 1 )(α − 1, n ) k =n ⎝ α ⎠ ⎝ α −1 ⎠ −1

⎛α + k ⎞ Pr ( k ) ⎜ ∑ ⎟ = Pr (τ 1 )(α − 1,1) k =1 ⎝ α ⎠ ∞ Pr ( k ) k ! n! P (τ )(α − 1, n ) = ∑ (α − 1 + n ) ! r 1 k = n (α + k ) ! ∞

Pr ( k ) k !

∑ (α + k ) ! k =1

- 62)

p

∞

∞

- 61)

⎛α + k ⎞ p ⎜ ⎟ = τ 1− x (α − 1, x + 1) ⎝ α ⎠

(x + k) k! = n! τ 1p− x (α − 1, x + n ) ∑ (α − 1 + n ) ! k = n (α + k ) ! p ∞ ( x + k ) k ! = 1 τ p α − 1, x + 1 ( ) ∑ α ! 1− x k =1 (α + k ) ! ∞

- 56)

−1

⎛α + k ⎞ ⎛α −1+ n ⎞ p ⎜ ⎟ =α ⎜ ⎟ τ 1− x (α − 1, x + n ) ⎝ α ⎠ ⎝ α −1 ⎠

=

1 P (τ )(α − 1,1) α! r 1 −1

⎛α + k ⎞ Pr ( k ) ⎜ ∑ ⎟ = α Pr (τ 1 )(α − 1, 0 ) k =0 ⎝ α ⎠ ∞ τ p (α ,1) kp = ∑ α! k =1 k ( k + 1) ... ( k + α ) ∞

- 64)

τ (α , n ) kp = ∑ n ( n + 1) ... ( n + α − 1) k = n k ( k + 1) ... ( k + α )

- 65)

τ p (α , x + 1) (x + k) = ∑ α! k =1 k ( k + 1) ... ( k + α )

∞

∞

p

p

−x

38

p τ p (α , x + n ) (x + k) = ∑ n ( n + 1) ... ( n + α − 1) k = n k ( k + 1) ... ( k + α ) ∞ Pr ( k ) P (τ )(α ,1) = r 0 ∑ α! k =1 k ( k + 1) ... ( k + α ) ∞ Pr ( k ) Pr (τ 0 )(α , n ) = ∑ n ( n + 1) ... ( n + α − 1) k = n k ( k + 1) ... ( k + α ) ∞ Pr ( x + k ) P (τ )(α , x + 1) = r −x ∑ α! k =1 k ( k + 1) ... ( k + α ) ∞ Pr ( x + k ) P (τ )(α , x + n ) = r −x ∑ n ( n + 1) ... ( n + α − 1) k = n k ( k + 1) ... ( k + α ) ∞

- 66) - 67) - 68) - 69) - 70)

−x

∞

- 71)

2 ∑τ (α k , α k ) = 4α − 1 k =1

1 2

∞

- 72)

2 ∑τ (α + k ,α + k ) = 3.4α k =1

1 2

∞

2 ( 4α − 1)

- 73)

∑τ (α k ,α k ) = 4α (

- 74)

2 ∑τ (α + k ,α + k ) = 3.4α

k =n

1 2

n −1)

∞

k =n

1 2

∞

- 75)

1

∑ k ( k + 1) = ζ ( 2 ) − 1 k =1

2

∞

- 76)

+ n −1

1

1

1

∑ k ( k + p ) = p ζ ( 2) − p k =1

2

2

Hp

∞

- 77)

k =n−2 1 n −1 2n−k = ∑ ( −1) ζ ( n − k ) + ( −1) ∑ n k =1 k ( k + 1) k =0

- 78)

k =n−2 ( −1) ζ n − k + ( −1) 1 = ( ) ∑ ∑ n p k +1 pn k =1 k ( k + p ) k =0

- 79)

⎛ k ⎞ α! p ∑ β ⎜1 + α , p ⎟ = ( pα )! P( α ) (τ )( pα ,1) ⎝ ⎠

∞

∞

k =1

2n−k

α +1

n −1

Hp

p,

0

⎛ k ⎞ α ! pα +1 1 , + β α β ( pα , n ) P ( p ,α ) (τ 0 )( pα , n ) ∑ ⎜ ⎟= 1 ! − p p α ) k =n ⎝ ⎠ ( ∞

- 80)

∞

- 81)

1 1 ∑ k ( k + p )( k + 2 p ) ( k + α p ) = (α p )! P( α ) (τ )(α p,1) p,

0

k =1

39

( ) 1 ∑ k ( k + p )( k + 2 p ) ( k + α p ) = (α p − 1)! P( α ) (τ )(α p, n ) β α p, n

∞

- 82)

p,

0

k =n

⎛ k ⎞ α ! pα +1 ( p ,α ) P k 1 , Pr + β α ( ) (τ 0 )(α p,1) ∑ r ⎜ ⎟= p ⎠ (α p ) ! k =1 ⎝ ∞ ⎛ k + y ⎞ α ! pα +1 β ⎜1 + α , β (α p, y + n ) P ( p ,α ) (τ 0 )(α p, y + n ) ∑ ⎟= p ⎠ (α p − 1) ! k =n ⎝ ∞

- 83) - 84)

⎛

∞

- 85)

∑ Q ( x + k ) β ⎜1 + α , k =n

r

⎝

x + k ⎞ α ! pα +1 β (α p, x + n ) Qr( p ,α ) (τ 0 )(α p, x + n ) ⎟= p ⎠ (α p − 1) !

40

Los siguientes problemas constituyen aplicaciones de fórmulas contenidas en el formulario 25 (SI). 26.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie ∞

1

∑ ( k + 2 )( k + 4 )( k + 6 )( k + 8) k =0

Solución.-

Sea λ el valor límite de la serie.

26-1

λ =∑

∞

1 k = 2 k ( k + 2 )( k + 4 )( k + 6 )

Luego, -2

( k + 1)( k + 3)( k + 5) k = 2 k ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 )( k + 4 )( k + 5 )( k + 6 ) ∞

λ =∑ De donde,

-3

-4

-5

( k + 3) − 4 ( k + 3) λ =∑ k = 2 k ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 )( k + 4 )( k + 5 )( k + 6 ) 3

∞

Aplicando ahora la fórmula 25-70 queda, τ 3 ( 6,5 ) − 4τ −13 ( 6,5 ) λ = −3 2 ( 2 + 1) . . ( 2 + 5 ) Esto es,

λ=

1 (τ −33 ( 6,5) − 4τ −13 ( 6,5) ) 5040

Por otra parte, j =3

-6

⎛ 3⎞

τ −33 ( 6,5 ) = ∑ ⎜ ⎟ 3 j τ 3− j ( 6, 2 ) j

⎝ ⎠ = τ ( 6, 2 ) + 9 τ 2 ( 6, 2 ) + 27τ 1 ( 6, 2 ) + 27τ 0 ( 6, 2 ) j =0 3

=

⎛ −1 ⎞ 1 2 1 1 1 −3 + + + 9 ⎜⎜ + + 27 ⎟⎟ + 27 5β ( 2,1) 4 β ( 2, 2 ) 3β ( 2,3) 5β ( 2,1) 6 ⎝ 5β ( 2,1) 4β ( 2, 2 ) ⎠ =

2 9 ⎛ 2 3 ⎞ 54 9 − + 8 + 9⎜ − + ⎟ + + 5 2 ⎝ 5 2⎠ 5 2

41

=

291 10 j =1

⎛1⎞

τ −13 ( 6,5 ) = ∑ ⎜ ⎟ 3 j τ 1− j ( 6, 2 ) j

⎝ ⎠ = τ ( 6, 2 ) + 3τ 0 ( 6, 2 ) j =0 1

=

1 1 + 3. 5β ( 2,1) 6

2 1 + 5 2 9 = 10

=

Introduciendo estos valores en 26-5 se tiene, 1 ⎛ 291 9⎞ − 4. ⎟ ⎜ 5040 ⎝ 10 10 ⎠ 17 = 3360

λ=

-7

Por lo tanto, ∞

1

17

∑ ( k + 2 )( k + 4 )( k + 6 )( k + 8) = 3360

-8

k =0

27.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie ∞

k!

∑ ( k + 3)!( k + 5)( k + 7 ) k =1

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie,

( k + 4 )( k + 6 ) .k ! ( k + 7 )! k =1 ∞

λ =∑

27-1 Luego, -2

∞

λ =∑ k =1

(k

2

+ 10k + 24 ) k !

( k + 7 )!

Recurriendo ahora a la formula 25-61 (SI) se tiene,

42

λ=

-3

1 2 (τ1 ( 6,1) + 10τ11 ( 6,1) + 24τ10 ( 6,1) ) 7!

Ahora bien, -4

-5

19 30 7 τ 11 ( 6,1) = 30 1 τ 10 ( 6,1) = 6 Introduciendo estos valores en 27-3 queda,

τ 12 ( 6,1) =

1 ⎛ 19 10.7 24 ⎞ + ⎟ ⎜ + 7! ⎝ 30 30 6 ⎠ 17 = 12600

λ=

Esto es, -6

∞

k!

17

∑ ( k + 3)!( k + 5)( k + 7 ) = 12600 k =1

28.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie, ∞ 1 ∑ k = 3 ( 2k + 3)( 2k + 7 )( 2 k + 9 )( 2k + 11) Solución.-

λ=

28-1

Sea λ el valor límite de la serie, 1 ∞ 1 ∑ 3 ⎞⎛ 7 ⎞⎛ 9 ⎞⎛ 11 ⎞ 16 k =3 ⎛ ⎜ k + ⎟⎜ k + ⎟⎜ k + ⎟⎜ k + ⎟ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝

Luego,

-2

5⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ k + ⎟ Γ⎜k + ⎟ ⎜ 1 2⎠ ⎝ 2⎠ λ = ∑⎝ 13 ⎞ 16 k =3 ⎛ Γ⎜k + ⎟ 2⎠ ⎝ ∞

43

Se aplica ahora la fórmula 25-39 (SI) ⎛9⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ τ 1 ⎛ 4, 11 ⎞ λ= −1 ⎜ ⎟ ⎛ 17 ⎞ ⎝ 2 ⎠ 16 Γ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

-3

Esto es, 1 ⎛ 11 ⎞ τ 1−1 ⎜ 4, ⎟ 19305 ⎝ 2 ⎠ 1 j =1 ⎛ 1 ⎞ 1− j ⎛ 9 ⎞ = ∑ ⎜ ⎟ τ ⎜⎝ 4, 2 ⎟⎠ 19305 j =0 ⎝ j ⎠

λ=

-4

=

1 ⎛ 1 ⎛ 9 ⎞ 0 ⎛ 9 ⎞⎞ τ ⎜ 4, ⎟ + τ ⎜ 4, ⎟ ⎟ 19305 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠

1 ⎛3 1⎞ ⎜ + ⎟ 19305 ⎝ 2 4 ⎠ 7 = 77220

=

Por lo tanto, -5

∞

1

7

∑ ( 2k + 3)( 2k + 7 )( 2k + 9 )( 2k + 11) = 77220 k =3

Nota.- El lector debe percatarse de que existen otras opciones a elegir, como método para resolver este problema.Por ejemplo., la fórmula 28-1 puede escribirse en la forma, -6

λ=

1 ∞ ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ∑ ⎜ k + ⎟ β ⎜ 5, k + ⎟ 16.4! k =3 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

En este caso se aplica la fórmula (25-41), obteniéndose, -7

λ=

1 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ 4 β ⎜ 4, ⎟ τ 1−1 ⎜ 4, ⎟ 16.4! ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠

Este resultado es idéntico a 28-4

44

29.- Problema.- Determinar los valores de α para los cuales converge la serie,

( k + 2 )!

∞

∑ α (α + 1) (α + k ) k =0

Determinar además, el valor límite de la serie para cada valor de α . Solución.

( k + 2 )! (α + k ) k = 0 α (α + 1) ∞

29-1

Sea λ = ∑ Luego,

∞

-2

λ = ∑ ( k 2 + 3k + 2 ) β (α , k + 1) k =0

Se observa de inmediato en 29-2 que la serie converge para α > 3 . Para determinar el valor límite se aplica la fórmula 25-44 (SI) -3

λ = τ 2 (α − 1, 0 ) + 3τ 1 (α − 1, 0 ) + 2τ 0 (α − 1, 0 ) 1

1

1

Ahora bien, -4

1 3 2 − + α −1 α − 2 α − 3 1 1 τ 11 (α − 1, 0 ) = − + α −1 α − 2 1 τ 10 (α − 1, 0 ) = α −1

τ 2 (α − 1, 0 ) = 1

Introduciendo estos valores en 29-3 queda, -5

λ=

2 α −3

,

α >3

Esto es, ∞

-6

( k + 2 )!

2

∑ α (α + 1) (α + k ) = α − 3 k =0

45

,

α >3

30.- Problema.- Determinar la condición de convergencia de la serie,

β ( a + b, k + 2 ) β ( b, k + 1) k =0 ∞

∑ Y hallar su valor límite. Solución.30-1

β ( a + b, k + 2 ) 1 ∞ ( k + 1) β (1 + a + b, k + 1) = ∑ ∑ β ( b, k + 1) β ( b, k + 1) a + b k =0 k =0 ∞

=

1 ∞ ∑ ( k + 1)τ b (1 + a + b, k + 1) a + b k =0

Luego,

β ( a + b, k + 2 ) 1 ∞ = ∑ k τ b (1 + a + b, k ) β ( b, k + 1) a + b k =1 k =0 ∞

-2

∑

De la serie del segundo miembro en 30-2 se obtiene la condición de convergencia a > 1, b > 0 . Para hallar el valor límite se aplica la fórmula 25-35 (SI) al segundo miembro de 30-2. -3

β ( a + b, k + 2 ) b 1 τ b ( a,1) = a+b β ( b, k + 1) k =0 ∞

∑

Ahora bien, j =1

-4

⎛1⎞

τ b1 ( a,1) = ∑ ⎜ ⎟ ( −b ) τ 1− j ( a, b + 1) j j

⎝ ⎠ = τ ( a, b + 1) − bτ 0 ( a, b + 1) j =0 1

=

b +1 b a+b − = a − 1 a a ( a − 1)

Por lo tanto, sustituyendo 30-4 en 30-3 queda

β ( a + b, k + 2 ) b , = a ( a − 1) β ( b, k + 1) k =0 ∞

-5

∑

46

a > 1, b > 0

31.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie ∞

1

∑ k ( k + 6 )( k + 10 ) k =1

Solución.Este sencillo problema muestra que es posible elegir vías de solución diferentes de aquellas seguidas en los casos anteriores.31-1

∞

Sea λ = ∑ k =1

1

k ( k + 6 )( k + 10 )

Luego, -2

λ=

⎞ 1 ∞ ⎛ 1 1 − ⎜⎜ ⎟ ∑ 10 k =1 ⎝ k ( k + 6 ) ( k + 6 )( k + 10 ) ⎟⎠

De donde, -3

λ=

1 ∞ 1 1 ∞ 1 − ∑ ∑ 10 k =1 k ( k + 6 ) 10 k =7 k ( k + 4 )

Aplicando ahora las fórmulas 25-13 y 25-14 se tiene, -4

1 6 1 1 10 1 λ= ∑ − ∑ 60 k =1 k 40 k =7 k Esto es,

-5

λ=

2909 100800

32.- Problema.- Determinar la condición de convergencia de la serie, ⎛α + k ⎞ (1 + b + k ) ⎜ ∑ ⎟ k =0 ⎝ α ⎠ ∞

Y hallar su valor límite. Solución.-

47

−1

32-1

⎛α + k ⎞ Sea λ = ∑ (1 + b + k ) ⎜ ⎟ k =0 ⎝ α ⎠ Luego, ∞

−1

∞

-2

λ = ∑ (1 + b + k ) α β (α , k + 1) k =0

De 32-2 se obtiene la condición de convergencia α > 2, b ∈ . Para hallar el valor límite se aplica la fórmula 25-54 (SI) a la serie 32-1 obteniéndose,

λ = α τ 1 (α − 1,1 + b ) ,

-3

−b

α >2

Es necesario ahora distinguir dos casos, b = 0 . En este caso,

-4

λ = α τ 1 (α − 1,1) 0

= α τ 1 (α − 1,1)

= -5

(Def. 7.1)

α

α >2

α −2

b ≠ 0 . En este caso, 32-3 queda, j =1

⎛1⎞

λ = α ∑ ⎜ ⎟ b j τ 1− j (α − 1,1) j

⎝ ⎠ = α (τ (α − 1,1) + bτ 0 (α − 1,1) ) j =0

1

b ⎞ ⎛ 1 =α ⎜ + ⎟ ⎝ α − 2 α −1 ⎠ α αb = + , α − 2 α −1

α >2

Conclusión.-

-6

α ⎧ −1 ⎪⎪ α − 2 si b = 0 ⎛α + k ⎞ (1 + b + k ) ⎜ ∑ ⎟ =⎨ k =0 ⎝ α ⎠ ⎪ α + α b si b ≠ 0 ⎩⎪α − 2 α − 1 En ambos casos debe ser, α > 2 . ∞

48

33.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie, ∞

∑ β (k

2

k =2

− 1, 2 )

Solución.33-1

∞

∞

1 2 k = 2 ( k − 1) k

∑ β ( k 2 − 1, 2 ) = ∑ k =2

2

∞

∞ 1 1 − ∑ 2 2 k =2 k − 1 k =2 k 1 k =2 1 = ∑ + 1 − ζ ( 2) 2 k =1 k 7 = − ζ ( 2) 4 7 π2 = − 4 6

=∑

,

(25-15)

34.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie, ⎛k +4⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ∑ ⎛ k + 10 ⎞ k =1 Γ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ∞

Solución.-

34-1

Este problema parece difícil. Pero esa es sólo su apariencia. En efecto. ⎛k +4⎞ ⎛ k +1⎞ Γ⎜ Γ ⎜1 + ⎟ ⎟ ∞ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ = ⎝ ∑ ∑ k +1⎞ ⎛ k + 10 ⎞ k =1 ⎛ k =1 Γ⎜ Γ⎜3+ ⎟ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ Γ (1) ∞ ⎛ k + 1 ⎞ = ∑τ1 ⎜ 3, 3 ⎟⎠ Γ ( 3) k =1 ⎝ ∞

1 ∞ ⎛ k +1 ⎞ ∑τ1 ⎜1 + 3 , 2 ⎟⎠ 2 k =1 ⎝ 1 ∞ ⎛k +4 ⎞ = ∑τ 1 ⎜ ,2⎟ 2 k =1 ⎝ 3 ⎠

=

49

∞

= 9∑ k =1

1

( k + 4 )( k + 7 )

∞

1 k =5 k ( k + 3)

= 9∑ k =7

1 k =5 k 107 = 70 = 3∑

35.- Problema.- Comprobar la Identidad Armónica P ( p ,1) (τ 0 )( p,1) Hp = ( p − 1)! k= p

1 k =1 k

Para p = 7. Donde H p es el número armónico H p = ∑ Solución.35-1 -2

7 ,1 P ( ) (τ 0 )( 7,1) Sea λ = 6! Probaremos que λ = H 7 7 ,1 Necesitamos primero, determinar los coeficientes del polinomio P ( ) ( x )

Esto es, -3

7, 1 P ( ) ( x ) = ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 )( x + 6 )

= x 6 + 21x 5 + 175 x 4 + 735 x 3 + 1624 x 2 + 1764 x + 720 Luego, -4

7, 1 P ( ) (τ 0 )( 7,1) = (τ 06 + 21τ 05 + 175τ 04 + 735τ 03 + 1624τ 02 + 1764τ 01 + 720τ 00 ) ( 7,1)

= (τ 6 + 21τ 5 + 175τ 4 + 735τ 3 + 1624τ 2 + 1764τ 1 + 720τ 0 ) ( 7,1)

Por lo tanto,

50

-5

λ=

1 6 τ ( 7,1) + 21τ 5 ( 7,1) +175τ 4 ( 7,1) + 735τ 3 ( 7,1) +1624τ 2 ( 7,1) +1764τ 1 ( 7,1) + 720τ 0 ( 7,1) ) ( 720

Para evaluar las funciones τ h ( 7,1) , h = 1,..., 6 es necesario conocer las seis primeras filas del triángulo tau. Es decir, -6

n =1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

1 −1

1

−3

1

2

−1 − 12 7 6 − 15 50 − 60 24 1 −1 31 − 180 390 − 360 120 En cada caso, la fórmula es,

-7

λi i =1 ( 7 − i ) β (1, i ) i =h i.λi

i =h

τ h ( 7,1) = ∑

=∑ i =1

-8 -9

,

h = 1,..., 6

7−i

Donde λ1 , λ2 ,…, λh son los elementos de la h-fila en el triángulo tau. 1 Además, τ 0 ( 7,1) = 7 Aplicando ahora 35-7 se tiene, −1 2.31 3. ( −180 ) 4.390 5. ( −360 ) 6.120 + + + + + 6 5 4 3 2 1 6517 = 30 1 2. ( −15 ) 3. ( 50 ) 4. ( −60 ) 5.24 35 τ 5 ( 7,1) = + + + + = 6 5 4 3 2 3

τ 6 ( 7,1) =

τ 4 ( 7,1) =

−1 2.7 3. ( −12 ) 4.6 49 + + + = 6 5 4 3 30

51

1 2. ( −3) 3.2 7 + = 6 5 4 15 −1 2.1 7 = τ 2 ( 7,1) = + 6 5 30 1 τ 1 ( 7,1) = 6

τ 3 ( 7,1) = +

Introduciendo los valores obtenidos en 35-9 y 35-8 en la fórmula 35-5 queda, -10 λ = 1 ⎛⎜ 6517 + 21.35 + 175.49 + 735.7 + 1624.7 + 1764.1 + 720 ⎞⎟ 720 ⎝ 30 3 30 15 30 60 7 ⎠ 1 ⎛ 720 ⎞ 49 1 = + ⎜ 1764 + ⎟= 720 ⎝ 7 ⎠ 20 7 29 1 87 1 = 1+ + = 1+ + 20 7 60 7 30 20 15 12 10 1 = 1+ + + + + + 60 60 60 60 60 7 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + 2 3 4 5 6 7 = H7

52