Secuencias_didacticas_en_matematica.pdf

Secuencias didácticas ~en matemática ....,..Apuntes para su elaboración Myriam E. Paolone B.

La planificación como herramienta fundamental para elaborar secuencias didácticas en el área de matemática, especialmente en la educación inicial y el primer ciclo de educación primaria.

Planificar la enseñanza es una tarea que puede o no estar provista de sentido, según la finalidad que se le adjudique. Cuando su finalidad se reduce a cumplir con una exigencia administrativa, es posible copiar planificaciones de otros (editoriales, colegas) o bien elaborar las propias para que "estén" por si "alguien" las pide. El uso de estas pliHiificaciones queda librado a las circunstancias. En cambio, cuando la finalidad de esta tarea tiene que ver con la intencionalidad de generar buena enseñanza, la planificación se vuelve una herramienta fundamental para el docente, ya que cumple la misma función que el mapa para el viajero. Constituye una anticipación de la enseñanza, e involucra una toma de decisiones fundamentada.

"Se podría pensar la planificación como una herramienta del maestro, una instancia de reflexión acerca de qué quiere enseñar y cómo vale la pena hacerlo" (Tarasow, 2006).

El trabajo matemático y la planificación

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Desde el enfoque didáctico que propone la escuela francesa de Didáctica de la Matemática, se sostiene que los conocimientos se construyen como herramientas para resolver problemas. Se busca generar un espacio de producción de conocimientos análogo al quehacer matemático: "hacer matemática" "a la manera de los matemáticos'.', es decir, resolviendo problemas. A su vez, estos procesos de resolución son insuficientes para producir por sí mismos el aprendizaje; requieren ser acompañados de la reflexión y el análisis de lo producido para permitir la circulación de los conocimientos y el avance progresivo en su dominio. La forma de pensar la enseñanza, a la vez que supone un modo de concebir el objeto matemático y el proceso de construcción en el alumno, tiene implicancias en las heNOVEDADES EDUCATIVAS• Nº 238 •Octubre 2010

rramientas que se usarán pdra llevarlas a cabo, de las cuales la más ampli'a es la planificación.

Instrumentos para la planificación Las estructuras didácticas' más comunes a las que los docentes suelen recurrir a la hora de planificar son las unidades didácticas y los proyectos. A éstas se han agregado más recientemente las secuencias didácticas. Cada una de estas estructuras tiene sus particularidades, sus ventajas y desventajas. No son excluyentes, sino complementarias entre sí, y pueden ser utilizadas en forma sucesiva o simultánea. Las unidades didácticas tienen como finalidad que los alumnos conozcan un recorte del ambiente, y los contenidos son seleccionados en función de ese recorte. No todos los contenidos ni todas las áreas pueden ser incluidos en una unidad didáctica, ya que en muchos casos su incorporación sería forzada. Los proyectos se proponen la realización de un producto contextualizando los contenidos en torno a él. El propósito del proyecto es explícito para los niños, y los contenidos y las actividades son coherentes y están orientados hacia su consecución. Las secuencias didácticas abordan contenidos específicos; en muchos casos se trata de aquellos contenidos que no pueden ser incluidos en las unidades didácticas o en los proyectos. Nos detendremos a continuación en el análisis de esta estructura didáctica y su valor para la planificación del trabajo matemático.

Las secuencias didácticas Cuando se habla de secuenciar la enseñanza, es posible pensar la idea de "secuencia", por lo menos en dos sentidos. En sentido amplio, es posible referirse a una secuenciación general: qué contenidos se darán antes o después, desde los que se prescriben en los diseños curriculares de las distintas jurisdicciones, hasta los que se Ideas y Recursos

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acuerdan institucionalmente en términos de años escolares o de períodos en un mismo año. Sobre todo en este último aspecto, existe una idea muy arra igada acerca de ir "de lo simple a lo complejo". Sin embargo, resulta difícil considerar un nivel de "simplicidad" en aquellos conocimientos que los alumnos deben adquirir en el área de matemática, tal como la entendemos desde este enfoque, ya que estos objetos de conocimiento son complejos y más bien requieren ser tratados "de lo complejo a lo complejo" : presentados en situaciones donde son usados, avanzando hacia la reflexión acerca de esos usos y a la consideración de sus distintos aspectos. Por ejemplo: en torno al sistema de numeración, "ir de lo simple a lo complejo" conlleva la práctica tradicional de enseñar los números desde el uno, uno tras otro, esperando para llegar a "la decena" y continuando en orden creciente, generalmente abordando una decena por vez. Mientras tanto, los niños suelen dar muestras de conocer otros números más "grandes", pero estos no son tratados en el aula, como si no existieran aún. "Ir de lo complejo a lo complejo" supone acercar a los niños a situaciones donde los números son usados con frecuencia, teniendo en cuenta porciones más amplias de la serie numérica (por ej., para decidir cómo anotar la cantidad de elementos que se han reunido en una colección, o cuál es el colectivo que pasa por la puerta, etc.), remitiéndose a portadores numéricos, propiciando reflexiones acerca de ese objeto de conocimiento y sistematizando algunos de sus aspectos, aun sabiendo que estas sistematizaciones constituyen aproximaciones parciales. Teniendo en cuenta este sentido más amplio del término "secuencia" en el marco del enfoque didáctico mencionado más arriba, podemos mencionar la importancia de prever largos plazos para el tratamiento de los contenidos, volviendo a ellos a lo largo del tiempo desde distintos puntos de vista, con variados problemas que apunten a profundizar cada uno de los aspectos del conocimiento en cuestión. Por otra parte, en un sentido más restringido, se llama "secuencias didácticas" al entrelazamiento de propuestas "de modo tal que cada momento del trabajo constituye un punto de apoyo para el siguiente, y éste a su vez retoma y avanza en algún sentido sobre el anterior". Es decir que el conjunto de actividades que forman parte de una secuencia didáctica guarda una coherencia interna en torno a un contenido específico determinado de antemano, dando posibilidad a los alumnos de trabajar sobre él en más de una oportunidad, revisando sus propios recursos de acción, apropiándose de los utilizados por otros, ajustándolos y/o abandonándolos y reemplazándolos por otros más eficientes o económicos, según las nuevas exigencias que les plantean las situaciones a resolver.

abordan un conten ido desde su especificidad, ant1c1pando el o los aspectos sobre los que se busca profundizar, y definen una cantidad variable de actividades articuladas en torno a estos aspectos. Constituyen una herramienta de planificación complementaria de las anteriores, ya que permiten abordar contenidos que en ellas serían forzados.

Incluyen varios problemas vinculados a él y contemplan la posibilidad de "pasar de nuevo" por el mismo problema, o por diferentes grados de dificultad Seleccionado el contenido que se trabajará, las actividades se articulan para que a lo largo de ellas se produzca un avance. lCómo se busca producir este avance? En ocasiones, el solo hecho de tener una nueva oportunidad de pasar por la actividad, luego de un análisis de lo sucedido en una primera instancia, permite ajustar los procedimientos o encontrar estrategias de resolución que anteriormente no estaban disponibles. Por ejemplo, se encuentra ampliamente difundida la secuencia didáctica "La granja" para trabajar conocimientos espaciales (Saiz, l., 2003). Esta secuencia tiene . como propósito que los alumnos elaboren un lenguaje para comunicar relaciones espaciales, a través de un "dictado" de maquetas. 2 Es muy posible que la primera vez que los alumnos juegan sólo indiquen "poné los caballos, poné la oveja", etc., sin hacer referencia a las relaciones espaciales, lo que tiene como resultado que el otro grupo no consiga armar una maqueta igual. En una instancia de análisis se busca propiciar la reflexión acerca de "qué habría que haber dicho", y empieza a elaborarse el lenguaje espacial que se planteaba como propósito. Jugar otra vez, en este caso, permitirá que los alumnos usen esta nueva herramienta, construida con sentido -pues es la que permite resolver el problema y vayan enriqueciéndola: Por otra parte, además de dar una nueva oportunidad a los niños, ofrece una información muy valiosa para el docente, desde el punto de vista de la evaluación. En otros casos, las actividades son similares, pero los cambios que se introducen son decisivos para provocar la aparición de nuevas estrategias de resolución, pues se basan en la modificación de las variables didácticas de la situación. Se hace referencia a ellas más adelante. Cabe mencionar que, sobre todo cuando los niños son más pequeños o la tarea es demasiado novedosa, es necesario considerar como primer momento la familiarización con el material y la apropiación de la situación, antes de entrar en el problema matemático en sí mismo.

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Desarrollan un contenido específico A diferencia de las unidades didácticas y proyectos, que pueden incluir diferentes contenidos correspondientes a más de un área, las secuencias didácticas

Dan espacio para la aparición de estrategias erróneas o poco económicas Desde este enfoque, los problemas que se presentan a los niños son un recurso para la enseñanza y no solamente una instancia de aplicación. Se ofrecen para ser resueltos desde las posibilidades que los niños tienen, para hacerlas avanzar. Muchas veces, los conocimientos de los niños y los procedimientos que utilizan son erróneos, incompletos, poco eficaces para la situación que se debe resolver. Si se tiende a evitar el error, explicando de antemano la mejor manera de resolver la situación, o si

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Caracterización de las secuencias didácticas

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se esperan únicamente respuestas convencionales, se limita la posibilidad de que estas herramientas matemáticas tengan sentido para los niños. Resulta importante presentar los problemas sabiendo que se cometerán errores, pudiendo inclusive anticipar algunos de ellos, para poder orientar la reflexión a partir de estos. Cuando todos los niños resolvieron exitosamente una situación de entrada, podemos estar seguros de que no hubo problema que condujera a un nuevo aprendizaje, porque los niños ya sabían lo necesario para resolver ese problema en particular. Cuando aparecen errores, significa que ese conocimiento está en proceso de construcción. En el momento en que los niños intenten validar3 lo realizado, el análisis de estos errores ayudará a avanzar. "lQué podríamos haber hecho entonces, en lugar de ... ?" permite pensar en ajustes sobre lo realizado. Cuando todo "sale bien" muchas veces es difícil saber por qué fue así. Cuando existe un error, en general éste pone en evidencia algún aspecto importante del concepto que es necesario explicitar, colaborando así con la construcción del sentido del conocimiento, que se define no sólo por las situaciones que un concepto matemático permite resolver, sino también por todas aquellas donde no es una herramienta eficaz (Charnay, R., 1988). Prevén instancias de sistematización

Como consecuencia de las características anteriores, se hace sumamente necesaria la previsión de uno o más momentos de intercambio, de análisis y sistematización, a lo largo de una secuencia didáctica. Para discutir acerca de los procedimientos, para analizar errores, para introducir un concepto, para ir estableciendo acuerdos acerca de las diferentes maneras de resolver una situación y las que resultan más eficaces y económicas, de acuerdo con el saber cultural y científico -esto último corresponde a la institucionalización-.4 En estas instancias, la intervención docente es de suma importancia para explicitar aquellos aspectos que son relevantes y que interesa que sean apropiados por todos los alumnos. No basta que "lo descubran los chicos", "lo digan ellos", es necesaria la voz del docente retomando y completando lo dicho por los niños, destacando el valor de esos conocimientos. Aparece no sólo lo que "surge" de los niños, sino también lo que desde el comienzo el docente se propuso enseñar, teniendo siempre presente lo provisorio del conocimiento.

representaciones simbólicas, las cuales involucran una serie de conocimientos acerca de sus reglas, por ser convencionales. - El hecho de que fas cantidades sean o no redondas.

Un mismo problema puede ser presentado con cifras "re:dondas" o no, y esto influye en el cálculo, que en el primer caso podría ser "mental" y en el segundo requerirá un mayor nivel de elaboración en el cálculo, "la cuenta" o el uso de la calculadora. - Las características del material utilizado. En los inicios

del aprendizaje del número, por ejemplo, se suelen usar dados. El dado en sí mismo puede constituir una variable, ya que, según sea un dado con puntos del uno al tres, un dado convencional, dos dados, un dado convencional y uno con números escritos, dos dados con números escritos, en cada caso promoverá la aparición de diferentes estrategias de uso: manejando cantidades pequeñas, cantidades hasta seis, reuniendo dos cantidades, utilizando el sobreconteo, calculando. Cabe aclarar que, cuando nos referimos al material, no se trata de graduar la dificultad según éste sea concreto, gráfico, etc., sino que lo que es necesario considerar es el problema que permite plantear en cada caso. Las restricciones o condiciones incluidas en la consigna. Supongamos una situación en la que los niños de-

ben colocar "tantos elementos como" (lugares y fichas, niños y caramelos, etc.). Si se permite cumplir con la consigna en varias vueltas o con el material disponible cerca del niño, la situación puede resolverse mediante una correspondencia uno a uno, sin necesidad de saber cuántos hay. En cambio, si el material está lejos y hay que buscarlo "de una sola vez", será necesario contar para poder traer la cantidad adecuada. La restricción en la cantidad de vueltas es la variable que provoca la necesidad del conocimiento que se quiere enseñar, en este caso, el conteo.

Secuencias didácticas: decisiones del docente La planificación, como decíamos, involucra una serie de decisiones que el docente toma a partir de los fundamentos desde los que aborda la enseñanza. Algunas de esas decisiones, en relación con la planificación de secuencias didácticas, son las siguientes.

Las variables didácticas Selección del problema

Las variables didácticas son aquellos aspectos de la situación que son modificables y pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos (Gálvez, G. 1994), o bien para hacer asequible la resolución por parte de los alumnos que presentan dificultades. Algunos ejemplos de estas variables son:

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El docente puede utilizar contextos de · uso social o contextos "puramente matemáticos". La secuencia didáctica puede estar encuadrada en un juego o en un conjunto de problemas con "enunciado". Lo que le da su carácter particular es el tratamiento de un contenido específico.

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Ideas y Recursos

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- Las cantidades en juego. La magnitud de las cifras uti-

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En primer lugar, el docente va a buscar una situación de partida que sea un buen problema para los alumnos: que tenga una finalidad para ellos, que esté a su alcance y a su vez los desafíe, que permita poner en juego diferentes procedimientos.

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Organización grupal El docente anticipa también el modo de organización grupal más adecuado para cada instancia de la secuencia: individual, en parejas, en pequeños grupos, en trabajo colectivo. El modo de organización puede ir variando en una misma secuencia, y, como dijimos antes, además de los momentos de resolución, que pueden adoptar distintas formas de organización -promoviendo la autonomía y las interacciones entre pares-, es importante considerar las instancias de trabajo colectivo que permitirán la difusión de los conocimientos. Identificación de variables o aspectos del problema que se pueden modificar, por ej.: cantidades en juego, materiales, tipos de representación, condiciones o restricciones, etcétera A partir de la identificación de estas variables y su modificación, se organizará la totalidad de las actividades. Esto no quita que estas se ajusten durante la enseñanza a partir de los emergentes áulicos. Anticipación de procedimientos de los alumnos, posibles intervenciones, posibilidades de validación Estos aspectos, al ser tenidos en cuenta de antemano, brindan una mayor apertura del docente hacia las producciones de sus alumnos (no esperando de entrada producciones convencionales, por ej.) y elementos para interpretarlas e intervenir, sabiendo, por ejemplo, qué tipo de errores pueden producirse. Selección de los aspectos sobre los cuales centrará las discusiones o movilizará las reflexiones de los alumnos No es posible analizar con los alumnos la totalidad de las producciones ni de los errores o aciertos que surgen durante la realización de una actividad, por eso es necesario que el docente prevea sobre qué cuestiones desea hacer hincapié, para seleccionar las producciones más acordes con esas cuestiones. Al mismo tiempo, las conclusiones que se van elaborando son retomadas al comienzo de las siguientes actividades, como punto de apoyo para ellas.

Cuestiones para destacar Para finalizar, se destacan algunas cuestiones.

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- Se aprende a elaborar secuencias didácticas, haciéndolas. Al comienzo tal vez resulta algo pesado y difícil anticipar tantas cuestiones, pero a través de la puesta en práctica no es sólo el niño el que aprende de sus producciones y sus errores, el docente, sin duda, también. Y al decir "el docente" no me refiero al docente en soledad, sino en colaboración con sus colegas.

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- Sería importante que las secuencias didácticas no se conviertan en uno más de los elementos burocráticos con los que hay que cumplir, es decir, que se incluyan secuencias didácticas en la planificación porque "las piden", ya que esto desvirtúa completamente la utilidad de esta herramienta al servicio de la enseñanza de contenidos específicos.

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- A veces, la necesidad de "encuadrar" las propuestas de enseñanza nos hace colocar el acento en los formatos, y en definir si se está trabajando en una unidad didáctica, un proyecto, una secuencia, u otra forma ... Sin restar importancia a este encuadre, pues la planificación es también un instrumento de supervisión de la tarea docente, no se debe olvidar nunca que la enseñanza es siempre mucho más que aquello que está escrito, que en definitiva es un espacio de encuentro, de comunicación de saberes, de placer -aun con esfuerzo y muchas veces por ese esfuerzo-, de crecimiento; y que, se trate de una unidad, un proyecto o una secuencia didáctica, los alumnos siempre deben salir ganando. llll

NOTAS

1. Según Ruth Harf: "Una estructura didáctica contiene y prevé todos los componentes curriculares alrededor de un eje organizador: objetivos, contenidos, actividades, estrategias metodológicas, formas de evaluadón, etc.; que se brindarán en espacios y tiempos definidos". 2. Un grupo "emisor" arma una maqueta y le da instrucciones a un grupo "receptor", que tiene los mismos elementos, para que arme otra · maqueta igual. 3. La validación es el proceso por el cual se decide si los procedimientos usados son correctos o incorrectos y se justifican. Esperamos, desde este enfoque, que la validación esté a cargo de los alumnos. 4. "La consideración 'oficial' del objeto de enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de la institucionalización• (Brousseau, G., 1994, citado en Panizza, M., 2003).

Sharnay; Roland, "Aprender (ppr medio de) la resolución de pro-

·bl~mas•, en Didáctica de matemÓticas. Apartes y" re'iteXíones, Búe, nos Aires, Paidós, 1994. DGCyE,. "ta institución, Ía ensei'ianza y los aprer:rd~izajes". Documento disponible ,en ,http://'!]5c.gov.ar¡llainstitüCion/sister:na edu~atiyo/educacioninicial/detai:iltdm ' . DGCyE, Diseño Cuqfcular para fa Educación Inicial, DGcyE, proÍlín~ia de Buenos Aires/.Íooa. • , " , · • ·: Gálvez, Grecia, "Didacticá d~ matemátiéiÍs", en Didácticu de matemáticas. Aportes y reflexiones, ,~~cita'da. · · .,,. Harf,. Ruth. "La comprensiónde la realidad en el Nivel lnícial"0

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My:iam E. Padlo'ne B. es profesora de pri:Tiero y seg_u';;do ciclo. Licenciada en Psicopedagogía (Universidad Católica Argentina). Especialización en Formación de Formadores (CAEP). Diploma Superior: en ConstructivismÓ y.Educación· (FlACSO). Es maestra de. grado y formadora de docentes. Miembro del Equipo Técnico Regional de Matemática, Nivel Inicial (Peía. Bs. As., Reg. VII).

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