Sears-mecanica-calor-y-sonido (1-100).pdf

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Pág.

ix

1-1. Fiiena. p&g. 3.-1-2. Unidades y 3.-1-3. El kilogramo.~4. 1-4. Representaci6n'p>ifica d e las fiienns. Vectores. 5.-1-5. Componentes de .iin vector. 6.-1-6. Comoosición dc fiierzas. 9.-1-7. Comnosici6ii d e fuerzas mmliantc siis componenfcs rrctangiilares. 12.-1-8. Resultinte de iin sistema \'rctor diferencia. 14.-Problc~mas. 15. d e fuerzas no conciirrentes. 13.-1-9.

CAP. '11.-ESTATICA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2-1. Introduccióii, pag. 16.-2-2. Primera ley d e Newton, 16.-2-3. Tercera ley d r Newton, 18.-2-4. Estriictiiras sencillas, 19.-2-9. Otros ejcniplos de eqiiilibrio, 21.-2-6. Rozamiento, 24.-2-7. Coeficiente de rozamienlo, 24. Problemas, 28.

3-1. Introdiicción. Unidades v patrones d e longitiid, pdq. 32-3-2. hlomento de una fiierm, 33.-3-3: ~ ~ i i i l i b r de i o iin cuerpo sometido a rotaciiin, 35.Hesiiltante de iin conjunto de 3-4. Euuilibrio estable e inestable. 36.-3-5. fuerzas' paralelas, 37.-3-6. Centró de gravedad. 39.-3-7. .Pares. 4-¡.-Problcmas. 48.

CAP. 1V.-MOVIMIENTO

RECTIL~NEO

....................

54

4-1. hlovimiento pdo. .M.+-E. Vector velocidad media y velocidad media sobre In tragectbria. 5 1 . 4 - 3 . \'elocidad i n s t a n t h e a , 5 6 . 4 - 4 . Aceleracien media. 5 8 . 4 - 5 . Aceleración instantfinw 5 9 - 4 6 . hlovimiento rcctilineo tiniformemente acelerado, 6 0 . 4 - 7 . %lo\-ihiento iiniforme, 6 3 . 4 - 8 . Caidi libre de los cuerpos, 6 3 . 4 - 9 . Movimiento con aceleración variable, 67.4-10. Metodos grAficos, 6 9 . 4 - 1 1 . Componentes de la velocidad. Velocidad relativa, 70.-Problemas. 72. 77 5-1. Introdiiccf6n, pág. 77.-5-2. Nasa, 77.-5-3. Segiinda ley de Newton, 78. 5-4. Sistemas de unidades, 81.-5-5. Peso y masa. 83.-5-6. Principio de DS.41embert. 90.-5-7. Densidad. 91.-5-8. Balanza d e brazos iguales utilizada en anblisis, 92.-Problemas. 94. .. -. --

- -

-

6-1. Proyectiles, pdg. 100.-6-2. Movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente, 100.-6-3. Cuerpo lanzado formando un Bngiilo con la horizontal. 103. Problemas, 107. 7-1. Centro de masa. paig. 111.-7-2. Coordenadas del centro de masa, 112.4-3. Aceleración del centro de masa, 116.-7-4. Aceleración en una traslación piira, 121.-Problemas. 124.

VII1.-TRABAJO

Y ENERG~A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S-l. Conser\.acidn de la energia pag. 129.-5-2. Trabajo; 1 3 1 . 4 - 3 . Energia y trabajo, 133.-8-4. ~ n i d a d e s ' d e enerpia. Dimensiones, 1 3 6 . 4 - 5 . Valores Energia potencial d e ' absolutos de las energias potencial y cinetica. 134.-8-6. un resorte alargado 138.-S-;. Trabajo contra las fuerzas de rozamiento, 140. 5-8. Fiierzas conse;vativas y disipativas. 1 4 1 . 4 - 9 . Principio de los trabajos virtiiales, 1 4 5 . 4 - 1 0 . Potencia, 146.-8-11. Potencia y velocidad. 147.-Problemas. 148.

129

-

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ÍNDICEGENERAL

XIV

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...............

CAP. 1 X . - ~ ~ P U L S I ~ N Y CAh'TiDAO DEMOVIMIENTO

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.

154'

9-1. Impulsi6n y cantidad d e movimiento, pan. 154.-9-2. C o n s e ~ a c i 6 nde la caiilidnd de nio\-irnienlo, 157.19-3. Tcrcera lcv de Newton, 158.-94. Choqiir: cl6slicos e incl:isticos. Coeficiriite' de r6stitiición. 159.-9-5. P6ndiilo b;ilislico, 161.-94;. Srprindn Icv de h'ewton, 163.-9-7. blnsn y cncrgia. 164. 9-S. I:irndariieiiloc dc In propiilsióii a cliorro, 167.-Problemns, 169.

CAP. X.->~OVI>IIEKTO

CIRCULAR

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

!

151

TRASLACI~N

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

-

.

.

.

CALOR CAP. XVII1.-TEMPERATURA.

D I L A T A C I ~ K.

. . . . . . . . . . . . . . . '

DE CALOR

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I I
Coelicicntc de lensidn siiperficinl. 378.(Ir contticto, 332.-16-11. .4scciiso capilar eii iin tiibo. 332. 1 1 , 1:'. l:lr liiirl)ii.in~.336.-1G-14. Foriiinci6ii de golas. 33s.-16-1:i. Ten-. i o ' i i \ ~.iivryi:isii])crficialcs, 33s.-I'roblenins. 339.

21-1. Cami>ios de estado. p&. 406.-21-2. Trabajo realizado en iin cambio de roliimen. 409.-21-3. Efecto de las siistancias disueltas sobrc los plintos d r solidificacion y ebullicicin, 412.-21-4. hledida dc los calores de liision y vaporizacion. 413.-Problemas, 413.

221

la ' 1)

. . . . . . . . . . . .

Ilv~iiiirn cstncionario, p
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393

.

\.

23-1. Licuacibn de los gases, pág. 438.-23-2. Efecto de la presi6n sobre los La ecuación de Claiisiiis-Clapuntos de ebullicidn solidificacion 442.-23-3. pevron. 444.-23-4. Humedad, 447.-23-5. La cámara de niebla de \17ilson, 449.-23-6. Superficies termodinAmicas, 450.-13-7. La eciiaci6n de estado 452. de van der Waals, 451.-Problemas. 24-1. Segundo principio de la termodinámica. pág. 455.-24-2. Motor de combustión interna 458.-24-3. hlotor Diesel, 459.-24-4. hfdquina de vapor, 460. 24-5. Ciclo de ~ a r n o t461.-24-6. . MAoiiina friaorifica. 463.-247. Entropia, 464. 24-8. E l principio de alimento de en'tropía, 468.-24-9. La escala absoliita de temperaturas Kelvin,- 471.-Problemas, 472. ......... . . -~ . ....

-

CAP. X X Y . - T E O R ~ A

CIKS~TICADE LOS GASES

I !:

SONIDO 26-1. introduccidn pdg. 491.-26-2. Ondas transversales en una cuerda, 491. Ecuacidn de la onda, 498.-26-5. Ondas 26-3. Series d e ~ A r i e r .497.-26-4. sonoras en un gas, 500.-26-6. Variaciones de presión en una onda sonora, 505. Problemas, 507.

S

1:

382

22-1. Ley de Rovle, pág. 416.-22-2. I.ey de Gay-Lussac, 418.-22-3. Eciiacion de estado de un gas perfecto, 420.-22-4. Energia interna de un gas, 423.22-5. Calores especilicox de un gas, 425.-22-6. Energía interna y calor. 429.22-7. blemas. Procesos 434. adiabfiticos, 430.-22-8. Compresibilidad de un gas, 433.-Pro-

250

1 1 , lo. :\iipiilo

\ \' 1 ~ . - - ~ ~ ~ ~ ~ > ~ Y O VISCOSIDAD D ~ X ~ ~ I ~. C. A.

. ..

Flujo de calor a traves de una pared compuesta, 393.-20->. Flujo calorifico a traves de la envoltiira de iin tubo cilindrico, 387.-20-4. Convccción, 397.-20-5. Radiación, 398.-2ít-6. Ley de Stefan, 400.-20-6. E l emisor ideal, 401.-Problemas, 403.

-

11; 1. 11iirodiicci6n. phg. 317.-16-2. Presión en un fliiido, 317.-16-3.blnnorn<.tro, : i " ~ - 11;-4. Priricipio
367

20-1. Conducci6n pág. 393.-20-2.

( . A ] - .S \ ' . - G R A V I T A C I ~ K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8 1 :,-l. 1.i.y Il!).:15-71. Ynriacioiies l e g, 300.-13-4. Campo gra\'it?torio, 302. I:..:). 1-:iiergia potencial grn~itatorin,308.-18-6. Potcncinl gnvitolorio. 310. 1 :t.;. lloviriiiei~toplanetario, 313.-Problemns, 314. .

.. -. - .

.

CAP. XX.-PROPAQACI~N DEL CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11-1. Intro~liicci0n. p ~ í g . 269.-14-2. Fiiertas rpciipc~ndoraselbsticas. 269. 1 1-:i. I>~.liiiicioiirs,2-0.-14-4. Eciincioiies del niovimieiito armSnico simple. il;i .--1-1-5. Relncionrs rnerpeticns en cl mox-iniiciito arm6nic.o. 279.-14-6. 1 ' ~ ~ i i ~ 1 1 i-inilil<., li~ ?SO.-74-7. Ciirrns dc Liu~ajoiis. ?S'>.-14-8. Jlovirnierito ?riii
-

-

.

19-1. E l calor es una forma de la encrgia, p
12-1. E C I I ~ C ~ Ogenerales IICS del iiiovirnicnto, j~iiq. 221.-12-2. Rod:idtir;i, 228. 12-3. Eje iiiulnntiiieo, 131.-12-4. Jlonirnlo cinctico c impulsihn angiilar. 234. 12-.-). I\rpr<'centnción rt.ctorial de iiiin mnpnitiid angiilnr, 237.-12-6. l>rccesi¿)ii, 235.-12-7. 1 3 giroscopio, 240.-Problemns. 212. c .\l.. X 11 1.-ELASTICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-l. Inlrodiiccion, pan. 250.-13-2. Esfiierzo. 250.-13-3. Deforniacion, 2.52. i:l--l. 3lodiilo el:istico, '33.-13-5. Coeficiciite
.

CAP. );Ir;.-CASTIDAD

11-1. Jloniento de inercia, prin. 207.-11-2. hlomriito de inercia. Caso general. Tcorcnia
S11 . - R o ~ ~ c r ó x Y

-

.

18-1. Tempenlura pág. 367.-18-2. Term6metror, 367.-18-R. I-Zscalas lernioniétricas, 368.-1814. Otros metodos termométricos. 3i0.-18-5. Dilataci6n lincil, 373.-18-6. Dilataciones superficjal y ciibica, 375.-18-7. Esfocrzos de origen térmico. 378.-Problcrnns, 379.

10-1. Introdiirción. l)
(:.% 1,.

xv

ÍNDICE GENERAL

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I

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1

~ N D I C EGENERAL

n 7 1

2

cslrcmoh, .5lj.-27-4. Vibraciones
X);vIII.-ONDAS

SOSOi3AS.

EL O¡DO

. . . . . . . . .

Y LA A U D I C ~ ~ N

-

-

--

526

28-1. IiitciisiilaC.-23-2. Si\-cblde intensidad. El . Rcllcsión dc,!ns oiio de rcvcrbrracion, 541.-28-;. I~vlr;icri0n dis oii
B I B L I O G R ARFE~CAO Z I E S I > A D A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T A ~ L AD SE L O G A R I T b l O S DKCIXIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RAZONES T R I G O N O > I ~ T R I C A SSATU1iALI:S . . . . . . . . . . . . . . . . . S ~ S T E XP~EAR ~ ~ D I C O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLA D E FACTOIIEC D E C O X \ ~ T . R S ~ ~. N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS I M P A R E S D E F I N A L D E CAPITULO ISDICE ALFABETICO D E A U T O R E S Y h l A T E R l h S . . . . . . . . . . . . . . .

549 . 550 552 553 554

555 565 . .

i

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--

-

CAPITULO PRIRIEHO

I

-

.

- .

l

1-1. Fuerza.-La iiircaiiica es la rania de la fisica y de la ingvnieri:~ que se ocupa de las relaciones mutuas entre fuerza, materia y nioviiiiiento. Comenzaremos por el cstudio de las fiici.zas. El terinirio /uerzu se usa en mecanica refiriéndose a lo qiie en el lenguaje ordinario se conoce como fracción o rmpuje. Podemos ejerccr una fuerza sobre iin cuerpo inediante un esfuerzo muscular; un resorte tenso ejerce fuerzas sobre los cuerpos a los que esta sujeto; cl aire comprimido ejerce iina fuerza sobre las paredes del recipiente que lo contiene; una locoiiiolora ejfrcr iina fuerza sobre el tren que está anastrando. E n todos estos ejeinplos, el cuerpo que cjvrcr la fuerza esta en contacto con el cuerpo sobre el cual se ejerce, y las fiierzas de csta clase recibe2 el nombre d e fuerzas de contacto. Existen fuerzas qiie actúan sin contacto, a traves del espacio vacío; se denominan fuerzas de acción a dislnncin. La fuerza d e atracción gravitatoria ejercida por la Tierra sobre iin cucrpo, llamada peso del cuerpo, es, por el momento, la mas importante de Estas. Las fuerzas clectricas y magnéticas son también fuerzas de acción a distancia, pero no nos ocuparemos de ellas por ahora. Todas las fuerzas piieden clasificarse en una de las dos clases citadas, Iiecho que nos result&á posteriormente muy útil cuaiido tengamos que considerar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (leter~iiinado,purs sólo sera necesario observar qué cuerpos-están en contacto con í.1. Así, las únicas fuerzas que actúan sobre un cuerpo son las ejercidas por los cuerpos que están en contacto con-el, jiinto con la fuerza gravitatoria o peso del cuerpo. - L a s fuerzas~que~actuansobre-un -cuerpo dado, ejercidas poratros ciwr--pos, s e consideran como fuerzas exteriores, mientras que las ejercidcs sobre una parte de un cuerpo por otras partes del mismo se denon~inari

1-2. Unidades y patrones.-Los

antiguos filósofos griegos liniilaron

I

t.eológicas. Lo que se conoce con el noiiibre de método cientí/ico Iiizo su aparición en tiempos de Galileo Galilei (1364-1642). Los estudios (le

¡

czianlo recorren en un tiempo dado y con qué rapidez se miieven. La física actual se ha denominado ciencia de la medida, y la importancia de los ~onocimjentoscuantitativos ha sido puesta de manifiesto por lord Kel-

1I

I

6

COMPOSICION DE VHCTOHES

(CAP.

1 -

iiiente la fuerza, puesto que no indicrtráia dirección en la cual está ac: tuando. Se puede escribir 610 K g y 300 por encima de la horizontal, Iiacia la derechav, ó a10 I
~-~po,

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--

COMPUNEN't'ES DE U N

VECt'd14

-i

utilizada para el-vectur da
0Li = OA cos 300.

Las longitudes de O B y O A son ~~ro~~orcionales a los valores de las luerzas que representah. Por consiguiente, la coinponente deseada, O B . medida en kilogramos, es igual a la fuerza dada, OA, en kilo.gramos, inultiplicada por el coseno del Angulo foriiiado por OA y O B . El valni, cle O B es. por tanto, =

10 Kg r 0,860

F,

= 1.' cus ti.

sobre el rj<%, sii coiiil>iincntr igii:il ti la furr7.a iiiism:3 (puesto que cos Oo = 1). cril1ll,oncn[e vertical (Ir iiiia fiierza iiicliiia4i;l puctli. ciicoiitirii-se

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lq) ñi

IF

ir t P IP

OS=

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SEC.

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~ o P ~ + P ds1 ~ 0 2= +52

1-61

COMPOSICION DE FUERZAS

b ) METODODEL TRIÁNGULO.-S~ dibüfa un vector con su origen eii el extremo del otro, como indica la figura 1-11 (la construcción puede

L

comenzarse por cualquier vector) y se completa el triángulo. El lado O(), que completa el triángulo, representa la resultante. La coii-iparacion de las figuras 1-10 y 1-11 demuestra que se obtiene el mismo resiiltado 1)oi. ambos métodos.

=1 1 , 2 ~ ~ .

R

o

El ángulo O puede calcularse tanibién por una de sus razones trigonoinétricas, seno, coseno o tangente. Así,

(4

5 11,2

Fic. 1-12.-E1

cos 0 = l o - 0,893; 11,2 5 Lg 0 = - = 0,500. 10 .

{f*

(t.8

F

.

iP

R'

t

representa la resultante de las fuerzas d a d a s S u longitud, a lamisma escala que la utilizada para las fuerzas dadas, determina la intensidad d e la resultante, y el ángulo 0, su dirección. Puesto que la longitud PS u OQ representa 5 Kg, y la longitud O P representa 10 Kg, la intensidad.de la resiiltante puede calcularse mediante el triángulo rectángulo OPS. Así.

ln

riFa

-

--

[CAP. 1

C O M P O S I C I ~ N DE VECTOHES

lT*

:-

-

-P

Q

Q

R

-o

P (b)

veclnr If c+ la resiiltnnte dc los 8.ectorer I J\ (J.

3 . 0 Caso especial: Las dos fuerzas se encuentran sobre la misma recta. Cuando ambas fuerzas se encuentran sobre la misina recta, el triángulo de la Iigura 1-11 se reduce a un segmento rectilineo. Para poder ver todos los vectores fuerza, es costumbre desplazarlas ligerariiente, coino indica la figura 1-12. Tenemos entonces las figuras 1-12 (a) ó 1-12 (b), según

0 = 26,50 Deducimos, piies, que una sola fuerza de 11,2 Kg, que forine un ángulo de 2 6 , 9 con la horizontal, producirá el mismo -efecto que las dos fuemas; o sea, una horizontal de 10 Kg y una vertical de 5 Kg. Obsérvese que la resultante no es la suma aritmética de 5 K g y 10 Kg; esto es, las dos fuerzas no equivalen a una sola fuerza de 15 Kg.

o

S,'

F16. 1-10.-31~todo

para

del p;inilrlograrno rncontrnr la resultanle de dos \'ectorrs.

FIG. 1-1 l.-.\letodo del - triAtigiilueiicontriir la resultante de dos vect ores.

1,;iili

2 . O Dos Ilicrzas que no forman angulo recto. a) METODO DEL PARALEL.OGRA~IO.-Representemos,en la figura 1-10, por O P y OQ las fuerzas ciiya resultariie se desea. Tracemos desde P una paralela a OQ, y desde Q una paralela a OP, que se cortan en S. El vector OS representa la resulLante R en mzgnitud y dirección. Por ser OPSQ un paralelogramo, este mbtodo se llama melodo del paralelogramo. La magnitud y dirección d e la icsiiltante puede encontrarse efectuando su medida, o calcularse mediante cl triángulo OPS con ayuda de fórmulas trigonométricas.

.

.

-

_

FIG.1-13.-hlhtodo

del poligoiin.

4.0 Mas de dos fuerzas: Método del po1fgono.-Cuando han de coiiipunerse mas de dos fuerzas, se construye primero la resultante de dos cualesquiera d e ellas; después se compone esta resultante con una tercera, y así sucesivamente. El problema esta representado en la figura 1-13, que se refiere a las cuatro fuerzas A , B, C y D, aplicadas simultáneamente eri el punto O. En la figura 1-13 (b), se han compuesto primero las fuerzas A y B por el método del triángulo, dando una resultante E, la fuerza E se compone después, por el mismo procedimiento, con C, dando una resultante F; finalmente, se componen F y D para obtener la resultante R. Evidentemente, no es necesario dibujar los vectores E y F; basta trazar sucesivamente los vectores dados con el origen de cada uno en el extre-

SEC.

origen del primero con el extremo del últinio. La resultante obtenida no depende del orden en el cual se dibujen los vectores, como indica la . . figura 1-13 (c). . .. Se. ha supuesto, en la exposición anterior, que todas las fuerzas se enciientran en el mismo plano. Tales fuerzas se llainan coplanarias y, escepto en unos pocos ejemplos, solainente consideraremos problemas en los que intervienen fuerzas coplanarias. .. 1-7.

Composicián de fuerzas mediante sus componentes rectangulares.

Mientras que el método del poligono es satisfactorio para construir la resultante de un conjunto de fuerzas, presenta inconvenientes para el cálculo, a causa de que, en general, es necesario operar con triángiilos oblicuangulos. Por consiguiente, el método usual para encontrar la resultante de cierto número de fuerzas se basa en descomponer primero todas ellas en sus componentes rectangulares, según un par d e ejes convenientes; segundo, encontrar la suma algébrica de todas las componentes, segun el eje X y segun el eje Y; y, tercero, componer dichas sumas para obtener la resultante final. Este procedimiento permite utilizar únicamente triángulos rectángulos, y recibe el nombre de método de la descomposición rectangular. Coino ejemplo, calculemos la resultante de las cuatro fuerzas de la figura 1-14, que son las mismas consideradas en la figura 1-13.

.. -

-. Las fuerzas es-tan representadas en la figura 1-14 (b), descompuestas .

.

--

-

-.-

FIG; 1-14.

-

- . --

.

..

..

en sus componentes rectangulares según los ejes X e Y. Las fuerzas de 23 I
1

+

+

.

r

1-81

RESULTANTE DE FUERZAS NO CONCURHEN7ES

+ 5,66 Kg. La componen%eX de la fuerza de-20-Kg-es

- .-

. . .-

13 - --

- 20 cos 600 Iig 10 Kg; su componente Y vale 20 sen 600 Kg = 17.3 Kg. La suiiia algebrica de las coiiiponentes, según el eje X , es iina fuerza de (25 + 5,GG - 10) K g = 20,66 Kg hacia la dereclia. La suiiia alg6-

+

-

+

+

cuadrada de la sunia de los cuadrados de las coinponenlcs, según lo\ ejes X e Y [Fig. 1-14 ( c ) ] . El ángulo que forma con el eje X qucda detcrniinado por su tangente. Así:

R=

4 20,662 + 12,962 = 24,4

Kg;

12,96

1-8. Resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes.-La figura 1-15 representa una varilla sobre la que actúan tres fuerzas: Fl, f i , f i . Estas futrzas no estan aplicadas en el iiiisiiio punto, e incluso si se prolongan sus lineas dc acción, coino indican las lineas de trazos, no pasan las tres por un misnio punto. Sin embargo, las t r e s fuerzas tienen upa resultante, en elsent-i* de-que es posible encontrar una sola fuerza que produzca el mis1110 efecto que el producido .por la acción simultanea de las fiierzas dadas. Esta resultante se determina graficaiiiente de la foriiia siguiente: se comienza con dos fuerzas, p. ej., Fi y F2, prolongando sus lineas de acción hasta su intersección (pun- FIG. 1-15.-El
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P f

r

intcrsec~ioa(plinto y) y se llalla la -resultante, -R,-de -R1 y--Fs.-Finaliiiente, se prolonga la linea de acción de R hasta cortar a la varilla en el. punto c. Una única fue]-za, con la ~iiagnitudy dirección de R, aplicada en el punto z de la varilla, producirá el misino- efecto que el sistema dt. fiierzas dado. 1-9. Vector diferencia.-La resultante de dos vectores se llama tariibi6n occior slimn, y la operación de liallar l a resiillante se denomina s u m o de vcclores. En iiiuclios ejcniplos, conio cuando se calculan aceleraciones o velocidades relativas, es necesario restar iin vector cie otro o encontrar su vector difcrencia. Esto se efectúa coiiio sigiic: si A 3- B son los vectores representados en la figiira 1-16 (o), el vectoi diferencia, A - B, puedte\cribii.se A +- (- U ) ; o sea, cs cl vector s i t m n dc los vectores A y - B. El i~cctnropilcsin dc iin \lector dado tienc la iiiisiiiít longitiid qiie dicho vecioi.. y h('lll ido opii<.sto. 1

1-2. üiia caja es eiiipujada sobre el

T

por el metodo gráfico. b) Coinpru6beiise

1

los'resullados calculando las conipoiieiites. 1-3. a) ;Qué intensidad debe teiicr tina fuerza, F, ejercida sobre un bloque,

I

i

ii

.

1

logramos? b) ;Qué iiitciisidad tendrá la romponeiite F,? Póngase a= 200,8 = :VIn. = 600. Resuélvase grdliraniciite. Iiat-irn(lo 2 min 1 1
-

!

1'16.

1-16.-Dos

iiiPIodos de Iialliir el vector diferencia A-B.

E1 iiidotlo 1);i1.;1 11a11ar el vector diferencia está representado en la ligilra 1-16. .-I y B son 10s vcctores dados; el vector B está dibujado d e . iiazos cii la 1igiii.a 1-16 ((1) y el -13, con línea llena. El vector suma de A y -B, es decir, cl vectoi diferencia A - B se lia deteriiiiiiado por la i-qln rli.1 ~~ai~alClogi.aiiio. l'iivtic tüiiibiéii iitilizarse el iiit3odo del triángulo para liallar el vector. diicrcricici: se llevan los vectores A y B a un iiiisnio origen, como en la figiira 1-16 (1)). El ~ c c t o rciiyo origen es el extremo de B y su extremo rl cxtrciiio de -4 representa e1 \.Gfif~difeGncia A - B. Para- comproha1.10 coinpárese la figura 1-16 (b) con el triángulo-rayado de l a - f i y rn 1-16 ((1): o véase, en la figura 1-16 (b), que el vector A puede consitlrraisc coino siiiiia cle B y de ( A - B); esto es: -4 ' = R f (.A - B) (sunla vectorial). El vector difcrencia puede liallarse también por el método d e la desc.oinl~osicióiirectangular. Cada vector .se descompone en suscomponeni(.s i.c
?. .c

1-5. Dos hombres y un muchacho d r sean arrastrar <<'cajón eii la direccióii señalada con X en la figura 1-18.Los dos Iioinlrres empujan con fuerzas Fl y 14.2. cuyas direcciones S magnitudes estan iiidicadas en la figura. Determliiense 1;) direccióii y inagnitud de la fuerza miniiiia que dehc ejercer -el muchacho.

de 1111 veclor signilic:i-algiiiiaspeces la direcciori de la rcctr geometrim dc In cual actúa el \-ector. Los veclores B y - 13 tienen lamisma dirección ~li.iiiigiirii diciendo qiir tirnen senlidos opiiestos.

...

-

.

'7---

-'

el crigcn. u) I-iállc.tise las compoiientes X e Y de cada una cIc las tres fuerzas. Ilagase uso del metodo grhfico, utilizaiido -una escala adeccaaa.3].Mediante la des; composición rectangular hitllese la result a n t e del sistema de fuerzas. c) Calcijlen. % el a magnitud y'dirección de la cuarta Iuerza que debe añadirse para que la resultante- sea nula. Indiquese esta cuarta fiierza mediante un diagrama.

1-9. Hallese, mediaiite el iiiélodo dv .la descomposición rectaiigular; la resiiltiirite del siguiente sistenia de fuerza': 40 Iig, verticalmente hacia abajo; 50 Kg. 530 por encima de la horizontal hacia la derecha; 30 Kg, tiorizontal y hacia la irquierda. Compruébese el resultado obtrnido utilizaiido el metodo del pollgono.

J

SEC.

2-21

P R I M E R A LEY DE NEWTON

-

- -

-

-- -

-

17 -- -

se hace intervenir la resultante de todas las fuerzas ejercidas sobre el

2-1. Introducción.-la iiiccáiiica se basa en tres leyes naturales, deducidas por 1)iiiiiei.a vrz, de un ii-ioclo pi.cciso, por sir Isaac Ne\vtori (1G.13-1727) y ])ubliwtlas cii l6SG cri siis I'hilosophiae Naiuralis Principitl ,lfalhanatica (Losfiindarnenlos rnalernulicos de la ciencia de la Nafuraleza). No debe creeisc, sin cnibargo, que la iiiecánica; como ciencia, coiiienzb con Newton. Bluclios le liabían precedido en estos estudios, siendo, qiiizú el nias deslacédo, Galileo, quien en sus trabajos sobre el ~n~oviiilicnto actmlerado liahía establecido una giaii parte de los fiindariientos utilizados por iiervton p a a la fornid.a.ci0ii de sus tres leyes. En este cal)ítulo sólo utilizareinos dos de las leyes de Newton: la priineia y la tercera. La segunda ley de Ncu-ton sera estudiada en cl capitulo V. 2-2. Primera ley de Newton.-La 1)riiiiera ley de Newton establece que c~randoIin cuerpo está en reposo, o moviéndose con velocidad constantt, sobre una trayectoria rcclilinca, la resultante de todas las. fuerzas ejercidas . sobre él es nula. Las distintas vigas, coluiiinas, tirantes, etc., que forman la estructura de un edificio o de un puente son cuerpos en reposo. Las fuerzas que se ejercen sobre ellos son sus 1)ropios pesos, las ejercidas por otras partes de la estructura y las debidas a cualquier carga que la estructura deba soportar. Pucsto que la resultante de todas estas fuerzas tiene que ser nula, si se conocen algunas de estas fuerzas pueden calcularse las restantes. Por aplicación sucesiva de la primera ley de Newton a los diferentes elementos de una estructura, el ingeniero puede calcular que fuerza lia de soportar cada parte y, por consiguiente, quC resistencia debe tener cada viga, columna o tirante. . - __ . . ~. En ~niÜ~chos-GGsIlas fÜ'erzas sobre un eleiiiq~tode la estructuiii están distribuidas de modo que ha de tenerse tairibién presente el efecto de rotación o monlento de cada fuerza. No tendremos en cuenta esta complicación hasta el próximo capitulo, y en éste considerarenlos unicamente estructuras en las cuales todas las fuerzas pasan por un misriio punto. Asimismo limitaremos nuestro estudio al caso de. Tuerzas coplanarias. Obsérvese que al enunciar la priiiiera iey de Newton se Iian heclio resaltar tres palabras: ala resultante de todas las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo,. Muchas de las dificultades encontradas al aplicar esta ley a problemas concretos se deben a errores cometidos al utilizar la fuerza resultanfe, o al incluir todas las fuerzas, o al emplear las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo. Además, puesto que en la segunda ley de Newton tanibiEn

cuerpo, es en extremo importante aprender a reconocer, tan pronto como sea posible, de un modo preciso cuáles son las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo determinado. Si la resultante de todas las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo es nula. se dice que el cuerpo está en equilibrio. Asi sucede, p. ej., cuando el cuerpo se halla en reposo o moCiéndose en línea recta con velocidad constante. Ambos casos se agrupan bajo la denominación común de problemas dr esláfica. Como consecuencia de lo dicho en el capitulo precedente, las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo en equilibrio deben satisfacer las siguientes condiciones:

;

CX=O,

j

ZY=O.

Estas ecuaciones se denominan, a veces, primera condición de equilibrio. En la resolución de problemas d e este tipo, es esencial dibujar un diagrama cuidadoso, en el cual cada fuerza ejercida sobre un cuerpo esti representada por una flecha. E l procedimiento a seguir consta de los siguientes pasos: primero, hacer un esquema esmerado del aparato o estructura; segundo, elegir el cuerpo que está en equilibrio y, en un esquema aparte, representar todas las fuerzas ejercidas sobre él, lo que se denomina aislar el cuerpo elegido; escribir sobre el diagrama, que sera bastante grande para evitar confusiones, los valores numéricos de todas las fuerzas dadas, ángulos y dimensiones, asignando letras a todas las magnitudes desconocidas. Cuando una estructura T se compone de varias partes, debe 4 construirse un diagrama separado para cada una. Tercero, dibujar un par de ejes perpendiculares e indicar sobre cada diagrama de fuerzas las componentes rectangulares de las fuerzas inclinadas, tachando ligeramente aque. -50 Kg iias fuefzas que han sido-p-descom-puestas. Cuarto, obtener las ecuaciones algébricas o trigonométricas necesarias, deduciéndolas de las condiciones W = SO Kg de que las sumas de las componentes s e a n 10s ejes X e Y tienen que ser F,G, -l.- Fueruis sobre un nulas. suspendido. Para comenzar con un ejemplo sencillo, consideremos el bloque de 50 Kg de la figura 2-1 ( a ) , pendientr d e una cuerda vertical. Sobre el bloque actúan una fuerza de contacto. la fuerza de tracción ejercida hacia arriba por la cuerda, y también una fuerza de acción a distancia, la atracción gravitatoria de la tierra dirigida hacia abajo, o peso del bloque. La figura 2-1 ( b ) es el diagrama de fuerzas del bloque, qut: esta representado por el punto negro. Se ha desig!

...

-

f

t

+

sec. 2-41 -

Sr tiriir:

~

--

EsTHucrtIH~sSENCILLAS

1S

-

~

: :

y puesto que P j, P' son iguales, es también P' = 50 Kg. La tracción hacia abajo (P')sobre-el techo es, pues, igual a la tracción hacia abajo (T') sobre el extremo inferior de la cuerda; es decir, una cuerda sin peso puede transmitir uno fuerza de un &remo a otro sin modificarla.

y > - = '/' - \\':

7' = \i'= 50 I i +

Esto es. iiiediaiite la priiiiera ley (l? Se\vLon, deducinios que la cuerda tira del bloque hacia arriba con iina fuerza igual a la atracción hacia abajo que la Tierra ejerre sobrc t'l. tercera ley de Se.\vton establece 2-3. Tercera ley de Newtan.-La que si un rcirrpo rjerre iinu luersa sobre otro, el segundo ejerce siempre .sobre. cl prirncro olra /uct-a de 10 misma inlcnsidod, pero de sentido opuesto. Est:is fuerzas se driioiiiiiiaii corrieiitciiieote acción y rearcion, por lo que 1:i tercera ley de Se\\.loii se piiede eiiunciar así: Brción y reacción son fuerzas igiiales y opiirslns. Aclarareinos la tercera ley, coiisideraiido d e i i u o o las fiierzas d e la figura 2-1. La fiierza T de dicha figura es una fuerza dirigida Iiacia arriba, vjercida sobrr el bloque por la cuerda. La reacciun a esta fuerza es otra igual dirigida liacia abajo, ejcrcida por el bloque sobre la cuerda, y est5 representada por T' en la figura 2-2, que es el diagrama de fuerzas d e la riierda. Las otras fiierzas que actuan sobre la cuerda son su propio peso m y la fuerza P ejercida hacia arriba sobre ella, en su extremo superior. por el techo. Puesto que la ciierda esta en equilibrio:

I

que ejerce sobre la cuerda. ¿Cual es. entonces, P. es la reacción a W? La fuerza W es la ejercida roawMn s P.a en la rigurp 2-2. por la Tierra sobre el bloque. La reacción a IY tiene que ser igual y opuesta a la fuerza ejercida por la Tierra sobre el bloque; esto es: si la Tierra atrae al bloque con una fuerza de 50 Kg. el bloque también atrae a la Tierra con una fuerza de 50 Kg. Un cuerpo, como la cuerda de la figura 2-2, sometido a tracciones eii sus extremos, se dice que esta en tension. La fuerza ejercida por (o sobre) la cuerda en cualquiera de sus extremos se llama también tensión de la cuerda. Por ahora consideraremos unicamente cuerdas sin peso, en las

, , ?TI es

T,sen300 T ' r i

T.

-. ,& $49

I

\m u.*

60.

9

-

Pero, dado que T' eii la figura 2-2 es la reacción a la fuerza T de la figura 2-1, su intensidad,-ea virtud de- la tercera -ley de-Newton, es d e 50 Kg. S i el peso de la cuerda es de 1 Kg. de la Ec. [2-21 resulta: ..

i l., = 50

30.

Cos 300 T, cos 600

y la tracción del techo sobre la cuerda es Kg

. 2;L.-Fueruis sobre la euerdü nc.i figura 2.1. ~8 f u e m T es la mwi6n a la tuerre T de la f i R i i r n 2-1.

zuales la tensión es la misma en ambos extremos; p. ej., si el peso de la cuerda en la figura 2-2 es nulo. P = T' = 50 Kg, y la tension en la cuer-

Finalmente, puesto que la cuerda tira del techo hacia abajo con una fuerza igual abajo sobre. el techo es de 51 Kg. (P'e n la Fig. 2-3.)

z e - 24. Estructuras sencillas.-La figura 2-4 (a) representa un bloque --.de . .~ 100 K g suspendido de una cuerda vertical, la cual, a su vez, esta atada ..,gderan despreciables los pesos de las cuerdas y se desea calcular la tensihri '

!

. .

l..

ESTATICA

20

[CAP.

2

I

La tensión de la cuerda vertical es evidentemente de 100 Kg. L a s . cuerdas inclinadas no están en contacto con el bloque y, por consiguiente, no-pueden determinarse sus tensiones a partir de un diagrama de las fuerzas ejercidas sobre el bloque. Sin embargo, las tres cuerdas ejercen fuerzas sobre el nudo que las une; por tanto, el nudo puede considerarse como un pequeno cuerpo de peso despreciable que se halla en equilibrio bajo la acción conjunta de las fuerzas ejercidas por las tres cuerdas. En general,

!

tienen un punto común y que satisfacen a la condición de equilibrio,

t II

---

pequeño cuerpo en equilibrio. El diagrama de fuerzas del nudo está representado en la figura 2-4 (b). Aunque las tensiones TIy T2 no se conocen de antemano, debe intentarse dibujarlas aproximadamente a escala. Sabemos que sus componentes horizontales son iguales y opueitas, de modo que, evidentemente, TItiene que ser mayor que T2.No ha de cometerse el error de dibujar los vectores Tiy T2iguales en- longitud a las cuerdas que ejercen dichas fuerzas. Puede verse que la fuerza mayor es la. ejercida por la cuerda inás corta. De las condiciones de equilibrio se deduce:

\t.!E

ZY

i

f

/

:I

L/

1.i 'i:

l

r.3

i !

i 1

i

-

SEC.

2-51-

OTIIOS E.IEMi'LOS

21

DE EQUILIBRIO

extremo libre, se dib-uja comosi fuera una-ti-acción. Para que exista equilibrio ha de verificarse:

El' = T sen 450 - 80 = 0; d e donde

I ' = 113Kg;- C = 8 3 K g .

E n virtud de la tercera ley de Newton, se deduce que el puntal ejerce un empuje sobre la pared, dirigido hacia la izquierda, igual y opuesto a C, y el cable inclinado tira de la pared hacia abajo y hacia la derecha con una fuerza igual y opuesta a T.

T----

-

T cos 450

Tisen 600 + Tzsen 300 - 100 = 0;

TI= 86,6 Kg, Tz= 50 Kg. ,

;

=

1

El techo ejerce sobre las cuerdas, en sus extrémos superiores, fuerzas iguales y opuestas a TIy T p ,las cuales no aparecen en el diagrama, puesto que no son fuerzas ejercidas sobre el cuerpo en cuestión. Un tipo corriente de estructura en el que intervienen compresiones, además dctensiones, es el representado en la figura 2-5 (a). El cuerpo susla tensióndel cable soporte y la ~ ~ ~ r e s del i ópuntal, n cuando se conoce el peso del cuerpo suspendido. En el extremo libre del puntal concurren tres fuerzas, y, en consecuencia, se ha trazado en la figura 2-5 ( b ) un diagrama de fuerzas para

acuerdo con la prime- ley 2-5. Otros ejemplos de equilibrio.-De de Newton, la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula si el cuerpo está en reposo o cuando se mueve en línea recta a velocidad consE n los ejemplos estudiados en la sección anterior se ha .conside--

+%P

vertical, el empuje dirigido hacia afuera del puntal y la tensión del cable inclinado (se desprecian los pesos del puntal y del cable). Cuando la fuerza ejercida por un cuerpo es un empuje en la dirección de su longitud, como en el caso del puntal de la figura 2-5, se dice que el cuerpo que lo ejerce se halla sometido a compresi8n. Es costumbre, en la práctica, dibujar todos los vectores fuerza con sus orígenes en el punto considerado. Por tanto, el vector C, que representa la fuerza ejercida por el puntal en su .

-

-

-

1

SEC.

l.

iier el cuerpo En-'movimiento, asi cómo l a consideracion de las fuerzas de rozamiento, y estudiaremos algunos ejemplos de movimiento rectilineo ron velocidad constante y en ausencia de rozamiento. L a figura 2-6 representa un bloque de peso UI, colocado sobre un plano inclinado sin rozamiento. ¿.Qué fuerza paralela al plano se requiere para iiiover el bloque hacia arriba con velocidad constante?

:

2-51

- - - &Cuales-sen las reacciones a las fuerzas

1

1

= Al - w

cos 0 = O.

Por tanto, si se conocen el peso y el ángulo de inclinación del plano, pucde calcularse la fuerza P mediante la primera ecuación, y el empuje del plano, mediante la segunda. Obsérvese que, puesto que el seno de un ingulo es inferior a la unidad, la fuerza P será siempre menor que el peso del cuerpo. L a razón del peso, que es la fuerza que seria necesaria para levantar el cuerpo verticalmente, a la fuerza P, recibe el nombre (le uenlaja mecanica del plano inclinado.

23

P, N y w de la figura 2-6:'

una fuerza igual y opuesta, ejercida sobre la mano por el bloque, y

'

ES'

.-

P es una fuerza ejercida sobre el bloque por la mano; la reacci6n a P es

Fio. 2-7.-Lar

XX=P-wSeníi=O;

OTHOS EJEMPLOS V E EQUlLlBRlO

S<.

luenar P.N ' , y u' son lar reacciones a las tuenas P. N y de la figura 2-6.

designa por P' en la figura 2-7 (a). La fuerza N es la que ejerce el plano sobre el bloque. La reacción a N, designada por N' en la figura 2-7 (b). es igual y opuesta a N, y es ejercida por el bloque sobre el plano. La fuerza w es la fuerza gravitatoria ejercida sobre el bloque por la Tierra. La reacción a w es una fuerza igual y opuesta, ejercida sobre la Tierra por el bloque, que se ha designado por w' en la figura 2-7 (e) (evidentrmente no dibujada a escala). N

La figura 2-8 es un ejemplo sencillo de un caso frecuente en muchos dispositivos mecAnicos; esto es, el movimiento de dos (o más) cuerpos ligados entre si de alguna manera. En este caso, los dos cuerpos están .. . ligados por una cuerda flexible y sin peso, que pasa por una polea si11 rozamiento. Deseamos calcular el peso del bloque suspendido que bastará para arrastrar el bloque de 50 Kg hacia arriba sobre el plano, coi] velocidad constante, una vez iniciado el movimiento. En todos los problemas d e este tipo, que se refieren al movimiento dr más de un cuerpo, es esencial dibujar un diagrama para cada tino r l q . 'e1los:los dos diagramas de fuerzas estan indicados en las figuras 2-8 ( b i *-.~~

F;;L . , -

28

"

E ~ ~ T A ~ I ~ A

~ C A P .2

>.--;--

I.

-k-~~Dp

29

PROBLEMAS

..

?':

-

-

-

;1

.

-

.

.

.

.-

. ..

':f

p = tg

e,.

'30'

Este resultado proporciona un metodo experimental sencillo para medir coeficielites dinámicos de rozanljento. El coeficiente estálico puede niedirse d e u n modo anhlogo, aumentando lentamente g$.tngulo del. plano hasta que el bloque comience a deslizar. Este Angulo es siempre mayor que nquel para rl cual rl bloque desliza a velocidad constante.

(a)

450

J .

.

(b)

90'

-

IC)

2-1. Un bloque se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. a ) ¿Que dos fuerzas actuan sobre el? b) bQu6 cuer-

es ejercida la reaccinn? I)c.sl)r6ciese la resistencia del aire.

1

pos ejercen cada una de estas fuerzas? c ) iCuAles son las reacciones a las mismas? ción y por que cuerpo es ejercida? Un bloque recibe un empuje paralelo al tablero de una mesa y desliza salicndo fuera del borde del mismo. a)- ¿Que fuerza o fuerzas son ejercid'as sobre 61 mientras cae desde la mesa al suelo? b) ¿Cuál es la reacciitn a cada fuerza; esto es: sobre que cuerpo y por qu6 cuerpo

FIG.2-18.

borizorttabmnte a una cuerda que pasa por una. polea, está sujeta a u n bloq u e d e IW K g apoyado sobre el suelo, según s e muestra en la figura 2-12. a) cuales son la dirección y magnitud de la fuerza aesnltante que ejerce la cuerda so-

10Kg

e = 100 Kg

,

FIG.2-11.

FIG.2-12.

2-3. Un bloque esta e n reposo sobre un plano inclinado. a ) Trácense en un diagrama todas las fuerzas q u e actúan sobre el bloque. b) ¿.Cuál e s la reacci6n a cada una?

7 ,TrT v..y5 W

W

(0)

lb)

..

3m

IoK

*

(bl

90" - - - -- . - - --

C'

60.

.

,

-.

.-

C

'"

fc)

Fro. 2-13.

IC~

FIO.2-15.

da)

(b)

(c)

RO. 2-14.

(d)

es la altura minima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared? b ) ¿En cuantos kilogramos aumentarla la tensi6n del cable si se sujetase 1 d m por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? Despreciese el peso de la viga. 2-9. Una carga de material de construccion que pesa 300 Kg s e eleva desde el suelo, como indica la figura 2-16, para desviarla una distancia horizontal

d a2-5. pendido d e laH&llese unfigura pesola2-13, dtensión e 200 cuando Kg. en cada esta cuersus-

6 m? acercarla de 50 c) cm¿Cuál una hacia será distancia el edificio? entonces horizontal bla ) ¿Y tensión para de

Calcúlese l a tensión en el cable y la .compresión en el puntal de la figu-

de la cuerda que soporta el peso? Se mantiene constante la longitud de la cuerda. 2-10. Hállese la tensión de lacuerdaA

t.

t.. t.

dido sea e n todos los casos de 1000 Kg.

OK

(0)

FIG. 2-19.

e l suelo.ejeree sobre el bloque? d) ¿Cual es la fuerza d e gravitaci6n sobre el bloq u e d e 100 Kg?

2-6.

C

..

F= .

FIG.2-16.

t

figura2-15 puede calcularse la tensión T,

puede soportar la estructura de la figu-

la información dada sea insuficiente, dlgase q& o t r a m a g n i t u d bastaria conocer Para o b t e n e r l a solución. 2-8- E n a viga horizontal de 8 dm de longitud se encuentra empotrada en una

y la máxima compresi6n que puede resistir el puntal, 2000 Kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga.

y e n el o t r o h a y suspendido un peso de 500 Kg.. La viga está sostenjda en su extremo lisre por un cable tenso, sujeto a un p u n t o d e la pared situado en la misma vertical que el extremo empoh d 0 ae 1a barra. a ) Si la tensi6n en este mi puede exceder d e 1000 Kg, ¿cual

zontal lo empujará hacia arriba del plano clinada un angulo de 20° respecto a la horizontal producirá el mismo efecto?

t -

euarri

.o~-z

~3 anbolq jap osorl la sa [en31 (3 ',q X p. sanbolq sol srin anb ~p -lana e l arqos up!rtial c.[ asalnale3 (q 'g h v azqos uanl3e anb sazranj SE! iianb -!pul a n b ( ~ [ e ~ seaeas anb oS!~ald sa "u) sopemdar s-eiuc~Se![,su[>asue.op.% i i o ~ apiia!xa!> 3 anbolq 1 3 .a!~!jzadns F[ h anbalq epe9 w u a oiua!uiezo ~p m!iugii!p aliia!mj uviail -a03

P S'O opira!s '8'1 o c o u n

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RPUJ

:3 anbol
s-!u:

e[ a[> 'el!, u!lsra>alr :=as'? (u :OS'" sa s a i i o l q ~ SO[ l .i cIe3 e l a l m a olua!uiezor al> o~!uieil!p aiiia!>!iao> ja !S 'pn;!Suo[ J V ui b'z a p sarora.\ uoa lez!pap elopu?!aeq ' ~ ~ n l a(, [o u1 o r r aoa!i a n b uo!uic~ un a p asmjoq a!) ni1 J>I 000 esaú a n b e!w eii.3

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/t

ir! sa olu~!iut?zO~ J p oJ!ui?ii!p JlU>!3!1 .a03 la !E 'z¿-z e ~ n S ! e[ j UJ eJ!!lu! Jr aulOn '[nliiozpoq E[ iioa $ ~ [ " a u e i i n opeii!l.' -ti! ouclcl iin x q o i souta~Yo[!q osad ap anbo[q un q q n i czed 'ouuld [ap a!a!jladnr n a[nYiiy u n e u i ~ o anb j 'd ezian) ny ~ a u a iaqap pni!nJcur ? n o ? '12-2 e l u02

s<:z

'"':I i

SEC. ..

.

1 1

!

-

MOMENTO DE UNA FUERZA

De esto se--deduce que

33

-

0,3048006 m. 1 pie ( = 113 yarda) = 30,48006 cm. 1 pulgada ( = 1/12 pie) = 2,5400 cm.

Una aproximación útil, con un error del 1 %, es

3lOR1[ENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD ..

-

3-21

--.

1 pie = 30 cm.

3-1. Introducción. Unidades y patrones de longitud.-Eii cl capitulo 11 sc iiitlicb qiic las fiic.rzns cliie actúaii sobre un clcnicrito de estructura estiiii fi'ccuciitciiieiitc distri1)iiidas de tal modo que h a de teiierse en

trarrestatlo por cl de In lcnsibn de la ciierda -413.Se enciientra qiic el efecto de rotación (Ic iiiin fuerza ali'cdc
-.

-.-..

..

- - .

-

-

Eii los siKtFi¡i;iCiic¡iiCu y inksla Gnidad'd~ioiYgiiu¿les el nietro, y eii' el sistema cgs, el ce111imc.lr.o(1 cm = 1/100 m). El 1n~11.opalrón cs iiiia 1,nrra de platino-iridio, cuya scccióxi transversal ticiic [orina de X. 131 iiiclro t[iic(la defiiiido como la distancia entre dos finos tr;izos Lr:iiisvcrs:tlcs grabados solwe csl:i I~arra.1)iirante muclios años sc utilizb cii los I<sL;i(losCiiitlos, como patróii dc loiigilud. la yardn palrón, i7 cl 1)ic ( ~ i i i i ( l : i t l (Ir longiliid cii el sistciiia iriglCs) se dcfiiiía como la tercera ~):irlctlc la dist;111ci;t~>iiLrcdos trazos marcados en la yarda patrón; ~)cro,1)ar:t e~il:tr 1:i iivccsitl:itl tlc iiiaiilciier (los patrones d c longitud, ciiando iiiio cs suficiciilc, la y:irtla tlc los l<statlos Li~iidosse define aliora . por la relaci0ii -

3600

3937

hlencionaremos aquí que, con objeto de asegurar un patrón de longitud de la mayor permanencia posible, se ha comparado cuidadosamente la lorigitud del metro patrón con la longitud de onda de un color particular de la luz emitida por el vapor de cadmio en una descarga eléctrica. En realidad, pues, la longitud de onda de esta luz es el verdadero patrón de longitud. La equivalencia precisa entre estas dos magnitudes es: 1 m = 1 553 164,13 longitudes de onda.

que una barra rígida 3-2. Momento de una fuerza.-Supongamos uniforme sostenida en su punto medio por la arista sin rozamiento de ana cuchilla, como se indica en la figura 3-3, tiene un peso de 4 Kg suspendido de un punto situado 3 m a la izquierda de la arista de la cuchilla. Es evidente que este peso único producirá la rotación de la barra alrededor d e la arista, en sentido contrario al de las agujas de un reloj. Supongamos que queremos contrarrestar el efecto de rotación del peso de 4 Kg, colgando un peso de 3 Kg de algún punto situado a la derecha de la arista. Puede comprobarse que el peso de 3 Kg tiene que suspenderse a una distancia de la arista mayor que el peso de 4 Kg, y mediante este experimento veríamos que si se colgara exactamente a una distancia de 4 m, la barra quedaria equilibrada. El efecto de rotación de una fuerza alrededor de un eje depende, pues, de algo más que de la intensidad de la fuerza. Experimentos tales como el descrito indican que la efectividad de una fuerza para producir efectos de rotación alrededor de un eje queda - -- determinada por el producto de la fuerza por la distancia del-eje a la ünea d e acción de la misma. Esta distancia recibe el nombre de brazo dr palanca o brazo de momento de la fuerza. Asi, el brazo de momento del peso de 3 Kg en la figura 3-3 es 4 m, y el del peso de 4 Kg, 3 m. E l producto de una f u e r ~ apor su brazo de momento recibe el nombre 4 KP Fie. 3-3. de momento de la fuerza. Representaremos el momento por la letra griega T (tau). Si las fuerzas se expresan en kilogramos y las distancias en metros, la unidad de momento es el kilogramo-metro. Un kilogramo-metro es el momento producido por una fuerza de un kilogramo a una distancia de un metro del eje. Asi, el momento debido a la fuerza de 3 Kg dc la figti-

mg

34

MOMENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD

(CAP.

3

SEC.

a

ra 3-3 es 3 x 4 = 12 Kg-m en el sentido de las agujas de un reloj, y el de la fuerza de 4 Kg es 12 Kg-m en sentido contrario al anterior. E n ocasiones se usarán otras unidades, tales como gramo-centimetro, kilograrno.. centímetro, etc.

-

La figura 3-4 representa una barra que gira alrededor de un eje O perpendicular al plano de la figura. Los vectores P1, Pz,etc., indican varias direcciones, en las cuales puede ejercerse la fuerza P sobre la barra en el punto. a. Resulta evidente b' por experiencia que la fuerza será mas efectiva para producir \ rotaci6n alrededor del eje si sil \ \ dirección es la Pa. Sera menos

-

FV=/,;~ . p.

yefectiva P4, y si su en dirección las direcciones es la de P,. 13 no se producirá rotación alrcbdedor del eje, aunque la distaii-

P3

'./

ejemplos, debido a que Oa no 1,s el brazo de palanca para todas ]as fuenas. El brazo de mornenrededor de un eje qiie pasa por O es el prw t o se define como la dislancia dueto de la fuerza por su brazo de palanca. desde e2 eje a la linea de accidn de (a fuerza. La linea de acción de una fuerza se obtiene prolongando el vector fuerza en ambas direcciones, y el brazo de momento es la distancia

3-3. Equilibrio de un cuerpo sometido a rotación.-Cuando un cierto riúmero de fuerzas coplanarias actúan sobre un cuerpo que puede girar alrededor de un eje, el momento resultante ejercido sobre el cuerpo es la suma algébrica de los momentos debidos cada una de las fuerzas. Para formar esta suma algébrica se consideran positivos los momentos de un cierto sentido (p. ej., los del mismo sentid6 que el giro de las agujas d e un reloj); los de sentido opuesto son negativos. Si el momento resultante es nulo, tenemos par2 el movimiento de rotación un enunciado análogo al de la primera ley de Newton; esto es, si el cuerpo está ya en movimiento d e rotación, continúa girando uniformemente; si esta en reposo, continúa en reposo. E n ambos casos el cuerpo tiene equilibradas sus rotaciones; por consiguiente, para el equilibrio completo de un cuerpo, incluyendo las rotaciones, deben satisfacerse las siguientes condiciones: ~

-

Estas ecuaciones constitdyen las tres condiciones de equilibrio. La segunda ecuación puede utilizarse para calcular la fuerza vertical ejercida hacia arriba por el pivote sobre la barra de la figura 3-3. Si esta fuerza vertical está representada por P en la figura 3-6, y si el peso de la .- .

-

.

---

-

- --

El'

= o;-.

fl 4 t*

a.

P, cos e

t n iin cJe que pasa por O es Oa X

P t

sen

8.

4

K~

Fio. 3-6.

-

.

.

P-4-3=0;

P = 7-Kg.

O

35

EQUII.Ii3RIO DE 11s CUERPO SOMETIDO A ROTACIÓN

E n la figura 3-5 está-represenbdo otro punto de vista que puede adoptarse, y que es a veces más conveniente. La fuerza P2 se ha descompuesto en sus componentrs rectangulares, PZsen 8 y P2 cos 8. Puesto que la línea de acción de P2 cos 8 pasa por 0, esta componente no tiene momento respecto a O. El brazo de palanca de la componente P2 sen 8 es la dis-

Aunque las unidades de fuerza en los sistemas mks y cgs no han sido descritas todavía, podemos citar aquí, como complemento, que la unidad cgs de momento cs la dina-centfmetro, y la unidad mks es el neaton-metro.

O

3:3]

-

E n la disposición particular indicada en las figuras 3-3 y 3-6, parece más natural calcular los momentos respecto a un eje que pase por el pivote O. Pero dado que la barra no gira, podíamos también haber establecido que no gira alrededor de un eje que pasa por su extremo derecho, o por su extremo izquierdo, o por un punto cualquiera. Puede esperarse entonces que los momentos, en el sentido de las agujas de un reloj y los de sentido contrario, de las fuerzas que actúan sobre la barra sean iguales, cualquiera que sea el punto en el cual consideremos situado el pivote. - Para demostrar que, en efecto, sucede así, calculemos los momentos respectoa un eje que pasa por el punto en que se encuentra sujeto el peso

- -

-

SEC.

de 4 Kg. El mo-meiito-de la fuerza d e 4 K g e s a h o t a nulo, puesto que su brazo de palanca respecto al nuevo eje es nulo. El momento de la fuerza de 7 K g es 7 x 3 = 21 Kg-m, en sentido contrario a l de las agujas de un reloj, y el momento de la fuerza de 3 K g es 3 x 7 = 21 Kg-m, en el sentido de las aguja> del reloj. Los momentos-soñ,-'por tanto, iguales y opuestos si consideramos que el eje pasa a través de este punto, y puede demostrarse que se obtendría el mismo resultado para cualquier otro punto. Como ejercici~,calcúlense los momentos de las fuerzas respecto a un eje situado 1 m a la izquieyda del punto O, y demuéstrese que ambos están en equilibrio.

3-51

RESULTANTE D E UN CONJUNTO D E FUERZAS PARALELAS

.

37 --

una generatriz-y sobre una superficie horizontal, está en equilibrio indiferente. 3-5. Resultante de un conjunto de fuerzas paralelas.-La resultante de dos (o más) fuerzas se ha definido como la fuerza única que, actuando sola, produce el mismo efecto que el de sus componentes cuando actúan simultáneamente. En el capítulo primero se han explicado los métodos de hallar la resultante de un cierto número de fuerzas concurrentes; pero si las fuerzas son paralelas, sus líneas de acción no se cortan y estos métodos no tienen aplicación. La figura 3-8 remeseda una u barra que gira alrededor de O y sobre la cual actúan las fuerzas para¡elas Fl y Fz, situadas a distancias xl y x2 de un eje que pasa las fuerzas paralelas FL y F,.

FIG.3-7.-(a)

equilibrio estable; (b). inestable.

parte superior de la figura 3-4 Equilibrio estable e inestable.-la 3-7 ( a ) representa una vista de una barra que descansa sobre una superficie horizontal lisa y que puede girar alrededor del extremo O. Se supone una fuerza F ejercida sobre el otro extremo de la barra, como se indica en la figura. La figura 3-7 ( b ) rwresenta el mismo caso, excepto que la fuerza F tiene sentido opuesto. Tanto si la fuerza actúa hacia la derecha o liacia la izquierda, su .momento respecto al pivote es nulo y la barra esta en equilibrio. Sin embargo, los dos casos difieren en lo siguiente: si o se-indica en se da a la barra un pequeño d e ~ p l a z a ~ i e n tangular,-comola parte inferior de cada figura, y la fuerza F permanece paralela a su dirección primitiva, actúa alrededor del eje un momento igual a F x Oa. Resulta evidenteen las -figuras que si-la fuerza-está dirigida hacia- la de-recha, como en ( a ) , el momento tiende a hacer que la barra recupere su posición inicial, mientras que si la fuerza estádirigida hacia la izquierda, como en (b), el efecto del momento aumenta mas todavía el desplazamiento. En el primer caso se dice que el equilibrio es estable, y en el segundo, inestable, y, en general, podemos decir: Cuando u n cuerpo sometido a rotación está en equilibrio, éste es esiable si un pequeño desplazamiento origina u n momento que iiende a hacerle recuperar su posición de equilibrio, e inestable si un pequeño desplazamiento origina un momento que iiende a aumentar. dicho desplazamiento. Si el momento sigue siendo nulo cuando el cuerpo se ha desplazado, el equilibrio es indiferente. Un cono de revolución colocado sobre su base esta en equilibrio estable; apoyado sobre su vértice, su equilibrio es inestable; si descansa en

que ambas fuerzas tienen la misma dirección, la intensidad de su resultante R tiene que ser igual a su suma algebrica: R = Fl F2.

+

El efecto de Fi y F2en este ejemplo es hacer girar la barra alrededor de O, y, puesto que la resultante ha de producir el mismo efecto que sus com-

ponentes, la línea de acción de aquella tiene que encontrarse en una posición tal que el momento de la resultante respecto a O sea iguil a la 'suma algébrica de los momentos de las componentes; esto es, la iínea de acción de la resultante R tiene que estar a una distancia x del eje, tal que

-

Rz = Fixl o, puesto que R = FI

+ Fs2;

Desarrollando y reduciendo, se encuentra:

Fia = Fzb, - o bien:

'

1 1

- .*"-C.

SEC.

'

F

kl ir 1

P*\

1,

/ b

1%

1 Iir I NI 1 1% 1 1

1

h

1

LP

1

1i 1

Iri

.3

.-

Esto es& linea de-acción de la resultante de dos fuerzas paralelas del mismo sentido divide a la distancia entre las fuerzas en dos partes que son inversamente proporcionales a las intensidades de las-mismas. acción de la resultante es independiente del punto en el cual se encuentra sujeta la barra, incluso si no se encuentra fija a ninguno. Esto es, si suprimiéramos el pivote de la barra en la figura 3-8, el efecto combinado de Fi y F2 originaria sobre la barra en conjunto un movimiento hacia abajo, y, al mismo tiempo, una rotación en el sentido de las agujas de un reloj. La fiierza única R, colocada en la posición x, produciria exactainente el mismo efecto. Este procedimiento ~ Ú e d egeneralizarse evidentementé a un número cualquiera de fuerzas paralelas. Las expresiones generales de la intensidad de la resultante y de la posición de su línea de acción se convierten en R =ZF, [3-41 CFX x=[3-51 CF '

-

39

(+2)x

dad EJEMPLO.-Determitiense y linea de acci6n de lalaresultante intenside las tres fuerzas de la figura 3-9. Tomaremos primero un eje que pase por e1 punto O, y c?onsideraremos como fuer/as positivas las dirigidas hacia amba, y como distancias positivas las que se encuen-

(O)+(-1O)x

=

-

$1

,,Y

--- = CF

-8

=

+2-10+3

+ 1,6 m

! las tres fuerzas son equivalentes a una fuerza dirigida hacia abajo de 5 Kg, cuya

lirica de acción esta 1,6 m a la derecha de O.

-

P, (+5)+(+3)x

(+Y)

+2-10+3

y la línea de acci6n esta 4,6 m a la derecha de P. lo cual equivale a 1,6 m a la derecha

.

-

peso de un cuerpo se define como la 3-6. Centro de gravedad.-El fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra sobre él. Ahora bien: ata atracción gravitatoria no es simplemente una fuerza ejercida sobre el cuerpo como conjunto. Cada pequeño elemento del cuerpo es atraído por la Tierra, y la fuerza llamada peso del cuerpo es, en realidad, la resultante de todas estas pequeñas fuerzas paralelas. Su intensidad y la posición de su iínea de acción pueden calcularse por los métodos explicados en la sección precedente. La dirección de la fuerza gravitatoria sobre cada elemento de un cuerpo está dirigida verticalmente hacia abajo y, por tanto, la dirección de la resultante es también vertical y dirigida hacia abajo, independientemente de la orientación del cuerpo. Sin embargo, la linea de acción de la resultante ocupará una posición diferente respecto al cuerpo cuando varíe la orientación de éste (véase la Fig. 3-10). No obstante, se encuentra que, sea cual fuere la orientación del cuerpo, existe siempre un punto fijo por el cual pasan todas estas lineas de acción. Este punto recibe el nombre d e centro de gravedad del cuerpo, y su posición se indica en la figura 3-10 (d), en la cual se han dibujado las lineas de acción del peso en las tres orientaciones previas indicadas. El

-

-

p q---b q& w

FIG.3-10.- La llnea de acci6n del peso pasa por

1 g,

1

-

-

3-61

-si el eje se toma pasar do por el punto

2lF*

10 K g

1 8

-

siendo C F la suma algébrica de las intensidades de las fuerzas, y Z F x la suma algébrica de los momentos. La posición de la línea de acción de la resultante no depende de la posición del eje, el cual puede hacerse pasar por cualquier punto conveniente. Cuando se aplican estas ecuaciones, cualquier criterio de signos que haya sido adoptado para las fuerzas F y las distancias x, ha de utilizarse 6onsecuentemente. El signo algébrico de cada producto Fx queda determinado por los signos de sus factores.

1 i$ 1

-

C__

h

1

-

"

el centro de gravedad

peso del cuerpo puede considerarse, pues, como una sola fuerza cuyo punto de aplicación es el centro de gravedad, aunque en realidad el punto de aplicación carece de importancia. Todo lo que se puede decir es que la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad. El centro de gravedad de cualquier número de cuerpos que tienen SUS propios centros de gravedad en posiciones conocidas puede determinarse como sigue: el centro d e gravedad de dos cuerpos cualesquiera se

:. ..

-

. .. . . ..-.

+."...,,

:<*--.-.---y*:, ..,,,

40

MOMENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD

[CAP. ..

..

-

cia inmediata del hecho de. que si los cuerpos se colocan con sus centros de gravedad sobre una misma .%vertical como en la figura 3-1 1 (a), ambos ., -

i I

I

*.,.y

.

3 -.

-

:

, .

SS.

3-61

41

CENTRO DE GRAVEDAD

t

, 1. t C

&ion del peso combinado, y, por consiguiente, la abscisa del centro de gravedad, es .

. .

'

x=

+ w2 + ...

Wl

Cw '

13-61

siendo 2 la abscisa del centro de gravedad, y si,zz,etc., las abscisas de los diversos pesos. Análogamente, la ordenada del centro de gravedad es Cwy y = Cw EJEMPLO.-H&~~~S~ la posición del c e n t r o de gravedad de los tres pesos de la figura 3-12 por el metodo general expuesto anteriormente. Se dibujan dos ejes rectangulares convenientes, como los de la figura 3-13:

-

wi = 4 Kg,

z i=

wa = 16 Kg,

za = 2 m.

Cwz

Y1 =

0,

O,

y3 = 3 m,

+ (16 x

(4 x

O) $ (4 x 4) 4+4+16

Cw

2)

cuyo resultado coincide con el obtenido anteriormente.

-

16 ~g

:.

c., ¿ - * -

- ---

.

2m

-m -'

-

-.

.

a

-

4 Kfi

-

.

- --

.-

-

$ I

1

4 I

r;

j

il

i1 t

f

!

1

4,

i

con el peso de 16 Kg, el centro de gravedad se halla en un punto situado 1 m por debajo del peso de 16 Kg. g el conjunto equivale a un solo peso de 24 Kg, colocado en ..

.

Un método más general consiste en dibujar un par de ejes, X e Y; determinar la posición del centro de gravedad de cada peso por sus coordenadas x e y, e imaginar que la atracción gravitatoria es paralela primero al eje Y, y después, al eje X. En el primer caso, la abscisa de la línea de d..,

; t

9

-Ej~mP~o:-DeterrniñZSe- l a posici6n del centro d e gravedad de los tres pesos de la figura 3-12.

'-

E1 centro d e gravedad de los dos pesos d e 4 Kg se encuentra en a, punto medio del segmento que determinan; esto es, pueden

FIC. 3-12.

'0

mente prcporcionales a sus dos pesos. Ambos cuerpos pueden reemplazarse por un solo cuerpo cuyo centro de gravedad este en ese punto, y cuyo peso sea igual a la suma de los pesos d e los dos cuerpos. Este cuerpo ficticio puede combinarse a continuación con u n tercero, y asi sucesivamente.

-

1-- - -

FIG. 3-14.-Determinacl6n

FIG.3-13.

de la posici6n

Para .determinar el centro de gravedad de un cuerpo plano de forma cualquiera, cabe imaginarlo dividido en elementos infinitesimales de peso dm, sustituyendo por integrales las sumas que figuran en las Ecs. [3-61 y [3-71; esto es:

-

r

Jdw

x =-

;

Y

r

J ydw =

r

I

?

t

42

MOMI:N'VS.

I<:AP.

CENTHO 1)E G H A V E D A D

3

El peso de un elemento de Volumen-puede expresarse como productode su peso por unidad de volumen, d peso específico, por su volumen d V . Si p representa el peso especifico, se tiene para la Ec. [3-81: -

Jxpdv

J x d ~

= --- --

lpdv

;

J ~ Y

y=-

SEC. .

- -

.

3-61

.- .. .. horizontal dédicha %-, y iomponerlas dcspuds &a encontrar su.resultante. E n fa figura 3-15 ( b ) se designan dichas componentes con las letras H y V. Descompongamos tambikn del modo indicado la tensión T en dos componentes. De las tres condidones de equilibri o...se deduce:

CY = Tsen450+ V

Jydv *

Id\'

El calculo de las coordenadas de los centros de gravedad constituye un excelente ejercicio de integración. Puesto que tales calculos forman la base de muchos de los problemas propuestos en los cursos de cálculo integral 1, no nos ocuparemos aquí más de este asunto. Desde el punto de vista físico lo que importa es recordar que el peso de un cuerpo es la resultante de un sistema infinito de fuerzas infinitesimales, y que su línea de acción pasa siempre por el centro de gravedad, cualquiera que sea la posición del cuerpo. En tanto que las expresiones de las coordenadas del centro de graveda6 son sencillas, el calculo efectivo de las integrales puede ser difícil, cuando no imposible, salvo en los casos en que la forma del cuerpo es muy sencilla. La posición del centro de gravedad de un cuerpo de forma complicada se determina mejor experimentalmente,. basándose en el hecho de que un cuerpo pivotado sólo se encuentra en equilibrio estable cuando su centro de gravedad esth en la misma vertical que pasa por el pivote y debajo de el. Haciendo que un cuerpo pivote sucesivamente sobre dos-puntos, -~ -.. pueden determirFarse dos iectas en cuya intersección-debe encontrarse-ercentro de gravedad. La figura 3-14 aclara este método aplicado a un cuerpo plano de forma irregular. EJEMPLO 1.4alciilese la tensión del cable de la figura 3-15, si el puntal pesa 40 K g y su centro de gravedad se encuentra en su punto medio. Calcúlese también la fuerza ejercida sobre el puntal en su punto de apoyo contra la pared. NOTA.-El dispositivo es el mismo de la figura 2-5, excepto que, en este caso, se tiene en cuenta el peso del puntal. Consideremos el puntal aisladamente, e indiquemos todas las fuerzas ejercidas sobre 61, como se hace en la figura 3-15 (b). Se desconoce, en magnitud y dirección, la fuerza ejercida por la pared; pero, en lugar de considerar como desconocidos una fuerza y un hngulo, es mas sencillo suponer desconocidas las componenles vertical y 1 V h s e THOW: Cálculo infinitesimal y gcometrfa unalfliua. Aguilar. S. A de Ediciones. Mndrld, 1958.

- 40 - 80 = 0;

EX = H - T cos 450 = 0; CT = (80 x 8) + (40 x 4)

13-91

Si el espesor del cuerpo es uniforme, el volumen de cada elemento será igual a su área, d A , multiplicada por la altura i; es decir:

43

CENTRODEGRAVEDAD

- (T sen 450 x

8) = 0,

donde los momentos se h a n calculado respecto a un eje que pasa por el punto O. La resolución del sistema de ecuaciones da: T = 141 Kg. V = 20 Kg, H = 100 Kg. 4

-

EJEMPLO 2.-En el capitulo 11 se estudiaron algunos ejemplos en los cuales se arrastraba un cuerpo sobre una superficie Bspera, considerando para mayor sencillez que todas las fuerzas se cortaban en su centro. Ahora estamos e n condicio90 cm-90 cm neS d e tener en cuenta las verdaderas I h e a s de acci6n de las fuerzas que actúan dichos casos,la-.figura -6. .. .. - - . . - . c.9. -. ... . . representa una mesa arrastrada hacia la derecha, con velocidad constante, N, . por una fuhorizontal P. El centro NM* PN, de gravedad equidista de las patas delanteras y traseras. N1 y N2 son las reacciones verticales y dirigidas hacia a m b a ejercidas sobre las patas, y yNi

+

-+

v

FIG.3-16.

De las tres condiciones d e equilibrio se deduce:

44 -

MOMENTOS. CENTRO D E GRAVEDAD

[CAP.

3

donde los momentos se han calculado respecto a un eje que pasa por los puntos d e contacto de las patas delanteras y el suelo. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se encuentra: Ni = 56 Kg. %' \A = 24 Kg, P = 32 Kg.

SEC.

3-61 .-.- -

-CENTRO

DEGRAVEDAD

45

intmnas cuando fa estructura-se considera~comoun todo. Tomemos~momentosrespecto a un eje que pasa por A. Se tiene: CTA= O; . (50 x 0,9) (30 x 2,7) - (Vz x 3.6) = O; V2 = 35 Kg.

+

tomando momentos respecto a un eje que pase por B . De C Y = 0, resulta: .

Vi = 45 Kg. De CsB = 0, obtiene:

(VI x 3,6)

- (50

-

x 2,7) (30 x 0 3 ) = 0; Vi = 45 Kg.

Aislemos ahora el par izquierdo de la cercha, según se indica en la figura 3-17 (c). Supongamos que la fuerza que ejerce sobre 61 en el punto C el par de la derecha tiene por componentes H3 y V3. Debemos llamar la atención sobre un punto importante: No es evidente si la componente horizontal H3 es hacia la derecha o hacia la izquierda, ni tampoco si la componente vertical 1 ' 3 esta dirigida hacia arriba o hacia abajo. No obstante, no es necesario conocer de antemano el sentido de estas fuerzas. Se supone uno cualquiera de los dos posibles, y se resuelve el problema en esta hipdtesis. La magnitud correcta de la componente se obtiene con cualquiera de ambas hipótesis. Si el sentido supuesto era el correcto, el signo algebraico de la respuesta ser4 positivo; si es el contrario, el signo ser4 negativo. Las condiciones de equilibrio conducen al sistema de ecuaciones:

donde los momentos están calculados respecto al punto C. . -

-

.

- E J ~ W L3.-La O figura 3-17representaün-tipo-müi comente.de estructura den& minada cercha. 'Cada par pesa 30 IZg, y su centro de gravedad estgen su punto medio. Un peso de 20 Kg pende del centro de uno de los pares. Se desea conocer la fuerza vertical en el extremo inferior de cada uno de los pares, la tensi6n en el tirante, y la fuerza ejercida por cada par sobre el otro en el vdrtice (caballete) de la armadura. La cercha descansa sobre una superficie sin rozamiento, de forma que las fuerzas en los extremos inferiores de los pares son verticales. Este problcma es analogo a los resueltos en el capftulo 11, donde se consideraba mAs de un cuerpo y se deseaban calcular las fuerzas ejercidas por una parte del sistema sobre otra. Lo mismo que allí, sólo puede obtenerse una soluci6n completa aislando cada parle del sistema. El primer paso en la resoluci6n de problemas analogos a este, consiste de ordinario en considerar el sistema como un todo antes de aislar sus distintas partes. El diagrama de fuerzas para todo el sistema se muestra en la figura 3-17 ( b ) . La tensibn en el tirante y las fuerzas en el caballete no aparecen en esta figura porque son fuerzas

De las Ecs. [3-ll] obtenemos:

Esto es, las fuerzas T y Va se supusieron con el sentido correcto, pero la Ha es una fuerza de 24 Kg, dirigida- h a d a la izquierda en la figura 3-17 (e). y hacia la derecha en la figu-

- GY"

-

-

47

.

SS~G.3-71

--

- I;aínerza resultante; R, ejercida sobre el pie de ia-escalera est4 indicada en la figiica 3-17 A (b). Evidentemente:

'I_

PARES

R =

4 402 + 152 = 42,7 Kg;

-"

EJEMPLO4.-una escalera uniiorme de 6 -m. de longitud y 40 Kg de peso esta apoyada con:ra una pared vertical sin rozamiento, con su extremo inferior a 3,6 m del pie de la pared. Calcúlense las direcciones y magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre cada uno de los extremos de la escalera. Por carecer de rozamiento la pared vertical, la fuerza ejercida por ella sobre la escalera no tiene componente vertical; por consiguiente, la fuerza sobre el .extremo

Obs&vese atentamente que en ninguno de los extremos de la escalera'coincide la m c i ó n de la fuerza con la de la escalera. E n el extremo superior la fuerza es horiu>ntai; en el inferior la fuerza resultante forma un Angulo de 690 30' por encima d e La horizontal, mientras que el ángulo 9 de la escalera es sólo de 530. En'h figura 3-17 A (e) las fuerzas que actúan sobre la escalera se han trasladado. corno en la figura 1-15, para determinar su resultante. El lector puede verificar f4cilmente que las lineas de acción de las tres fuerzas pasan por un mismo punto y que su resultante es nula, según debe suceder para que haya equilibrio.

3-7. Pares.-Un caso importante, relacionado con las fuerzas paralelas, se presenta cuando un cuerpo esta sometido a dos fuerzas de igual intensidad, pero de sentido opuesto, y cuyas lineas de acción son paralelas. Tales fuerzas constituyen un par (Fig. 3-18). Si tratamos de determinar la resultante de estas fuerzas paralelas por los métodos utilizados en la seccí6n 3-3, encontramos: Oa -

Puesto que la intensidad de la resul-

C?

*f i

tante es nula, no hay ningiin punto en

superior es horizontal, estando representada por H; en la figura. La fuerza sobre el extremo inferior es desconocida en dkpción y w g n i t u d ; sean Hl y VI sus componentes horizontal y vertical. Se tiene: -'': &. -.

-

- - - .-

LX

#9

r9

.

Cso =

.

- H1-

-.

= Hp

man un par.

-

. . a

(H2X 4,s)

..

-

O;

- (40 x

.

1,8)= O.

De la segunda ecuación, resulta:

V I = 40 Kg.

-

--

:S,paralelas y de sentido opuesto, for-

.-

fuerzas dadas. Dicho de otro modo: es imposible producir con una sola --fuerza elmismo efecto que -con un par,-e'inversamente, no--hay-ninguna fuerza que pueda ser sustituida por un par. El único efecto de un par es producir una rotacih, y un par puede equilibrarse Únicamente por otro par del mismo momento y sentido opuesto. El momento de un par se calcula como sigue: Tomando momentos respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano del dibujo (Fig. 3-18), encontramos:

De la tercera: 40 x 1,s H2 = -= 15 Kg.

Hi

1

r i ~

1

C9

-

4.8

21t e. 15 Kg.

*

Pero, dado que Fi y Fz tienen la misma intensidad,

- -

---

1 +. /

I

CAPITULO IV

MOVIMIENTO RECTlLINEO

.-

a un &calar es asimismo un-vector, y su dirección y sentido son-los del v e r desplazamiento. Sea &, el instante en el cual el cuerpo se encuentra en el punto a (Fig. 4 1 ) y t el instante en el que pasa por el punto b. El tiempo transcurrido es t-fo. y el valor del vector velocidad media es, por consiguiente.

-

-

x-m [4-11 f-kl (El trazo colocado sobre el símbolo que representa una magnitud significa valor medio de la misma.) Sí la posición final del cuerpo esta a la derecha de su posición inicial, el desplazamiento x - a es positivo, y si la posición final está a la izquierda de la inicial, el desplazamiento es negativo. El tiempo transcurrido, 1 - fo, es siempre positivo. Por tanto, el signo algébrico de la velocidad media es el rnismo que el del desplazamiento; una velocidad media positiva indica un desplazamiento hacia la derecha, y viceversa. La velocidad media sobre la trayectoria de un cuerpo móvil se define por la razón de la longitud de la trayectoria recorrida al tiempo transcurrido: u =-

I

1 1 1

1 1 I

11) l 1

fi, c,.

>.\

\v.?

1 '

comienzo del capitulo primero se dijo que la 41. Movimiento.-Al mecanica estudia las relaciones entre fuerza, materia y movimiento. En los capítulos precedentes nos hemos ocupado de las fuerzas, y nos disponemos ahora a estudiar los métodos gráficos y analíticos que describen el movimiento. Esta parte de la mecanica se denomina cinemática. El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición. Reduciremos en este capítulo la discusión al movimiento a lo largo de una Enea recta, o movimiento reetilineo. Con objeto de determinar la posición de un cuerpo móvil a lo largo de una recta, se elige como origen sobre la misma algún punto de referencia fijo. La distancia del origen al cuerpo se denomina abscisa de éste. La abscisa se considera, ordinariamente, como positiva cuando el cuerpo e s a a la derecha del on01 a -6 i X gen, y negativa cuando está a la izquierda. Supongamos un cuerpo que en un cierto instante se encuentra en FIG&l.-El veetor d e s ~ l m l e n t oes2,. e1 punto a de la recta OX de la dirigido de a a b. figura 4 1 , y en un instante posterior en el punto b. El origen está en O, la abscisa del punto a es a,y la abscisa del punto b es z. El desplazamiento del cuerpo está definido por el vector dirigido de a a b, cuya El desplazamiento es el mismo, magnitud es, evidentemente, x - a.' cualquiera que sea el movimiento realizado por el cuerpo; p. ej., si el _cuerpo se mueve desde .ahasta c y retrocede hasta b, su desplazamiento sigue estando definido por el vector dirigido de$ a b; esto es: el desplazamiento es siempre-el vector dirigido desde el punto inicial al final. El espacio totalrecorrido por el cuerpo, o sea, la suma de los segmentos ac y cb, se llama longitud recorrida, y se considera un escalar, no un vector.

-

'

desplazamiento (vector)

1 i.'

Velocidad media (vector) = tiempo transcurrido (es&)

La velocidad media es un vector, puesto que la razón de un vector

Velocidad media sobre la trayectoria (escalar) =

-

--

longitud de la trayectoria (escalar) tiempo transcurrido (escalar)

La velocidad media sobre la trayectoria es la razón de un escalar a 'otro escalar, y, por tanto, es también un escalar. Puesto que la longitud de la trayectoria recorrida no puede expresarse por la diferencia entre las . abscisas inicial y final, no puede escribirse para la velocidad media sobre la trayectoria una expresión análoga a la Ec. [41]. Excepto en casos especiales, el desplazamiento y la longitud de la trayectoria recorrida no tienen el mismo valor numérico. Por consiguiente, en general, la velocidad media sobre la trayectoria y el vector velocidad media difieren numénca--mente. s i n - e b o , los dos se han definido como cociente de una longitud a un tiempo, y se expresan, por tanto, en la misma unidad. I Todos los sistemas emplean como unidad de tiempo el segundo. Un segundo (en rigor, un segundo solar medio) se define como 1186400 del dia solar medio. Un día solar medio es el tiempo medio que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre su eje, con relación al Sol. La cifra 86400 proviene de dividir el dia en 24 horas y la hora en 3600 seg (24 x 3600 = = 86400). No hay ningún patrón material de tiempo que pueda conipararse a los patrones de longitud o fuerza, excepto si considera~rios dicho patrón formado por el Sol y la Tierra. La unidad de velocidad en los sistemas tkcnico y mks es el metro poi segundo (mlseg), y en el sistema cgs, el centímetro por segundo (cmlseg). . Frecuentemente se utilizan otras muchas unidades, tales como el kilóme-

.-

/,!

La--Ec. [41-] puede escribirse en la forma

--

.

-

-

SEC- -1

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

--

o sea, que el desplazamiento es igual al producto del vector velocidad media por el tiempo transcurrido. Se acostumbra escribir -la Ec. [4-21 en la forma

-

i,

1

,b i 1

Si el tiempo se cuenta

1;

i; 1,

k 1 -

II

; ,' i ,

Si el punto a esth en el origen, mas, reduciéndose a .

+ vt. -

a = O, y la -

x = vt.

--

í4-31 partir del instante en que el cuerpo se encuenx =a

A

57

v = Axl Af.

-

mente pequeños, es la velocidad instantánea u, y el valor límite de h / A f

+

es dz!dl. Por tanto,

Ec. 14-41 se simplifica aun

La Ec. [4-61 puede considerarse como definición de la velocidad ins; 14-51

-

duce que u tiene el mismo signo algébrico que Ax (o &). Por tanto, si "&amos el convenio habitual de signos, una velocidad positiva indica : 4-3. Velocidad instantánea.-la velocidad d e un cuerpo móvil en un cierto instante, o en algún punto de su trayectoria, se denomina velocidad ins!anfanea. La velocidad instantánea es un concepto que requiere una definición cuidadosa. La velocidad es la razón d e un desplazamiento a un intervalo de tiempo, pero.un instante.no tiene duración y, en consecuencia, un cuerpo no puede realizar ningiin desplazamiento en un ins-tante. Esta--dificultad lógica se puede salvar-del.modoisiguiente._ Los puntos designados por letras en la f i a r a 4-2 representan posiiiones sucesivas de un cuerpo que se mueve hacia la derecha, a lo largo del eje X. Consideremos la velocidad O1 abr d e media del cuerpo, primero durante l el desplazamiento ae, y después durante los desplazamientos suCeUmite de la raz6n d c ~desplazamiento al .sivos cada vez menores ad, ac y ab. tiempo transcurrido. Cuanto menor sea el desplazamiento, tanto menos difiere la velocidad media, durante dicho desplazamiento, de la velocidad instantánea correspondiente al punto a. La velocidad insíantánea en un punto puede definirse, por tanto, como la velocidad media duranie un desplazamienlo infinitamente pequeño que incluya al punto.

-

2

-

E~EMPLO.-La abscisa de un cuerpo móvil sobre el eje X viene dada por

-r

en la cual z se mide en centfmetros y 1 en segundos. Calcúlese la velocidad media del cuerpo durante los intervalos de tiempo: a) de 2 a 2,l seg: b) de 2 a 2,001 seg; c) dc 2 a 2,00Q01 seg; d) ~ c u 4 les la velocidad instantanea precisamente a los 2 seg? af El Liempo al comenzar el primer intervalo considerado es 10 = 2 seg. La abscisa -- Currespo~rdi~nte, a,es: - -zo = 10

2

x

22 = 40 m.

Al taminar el primer intervalo, t = 2,l seg. y

Por tanto,

O)

Cuando 1 = 2,001seg, z = 10

x (2,001)2= 40,04001 cm;

-

e)

-

Cuando l = 2.00001 .seg,

z = 10

.

-

.

X (2,00001)2 = 40,000400001

.

.

-

i -

-.

- ----

3'

cm;

i:

~n virtud de la Ec. [4-61,

..

.*

-;: -

-

Y Para 1 = 2 seg, Este ejemplo demuestra que la velocidad media se aproxima cada vez m& a le velocidad instantanea a medida que el intervalo de tiempo considerado se hace m h pequeño.

Acelaración media.-Excepto en casos especiales, la velocidad de un cuerpo móvil varia continuamente durante el movimiento. Cuando esto ocurre, se dice que el cuerpo se mueve con movimiento acelerado o que tiene aceleración. La figura 4 3 representa un cuerpo que se mueve hacia la derecha sobre el eje X. Supongamos que por los métodos explicados anteriormente hemos encontrado que su 01 a b velocidad instantánea en el punto a v. v tiene un valor vo, representado en la figura 4 3 por~elvector vo. AnAFXG.4-3.-La aceleracidn media es la razdn del incremento de velocidad, al intervalo de Iogamenteyla instantánea tiempo transcurrido. en el punto b se ha encontrado que es v. La aceleración media durante el intervalo en el cual el cuerpo se-traslada de a a b .se define por la razón del incremenfo de velocidad al inierualo de tiempo transcurrido: 4-4.

""*

-

..&

En el sistematécnico de unidades, en el cual la unidad develocidad es metro por segundo, y la unidad de tiempo, el segundo, la unidad de aceleración es el metro por segundo, por segundo, o, abreviadamente, mlseg2. La misma unid* se utiliza en el sistema rnks. En el sistema cgs la unidad de aceleración es un centímetro por segundo, por segundo

De acuerdo con el convenio habitual de-signos, si u - u0 es una magnitud positiva, la aceleración es también positiva y dirigida hacia la . . .- .derecha. (Véase problema 4-6.) Cuando disminuye el valor absoluto de kt velocidad de un cuerpo, esto es, cuando el cuerpo se va retardando en .

-

-

-

""' EJEMPLO. La velocidad instantánea de un autombvil, 3 seg despues de su partida, es 3 mlseg, y aumenta hasta 12 mlseg a los 6 segundos de iniciado el movimiento. HBllese la aceleracibn media. Se tiene: lo = 3 seg, uo = 3 mlseg, f = 6 seg, u = 12 mlseg. El incremento de velocidad es 12 - 3 = 9 mlseg, y el intervalo de tiempo transcurrido es 6 3 = 3 seg:

~e

.

... i

-

-

.

4-5. Aceleraci6n instantánea.-la aceleración instantánea de un cuerpo, esto es, la aceleración en un cierto instante o en un cierto punto de su trayectoria, se define por el mismo procedimiento que la velocidad instantanea. Tomemos los puntos a y b de la figura 4 3 cada vez más próximos. Cuanto menor es la distancia entre ellos, tanto menos diferirA la aceleración media, calculada para esta distancia, de la aceleración instantánea correspondiente al punto a. De acuerdo con esta, se define la aceleración instaniúnea en un punto como la aceleración media correspondiente a un desplazamiento infiniiamenle pequeño que contenga a dicho punfo. Sea A v el incremento de velocidad durante un intervalo de tiempo Af. La aceleración media durante este tiempo es:

.

,

-

-

~

,

3

i',> (1

*L

!I

:1

u

'

-

- =-u - Q , f-io

Q

(4-71

siendo 6 y i los instantes correspondientes a las velocidades u0 y v. Puesto que v y vo son vectores, la magnitud (u - vo) es su uecior diferencia, y ha de hdiarse por los métodos explicados en. la sección 1-8. Sin embargo, como en el movimiento rectilíneo ambos vectores están situados sobre la misma recta, el módulo del vector diferencia en este caso especial es igual a la diferencia de los módulos de ambos vectores. E n el capitulo X consideraremos el caso mAs general en que v y 90 no tienen la misma dirección.

.-k,. iími&ede la aceleracibn media, cuando At y Av se hacen infinitamente pequeños, es la aceleración instantánea a, y el valor limite de b j A f es dvldt. Por consiguiente,

Y* Puesto que u

,

= dxldt,

. Cualquiera de las dos Ecs. [M]o [ 4 9 ] puede considerarse comd definición de la aceleración instantánea.

;

Puesto que la aceleración es un incremento de velocidad dividido porel intervalo de tiempo durante el cual tiene lugar dicho incremento. la aceleración media es la variación media de la velocidad, y la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecio al iiernpo. La aceleración instantánea desempeña un papel importante en las leyes de la mecanica, mientras que la aceleración media se utiliza me& frecuentemente. En consecuencia, cuando en lo sucesivo se emplee el término aceleración, se entenderá que nos referimos a la-aceleración insluntánea, a menos que se especifique otra cosa. La definición de aceleración que acabamos de dar, se aplica al movimiento s9bre una trayectoria de forma cualquiera, recta o curva. Cuando un cuerpo se mueve sobre una trayectoria curva, la dirección de su velocidad cambia, y este cambio de dirección origina también una aceleración, según se explicara en el capitulo X. 4-6. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.-E1 movimiento acelerado mas sencillo es el de aceleración constante, esto es, aquel en el cual la velocidad del móvil varia uniformemente durante el movimiento. Naturalmente, en el movimiento acelerado la velocidad no es constante, y el decir que la aceleración es constante significa sencillamente que la velocidad aumenta (o disminuye) la misma cantidad en cada unidad de tiempo. Ahora bien: el valor medio de una magnitud que no varía es sencillamente el valor constante de dicha magnitud. Por tanto, en el movimiento de aceleración constante, la aceleración media Ü puede reemplazarse por ia aceleración constante a, y la Ec. [4-71 se convierte en

-

f

-

mit.halrar l a abscisa en función de tiempo. L a Ec. [4-21 expiesa que el x

- xf, = u (1 - to),

siendo i la velocidad media. Si-la velocidad del cuerpo aumenta en proporción constante, es decir, si su aceleración es constante, su velocidad media durante un intervalo de tiempo cualquiera sera igual a la semisuma de las velocidades al comienzo y al final del intervalo. Esto es,

:

i

...

r

., .~.

- -

.

u=-

. . .

Después de deducir la expresión de la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera, vamos a determinar ahora otra expmión que per-

t

vo+v 2

i4-131

la aceleración es constante. Ec. (4131, resulta:

r

e t

2

.

-

La inclusión de este valor de ü en la Ec. [4-21 da:

- m = uo(f - lo) + l12 a(t -

[4-15 J

Si tomamos como origen d e tiempos el instante correspondiente a uo, será 6 = O, y [4-161 x - --= vol + 112 ai2

_.e-

-

t C

C

Despejando el valor de v en la Ec. [+lo], se obtiene: Esta ecuación puede- interpretarse del modo siguiente: la magnitud a G el cambio de velocidad por unidad de-tiempq. La magnitud (t - fo) es la duración del intervalo de tiempo considerado. El producto del cambio de velocidad por unidad de tiempo, por la duración del intervalo, o sea, el producto a (i - b), es sencillamente el cambio total de velocidad. Cuando se añade a este cambio la velocidad inicial uo, la suma obtenida es la velocidad al final del intervalo. Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que la velocidad es vo, se tiene lo = O, y - .

C t

b -.

---

t

4

Finalmente, si h posición inidal del cuerpo -se encuentra en el origen, m = O, y -

la Ec. [ 4 1 2 ] da la velocidad en cualquier instante, y la Ec. [4-171 da la abscisa en función del tiempo. E s útil también disponer de una expresión que nos dé la velocidad correspondiente a cualquier abscisa, lo cual se consigue fácilmente despejando t en la Ec. (4121 y sustituyendo su valor en la Ec. [4-161. El resultado es:

4 14 1 4 r

1

1

62 --

%

I

lh

I

8 8

. . . .

'

Si q =.O,

MOV~MIENTO RECTIL~NEO

esta liltima-se reduce-a -

- -

[CAP. 4

---

-

-

h

'r -4-

a = dvldt

(a = constante)

donde Ci es una constante de integración. 'Si u = u0 para 1 =.O, se tiene: oo=o+Cly v = uo ai, que es la Ec. [412]. Pero v = &/dt; por consiguiente, &Id! = v,, ai; .

+

+

ldx = jr&i-+

latdl:

-

m:; . z = v o i + 1 / 2 a P + C O - . .Si z = O para 1 = O, Cz = O y . ... ---- == ,,&+ y2ap, .,. ........ .. - . . . . . que es la Ec: [417]. '

'

-

Para deducir la Ec. (4-191 escribamos:

. SEC.

,

:.

-.

P

3-

I

. .

.-

2

4-31

C A ~ I I AL I B R E I>E 1.0s <:UERPOS

.-

63

. - ....... vo2 Si v = vo para x = O, C3 = - y

..'

4 7 . Movimiento uniforme.-Otro caso especial interesante aparece cuando la aceleración es nula. Como la aceleración mide el cambio de la velocidad con el tiempo, si aquella es cero, la velocidad no variará, sino que-permanecerá constante. Por ello resultan sinónimas las expresiones oeimidad consfanfe y aceleración nula. Puesto que las ecuaciones del movimiento con aceleración constante se deben verificar para cualquier valor de la aceleración, se han de cumplir en particular cuando ésta sea constantemente cero. De la Ec. 14-12] resulta, para a = 0.

x = xo y, si además

Q

= O,

+ vf,

4-8. Caída libre de los cuerpos.-El ejemplo mas sencillo de movimiento acelerado con aceleración aproximadamente constante lo cons. tituye un cuerpo que cae a tierra. Prescindiendo de la resistencia del aire. se encuentra que todos los cuerpos, independientemente de su tamaño o peso, caen con la misma aceleración en un mismo lugar de la superficie terrestre, y si la distancia recorrida no es demasiado grande, dicha aceleración permanece constante durante la caida. El efecto de la resistencia d d aire se estudiará en el capitulo XVII, y la disminución de la aceleracid: con la altura, en el capitulo XV. Por ahora no tendremos en cuenta ninguno de estos factores. Este movimiento idealizado se designa por ~ a f d d i b r e aunque , el térmirro se refieretanto a caida como a ascensión. La aceleración de un cuerpo en caida libre se denomina aceleración debida a la gravedad, o aceleración de la gravedad, y se representa por la fetra g. E n la superficie terrestre o cerca de ella es, aproximadamente, 9,8 mlseg2, 980 crnlsegz ó 32 pieslsegz. Más adelante daremos valores más precisos y estudiaremos las pequeñas variaciones que experimenta mn la latitud y con la altura.

NoTA.-L~ magnitud g se denomina, a veces, simplemente gravedad o tuerza de gravedad, pero ambas expresiones son incorrectas. La gravedad e s un fenómeno, y la fuerza de gravedad significa la fuerza con la cual fa Tierra atrae a un cuerpo, conocida también con el nombre de peso del -.cuerpo. La letra g representa la aceleración producida por la fuerza resul- tante del fenómeno de la gravedad. .

u2 = az $ cs.

-

r*:

Es costumbre en el estudio del movimiento de caída libre de un cuerpo, cuando se utilizan las Ecs. 14-12],[4-171y [4-191,reemplazar a por g Partida

o

1-

1

i

La figuraQ4-indica las velocidades y-posiciones de un cuerpo que cae . libremente partiendo del reposo (uo = O), durante los primeros segundos de su caída. Se ha tomado como positivo el sentido hacia abajo para evitar los signos negativos.

.1

j

..

h..

8-0

-

-

.

0-o

E~EMPLO.-Para aclarar la aplicación de las ecuaciones del movimiento con aceleración constante, estudiaremos con detalle el siguiente ejemplo. Se lanza una pelota hacia a m b a en direcci6n (aproximadamente) vertical, desde la cornisa de un edificio, con una velocidad inicial de 14,7 mlseg, de modo que salve justamente la carnisa en su bajada (Fig. 4-5). Hállense la mhxima altura alcanzada, el tiempo que tarda en alcanzar el punto m& alto, y la posici6n y velocidad de la pelota a los 2 seg y a los 5 seg despuds de lanzada. Desprdciese la resistencia del aire. E n los cursos elementales de ffsica este problema se resuelve, generalmente, calculando primero la altura maxima alcanzada y suponiendo despues que se deja caer la plata desde dicho punto. H a de seguirse este procedimiento, porque las ecuaciones del movimiento que se enseñan en dichos cursos no incluyen la velocidad inicial, sino que se escriben simplemente:

e.

. --

y consideremos como positivo el sentido hacia arriba. E n este caso la velocidad inldal, dirigida hacia arriba, es positiva, y

-.- Por el kntrario, la aceleraci6n esta dirigida hacia abajo, aunque la velocidad en

.

:

1- 4

seg

6-

78,4 m

U-

39.2 m/seg

Fio. 4 5 .

. e . ' -

-

.

.-

-

-

..

-- . .

..

. .'.

. FIG. 4-4.-Velocidades y posiciones de cuerpo que cae librernei~ie.

-

- -

.-

.

.+

+

O = 14;7 (- 9 3 ) 1; t = 1,5 seg; 0 2 = (14,7)2 2 (- 9,s) y; y = 11,025 m.

:

!

Rti

i

1:

Es decir, la pelota se eleva 11,025 m por encima del origen, y alcanza el punto m&s alto en 1,5 seg. 1 La altura puede tambidn deducirse a partir de la ecuaci6n y = vol g12, sustl2 tuyendo. en lugar de 1 el valor 1,5 seg, obtenido anteriormente:

y considerar que el movimiento tiene lugar a lo largo del eje Y. Así, estas ecuaciones se convierten en

:

u = u0 + gt;

11

!r'.. l J. l 1: / ]_ I

y = "01

+ '12 gP; u2 = "O2 + 2gy.

+

. . . ..... . . :1.~ .Ji. 7

3

( 1

.

t

1 2

.

c=.ns. ,.-S

4

+

+

+

1111

i

i. !

- P a r a calcular la maxima altura alcanzada, podemos utilizar e1 hecho de que la velocidad en el punto m4s alto es nula. Por medio de D = g gt se calcula el tiempo q n g n e c @ t a p a ~ a 4 9 . y a r el pupto m& alto, y-a partu de-@. .= yo2-+ 2gy. seguede . .hallar su posición. Sustituyendo los datos, se obtiene:

+

i:

.

el instante inicial estd dirigida hacia arriba; por tanto,

?

t

I

C

-,

--. ......... .

-

....

- .--

I

F'.

'

1

.

-

.

.

.

,-

.

[CM.

4 .

- ~d~uleanm

.

'

MOVIMIENTO RECTIL~NEO

---

.

ia d t w a Y lavelocidad de la peloui 2seg d s p u h de-haber sido-

m .

.

En otras palabras, la pelota se encuentra 9,S.m por encima del punto de partida. y se mueve hacia abajo (o es negativa) con una velocidad de 4,9 mlseg. A los 5 seg después de lanzada:

.&..4-91

$. t-

1

MOVIMIEN1.0 CON ACELEHA<:ION VAH1ABI.E

6i

im&&es durante la demuestra que la velocZad aun¡enta-continuamente, o sea, que el movimiento es acelerado. Comparando los sucesivos decpiazamientos de la pelota, puede la variación de velocidad e el ,correspondiente intervalo de tiempo. Una medición cuidadosa, -. d i i z a d a -preferentemente sobre-una ampliación de la fotografía, demostraria que la variación de velocidad es la misma en cada intervalo de tiemo, dicho de otro modo, que el movimiento tiene aceleración consiante. 4-9. Movimiento con aceleracibn . .... 4rrble.-Si la aceleración no es constante, no son ya aplicables las Ecs. [4-101 a [4-191. Consideraremos dos casos: a) la aceleración es una función conocida del tiempo; b) la aceleración es una función dada de la abscisa. ' -

Esto es, k pelota esta ahora 49 m por debajo del punto de partida (y es iicgativo) y se mueve hacia abajo con una velocidad de 34,3 mlseg. Obs6rvese que y no representa el espacio total recomdo por la pelota, o sea, la longitud tle su trayectoria. sinv su distancia al origen, es decir, su desplazamiento.

La figura 4-6 es una fotografía, obtenida con iluminaciones sucesivas. de una pelota de golf que cae libremente. Esta fotografia se ha tomado con ayuda de la lámpara estroboscópica ultrarrapida ideada por el doctor Harold E. Edgerton, del Instituto Técnico de Massachusetts. El interc valo entre dos iluminslciones sucesivas puede regularse. a voluntad, y la duración de cada iluminación es tan corta (algunas millonésimas de segundo) que se obtiene una imagen nitida, aunque el cuerpo se mueva rápidamente. El obturador de la mhquina se deja abierto durante todo el movimiento, y cuando tiene lugar cada iluminación, la posición de la pelota en dicho instante se registra sobre la película fotografica. Se han incluido en la fotografia un reloj y una escala. La manilla del reloj gira continuamente, y tarda.2 seg en dar una vuelta completa. Las divisiones pequeñas -sobre la- circunferencia corresponden cada una a 1/100 de segundo. Puesto Cpe en cada iluminación se fotografia la manilla del reloj, quedaregistrado auto-maticamente el intervalo de tiempo entre dos iluminaciones sucesivas. Las divisiones de la-escala están separadas t cm.

Las iluminaciones, igualmente espaciadas, dividen el movimiento en intervaios iguales de tiempo, At. Los desplazamientos correspondientes, Ax, se miden sobre la fotografia utilizando la escala. Es posible calcular la velocidad media &/Al entre dos iluminaciones sucesivas, y puesto que el' intervalo de tiempo Ai puede hacerse muy pequeño (del orden de algunas centésimas de segundo), estas velocidades medias coinciden con mucha aproximación con las velocidades instantáneas. Dado que los intervalos d e tiempo son todos iguales, la velocidad de la pelota entre dos iluminaciones es directamente proporcional a la separación de sus correspondientes imágenes en la fotografía. Si la velocidad fuera constante, las imAgenes estarian igualmente espaciadas. La separación creciente de las

do = f(t)dt;

-

--

Si se sabe calcular la integral, la

- Ec. 14-21] da la velocidad en función del tiempo. La constante Ci se deter-

mina si se conoce la velocidad en un instante cualquiera. Designemos por g(t) la expresión de la velocidad obtenida de la Ec. 14-211.Resulta así:

FIG.4-6.-Foto~afia (retocada). obtenida con iluminaciones sucesivas. de una pelota de goU que cae libremente.

-.?

I l

;1(

--

1

j

,.;.. >".

,

!!:

;:. .m

l

-

-

-

-

1.

.

2. 1:. I

.

,

.,a.

68

.

..

-. .

MOVIMIENTO RECTIL~NEO

,

!ii ; ifi j

. .

.. --1-

+ c,

ti

1; que no %ulta adecuado, debido a que jl(z)df no puede calcularJe Como aparece. Sin embargo, se salva este inconveniente haciendo uso de la Ec. 14-20]: du a=v-

tix

Pues si a = f(z), =U

.

:.

.

.. ,:

--

2

i .

r. -

-.

.. y

.%

-

-. .

,,

(

!' i

..

I

proporcional a f - to = Af. La pendiente de la cuerda ab, o sea la tangente bc del b g u l o O, es tg 8 = -, y de lo dicho resulta que esta pendiente es . . ac

,

:

t t

&$&.

la pendienfe de la cuerda deterpinada por dos puntos de una grafica espacio-tiempo es proporcional a la ~elocidadmedia en el infervalo 1 comprendido entre ambos punfos. Si tanto x como f se dibujan a la misma --.- - -- ..--%%d -a la-, velocidad-media será igual a 4a- tangente del hgulo 8; en ge'

t

1:6

2'

%;

n.

-

4

La velocidad instantánea en cualquier punto de la curva es propor: .:@analal valor limite de la pendiente de la cuerda determinada por dicho 1--- --.'.-punto y otro situado a una distancia infinitesimal del primero. Pero, por definici6n, la pendiente de la cuerda determinada por dos puntos bfimitamen~próximos es la pendiente de la curva en cualquiera de ellos, o sea, la pendiente de la tangente a la curva, dzldf. Por tanto, la pendiente de la tangente en cualquier punto de una gráfica espacio-tiempo es proporcianal a la velocidad instanfánea en dicho punto. Cuanto mas pendiente sea la curva, mayor es la velocidad. En un punto tal como b, donde la tangente es horizontal, la velocidad es nula; en puntos situados a la . '

1;.

a. ! !.. ;

1. i!

t

:

1:

"

dt

(

i

f-io

$!i

< < t

-- -- - v;

1,

< f 9

pondiente fo. En el punto b la abscisa es z y el tiempo f. El desplazamiento en el intervalo comprendido entre fo y f está representado por el segmen-

5

.

.

este punto.

~

'

.

6

<

.hasta alcanzar el punto b de la gráfica, volviendo al origen en el punto d,

.... -.

+ Cl.

4-7 (a) es una gráfica t-z del movimiento de un cuerpo que se desplaza a 10 l a g o del eje.X. La ordenada de la curva en cualquier instante reprem t a la abscisa z del cuerpo. En este ejemplo el cuerpo se encuentra en el o en el instante =,-O, y s e mueve desde el origen hacia la derecha

-

y

-

f (z)dx

MBtodos gr8ificos.-Es a menudo conveniente representar me'dianteuna gráfica la posición, velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo. Dichas graficas son también útiles para compreriO

J

z

~

@ =

-

dv &

- = /(x);

La intx$jraciXn -da p r h e r miembro da $12;-por tanto,

.-

~~

= Jf(z)df

69

METODOS GRÁFICOS

La- constante C2 se caicula unavez conocida-la -abScisacorrespondiknte a un instante cualquiera. h) Puesto que. . ---.. .:du . . a=-= . -.. df - f ( x ) podríamos escribir: . .~ . du .= f(x)df;

--

O

ijl

i< n,

t t (

,

sobre el eje X.

-

- :-.

>

i i; l

...-.

..

.-

t

.el cuerpo se mueve hacia la izquierda. --

f

-.. . ----.. ...-...-- - .- . -.>l.

--

1 ~

I 'Y

A

70

-

:g

,:dll]

% -.. -

i .. :: ,4z

-.,.

. ..-. . m

71

COMPONENTES DE L A VELOCIDAD

La velocidad, como la posicidn, 5610 puede definirie T e s p e h a a¡&. m a de referencia o conjunto de ejes, pudiendo estar los propios ejes

*e están en reposo, aunque naturalmen- . te, participan del movimiento de la Tiem a .través del espacio. En lo sucesi1 . -. vo, la expresión velocidad de un cuerpo : significará su velocidad respecto a tierra. . . La velocidad de un cuerpo respecto a otro, i - cuando el segundo está en movimiento :E . ._. . ~ ,: (respecto a tierra), es el uector diferencia I - - de velocidades de los cuerpos (respecto a . . tierra). Concretamente, si designamos los I- . '* cuerpos por A y B, y sus velocidades

20 K m l h

t

r

;

17.3 KmIh

I 10 ~ m / b

-1.

Maternaticamente, esto equivale a escribir:

U,, .

t

I =

udt. Ir

Por consiguiente, el área determinada - .. por una gráfica velocidad-tiempo represenf a el desplazamiento. Finalmente, la aceleración instantánea se puede representar como función del tiempo. La pendiente de esta curva, que es daldt = d%/df3, carece de significación física. Sin embargo, es evidente que el área comprendida por la curva, el eje X y las ordenadas correspondientes a to y i representa la variación de la velocidad en el intervalo t - io, ya que

-

,.. . . . . .,

r

de un vector velocidad en sus componentes.

Frc. 48.-Descomposici6n

dad de A respecto a B es

'

L.

.

. .

-E

-vg

= U*

(vector diferencia),

14-23]

y la velocidad de . B respecto a A es: .. .

-.. ,. . ..., .. .

-

-.

.

U,,

=UB

- UA

(vector diferencia).

&mp~o.-Un automóvil A, que recorre una carretera recta y horizontal a la velocidad de 30 Kmp. marcha por delante de otro autom6vil B, que lleva el mismo sentido y una velocidad de 20 Km/h. ¿Cuál .es la velocidad de A respecto a B, y la

10 Km/h.

4-11. Componenias de la .velocidad. Velocidad relativa.-La velocidad es iIna magnitud vectorial y, por tanto, hay que considerar en ella m& dulo, dirección y sentido. Así, pues, una .velocidad puede descomponerse en componentes; e inversamente, un cierto número de velocidades pueden componerse en una velocidad resultante. Como ejemplo del primer proceso, supongamos un barco que navega hacia el Este en una dirección que forma un ángulo de 300 con el Norte, y a la velocidad de 20 Km/h en agua en calma. Su velocidad puede representarse por una flecha, como la. de la figura 4-8, y se encuentra, por el procedimiento conocido, que la componente de la velocidad hacia el Este es de 10 Km/h, mientras que hacia el Norte es 17,3 Kmlh.

-

La velocidad de B respecto a d es: va,

va

- U*

= 20

- 30 = - 10 Km/h,

Y el conductor del coche A (si mira hacia atrAs) ve al coche B alejarse detras de e! (DE* es negativo) a la velocidad de 10 Km/h.

La Ec. [4-231 puede escribirse asi: VA 2,.

=UB

+ UAB

(vector suma).

Esto es, la velocidad del cuerpo A (respecto a tiem) es el vector de la velocidad de B (respecto a tierra) y de la velocidad de A res-

- --.suma

j$ff$y?::.

-.*

-

y-

pecto a-B. Era-general; cuando un-cuerpo está-en movimiento respedo a otro, la velocidad del primero es el veclor suma de la velocidad del segundo y de la velocidad del primero respecto al segundo. EJEMPLO l.-La brújula de un-liarco indica que está navegando hacia el-Norte, y la corredera señala que su velocidad rqpecto al agua es d e 20 nudos l. Si existe una comente de 5 nudos hacia el Este, &cuálser4 la ,velocidad del barco respecto a tierra? La velocidad del agua ec de 5 nudos hacia el Este; l a del barco respecto al agua, de 20 nudos hacia el Norte. La velocidad del. barco.serB eT vector suma de estas veloci-

.. .. ,

. -. ." . ..,= ... -. -. .. - . .. .. A ,.

_

-.....

.

de la aceleraci6n.

.. ,., .:.S

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.

,

1 [

i

t

ij fj

! !1 ! i

F

;

1 .

!. '

1.:

..-

4-1. El record de las 2 millas en pista cubierta es 8 min 51 seg. &AquB velocidad media corresponde en: a) millas/seg?; 6) millaslh?; c) cmlseg?; d) pieslseg?

dado en la sección 4-2 puede haber' cometido un error de 115 de segundo en cada lectura de su cronógrafo. a) LQUQvalores extremos puede haber tenido el intervalo de tiempo? b ) ~Cu4les. son las velocidades -correspondientes7 e) ¿Está justifica-

do. conservar m a s de dos cifras e n la respuesta? d) ¿Es exacta la iiltima cifra? ' e) LA cuBnto puede ascender el error? 4-3. La ecuaci6n ael movimiento de un cuerpo que se desplaza sobre una recta es z = 8t - ?12, donde E son centimetros y f segundos. a) Calcúlese la velocidad media del móvil en los intervalos de 1=0 a l = 1 s e g , y d e t = O a t = 4 s e g . b)Hállese l a expresión d e la velocidad media Al. E ) ~Cusll es para el intervalo 1, t

Un nudo es igual a una velocidad de 1 milla por hora.

+

Fic. 4-1 l.

44. La m i c a de la figura 4-11 da la , .; velocidad de un móvil en función del .:

>:., ..

.

..

.~ .~ '-..'Y&mpo.

-.. .. ,

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-

.>,..r

.

.

-:.

.-. .-.:a) ~ C u a les la aceleración instantá-

.

I . - - .. . .. , . . .. ....~ . . . .r.f.. . .. : . , ,. . -.. 1.. ... ... . .

.parat=7seg? 2 <&,qj -~ ,. e) - . ¿Cuál es la aceleracL6n instantánea para t = l l seg? 3 -d/l: :: ' .i,i":-3:d) &Quedistancia iecorre el móvil en 4.- , los primeros 5 seg? y r Q. { L .::-:y.-

. .--.

.

.- . f i _ ¿Que distancia recorre-el. cuerpoxn

. ..

.:

1-

~

=

-:;.los. primeros ~ 1 3 seg? )( -06 (+ - -.. C S . Cada uno de los siguientes cam: : . *. bios de velocidad tiene lugar en un in::-'.--rpalo de 10 seg. tCu41 es el valor, signo - . -. dg6brico y sentido de la aceleración media en cada intervalo? -- '1-5a) Al comienzo del intervalo, un cuer.~ -: Po se mueve. hacia la derecha sobre el . .- . . i~. ~ ,,

.;.,

... .

......,-

.S..--

-

;

'

.

.

- ..

-7:

if 1

derecha a la velocidad de 600 cmlseg. b) Al comienzo se mueve hacia la dea la velocidad de 600 cmlseg, y al .. - , -a, -:i?;,*fh*se mueve hacia la derecha, a 150 . . ~5 l<;f-timetros por segundo. ~

~

f) Al comienzo se mueve hacia la izquierda, a 600 cmlseg, y al final se mueve hacia la derecha, a 600 cmlseg. g) &En cu4l de los instantes anteriores tiene el cuerpo aceleración negativa? @ LOSfabricantes de un cierto tipo de automóvil anuncian que se acelera en directa de 30 a 100 Km/h en 1 3 seg. Calcúlese la aceleración (en m/seg2) y la distancia que recorrerá el coche durante ,$r este tiempo, suponiendo constante la aceleración. Un aeroplano despega de un campo cuya pista mide 360 m. Si parte del . . reposo, se mueve con aceleracion constante y recorre la pista de despegue en 30 seg, ¿con. quB velocidad (en mlseg) levanta el vuelo? 4-8 Un tren del metropolitano arrany~ ca 'en una estacidn y se acelera a razón de 1,20 m/seg2 durante 10 seg. Marcha j:!, durante 30 seg con velocidad constante, y se decelera a 2,40 m/seg2 hasta detenerse en la estación inmediata del trayecto );= ,::r Calcúlese la distancia lotal cubierta. i .-4-9. El tiempo de reaccidn del conduc-. . tor .medio de automóvikes, aproximadamente, 0,7 seg. (El tiempo de reacción es el intervalo que transcurre entre la percepci6n de una señal para parar y la aplicación de los frenos.) Si un automóvil puede experimentar una deceleración de 4,8 m por seg2, calcúlese la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez percibida la señal: a) cuando la velocidad es de 30 Kmlh; b) cuando es de 60 Km/h. Un coche de turismo y un camión parten en el mismo instante, estando inicialmente el turismo cierta distancia por detras del camión. Este dltimo tiene una aceleración constante de 1,20 m/seg8, i 1 mientras el coche acelera 1,80 mlseg2. El ,

...

.

.-?ir. ,.. .

--

Al comienzo se mueve hacia la kquierda, a 150 cmlseg, y al final se mueve hacia la izquierda, a 600 cmlseg. d ) Al comienzo se mueve hacia la izquierda, a 600 cm/seg, y al final se mueve hacia la izquierda, a 150 cmlseg.

o=/.?;

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.

.

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1

.

.

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EJEMPLO2. ¿En qu6 dirección d e b e d el piloto fijar su rumbo para dirigirse hacia el Norte? &Cuál serIa entonces su velocidad respecto a tierra? El rumbo marcado por el piloto es la dirección en que el barco se desplazaria realmente en aguas tranquilas. Es, por tanto, la dirección d e l a velocidad del barco relativa al agua. La velocidad resultante debe dirigirse h a d a el Norte. Dichas velocidades están relacionadas tal como se indica en la figura 4-10, d e l a cual se deduce que el Bngulo 0 vale 14,50 NO, y que l a velocidad resultante es 19,4 miliaslh, hacia el Norte. . __ - - - - - PROBLEMAS .--'

-

.-de a cero? d) Hhllense el punto o pontos en que el cuerpo se encuentra en

.

3

i

~

.:_

dades, y de la construcción efectuada en la figura 4-9-=&nitaser 20,6 nudos, 140 NE. Ambas velocidades, 20 nudos y 5 nudos, pueden considerarse como l a s componentes iie la velocidad real de1 barco.

-

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-

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'2 6

2 .u

flcai,-2,5-crn-- 18 cm.

Un río corre hacia el Noa-eon .una velocidad de 3 Km/h. Un barquero atraviesa la comente con una velocidad relativa al agua de 4 K m p hacia el Este. sus pendientes y detennlnense las velocidades instantsneas en estos puntos. -.a) ¿Cual es su velocidad respecto a tiec) Halese por derivación la ecuaci6n rra? b) Si la anchura del río es de 1 Km, general de la velocidad. A partir de ella ?,cuantos metros quedará desplazado hacalcúlense las velocidades para t = 1 seg, cia el Norte el barquero al alcanzar le 2 seg y 4 seg, y compárense con los vaorilla opuesta? c) LQUBtiempo tardará en lores obtenidos en b). d ) ConsMyase la cmzar el río? @ica velocidad-tiempo de este movi4-31. Las gotas de lluvia que caen miento, haciendo 2,5 cm = 1 seg, y verticalmente sobre el suelo marcan hue2,5 cm = 20 cmlseg. e) Trácense las tan- llas sobre las ventanillas de un tren, a y a gentes a esta curva en 1 = 1 seg, 2 seg velocidad es de 20 Km/b, inclinadas 30y 4 seg. Midanse sus pendientes, deterrespecto a la vertical. a) ~ C u hes l la wmminando las aceleraciones instantáneas ponente horizontal de la velocidad de correspondientes. f) Hallese por derivauna gota respecto al suelo?, y ¿respecto ción la ecuación general de la aeeleraci6n. al tren? b) ¿Cuál es la velocidad de las calculando las aceleraciones para 1=1 seg, gotas respecto al suelo?, y ¿respecto al 2 seg y 4 seg. g) Constrilyase la grhfica tren? aceleraqión-tiempo, utilizando una escala 4-32. El piloto de un avi6n marca sobre la brújula de a bordo rumbo Oeste, adecuada. manteniendo una velocidad de 120 KmJh. 4-29. Dos embarcaderos A y B están Después de volar durante media hora se encuentra sobre la vertical de un pueblo . Dos hombres hacen el trayecto de ida y situado a 75 Km al Oeste y 20 K m al Sur de su punto de partida. a) Calcúlese un bote de remos con el que consigue una velocidad de 4 millasp, respecto al agua, la velocidad del viento en magnitud y dirección. b) Si la velocidad del viento mientras el otro va andando por la orilla con una velocidad de 4 millas/h. La velocidad del agua es de 2 millas/h en la direcgirse hacia el Oeste? Tómese la misma ci6n de A a B. ~ Q u dtiempos empleará velocidad respecto al aire de 120 Kmfh. cada hombre en cubrir su trayecto?

by Tráceme las tangentes a esta curVá en los puntos

..

-

-

0 -

.-

..

..

-."

SEGUNDA LEY DE NEWTON rada separadamente los conceptos de fuerza y de aceleración. Hemos en estática la primera ley de Newton, según la cual cuando la .~ - ..5.. .fue= resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, también la acelera. . . . ..... .. . . . ción del cuerpo es nula. El paso lógico inmediato es preguntar cómo se -.i +comporta un cuerpo cuando la fuerza resultante que actúa sobre él n o : nula. La respuesta a esta cuestión está contenida en la segunda ley de Newton, la cual afirma, en parte, que cuando la fuerza resultante no - .. es nula, el cuerpo se mueve con movimiento acelerado. La aceleración, .~. .

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da masa, y por ello antes de proceder a la discusión de la segunda ley

.

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. .

masa. :. - Se denomina d i n h i c a a la parte de la mednica que estudia conjunta<$;- . .: -mente d movimiento y las fuerzas que lo originan. En su sentido más .. - . ,.-,, , . amplio, la dinámica abarca casi toda la mecánica. La estática trata de los .. . . < ., :. casos especiales en los que la aceleración es nula, y la cinemática se ocupa f: únicamente del movimiento. ,. ... . ,.. - 5-2. Masa.-La expresión masa se utiliza en mecanica al referirse a la propiedad de la materia que, en el lenguaje corriente, se designa con * . -.-..-- la palabra inercia. Sabemos por experiencia que un objeto en reposo .-.. . . jam% comenzar4 a moverse por si mismo, sino que ser4 necesario que ?: - -- ,otro cuerpo ejerza sobre él una tracción o un empuje. E n lenguaje más .-..-; --.&ntifico:-es necesaria una fuerza para acelerar--uncuerpo; y decimos que -.. ...

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n- Es también familiar el hecho de que para retardar el movimiento de

.

para detenerlo es necesaria una fuerza, y que cuando la trade un cuerpo es rectilínea, es necesario ejercer una fuerza lateral

--' . . . un,.cuerpo o

_

:. yectoria

, í . 1 -

necesaria a causa de que el cuerpo posee inercia. Se verá que los procesos anteriores (aceleración, .retardo o cambio de - dirección) implican un cambio en el valor o en la direcci6n de la veloci- dad del cuerpo. En otras palabras, en todos los casos el cuerpo es acelelado. Podemos decir: la inercia es aquella propiedad de la materia por - es .

-.

'.'..-. -,.~,. - Para asignar un valor numérico a la inercia de un cuerpo dado, elegi~

. . .

.

,* .

,...?j-ios:mmo ; patrón algún cuerpo cuya inercia tomamos arbitrariamente . ... . ""

-

78

SEGUNDA LEY DE NEWTON

[CAP.

5

79

SEGUNDA LEY DE NEWTON

-q<

---

~~. .--- .raceleraci6n;- Para obtener la relacion'cii~titafiv~entre ellas, consider& _ como..unidad, y expresamos la inemia de todos 10s d e m h cuerpos en ---IZ. ..

- .

. -

.

funci6n de este patr6n. La inercia de un cuerpo, establecida por este pro- :p .. z= . . mas la siguiente serie de experimentos (idealizados). 1.0 Un bloque de masa arbitraria se coloca sobre una superficie hocedimiento cuantitativo, se llama masa. La masa es una medida cuanfi-. .-. lativa de la inercia. La masa de un cuerpo es una propiedad..invariante del mismo, ind.6 t . ejercida sobre 61 mediante una balanza de resorte. Para concretar, supon. . gamos que la balanza se ha graduado en kilogramos como se describe en pendiente de su velocidad (a velocidades muy grandes, pr6ximas a la =de la luz, 10s efectos de relativi- -.-.. , - ia seccion 1-3. Con la balanza calibrada.pueden-ejercersefuerzas de 1 Kg, 2 Kg. 3 Kg, etc., sobre el bloque, y medir con una escala y un cron6grafo - - dad se traducen en un aumento .. ., . . . - i i P . y.: .. . apreciable de masa), de su ace, mentos indicaran que, con una masa constante., la aceleraci6n es directaleraci6n, de su posici6n sobre la . -. - . supe.ficie terretre 0 de su altu- . . mente .proportional a la fuerza aceleradora, y tiene la misma direccion que dicha fuerza: ra por encima de dicha su'perfi- . .-<. .. y. .sentido . cie. En estos dos atimos aspecr -. ..---. .~.. . . .-...-. .-~ a oc F (si m es constante). tos difiere del peso del cuerpo, . . . el cual varia con la posicibn y . .-"; 2.0 Para la segunda serie de experimentos, podemos partir del kilo'con la altura (vtkse Sec. 15-3). .- . El patr6n de masa en 10s sis- .. ..+ gramo patr6n y preparar un cierto numero de copias del mismo, compro.-.- . temas mks y cgs es un cilindm bando la igualdad de sus masas a1 atestiguar que todas ellas adquieren la misma aceleracidn cuando estAn de platino-iridio llamado kilosometidas a la misma fuerza. Combigrarno patrdn. El patrbn original i. se encuentra guardado en Sevres nando estas copias, podemos tener (Francis), y la mayoria de 10s !.... . . masas de 2 Kg, 3 Kg, etc. m ::. . . . Apliquemos ahora la misma fuena restantes paises yoseen una o ;q . ..(ima fuerza cualquiera) en experimenvarias copias exactas del misr - _ ... -. .~ tps.sucesivos a masas de 1 Kg, 2 Kg, mo. Estos patrones no son to;. . . . 3 Kg, etc., y midamos las aceleraciodos idCnticos en masa a1 patr6n . . , Ro. 5-1.-Kilogram0 ndm. 20. Patrdn na-I: . nes. Esta serie'de experimentos conoriginal, pen, esto careci de imC I O de ~ masa (EEUU.). :; ... duce al resultado de que, con una portancia, puesto que sus masas :. - f u e m constante, la aceleraci6n es nl respemo al patr6n son exactamente conocidas. (b) :- - - . .inversamente proportional a la masa: La unidad de masa en el sistema mks es la masa del kilogramo patr6n. La unidad de masa en-el sistema cgs es 1/1000 de la masa del kilogramo 1 'patrbn, y se denomina gramo. 1 ' -- a oc -(si F es constante). -1521- _ - _6No- h a y patr6n d e masa en el sistentii t&cnico de h d a d e s . Esto es, - -m . . 10s laboratorios nacionales no guardan en sus,archivos ninguna pieza Los resultados de ambas series de - m cuya masa sea igual a la unidad de masa.de este sistema:El sistema tdo- g i - -experimentos pueden ahora expresarse (c) nico estA basado en 10s patrones de iuerza, longitud y tiempo, y la unidad +- ..-, de masa queda definida en funci6n de estos patrones, como explicaremos en breve. %..

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En el sistema de unidadn; ingles, la lihra se define como la fuerza que la atraccl6n gravitatorla de la tierra ejerce, a1 nivel del mar y 450 de latftud, sobre un cuerpo determinado, llamado libra potrdn. Para evitar la duplicidad innecesaria de rnantener dos patrones, el kilogramo patr6n y la libra patr6n, el atimo s e define actualmente en fund6n del kilogramo patrbn; expresando q u e sn masa ea igual a 0,4535924277 Kg

Segunda ley de Newton.-Las observaciones descritas a1 comienzo de la secci6n anterior indican una relaci6n entre fuena, masa y 5-3.

i

(dl

[.

-

cuando m o F son constantes. 3.0 Realicemos el pr6ximo expe. . "r::imenb haciendo actuar mas de una ..~. .- . . .. --

:.

.

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.

. .- . .., ,-.*?< ,L,-

-

..-e

. u d

FIG.5-2.-La aceleracidn de un cuerpo

es proporcional a la furrza resultantr ejercida sobre el mlsmo, y tiene la dirercidn el sentido de ests resultante.

,.

-

80

[CAP. 5

SEGUNDA LEY -DENEWTON

fuerza sobre el cuerpo. Supongamos que hemos encontrado--gue-laf u e m FL actuando sola, produce una aceleracion a1 en la misma direccion que Flycomo indica la figura 5-2 (a). An&logamente, la fuerza F2 produce una aceleracibn 0 2 , segun muestra la figura 5-2 (b); Si aplicamos ahora simult5neamente las fuerzas Fl y F2, figura 5 2 .(c),. encontramos que la aceleracibn a observada es la misma que corresponde a la suma geomb trica de las aceleraciones a1 y a2, y, ademas, que resultala .misma aceleraci6n si en lugar de aplicar Fl y F 2 simultaneamente, aplicamos una sola fuerza F igual a la suma geometrica de FI y F2, como indica la figura 5 2 (d).

Fl a x a , m

F2 F azoc-; a=m m Las aceleraciones componentes producidas por las componentes de m a fuerza s e r h consideradas en el pr6ximo capitulo. Por ahora estudiaremos unicamente las f u e n a s y las aceleraciones resultantes. La segunda ley de Newton es un enunciado formal de 10s resultados de experimentos tales como 10s que se acaban de describii. Si nos limitamos por ahora a las fuerzas y a las aceleraciones resultantes, podemos enunciar: La ac~leracidnde un cuerpo es proporcional a la fuerza resuliante ejercida sobre el cuerpe, in~ersamenteproporcional a la masa del mismo, y fiene la misma direccidn y sentido que la fuerza resultante; esto es: r

-

-..

-- . -

..

.- -...

, o bien F - . - - a - cc- m - - -..

La segunda forma es equivalenk a

--

ma. -

'

.

~

-

-

siendo k una constante de proporcionalidad. El valor de la constante de proporcionalidad depende d e las unidades empleadas para medir la fuerza, la masa y la aceleracidn; p. ej., se encuentra experimentalmente que una f u e n a resultante de una libra comunica a una masa de un kilogram0 una aceleraci6n de 14,6 pies/seg2. Utilizando estas unidades,

F = 0,0685 ma (Fe n libras, m en Kg, a en pieslsegz).

_

:

'

:

SlSTEMAS DE UNIDADES

81

E s evidentemente inc6modo tener que recordar todos 10s ~ a l o r e sde k

que serian necesarios para tener en cuenta todas las combinaciones posibles de unidades, pero puesto que el valor de k queda determinado sola-

mente por las uaidades elegidas para F , m, y a, tpor que no elegir un conjunto de unidades que dC para k un valor sencillo, facilmente recordable? Lo mas simple es, naturalmente, hacer k = 1, y todos 10s llamados sisiemas de unidades meclnicas han sido establecidos teniendo en cuenta -este requisite. Puede suceder, y de hecho sucede, que algunas de las unidades requeridas no Sean familiares, pero la ventaja de hacer k = 1 compensa ampliamente la desventaja de tener que definir nuevas unidades.

..-

se reduce

a

Esta ecuaci6n se considera de ordinario como la formulacion matemdtica de la segunda ley de Newton. E s probablemente la ecuaci6n mas importante de la mechica. Observese atentamente que se trata de una ecuaci6n ~ectorial;esto es, la aceleraci6n resultante a tiene la misma direcci6n y sentido que la fuerza resultante F. La relacion alge'brica F = ma no constituye por si sola un enunciado completo de la ley. De la Ec. [5-51 podemos deducir las condiciones fisicas que deben cumplirse para que un cuerpo posea un movimiento uniformemente acelerado; a saber: si a es constante, F ha de ser tambien constante. En otras palabras, el movimiento uniformemente acelerado es un movimiento que tiene lugar bajo la acci6n de una fuerza constante. Si la fuerza es variable, la aceleracion varia en proporci6n directa, puesto que la masa m es constante. Resulta tambien evidente de la Ec. [ M I , que si la fuerza resultante que actua sobre un cuerpo es nula, la aceleracibn del cuerpo es tambien nula, y su velocidad constante. Por tanto, si el cuerpo esta en movimiento, sigue moviendose sin que la velocidad cambie ni en magnitud ni en direcsi se encuentra en reposo, permanece en reposo (su velocidad es en--- . .. - cibn; tonces constante e igual a cero). Pero b t a s son, evidentemente, las condi- ciones a las cuales se aplicaba la primera ley de Newton, y vemos, por . tanto, que la primera ley es simplemente un caso especial de la segunda cuando F y a son nulas. Por tanto, s610 hay dos leyes de Newton independientes: la segunda y la tercera. Con la notacion del cidculo diferencial, la segunda ley de Newton, para un movimiento que tiene lugar a lo largo del eje X, se escribe: I

,-,

SEC- 5-41

E:

- -
I_

5-4. Sistemas de unidades.-Si adoptamos F = ma como expresion de la segunda ley de Newton, se deduce que cuando m = 1 unidad de

t

-

i ".

.

SEARS.

I.--6

82

SEGUNDALEY DENEWTON

[CAY. 5

masa y a = 1 unidad de aceleracion, F = 1 unidad de fuerza, En otras palabras, las unidades de fuerza, masa y aceleracio'n han de elegirse de mod0 que la unidad de fuerza comunique a la unidad de masa la unidad de aceleracidn. Evidentemente, no pueden elegirse tres unidades arbitrarias. Sin embargo, podemos elegir dos cualesquiera de ellas y utilizar La Ec. [5-51 para fijar el valor de la - tercera. E n el sistema de unidades metro-kilogramo-segundo, el kilogramo fija la unidad de masa, y el metro y el segundo juntos determinan la unidad de aceleracion. La unidad de fuerza en este sistema ha de tener un valor tal que comunique a la masa de un kilogramo una aceleracion de un metro por segundo, por segundo. Esta fuerza se denomina newton. U n newton es la fuerza que comunica a la masa de un kilogramo una aceleracidn de un metro por segundo, por segundo. En el sistema centimetro-gramo-segundo, la unidad de masa es el gramo, y la unidad de aceleracion, el centimetro por segundo, por segundo. La unidad de fuerza en este sistema ha de tener un valor tal que comunique a la masa de un gramo una aceleracion de un centimetro por segundo, por segundo. Esta fuerza se denomina dina. Una dina es la fuerza que comunica a la masa de un gramo una aceleraeidn de un centimefro por segundo, por segundo. Puesto que 1 Kg = 1000 g y 1 m = 100 cm, se deduce que 1 newton = 100 000 dinas = 105 dinas. E n el sistema tecnico hemos definido como unidad de fuerza el kilogramo, y como unidad de aceleracion el metro por segundo, por segundo. Como en 10s demas sistemas, deseamos que la unidad de fuerza comunique a la unidad de masa una unidad de aceleracion. Esta unidad de masa h a de tener, por consig~ientef'un~valbr tal que cuando actlie sobre ella una fuerza de un kilogramo, adquiera una aceleracion de un metro por segundo, por segundo. Esta masa se denomina unidad itcnica de masa. Una unidad iecnica de masa es la masa a la cual una fuerza de un kilogram~comunica una aceleracidn de un metro por segundo, por segundo. En el sistema de unidades inglesas, la unidad de masa es la masa que sometida a una fuerza de una libra adquiere una aceleracibn de un pie p r segundo, gor segnndo.- Esta-unidad- se denomina -slug. - - -- E l newton, la dina, la unidad ttCcnica de masa-y el slug son unidades derivadas d e las unidades fundamentales. E n resumen: cuando la segunda ley de Newton se escribe en la forma F = ma (con k = I), pueden usarse las siguientes combinaciones de unidades: F (en newtons) = m (en Kg) x a (en m/seg2) F (en dinas) = m (en g ) x a (en cmlsegz) = m (en unidades tecnicas) x a (en mlseg2) F (en Kg) F (en libras) = m (en slugs) x a (en pieslsegz) No existe acuerdo general sobre 10s papeles desempeiiados por el experimento y la definici6n en la segunda ley de Newton. La ley ha sido enunciada en esta misma secci6n deducidndola de observaciones experimentalcs. Si utilizamos la torma res-

PESO Y MASA -

s3

-:^& ..-. 1 - trf8;l1& F = ma, y convenimos en que se trata de una ley experinie"ta1, ello irnpllca cLDt h a realizad~ ~ ~ u n a serie de e x p e r i m e n t ~en ~ 10s cuales una fuerza F, actuando -=g-:.:&re - m a mass m, le comunicl una aceleraci6n a, y cuando se midieron F, rn y a (expre-.

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Cuando consideramos m4s detenidamente el mdtodo preciso utilizado para medir magnitudes, descubrimos que nuestras definiciones de newton; dina y unidatl , h i c a de masa estln basadas en el supuesto de que F es igual a1 producto de m por a. . -*-.... - sodebe sorprendernos, por tanto, comprobar que la igualdad sigue cumpliendose en . .? npuimentos posteriores. Esto es, si utilizamos la ecuacidn F = ma para definir F, . : . ^ .mmo se hace en 10s sistemas mks y cgs, o la relaci6n equivalente m = Flu para defi- -3ntrn, la ley se convierte simplemente en una definici6n de F o de-m y no es suscep-.- . Ub]e de wmprobaci6n experimental. .. . -. . En un libro de este alcance no hay lugar para extenderse en una discusiln filod:I' - lien rnmp1et.a de esta cuesti6n. El lector interesado purde consultar algunas de ]as . =". . . o b relacionadas ~ a1 final de la mednica. . . v.

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&5. Peso y masa.-Todo

cuerpo del Universo ejerce una fuerza dc

h r o y a1 lapiz que se encuentran gobre el pupitre; y cada uno de ellos -&,me a1 otro; la Tierra atrae a la Luna; el Sol atrae a la Tierra y a otros planetas del sistema solar, asi como a las estrellas mas distantes; y cada uno de estos cuerpos, a su vez, ejerce sobre el que lo atrae una fuerza -- -. ; igual y opuesta. .... . . . Este fenbmeno de atraccion universal gravitatoria sera considerado . . con mhs detalle en el capitulo XV. Por ahora solo nos ocuparemos de un .- "-. --.. G - ,. -..aspect0 de el, esto es, de la fuerza de atraccion gravitatoria existente en- la T i e m y 10s cuerpos situados sobre o cerca de su superficie. La luerza de atraccidn graviialoria que la Tierra ejerce sobre un cuerpo se de. . y nornina peso del cuerpo. Asi, decir que un hombre pesa 80 Kg equivale a decir que es atraido . . poi la Tierra con una fuerza de.80 Kg. Puesto que el peso de un cuerpo es una fuerza, debe expresarse en unidades de fuerza, esto es, en kilogramos . . ;: - . o en-iibras en 10s sistemas ttCcnico e ingles, y en newtons o en dinas en 10s sistemas mks y cgs. - -- - - .. -. La masa de. un cuerpo, .aunque no es 1o.mismo que el peso del cuerpo. . .. e i directamente proportional a este, como demostraremos en breve. . . . Por consiguiente, el peso de un cuerpo de masa conocida puede deter. mharse por una proporcibn directa si se mide de una vez para siempre . -~ . -. . - el peso de la unidad de masa; es decir, hay que medir la fuerza de atrac. -cion gravitatoria: en kilogramos para una masa de 1 u.t.m.; en libras para :. una masa de 1 slug; en newtons para una masa de 1 Kg, y en dinas para '. - una masa de 1 g. El mCtodo experimental consiste sencillamente en dejar . .. caer libremente una masa unidad; durante su caida la unica fuerza qur actlia sobre ella es su propio peso, que deseamos calcular, y su acelera..ci6n,- que es la de un cuerpo en caida libre. Consideremos una masa de un kilogramo cayendo libremente. Su . - ~aceleraciones la aceleracion de la gravedad, g rnlseg2, correspondiente al i-. 1-.---. Punto donde tiene lugar el experimento, que en numeros redondos es :.z.~.~... -.:

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C . ~ _

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84

SEGUNDA LEY DE NEWTON

[CAP.

5

9,8 m/seg2. Por definition, una unidad de fuerza (unnewton) imprime a llna masa de 1 Kg una aceleracion de 1 rnlsegz. Como el kilogramo que cae tiene una aceleracion g mlsegz, la fuerza aceleradora debe ser g veces mayor que la unidad de fuerza o g kilogramos. Con otras palabras, un kilograrno pesa g newtons, siendo g la aceleracion loc'al de la gravedad expresada en m/seg2. En numeros redondos un kilogram0 pesa, aproxima-

darnenie, 9,s newions. Si el cuerpo que cae es un slug, con una aceleracion de g pieslsegz, o sea, 32 pieslseg2, la fuerza aceleradora debe ser g libras, puesto que, por definicibn, una fuerza de una libra imprime a una masa de-un slug una aceleraci6n de so10 1 pielsegz. Por consiguiente, un slug pesa g libras, donde g es la aceleraci6n local .de la gravedad expresada en pies/segz. En nlimeros redondos, un slug pesa 32 libras, aproximadamente. Por un razonamiento anlogo veriamos que un gramo pesa g dinas, siendo g el valor local de la aceleracion de la gravedad, expresado en cmlseg2. En numeros redondos, un gramopesa, aproximadamente, 980 dinas. Todos 10s cuerpos, cualquiera que sea su masa, caen con la misma aceleracion si la experiencia se hace en el mismo punto de la superficie terrestre. Resulta de ello que l a fuerza aceleradora o peso de u s cuerpo es directamente proporcional a s u masa. Si no ocurriera asi-si, p. ej., el peso de una masa de 2 slugs fuera ligeramente mayor o menor que el doble del peso de una masa de 1 slug-, la aceleraci6n de una masa de 2 slugs en caida libre no seria igual a la de una masa de 1 slug. Por consiguiente, peso y masa son proporcionales, y como se conoce el peso de cada masa unidad puede hallarse el peso de cualquier cuerpo de masa conocida, y viceversa. El razonamiento precedent% puede resumirse mucho con solo aplicar la segunda ley de Newton a un cuerpo de masa m en caida libre. La fuerza resultante sobre el cuerpo es su peso w, y su aceleracibn es g, con lo que la ecuacion F = ma se reduce a w = mg. Dicho de otra manera, el peso de un cuerpo, cuando se expresa en unidades de fuerza de cualquier sistema, es numericamente igual a su masa, expresada en unidades de masa de dicho sistema, multiplicada por el correspondiente valor de la acele--raci6n de la gravedad: W

-

w=mg;m=- 15-71 9 El lector sabe indudablemente que la fuerza de atracci6n gravitatoria erltre dos cuerpos disminuye cuando aumenta la distancia entre ellos. Por consiguiente, el peso de un cuerpo o fuerza de atracci6n gravitatoria ejercida entre el cuerpo y la Tierra no es una propiedad invariable del mismo, sino que disminuye cuando aumenta la altura del cuerpo, a causa del aumento de su distancia a1 centro de la Tierra. Puesto-que la masa de un cuerpo es una propiedad invariante del mismo, por completo independiente de su posici6n, se deduce de la Ec. [5-71 que la aceleraci6n de la gravedad varia en raz6n directa de la variation del peso. Esto es, la

SEC

5-51

PESO Y MASA

85

raz6n de que g sea mas pequeiia-cuandoel-cuerpoesta mas alto es-que elpeso del cuerpo es menor y, por tanto, se acelera mis lentamente en cafda libre.

,

Una gran parte de la confusi6n existente entre 10s conceptos de peso y de masa debe al hecho de que 10s terminos Irilogramo, gramo y libra se usan a menudo con significad~sdiferentes a 10s que tienen en 10s sistemas mks, cgs o gravitatorio inglks. En el sistema absoluto de unidades anglosajon, la unidad de masa es la masa de una Libra patron, el mismo cuerpo cuyo peso es la unidad de fuerza del sistema graritatorio inglb. E l nombre libra es el que se da a esta unidad de masa, de donde resulta que se aplica el mismo nombre para designar la unidad de fuerza de un sistema y la de masa del otro. Una confusi6n anAloga tiene lugar con la palabra kilogramo, que se aplica a la unidad de fuerza del sistema tdcnico y a la unidad de masa del sistema mks. L a unidad de fuerza en el sistema absoluto anglosaj6n B el poundal, definido como la f a e n a que comunica a una libra masa una aceleraci6n a e 1 piejseg2. Puesto que la l h masa ecruivale a 1/82 del slug, el poundal es 1/32 de una libra fuerza, o sea, aproximadamente, media onza. El sistema absoluto anglosaj6n se utiliza poco en 10s Estados Unidos (salvo en ciertos textos) y no lo emplearemos en Bstel. Siempre que se use la palabra libra sera con referencia a una fuerza. Existe otro sistema (incornpleto) de unidades en el que, a1 igual que en 10s siste. mas tdcniw y gravitatorio ingles, la unidad de fuerza se define arbitrariamente, con ' preferencia a la de masa. Este sisterna adopta como unidad de fuerza el peso de un gramo que se denomina gramo-fuerza y vale 980 dinas = 0,0022 lb. El grarno-tuerza se utiliza usualmente como unidad de fuerza en 10s textos elementales de fisica.

EJEMPLO 1.-La

aceleraci6n de la gravedad en St. Michael (Alaska) es 32,221

. pieslseg'. E n la zona del canal de Panama es 32,094 pies/sege.

~ C u es a el peso en 1ibras;en cada uno de estos puntos, de un cuerpo cuya masa es exactamente 3 slugs?

Resp.: 96,663 lb; 96,282 lb.

EJEMPLO 2.-~CuAl es la masa, en unidades tdcnicas, de un hombre que pesa '80 Kg en nn lugar en que g = 9,s rnlsegz? cull seria su peso en un punto en el cual g.= 9,81 m/seg2? - . . M p . : 8,163 unidades tdcnicas de masa: 80,079 Kg. EJEMPLO 3.---Calculad --

westra propia masa en unidades tkcnicas. T6mese

unidades cgs y mks? T6mese g = 980 cm/seg2. Resp.: 1020 g. 108 dinas, 10 new.

EJEMPLO 5 . 4 5 4 g pesan una libra. Calculad vuestra propia masa en slugs y w e s t r o propio peso en libras. EJEMPLC 6.-i,Cual es la masa, en gramos, de un cuerpo que pesa exactamente una dina en un punto en que g = 980 cm/seg2? LCUUes la masa, en kilogramos, de 1 Con excepcidn de 10s capltulos de Calor, donde, seg6n es practica usual, utlli7.remoS .-.._COmo unldad demasa la correspondiente a la libra patr6n.

1 I

SEGUNDA LEY .DENEWTON

de kilogram0 6 100 g); 1/32 slug.

F = ma

T

(En 10s siguientes ejemplos, el valor de g se tomarh-igual a . 9.8 m/seg2, 980 cm/seg2 6 32 pies/seg2, a menos que se diga otra cosa.)

E l viajero estA representado esquemlticamenLe en la .

= ma = 1,5

x 6

= 9 Ib.

EJEMPLO 8--~Qud fuerza es necesaria para comunicar a un bloque cuya masa cs 48 g una aceleraci6n d e 6 crnlsegz? Puesto que se d a directamente la masa del bloque,

.

,

fuenas es, por tanto, P i i

i

F = ma = 48 x 6 = ,288 dinas.

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sor una fuerza de 88,163 Kg. EJEMPLO 12 -El conductor de un autombvil, que lleva una velocidad de 72 Kmp :. , - . i nuna carretera horizontal, aplica 10s frenos y detiene el coche en un recorrido de 40 m. Si el peso del coche con su carga es de 800 Kg, y su aceleraci6n constante, calcdlese la fuerza de rozamiento entre 10s neumhticos y la carretera. La masa del autom6vil es 81.63 unidades t6cnicas de masa. Su aceleraci6n puede deducirsc?-de la ecuaci6n dL = u20 + 2 a ; : .

- 2 m/seg2.

fuerza hbrizontal requerida: La fuerza resultante F , ejercida sobre el bloque, es:

.

10 K g

v - g L

i. i

-

-.

..

..- ..

.

a.=-5m/segZ.

El valor de la fuerza de frenado P es, por consiguiente,

-9

f u e m rcs111t a n t e es P - ru.

no. 5-5.-~a

F = ma; P - 5 = 10 x 2 = 20 new; P = 20 + 5 r . 2 5 GW.

EJEMPLOIO:-U~ ascensor que pesa 8 ton est6 sometido a una aceleraci6n dirigida hacia arriba, de 1 rnlsegz. Calcdlese la tensi6n del cable que lo sostiene. Representemos p o r T (Fig. 5-4) la tensi6n en kilogramos. La fuerza resultante

.

;

por la aceleraci611, w

luervl resultanlc es T - w.

PIG. 5-4.-La

1

De acuerdo con la tercera ley de Newton, el viajero ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el piso del ascensor Por, ello, cuando el ascensor tiene una aceleraci6n ver-

f

de 4 mlseg en 2 seg, partiendo del reposo, si la fuerza de rozamiento entre el bloque y la superficie es constante e igual a 5 new? Puesto p e las fu-s son constantes, el bloque se mueve con acelerad6n constante y como la velocidad aumenta desde cero a 4 mlseg en 2 seg, la aceleraci6n es

Jj I , \ IVR

= ma

- 80 = 8,163 x

Por tanto,

P = 88,163 Kg.

I

i

bloque de 10 Kg permanece en reposo sobre una superficie hori-

- w = P - 80 Kg. F

P

b

EJEMPLO9.-Un

1

T = 8816,3 Kg.

la segunda ley d e Newton, se deduce:

F

- 8000 = 81693 x

: ..

.

, . , : . : I ,

El signo menos significa que la ruerza esth dirigida hacia la izquierda, si el coche estaba inicialmentc mo-

sin rozamiento, que forma un gngulo 0 con la horizontal? Las fuerzas que actdan sobre el bloque son: su peso y la fuerza normal ejercidn por el plano (Fig. 5-6). No se dan como datos ni el peso ni la masa del bloque; por. para designar uno u otro. Designemos pOr u, el tanto, hemos de utilizar una

.

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1

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Q4


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88

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SEGUNDA LEY DE NEWTON

erecha. ~ i s i s t e m ade fuer-

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del plano y descompongamos w en sus co sobre el plano, las componentes se@n el eje Y e s t h en. equilibria, y N = w cos 8. La h i c a fuerza que queda es, pues, w sen 9, que es, por consiguiente, l a fuerza resultante ejercida .sobre el b l o p e . E n funci6n de su peso w, mu. . del Bkque es m = w/g. Portanto,

II

I: :i ;I

r

//

ii

I;

.w sen

.. II1,

I! 11~:1 :

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r 11 FIG. 5-6.-N y w son las fuerzas ejercidas sobre el bloque. La

.

..

.

Puesto que el peso no aparece en el resultado final, se deduce que cualquier bloque, independientemente de su peso, deslizarh sobre un plano inclinado liso, d e pendiente 8, con una aceleraci6n g sen 6. Los siguientes ejemplos aclaran algunos casos

ejemplo analog0 a1 anterior ha sido estudiado ya en l a seccidn 2-5. Destacaremos una vez. mas que, en tales ejemplos, es necesario considerar separadamente cada parte del sistema, y representar en diagramas de fuerzas- distintos todas ]as fuei-zas ejercidas sobre la parte del sistema que se considere. Este procedimiento afsla cada VeZ una parte del sistema. El completo d e fuenas que actda sobre la parte aislada constituye un sislema de fuenas. E s de l a mayor importancia comprender este procedimiento de aislar u n a parte del objeto estudiado y reconocer el sistema de fuerzas que actda sobre Q. una superficie horizontal, sin rozamiento, unidos por una cuerda A, y son arrastrados sobre la superficie por una segunda cuerda B, adquiriendo una aceleracibn de 0,5 mlseg? Represdntese en un diagrama el sistema de fuerzas que actda bloque, y calcuese la tensi6n en-cada cuerda:

- N,

-

'

(

i

r;

C

f

~a cuerda A sirve simplemente para transmitir una fuerza de un bloque a otro, ::., modo que ]as fuerzas designadas por T A constituyen una pareja de iuerzas de acci6n rea&6n, y son numdricamente iguales. Puesto. que las fuerzas verticales sobre cada bloque e s t b en equilibria, N1= 8 Kg, y Nz = 16 Kg. Por tanto, la fuerza resultante &,re el bloque de 8 Kg. es TA,y la fuerza resultante sobre el bloque de 16 Kg es La aceleraci6n de eada bloque es 0,5 mlseg2 (dato). Aplicando la segunda a- . . ~ c ya1 bloque de 8 Kg, tenemos: .Lb..-..:, . . 8 3 T A = - x 0,5. 15-81 xr 4 9 8 ., ..~ :,. ..: :.F ... A~licandola segunda ley al bloque de 16 Kg, se obtiene: .x & ,, y;.,:.. ->:<-, 2 - .-..::. 16 - : ... ~. . T B - T A= x 0,5. 9,s

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2

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gi?:. .

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T A = 0,408 Kg,

T B = 1,224 Kg.

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.,

-'-O b s h e s e atentamente que, aunque la mano ejerce una tracci6n de.1,224 Kg sobre d sistema a travbs de la cuerda B, esta tracci6n no es transmitida como fuerza de K~ al bloque de 8 ~ g E~ . la cuerda A la que ejerce la tracci6n sobre el bloque de 8 ~ g y , la tensibn de ]a ,-uerda A es s6l0 0,408 Kg. & ,.-.: :..sfdes-os finicamente la tensi6n de la cuerda B, puede considerarse el sistema -.- ...~foimadopor ambos bloques. La masa del conjunto es 2,448 unidades tkcnicas, y ... . +... .-: h-fuerm res*nte ejercida sobre el conjunto es simplemente la tensi6n de la cuer% :-daB. Por consiguiente, 'i. . 4 . . T B = 2,448 X 0,5 = 1,224 Kg. .

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Snmando las Ecs. 15-81 y 15-91, se obtiene:

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8 16 (= + =) 0.5 X

= 1.224 K 8 .

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1. .

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a = g'sen 8.

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89

PESO Y MASA

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16 K g

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FIG. 5-7.

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Aislemos cada-cuerpo como se indica por las lfneas de puntos, y dibujemos nn diagrama de fuerzas para cada uno. Representemos por 2'1 y T B las tensiones de las cuerdas A y B. E l sistema de fuerzas que act6a sobre el bloqtxe de 8 Kg esth farmado por: a) su peso d e 8 Kg, dirigido veeicalmente hacia abajo; b) l a reaccibn normal Nl

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.

Coma mera tCcnica para la resolution de problemas no hay diferencia esencial entre 10s puntos de vista de Newton y de D'Alembert, pues ambm conducen a las mismas ecuaciones; sin embargo, para la clara cam-. prensi6n de 10s principios de la dinimica es preferible el mCtodo de Newton, por lo que en esta obra no utilizaremos las fuerzas ficticias de D'Alembert.

(conociendo la segunda ley de Newton) razonarh, por tanto, ecomo la aceleraci6n del Cnerpo (scan 10s datos que Q tiene) es cero, la fuerza resultante sobre el cuerpo Lers tarnbidn nulav. De acuerdo con ello concluye que, eadem4s de las fuerzas reales Cnya resultante es F, actda sobre el cuerpo otra fuerza -ma para mantener el equi-

- - !&-dos,

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.

-

.

el lector debe eansvltPr un libro especid de rnee8nica.

,

.:' 5-7.

;:

~insidad.-La densidad de una sustancia homogenea se define

'm en p m o s par centimetro dbico, kilogramor por metro clibico, 0 slugs par pie clibico. Representaremos la densidad por la letra griega p:

1 -

:

...*

.

rn p =.-; i: . _- . .. . - ._ -v -.. C ..c-~ a ' d e f i i c i 6 nanterior se 'refiere a la densidad media de un-cuerpo. 2.. -.. Si.la densidad varia d e un punto a otro, la densidad en un punto deter-

.

.:;

--

.

-

-

...

.-

-

.

*-

;.-:;:,muado se define considerando un pequeiio elemento de vdlumen dV, i p e comprenda a1 punto, y hallando el cociente de la masa del elemento. r, ;- dm, por su volumen dl7: ;~ dm p

t

-'

.;;.

:

--

..-

=-.

La masa total del cuerpo estari expresada por

.-

.

-

:

,

+ .L+---. ,."-;:t,;

.

Para precisar las ideas es necesario decir que en el principio de D'Alembert hay algo rn4s que la adici6n de una fuerza ficticia -ma a1 sistema real de fuerzas que actlian sobm el cuerpo. Si el sistema de referencia del observador se mueve con la misma

(4 Los puotos de vista d e Newton y de DyAlembert d ilustran en la figura 5 9 , qUe representa un cuerpo de masa m, arrastrado hacia la de-

)

2

[511]

forma de la ecuaci6n podia inbrpreD'Alembert observb que tarse de la manera siguiente: Supongamos que ademas de ]as f u e m s reales ejemidas sob= Un cuerpo act[la tambi6n sobre B una fuerza fidicio, de igual magnitud pero de signo opuesto a1 producto. ma; en otras palabras, una fuerza ficticia -ma. Esta fuerza se denomina a veaes fuerza de hercia 0 reaccidn de inercia. Dado que F -represents la resultante de ]as fuerzas reolcr exteriores, F - ma serA la resultante de todas las f u e r a s , incluida la fuerza ficticia -ma. La Ec. [5-111expresa entonces que la fuerza resultante sobre el cuerpo es nula. Por consiguiente, el problema se reduce a uno de equilibria y puede resolverse por 10s m6todos de la esGtica.. Esto es, todo cuerpo, este o no acelerad& puede- cq.nsidera= .en e q a r i o bajo el~-efeetocombinado de las fuerzai reales ejercidas sobre Cl y de una fuerza ficticia de magnitid iguil a ma, pero de sentido opuest6. Esto constituye el principio de D'Alembert. m

. ':

///////////////////////

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I

segunda ley de Newton

F-ma=O.

I'

'

Principio de D'Membert.-La

puede escribirse:

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I,!!\

i_ C-

O b s b e s e atentamente que aunque la Tierra atrae al bloque suspendido con una fuw= de 8 K*, esta tuwm no r trammite . Iblowe de 18 Kg. La fuerza sobre ate 6ltimo es la tensidn de la cuerda que 10s une, y 6 t a tiene que ser menor de 8 K ~ en ; case contrario, el bloque de 8 Kg no serla acelerado hacia abajo.

1,:"i

I

."

a = 3,26 mlsegs; T = 5,32.Kg. .

I 1 1 I I I

. .

:-,.;

.

-

. - . (

.

r n = f d m =Jpdv,

.

-

. -

92

SESUNDA LEY

-DENEWTON

IcAP.

d o n d e 10s lirnitesde integraci6nhande elegirse de forma g u e incluyan el volumen entero del cuerpo, siendo p una funci6n de las coordenadas de dV. ...

.

.

Sustancia

nc~lsidad(glcm')

Acero . . Alurninio Bronce Cobre . Hielo . Hierro. . Oro . . . Plata . Platino . Plomo .

. .

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1,OO

Giicerina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1,26 .13,6

Agua

I I

:I

1 1

di

1

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I I I 1

f :. ;:; p&diculares

En ingenieria y tambikn en el lenguaje ordinario, la palabra densidad se utiliza para designar el peso por unidad de volumen, siendo la unidad en el sistema tCcnico el kilogram0 por metro cubico. Esta magnitud puede distinguine de la definida anteriormente IhmAndola peso especijico; p. ej., el peso especifico del agua es 9800 newtons por metro cubico; su densidad es 1000 Kg por metro cubico. En el sistema tCcnico, el peso especifico del 1000 agua es 1WO Kg por metro cllbico y la densidad unidades tCcnicas de 9.8 masa por metro cubico. La densidad relaliva de una sustancia es la raz6n de l a densidad de esta sustancia a la del agua, y es, por tanto, un numero abstracto. La densidad relativa del plomo, p. ej, es 11,3 en cualquier sistema de unidades. 1000 En el sistema t6cnico;la-densidad del plomo ;s 11,3 x -- 1150 uni- 9,8 dades -t6cSs de masalms, y iu peso especffjco ks 11.3 x 1000 = = 11 300 Kglm3. E n el sistema cgs la densidad del agua es 1 glcms, y la densidad del plomo es 11,3 glcma. En el sistema mks, la densidad del agua es 1000 Kg/m3, y la densidad del plomo, 11 300 Kg/mS.

I I

La parte esencial de la balanza de brazos iguales utilizada en analisis es una palanca ligera, rigida, sobre la cual e s t h montadas sblidamente tres cuchillas de agata igualmente espaciadas, paralelas entre si y per-

-

-

central descansa spbre un plano de Bgata perfectamente pulido, sostenido desde el fondo de la caja de la balanza. Los platillos de Csta cuelgan de dos pequeiias placas identicas que descansan sobre 10s bordes de las cu- -- chillas.situadas en 10s extrernos de la balanza. Una aguja o fie1 vertical, fijo a la palanca, oscila frente a una escala. E - - -. .Los bordes de las cuchillas actuan practicamente como pivotes sin -& g - . ."".~zarnientoPuesto que 10s platillos pueden oscilar libremente alrededor . . . de las cuchillas que 10s sostienen, el centro de gravedad de 10s platillos y i . de 10s pesos colocados sobre ellos se encuentra siempre en la misma ver. . P - .> tikl que pasa por el borde de las cuchillas. El centro de gravedad -de la .

.

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7

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.

w

(b)

F1~..3-10.-kialanzade brazos iguales usada en andlisis.

- .. .-

balanza es, por consiguiente, un cuerpo en equilibria bajo la acci6n de - . u n cierto numero de fuerzas paralelas. Para usar la balanza, se coloca un cuerpo de masa desconocida, ml,en el platillo de la izquierda, y en el de la -.. derezha masas conocidas mz. Supongamos que mz sea ligeramente mayor . que ml.Las fuerzas que acttian sobre la cruz de la balanza estPn repre-

....

I : .

-

'
'

. 3<:,.

.

-

. . . . . . .

E :.?.

.

-. resultante .- .., .

,

.

---

-.

...

que actua sobre la cruz es (m2g)

L - (mlg) L = (m2- mi) gL,

en el sentido de las agujas del reloj. Este momento no equilibrado obliga a la cruz a inclinarse como se indica en la figura 5-10 (b). Cuando esto su. .-cede, el momento actuante disminuye y se reduce a

L

de brazos iguales para analisis es un instrumento corriente de laboratorio, destinado a medir masas con p a n precisi6n. Aunque a1 utilizar la balanza se habla de pesar, y el conjunto de las masas patrones empleadas se denomina coleccion de pesas, lo que la balanza mide realmente son masas y

I

a1 eje longitudinal- de la. palanca. E l borde d e la-cuchilla

.

.

.

93

BALANZA UTILIZADA E N ANALISIS

5

.

k -

-

F-

-- -:,-T -

. . . . . .

.

-zi

-I.z-

.

.

...

. .

Sealcanzarh, finalmente, una posici6n de equilirio, en la cual estos dos

i

SEC. 6 2 1

CUERPO LANZADO HOHIZONTALMENTE

-:i

101

una pista- horizontal 5 finalmente, abandona esta y se mueve como Despues de abandonar la pista horizontal, la unica fuerza f - - - sue a c t ~ i asobre la pelota es su peso. -

,_ m.proyectil.

,

CAPITULO V 1

FZ = 0 = ma,;

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

F,=mg=rna,.

6-1. Proyecti1es.-En este capitulo estudiaremos el nlovii~~iento de un proyectil, tal como una pelota de golf o de base-ball, una bomba abandonada desde un avibn, una bala d e rifle o una granada de caii6n. La curva descrita por el proyectil recibe el nombre de trayectoria. La resistencia del aire tiene una influencia importante sobre la forma d e la trayectoria, lo que hace que el estudio completo del movimiento sea extremadamente complicado. En realidad, el objeto de la balistica exterior, que es la denominacion aplicada a1 cidculo de la trayectoria de las balas o granadas, constituye por si misma una ciencia. Sin embargo, en esta exposicibn despreciaremos 10s (importantes) efectos de la resistencia del aire y supondremos que el movimiento tiene lugar en el vacio. El movimiento de un proyectil se estudia facilmente con ayuda de la segunda ley de Newton, expresada en forma de componentes. Como hemos visto en el capitulo anterior, puede considerarse que cada componente de la fuerza ejercida sobre el cuerpo produce su propia componente de aceleracibn. POI' tanto, si F, y F yson las componentes, Segun 10s ejes X e Y , de una fuerza F ejercida sobre un cuerpo de masa m, la componente F, de la fuerza es igual a1 producto de la masa por la correspondiente componente de la aceleraciirn,- y,la componente F , sera igual a1 producto de la masa por la componente segiin el eje Y de la aceleracibn:

FZ= ma,;

.. ,

-

~-

.

CX

= ma,;.

XY' = ma,.

I6-21

Si la masa esta eil equilibrio, a, y a, son nulas; por tanto, en el caso de equilibrio, CS=O; XY=O. Esto es, la Ec. [6-21 comprende, como caso particular, la primera con-' - . dicion de equilibrio. . 6-2. Movirniento de un cuerpo lanzado horizontalmente.-Ta figu-

,.-.,

. $ ...-?...-. . r :: aceleracion

[6-3 I

[6-4 1

I

I

horizontal, y l a cornponente horizontal de la velocidad &:;-.I. ..- permanece constante e igual a la -r= . velocidad sobre la porcibn horizon$";:?:.tal de la pista. E&O queda com- FIG. 61.-~celerecibn constante durantc el descenso por el plan0 inclinado, velocidad .<,:probad0 por el hech9 de que la constante en el recorrido horizontal, y cornE. .:':z:~ paraci6h horizontal de las imabinacibn de velocldad constante y aceleracibn f constante despues de abandonar la pista. ;:..-:.;._genes se conserva constante en toda .. y-,;,ra . trayectoria. Por otra parte, pues6 . .. .to que hay una fuerza vertical resultante, habra una aceleracion verp tical k; .. .

+.

\r

. L C . .

1

.;

... . . - .: ,,:...,. ,

La.aceleracion vertical se deduce de la Ec. [6-41; a saber, a, = g. Esto

g:-;:es, la aceleracidn vertical es la misma que la de un cuerpo que cae a lo

-

..

..

P,- :,:..;.que ....:.

tenga a1 mismo tiempo una componente horizontal de velocidad.

F'~:z$?,L~ velocidad de avance del cuerpo no lo sortiene durante su caida. '.'..> .,v... .-..... ....

demostracion interesante de este hecho nos la proporciona el experiment0 indicado en la figura 6-2. Mediante una pistola -de resorte colocada en .la parte superior izquierda de la figura, se lanza horizontalmente una pelota. Cuando abandona el cafibn de la pistola, actua sobre un pequefio interruptor que abre el circuit0 de un electroiman y deja caer lina segynda bola desde la parte superior derecha. Puede verse aue ambas bolas g .:;,.r . / descienden exacta Aente. la misma z .z . ': fie. . 6-2.-La aceleracibn vertical es la misque cuando ..la primera m a para ambos cuerpos. F . -" .. alcanza la trayectoria de la segunr .:; da, tiene lugar el choque en el aire. *. .-:.: *. La figura 6-3 es un dibujo correspondiente a una parte de la trayec-

-

$

--- Una ,

:

-

t

,

t

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-:-'

,. -~. \ .,

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t

i5

4

.

P

it\

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~,..

....

.

wj-

--

.

,

'V

- . -..-. Puesto

'I

que g y u,son constantes,Aa expresien encerrada dentro del

- part5ntesis es tarnbi6n.constante, y la representarernos por k. Por consi-

-

guiente, la ecuaci6n de la trayectoria adopta la forma y = kx2,

.... .

..

. .

dolas poi el mCtodo corriente de adicion de vectores. La componente horizontal de la, velocidad se ha designado por v, en la figura' 6-3. Hemos vist.0 que la aceleraci6n ho-

..

I

.... -

,

.

.

..

,

.

=

.Y

la componente horizontal, v,, de la velocidad permanece constante durante el movimiento. Puesto que la iiceleraci6n vertical es y (tomando como positiva la direccion hacia abajo), la componente vertical de la velocidad, a1 cabo del tiempo I,sera: .GI:

6-3.-Trayectoria de un cucrpo lanzado horizontalmente.

q& corresponde a una parabola.

r

k.

1

0.

:

-

z = v,l = 140 x

t~

F

&.

,

'

...

$ ' ~ ~ c o m ~ o n e nvcrtical te en dicho instante,

;.

-

F

:

x

1 = 20 cm,

u, = const. = 140 cmlseg.

k ?.

.-

El vector velocidad, u, es tangentea la trayectoria;.<su direcci6n en cualquier instante es la direccibn en que semueve en dicho-in? - - -- elproyectil . .~ - - . ..h*e... El desplazamiento horizontal a1 cab0 del tiempo es: .. . . -.-.: . . . ~. . . y el desplazamiento vertical,

~-

&r debajo del misrno. La componente horizontal de la velocidad es:

6

_--A-

-.

'

-

.

.

(la velocidad vertical inicial es cero). . La magnitud de la velocidad es, por tanto,

.

.

E i m P L o - ~ a pelota de ~a.figura6-3 abandona la pista con una velocidad .D & 1-40cmlseg. Calcblense su posicidn y su velocidad despu6s de lh seg. El desplazamiento horizontal es:

-... - '

F'.

y su direccion queda determinada *,.- por

'

:-. .

8..

,

.

i.

.:.

~

-

-

1

I ..

...

Y,P?Fto,qur .. .

.. . ., . .-

-.. . ..

>,=.

'

"

.

u, 140 tgfj=-=-=I, 140-

-

__

-_

. .-

= vzt, ;-

1...

-. - velocidad inicial .que forma un cierto angulo 0 por encima (o por debajo) - de la horizontal. La trayectoria representada en la figura 6-4 se ha to.

f-

.:L.

t

'*

L-

-" -

-

--

mado de una fotografia de iluminaciones sucesivas, a la cual se han aAadido 10s ejes X, Y, 10s vectores velocidad. Sea vo la velocidad inicial. Sus componentes hGizonta1 y vertical son:

-. .

VO, = vo

cos 0;

00,

= vo sen 0.

-

-

-

-

104

-

MOVIMIENTO DE UN PHOYECTIL

[CAP.

6

Como en el caso de la figura 62, la componente horizontal. de la-veloddad permanede constante durant5 el movimiento. El movimiento en sentido vertical tiene aceleraci6n constante dirigida hatia abaki y equivale a1 de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial uo sen 0. A1 cab0 de un tiempo t despub de partir, la velocidad horizontal es:

y la velocidad vertical, . -. v,=voy-@=DO sen 0-gi.

SEC. 6-31

I

- . Puesto

.

zg--

-Par tanto,

-

k

1 h6 --

formando Itn Rngulo 8 con la horizontal.

que 2 sen 0 cos 0 = sen 2 8, la Ec. [6-111 pwede escribirse: uo2 sen 2 0 R= 9

para un Angulo de elevacibn dado, el alcance horizontal a

proportional al cuadrado de la velocidad inicial. Puesto que el valor maxim0 de sen 2 8 es la unidad, el alcance miximo horizontal, Rmrizres u$/g. Per0 para sen 2 0 = 1, 2 8 = 9 0 0 , y 8 = 450. Por consiguiente, el

maxim0 alcance horizontal, no teniendo en cuenta la resistencia del aire, -se obtiene cuando el Angulo de elevacibn es de 4 5 0 . Desde el punto de vista artillero, lo que ordinariamente se desea conocer a el h g u l o de elevacibn que ha de utilizarse para una velocidad inigal DO dada, con objeto de batir un objetivo cuya posici6n es conocida. S el blanco y el calbn e s t b a la misma dtura, y el primero se encuentra a una distancia R, basta despejar 0 en la Ec. [6-121:

h

.i,

[ y = D&

105

CUERPO LANZADO NO HOHIZONTALMENTE

El desplazamiento horizontal a:

FIG.6-4.-~ra~&toria de un cuerpo lanzado

y el ve.rtica1,

[MI

f

Siempre que R sea inferior a1 alcance m a x i m ~ esta , ecuacibn tiene dos soluciones para valores de 8 comprendidos entre 0 0 y 900. Asi, si R = 240 m; g = 9,8 mlseg2, y g = 60 mlseg; " .

- 1k.gF = (VO sen 8) i - 112 giz.

La altura m h i m a , h, se alcanza en el instante en que se anula la componente vertical de la velocidad. Haciendo n, = 0 en la Ec. [6-61. encontramos para dicho instante el valor g sen 0 !=.9

240 9'8 602 -= 400 46', o bien, 1800

El tiempo que tarda el cuerpo en yolver a sualtura inicial se deduce haci&do y'='O. Esto da .

= 1 3 9 0 14':

.

L-

Por consiguiente, de la Ec. [6-81 se deduce que la maxima altura es

- 400 46'

- . ~ u a l ~ u i e rde a

estos Angulos da el mismo alcance. Naturalmente, el -tiempo de permanencia del proyectil en el aire y la altura m k i m a ' alcanzada son mavores para la [ ... trayectaria que cbresponde a1 :. . ':h g u l o mayor. r?g- .:..-; . ' . . La: figura 6-5 representa una

.<"

- d e la Ec. [6-81.

!=

2 DO sen 8 ,.--8ngulos de elevaci6n de

&-.--:

,..

el cuerpo en alcanzar el punto mas alto. El desplazamiento horizontal, cuando la bola vuelve a su altura inicial, se llama alcance horizonial. Sustituyendo en la Ec. [6-71 el valor del tiempo que tarda en alcanzar este punto, se encuentra:

R =

2 vo2 sen 8 cos 0 9

-.A:

:-.

:r --,=zte) 10s mismos para 10s angulos

Fi--_':-de3 0 0 y

'~

......

600,

y que ambos son me-

que a 4 5 0 (la pistola cOResponde resorte no comunica e x h m e n t e la mis-

.:-diente

. .; -': _ . _ .r _ _ . L -.

f:

[6-11 I

300, 4 5 0

-1;-g 600. Se veri que 10s alcances -horizontales son (aproximadamenfj

~.

dngulo de ele\.aci6n de 45- da el alcance horizontal m8ximo.

Flc. 6->.-El

112

-. CENTHO DE MASA

.-

1 puesb-r---

[CAP.7

C

D e becho -ya hemos utilizado este c o ~ c e p t oen el capitdo V, que en todos 10s ejemplos de aceleraci6n de un cuerpo por la acci6n de cualquier numero de fuerzas exteriores se ha supuesto im~licitamente que las fuerzas pasaban todas por un mismo punto. em& ahora que este punto debe coincidir con el centro de masa del cuerpo. 7-2. Coordenadas del c~ntro-demass.-Resulta facil ver por que la i varilla gira, a menos que reciba el golpe en el punto apropiado. Cada una de las masas situadas en 10s extremos de la varilla se acelera por la accion de la fuerza ejercida por *ta sobre aqudllas. Por la tercera ley de Newton,

-

113

COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

sx. 7-21

P o r i a s q ~ n d aley de Newton se tiene:

- -

F

1

- yl

-.f'2

= 0.

El segundo miembm de esta ecuacion es cero a causa de habex supuesto nula h masa de la variHa. las tres ecuaciones precedentes' obtiene: Si se

. I-

I--

F

+

(I1

- f'l)

+u2 -

112)

=

(m1

+

m2)

a.

las reacciones a las fuerzas fl y Ahora bien: por ser y q e fl - = 0 y f2 - y2 = 0; por consiguiente:

F--

--c

F

1fi;.!

f2,

resulta

+ rnz) a,

F

: igual asi que la aceleracion del sistema es la misma que la de una masa puntud a la suma de las masas y me. El hecho d e que las masas se en-

1.. 1;

F = (rnl

- 0 bien:

f

i,

.

rl

ml

. .

-

cuentren separadas no influye en la aceleraci6n que les cornunica la -hens exterior F.

ii

.I i.

:

6"

li.

cada masa ejerce sobre la varina una fuerza igual y o p u p t a a la que la varilla ejerce sobre ella. Si consideramos el punto de aplicaci6n de la t - . .:. fuerza exterior como un pivote, una de estas reacciones produce un mo- f.!: .. y;-. FX = ~ ' I X I 1'2x2; mento de un cierto sentido sobre la varilla; la otra, un momento de sentien cuenta que do contrario. El centro de masa es aquel punto p'articular de aplicaci6n de 1:P- i " o,'teniendo ., la fuerza exterior para el cual dichos momentos son iguales y opuestos. . ..- .; = 12 =ma; f'l = fl = mla , y En primer lugar vamos a deducir una expresion de la abscisa del cen- i . . . .,. . .. . ,. . .. .,,: . tro de masa de un sistema constituido por dos masas puntuales ml y rnz . . ...fijadas en 10s extremos de-na v e a - r i g i d a cuya masa es ,despreciabIe. - i_ El sistema esth reprisentadv en la figura 7-2 (a). Se; desprecian las fuerzas Jhalmente, ya que, segun hemos visto, a = F/(rnl + m2), de rozarniento y gravitatorias. La f u e n a exterior F esta aplicada en el . . .. centro de masa, cuya abscisa x nos proponemos calcular. Sean X I y x2 las abscisas de ml y m2, respectivamente. Zos diagramas de fuerzas de las masas ml y m2 e s a n indicados en la figura 7-2 (b), en la que 11 y f2 representan las fuerzas ejercidas sobre ml y m2 por la varilla. Por hipbtesis, la fuerza F actua en el centro de masa, de forma qde el sistema esti animado de un movimiento de traslacibn pura, y ambas masas tienen la misma aceleracion a. De la segunda ley de Newton resulta: . . es la expresi6n buscada para la coordenada X del centro de 7L:...i .'?'Esta :, r11 = mla; f2 = mea. i. masa del sistema. i. . . : ,..~ :.. ..... .. Un mCtodo equivalente consiste en determinar la linea de acci6n de E l diagrama de fuerzas de la varilla estA representado en la figura 7-2(c), ~ .. - . .~ .... ~ fuerzas ~ , paralelas , & f'l y Y2. La linea de acci6n de F debe coincidir con donde las fuerzas f'l y f'z son las reacciones a las fl y f2 de la figura 7-2 (b).

+

%., 1

*:

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:

i

'

/Iz

L

-_I-.-.

:

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-

*;y

I

lllr I ,r,,l

.-

11

.

114

.

. .

.

? ' I

CENTHO DE MASA

COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

esta, incluso si la varilla se halla en equilibria derotacion; por consiguiente, el centro de masa se encuentra sobre la linea de acci6n de la resultante de las fuerzas de reaccion y 1'2. Por razones de sencillez hemos aplicado la deduccion precedente a1 caso especial de dos masas puntuales situadas sobre el eje X. No es dificil probar que para cualquier numero.de masas puntuales ml, mz, etc., y coordenadas X I e yl, xp e y ~ etc., . las coordenadas Z e ij del centro de masa son: X

=

zm '

y e -

I&

-

Y=-

Jydm

1

dm

Los limites de integration han de ser tales que incluyan todo el cuerpo. 1 Debe observarse que la Ec. [7-31 es de la misma forma que la Ec. 13-81 1 que da las coordenadas del centm de gravedad. E n efecto, si escribimos

d m = dwlg, ambas ecuaciones son identicas y, por tanto, el centro de masa coincide con el centro de gravedadl. Sin embargo, es necesario subrayar que en las definiciones de ambos centros se utilizan conceptos esencialmente distintos. El centro de gravedad de un cuerpo es aquel punto por el que pasa la linea de accion de la fuerza gravitatoria resultante, al variar la orientation del cuerpo. El centro de masa es el punto por donde pasa la resultante de las fuerzas de reaceion (tales como f'l y ftz /en la Fig. 7-2) cuando se acelera un cuerpo. Si la aceleracion de la gravedad n o fuera la misma (en magnitud y direction) en todos 10s puntos de un .. -. cuerpo, o -si-la atraccion gravitatoria--desapareciera de nuestro -mundo, e l centro de gravedad perderia todo su significado:si bien subsistiria el concept0 de centro de masa (es decir, si conservaramos la inercia y elirninaramos la gravitacibn). 1 Se demuestra facilmente que la posicion del centro.de masa de un fuerpo o sistema de cuerpos es independiente del origen a1 que esten referidos Z e ij, asi como de la orientacion de 10s ejes X e Y. Daremos desp u b un ejemplo de esto. Si un cuerpo es simktrico, se ve sin dificultad que su centro de masa koincide con el de simetria. Esto es consecuencia del hecho de que al fomar como origen el centro de simetria, para cada dm correspondiente

1

para

I

I

Siempre que la nlaanitud y d i i i 6 n de la aceleracl6n de la gravedad sean las misrnas todos 10s puntos del cuerpo, lo qlle se veriflca en todos 10s casos de inter& prhctico.

-

2 = 0.

y

Por un razonamiento analogo, = 0, lo que prueba que el centro de mas. coincide con el centro de sirnetria.

k

EJEMPU) 1.-Calcblense las coordenadas del centro de masa del sistema formatlo par las cuatro masas puntuales indicadas en la figura 7-3. El lado de cada cuadricula

f

17-3 I

$1

un am-igu5l que corresponde a un vaior

lxdm = 0 y

epresenta 1 .cm.

..

Cm

Es inrnediata una nueva generalizaci6n de la Ec. 17-21 para inclujr cuerpos de tamaiio finito. Podemos imaginar dividido el cuerpo en elementos infinitesimales de masa dm, con lo que, si son x e y las coordenadas del elemento dm, resulta: jdm .x =--

valor posi6vo-de x, -exiite - -quest0 de z; por tant?,

.fl

115

Ernz

~ ' , . ,. ~ ' ~

I = -=

ml

I.-::.' .. ...

..

.. .. .

Ffr

+ 1,7 cm. Cmy 10 (1) + 10 (3) + 20 (2) -+ 30 (0) -C=m 10 + 10 + 2 0 + 30

=

Y

--:

..

EF',

, .",&

*,

+ 1,15 cm.

El centro de masa est4, pues, a 1,7 cm a la derecha del eje Y, y 1,15 cm por encima del eje X.

-,

%'

. :. .

.

*.

:-c.

:.

:-... -. ,. . .. - - . .. ,. . - -

I

.

10 g

"l-:,. . ...

:

1

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y.

y. , ~ . :..:. .

..

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k .:. %

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7

- ..- - .. - . - - .

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X

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-..-

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c.m

10_g

.

~,

Y

20 Y

'

.

**

= y =

f;:

+ 30 (2)

10 (- 1 ) 1 0 (1) 20 (3) 10 10 20 + 30

-

E;

+ + + +

m4

-

~

+-i. :

+ me + m +

.

.

seoci6n constante coincide con el centro de la varilla. Puesto qus la varilla es simetrica respecto a su centro, el centro.de:masa est4 cn c .I-:.: g t e punto. No obstante, vamos a demostrarlo como aplicacidn de la Ec. [7-31. Tomek .,,:;T,mos como origen uno de 10s extremos de la varilla, y el eje X coincidiendo con Bsta :.~:r..Wg.7-4). Sean L la longitud de la varilla, A su secci6n y p su densidad, y conside-. . remos u n elemento de varilla de longitud dz, a una distancia z del origen. La masa dm elemento serk dm PA&. .....

-. -.

.

~ - .

~-

-

z

.

. . F...7,: :..-..:... .-=<:.:,.; , -

2>2,::----. -

-

.

-

.

116

[CAP. 7

CENTRO DE MASA

.Par-wnsigulente,

. -

.

.

:

.

.~.-

..

..

-

.

~

-

"

casos, la acelemibn del centro de masa es la -si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada linea de acci6n de la fuerza resultante pasase por palabras, en cuanto se refiere a1 movimiento de cuerpo de forrna cualquiera, accionado por cual--puier nlimero de fuerzar, puede sustituirse por una masa puntual iocali-

EJEMPLO 3.-40m0 ilustraci6n (no como demostracidn general) del hecho .de +e el centro de masa es independiente de l a 'elecci6n del sistema de coordenadas, volvamos a resolver el problema anterior tomando como origen un punto a u n a distancia b a-la izquierda de la varilla. El lector debe construirse su propio diagrams. Se tiene ahora: 2

I I

1

1

c.v-

C

1 i

0 I

j

1 I

I

-

7.1

@

1

7

.

2d.

X

=--

pddr

+ ,L)S - be

z]:+L

L

EJEMPLO 4.-Determinese el centro de masa del perfil en forma de L, representado en la figura 7-5. Hemos considerado problemas &&logos a bste en relaci6n con 10s centros de gravedad (vbase phg. 51.). El perfii puede dividirse en dos r&&ngulos, se@n se indica. El centro de masa de cada uno

L.

I 1 I

:

F I-

P i

z =

8 -

m a + m2 rnlvl+

mu2

m l + mt-

-

20

+ 20

"71

dm;

I

7-3. Aceleracidn del centro de masa.-Cuando la fuerza resultante aplicada a un cuerpo no pasa por su centro de masa, el movimiento es u n a combinacibn de rotaci6n y traslaci6n. No hemos establecido aun 10s fundamentos que nos permitan hacer un anidisis cornpleto de este tip0 de movimiento, pero hay un aspect0 del mismo que puede deducirse

.-.

rnl 4- mt

= -*

-;: :

-

F rn ' -

. . . .a dembstiif ahora-que. &stas aceleraciones coinciden con las ~.~:--:Vamos F. ... .. ~. X e Y de la aceleracibn del centro de masa. Sean f l z y f l v componentes I - -- E.:EZen-.la figura 7-6 (c) las componentes de la fuerza ejercida sobre rnl por la :?arilla, y sean, aixilogamente, fi: y fzu las componentes de la f uerza ejer+ . __... .que .estAn dadas' par las ecuaciones ? ?, ,

;,:,.,.

-:

I

I

F

-

-'

-

.,,,-

20 ( 5 ) + 20 (1) = 3 dm. -

El centro de rnasa est4 rnarcado con el s h b o l o c. m., y se@n se ve es exterior a1 perfil.

1

-

E' o expresada mediante 'sus _c_omponen?s: -F-z--L--

,

I

--.--La figura. 7-6 (a) muestra el mismo cuerpo de la figura 7-2, sobre el -gue ahora actua una fuerza que no pasa por el centro de masa. En la figura 7-6 (b) estA representada una masa unica m = rnl + m z sobre la 'gue acttia la fuerza resultante exterior F. Su aceleraci6n a es:

recthgulo (1) puede sustitukse por una FIG.7-5. masa puntual de coordenadas 21 = 1, y1=5- De forrna anAloga, el rectbgulo (2)' se sustituye por otra masa puntual de coordenadas 22 = 7, y2 = 1. Las masas de 10s dos trozos son proporcionales a sus Areas, suponiendo que el petill tenga seccibn y densidad unifoimes. Si se suponen &as !.&ales a la unidad, m l = m2 = 20. Las coortlenadas del centro de masa del petid s e r h , por tanto, . . ". . -_. _ . - - -

1 I

-.

(b

8dm

-1

"':I

=

.- ..>.. .

,.,2.,

.-.;.-

...

-,

II

C

t

--.g,

?.

1,

.

I'.

118

CENTRO DE MASA

,

119

ACELERACION DEL CENTHO DE MASA

;'I

Las fuerzas Sobre la varilla esthn indicadas en la figura: como hemos supuesto nula la masaae la varilla,

I

FZ - fiz'

- f2z8 = 0;

son%enerdlizaciones-evidentes de la Ec. [6-2j, y su-significadaientemente aclarado por las fotografias .reproducidas en la a trayectoria del centro de masa del cuerpo (indicada por 10s s de la varilla) es, en todos 10s casos, una parabola; es decir, del centro de masa coincide con el que seguirfa un cuerpo de pequefias dimensiones lanzado desde el origen con velocidad inicial ho*ontal. ObsCrvese que las fuerzas infernas f l y f2 de la figura 7-6 no aparecen en la Ec. [7-71. El movimiento del centro de masa .no es afectado por estas fuerzas interiores, aunque si lo es el movimiento de las distintas masas de un sistema. Una consecuencia de este hecho es que si. la fuer~a exterior que actda sobre un sistema de cuerpos es nula, tambien aceleraci6n del centre de mass del sistema, YY PO^ tanto (generaprimera ley de Newton), el centro de masa permanece en e mueve con movimiento rectilineo de velocidad constante. istema solar, aunque el Sol y 10s planetas ejercen fuerzas entre se mueve siguiendo una trayectoria complicada, el centro

Fy- fly' - 12,' = 0.

.1\1 sumar ordenadamente ambos sistemas de ecuaciones se dbtiene:

h

..

. .

~~.

FZ = mlalz,

+ mzazz;

.

.

F g . = ,rnl?lV i m2azv.

Seglin hemos vista, las coordenadas F e ij del centro de masa son:

I

-

Z =

+ m s 2 Y --- mlyl -I- m2y2 m~ + me

mlx~

respecto

I

Si derivamos dos veces estas ecuaciones al tiemPo como componentes de la aceleracibn del centro de masa:

l

@ : --

dF

i

mlalz ml

+ mza2,. + mz

'

@F

-

dfz

=

mlaly

+ m2~2~'

-

-

--

j I

"

-

a, = ;

I,

o bien: (I

ml+ me

-

a,=

Fv m l + mz' '

F F, a, = - a, = m ' m

.*

,174I

Cornparando con la Ec. [7-41 resulta que la aceleracion del centro de masa es la misma que resultaria para un punto de masa,m = ml + m2,

- -

'

.I r 4

-

.

El volumen del perfil es 2@dm8; su p e s q 98 Kg, y su masa,

[

L' " . .. ..

de cualquier nhmero de fuerzas exteriores, las Ecs. 17-61 equivalen a las siguientes:

,

EZ~EMPLO 1.-Sup6ngase que el perfil a que se hacia referencia en el ejemplo 4 st& apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y que sobre enas de 3 Kg y 4 Kg, constantes en magnitud y direcci6n, tal como se figura 7-8. Supongarnos que el perfil tiene un espesor de 5 cm y que pesa Halese la posici6n de su centro de masa cuando han transcurrido 4 seg.

.

-

'I

.

F,

fuenas ejercidas sobre el sistema por las estrellas, la mhs pr6xima de las cuales dista 4,3 afios luz del Sol).

1 7 1 -CX= mag .CY =ma,

.-

-

-

[7-71

a

#---

.

t..

f 1

--

tanto, ya que EX = 3 Kg y CY = 4 Kg: CX 3 a, m = 10 = 0,3 m/segz;

- . .

'-rn

a=

2/

--Z,2

t

1.0 a.t.m. Por

-

- - = - = 0,4

-

98

-=

1

10

+ S2,i

-

1

..

mlsegt;

= 0,5 mlsegt,

- - formando un hngulo de 530 por encirna delejeX. k Otro procedimiento consiste t n corni .-. poner primer0 las fuerzas de 3 Kg g 4 Kg r en una sola fuerza de 5 Kg, que forrna .un h g u l o de 530 por encima del eje X. - : - Podemos escribir entoncec

3 K g

--------a'

,' I I

I I

I

-,

. .-.; .F' -;! -.-

-.?

..

-..

-

a=

= - = 0,5 mlsego. m 10 F

5

4 Kg I

-

; -

120

CENTRO DE MASA

- SEC. 7-41

!

Par consiguiente, despues - . . .de . . transcurridor 4 seg, e l centro de masa se. ha-desplp zaao una distancia. s = 11, at2 = 112 x 0,5 x (4)s = 4 m,

121

A C E L E R A C I ~ NEN UNA TRASLACION PURA

i

:-

.

.-

pm que exista una tensi6n de esta-magnitudi debe tirarse hacia arriba de-10s

;d e rotacidn

i1

del -movimiento, lo cual sera con~ideradom& adelante.

7-4. Aceleracien en una traslaci6n pura.-Vamos ahora a deducir las ecuaciones generales que se aplican a un cuerpo que se mueve con aceleraci6n de traslacion pura. Hemos visto que en estas circunstancias la linea de acci6n de la fuerza resultante exterior pasa por el centro de masa, por lo que resulta nulo el momento de la fuerza resultante respecto de cualquier eje que pase por aquel. Con mayor generalidad: si se traza por el centro de masa una recta paralela a la aceleracibn, el momento de la fuerza resultante respecto de cualquier eje que c o r k a dicha recta es nulo. ' Li figura 7-10 muestra, p. ej., un cuerpo que se mueve con aceleracion 3 -de traslaci6n pura. La fuerza resultante e s t i representada por F, y A-A es la recta trazada por el centro de masa paralelamente a la aceleraci6n. Es evidente que el momento de la fuerza resultante respecto pe cualguirr eje que corte a la recta *-A es nulo. El sistema completo de ecuaciones que determina el movimiento del cuerpo sers, por tanto,

r -

-

1

/

..

CX

-

= ma,;

C Y =ma,;

XT = O .

17-81

que no puede igualarse a cero el momenta de cualquier eje arbitrario, s e n se hace en estatica, sino s610 eje corta a la recta trazada por el centro de masa paralelamente .

.

A

E l centro dr a 4 carrete se encuenpa en el punto medio de su eje, y las fuerzes que ectdan sobre 61 son su peso mg y la tensidn T. Puesto que no hay componentes X,

iiz = 0, y el carrete descendera verticalmente cuando se suelta. La fuerza --

-

T =l

1--::, .

~ mg, s

y la tensi6n resulta igud a la mitad del peso del carrete. ( E s t a e s la tensidn combinada en 10s dos hilos). EJEMPLO 3.--~CuAl debe ser la tensidn en 10s hilos.del ejemplo precedente par:, que el centro de mesa del m e t e pemanezca en reposo? Ya qoe a, = 0, .

-

:.

.

A

. ..b. 7-10.-Si

un cueipo se mueve con aceleraci6n de traslaci6n pura, la lhea de acci6n de la resultante pasa por el centro de rnasa.

r-.-1

. . .

- - ..mayor detalle el sistema de fuerzas que actda sobre un cuerpo que se mueve con acek.?i?:;leracldn . -.-. de traslacidn pura. En, el ejemplo 9 (pAg. 86), se supuso por razones dr S3cUlez que las h e a s de acci6n de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo pasa-

&~;-

_._-..L

......

.

I

'

122

11+'I

CENTRO DE MASA

ACELEI~ACION EN UNA TRASLACION PUHA

ban por su centro de masa. E n realidad, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal, como en el -so representado en la figura 5-2, e s t h distribuidas sobre l a superficie inferior del bloque. Vamos a simplificar a6n mas el problems, suponiendo que el bloque estA apoyado sobre dos aristas como muestra la figura 7-11, de forma que las fuerzas normal y de rozamiento actdan dnicamente sobre estas aristas.

El bloque de la figura 7-11 tiene 1,20 m de longitud y 0,6 m de altura, con su centro de masa coincidiendo con el centro geomBtrico. Su peso es de 200 Kg, y el coeficiente dinhmico de rozamiento entre el bloque y la superficie vale 0,20. ~ Q uftu e n a P es necesaria para acelerar el bloque a raz6n de 1,20 mlsegl, y cuhles son las fuenas normales N l y Nz? Z X = P - p N 1 - pNs = ma;; Z Y = N 1 + N2 - m g = ma,.

-

.

_ ..

i

+

+

Cr = 0,6 x N2 + 0.3 x P 0,3 x pNi 0,3 x & V 2 - 0,6N1 = 0 a , = 1.2 mlsegy-'a, = 0; p = 0,2; m = 20,4 u.t.m.

Resolviendo el sistema, resulta: P = W 4 8 Kg; -

(Se toman 10s momentos respecto de-un

-a s t i t n y e n d o valores, resulta que 2 la acele-

, &-*-. eje que pasa por el centro de masa).

rad6n del coche, a,, vale- 14 7 pieslseg2. Por tanto,

-

b ' l = 1530 Ib;

3 pies

N2 = 870 Ib.

5 decir, la fuerza normal en las ruedelanteras es, en este ejemplo, casi . dos veces mayor que la correspondiente - p liii ruedas traseras, aunque por razo,'+- mes d e simetria dichas fuerzas serhn g g d e s si el coche estuviera en reposo o - '-." mod6ndose con velocidad constante. Este --decto es una de L a razones de utilizar a las cuatro ruedas. Puesto que - - el rozamiento m W m o o f u e n a de fre-do disponible en una meda es propor- cjonal a la fuerza normal, lap ruedas trasa-as son menos adecuadas para aplicar ?a f u e n a de frenado que lo son las delan- - - .tuas, ya que la fuerza normal sobre las rnedas traseras disminuye t a n pronto -- - m m o se aplican 10s frenos. Utiliiando fre. niw a las cuatro ruedas, se consigue inde.-, - pendizar la maxima f u e n a de frenado ,,.,. dEFponible de la distribuclon de la carga, -- dado que Nl + Nz = w, cualquiera que -,sea la distribuci6n de aqudlla. - - El efecto de una fuerza normal incre-

FIG: 7-12.-Fuenas

sobre un autom6vtl durante el frenado.

-

k

La aceleraci6n es paralela al eje X; por tanto, es nulo el momento resultante respecto de todo eje perpendicular a1 plano de la figura y que pase por cualquier punto de nna recta horizontal trazada por el centro de masa. E n consecuencia:

123

-

'

1 --.k <-.--.-

y a1mismo tiempo se produce una traccibn

,-,-

N l = 110 Kg;

= 90

K ~ .

.EJ-LO 2 . U n .autombvil pesa 2 4 0 0 I b i B d i S t a i c i i entre sui ej& es 10- pi&; y su centro de masa equidista de ambos ejes y se encuenfi-a 3 pies por endma del velo. Marcha a una veiocidad .de 60 millas por hora, detenidndose en 6 seg a1 actuar Ips frenos. Calcdense las fuerzas momales sobre l a s ruedas delanteras y traseras durante el frenado. Las fuerzas sobre el autom6vil e s t h representadas en la figura 7-12. Si el coche tiene frenos a las cuatro ruedas, las fuerzas de rozamiento actdan se@n se indica sobre las llantas de las cuatro ruedas. Obsdrvese, sin embargo, que salvo que el coche patine hasta detenerse cuando se aplican 10s frenos, estas fuerzas no son iguales a1 product0 del coeficiente dinhmico de rozamiento por la fuerza normal:

-

C X = - frl - fre = ma,; CY=Ni+Nz-rng=rna,=O;

de las traseras, todo lo c u d oblga al co-

chcbc_a -hint-ar p l _ m ~ r m Prpbabk-mente, . el -

g

k

Zedor habrh observado este fen6meno.

El iliagrama de f u e r q s correspondiente itu~coche que esth acelerando se halla en la figura 7-13 (a). Las --- - F e d a s traseras (si la tracci6n del motor actaa sobre Bstas) presionan hacia atras sobre el firme de la carretera. La reac-. d 6 n es una fuerza P hacla adelante que - - acelera el coche. Supongamos que la aceh c i 6 n es de 8 pieslsegz; en este caso:

t'k- : f

- .

FIG.7-13.-Fuenas

sobre un autom6vil que ests acelerando.

I I

PROBLEMAS

GEIQTRO DE MASA

.

-.

-

..

..

.

.: g -; ..

.

de lamiamiento. LA qud d i s 6 c i a 6&&

earA contra el suelo el otro trozo cuyo

1020 lb; Ns = 1380 lb.

N1=

-.

. ,

-.

..

y Ea Luna? -.-.merra 7-8. Una varilla

peso es de 2,5 Kg?

flexible se curva en @ .......-to m a de semiciwunferencia de radio R. . : . m e s a la posici6n del centro de masa. . 7-9. La densidad p de una varilla de .A

Asf, la fuerza Ns queda i n d n e n t a d a respedo a su valor cuando elcoche esth en equilibrio, mientras N I resulfa disminulda. Como consecuencia,disminuye la tensi6n sobre las ballestas delanteras y el coche se encabrita a1 acelerarse, otro fen6meno familiar a 10s automovilistas. Para ver que la Unea de acc16n de la fuerza resultanspasa por el cen&o de masa, se ha determinado grhficamente en las figuras 7-13 ( b ) y (c) la resultante de las cuatro fuerzas que actdan sobre el wche. E n la parte ( b ) se ha determinado ia resultante R1 de las fuerzas que actdan sobre las ruedas traseras. A continuacidn se han prolongado . f.; las lineas de accibn de esta fuerza y del peso del coche hasta su-punto de htersec- ei6n, trasladando 10s vectores a este punto y construyendo su resultante Rs. E n la ,& , parte ( c ) se ha efectuado la composicidn de esta resultante con la f u e n a Nl, con el fin de determinar la resultante R del sistema completo de fuerzas, comprobiindose E que la linea de acci6n de R pasa, en efecto, por el centro de masa.

., . - . . , - r o buna ~ ~ superficie sin rozamiento, atra-- - y€ndose.con una f u e n a horizontal cons...

,tante

cniindo chocarAn? 7-11. Un hombre que pesa 80 Kg se "....' thcuentra de pie en uno de 10s extremos ."1 , d e una planch'a de 3,6 m de longitud y - - 1 6 Kg de peso. La plancha descansa sobre ..

*ZL.Z

i? L.,

rSi un plano que divide a un cuerpo pasa por su centro de masa, deja la misma cantidad de masa a un lado que a otro del planor. LSe verifica siempre esta proposici6n7 Justifiquese la respuesta. 7-2. Tres masas de 60 g cada una estan colocadas en 10s tres vertices de un triiingulo equiliitero de 20 cm de lado. Determlnese la posicidn de su centro de masa. 7-3. Se colocan masas de 10 g, 20 g, 30 g y 40 g en 10s vdrtices de un cuadrado de 20 am de lado. HBllense las coordenadas X e Y-de su centro de-masa 7-1.

7-4. Se fijan dos masas ml y ma a 10s extremos de una varilla de masa despreciable, ejercikndose una fuena normal a la varilla de forma qne el sistema se

mpeva con traslacidn pura (Fig. 7-14). No se tiene en cuenta la acci6n d e la gmvedad. a ) Triicese nn diagrama d e fuerzas para ambas masas y la varilla. b) Ded k c a s e una expmi6n que dd la aceleraci6n del sistema en fanci6n de F, ml y mr. c ) Obtdngase otra expresi6n' para la distancia F, en funci6n de mr, m2, 21

Y

.,

ft .;:. i.'

.

. ;rizontal

sin rozamiento hacia otro bloque de. masa 4m, que se encuentra inicial[.. .-:,'. rnente en reposo. Los bloques chocan y ~.~'j,'_~'.:deslizan juntos. a ) dCu4l era la velocidad L..~:.:.'.;. r, _ : -,:: Be1 .centre de-masa del sisterna antes del

--.

' "

22.

de 100 dinas. Inicialrnente e s u n

7-5. Una varilla uniforme de 1 m de longitud y de 100 g df masa, se carga con una masa de 20 g situada a 20 cm de uno de sus extremos, y con 'otra masa de 40 g a 40 cm del mismo extreme.-HA= llese la posicikn del centro de masa del sistema. 7-6. E n nn extremo de una varilla se coloca una masa doble qne la de la varilla. LA qu6 fracci6n de su longitud a partir del extremo cargado deberii golpearse, si se desea que la varilla se mueva con traslaci6n pura, como en la figura 7-1 (c)? 7-7. La masa de la Luna es 1/80 de la de la Tierra. L a distancia desde e) centro de la Tierra a la Luna es 384 000 kildmetros, y el radio de la Tierra (aproximadamente). 6400 Km. LA qu6 distancia

,

:?'.tema despuds del impacto?

.;;I_--7-13. - a ) Una b o m b a ~ q u e p e s a 4R g s e

en diiecci6n 'horizontal con una Velocidad de 2,40 mlseg desde la cornisa de nn edificio de 120 m de altura. E l &-.+--terreno que rodea a1 adificio es horizon& tal. LA qud distancia del pie del edificio ehocarA la bomba contra el suelo? b) Una $.$: .:-::.I-- . . bomba iddntica se arroja en las Inismas andiciones, pero Qsta se rompe en dos b z o s antes de chocar -contra el suelo. : h'. -. "1.. Los dos trozos salen dkparados horizon- 2 - .--ente de forma que ambos llegan a1 &- -.:-welo a1 mismo tiempo. Uno de 10s trozos A . ,. -, Pesa 1,5 Kg y cae a1 suelo justamente al t-,-i:;y7 a-- ;.;,; e:itL:GFf~it del edificio, en la vertical del punto :.-.,.-,

'

F,

.

7-14. Un mono se encuentra en reposo agarrado a una cuerda sin peso que pasa por una polea y-estd sujeta por su o t r d extremo a un ramo de plhtanos (Fig. 7-15). ' Los pliitanos pesan exactamente igual que el mono, y la polea no tiene-rozaz miento. y es de peso despreciable. El mono comienza a trepar por la cuerda para llegar hasta 10s plhtanos. A medida que asciende, ~ q u dsucede con la distancia que le separa del ramo de pliitanos? ~Aumenta,dismtnuye o permanece invariable? ~ P o rquk? 7-16. Un cargamento de pelotas de base-ball se envla en mna nave interplanetaria desde la Tierra a Marte. Durante la travesia se para el motor de propulsi6n de la nave. ~ Q u kpuede hacerse pars cambiar el mmbo de dsta? ~ Q u dprincipio se aplica?

TRABAJO

-

131

E.-;

drado de su velocidad, se denomina su-mergia cinttica. Obs61-vese que no- ... 8-2. - Trabajo.-En la vida corriente; la-palabra irabajo s e - a p l i ei. 1-;. ,. demostramos que la energia cin6tica sea igual a 112 rn@, es; simplemcnte, ;,...A.;:-.. . '.,= cualquier forma de actividad que requiera el ejercicio de un esfuerzo una definici6n. El producto del peso de un cuerpo (mg) por su altura h ~-g-.&-l~muscular o.intelectual; sin embargo, en fisica dicho tCrmino.se utiliza en respecto a un plano horizontal de referencia, se llama su energfa pofencial nn sentido muy restringido. La figura 8-3 representa un cuerpo que se grauifaforia respecto a dkho. plano. Tambitin en este caso el hecho de que .$.- - ~... - mueve . en direccion horizontal, que tomaremos como eje X. Sobre el la energia potencial gravitatoria Sea mgh es s610 una definicibn. cuerpo se ejerce una fuerza F que forma un angulo 8 con la direction del t La suma 112 mu2 rngh (en este ejemplo particular) es la energia me- -F'; - a o v i m i e n t o . El frabajo dW realizado por la fuerza F, mienlras el cuerpo canica foial del cuerpo: el tCrmino 112 mu02 es su energia cinetica inicial. -"..:., - se ha desplazado una dislancia dx, se define como igual a1 producfo del desplaUtilizando estas definiciones, la ..g:. m i e n f o , por la cornponente de la fuerza en la direccion del movirnienfo: D Ec. 18-21 puede enunciarse asi: la "L-'---z- . < - -~ P energia meccinica iota1 de un cuerpo, -. -.. en cualquier punto de s u trayecioria, es constante e igual a su energia cindlica iniciat Por consiguiente, aunque la energia no es en ning6n El trabajo W ejecutado en un dessentido una sustancia material, el cuerpo se comporta como si se le diera una cantidad de energia a1 * -'-. partir, en forma de energia cinetica, y 61 distribuyese durante el moviFIG.8-2. miento esta cantidad en las dos for. .. FIG. 8-%-El tmbajo realizado por la luermas de energia, cinCtica y potencial. pero de tal mod0 que permanece constante la cantidad total. -- za- F e n un desplazamiento dz.es F cos 9 d z . . . . La energia cinktica se representa a veces por el simbolo K, y la po- .'a?. ...?..:-.:.z+:-:.T.., z. . : . . tencial, por la letra V. .:' .-.:.: .:,,.-.::+:Enel caso mas general, tanto la direcci6n de la fuena como su magLa conservacibn de la energia no queda restringida a1 movimiento i- : ..: ...riitud varian durante el movimiento, y para calcular.la integral es precis0 vertical. Consideremos un proyectil (=g. 8-2) a1 que se imparte una : ..;-conocer F y 8 en funci6n de x. Cuando la fuerza permanece constante en . . velocidad inicial vo de componentes vo, y vo,. En un punto de su tra. - . magnitud y direcci6n: yectoria, a una altura h, se ten&& F

+

&

i... L.

~

*;-

~

.,

..*>

~

,

I

..._.. -.,. &- : Multiplicand0 ambas ecuaciones por m/2, &mando y reagrupando tCr.minos,-resu]ta: --- -- -- - - - . ,

m(oZ2 Pero y, por tanto,

vZ2

+ vy2) + mgh =

l / 2 m(0oza

-+

hv2). -

+ VQ = V O ? ~+ ooya = vo2, mu2 + rngh = 112 mu02.

.

.

TambiCn aqui la suma de las energias cinetica y potencial se conserva constante e igual a la energia cinetica inicial. Volveremos sobre este punto de las energias cinCtica y potencial en una secci6n posterior. Por ahora basta con lo dicho y vamos a considerar un contepto importante llamado -frabajo.

j' % .

e:

'

. .. .- , Si

.. ...

b.,

'.Jf>&.,.

: : .:. ~ * , - t . .

,.,;;:..,Es r

,.

.

.

-. . -. L .

>

.

. -

:

. .

~

la fuerza es constante y tiene la direcci6n del movimiento, 8 = '0, --1 ,y.--.

-

. W = F (a- XI).

decir, en este caso especial, el trabajo realizado por la fuerza es

cordar, sin embargo, que la Ec. 18-41 constituye la definici6n general

P.

2- ~iz:del.trabajo -. realizado por una fuerza; s610 si la fuerza es constante y su ..

.

.- - . .. direcci6n 'coincide con la del desplazamiento, resulta cierto que ((el tra,,.. .... -i... .- --. bajo es igual a fuerza por distnncia,. F - -~ - ~.. . El concept0 de trabajo es tan importante, que requiere alguna icla!~* ;;..:..,.raci6n. -. .. mas. Se realiza trabajo unicamente cuando la fuerza ejircida' el cuerpo, mientras este se mueve, tiene com~onente .en la direcclon Li.;;--sobre .. . . . I-:

~'

,

1 3 2

'

TRABAJO Y E N E R G ~ A

[CAP. 8

I a --.- --1 del- moGNento. &f,_se realiza trabajo cuando se levantaun.peso, o se---+&+.:.dente

I

alarga un muelle, o se cornprime un gas.dentro de un cilindro. Por otra 1 parte, aunque se consideraria trabajo penoso sostener un gran peso con 1 10s brazos extendidos, no se habria efectuado ningun trabajo en sentido tecntco, puesto que no ha habido movimlento. Si se pasea sobre un piso I horizontal transportando un peso, tampocwse realiza trabajo, puesto 1 que la fuerza (vertical) no tiene componente en la direcci6n del movi-

.

dinbico cte roozamfento entre la caja y el suelo es 0,3. ~ c u A I el trabijo re& q r e s a d o en kilogrihnetros? - La fuerza necesaria para mantener el movimiento de la caja es 30 Kg. Puerto que . . la distancia reconida en la direccl6n de la fuerza es 6 m, el trabajo reallzado es 180 I
.

. % :i:---: .;:lizado . ... r '

:

* .

.i_i.z r

.L

$.:

..;.

.:.

.;;-

./= . .- . '

-. .- -- - ,..~

+....-

.

*..

.*, ... . ..- , . ... -.. . -.-.. .-- .... ..

f .

..

EJEMPLO 2.-~Qu6 trabajo serfa necesario para arrastriir la misma caja 6 m sobre

;*--::.;.I-.>. ._.,,L;..horizontal? ,> . . .,. :. ,..,.,, I.La fuerza no tiene, en este &so, la misma direcci6n del movimiento. El primer I ....,:.,.paso -...>. es encontrar, mediante un diagrama de fuenas, como el de la figura 8-4 (b), cu&l >: ... :.: -,. .a *L :'- .... . el valor de la fuerza P requerida. Esta resulta ser 29,4 Kg; por consiguicnte: ,:.'.G."s;

,

:

&.

...

..*

'.:

'

.-.. ~,

,,

.

. .. : - ... . :,

...

. .1':'!; :"l %

.,

.

,

Tv = P cos 9

(20

- zl)

= 29,4 x 0,866 = 152,7 Kgm.

x 6

:

&. 2..

p ~ & oinclinado 370, empuja un bloque de 40 Kg una distancia de 20 m. sobre d i c h ~_ ... Ta-diBn, de. las relaciones .entre .kilogram~-y newton, -se deduce: . . -. :.-. .-.-: . s u p e r f i c i e (Fig. -8-5); lQu6 trabajo ha-realizado la-fuerza? -. -.. ?.. i.1 ..,;.:d_":, La fuerza es constante y tiene la misma diiecci6n que el desplazamiento; por 1 Kgrn (kilogrdmetro) = 9,8 julios = 9,8'x 107 erg. & .I.?,::,: .,,? ."consiguiente: . .. -. -.:,.. .. W = 340 x 20 = 6800 new-m = 6800 julios. Anaogamente, de las relaciones entre el newton y la libra, y el metro C.. . .

I

.

I

I

1 I y el pie: I I 1 ELTEMPM

a

1 julio = 0,7376 fooi-pound. 1 /&-pound = 1,356 julios.

1

Con mayor generalidad, u. kilogrihetro de t n h j o es el trabajo realiGdo en cuales z 1

...

-

7,,,.*.

.. - .-". 8-3. -. ---:..~':,masa ..-. .* .. fm ~

-.

1.-Una caja q u e pesa 100 Kg es arrastrada 6 m sobre un suelo horizontal, con velocldad constante, mediante una fuerza tambi6n constante. El coefi-

1

'

.

.

Energia y trabajo.-La figura 8-6 represents un zuerpo de que es arrastrado sobre una superficie plana sin rozamiento, ?.- .:.:. 3'f-.... inclinada un angulo p, por la acci6n de una fuerza constante F paralela ..

.

..

.

~. ',-A ,

i- y:;.".L.@ndo punto de altura hz con velocidad 02. . ~ .

k, -<::. cuerpo rnedidas paralelamente a1 plano. t.?:.;~,-

G~.dkr,;:c,..~ ? :

..,

Sean

XI

y zz las abscisas del

.*-- . ..El estudio previo de ejemplos an5logos ha demostrado que la fuerza

--

134

-

135 -

ENERG~AY TRABAJO

~FWBAJO Y E N E R G ~ A .

..

>.

primer tkrmino es el incrementode energis ehetiea; elsegundo, elde la-se- -.- &-----EL ~. ..,.. ... .-:,=2. increment0 de energiapotencial, y la suma de ambos equivale a1 trabajo .;=: --realizado sobre el cuerpo. Como caso particular, si la fuerza F tiene tal magnitud que contra$* .wrresta exactamente la fuerza mg sen cp, la aceleracion es nula, y u2 = vl; a = Flm - g sen tp. --.-.-. no hay increment0 de energia cinetica, y el trabajo realizado se traduce [F r* Ademhs, puesto que la aceleraci6n es constante, unicamente en un aumento de la energia potencial. Se obtiene .identic0 . ... :-.:,. resultado cuando se levanta un cuerpo desde una altura a otra, siguiendo uz2 = ui2 2a (x2 - XI), o sea: .ti::. . cualquier trayectoria sin .rozamiento. Si su velocidad tiene la -misma -z:?:i..;::.magnitud . . . .- . .en 10s extremos de la trayectoria, .el trabajo realizado. a1 elevar .. . -. .. .. el cuerpo es igual a1 increment0 de su energia potencial. ; . . Si el cuerpo se levanta de forma que no todas sus partes se eleven'.la distancia vertical, para calcular el incremento de energia potencial ES& ecuaci6n puede escribirse tambikn en la forma: ~-+1C?"-debe .... . utilizarse la altura que se ha elevado su centro de gravedad. 3:. ~, >'., .. ... : C / z m ~ 2 ~ mgX2 . + sen cp) - ('12 mule m g x ~sen cp) = F (a- xl), . -- ... . . ;z .;:-r.-. , y h2 = hl. Como no hay incremento de energia potencial y todo el trabajo .. ... y; puesto que x2 sen cp = h2 y xl sen cp'= hl, se tiene, fhalrnente: .py.; . . . . realizado sobre el cuerpo se utiliza para aumentar su energia cinetica: aceleradora resultante es F rng .sen cp, de donde, en gunda ley de Newton, resulta:

vifhtd

'

'

. , ? . I

i

'

+

,

-8

+

, -,7:

.i

Los tCrminos entre pardntesis en el primer miembro de la ecuaci6n son, respectivamente, las energias final e inicial del cuerpo; la diferencia representa, por tanto, el incremenlo de energia que ha experimentado el mismo. El segundo miembro de la ecuaci6n es el frabajo rializado por la fuerza F; por consiguiente, el trabajo ejecutado por la fuerza F es igual (en este caso) a1 incremento de energia del cuerpo sobre el que ha actuado la fuerza. Decimos aue el trabaio se hace sobre el cuerio por la fuerza F. Aunque la energia del cuerpo resulta incrementada en este Droceso,. no debe deducirse que s6 ha creado energia. El cuerpo (no re.presentado - en-la--figura9 -que - ha ejercido la fuerza experimenta en cada caso una disminucidn de enerQ ai eauivalente a1 trabaio redizado t por ~ i y,, por tanto, i&al d incre-

-

P

P" i-

-

-. -.~ -..-- :

A

, y l a fuerza F, el Angulo 8 o ambos varian durante el movimiento, la fuerza acelera-

-.*.): . - . .,- .. -.".. ,g $j.,.L+7<... -. . . .. . . r i ..,LrA,'.,.. ...-.-: ?.y;:.75, . . . .:>$ I 2 . i . ~...-. .. :'>,:',;:;. ., .,*.

- -.*,-

dv dl

C..~.b

Fcose-rngsencp=rna=m-=mu-

.g .

.*~-:y;:.;:y :+:,*:.,j

,<,;,.

,..

mvdo

puesto que sen cp dz = d k

.. &? ........ .- . ..,$. + :.:.... ..-.. ,.. '2. i t ...,

J'2

-

,'Z; ? ,*,

,a.

x;?;:. .% .... -.2..y.. F;i:,7.... . . . . .... . ;7.

~~

~

*r&,. ? .

+ mg sen cp dx = F cos 8 dx,

do dx

m-

+ J::

mg& =

J" F cos e d z ;

:

.%3 ;.i... .,:;;;,: ....

i

=-..,

-,^.;$ --- , ei*-.,im,., ..... ~c.::.. .. :.

. -..

__

-

.

(.2a-mvaB.y l/z I R D I ~ ) - + (mgh2 - . ~ g i , l ) -=

-

FIG.8-6.-El

trabajo hecho psr la rueria F

el que se ha ejercido la fuerza. P'or tanto, hay tambidn conservaci6n de energia en este proceso cuando se consideran iodos 10s cuerpos que toman parte en el, y cualquier caso en el que se realice trabajo se reduce meramente a una transferencia de energia d e un. cuerpo a otro. La Ec. [8-71 se puede rcordenar en la forma:

precisa ser plana. Por consiguiente, en el caso especial en que ve = v1, cl trabajo reali. , > ....

%- A::.>: & .

p

Si hz = hl, s e tiene:

.

"7'".7

p~.;:!;?: .. . . .

-?,?"'

A . -

.

1s-111

-

..

. .

.

.

8-4. Unidades de energia. Dimensiones.-Las unidades de energia potencialy cinetica no se definieron en la secci6n 8-1, cuando se introdujeron por primera vez estas magnitudes. Vemos ahora, sin embargo, que por ser el incremento de energia igual a un trabajo, tanto las unidades de energia cinetica como potencial deben ser iguales a las de trabajo; esto es: liilogrametros, julios, ergios o fool-pounds.. La unidad de cualquier magnitud compuesta, tal como mgh 6 mfl se obtiene por combinacion de las unidades de sus factores. Asi, en el sistema mks, en que m esta en liilogramos,-g en mlsegz, h en metros y u en mlseg, la unidad de energia potencial sera:

-.

7

f5 --.L----- . .~

$

1.-~Cusl ser& la energla dnhtica-de unautom6vil de 1470 Kg de peso, d marcha o a una velocidad d e 30 mjseg? 1470 La masa- del autom6vil es -= 150 u.tm., y su energfa cindtica,

-

+.-

v

-LO

-

-

z- -

EJEMPLO 2 . - a n electr6n de masa 9 x 10-rn g Bchoca contra el d t o d o de nn tub0 de rayos X con una velocidad de 6 x 100 cmlreg; ~ c u serh a su energia cinhlica? ,-En untdades cgs:

-.

EC

= I/% X 9 X 10-a

x (6 x

= 1.62

x 10-8 ergios.

EC = 11% x 9 x 10-81 x (6 x 107)e = 1,62 x 10-16 julios.

=5

"...

.

<.. z,

:&.;j;

$ ;'.--?:. I

Estas unidades son iguales, y para demostrar que a&as equiv&en. a un newton-metro, recordemos la segunda ley de Newtcn, F = ma, que referida a unidades, se escribe:

/ !1 j

11

Kg - m

I

1 i

.

de donde:

I-=Kg-m2

1

.-

1 newton-m = 1 julio

Un razonamiento analog0 prueba que la unidad de energia en el sistema inglCs es el foot-pound. E n el sistema tbcnico:

1 I

. n.t.m. rnz seg= .. seg2 . - - . .. . . ..E n -el-sistema- cgs, .la %xiidad de kriergla-iii la dina,sm o ergio. bbs&-v=e atentamenre que si se quiere calcular la energla hetiea de un cuerpo en newton-metros, b julios, a parti= de la expresidn llZ m f i , . la masa debe expresarse en kilogramos. Para calcular la energia cinaica , en foot-pounds, la masa debe expresarse en slugs, etc.

:. _ I I 1 I I I :

seg2 '

I I

:-

I

No hay contradicci6n en las respuestas, y a que 1 julio = 107 ergios.

S:

:

EJEWLO 3.-Nos referimos a1 Ejemplo 3 de la pPgina 133. Si el plano no tiene :-;-;:-:"Ommiento y el cuerpo parte del reposo, haUese, por consideraciones energbticas, su I ;

-

..

r

,;-: ,: --

,veloddad despues de haber subido 20 m sobre el plano. -,;,:. E l trabajo hecho sobre el bloque es igual a la suma de 10s incrementos de sus ener;<-.-:[.'../.>,-@ascinktica y potencial. S e g b hemos calculado (vdase phg. 133) el trabajo realizado .F. :_Jy-,!:er;de 6800 julios. El bloque sube 20 mfiobre el plano inclinado, es decir, 12 m verti-

iZ

. :.. .. ,..la energla $C.,, ,, . .. ,.. f ." -. -. .-. .-." "-.... . .-- .... --. 8 L. ..--

-<

-

-.

,;;,;; ... ;.: .--" .-. --. E, f. .&:<:..8-5. ...

3

y <.

.

i

. , ,

cinhtica inicial es nula, dsta es la energia cinhtica final, y

-,

-

!

lh x 40 x

v2

DS

f

2090; = 104,s;

.?

..

P

? 4

:.-.

J

i

. .

.r.+.T

",?.i%.:.:

V d o m abeolutoe de las energias potencid y cin6tica.-la

defi-

-

. ,.....

F- -..-:c.:i.

potencial es cero para h--=-O,-e. d e c k ccuando el-cuerpo se~.encuentra-en - . - - - - . $.%r:::!:d nivel de referencia. Para concretar supongamos que dicho plano coin,,.<,. j ,.$%:tide con el tablero de la mesa del laboratorio. Si el nivel.de referencia se j , tomara mhs bajo, p. ej., en el suelo, la energia potencial no seria nula $ sobre re el tablero de la mesa. Si se hubiese elegido en el techo, la ener@a ;.. .-r potencial sobre la mesa seria negativa. Veremos que la energia potencial ;...L-.:.-gravitatoria d e un cuerpo efi cualquier punto depende de la eleccion Otro mktodo miis formal de manejar las unidades en las' ecuacioner fisicas es el arbitraria del nivel de referencia y, por consiguiente, tiene ese grado llamado andlisis dimensional. Como dimensiones fundamentales de todas las magB+=-,, de ndeterminaci6n. Esta indeterminacion carece, no obstante, de im. nitudes mechicas se eligen de ordinario masa, longitud y tiempo. La mass tiene dig : -porta an cia puesto que en cualquier caso practice sblo se opera con difemension M; la longitud, dimensi6n L, y el tiempo, la dimensi6n T. La velocidad, cociente de lonatud por tiempo, tiene dimension LIT 6 LT-1. La accleracidn, cociente .rencias de energia potential, que son independientes del nivel de refei. de la velocidad por el tiempo, tiene dimensiones Ll-2. La fuerza, igual a1 product0 de $ -.-masa por aceleracidn, tiene dimensiones MLT-2. El trabajo, igual a1 producto 7 .-- - rencia. De ordinario es aconsejable elegir este nivel por debajo del punto ;$:i:..msSb a j o - o coincidiendo con 8--que figure en el probl-a concreto 1 de f u m a por longitud, tiene lss dimensiones ~ ~ 2 p 2tatas , son tambib., evidi.f -;$?:de que M trate, con el fin de evitar la aparicibn d e energias negativa. temente. Ias dimensiones de las energfas potencial y cindtica. z.

e

'

.:\-

*;.,

t

9

t f @

?.

-

8 0

'

1 I

v

-: .. - .-. ~ Hay otro aspecto de la-energia potencial que merece subrayarse. .:. -$:..v; ,-- .Cuando-d@en coge u n peso del suelo y lo levanta por encima de su :.*- :. :-. cabeza, ha intercalado su cuerpo entre el peso y la Tierra, empujando, por --%<*;I--alargar. En la figura 8-7 (b), el resorte ha sido alargado una longitud x una parte, el peso con su mano, y por otra, empujando la Tierra con sus- ... pies. El principio general parece enmascarado en este ejemplo vulgar, por $:y;,:.-mantener este alargamiento es F. La ley de Hooke, expresada en ter+I:.-:. ... minos matematicos, establece que la disparidad de masas de la Tierra y del cuerpo levantado. (El desplaza... . .miento de la Tierra es muchisimo mAs pequeiio que el del cuerpo.) Ima- -:--g.+.,..,.. :.. . .. .).C...,. _.. _ . . F o c x o F = k x , ginemos un Atlas de pie sobre un pequefio planetoide y Iwantando otro del .- --18-12] mismo tamaiio que el primero. Podemos en este caso preguntar: &Acu&l de 10s dos cuerpos se ha suministrado energia potencial? Si 10s cuerpos son de igual tamafio, cada uno se mover& una misma distancia desde su posicion inicial, y el fen6meno se concibe mejor como una separacidn de los dos cuerpos que como una eleuacibn de uno de ellos. Se deduce de ....-este experiment0 imaginario que la energia potencial no debe atribuirse . $:-$;v.;.~'.En la figura 8-8 (a), se representa un bloque de masa m apoyado *,. a uno de 10s dos cuerpos, sino que mas bien representa una propiedad .'+ .., . ..;...-.-. .. sobre una superficie horizontal, sin rozamiento, y unido a un punto fijo .;.:. conjunta del sistema. La energia potencial de 10s dos planetoides es mam., por un resorte. Se supone 8, yor cuando esGn separados que cuando se encuentran mas pr6ximos. ;r ;. . - aue el resorte tiene -.. su 1 c-) Resulta evidente que lo mismo ocurre cualquiera que sea la raz6n - z..p? de las masas de 10s cuerpos, y, por consiguiente, es aplicable a nuestro .$.,.+ fuerza ejercida por el soprimer ejemplo del hombre que levant. un peso. La energia potencial no .F...-.- ..... lire el bloque es nula. Sues una propiedad del cuerpo s610, sino una propiedad conjunta del sistema P-.?=-~:::~pongamos que se imp+ (b) w -*:. . cuerpo Tierra. Aunque haya de tenerse en cuenta este aspecto de la ,>.;. . me instantkneamente al energia potencial, no obstante, por comodidad, continuaremos hablan... do de Za energia poiencial del peso leuanlado como si estuviera ligada iinicacomo comienza a.moverse, el resorte se alarga y, cuandd la abscisa niente a1 c u e r p i Consideraciones andogas a las anteriores se aplican $ambiCn a la ener.es x, la fuerza ejercida por Cste sobre el resorte es kx, en virgia cinetica. Decimos que un objeto en reposo en el laboratorio carece de de Hooke. La reacci6n a esta fuerza, o fuerza ejercida sobre energia cinetica, puesto que su velocidad es nula. Pero aunque no tiene velocidad relativa respecto a1 suelo, participa del movirniento de la Tierra :,2.>:1_ Newton resulta: alrededor de'su eje, del movirniento de la Tierra alrededor del Sol, y del movimiento de todo el sistema solar en conjunto a - t r a v h del espacio. 8-6. Energia potencial de un resorb a1argado.-La energia potencial gravitatoria --es s610 una- de- las mdtiples -. -formas de-energia potential._Otro -tipo, - h b i C n familiar, es la en;r&a potencial de un --z - I cuerpo elhstim que de alguna forrna ha sufrido una defor~ . . . -*-.. .. maci6n. , . . 112 m u 2 112 kx2 = 112 mu$. 18-131 -. . ----. ...". - . .>G,:i.Esta -...-expresi6n debe compararse con la Ec. [8-21 (pag. 129). Observamos . .. . . ...--.. ----.. :A:-%: . que en este movimiento se conserva la suma ..... .. ..;:::.:--1gual a la energia cinetica inicial, 112 rnuo2. Deducimos, por tanto, que ..--.. :...., .~ ..1/2 kx2 represents la energia potencial eladica del resorte estirado: Es ,*:.. 2%--fAcilcornprobar, a partir de la definicion de k como-cociente de una fuerza :: por una longitud, que la unidad de energia potencial elastica coincide con .-,..-::;..... :z$z-.la -de trabajo, en cualquier sistema de unidades. . . *,*.. >--. ,

I

,

%

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I‘..

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kg&:.:-. *-?

. j

:>&:G:.Y

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C

-

+

'I

1

I

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I

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-

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.

-

~-

,

-

+

., <

, .*?*--

,140 -

TRABNO

FUERWS CONSERVATIVAS Y DISIPATIVAS

Y ENERG~A

Se deja comp ejercicio a1 lector demostrar q u e el-trabajo-zealizado

-

-

asi -que -la en@a

m e c h k a .del bloque-no-se conserva, sino'que

3

mento de energfa potencial del resorte, hecho angogo a1 que tiens lugar cuando se levanta un peso: el trabajo realizado es igua1 a1 increment0 de energfa potencial del peso. EJEMPLO.-Seprecisa una fuerza de 3 Kg para alargar 15 cm el muelle de una mampara. ~ C u aes la energfa potencial del resorte si a1 abrirse la pnerta se alarga 45 cm? Puesto que una fuerza de 3 Kg.alarga el resorte 15 cm, la constante k serk

Escribamos de nuevo la Ec. 18-14] en la forma

.

.

Por tanto,

E P = lla x 20.x (0,45)3

= 2,025

Kgm.

rtido en calor. 8-8. Fuerzas conservativas y disipativae.-Para levantar un cuerpo erticalmente, a velocidad constarfte, es necesario que alglin agente exterrealice trabajo, y hemos demostrado que este trabajo es igual a1 inento de la energia potencial gravitatoria del cuerpo. Para deslizar un con velocidad constante, sobre una superficie rugosa horizontal,

ilustracion volvamos a considerar el caso de un bloque arrastrado hacia arriba por 'la superficie de.un plano inclinado (Fig. 8-9). La fuerza exterior, F, y la de rozamiento, fr, se suponen ambas constantes. L a fuerza resultante hacia

t ajo se ha convertido en calor. ~ P o quC r se verifica que efectuhndose Por integraci6n entre ('12

--

..

-

mu?

XI

y

x2

+ mgh2) - (l/2 mv12 +

mvz2

+ mghz) =

5

resulta: mghl)

=F

(x2 - X I )

- fr

(x2

- g) [8-141

de .rozamiento, y vemos que el incremenbde. l a -energia-d,el-bloque no -- es ignal a1 trabajo ejecutado por la fuerza F, sino.mnor en una cantidad igual precisamente a1 trabajo hecho- contra .la fuerza de rozamiento. Otro punto de vista consiste en denominar trabajo neio a1 representado por el segundo miembro de la ecuacibn, el cual si que es igual a1 incre-. mento de energia del cuerpo. Si la fuerza F fuera nula y a1 cuerpo se le hubiese comunicado simplemente una velocidad inicial v1 hacia arriba del plano, abandonhdolo PI2

'

PI2

mv12 .

+

.

mghl)

- fr

(z2

fuerza y la distancia son las mismas, tanto en el ascenso como en el des, el trabajo obtenido es igual a1 trabajo gastado inicialmente. En palabras, el trabajo es recuperable, o si se quiere, ,el trabajo neto cad0 en un. recorrido cerrado es nulo. sto contrasta Con el comportamiento de la fuerza de rozamiento. ici6n inicial, la fuerza de rozamiento cambia de sentido y, en lugar recuperar el trabajo gastado en el primer desplazamiento, tenemos e realizar un nuevo trabajo en el recorfido inverso. El trabajo net0 en recorrido cerrado no es nulo.

- 21)-

mv12 + mghl es la- energia inicial del bloque, y el t6rEl tCrmino mino 112 mu22 f mgh2 representa su energia en el punto mPs alto. Ve-

-

t I @ q

1 4 2 I

TRABAJO Y E N E R G ~ A

.

--

[CAP-

8

Esta diferenck entre las fuerzas gravitatoriasg las fueuas de rozamiento es el criterio que determina si se produce o no un aumento de energia potencial cuando se realiza trabajo. Si el trabajo puede recuperarse, hay un aumento de energia potencial, y no lo hay en caso contrario. Las fuerzas tales como las gravitatorias o la fuerza ejercida por un resorte, en Ias cuales el trabajo es recuperable, se llaman fuerzas conseruativas, y aquellas otras fuerzas como la de rozamiento se denominan no 1 conseruafiuas o disipafivas. Unicamente cuando todas las fuzrzas son conservativas se conserva la energia mecanica de un sistema, y sdlo cuando 1 s e realiza trabajo contra fuerzas conservativas se produce un incremento 1 de energia potencial. Pudiera objetarse que, puesto qu& el calor producido cuando existe 1 rozamiento es equivalente a la energia disipada, cabria utilizar este calor I para hacer funcionar un motor termico, y con el trabajo obtenido elevar I hn peso. Esta objeci6n sera completame-nte resuelta en un capitulo pos1 terior, al estudiar el segundo principio de la termodinwca. Por ahora diremos simplemente que so10 una parte del calor puede transformarse 1 de nuevo en trabajo, y que nunca es posible recuperarlo en su totalidad. Como resultado de la discusibn precedente, se puede escribir una expreI si6n general para el incremento de la energia potencial. Supongamos un 1 cuerpo que se mueve desde un punto a hasta otro punto b sobre una trayectoria d e forma arbitraria, como se muestra en la figura 8-10. Sea 1 F una fuerza conservativa que forma el ingulo 8 con el elemento ds de 1 la curva. El trabajo realizado contra la fuerza F, en la distancia ds, es -F cos 8 ds, que es igual a1 incremento de energia potencial, dV; esto es:

I 1 1

I

dV = - F c o s 8 ds

I

FUERZAS CONSERVATIVAS Y DISIPATIVAS

-

.

-

El t6rmino

1

j..,._. .

a

.

-

-- .

-

. .

- -..-

-

. que la fuerza es igual a1 gradienfe de la energia

- .,;..,~ , ., ...

k.i:.'"..

"' -'poiencia1cambiado de signo. Esta relaci6n entre . f :::.la fuerza y la energia potencial resultars suma':

'

. 6.-,,-~mepteutil mzis adelante cuando estudiemos las

--=.fuerzas gravitatorias, elkctricas y magnkticas. ..:: .~.". En particular, si existe-al@n punto sobre 5, .-:''. eje en el que la fuerza es nula, un cuerpo F. -:::;:.situado en dicho punto estti en equilibrio. Pero $..; ..- . .,.. . - ~ la i fuerza se- anula, dV/dz = 8, que es la eg , .;+'.condici6n ;:. . necesaria para la existencia de un .A

,;

'. . . ,.e. ;..3ibrio estable, la energia potencial debe ser F:- .-.--minima,y el equilibrio es inestable si corresponde a un m&o de la k;.z;energia potencial. Por b n t o , , s i las fuerzas .que actuan sobre el cuerpo .E...L,-..son ..,'". . conservativas, estara en equilibric estable en todo punto donde su -~.:energia potencial pase por un minimo, y en equilibrio inestable, donde :.:iSu energia potencial sea m-a. Un ejemplo familiar, cuyo analisis se $; :.; .. P i :.....?. .. deja a cargo del lector, es el de una varilla suspendida de un pivote.por $: :-:':U~O de sus extremes. . . :l...

- -. -

.

:

.~..Hay un punto en relaci6n con el trabajo y la energia potendal que es causa a ve-

.

. ~... +... .... ..:'...-.,..I': . . .... . .. . & :~ :,:: . ..

de cierto confusionismo. Supongamos un cuerpo que se levant3 verticalmente por la acci6n de una fuerza P, mayor en magnitud que el peso -del cuerpo. Si -son h..,:. ':.q y os las veloddades hacia arriba en las alturas-hl y he, y .se- desprecia el rozamient0:.. - . .......-6

.-.

P(ha .

,

1

2

Vease G. B. THOUS: Cdcelo infinitesimal y geomelrfa analltica. Sec. 14-14. Aguilar.

- hi) - rng(h9 - hi) = 11s mv# - 11s rnq9

El tdrmino P(h2 - hl) es el trabajo realizado por la fuerza P, mientras que el I:-.---... . -t&mIno -mg(hz hl) es el product0 de la fuerza gravitatoria - mg, opuesta a la y:f::direcci6n. del movimiento, por la distancia recorrida, h2 - hl; por tanto, puede desf;~-;.y7~.-,Cribirse como el lrabajo efeetuado contra la fuerza -graoiiatoria, por lo que la tercera + ~ admite el siguiente enunciado: *El trabajo neio realizado sobre el cuerpo es .t. ."- iecuaci6n igual a1 incremento de su energia cinhtica hnicamente?. .,:!.-- ? e mismo proceso algebraico de transferirtCrminos de un miembro a otro en ;:..!.:- -,.,kt ecuaci6n trabajo-energla puede efectuarse con cualquier fuena conservativa; es E--~;.L , . .. 5. .z .:

I Vamos a considerar un nuevo ejernplo para poner de manifiesto otro 1 aspect0 interesante de las relaciones energia-trabajo. Supongamos el caso

-.

: ,.

-; ; ; ; ;$ .:.-. ......

I

-

+.

ft 7:' - ~Por tanto, la fuerza es igual y opuesta a la derivada del potencial respecto " ' a - labscisa a s. Si se construye una gr6fica de V como funci6n de s, el f!:-..:-.~ ? %llama, 5 r m i n odV/& represents la pendiente de la curva, o, como tambikn se el gradiente de energfa potencial. En consecuencia, podemos decir

[8-151

Cb F cos 8 ds se denornina integral curuiffneade F entre

J

--especial en que tanto el desplazamimto cum0 la fuena se efectuan a lo

-

,

I

143,

&

.-,'7 ;

E

:.---

.

-

I 1

1

1 1-

-.

.:.

.,

-

-

-

..cp* 1

.-.:;a:. .*,.

,.,.

*---

-

[CAP. 8

-pu~lwo Y ENERG~A

-*

. -.. ,...

decir, podemos Devar todos 10s t6rminos dond? interviene la f u e n a a1 segundo mi- bro dela-ecua-66n y deslgnar su diferencia como u n incremento en la energfa potencial, o transferirlos al primer miembro cambidndolos de signo, y dedr que representan el trabajo realizado contra l a f u e n a conservativa. Sin embargo, no es poslble hacer las dos cosas al mismo tiempo. Sf, cuando se eleva un cuerpo vertlcalmente, ponemos 10s tkrrninos mgh en el primer miembro de l a ecuaci6n y consideramos p e se h a efectuado trabajo contra la fuerza de gravedad, no eS legitimo asignar a1 cuerpo una energia potencial gravitatoria. Por otra parte, si se llevan 10s tQmlno8 al segundo miembro y se considera quc representan un incremento en la energIa potencial, no debemos incluir en el t6~minotrabajo el realiiado contra las fuerzas gravltatodas. Puede adoptarse indiitintamente cualquiera de 10s dos puntos de vista; no obstante, el m4s wrriente es asociar una energfa potencial a una fuerza wnservatlva.

:<;sEc.8-91 .. .

.

2-

3.0 Si el sistems carece de rozamiento y no se realiza ninglin trabajo . f -.:.sobre 61, tenemos: g :<.:;. (Ki Vi) = (K2 V2). .- . ... Esto es, la energia mecanica total de un sistema aislado, sin rozamiento, : es constante. La ultima ecuaci6n puede tambien escribirse: -.. --(1'1 - V2) = (K2 - Kl).

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I 6 .

I-

145

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

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144

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RESUMEN

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I

Si representamos por K l y Vl, respectivamente, las energias cinCtica y potencial iniciales de un cuerpo; por KZ y VZ, las energias a1 final de cierto proceso, y por H, la energia convertida en calor, se puede escnbir: j

I

Trabajo realizado = (K2 - K ~ + ) (vz-- v1) + H.

I I I 1 1 ' 1 ; I j

s

H

Casos especiales. 1.0 Si el sistema carece de rozamienfo, entonces = 0, y todo el trabajo realizado se emplea en aurnentar las energias

cinCtica y potential. 2.0 Si no se realiza nin@n trabajo sobre el sistema, tenemos:

1

o bien:

0 = (K2

- KI)+ (V2 - VI) + H,

ESEMPLO.-Un cuerpo desliza, sin rozamiento, partiendo del reposo, sobre una :y&pista formada por un cuadrante de circunferen':??cia' de radio R (Fig. 8-11). ..... Demuestrese que la magnitud de su velocidad . -. ,?.-en el punto mas bajo es igual a la que adqui:-:;::-rMa en la calda libre desde una altura vcrtiyl R. .. -C".

.-*,,,. .

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:&la pista es constantemente perpendicular a1 mo-;;..:yimiento, por lo que no se efcctda trabajo so. ..*. .- .: bre 'el cuerpo durante el descenso, y la energfa .-.--:?.total .p e r m h e w constante. En el punto inicial .;!?.la ... energfa cin6tica, es nula y la energia potencial

energla erg la potencial es cero y la energla cinktica vale

...?. .. .

Esto es, la energia mecinica total de un sistema aislado a1 comenzar un proceso de naturaleza cualpuiefa es igual a la energia m e c w c a a1 final de

FIG.8-11.

>.

I-.:-.. .

1

.

112

mu2; por tanto:

.

Principio de 10s t r a b a j o s virtua1es.-El principio de 20s trabajos .:$$virtuales constituye un poderoso recurso para la resoluci6n de 10s pro~:,bIemas de eskitica, pues de hecho f I ..::l.equivale ,.., a las tres condiciones de f, 1.1.:

8-9.

%.

.

--

-

-

_____

_-

-

-

-

-

-...

Esto es, en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema aislado, la perdida de energia potencial es igual a1 incremento de energia cindtica, mis el calor desprendido. Una nueva agrupacibn de t6rminos da: .,

.

.::$. -\.. :. La f i g u c 8.12 represents una va.>I:rilIa rigida (cuyo peso puede despre.~~~%ciarse) en equilibria bajo la acci6n .-;A$, ~ d tres e fuerzas F1, I;i y F3. Si supo..-.:.-nemos ..- .~ que se hace girar la varilla un : .%? .- pequefio ingulo alrededor de un eje __',que . pase por 0, 10s puntos a y b se

,t

r,

0 A

Ir

b

,

iiij..

'

igual a Ful por la fuerza Fl, y ..:-?ibajo ..- .... se hace otro trabajo F2y2 confra la fuerza F 2 . La fuerza F3 no realiza :.;::&:.-ningtintrabajo. Por. las condiciones de equilibria sabemos que Flzl = : -2?--,*.F m . y por semejanza de trihngulos yl/yz = a/xz, de donde resulta ..'.s.',. FIG.8-12.

I

mienzo del rnismo, y la disminuci6n es igual a la energia convertida en calor.

.L.mL.

4 C t t I f

-

0 sea, en cualquier proceso que tiene lugar en un sistema aislado, sin rozamiento, la perdida de energia potencial es igual a1 incremento de -w -. - energia cinktiea.

'( /(

L

146

TRABAJO-Y ENERG~A

[CAP.

..f-,

8

v-

.- -. W&

-que Fwl = F2y2. Por consiguiente, el trabajo r e a l i d -per,la- f u e m Fl es igual a1 efectuado contra la fuerza Fz,por lo que el trabajo ndo es cero. Por supuesto, no tiene lugar realmente el desplazamiento del sistema; es solo imaginado y computamos el trabajo net0 que se haria si aquel tuviese efectivamente lugar. Por ello, se denomina-d-qplazamienfo virfual: El principio de 10s trabajos virtuales es una generalizacibn de este sencillo ejemplo, y dice que cuando un sisfema se encuenfra en equilibrio, el trabajo efecluado en un desplazamienfo virtual es nulo. En el ejemplo elegido las fuerzas eran conocidas de antemano, pero cuando este metodo se emplea como recurso en la resoluci6n de problemas, las fuerzas no se conocen, sino que se calculan utilizando dicho principio. 8-10. Potencia.-En la definition d e trabajo no esM incluido el concepto de tiempo. El mismo trabajo es necesario para levantar un peso determinado a una altura dada, si el trabajo se realiza en un segundo, en una hora, o en un afio. Sin embargo, en muchos casos, es necesario considerar tanto el trabajo total realizado como su variacibn con el tiempo. La variacion con el tiempo del trabajo realizado por un agente que trabaja recibe el nombre de pofencia desarrollada por dicho agente. Si en un intervalo de tiempo (fi - fl) se ha realizado un trabajo W, la potencia media P se define como

-

:.. . ... SEC. .....4 :7

t

que 1CV = 75 Kgmlseg = 735 w = 0,735 Kw; y de las relaciones existentes entre newton, libra, metro y pie resulta: 1 H P = 746 w = 0,746 Kw,

:

F !

> : j " e ' -

o sea, aproximadamente, 314 de kilovatio. Habiendo definido dos unidades de potencia, el caballo de vapor y el kilovatio, podemos utilizar a su vez 60s nuevas unidades de trabajo, el saballo-hora y el kilovalfo-hora (Kwh). Un caballo-hora es el trabajo realizado en una hora por un molor que desarrolla una polencia consfante de un caballo. Puesto que dicho motor proporciona un trabajo de 75 Kgrn cada segundo, el trabajo proporcionado en una hora es 75 x 3600 = 270000 Kgm:

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1 caballo de vapor-hora = 270000 Kgm.

;I"-.:.

Un kilovaiio-hora es el trabajo realizado en una hora por un mofor que desarrolla una pofencia consfanfe de un kilouafio. ....... Puesto que dicho motor proporciona un trabajo de 1000 julios cada ....... ........ segundo, eltrabajo proporcionado en una hora es 3600 x 1000=3600000 j ..:.- j d o s : .I .-1-. . 1 kilovatio-hora = 3,6 x 106 julios. - i .;- ::,:. . . . : : atentamente que el caballo-hora y el kilovatio-hora son .I.. . . .. ., . . ~ d ObsCrvese a d e de-trabajo s y no de potencia. . - ........ -. Una particularidad del trabajo o de la energia que debe hacerse resal... . . . - ...-es que, aunque se trata de magnitudes fisicas abstractas, tienen,. no i .;-??: ; G:;....obstante, un valor monetario. Una fuerza de un kilogramo, o un metro r-. -......... p o r segundo de velocidad son.cosas que no pueden ser compradas y ven. didas como tales; pero un kilogrlmetro o un kilovatio-hora de energia son .. magnitudes ofrecidas como mercancias a precios determinados. En for. .

t

Si la variaci6n del trabajo con el tiemPo no es constante, la potencia en cualquier instante es la raz6n del trabajo realizado4al,intervalo de . . tiempo cuando ambos son infinitamente pequefios:

En el sistema Gcnico, en el cual la unidad de trabajo

147

bajando a plena carga, proporciona 33000 foot-pound de trabajo cada minuto. -. . - . Un concept0 equivwado supone que las denominaciones vafio y kilo3; qaiio implican algo de origen ele'cfrico, lo cual no es cierto. Es verdad que .. -. .-. . . corrientemente la potencia electrica se expresa en vatios o en kilovatios, . . ;- I... pero la potencia consumida por una lampara de incandescencia pudiera -r ?''- expresarse igualmente en caballos, o la potencia de un automovil en - .-,.- .-.kilovatios.

intervalo de tiempo '

dW Potencia instanthea P = - dt, -. .

POTENCIA Y VELOCIDAD

.

' .

--a-

Potencia media =

8-11]

.

es el k i l o g r h e tro y la unidad de tiempo el segundo, l a unidad de potencia es el kilogrametro por segundo. Un mdltiplo de ella es el caballo de vapor (CV), que equivale a 75 Kgmlseg. En el sistema mks, la unidad de potencia es el julio por segundo, que se denomina uafio. Esta es una unidad demasiado pequeria, y la potencia se expresa con m4s frecuencia en kilouafios o Kw (1 K w = 103 w = 103 julioslseg), o en megavafios (1 Mw = 1000 Kw = 106 w). La unidad de potencia en el sistema cgs es el ergio por segundo, para el cual no se ha asignado nombre especial. En el sistema inglb, en que el trabajo se mide en foot-pounds y el tiempo en segundos, la unidad de potencia es un foot-pound por segundo.

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I. 2.: .dad y la cantidad adquirida. !

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. .

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8-11. Potencia y ve1ocidad.-Supongamos que se ejerce una fuerza .constante, F, sobre un cuerpo, mientras el cuerpo realiza un desplazamiento (x2 - xl) en la direccion de la fuerza. El trabajo realizado es:

-.-. ..

-

.-

..

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......

-

.-

...

148

TRABAJO Y E N E R G ~ A

. . ..+

...

y.la potencia media. desarrollada:

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PROBLEMAS

.~:. ,. -- . . - .

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es la velocidad media,

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u;por .consiguiente, -

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5

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. . -. .. ..-. . .

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P = Fu. --

Si el htervalo de tielnpo es infinitamente pequefio, la Ec. 18-17] se reduce a

P=F-,

dl

o bien:

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&-@I

velociirad a e rlD-Km/K &uhntirs veces se hacc rnayor la energla cinCtica st se

-

8-11.

velocidad de 100 cmlseg. Calcdlcse su energfa cinCtica en ergios y en julios. La

FIO. 8-14. .

.

miento, la fuena-aumenta de acuerdo v n la relaci6n F = 61, donde F esta en . .. . .. . ttewtons y t en metros. E l hrigulo varia . . .-. .. tambiCn segon la ley cos 0 = 0.70 ,., . .~ . .- . . .0.02 x. ~CuAntotrabajo h a b d reali-:. . . - - zhdo la fuerza mientras el cuerpo se ha .. -.-.. . . desplazudo desde z = 10 m a z = 20 m? *=.s. 8-6. 1-a fuerza de atncci6n gravitnic.i. - -:. 5j-.:..e.-. loria e n t n dos puntuales ma +_.+ . . .. . -- . - esi4 dada por i: *< :.-.. fr . ... . I : = - Gmrn' -5. '.; 2.

-

-

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. % , K . .

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siendo P y v 10s valores instantineus. .

E J E M P L O . - ~locomotora ~~ que lleva una velocidad de 15 mlseg ejerce m a hacci6n de 10 000 Kg. ~ Q u dpotencia desarrolla?

P

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10 000 x 15 = 150 000 Kgrnlseg 150000 3 2000 cv. . 75 PROBLEMAS

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..:- - .

..

.

s i e n d ~z la distancia que las separa, y G uua constat~te. Calc~ilese el trabajo . real zado al aumentar la distancia de

.. -

<, .. . . - ... . ... .. . - -... . . . ?> .. . .:A,..,.-.. ... . E.

-

I. --- - oiigen con una fuena dada por P = ,....:**::.. - 618, donde F estA en libras y z en .*. . . -..-pits. ~ Q u 6fuena se requlere para man. k ..:i- '-*. . . . tet~erel cuerpo en el punto a, a 1 pie del .. .~ .. - .. ,. ., .. rorigen? . LY en el punto b, a 2 pies del -. . ... origen? ~Cugnto trabajo se realiza a1 1v .,..,.,. trasladar el cuerpo del punto a a1 b? z . ~. L.. . il:; ,:.;,--..- 8-8. Un bloque es empujado 1,20 m @ =;-, sobre una superficie horizontal, mediante .una fuena tambiCn horizontal de 5 Kg. : r. _ :*

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-

8-3. Un bloque de 100 Kg es empu-

_ --

del

es

n2‘.

go

FIG.8-15.

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.

Un electrhn alcanza la pantalla

jadb a n a distancia de 6 m sobre un piso horizontal, con velocidad constante, mediante una fuena que forma un iingulo de 300 con la horizontal, como indica la hajo realiia lalocomotora en un recorrido - figura- 8-13. El-coeficiente de-rozamiento entre el b l o q u e ~ rel piso es 0,30. ~ Q u l trabajo en kilopimetros se ha realizado? 8-4. La fuena en libras necesaria para alargar cierto resorte una distancia d e z pies a partir de su longitnd normal e s d dada por F = 102. a) ~ Q u 6f u e n a serA necesaria para alargar el resorte 6 pulg? ~1pie? ~2 pies? b) ~ C u 4 n t otrabajo se requiere para .alargar el resorte 6 pulg? 11 pie? ~2 pies? 8-6. Un bloque de 20 K g es empujado sobre una superficie horizontal por una f u e n a F que forma u n b g u l o 0 con aquklla (Fig. 8-14). Durante el moviFro. &IS.

,?

8-12. Una varilla de un metro cuya masa es de 300 g puede g i n r alrcdedor de un eje colowho en utio de sus extremos, como indica In Iigum 8-15, y es desviada un hngulo de 600. LCuAl es el incremetito de su energla poteiicinl? 8-13. La escala de cierta balanza de

ne una longitud de 20 cm. LCuAl sera la haya alargado 20 cm? ~ 1 cm? 0 LY cuatldo se cuelga del resorte un peso dc 25 Kg? 8-14. Un .bloque que pesa 8 Kg es empujado, mediante una fuerza Iiorizontal de 4 I
trabajo se ha realizado? L E quC ~ se ha convcrtldo este trabajo? b) Cornprukbese la respuesta culcula~idola aceleraci6n d t l ,.: -... bloque, su velocidad filial y su energla .. ... . - - . . - . f: ._I?; 1::Kg. -d)iQuC trabajo ha-natizsdb e t - -cinCtica. ~. . Supbngase, en el problema an8-15. ., . . -., ..1.'..agente exterior que ejerce la f u e n a de terior, que el-bloque t i m e una velocidad
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3,

un plano inclmado 374 sobre4a--horizontal por una fuena constante F d e 32,5 lb, que actda paralelamcnte d plano. E l coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,25. a) &CuAnto trabajo realiza la fuerza F? b) Calc~ileseel incremento de energia cinQtica que experimenta el bloque. c) HAllese el increment0 de energia potencial del bloque. d) HAllese el trabajo efectuado contra las fuerzas de rozamiento. &Enqu8 se transforma Qste? e) lQuQ jmcde decirse acerca de la suma de b), c) y d)? 8-18. Un bloque de masa m desliza una distancia s hacia abajo por l a superficie de un plano inclinado un Angulo 0 con la horizontal. E l coeficiente din& mico de rozamiento entre el bloque y el plano es y, y la velocidad del bloque en el extremo superior del plano es q. LCuAl es la expresi6n de su velocidad o2 en la parte mAs baja? (HAgase uso de consideraciones energdticas para deducir la respuesta). Dedlizcase de dicha expresidn el Angulo mfnimo de inclinacidn del plano para el c u d el bloque descenderia con velocidad constante. 8-19. E l martillo de un martinete pesa 1ton y cae desde una altura de 3 m sobre un pilote a1 cual intseduce 8 cm. Calcf~lese, a partir de consideraciones energe'ticas, la fuerza ejercida sobre el E l muelle de una escopeta de - resorte tiene un coeficiente d e rigidez 8-20.

5 cm y se introducben-el-CaK6ri uria bala a) Calcdlese la velocidad maxima con que la bala abandona la boca del fusil, una vez soltado el resorte. b) Detennfnese la velocidad mAxima en el =so de que actde sobre la bala una f u e n a resistente de 1,125 Kg.

- 8-Zir -Un-bloque que pesa 2 Ib se comprime contra un resorte horizontal de masa despreciable, reduciendo su longitud en la cantidad 11 = 6 pulg. A1 soltar el bloque, Qste se desplaza una distancia re = 2 pies, sobre una mesa horizontal, antes da quedar en reposo. La.fuerza constante k es d e 8 lblpie. (Fig. 8-1G.) &CuAl es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la mesa? 8-22. Un b l q u e de 10 g de masa desliza con velocidad r, sobre una superficie plana sin rozamiento h a s h chocar contra un resorte periectamente ebstico d e masa despreciable. E l bloque queda en reposo despuks de haber comprimido 5 cm el resorte. La constante del resorte vale 1000 dinaslcm. a) iCuAl es la energia potencial del resorte cuando se halla comprimido? b) &Cull es la velocidad u del bloque inmediatamente antes del choque con el resortc? c) ~ Q u 8trabajo realiza el bloque sobre el resorte? 8-23. Un bloque de 2 Kg se deja caer desde una altura d e 40 cm sobre un muelle cuya constante k es 1960 newtons por metro. Hgllese l a longitud r n m a que sera comprimido el resorte.

L~-;.:~G~*do

.par l a 3uerza_F..durante _este proceso. b) Si el bloque se suelta, lcuAl serA * -. ;. ;...:..: .--.a velocidad cuando pase por la posicidn ,-. .i. .. . de equilibrio? t S-25. Un proyectil de 8 Kg se dispara . -' m r un caii6n con una velocidad inicial t . ; ..; - d e 240 m/seg y bajo un Angulo de eleva. .. . , ci6n..de 450. Se pone .a.continuaci6n el - ~. . cafl6n vertical y se dispara otro proyectil . .. .. i .~.; .. 9nAlogo con la misma velocidad inicial. .. ., a) Hallense las maximas alturas alcan--- ~ .-. . ~ zadas por 10s dos proyectiles. b) Demuds5 .&.. ..L.. :.. .- -. .'trese que en ambos casos es la misma la - . . .energla total en el vQrtice de la trayechi, ..-.r , .,,

8-24: .lJn bloque d e 1 Kg de mass se halla en reposo sobre una mesa, como e n 1% figura g ~ 7 , - - ~ - ~ d o u n6i aos d~ soportes v e r t i a e s mediante dos resortes Sly Sa. El coeficiente d e rozamiento entre el bloque y l a mesa es 0,2. Se sabe ademas que son necesarios 10 newtons para alargar 25 cm el resorte Sz, y 2,s newtons para alargar tambibn 25 cm el Ss.

-

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. -'conservaci6n de la energla, hallese la :.~. Sn.:.-'*:;...-,~

.*" .:.. .altura I . . : .

que alcanzarla un proyectil an&-logo a1 ser disparado con un Angulo de elevacidn de 300.

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Fra. 8-16.

0

posici6n de equiliirio entre 10s resortes con su longitud'natural. A continuacidn es desplazado poco a poco 50 cm me-

i.i-:1...:-:-.._-'8-26. . . . . .. . En la figura 8-18 sup6ngase T.. - - :;.-,:-que - -. el resorte tiene una longitud natural . .. .. i .. . . de 1 pie y que su constante vale 1260 lb 1 ..... . -. p o r pie. E l hombre que muestra la figura

.,--pesa-200 -ib y acaba- de caer-sobre -el resorte, comprimiQndolo 8 pulg (de forma . ,. -.-:':..-,gneestt a punto de ser lanzado hacia ---..=:-.-=.( .. ..~.arriba). a) ~ C u a les la energia potencial ,w *. .:< +. gravitatoria del hombre en dicho ins-... .. tante? (Sup6ngase que es cero cuando el . hombre Iapoya -s u s pies en el snelo, y "-.- . ..",.. ..,.. -.. que no dobla las rodillas). b) ~ C u l n t a -. - ..- . .- -. . :~:. . . energla potencial almacena el resorte en . . -~ :. .. - .- ~ este instante? c) ~ Q u daltura sobre el I -. suelo alcanzarai el hombre? (ObsQrvese no este atado a1 resorte). -. . ... .. ...

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el otro. a)Xalcaese el trabajo total reali-

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F%. 8-19.

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151,

PROBLEMAS

TRABAJO Y E N E R G ~ A

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radio, que termina en un tramo horizontal sobre el que hay un resorte cuyo extremo libre coincide con el final de la pista circular. Una fuerza de 600 Kg comprimirfa este resorte 22,5 cm. Un objeto que pesa 6,25 Kg se deja caer con velocidad inicial nula desde el extremo superior de la pista, siendo detenido por la acci6n del muelle. a) ~ C u a es l la velocidad del objeto inmediatamente antes de chocar contra el resorte? b) ~CuAnto se habra comprimido el resorte a1 detenerse el objeto? c) Si se supone nula la energia potential inmediatamente antes que el objeto tropiece con el resorte, ~ c u a lsera la energia mecanica total del sistema si se sabe que el objeto ha comprimido el resorte 3 cm? 8-28. Un bloque de 5 Kg es lanzado sobre la superficie de un plano inclinado 370, con una velocidad inicial de 10 mjseg, observhndose que asciende 6 m sobre la superficie del plano, se detiene y retrocede hacia abajo. a) Calclilese la energla cine'tica inicial del bloque, y su energia potencial en el punto mas alto. b) HAllese la fuerza de rozamiento que actha sobre el bloque. c) Calcdlese la velocidad que tiene el bloque a1 alcanzar el pie del plano en su retroceso.

.

.

-ti-.' --

PROBLEMAS

punto mls alto de la pista circular. Esta muestra la figura 8-21. E l proyectil pasa i - onn potencia -eonstante d e 100 CV. El por A; a 9000 Ih del emplazamiento del dltima carece de rozamiento; mfentras .:; a c h e parte del reposo y-todo el ttabajo que el coeficiente de rozamiento entre el caiibn, y a1 mismo nivel que Qste, alcanrealizado por el motor se emplea en au. ..-bloque y el plano inclinado es 0,3. tQu6 zando el blanco B, situado 300 m ppr de A, a) Galchlese la velocidad parte de la energfa cin6tica que tiene e:.; . :debaja' . bloque cuando estA en el p u n t o ~ i i s k i a j o inicial del proyectil, despreciando la rede la pista se disipa por rozamiento a1 sistencia delkire. b ) Si e! proyectil pesa 32 Kg,-6cuAl $s su energla cinztica cuando ascender hacia arriba del plano? 8-30. Una varilla de 1 m de longitud pasa por A ? c) &CuAles la energIa ciney 100 g de masa, cuelga de uno de sus tica del proyectil al chocar con el blanco? 8-36. Un hombre situado en el punto extremos. Se lleva a posicidn horizontal y se suelta de nuevo. Calcdlese su energia m a s alto de una pendiente de 370 arroja clnktica cuando pasa por la posici6n de una pelota horizontalmente, que choca equilibria. con el suelo 72 m mas abajo. a) Si se hubiera arrojado la pelota con la misma 8-31. Una pequeiia esfera de masa m ..-. .. . .velocidad inicial, per0 formando un bnest4 unida a un trozo de hilo sin peso, :.>:,;: tieneunavelocidad mAxima delOOpies/seg ...x -..sobre terreno horizontal y cuando el mode 60 cm de longitud, de manera que gulo de 370 con el suelo horizontal, tqu4 constituye un pkndulo, que oscila des- distancia horizontal habria alcanzado? .. i ; -tor desarrolla su potencia m&xima de g. .. :-. .: vihndose un Angulo mAximo de 600 de (Desprkciese la resistencia del aire). b) Si K p ~ C u a lserA la velocidad mhxima la vertical. a ) icon quk velocidad pasa la pelota pesa 250 g y estA en la mano sobre una carretera que tenga una pendiente del 5 %? Supdnganse constantes la esfera por la vertical? b) iCuAl es la de quien la lama durante 118 seg, ~ c u a l aceleracidn instantanea cuando el p6nsera la potencia media desarrollada en el 6-3:. todas las fuerzas de rozamiento. .... ... dulo forma su Angulo maxim0 con la act0 de lanzarla? 8-44. La fuerza resistente contra el c : !arrastre de una rpnoa autom6vil es apro-, 8-37. Un cable remolcador de'esquiavertical? ---. -8-32. Un montacargas tiene un peso dores tiene que actuar en una pendiente *.:?:. *- ,.'.,, .-..-.. de 370. El cable ha de moverse a la velototal de 1200 Kg. Parte del reposo en el primer piso y 5 seg mAs tarde pasa por cidad de 8 K m p y transports simulta. ). .: .:. el quinto piso, situado a 18 m del pri- neamente 80 pasajeros, cada uno de 10s r.,zs;-cuales pesa, por thrmino medio, 75 Kg. mew, con una velocidad de 9 mlseg. HAllese el trabajo total efectuado sobre Calcdlese la potencia requerida para acel montacargas durante el interval0 de cionarlo. *--.:' 5 seg, y la potencia media desarrollada. 8-38. a ) Si l a energia cuesta a 1 pta el Kwh. ~ c u h t ocuesta un caballo de Despr6ciese el rozamiento. hora? b) ~CuAntoskilogrAmetios 8-33. Calcdlese en caballos de vapor ...vapor . la potencia desarrollada por la locomo- pueden adquirirse por 20 chtimos? . tora del problema 8-1. 8-39. ~CuAntocuesta hacer funcionar 8-34. El martillo de un martinete u n motor de 10 CV durante 8 horasa- para clavarpilotei~~p~sa 500 K g y ha de 0,75 ptas el kilov@o-hora? ser elevado una distancia vertical de 8+O. Una fuerza horizontal de 16 Ib 1,s m en 3 seg. tCuAl es la potencia en actda sobre un cuerpo de masa 2 slugs caballos de vapor del motor empleado? inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. a ) Calcdlese la potencia instantanea desarrollada por la fuerza a1 terminar el primer segundo y al terminar el quinto-segundo. b) Calcdlese la potencia media desarrollada durante el primer segundo y durante 10s 5 primeros segundos. c) Expllquese por qud no es constante la potencia 8-35. Un cafidn dispara un proyectil 841. Un autom6vil que pesa 1200 K g esta provisto de un motor que desarrolla con un Angulo de elevaci6n de 370, se@n : c-.

".:

153

.

xirnadamente proportional a lavelocidad de la canoa. Si un motor de 10 CV hace marchar una canoa a 16 Kmlh, LcuAntos caballos de vapor se necesitarAn para una velocidad de 32 Km/h?

.

,

,

~

1

C .A*:,:"'-'

.

8-45. C'tilicese el principio de 10s trabajos virtuales para calcular la tensibn de la cuerda A en la figura 8-22. (Imaginese que el extremo superior de la barra se traslada una pequeiia distancia hacia la derecha.)

I M P U L S I ~ NY CANTIDAD DE MOVIMIENTO

.-..

I I I It I

9-1. Impulsi6n y cantidad de movimiento.-En el capitulo anterior se ha explicado como pueden-deducirse 10s conceptos de trabajo y energia, a partir de la segunda ley de Newton. A continuacion veremos como se deducen dos conceptos analogos, impulsidn y cantidad de rnouimienio, a partir tambiCn de las leyes de Newton. Estos conceptos encuentran su aplicaci6n mas frecuente a1 estudiar 10s problemas de choque entre dos cuerpos. La figura 9-1 representa dos cuerpos que se aproximan ullo 3 otro moviendose sobre una superficie horizontal lisa, chocan y despuCs se separan. Las magnitudes que se refieren a1 segundo cuerpo se expresan con las mismas letras que las referentes a1 primero, pero con primas.

I "

01 C-)

[-;g ",-

,

- -

-

",

D:

.

E s dtil dar nornbres a las expresiopes mu y Fdf. El product0 de la masa por la velocidad d e u n cuerpo se llama su cantidad de movimienio:

La integral de una fuerza durante el interva10 de tiempo en el c u d actua se denomina impulsion de la fuerza, y se representa por J:

A .

.

.

La Ec. [9-11 puede enunciarse, por consiguiente, como sigue: El in-72 crernenfo de la caniidad de mouimienfo de cualquier cuerpo es igual a la ..,:. I:: impulsidn de la fuerza ejercida sobre el mismo. Debe observarse atentamente la analogia de las Ecs. [9-11 y [8-111. La variacibn de la cantidad ::.':; d e movimiento esth relacionada con la integral respecto a1 iiempo de una ----.

zi

0 ;

;.

': -

:=:. selacionada con la integral de la fuerza, respecto a1 espacio. :J'

;**n

....

..

.~.

-.

e

1

Los subindices 1 y 2 se refieren.a 10s galores de dichas mag~litudesantes y despuh del choque, respectivamente.. Puesto que el plano es horizontal y no hay rozamiento, las unicas fuerzas que intervienen son ks..que cada cuerpo ejerce sobre el otro dur a n k el tiempo que 10s dos estan en contacto, y que designamos por F y F' en la figura 9-1 (b). De la tercexa ley de Newton se deduce que F y F' son d e igual magnitud y directamente opwtas; esto es: F = --F'.Las fuerzas F y F' v a r i a r h durante el choque y, naturalmate, las d o s son nulas antes del mismo. E n el primer instante de contacto, ambas son pequefias; despub aumentan hasta un valor maximo, y q o r ultimo disminuyen y se anulan cuando 10s cuerpos se separan. E n un i n s t a k e cualqkera mientras 10s cuerpos se hallan en contact0 dv dl

\

.. ..

Impulsibn de una fuerza constante = J = F

.. . ....I. ,

.

La unidad de impulsi6n en el sistema t~cnicoes el kilogramo-segundo; ... i.E . .. en-el sistema mks, el newton-segundo; en el sistema cgs, la dina-segundo; -".b*yen el sistema inglb, la libra-segundo. Las unidades de cantidad de mola.. .c:..,-, virniento- en !os mismos_-sistemas son: la unidad tCcnica de-masa-metro :_iF: ..--

l i

-

:

--.

.-

.

pondiente de cantidad de movimiento; es decir:

1 new-seg = 1 .,.: . ~.

--

dv' df

E s fAcil probar, por el metodo explicado en la secci6n 8-4, que la uni-

-Kg-m Seg ,

1 Ib-seg = 1 , etc.

:

La cantidad de movimiento y la impulsi6n, a diferencia de la energia y el trabajo, son magnitudes vectoriales. El vector cantidad de movi.*.,.: rniento d e un cuerpo mbvil tiene la misma direction y sentido que su ve:g<Eocidad; la direccibn del vector impulsi6h es la rnisma que la de la fuerza .& q u e produce la impulsi6n. -.,. .,.

. .4+71 , -..-.... .

Sea tl el instante en que 10s cuerpos hacen contacto por primera vez, y i2 aquel en que se separan; se tiene: 154

,

!

156

[CAP. 9

I M P U L S I ~ NY CANTIDAD DE- MOVIMIENTO

l;-!.2

XJEMPLO 1.-Una pelota d e golf pesa 25 g; Su velocidad, inmediatamente des= pubs de haber sido lanzada, es de 60 mlseg. .LCUAIfu6 la impnlsi6n del golpe? Puesto que la pelota esta inicialmente en reposo, el incremento de su cantidad de movirniento es igual a la cantidaa-de movimiento final, o bien:

. . .-...-.. -9-2. a. - .:-.: ;. *.... . -..-,. . .nuevo la *-~ . . . . -.

-

-

.

g

,

'

.-,

:3

F

$

Cnalquier fuerza tal que

-

L

tz

- il -

-

. : .:

...

-u

0,0005

- 306 Kg.

Cantidad de movimiento_aptes. del choque = mu1 = - - . .-

-

--

-

0;125'

X

-( - 1 5 ) ~ . -0,1905.

-

-

J

- 0,4445

-

.

0,05

El signo menos signinca que la diiecci6n de la fuerza sobre la pelota es opuesta a sn velocidad inicial.

* Massachusetts Institute of Technology.

+

:.

*

g ....,. ObsCrvese que no es precis0 conocer detalladamente como varian las . F-:c<:fuenas F y F'. Las impulsiones de las fuerzas son necesariamente iguales g:Fey~r. . g.,;!.xen magnitud y de sentidos opuestos, yipor tanto, producen cambios -;3!::iguales y opuestos en las cantidades d e movimiento. El incremento total . I,de E:.g?- la cantidad de movimiento es, per consiguiente, nulo. . .*:. - Un enunciado mas general del principio d e conservaci6n de la cang-:tidad de movimiento, que no queda restringido al choque entre dos .a.v A'

+

(Se considera positiva la direccidn hicial del movimiento.) El increment0 de la cantidad de movimiento es m q - mu1 = - 0,1905 0,2540 = - 0,4445 unidades tdcnicas de masa-mlseg. Por consiguiente, la irnpulsidn de la fuerza sobre la pelota -es J = 0,4445 Kg-seg, g si la duraci6n del choque ha sido O,O5 seg y la fuerza es constante,

-h

+

-

,, :

-0.125 9.8 '9-8

--

tz

- m s = - (1n'vf2 - m ' ~ ' ~ ) ,

-:

EJEMPLO 2.-Una pelota que pesa .l25 g es lanzada horizontalmente contra una pared vertical. Su velocidad antes de chocar' es de .70 mlseg, y rebota w n una veloddad de 15 mlseg. El tiempo de contacto con la pared h a sido 0,05 seg. C a l c ~ e n s ela cantidad de movimiento de la pelota antes y despubs del choque, y la fuerza ejercida sobre ella por la pared, suponiendo dicha fuerta constante.

.

mu2

F'dt

.,;

.?>

,

- -

o bien:

l::

mu1 m'v'l = mvz rn'uJz. [g-31 : El primer miembro de la Ec. [9-31 es la cantidad de movimiento total . ,,.>\.. . $: w ..:.= .del sistema antes del choque; el segundo es la cantidad de movimiento total despuCs del choque. Por consiguiente, hemos deducido el resultado x .:., ---extraordinariamente importante de que' la cantidad de mooimienlo total i.-sy &-ae 10s cuerpos que chocan no se allera por el choque. Este hecho constituye .

La cifra anterior da la fuerza media, sea constante o no.

.

7."-

11

- 11);

=-'. " '

Fdl = -

. g;;:L.-..' ;- . <.-.. .

L

F=-

I"

:li--

::!:,. x, -. ... .

actde durante un interval0 de tiempo tal que el product0 F (Q 4) sea igual a 0,153 Kg-seg, comunicara a la pelota la misma velocidad. dnicamente puede calcularse la fuerza conociendo la duracidn del golpe y suponiendo que aqudlla es constante. Un estudio de 10s lanzarnientos de una pelota de golf llevado a cabo por el doctor Edgerton, del M. I. T.*,con ayuda de un estroboscopio d e gran velocidad, demuestra que la pelota permanece en contacto con la cara del palo media milCsima de segundo (0,0005 seg) aproximadamente. Suponiendo la fuerza constante durante este tiempo, se tiene:

J = F (Is

-.

por tanto, E -.,+:y, ,:;-

-

-a

Sabemos por la tercera ley d e Newton p u e en todo instante, F = - F'; por consiguiente, ;<:i.'

t .-

Fdt = 0,153 Kg-seg, o cualquier fuerza constante que

m'~' ~ r n ' ~ '= ~

'

::::

5

Por consiguiente, puesto que& impulsi6n y el incremento de la cantidad de movii miento son numdricamente iguales, la impnlsi6n del golpe es J = 0,153 Kg-seg. Obsdrvese que la fuma del golpe no puede calcularse con 10s datos anteriores.

Fdt;

,-

$, lpl';.-. a . ,,

998

C O ~ S ~ N de ~C la~contibadas ~D rnovimiento.~~onsideremos de Ec. [9-I]: -

,

* EJEMPLO 1.-Una bola de billar A (Fig. 9-2) que se mueve con una velocidad q &.-:Ggg.de36 cmlseg, choca contra otra bola anhloga B, que se encuentra inicialmente en e ;repaso. Despuds del choque, la bola A rebota con velocidad v~ de 15 cmlseg formando .-<:.+.?

.ip-;GLy!

,

.

P

+.i-

~

.

..

; un, Angulo de 370 con su direcci6n inicial. HAllese l a magnitud y direccidn de la velo..

. .

2. .

.

.

t(

La cantidad d e movimiento E u n a magnitud vectorial que se conserva-en el cho- que, por lo que tambitn deben conservarse sus wmponentes. Tomemos l a direccibn de g wmo eje X, y sea m l a masa de cada bola. La componente X de la cantidad de movimiento inicial del sistema vale m x 36 g-cmlseg, y la componente Y es nula. Despuds del choque, la componente X de la cantidad de movimiento d e la bola A es m x V A x cos 37O = m X 12 g-Cmlseg. Por tanto, la componente X d e la cantidad de movirniento de la bola B sera m X 36 - m x 12 = m. x 24 = mug cos 0 g-cmlseg. Despuds del choque, la componente y de la cantidad de movimiento de la bola A es m x DA x sen 37O = m x 9 g-cmlseg, y la de l a bola B sera, por tanto, - m x,9 = = m v sen ~ 0; por consiguiente,

mug sen = - 0- -. m mvg cos 0

I' I'.

x 9 t g 0 = -30,375, m X 24 '

0=

- 20.50.

y

VB

= 25,6 cmlseg.

EJEMPLO 2.-El rifle Springfield pesa 9,69 l b y dispara una bala que,pesa 150 p a nos (1 lb = 7000 granos), con u n a velocidad inicial de 2700 piesjseg. Calchlese la velocidad de retroceso del rifle si esth suspendido libremente. La cantidad de movimiento del rifle y la bala antes de disparar es nula; por consiguiente, despuds del disparo, la cantidad de movimiento hacia adelante de l a bala es numericamente igual a la cantidad de movimiento hacia atras del rine. La masa 9,69 150 del rifle es 32 7000 x 32 Por tanto,

- - i i i ~ a tdee 1s~ Naturaleza,

'y dedl;*r de ella e l - p r i i i e i p i o - d ~ - d o ~ ~ ~ 5 ~ 6 d g.::..--de la cantidad de movimientd. Sin embargo, hay-que invertir el razona.F--<' .... .. .: . G e n t o si adoptamos el punto de vista de considerar todas las leyes de .: - . Newton deducidas de.sxperimentos reales. Las cantidades de movimiento f-:; d e 10s cuerpos que intervienen en un choque se pueden medir antes y * 2' :.: despuk de ocurrir Cste, determinando mediante este experiment0 que la cantidad de movimiento del sistema permanece constante. Seguidamente, utilizando la segunda ley de Newton, se deduce que para esto es nece- - sari0 que las fuerzas F y F', ejercidas por cada cuerpo sobre el otro,sean .. . en todo instante igudes y opuestas. Resulta asi que la.,wnservaci6n. de .::,:: l a k t i d a d de movirniento, observada experiinentalmente, constituye la ;: 1.0- prueba empirica de la tercera ley de Niivton. . h . +:. Choques elbticos e inelkticos. Coeficiente ae restituci6n.-Aun.??. . @e la cantidad de movimiento permanece constante cuando dos (o d s ) k-:.?i\;c.T#?: . F... .. :.?.. .cuei-pos chocan, no se verifica necesariamente lo mismo para la energia i- . . . -cindtica. Si la energia cinetica se conserva constante, el choque se llama '5 -":'.'-: perfecfamente elastico. En oposici6n a esto, existe el caso en que 10s cuerpos [ 'jij;:''. prmanecen unidos despues de la colisi6n, como si fueran dos masas de Y5' "; '. barro. En este caso, el choque es perfectamenfe inelbstico. Segun las propie?.-.. dades de 10s cuerpos que chocan, son posibles todos 10s casos intermedios, F:.. :..:. ;.,-; '.... entre 10s choques perfectamente elasticos y 10s perfectamente inellsticos. -. . ,. ;, . ;::.,Los .... . .-. choques entrecuerpos de tamaiio finito tales como dos bolas de billar ". ... .. - . . $:q,i. . noson nun& completamete elhticos, y 10s h i c o s ejemplos de choques . .. -. e-iT$tI$erfectamente b - . elhsticos son 10s que tienen lugar entre Atomos, moldculas :;?~j:-y>electryys.Aun k t o s pueden no ser perfectamente ellsticos si las ener:.ii:;,,j gias cinehcas de las particulas son suficientemente grandes. .;. ... -....,,...;..... .... .. E n el choque entre dos cuerpos perfectamente ellsticos, deben cumt--,-~.,:. . plirse las dos condiciones: .. . ::

0

:-

---'

-g+_;:,

.$.,J

,

.

,

,

,>

L~:2

.-

:~

)

,

f

(Se h a despreciado la cantidad de movimiento hacia adelante de 10s gases quemados por ser apenas apreciable.) Es importante obsewar que las energias cintticas de l a bala y del rifle no son iguales. La explicacidn es evidente cuando se considera que un cuerpo adquiere ener: gia cindtica cuando se ha realizado trabajo sobre Q, siendo el trabajo el producto de la fuena por la distancia recorrida. Mientras 10s gases estan impulsando la bala hacia addante y a1 rifle hacia a M s , aunque la fuerza sobre cada uno de ellos es la misma, la distancia recorrida por l a bala- es relativamente grande (la longitud del caiibn), mientras qu-e la recorfida p+.;$l rifle, que-retrocede 1entamente.a-muche-menor. Por tanto, el trabajo realizado sobre la bala es mucho m a y q que el realizado sobre el rifle, y en consecuencia, su energia cinttica es tambiQn mayor. Sin embargo, la cantidad de movimiento, igual a1 producto de la fuerza por el tiempo, es l a misma para ambos, bala y rifle. Refiridndonos a1 ejemplo del rifle Springfield, encontramos:

-.

-..

1 2

: ( 9z)

.I.fb.

A

...,",. .. ,

ole. _

_ _ __ .

3

($ m& +

. ..

_ _

-

-

-

m'ut22) (conservaci6n de la enegia) .

-

-

.

.r..Ubl.j'..i..

m(u12 - 022) = m'(v122 - ~'12) m(v1 - v2) = m'(ut2 - dl).

i

.....,,.,Y- '., ~ ,... >. . . ...

.

.... ,.

!..,.?. ~.*

# . .: ;';: ...--.

$' ,:;.<;-:-.-

. ."..*. . '

";.:,.

-

".

%..

k.i: .. .:;:. ,>. . .

Dividiendo la primera por la segunda, se obtiene: -

? , ~ :

01

.

.$

'. ~... -

~

-

(conservaci6n de la cantidad de movimiento).

. . % -~ - --* ... -L . s dos ecuaciones anteriores pueden escribirse: ..

f~

= 5,25 lb-pie.

m'vt12)

:

.. .... .

+

"

(5,9)'

+.

m'v'l)='(mq+m'v'2)

-. n--

Tercera ley de Newton.-El punto de vista adoptado en la discusi6n anterior ha consistido en aceptar el tercer principio de Newton como 9-8.

;

- utl = - (v2 - 0'2).

-

160

IMPULSI~N Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

.

, .. . -.. . , . . y:+.-ii SIX..

.

9-51

.-

PENDULO BAL~STICO

161

-:. .. : , :- Seglin.10 que acabamosde-demostrar;-elcoeficiente de restitiicicn e3 la

'--uuidad cuando 10s dos-cuerpos que chocan son perfectamente elasticos, y

1 . .. .

es nulo si son perfectamente inelasticos.' Estos son 10s dos casos extrernos y, en general, el -coeficiente de restitucibn tiene un valor comprendido ;; .-. entre cero y la unidad. Cuando se deja caer una pelota sobre un plano horizontal fijo, ha cho... .. - cado en realidad con la Tierra. La masa de .esta es tan grande que su . . .I::. . . . velocidad no se ha modificado practicamente con el choque. Por consi. . - . guiente, en este caso especial, '

4

:

-

. .. ,

.

.

- ~. -

e=--

,~

U2 v1

La velocidad relativa antes del choque es sencillamente -la velocidad adquirida a1 caer libremente desde una altura hl, o sea, .\/ 2gh1. Si, despues t :-='I .. del choque,-la pelota rebota hasta una altura hz, su velocidad relativa I::-. .- sera2gh2 (se considera como positivo el sentido dirigido hacia f -r?,abajo). Por consiguiente, el coeficiente de restitucion . es: . .

i.

-

-4

.~

...

Pero V I - v'l es la velocidad relativa antes del choque, y la velocidad relativa despub del mismo. Por consiguiente, en un choque perfectamente elastic0 la velocidad relativa cambia de sentido, per0 conserva su magnitud. El grado en el cual aos cuerpos que chocan se comportan como si el choque fuera perfectamente elbtico se expresa por su coeficienle de reslitucion, e, definido como el cociente, con signo negativo, de la velocidad relativa despuh del choque a la velocidad relativa antes del mismo:

;:+.;.'razon , de las velocidades es igual ,":., . a la raiz cuadrada del xociente de-':I-:- las alturas, y el c5lculo del coefi-?Yciente ..... .. -.+.. de restitucidn. . ... . . ~. , ..

-.:.

.

% ,".

...

ejemplo del principio de conserva-

A - .

.r: cibn de la cantidad de movimiento .-:_..nos - . .. lo proporciona el pdndulo ba. .--...

listico, utilizado para medir la velocidad de la bala de un rifle, como <:..- .. se explica en la figura 9-4. Un blo.~ q u e de madera d e k a s a M esth sus:.--. , . ..

.-;:. ~... .

---+...

,<-->,&

.

..- :..,~ -

::.>y-..-?.p;.

:i*.:.

.

.

-.-.~

FIG.9-4.-P&ndulo ~ t i c o .

162

IMPULSION Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

[CAP.

[

9

I i;

bala se ha detenido dentro del bloque, el conjunto tiene una velocidad c o m ~ nV. En virtud del principio de conservacidn de la cantidad de movirniento,

mu = (M

-

+ m)V.

SEC.

9-61

Esta cantidad de movimiento es igual a la inicial, mo, de la bala. Por consiguiente,

*--

-x2 -

Debe observarse que se trata de un choque inelhstico y que la energia de la bala %'5I... antes del choque no es igual a la energia cindtica del pendulo despues del mismo. La liltima, calculada anteriormente, es de 4,9 julios. L a energla cindtica de la bala era:

El bloque se desvia hasta que su centro de gravedad se ha elevado una altura h tal, que la energia potencial en el punto m i s alto es igual a la energia cinCtica en el mis bajo; esto es:

-.

1 2

o bien:

163

SEGUNDA LEY DE NEWTON

1

1

2

2

Por tanto, s61o un 0,5 %, aproximadamente, de la energla cinetica de la bala se trans-

Vz = 2gh.

***L. :

(I =+

La altura h es de ordinario pequeiia, y se calcula indirectarnente midiendo el desplazamiento horizontal x. De la figura 9-4 se deduce que si L es la Iongitud del pCndulo: 0

9-6. Segunda ley de Newton.-Newton no enunci6 su segunda ley en la forrna que nosotros la hemos utilizado. Una traducci6n libre (10s P h d. cipia de Newton fueron escritos en latin) es la siguiente: nEl cambio de movimiento es proporcional a la fuerza aplicada, y - . tiene lugar en la direcci6n de la fuerza ...L a cantidad de movimiento es proporcional a la vez a la masa y a l a ve1ocidad.n

-

sea:

'L

Si h es pequeiio comparado con x, puede despreciarse h2y queda h =x2/2L. Si en la prictica, la masa m de la bala es despreciable comparada con la del pCndulo. Entonces,

rnv = M V ;

V = 1/ 2gh = x

u=-

m

d-;

[

a. De la definicidn de Newton de maui~iento,es evidente que atribuia a esta palabra el significado actual de cantidad de movimiento. Se deduce tambiCn claramente de sus escritos que la expresi6n cambio significa deriuada y que fuerza aplicada se refiere a fuerza resultante. Por consiguiente, el enunciado de Newton utilizando la terminologia actual es:

L .-.: r

.2-

2."

-

#La derivada de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuena resultante, y tiene la misrna direccidn que 6sta.a

dG d

EJEMPLO.-Una bala de masa 20 g se dispara contra un pdndulo balIstico de rnasa 5 Kg. El centro de gravedad del pdndulo se eleva 10 cm despues del impacto. Caiclilese la velocidad inicial de la bala. La energfa potencial del pendulo en el punto m&s alto de su oscilaci6n es:

i

- (mu) df

",.*,

[

>$

5

-->-

i .e.,:

, .

F,

bien:

F

F Por consigulente, la cantidad de movimiento del pbndulo a1 comienzo de su oscilaci6n es:

o<

=k

-(mu). dt

= km-

df

I

= k-ma,

que es la forma que hemos utilizado, en la. cual k se ha1 hecho igual a 1, .,. eligiendo adecuadamente las unidades. . . Si bien la masa de un cuerpo puede considerarse d e ordinario cons-

I M P U L S I ~ NY CANTIDAD D E MOVIMIENTO

[CAP.

IT

9

SEC.

9-71

MASA Y E N E R G ~ A

c

.

>

K = 112 mu2. 'Por brevedad introducimos una nueva variable, definida por en Ia que mo es la masa en reposo del cuerpo; c, la velocidad de la luz, y u, la velocidad del cuerpo. Esta ecuacibn fuC predicha por Lorentz y Einstein basindose en razonamientos tebricos sobre consideraciones relativistas, y ha sido comprobada directamente mediante experimentos realizados con electrones y iones de gran velocidad. El aumento de masa no es apreciable hasta que la velocidad se aproxima a la de la luz y, por consiguiente, escapa de ordinario a la observacibn. No obstante, si no se considera constante la masa de un cuerpo, tampoco se podr5 escribir F = ma, debiCndose utilizar en este caso la forma original de la ley de Newton. Constituye un ejemplo notable del genio dc Newton haber considerado la cantidad de movimiento como magnitud mas fundamental que la masa, lo que significa un anticipo sorprendente de la teoria de la relatividad. t 9-7. Masa y energia.yVamos a deducii- la expresidn relativista para la energia cinCtica de un cuerpo en movimiento, tomando en consideraci6n el aurnento de masa con la velocidad. No tendremos en cuenta ninghn cambio en la energia potencial asi como tampoco fuerza de roza-

D p =C

Resulta asi:

-

1

u = cp;

:

I

do = cdp,

&;;-: y la Ec. [9-61 se convierte en .I+.' . d K = mc2P.dp + c2pZ dm. :&: : .:;*>-.

[g-81

,'

~..,,.. . .

.

.,.C-.:-. . .i

A continuacidn expresemos m y dm en funcidn de las ECS. [9-5) y [9-71:

Py

de dp, mediante

.,....,!> .., .

i;;ij ndo, resulta: . . . .

'

.

~ 4 5' De donde

,. .

.

dK

-

= moc2 (1

.

- p2)-"~ .p dp.

'

, ..:;

<:'. .,

., ....,.... .,..-.~ D .i ,

1

'

,

I .,-~.,

i 1

It

;., , . . . . . .. ! , .:.::, ', ..'

ds

y, por tanto,

y la constante de integracidn resulta:

--

d - u - (mu),

;

F ds = u d(mu) = v(m do + u dm)

.

.

Puesto que el trabajo Fds es igual a1 increment0 de energia cinCtica, dK, se puede escribir: - . . . . . .. . . dK = mu do + ~2 dm. . . . , .: . . . 19-61 _ , . . I . ,

,

;...:

,:.;.

..

..", . ..

' E n el'primer sumando del segundo miembro de la Ec. [9-91 se puede sustituir' mo (1 - p2)-1/2 por m, con -lo.- que resulta finalmente:

Esto es, la energia cinCtica &sigual al' aumento de masa respecto a la masa en reposo, multiplicado por el cuadrado de la velocidad' de la 1112.

f

f

f

168

IAIPULSION Y CANTIDAD D E MOVIMIESTO

[CAP.9

E n principio, un motor de propulsi6n a chorro es sirnplemente una cimara de combustion en la cual se quema un combustible s6lido.o liquido, y que tiene una abertura para dirigir 10s productos gaseosos de la' combustibn en la direcci6n deseada. Para concretar, consideraren~osel ~novimientode nn cohete. Inicialmente, la cantidad de movimiento del cohete es cero. Cuando se ha inflamado su carga de combustible, la corriente de gases expulsados adquiere una cantidad de movirniento hacia abajo, y dado que esta rnagnitud se conserva, el cohete adquirira una cantidad de movimiento del rnismo valor y de sentido opuesto. Descle el punto de vista de las fuerzas que entran en juego, 10s gases en la camara de combustibn empujan hacia abajo a 10s gases del chorro, y hacia arriba al cuerpo del cohete. Sin embargo, no hemos de considerar sblo el comienzo del movimiento. A1 iniciar su vuelo, mientras el cohete se mueve lentamente, el motor es un dispositivo muy poco eficaz, pues prdcticaniente toda la energla en esta etapa se utiliza para comunicar energia cinetica a 10s gases de salida que se mueven a gran velocidad, y el cohete adquiere muy poca energia. Pero cuando el cohete gana velocidad, 10s gases de salida, que son espulsados con cierta velocidad respeclo a1 cohele, se mueven cada vez rnas lentamente respecto a tierra. Cuando el cohcte ha adquirido una velocidad respecto a tierra igual a la velocidad con la cual 10s gases son expulsados de el, estos gases, a1 abandonar el cohete (o mejor, cuando el collete 10s abandona a ellos), no tienen velocidad respecto a tierra y, por consiguiente, su energia cinetica es nula. Por tanto, a esta velocidad, toda la energia desarrollada por el combustible se comunica a1 cohete. La energia que un cohete transporta en su carga de combuslible podrd, por consiguiente, utilizarse con mayor eficacia si se le da inicialmente un ernpujdn por alghn dispositivo auuiliar. Debe observarse que un coliete no depende de la atmbsfera para conseguir su propulsi6n, y, en realidad, se moveria mejor en ausencia de aquella, a causa de que no existiria la resistencia del aire. Un helic6ptero es capaz de elevarse verticalmente s610 porque su hClice envia hacia abajo una corriente de aire. La fuerza ejercida sobre, el aire es igual a la derivada de la cantidad de movimiento de la corriente d e aire, y la reacci6n igual y contraria a esta fuerza sostiene a1 helicoptero. Sin embargo, el motor del cohete empuja hacia abajo a 10s propios productos de la combustibn, y su elevaci6n no depende de la presencia d e una atmosfera exterior. Aunque no se han revelado 10s detalles de 10s progresos mas recientes en la propulsibn a chorro de aviones, puede verse sin dificultad por quC este tip0 de energia motora resulta especialrnente adecuado para vuelos estratosfiricos a ,gran velodidad. En la estratosfera, donde la densidad del aire es pequeiia, es dificil para una hClice ordinaria obtener la masa de aire necesaria para producir una cantidad de movimiento adecuada; per0 esto no es ninglin inconveniente para un motor de propulsibn a chorro, puesto que reacciona sobre sus propios gases de salida. AdemBs,

PROBLEMAS

1

',

169

1 rendimiento de la propulsion a chorro es maximo cuando la velocidad cia adelante del motor es suficientemente grande para que iguale a la locidad (relativa) de expulsibn de 10s gases de salida. PROBLEMAS 9-1. a ) i ~ u a les la a n t i d a d de movimiento de un ca~nibnque pesa 10 ton, cuya velocidad es de 30 Km/h? i.4 qu6 velocidad tendrl otro camibn de 5 ton: b) la misrna cantidad d e movimiento;

en segundos, S o existe roza~Qu.4distancia recorred el seg? b) &Cullsera su veloci-

e 0,l m en un bloque tle madera que

i6n del choque. Comparese la resa la pregunta d ) con la cantidad vimiento inicial del proyectil. Una pelota d e base-ball pesa a ) Si la velocidad d e la pelota

9-7. Sobre una mesa sin rozamiento, un bloque de 3 Kg que se mueve hacia la derecha con velocidad de 4 mlseg choca contra otro bloquelde 8 I
EZC

0 a, pi5 .!2 o $ TJ

E:

J-'

0

'" m .2 .g E h J E k E Z y 23 m 0.2 g c

0

,a,

LO

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E b " E $V) 3-:=.a

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-352

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a

a,

0

a

.* .s .%

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,kJ $yz: su E m

1

176

M O V I ~ I I E N T OCIRCULAR

[CAP. 10

Aunque ]as ecuaciones del movimiento angular toman su forma mas sencilla cuando las velocidades angulares se expresan en radianes por segundo, es m i s corriente en la tCcnica expresarlas en revoluciones poi segundo (rps) o en revoluciones por minuto (rpm). Puesto que 2it radianes equivalen a una revoluci6n completa, el numero de radianes por segundo es igual a 25~veces el nhmero de revoluciones por segundo e igual a 2x160 veces el numero de revoluciones por minuto. H a y dos metodos corrientes para medir velocidades angulares. En el primero, se aplica un.cue~~tarrevoluciones en el extrerno del arb01 de rotacibn, y se anota el nlimero de revoluciones efectuadas durante un intervalo de tiempo conocido. De este mod0 se miden directamente el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo, y su cociente da la velocidad angular media. E l segundo mCtodo utiliza un tacbmetro (vCase Sec. 10-lo), el cual indica directamente la velocidad angular instantinea, si bien la mayor parte de 10s tac6metros estin calibradns en revoluciones por minuto, y no en radianes por segundo. El cuentakil6metros corriente de 10s autom6viles .es un tacometro cuyas lccturas son proporcionales a la velocidad angular instantinea del irbol motor a1 que e s t i conectado. Puesto que la velocidad lineal del coche es propo.rciona1 a la velocidad angular del arb01 motor, puede calibrarst el tac6metro para indicar kil6nletros por hora en lugar d e revoluciones por minuto o radianes por segundo. Cuando un cuerpo gira con velocidad angular consfanfe, su velocidad angular instantinea es igual a su velocidad angular media, cualquiera que sea la duracibn del intervalo considerado. Esta clase de movimiento es el que corresponde a1 rotor d e un motor sincrono. Si la velocidad angular es constante, podemos escribir: 0 - 00 o = --t-to '

I

siendo o la velocidad angular constante, y el intervalo de tiempo puede ser cualquiera. Por tanto, 0.- 00 = - io); y si lo y 00 son nulos, 0 = of. La Ec. 110-11 es aniloga exactamente a la ecuaci6n

.

para u n cuerpo que'se mueve con movimiento rectilineo uniforme. varia la velocidad angular de 10-3. Aceleracidn angular.-Cuando un cuerpo en rotacibn, se dice que el cuerpo posee aceleraci6n angular. su velocidad angular instantinea en el instante lo, y w su velocidad Sea angular en el instante L La aceleracidn angular media, representada por

SEC.

IM]

ACELERACIOS

177

ASGULAR CONSTANTE

(alfa), se define como la razdn de la variacidn de la velocidad angular a1 tiempo franscurrido: Aceleracion angular media =

-

en segundos, la aceleracion angular resulta en radianes por segundo, por T segundo, o bien radlseg2. La aceleracidn angular insfanlanea, a, es la raz6n de la variacibn de la velocidad angular a1 intervalo de tiempo transcurrido cuando este es in= finitamente pequeiio, o bien, es la derioada de la velocidad angular respecto - a1 tiempo:

-

-

Ya que o

=

d0

-, dt

se puede escrihir tambikn:

tes lecturas en el tac6metro de un motor de aeroplano: Tiempo (seg) . . . . 0 2 4 6 8 10 \.'elocidad angular (rpm)

. . ..

12

14

16

18

10-4. Aceleraci6n angular constante.-Cuando la velocidad angular de un cuerpo experimenta variaciones igi~ales durante intervalos de tiempo iguales, la aceleracion angular es constante. En estas circunstancias, las acel-eraciones angulares media e instantinea son iguales, cualquiera que sea la duracibn del intervalo de tiempo. Se puede, pues, escribir:

0

o = oo

+ a (t - fo),

.

I

i

178 I

I

[CAP. 10

BlOVIMIENTO CIRCULAR

\

SEC.

10-51

\TELOCIDAD Y ACELERACIOS

179

COMO VECTORES

. Por tanto,

La Ec. [10-51 tiene precisanlente la misma forma que la Ec. [4-121 correspo~~dicnte a1 movirniento rectilineo con aceleracibn constante, y se puede interpretar de forma analoga. El desplazamiento angular de un cuerpo en rotacion, o el angulo girado por el cuerpo, correspolide a1 desplazamiento lineal de un cuerpo que se mueve sobre una recta. La expresion del desplazamiento angular puede obtenerse por medio de la velocidad angular media. Si la aceleracion angu!ar en constante, !a velocidad angular aumentara proporcionalmente a1 tienipo, y su valor medio durante un interval0 cualquiera s e r i igual a la semisr~ma(media aritmdtica) de sus valores en 10s extremos del intervalo; es decir:

-

; .-

oh

wo

y como, por definicion,

4" t

m

!f

@

c rJ\

Por definicion de velocidad angular: d0 dt

En consecuencia:

d0 = wdf

+ [wo + a (I - to)] 2

!:

0 =

ti

'

y si 8 = 0 para f = 0,

J

0 = w0f + 112 ~ 9 .

La Ec. [10-91 puede obtenerse mediante la sustituci6n

8-80 t-lo '

a1 igualar 10s seguudos nliembros de las Ecs. [to-(i] y (10-71, resulta:

0 - 00 =

J

: y si a es constante, y w = oo para 1 = 0,

a (1

- 10)z.

de donde

,

ad0 = wdw

r .: [lo-81

-

i

~2 = 0 0 2

+ 2x8.

105. La velocidad y la aceleracidn a w l a r e s como vectores.-ES evidente la naturaleza vectorial de magnitudes tales como la fuerza y la Vector representatrvo de

,

la velocidad angular

1

que tiene idCntica forma que la Ec. [4-171. La elimination de I entre las Ecs. [ l o - 5 ) y [lo-8) da: Rot

[10-91

clue corresponde a la Ec. [4-191. Las ecuaciorles del movi~nientoangular con aceleracion consiante se deducen ficilmente por 10s ~ ~ ~ C t o del d o sc8lculo. De la definici6n de velo-

r

i

1

1

h veloc~dadangular

(a) !

i--

1

- -

-

FIG.10-4.-La

(6)

(el

vdocidad angular puede reprcsentarse por un vector dirigldo a lo largo dcl eJe.

I

180

MOVIMIENTO

CIRCUL.411

-.

Ic,\P.

10

velocidad lineal, y parece natural representarlas vectores. Tambien es cierto, aunque no evidente, que la velocidad arA,gular la aceleracibn angular Jon magnitudes vectoriales, como la fv .erza y la velocidad lineal, y pusden representarse por flechas. El vecfGor que represents una velacidad angular (o una aeeleracibn) se d i h ~ ' , ~lo largo del eje de rotacibn; su longitud, a cierta seala elqida, repm ,,ta la magnitud de la velocidad vPor

.

(O (vbse .Fig. 10-4). Cualquier magnitud asociada a un eje puede representarse pr

5'

tratar ',el rnovimiento giroscbpico, harenlos uso dc tales ver:tores. 10-6' Ve'ocidad gencia1.-El desplazamiento, la velocidad y la aceleraci6q angulares sor ,caracteristicos del cuerpo en conjunto, y vamos a consid'erar desplazamiento, la velocidad y la aceler5eihn de uo punto' detemina'lo del cuerpo en rotacibn. En dicllo cuerpo, eada pllnto describe una cisrcunferencia cupo centro esta en el eje, y asi la circunferencia de la ',igura 10-5 ( a ) representa la Lrayectoria dc dicho punto. El

FIG.10-%-El limite dcl cociente JzlAl er I:I vclocicl:kd tanyc~ici:~l inslantkaea.

I

desplazamienio del punto cuando se nlueve desde p hasta q, esta definido por el vector trazado de p a q, y la longilud de la frayectoria es la vex5 que estas definiciones son generalizaciones longitud del arco s. de las correspondientes a un cuerpo en inovimiento rectilineo, dadas cn la secci6n 4-2. El oecfor velocidad medio del punto se define como la raz6n de su des'Iplazamiento a1 inten~alode tiempo transcurrido entre p y q. La velocidad media sobre la frayedoria es la razbn del arco de trayectoria recorrido a1 interval0 transcurrido: desplazamiento (vector) tiempo transcurrido (escalar) Velocidad media sobre la trayectoria (escalar) =

y en el limite, para 41-+ 0; lim A!-o

hs A0 = 1 limAt

K

AL-4

Af

As

-

v

es la velocidad angular iastantioea a,y lim es la At A h 0 At magnitud (m6dulo) de la velocidad tangencial DT. Por consiguiente, Pero lirn A1+0

La velocidad tangencial de cualquier punto en el movimiento de rotacibn de un sblido es, por tanto, igual a1 pmducto de la velocidad angular del d i d o por la distancia del punto al eje.

Irl

[CAP. 10

. ' IFi

La Ec. [lo-101 puede deducirse tarnbitin de la forma siguiente: por definition de medida de un angulo en radianes:

I* I

nF:

s = RO.

' 1C

1

SEC.

.

10-71

ACELERACION DE U N PUNTO EX EL XTOVIMIENTOCIRCULAR

-183

cia es Cl mismo un vector, y puede hallarse por cualquiera d e 10s mktodos de sustraccibn de vectores explicados en la secci6n 1-9. E n la figura 10-6 (b), 10s vectores v y uo se han llevado paralelarnente a sus direcciones

I*-

If'

es la

lr7 lf '; I \f-'

IC) lli' I&

1Pt

FIG.10-6.-El

lft

-

\$I

-

2x

60

lf 14

10-7. Aceleraci6n de un punto en el movimiento circular.-La definicibn general de aceleracibn es corno derivada de la velocidad. Pero la velocidad es un vector en el que hay que considernr rnagnitud y dircccibn. La velocidad de u11 punto rnovil variarb, por consiguiente, tanto si cambia la magnitud como la direccion de su velocidad, o, por supuesto, si varian ambas simult~nearnente. Por consiguiente, un punto movil puede tener una aceleracioli producida, bien por un carnbio de magnitud o de direccibn de su velocidnd, o por ambas cosas a la vez. La circunferencia de la figura 10-6 (a) representa la trayectoria de un

t

t *

(B 4\ !C'* $49

' > t4

( 44

(564 1.6

)

tb 6

v

'

vector u

- uo cs el vector vnrincidn dc la vclocidod.

en la figura 10-6 (a), y la variaci6n de velocidad o vector diferencia v-vo se ha determinado por el metodo del triangulo. La acelcracion media es: variacibn de velocidad (vector) . Aceleracion media (vector) = tiempo transcurrido (escalar) '

-

n =

v - uo (vector diferencia) 1 - lo

siendo to y f 10s tiempos corrcspondientes a 10s puntos p y q. L a direccibn, de Ia aceleraci6n media es la misma que la del vector v - vo. L a aceleracidn inslanlrinea se encucntra suponiendo puntos cada vez mbs proximos corno en la figura ,lo-7 (a). Para mayor sencillez, consideremos en primer lugar un caso especial en el cual la velocidad angular o es constante. El valor num6rico de la velocidad tangencial resulta tambid11 constante aunque su direccibn cambia continuarnente. La variacibn de velocidad, v - vo o Av, se halla como en la iigura 10-7 (b), en la cual 10s vectores vo y v tienen el misrno origen. Observese atentarnente que aunque el valor nurndrico de la velocidad es constante, y 10s vectores vo y u tienen la misma longitud, ha habido, sin embargo, una variacibn de velocidad a causa del carnbio de direccion del rnovimiento. La aceleracion instantbnea en el punto p es el lirnite de la raz6n del vector variacibn de la velocidad a1 tiempo transcurrido:

181

MOVIMIESTO

CIRCULAR

[CAP. 10

SEC.

10-71

A C E L E R A C I ~ ND E U N PUNTO E N EL MOVIh.IIENT0 CIRCULAR

E s util relacionar esta aceleraci6n con la velocidad angular del cuerpo en rotacibn. Puesto que el ingulo A8 en la figura 10-7 (b) es pequelio, su valor aprosimado en radianes es

I

Au A8 = -, U

[rr'

r-

o sea,

Av = vA0 (aproximadamente).

Dividiendo 10s dos miembros de esta ecuaci6n por el inten-a10 de tiempo At se obtiene: Au A0 - = u - (aproximadamente). A1 Cuando Ai-t 0, la aproximacibn resulta exacta, y

Pero lim

es la aceleraci6a instanthnea, y puesto que el Bngulo A0 At en la figura 10-7 (b) es igual a1 angulo A0 en la figura 10-7 (a) (sus lados Ae son respectivamente perpendiculares), la cspresi6n lim -es la veloal-u

cidad angular instantBnea w. Por consiguiente,

a = UW. Esto es, el valor numeric0 de la aceleracibn del punto es igual a1 producto de sus vclocidades tangcncial y angular. Como se ha indicado, la direcci6n de la aceleraci6n es la misma que la de la variacibn de velocidad Au. Cuando el lngulo A0 disminuye, 10s vectores v y uo tienden cada vez mas a coincidir y el Qngulo formado por su direccibn conifin y la del vector Au tiende a ser un gngulo recto: En el limite, el vector Au (o du) forma exactamente un angulo recto con el vector u. Por consiguiente, la aceleracion instantlnea es perpendicular a la velocidad tangencial y esti dirigida hacia el centro, o sea, a lo largo

(b) (a) FIG.10-8.--Componentcstangencia1 y normal dc la acclemcion.

vector u es mayor que el vector uo, y tiene ademis direccibn distinta. La variacibn de velocidad, encontrada por el mCtodo corriente, es el vector Av en la figura 1043 (b). Este vector puede descomponerse en las componentes AvR y AVT. La componente AvT corresponde exactamente a1 vector Av de la figura 10-7 (b). La componente AvT es igual a la diferencia de longilud de 10s vectores v y vo. Esto es, esta componente representa el cambio de velocidad producido por un cambio del valor nurne'rico de la velocidad. tangencial, -rnientras que la componente AvR es la variaci6n originada por un cambio de direccidn. Cuando A0 -t 0, las direcciones de u y uo se aproximan cada vez mas. El vector AuT coincide en el limite con la direccion de cualquiera de ellos y, por consiguiente, se encuentra sobre la tangente, y de ahi el subindice T. Los vectores AuT y AvR pueden considerarse como Ias componentes reclangulares de Av, descompuesto segun la tangente y el radio, en lugar de paralelamente a 10s ejes X e Y.

I I

186

rCZ\1$.

10

El limite dcl cocicnte del vector AVTa1 tiempo transcurrido es la aceleraci6n langencial insianianea. Para espresarla adccuadamente, procedamos con10 sigue: representcnios por wo y w las velocidades angulares inicial y final en la figura 10-8 (a), correspondientes a las posiciones p y q. Las longitudes de 10s vectorcs uo y v son cntonces vo = Roo y v = Rw. Puesto qoc AvT es la diferencia de longitud de estos vectores,

Dividienclo el primcro y el ultimo mienibros por Ai, se obtiene, en el limite, I

I

El primer micmbro es, por definition, la aceleracibn tangencial, y

I I

lim Po es la aceleraci6n angular instantbea a. Por consiguientc, A 1 4 At

I

FIG.10-10.

acelcmcl6n de In gmvecind. g, ptletlc dcscornponersc cn unn cornponcnte langenclal y ltna componentc nonnnl.

FIG.10-9.-La

La relaci61i entre las aceleraciones angular y tangencial se puede obtener tambiCn derivando respecto a i la ecuacibn

-

Pero duT/di es la dcrivada dc. la velocidncl tangencial, cs decir, la aceleraci6n tangencial, y dwldt es la accleraci6n angular. Por tnnto,

1.0 Cuando un punto se mueve dacribiendo una circunferencia, la longitud d e la trayectoria s, su velocidad tangencial V T y su aceleraci6n tangencial a~ estan ligadas a su desplazamiento angular 8, s u velocidad angular w y su aceleraci6n angular a, por las ecuaciones:

Lo mismo que la aceIeraci6n normal, la aceleraci6n fangencial se ex-

. I

L

Los conceptos de aceleraci6n tangcncial y aceleracibn normal no que- , dan restringidos a1 movimiento sobre una circunferencia, sin0 que pueden , aplicarse a1 movimiento a lo largo de una curva cualquiera. Consideremos, por ejcmplo, la trayectoria parab6lica de un proyectil. En todos 10s puntos de la trayectoria e! valor nun16rico de la aceleraci6n es g, y su direcci6n es vertical y dirigida hacia abajo. E n cualquier punto, tal como el p . I

!,@ I

(m, r*

I

t*)

como un arc0 circular, y el radio de esta circunferencia se llama radio de curvaiura, p. Si es U T la velocidad del cuerpo en el punto p, se tiene:

RESUMEN

a~ = Ra.

I

I

hIO\'IhfIESTO CIRCULAR

f

6

*

;

s = Re; = RIA; aT = Ra.

.

UT

-

.:.:

2.0 La aceleraci6n normal es la derivada de la velocidad. correspondiente a un cambio de direcci6n de esta velocidad. Su direcci6n es la del radio y el sentido hacia el centro, estando ligada a las velocidades angular y tangencial por las relaciones: a~ =

= R02 = -U T ~

R

I I

185

MOVIMIENTO CIRCULAR

[CAP.

10

3.0 L a aceleracion tangencial es la derivada de la velocidad, correspondiente a un cambio en el valor numeric0 de esta velocidad. EstB ligada a la aceleracibn angular por la relacibn: a~ = Ra. E J E ~ ~ P L O disco . - ~ ~ de radio 10 cm parte del reposo y con~ienzaa girar olrededor de un a e horizontal que pasa por su centro, con una aceleracidn :~ngularconstante de 2 rad/seg2. Un punto p del borde del disco se cncuentra, nl iniciarst. el nio\.irniento, en la misma vertical del centro y cncima de dl. Calcillcsc nl cabo de 1 seg: a) la posici6n del punto; b ) su aceleraci6n normal; c) su aceleraciln tal~gsllcial;rl) su aceleraci6n resultante. a)

1 1 O=od+--d2=-x2x 2 2

12=1rad.

Por consiguiente, el punto esth en la p0sicid.n que indica la figura 10-10. b)

a~ = R o 2

La relaci6n entre 10s aspectos rectilineo y angular del movimiento circular esta explicada en la fotografia de iluminaciones sucesivas de la figura 10-11. Una cuerda de cuyo extremo pende un peso esta arrollada en la periferia de un disco circular cuyo eje horizontal esta sostenido sobre cojinetes de bolas. Se ha nlarcado un radio en el disco, el cual se encuentra en posicibn horizontal a1 iniciarse el movimiento. Cuando se abandona el disco a si mismo, el peso se mueve hacia abajo con una aceleraci6n lineal constante, y el disco gira en sentido contrario a las agujas de un reloj, con aceleracibn angular constante. (La dinarnica del problema se estudiari en el Cap. XI.) El Bngulo formado por dos posiciones sucesivas del radio, dividido por el intervalo de tiempo entre dos iluminaciones sucesivas, es igual a la angular media durante dicho intervalo. Evidentemente, 10s Bng d o s se hacen progresivarnente mayores a medida que el movimiento c o n t i n u a r d ~ o s t r a n ~
SEC.

10-81

FCVIlZAS CENTI{~PI:TA \. CT:N.SH~FUCA

P .

--

-

descrito por cualquier punto del borde del disco en el mismo intervalo. La velocidad y aceleracibn del peso son,. por consi,ouiente, numtricamente iguales a la ~ e l o c i d a dy aceleracion tangenciales d e un punto del borde del disco. E s evidente que el peso se mueve con velocidad creciente, y medidas cuidadosas efectuadas demuestran que el incremento de velocidad por unidad de tiempo es constante. Puesto que el desplazamiento, velocidad y aceleracion angulares pueden deducirse de medidas efectuadas en el disco, y el desplazamiento, velocidad _v aceleracibn tangenciales, de medidas eiectuadas en el cuerpo que desciende, y se canoce el radio del disco, podemos comprobar las relaciones 10-8. Fuerzas centripeta y centrifuga.-Todo el mundo ha reaiizado alguna vez el esperimento de atar una piedra o un peso a una cuerda, y dar vueltas haciendo que la piedra describa una circunferencia. hlientras la piedra da vueltas se nota que la mano esti sometida a una fuerza hacia afuera, e inversamente la mano tiene que ejercer una fuerza hacia adentro sobre la piedra. Para reducir el problema a lo fundamental imaginemos una punta 0 clavada en una superficie horizontal sin rozamiento como la de la figura 10-12. Un cuerpo pequefic de mass m esta unido a la Punts Par intermedio de una cuerda de iongitud R, y se pone en rotaci6n alre-

~ r c .10-l1.-folognri:l dc iluminacioncs la nccl~ncibn tnngcncial y In aceleracibn

190

MOVIMIESTO

CIRCULAR

[CAP.

10

ejercer una fuerza sobre el cuerpo para producir esta aceleraci6n normal, y la direccion de esta fuerza tiene que ser la misma que la direcci6n de la aceleracion, es decir, seglin el radio y hacia el centro de la circunferencia. Por ello se denornina fuerza central o centripela (la expresion centripefa significa literalmente ((buscando un centroo). Puesto que

F = ma. y a

I.

10-91 --

SEC.

-

EL PERALTE DE LAS CURVAS

191

derarlo punrual, el radio R en la Ec. [10-141 debe tomarse igual a1 radio de la c~rcunferenciaen la que gira el centro de masa, y U T como la velo. cidad tangencial del centro de masa.

= vT2/R = u2R.

el valor numeric0 de la fuerza centripeta es Esta fuerza dirigida hacia adentro la suministra la cuerdz. la cual e s t i evidentemente en tension y, por consiguiente, ejerce sobre la punta del centro una fuerza hacia afuera, igual y opuesta a la centripeta, llamada fuerza cenlrlfuga (la expresion cenlrifuga significa literalmente cque huye

.., .. .

.~

-. A:

El principio de D'Alembert (\.ease Sec. 5-6) puede aplicarse igual a un movimiento

.::.: circular que a1 movimiento rectilineo. La figura 10-14 representa un cuerpo de ma-' ...- Ja rn que se mueve con velocidad tangencial u~ en una circunferencia de radio R y : centro 0. El punto de vista newtoniano [Fig. 10-14 (a)]consiste en suponer que la ::.? ...., -. .- varilla ejerce una fuerza resultante hacia adentro sobre el cuerpo, que es igual a1 proI.&.,...Cl<",., .. ducto de la masa por la aceleracion normal, mu$/R. Seg~inD'Alembert [Fig. 10-14 (6)], +*..::. el cuerpo esth en equilibrio por la acci6n combinada de la fuerza I' y de la fuerza fic'63. ;#.:.;,' ticia hacia afuera muTz/R. Cuando se utiliza el principio de D'Alembert, la fuerza ficti.&::.cia exterior se denomina fuerza cenlri/uga. Probablernente, el uso de este tdrmino .'&? cenlrifuga para designar una fuerza ficlicia hacia afuera es la causa de la idea err6nea :'?(?' de que una fuerza real hacia afuera actira sobre todo cuerpo en movimiento circular. ;

:'

FIG. 10-13.-La fuena F es la Iuerza centripeta. La fuerza F', r&?cci6n a la l u c m F. es la

10-9. El peralte de las curvas.-La figura 10-15 es una vista frontal del juego de ruedas de un coche de ferrocarril, de masa m, que se aproxima hacia el lector con la velocidad u, y describe una curva de radio R cuyo centro se encucntra a la derecha del dibujo. Para mantener el movimiento sobre una trayectoria curva, es necesario que se ejerza una fuerza centripeta, igual a mu2/R, sobre las ruedas. La direccion de esta fuerza es hacia el centro de la circunferencia, o sea, en este caso, hacia la derecha. La fuerza centripeta es ejercida por el carril exterior que empuja hacia la derecha contra la pestafia de la rueda exterior, y esta representada por P en la figura 10-15 (a);'Las'otras fuerzas ejercidas sobre el juego de ruedas son: su peso, mg, y la reaccion vertical, N, ejercida por 10s railes. Para mayor simplicidad se han representado como si actuasen en el centro de gravedad. (Veanse 10s problemas 10-31 y 10-32 para una solucibn mas detallada.) La fuerza resultante ejercida por 10s railes sobre el juego de ruedas esta representada por el vector de trazos. Si ahora 10s railes, en lugar de encontrarse sobre un plano horizontal, estin peralfados, como en la figura 10-15 (b), de mod0 que su plano sea perpendicular a la fuerza que tienen que ejercer sobre el juego de ruedas, esta fuerza resulta normal a ellos, y no ,es necesaria lapresibn de 10s railes contra las pestarias de las ruedas para mantener el conjunto en movimiento de rotacibn. La componenfe vertical d e la fuerza normal soporta ahora el peso del juego de ruedas y su, componente horizonlal nroporciona

192

MOVIMIENTO CInCULAR

[CAP.

10

SEC.

EL PENDULO COSICO

193

8,:

de trdfico sobre ellas, por lo que resultaran demasiado peraltadas para velocidades inferiores a la media, y viceversa. . Las mismas consideraciones determinan el angulo correcto de incli2.. nacion de un avi6n que efectua un viraje. El angulo debe ser tal que la $:, resultante de la sustentaci6n y de la fuerza centripeta sea perpendicular .$.z7: a la superficie de las alas (Fig. 10-16). F,c 10-10. El p6nduIo c6nic.o.-La figura 10-17 representa un cuerpo pe3 -$:- quefio de masa m que se mueve describiendo una circunferencia horizon5: tal, con la velocidad angular constante o y en el extremo de una cuerda 5.ligera de longitud L. Prescindiremos del interval0 durante el cual el cuerpo se pus0 en movirniento y consideraremos dnicamente la situacibn %. despuCs que la masa se ha puesto en movimiento con las caracteristicas .-,.' ..: ,; -,indicadas. Si 0 es el 5ngulo constante que la cuerda forma con la vertical, zg el radio R de la circunferencia descrita es: .. ..

la fuerza cenlrfpefa. La resultante del sistema de todas las fuerzas es la misma, tanto en la figura 10-15 (a) como en la 10-15 (b), esto es, la fuerza centripeta P.

+, . .

Fuerza rcsultantc ejercida sobre cl JUegO de ruedas

en cstc punto

10-101

'

'

'

1

..:...

.d..,.. . ... ~ ,." ,..

(a,

..%:-.

El Bngulo de inclinacibn o peralte 0 que la capa de balasto forma con la horizontal es igual a1 angulo 0 de la figura 10-15 (a). Por consiguiente,

R

= L sen

0.

Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo cuando se encuentra en la posi-

g;,.: ci6n indicada son: su peso, mg, y la tensi6n T de la cuerda. Hay una gran

&: .?',,. tentacibn a afiadir una fuerza cenlrffuga hacia afuera en el diagrama;

:3:-:pero, como hemos visto, no pertenece a1 conjunto de fuerzas aplicadas a1 cuerpo. Sabemos ademas que la aceleracibn est5 dirigida hacia el centro

:>,

:j.. de la circunferencia horizontal que describe. Por tanto, elijamos dos ejes,

Puede verse en esta ecuaci6n que la tangente del Angulo de peralte es proporcional a1 cuadrado de la velocidad, e inversamente proporcional a1 radio de la curva. Para un radio dado no hay ningun angulo que sea

uno en esta direcci6n y otro perpendicular a ella, y descompongamos la T en dos componentes, segfin se indica. La fuerza resultante en 2.. ,, .,. la direccibn del eje Y e s T cos 8 - mg, y la fuerza resultante segun el '&,eje X es T sen 0. Entonces, de la segunda ley de Newton, .:

.:.... tensi6n

-

." ,

#r,.

I

*

Fuerza centripeta

II I

I I

7 I-'IG. IrJ-1G.

FIG.10-17.-k:l

pendulo cbnico.

correcto para todas las velocidades. Por consiguiente, en 10s proyectos de carreteras y ferrocarriles, las curvas se peraltan para la velocidad media

I

I

'

a:

2Y = T cos 0 - mg = ma,; XX = T sen 0 = ma,. Pero a, = 0, puesto que la altura del cuerpo no varia;y a, = vZ/R=

= o2R. Por consiguiente:

T cos 0 = mg; T sen 0 Puesto que R = L sen 8,

= mo2R.

[lo-161

' .t

194

I

[cap. 10

MOVIMIENTO C I R C ~ L A R

f'

Cuando se sustituye este valor de T en la Ec. [lo-161, obtenemos:

mu%

SEC.

10-1 1 ]

MOVIMIENTO EN UNA CIRCUNFERENCIA

VERTICAL

195

cos 0 = mg;

gsta es la relaci6n que ha de cumplirse elitrc la velocidad angular, la longitud de la cuerda y el ingulo 6. Por coilsiguiente, para una velocidad angular dada y una cuerda de longitud dada, hay un Bngulo definido 6 que tiene que formar la cuerda con la vertical. Esta ecuacibn explica por quC la bola describe un circulo de radio mayor cuando su velocidad angular aunienta. En efecto, si w aumenta, cos 6 tiene que disminuir y el ingulo 0 auinenta, puesto que e! coseno de un angulo comprendido entre 0 y 900 disminuye cuando el angulo aumenta. Una aplicaci6n tecnica litil de este efecto la constituye un tipo coniente de tacbmetro, representado en la figura 10-18. El Brbol S estd unido mediante una transmisi6n flexible a1 dispositivo cuya velocidad angular se FIG 10-18.-Tlpo corriente de tnc6mctro.'(~cprodrreido w r cortesia de Piorleer desea medir. El eie uue sostiene 10s . . lnstrumerct Cnrnpany.) dos pesos mbviles w ;st& acoplado a1 eje S por una rueda dentada y un piiibn. Los dos pesos m6viles estan unidos por varillas a 10s collares F y C. El collar F esta fijo a1 eje, pero el collar C puede moverse librementc hacia arriba o hacia abajo. Ambos collares esGn obligados a mantenerse separados por la accion de un resorte en hClice. / %\, Cuando el eje S gira, 10s pesos m6viles cornprimen el resorte en hClice hasta que se / / alcanza una posici6n en la cual la fuerza ejercida por el resorte a t r a v b de las vaI rilias suministiz !a fuerza centripeta nccei \ saria. /I \ El movimiento del collar C se transmite \ d1 por,el rodillo R y un sistema de palancas y 3 ' engranajes a la aguja indicadora sobre la graduaci6n del instrumento. mQ -

p

-

,

--

cia vertical.-ia

figura 10-19 representa un

- /

FIG.10-19.-IIovlmlento

en una

clrcunferencia vertical.

I

FIG. 10-20.-Pologralias

con llumlnacionw surcsiws de &Innltola rlne .rlr,a el rlzo. en rlna circunfcrencia vertical.

I