Sea-calculo-ga-ni-baja.pdf

Guía de aprendizaje

AA

ba tir el rezago educativo de la población mexicana ha sido una constante preocupación del gobierno



de la República y de los gobiernos estatales. En respuesta a ello, fue creado el Programa Secundaria



a Distancia para Adultos (SEA), que constituye una alternativa de estudio para quienes desean concluir



y certificar su enseñanza básica, sin distraerse de sus actividades actuales, con el propósito



de proporcionarles nuevos elementos de comprensión de su entorno y conocimientos prácticos



que mejoren su calidad de vida.

SEA-CALCULO-GA-NI-PORTADA.indd 1

CÁLCULO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CUENTAS CLARAS

NIVEL INICIAL

CÁLCULO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CUENTAS CLARAS Guía de aprendizaje NIVEL INICIAL

21/04/16 13:48

CÁLCULO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CUENTAS CLARAS

GUÍA DE APRENDIZAJE NIVEL INICIAL

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 1

27/04/16 10:13

Cálculo y resolución de problemas. Cuentas claras. Guía de aprendizaje. Nivel inicial, del Programa Secundaria a Distancia para Adultos, fue elaborada por la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos, actualmente Dirección General de Materiales Educativos, de la Subsecretaría de Educación Básica, con la colaboración de la Unidad de Telesecundaria y del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa. Secretario de Educación Pública Aurelio Nuño Mayer Subsecretario de Educación Básica Javier Treviño Cantú Dirección General de Materiales Educativos

Coordinación general Gema Jara Arancibia

Supervisión iconográfica Penélope Esparza

Coordinación académica Mónica Inés Schulmaister

Cuidado de la edición Rodrigo San Vicente Hernández Alejandro Pérez Utrera

Autores Mónica Inés Schulmaister Laurentino Velázquez Durán Mauricio Rosales Ávalos Esperanza Issa González Alma Rosa Pérez Vargas Luis Bedolla Moreno Rodrigo San Vicente Hernández Asesoría académica Sonia Ursini Legovich

Diseño y formación electrónica Alexandra Corona Desentis Juan Antonio García Trejo Teresa Ojeda Pablo Rulfo Stega Diseño Asistente de producción Moisés Fierro

Revisión Ana Deltoro Martínez Mario Mercado Martínez Fotografía Faustinus Deraet van Regemorter Jordi Farré Moragues Ilustración Rosa María Rodríguez Coordinación editorial María Ángeles González (edición 1998) Elena Ortiz Hernán Pupareli (edición 2008)

Primera edición, 1998 Segunda edición, 2008 Segunda reimpresión, 2016 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, Ciudad de México ISBN: 978-968-01-1699-7 Impreso en México Distribución gratuita-Prohibida

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 2

su venta

27/04/16 10:13

¡BIENVENIDOS A SEA SECUNDARIA A DISTANCIA PA R A A D U LT O S ! ¿Por qué surge SEA? El Programa Secundaria a Distancia para Adultos (SEA) fue creado para que una parte importante de la población adulta de nuestro país, que no ha concluido sus estudios de secundaria, continúe su preparación educativa. ¿A quién está dirigido SEA? A todas las personas mayores de 18 años que no cursaron la educación secundaria, o que por diversos motivos no la concluyeron y, debido a sus actividades laborales o familiares, no pueden acudir todos los días a una escuela regular. ¿Qué ofrece SEA? La posibilidad de obtener conocimientos que le permitan desempeñar mejor su trabajo; aprender a estudiar en forma independiente y manejar nuevas herramientas para la solución de problemas; comprender en forma más amplia y natural el mundo que nos rodea y, por lo tanto, la posibilidad de participar activamente en la vida comunitaria y nacional, así como obtener el certificado de estudios correspondiente. ¿Cómo se estudia en SEA? De manera independiente, con el apoyo de libros y programas de televisión. No es necesario asistir diariamente a un salón de clases, en un horario rígido. Usted puede estudiar en casa y asistir semanalmente a una sede de asesoría, donde recibirá la atención personal de un asesor y podrá compartir sus experiencias con otros estudiantes inscritos en el programa. ¿Cuáles son sus materiales? Los libros, todo lo que necesita para aprender está en ellos. Usted ahí encontrará lo que debe estudiar

y las indicaciones para realizar las actividades. También hay programas televisivos de apoyo. ¿Usted qué debe hacer? Estudiar los materiales didácticos, resolver los ejercicios, ver los programas de televisión y aprobar el examen de cada curso. ¿Qué es un asesor? Una persona que posee la información necesaria para facilitarle el aprendizaje ayudándole a resolver dudas, y realizar las actividades señaladas en sus materiales indicándole cómo puede estudiar adecuadamente en casa. ¿Qué se necesita para aprender? Dominar las prácticas de estudio que lo ayudarán a obtener mejores resultados, como disponer de un lugar tranquilo, bien iluminado y limpio para estudiar, y dedicar un mismo lapso de tiempo todos los días. Su éxito dependerá de su constancia, disciplina y empeño. ¿Qué se aprende en SEA? En cualquiera de los dos niveles, inicial y avanzado, usted adquiere conocimientos prácticos, útiles para la vida cotidiana, relacionados con las siguientes áreas: • • • • •

Lengua y Comunicación Cálculo y Resolución de Problemas Salud y Ambiente Familia, Comunidad y Sociedad Inglés (si lo requiere)

¿Y después de SEA? Una vez concluida su educación secundaria, estará en condiciones de saber más para mejorar en su trabajo y en su vida. Si usted lo desea, podrá continuar sus estudios en un nivel avanzado.

¡Comience y no se detenga!

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 3

14/11/11 13:58

Cálculo y resolución de problemas

ÍNDICE

CUENTAS CLARAS

Introducción ..................................................................................................................................................................... 7

UNIDAD 1 EL CUERPO HUMANO 01 ¿Con número o con letra?

Lectura y escritura de núméros naturales . ............................................. 11

02 Si me compara, ya me ubicó 03 Aproxímese

04 Sumamente diferente

Suma y resta de números naturales ................................................................ 24

Multiplicación y división de números naturales .................................................... 29

05 Hacer y deshacer

06 ¿Qué tan grande eres? 07 Mi medida

Orden y comparación de los números naturales ............................. 15

Cálculo mental y aproximación de resultados .................................................................... 20

Unidades de longitud y tiempo . .................................................................... 34

La medición y las fracciones . ..................................................................................................... 39

08 Anatomía de un número 09 Juegos y pasatiempos

Lectura y escritura de números naturales ................................................ 42

Sesión recreativa ................................................................................................. 47

10 Lo que bien se aprende jamás se olvida 11 Lo que hemos aprendido

Sesión de integración y repaso ................................ 49

Sesión de evaluación . .................................................................................. 52

UNIDAD 2 LA ALIMENTACIÓN 12 Las primeras potencias 13 Tablas y teclas

Potenciación y radicación ............................................................................... 57

Tabla de cuadrados ............................................................................................................. 61

14 ¿Qué es primero? Jerarquía de las operaciones . ...................................................................................... 64 15 No sólo de pan vive el hombre

Equivalencia y órden de los números decimales ...................... 68

16 Punto alineado

Suma y resta de números decimales . ............................................................................ 73

17 Muchos y pocos

Múltiplos y divisores ......................................................................................................... 77

18 Que no quede nada 19 Rápido y seguro 20 Mi peso ideal

Representación de fracciones ................................................................................ 81

Criterios de divisibilidad ................................................................................................. 84

Análisis de tablas .................................................................................................................... 88

21 Información organizada 22 Juegos y pasatiempos

Organización de la información en tablas ................................................. 92 Sesión recreativa ................................................................................................ 96

23 Lo que bien se aprende jamás se olvida 24 Lo que hemos aprendido

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 4

Sesión de integración y repaso ................................ 98

Sesión de evaluación . ................................................................................. 102

24/11/11 11:02

UNIDAD 3 EL TRABAJO 25 Una figura dice más que mil palabras

Interpretación de gráficas de barras



y pictogramas.......................................................................107

26 ¿Soy puntual?

Interpretación de histogramas y polígonos de frecuencias...........................................111

27 Punto por punto

Multiplicación y división de decimales ................................................................................... 115

28 Un poco de diseño 29 No hay problema 30 El salario

Trazo de paralelas y perpendiculares.........................................................................119 Resolución de problemas con decimales.....................................................................124

El tanto por ciento y la fracción como razón...............................................................................128

31 ¿Qué tanto?

El tanto por ciento asociado a fracciones..............................................................................133

32 Negocio entre ángulos 33 ¿Cuánto representa?

Ángulos...................................................................................................................137 Resolución de problemas.......................................................................................143

34 Habilidades de un carpintero 35 Juegos y pasatiempos

Clasificación de figuras.........................................................................147

Sesión recreativa...................................................................................................153

36 Lo que bien se aprende jamás se olvida 37 Lo que hemos aprendido

Sesión de integración y repaso...................................155

Sesión de evaluación.......................................................................................158

UNIDAD 4 APRENDIZ DE CARPINTERO 38 Tú, mi complemento 39 Maderos cruzados 40 Mesas duplex

Ejes de simetría.........................................................................................................163

Trazo de figuras de cuatro lados a partir de sus diagonales.................................167

Trazo de un círculo y polígonos de más de cuatro lados................................................171

41 Siempre el mismo

Cálculo de perímetros...................................................................................................176

42 Un cuadro a la medida 43 Con ayuda de todos

Área por conteo....................................................................................................179

Decimales: Resolución de problemas.....................................................................183

44 Encuentre la regla

Busqueda de patrones y regularidades....................................................................186

45 Lenguaje universal

Lenguaje algebraico ....................................................................................................190

46 Juegos y pasatiempos

Sesión recreativa...................................................................................................194

47 Lo que bien se aprende jamás se olvida 48 Lo que hemos aprendido

UNIDAD 5 49 ¡Véale la cara!

Sesión de integración y repaso...................................197

Sesión de evaluación.......................................................................................200

LOS DEPORTES

Características de los poliedros..........................................................................................205

50 Por toda el área de juego Área del cuadrado y del rectángulo...........................................................210 51 ¿Por qué más?

Variación perímetro - área....................................................................................................215

52 Campos deportivos

Medidas agrarias...........................................................................................................219

53 A vuelta de rueda

Longitud de la circunferencia y la semicircunferencia...........................................222

54 El juego de pelota

Área del círculo...............................................................................................................226

55 En el mismo sentido 56 Es mi favorito 57 Narre cómo fue 58 La triada

Proporcionalidad directa.........................................................................................230

Problemas de conteo.............................................................................................................235 Interpretación de la información......................................................................................240

Perímetro y área del triángulo.........................................................................................................244

59 Juegos y pasatiempos

Sesión recreativa...................................................................................................249

60 Lo que bien se aprende jamás se olvida 61 Lo que hemos aprendido

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 5

Sesión de integración y repaso...................................251

Sesión de evaluación.......................................................................................254

14/11/11 13:58

UNIDAD 6 EL COMERCIO 62 Armado de cajas

Desarrollo y armado del cubo y del paralelepípedo recto........................................259

63 Cajas de sorpresa

Área lateral y total del cubo y del paralelepípedo recto.........................................264

64 ¿Compra envase o contenido? 65 ¡Qué pesado!

Volumen y capacidad..........................................................................268

Medidas de peso y capacidad.................................................................................................272

66 Una de cal por las que van de arena

Variación proporcional: Resolución



de problemas...................................................................................276

67 De diferentes maneras

Problemas de conteo................................................................................................... 278

68 La casa de los azulejos

Trazo de polígonos a partir de sus diagonales



y ejes de simetría .............................................................................................282

69 Simboliza la regla 70 Sea más breve

Escritura algebr aica a partir de tablas .......................................................................286

Reglas de escritura algebraica............................................................................................290

71 Juegos y pasatiempos

Sesión recreativa...................................................................................................294

72 Lo que bien se aprende jamás se olvida 73 Lo que hemos aprendido

Sesión de integración y repaso...................................296

Sesión de evaluación.......................................................................................298

UNIDAD 7 EL TRANSPORTE 74 Conozca Puebla

Plano cartesiano..................................................................................................................303

75 La revolución en el transporte 76 ¿La misma cantidad? 77 Poco a poquito 78 En reversa

Cuerpos de revolución..............................................................................308

Fracciones equivalentes.........................................................................................313

Suma y resta de fracciones.................................................................................................317

Operaciones incompletas..............................................................................................................321

79 Mudanza de literales

Despeje de fórmulas sencillas...............................................................................325

80 Juegos y pasatiempos

Sesión recreativa...................................................................................................329

81 Lo que bien se aprende jamás se olvida 82 Lo que hemos aprendido

Sesión de integración y repaso...................................331

Sesión de evaluación.......................................................................................334

UNIDAD 8 CUENTAS DIARIAS 83 Medidas en cajas 84 Que no le cuenten

Valoración de la importancia de los recursos energéticos......................................339 Importancia de la energía eléctrica en la vida diaria..............................................343

85 Cómo se ve la inflación

La generación de energía eléctrica.................................................................347

86 ¿Cúanto pago?

El tanto porciento en los impuestos.................................................................................351

87 ¿Cúanto será?

Un procedimiento adecuado................................................................................................354

88 Juegos y pasatiempos

Sesión recreativa...................................................................................................357

89 Lo que bien se aprende jamás se olvida 90 Lo que hemos aprendido

Sesión de integración y repaso...................................359

Sesión de evaluación.......................................................................................361

Claves...................................................................................................................................................................................364 Bibliografía consultada ............................................................................................................................................399

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 6

14/11/11 13:58

INTRODUCCIÓN La presente guía corresponde al nivel inicial de Cálculo y resolución de problemas, de Secundaria a Distancia para Adultos (SEA). Cabe señalar ante todo, que las matemáticas están presentes de diferente manera y medida en las experiencias de todas las personas. Usamos las matemáticas en las actividades cotidianas; por ejemplo: cuando hacemos las cuentas en el mercado, vamos de compras a una tienda o pagamos los impuestos y los servicios. Las empleamos igualmente en las actividades específicas de un oficio, como el de carpintero, mecánico o el de costurera, así como en las propias de una profesión. Los diferentes medios de comunicación, como el periódico, la televisión y la radio, también utilizan frecuentemente herramientas matemáticas para proporcionar información. Por ello, en este libro se parte de la experiencia que usted posee como ciudadano adulto para que mediante ella aprenda. No es nuestra intención enseñarle matemáticas de una manera separada de la realidad, para pedirle luego que las aplique en la resolución de problemas matemáticos. Por el contrario, partimos aquí de situaciones reales a las que nos enfrentamos cotidianamente para analizar las matemáticas que están presentes en dichas situaciones. Esta concepción del aprendizaje de las matemáticas conlleva la necesidad de que usted, como alumno de este programa, aproveche y ponga en práctica permanentemente su experiencia y los conocimientos que ésta trae consigo. De esta manera, al cursar el nivel inicial de Cálculo y resolución de problemas, se le presentarán casos de la vida diaria que le permitirán ampliar sus conocimientos matemáticos, así como explorar diferentes situaciones que dan sentido a dichos conocimientos y que permiten ver la utilidad de los mismos. Así podrá experimentar de una manera más grata e interesante el aprendizaje de las matemáticas. Los temas en los que se organizan las ocho unidades son: • • • • • • • •

Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:

El cuerpo humano La alimentación El trabajo Aprendiz de carpintero Los deportes El comercio El transporte Cuentas diarias

Cada unidad contiene cuatro tipos de sesiones. Las de aprendizaje se encuentran ubicadas al comienzo, y su número y título varía de unidad en unidad; las recreativas, con "Juegos y pasatiempos", tienen el propósito de que usted juegue y se divierta al hacer matemáticas; las sesiones llamadas "Lo que bien se aprende, jamás se olvida", integran y repasan lo aprendido en cada unidad; y, por último, están las sesiones de evaluación, llamadas "Lo que hemos aprendido", en las que usted, al resolverlas, podrá darse cuenta de lo que aprendió y de lo que todavía necesita reforzar. Al final del libro, en la sección de "claves", podrá encontrar las respuestas a aquellas actividades que le ofrecieron mayor dificultad. Le sugerimos consultar esta sección hasta que haya resuelto la sesión. En caso de que su respuesta no coincida con las claves de respuesta, se le aconseja revisar la forma en que resolvió la actividad, con el propósito de que usted mismo encuentre el error. En los temas de cada unidad se plantean distintos tipos de actividades. La más frecuente es la resolución de problemas, los cuales están relacionados con el tema de cada unidad. Mediante la realización de dichas actividades, buscando y construyendo estrategias a partir de lo que usted ya sebe, aprenderá las matemáticas de la secundaria. Si de primera instancia no logra solucionar un problema, le sugerimos que busque otras maneras de resolverlo. Si después de varios intentos no lo puede resolver, continúe con la siguiente actividad y regrese a la primera en otro momento. Asimismo, comente el problema con algún compañero e intenten resolverlo juntos. Seguramente, con estas sugerencias y otras modalidades de trabajo que usted irá adquiriendo a lo largo del curso, alcanzará muy buenos resultados.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 7

06/12/11 10:57

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 8

14/11/11 13:58

UNIDAD

EL CUERPO HUMANO

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 9

14/11/11 13:58

¿H

a buscado un lugar en su casa, iluminado, ventilado y tranquilo, en el que pueda concentrarse? ¿Tiene a la mano los materiales necesarios para resolver las las sesiones de esta unidad? ¿Ha organizado su cuaderno de trabajo en apartados que le permitan anotar las dudas que le van surgiendo, resolver las actividades de cada sesión, anotar las palabras que no entiende y su significado? Material para esta unidad: un cuaderno de trabajo, una cinta métrica y una calculadora de bolsillo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-001-010.indd 10

14/11/11 13:58

¿Con nú­m e­r o o con letra? La lec­tu­ra y la es­cri­tu­ra de nú­me­ros son muy im­por­tan­tes. En esta sesión apren­de­rá a es­cri­bir nú­me­ros con ci­fras y tam­bién con pa­la­bras. Lea el siguiente texto, en el que encontrará información relacionada con nuestro tema de estudio.

¿Sabía usted que una persona adulta necesita dormir de 7 a 9 horas diarias, los recién nacidos de 18 a 20 horas, y que los ancianos pueden descansar con sólo 5 horas de sueño al día?

­RECUERDE A todos los números, o sea desde el cero en adelante, se les llama números naturales. Y estos números naturales fueron inventados debido a la necesidad de contar que siempre han tenido los seres humanos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 11

Lec­tu­ra y es­cri­tu­ra de nú­me­ros na­tu­ra­les ¿Sabe usted cómo escribir con números la cantidad de veces que ha latido su corazón en un día? Son, aproximadamente, ciento cinco mil ciento veinte (105 120) latidos. Fíjese que para representar esta cantidad con números utilizamos las cifras que forman parte del sistema de numeración decimal, y que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Como usted sabe, estas cifras adquieren un valor u otro según la posición que ocupen en un número. En el número que representa la cantidad de latidos del corazón en un día (105 120), el 2 adquiere el valor 20, porque su posición corresponde a las decenas simples, mientras que el 5 vale 5 000, pues su posición corresponde a las unidades de millar. El valor que adquiere una cifra de acuerdo con el lugar que ocupa se conoce como valor relativo o posicional. Si el número de latidos en un día es de 105 120, en 30 días será de tres millones ciento cincuenta y tres mil seiscientos (3 153 600). Para poder escribir esta cantidad, será de mucha ayuda para usted el siguiente cuadro, donde se muestran los grupos que se forman en el sistema decimal.

15/11/11 13:25

Unidad 1 • Cuerpo humano

12 A continuación se presentan los grupos que conforman el sistema de numeración decimal.

BILLONES

PERIODOS CLASES

ÓRDENES

NÚMERO DE ÓRDENES EJEMPLO

Millares de billón

MILLONES

Unidades de billón

Millares de millón

UNIDADES

Unidades de millón

Millares (miles)

Unidades simples

C E N T E N A S

D E C E N A S

U N I D A D E S

C E N T E N A S

D E C E N A S

U N I D A D E S

C E N T E N A S

D E C E N A S

U N I D A D E S

C E N T E N A S

D E C E N A S

U N I D A D E S

C E N T E N A S

D E C E N A S

U N I D A D E S

C E N T E N A S

D E C E N A S

U N I D A D E S

18

17

16

15

14

13

12

11

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

3

1

5

3

6

0

0

Orden en que se construyen los grupos

Las cifras se agrupan de tres en tres, partiendo desde la derecha. Tres cifras forman una clase, y dos clases un periodo. Observe que el número que aparece dentro del esquema está formado por 3 unidades de millón, 1 centena de millar, 5 decenas de millar, 3 unidades de millar y 6 centenas simples. Observe también que, al leer esta cantidad, solamente se da el nombre de cada clase (millones, millares, unidades simples) utilizando en lugar de millares la palabra “mil”, mientras que el de las unidades simples no se menciona. ¿Cómo lee usted este número: 37 843 200, el cual representa los latidos del corazón en un año?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 12

15/11/11 13:26

Sesión 1 • ¿Con número o con letra?

13

LAS CÉLULAS DE LA SANGRE La sangre está compuesta por una parte líquida llamada plasma sanguíneo, y por un conjunto de células que flotan en él. En la página anterior presentamos parte de un análisis de sangre, al que los especialistas llaman biometría hemática, mismo que le fue practicado a una persona.

1 cm

Recuerde que un milímetro cúbico (mm3) es, como su nombre lo dice, un cubo (semejante a un dado) cuyos lados, llamados aristas, miden un milímetro. Observe que al cubo siguiente le caben 1 000 milímetros cúbicos.

1 cm3 1 cm

1

cm

En este cubo, pues, caben millones de glóbulos rojos o miles de glóbulos blancos. ¿Será posible observar esas células de la sangre a simple vista? ¡Claro que no! Pero con un microscopio apropiado sí es posible. A partir de la biometría hemática mostrada anteriormente, conteste en su cuaderno lo que se pide.

1. Copie en su cuaderno el siguiente cuadro y anote con cifras, en cada uno de los renglones, el número de leucocitos, eritrocitos y plaquetas que resultaron después del análisis de sangre. BILLONES Millares de billón C

D

MILLONES

Unidades de billón U

C

D

U

Millares de millón C

D

U

UNIDADES

Unidades de millón C

D

U

Millares (miles) C

D

Unidades simples U

C

D

U

2. Diga si el número de leucocitos que se obtuvieron del análisis está más cerca del límite máximo o del mínimo, y en qué se basa su respuesta. 3. Encuentre el promedio de eritrocitos, es decir, el valor intermedio entre el límite mínimo y el máximo (esto se logra al sumar los números que representan ambos límites, y al dividir entre dos el resultado de esa suma) y determine si ese promedio es mayor o menor que el número de glóbulos rojos que resultó del análisis. 4. Determine si el número de plaquetas que resultó del análisis es mayor, menor o igual que la mitad del límite máximo. Diga en qué basa su respuesta.

Re­vi­se sus res­pues­tas, y si en­cuen­tra algún error, co­rrí­ja­lo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 13

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

14 ¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? APLIQUEMOS LO APRENDIDO Conteste en su cuaderno lo que se le pide en cada pregunta.

Lea el siguiente texto y luego conteste lo que se pide. Tal vez en alguna ocasión usted haya observado ciertas cantidades interesantes que tienen que ver con el cuerpo humano, pero no ha tenido la oportunidad de comprobarlas. Vea el siguiente cuadro y conteste en su cuaderno lo que se indica.

8. Si en el número 2 845 392 se intercambian las posiciones del 4 y del 9, ¿qué número se obtiene? ¿Cómo se lee ese número?

ALGUNAS MEDIDAS EN EL CUERPO HUMANO

9. Si al número veintiocho millones cuatrocientos catorce mil doscientos ocho se le cambian los cuatros por sietes, ¿qué número se obtiene? Anótelo y escriba cómo se lee correctamente.

MEDIDA

HOMBRE

MUJER

PESO NORMAL

71.250 kg

60.250 kg

(promedio)

1.650 m

1.535 m

PESO DEL CEREBRO

1 700 g

1 550 g

SUPERFICIE DE LA PIEL

1.86 m2

1.61 m2

CANTIDAD DE SANGRE

5.170 l

4.275 l

(promedio)

ESTATURA NORMAL (promedio)

(promedio)

Fuente: Libro para el maestro de secundaria. Matemáticas. México, SEP, 1994.

5. Sabiendo que 1 000 g equivalen a 1 kg, diga cuántos kilogramos pesa el cerebro de la mujer.

Tome en cuenta que el peso del cerebro no tiene relación directa con el grado de inteligencia de una persona. El peso del cerebro de la mujer es menor porque también son menores su peso corporal y su estatura y, como es lógico, esa proporción se refleja en el peso del cerebro. 6. Si 1 m es igual a 1 000 mm, exprese en milímetros la estatura normal promedio del hombre.

10. Escriba un número que tenga ocho decenas de millón, ocho unidades de millar, ocho unidades simples y ceros en todos los demás órdenes. Diga cuántas cifras debe tener en total y cómo se debe leer.

Com­pa­re sus res­pues­tas con las de la clave. Si co­me­tió algún error analice en qué consistió y co­rrí­ja­lo.

7. Determine si la diferencia entre la cantidad de sangre que contiene el cuerpo del hombre y el de la mujer es mayor o menor que un litro.

Ve­ri­fi­que sus res­pues­tas. Co­rri­ja lo que sea ne­ce­sa­rio.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 14

Observe el programa de televisión en el cual se ejemplifica la lectura y escritura de números naturales.

15/11/11 13:26

Si me com­p a­r a, ya me ubicó Al com­pa­rar cier­tos nú­me­ros, usted podrá darse cuen­ta de que exis­te una re­la­ción de orden entre ellos.

¿Sabía usted que si el cuer­po hu­ma­no al­can­za una tem­pe­ra­tu­ra de 43°C, ocu­rren he­mo­rra­gias ce­re­bra­les y las cé­lu­las se de­ge­ne­ran y mue­ren?

En el siguiente texto encontrará una forma para determinar si un número natural es mayor, menor o igual que otro número natural.

Orden y com­pa­ra­ción de los nú­me­ros na­tu­ra­les

­RECUERDE cta re a ne lí a un es a c i­ r é­ m ­ nu a ct Una re ­tan­tes is ­ d ui eq os t n­ pu an c i­ ub se e qu sobre la se trata s, ra b a­ l ­ pa s ra ot en ; sí e tr en punto. da ca e tr en es l ­ ua ig s ia c ­ an t s­ de di par­tir La recta nu­mé­ri­ca com­ ien­za, are­pre­sen­ta­do de un punto lla­ma­do ori­gen por el nú­me­ro cero. En ella se est­ a­blec­ e unauno de co­rres­pond­ enc­ ia entre cada­tu­ra­les. los pun­tos y los nú­me­ros na

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 15

La familia Velázquez, que está compuesta por cinco personas, fue a la zapatería y pidió zapatos de los siguientes números: 3, 1, 8, 6 y 4. Mientras se probaban diferentes modelos, el más pequeño de la familia acomodó los zapatos ordenándolos del menor al mayor. ¿Cómo se imagina usted la forma en que el niño colocó los zapatos? De la misma manera que el niño se guió por el tamaño de cada zapato, nosotros estableceremos el orden entre los números según la cantidad que representen. Si asociamos cada número de zapato con un punto de la recta numérica, encontraremos la misma relación que estableció el niño.

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

16 La relación mencionada se puede representar con la siguiente figura:

0

1

3

4

6

8

Note que en el esquema anterior 6 es mayor que 3. Esto significa que 6 está a la derecha de 3 en la recta numérica. Ahora bien, 1 es menor que 4, lo que significa que 1 está a la izquierda de 4. De acuerdo con lo anterior, el cero es menor que cualquier número natural, pues señala el punto de partida en la recta numérica. El resultado es que, al comparar dos números naturales en la recta numérica, siempre será menor el que se encuentre a la izquierda, y será mayor el que se encuentre a la derecha. En la siguiente tabla podrá ver el número de modelo de cada par de zapatos comprado por la familia Velázquez. Número de zapato

Modelo

3

4 334

1

3 344

8

4 343

6

4 433

4

3 443

¿A qué número de zapato le corresponde el número mayor de modelo? ¿Cuál número le sigue?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 16

Para contestar lo anterior es necesario ordenar los números de los distintos modelos. Para ello, primero se debe observar si los números que van a ordenarse o a compararse tienen la misma cantidad de cifras. Es claro que si un número tiene más cifras significativas que los demás, será mayor. En nuestro ejemplo, los números de modelo tienen la misma cantidad de cifras, todos tienen cuatro. Por lo tanto, nuestro análisis debe continuar con la comparación de las cifras de mayor valor posicional, en este caso, las que corresponden a las unidades de millar. 4 3 4 4 3

334 344 343 433 443

Aquí observamos que hay tres números cuyas unidades de millar son iguales a 4, y dos números cuyas unidades de millar son iguales a 3; así es que por ello se eliminan los números que tienen 3, pues son menores a los que tienen 4 en dicha posición. El siguiente paso es comparar la posición de las centenas en aquellos números cuya unidad de millar es 4. 4 334 4 343 4 433 Como puede ver existe sólo un número cuyas centenas son mayores que las demás, por lo que se ubica al 4 433 como el número mayor.

15/11/11 13:26

Sesión 2 • Si me compara, ya me ubicó

17 Para identificar el número que le sigue a 4 433, será necesario comparar ahora las decenas de los dos números que quedan: 4 334 y 4 343. El mayor resulta ser el 4 343, porque tiene más decenas que el número 4 334. En caso necesario se continúa con la comparación de unidades. Este procedimiento se realiza con los demás números de modelo que se quieran ordenar, para obtener el siguiente orden:

Número de zapato

Modelo

6

4 433

8

4 343

3

4 334

4

3 443

1

3 344

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 17

En resumen, los números naturales se pueden comparar de dos maneras: •C  ontando la cantidad de cifras significativas de cada uno. El número mayor será el que tenga más cifras. •S  i tienen la misma cantidad de cifras, se comparan una a una, empezando por la de mayor valor posicional.

LAS DEFENSAS DEL CUERPO HUMANO Atien­da la si­guien­te in­for­ma­ción: Los leucocitos (glóbulos blancos) son células de la sangre que tienen funciones defensivas, en caso de que el organismo sea atacado por una infección. Existen varias clases de glóbulos blancos, entre ellos los neutrófilos y los linfocitos. A María y a Jorge se les practicó un análisis de sangre. Una parte del resultado de este análisis muestra que María tiene 6 000 glóbulos blancos por cada milímetro cúbico de sangre, y Jorge 7 000. En ambos, 60 de cada 100 glóbulos blancos son neutrófilos, y 35 de cada 100 son linfocitos. Es decir, existe la siguiente relación entre el número de glóbulos blancos, neutrófilos y linfocitos:

Glóbulos blancos

Neutrófilos

Linfocitos

100

60

35

200

120

70

1 000

600

350

2 000

1 200

700

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

18

Ahora, realice en su cuaderno lo que se le indica: 1. Calcule cuántos neutrófilos por cada milímetro cúbico existen en la sangre de María y cuántos en la de Jorge. 2. Calcule cuántos linfocitos por cada milímetro cúbico existen en la sangre de María y cuántos en la de Jorge.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Realice el ejercicio que se le pide en la recta que aparece a continuación:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

5. Ubique los números en la recta, partiendo del cero (0). a) La edad que tiene usted.

3. Sume la cantidad de neutrófilos y linfocitos que se encuentran en cada milímetro cúbico de la sangre de María. Realice la misma operación con los neutrófilos y linfocitos de la sangre de Jorge. 4. Al contestar las tres preguntas anteriores usted obtuvo seis números diferentes. En seguida, ordénelos en forma ascendente, es decir, de menor a mayor.

b) L a edad que tenía cuando dejó de vivir con sus padres. c) L a edad que tenía cuando entró a la primaria. d) L a edad que tenía cuando dejó la primaria. e) L a edad en que se casó, si es que está casado (a). f) L a edad en que ingresó a la secundaria. g) S  i trabaja, la edad en que comenzó a trabajar.

Compruebe sus respuestas. Si encuentra errores, revise sus procedimientos y corríjalos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 18

15/11/11 13:26

Sesión 2 • Si me compara, ya me ubicó

19

6. Analice los datos que marcó en la recta numérica y conteste: a) E  l tiempo que vivió con sus padres. b) ¿  Durante cuántos años asistió a la primaria? c) S  i es casado (a), los años que tiene de casado (a). d) ¿  Cuántos años estuvo soltero (a)? e) S  i tiene hijos, ¿cuántos años pasaron sin que tuviera usted hijos? f) L os años que han pasado desde que salió de la primaria y entró a la secundaria. g) S  i trabaja, los años que lleva trabajando.

Revise sus resultados. Si encuentra errores revise sus procedimientos y corríjalos.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Lea el siguiente texto y a continuación realice en su cuaderno lo que se le pide. Algunos de los principales alimentos para el hombre son el pescado y los mariscos. Debido a la gran extensión de sus litorales marítimos, nuestro país es rico en estos recursos naturales. En la siguiente tabla están registradas las cantidades de cada especie capturadas en 1993. ESPECIE

Sierra Abulón Camarón Langosta Mojarra Pulpo Sardina

toneladas 13 727 1 849 49 968 1 573 85 268 17 125 152 651

kilogramos 13 727 000 1 849 000 49 968 000 1 573 000 85 268 000 17 125 000 152 651 000

Fuente: Atlas de México, Educación Primaria SEP, México, 1994.

7. Ordene de mayor a menor las siete cantidades de la columna de las toneladas. 8. En la tabla aparecen las cantidades de pescado y mariscos, en toneladas y con su equivalente en kilogramos. Obsérvelos y trate de establecer cuántos kilogramos hay en una tonelada. 9. Si un comerciante adquiere media tonelada de abulón, ¿cuántos kilogramos recibe? 10. Si usted comprara un cuarto de tonelada de sierra, ¿cuántos kilogramos habría adquirido? 11. ¿Cuál de las cantidades de la tabla se aproxima más a 1 500 toneladas?

Compare sus resultados con los de la clave y corrija si es necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 19

15/11/11 13:26

Apro­x í­m e­s e En esta se­sión, usted podrá hacer cál­cu­los men­ta­les para ob­te­ner re­sul­ta­dos apro­xi­ma­dos. Esto le per­mi­ti­rá so­lu­cio­nar pro­ble­mas de una ma­ne­ra rá­pi­da, aun­que no exac­ta. ¿Sabía usted que las vitaminas son sustancias que ayudan a nuestro organismo a aprovechar mejor los nutrientes de todo lo que comemos? ¿Y que, para funcionar bien, el organismo humano requiere diariamente 2 mg de vitamina B1, 2 mg de vitamina B2, 19 mg de vitamina B5, 80 mg de vitamina C y 12 mg de ácido pantoténico?

Lea el siguiente texto en el que se describe la manera en que se puede calcular y aproximar un resultado.

RECUERDE

ano rc ce ás m el es o er m nú é qu r Para sabe calizar lo e qu ay h a, ic ér m nu a ct re a otro en la te antes en m ta ia ed m in a tr en cu en se e el qu se halla de ese número, o bien, el qul emismo número. inmediatamente después de Observe: 0 1 2 3 4 5 6 7 ca­nos a 4 son r­ ce ás m os r e­ m ­ nú s lo o, pl em Por ej de 4, or s e­ c e­ t ­ an a am ll le se 3 l 3 y 5. A y al 5 se le nom­bra su­ce­sor.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 20

Cálculo mental y aproximación de resultados Los alimentos proporcionan al cuerpo humano los diferentes nutrientes que necesita para su desarrollo y para mantenerse en buen estado. A continuación se presenta un cuadro con los alimentos que proporcionan las vitaminas que requiere el organismo. Observe que se requieren pequeñas cantidades de vitaminas.

15/11/11 13:26

Fuente: Higa shida Hirose, Bertha Yohiko, Ciencias de la Salud, McGraw-Hill México, 1990.

Sesión 3 • Aproxímese ALIMENTO QUE LO PROPORCIONA

21

VITAMINA

CANTIDAD MÍNIMA DIARIA

B1

2 mg

Hígado, riñones, leche, huevo, pescado, verduras y frutas.

B2

2 mg

Ayuda a la respiración Leche, riñones, huevo, carne y legumbres. celular.

B5

19 mg

Germen de granos, vegetales, nueces, carne de res, carne de cerdo y vísceras.

C

80 mg

Cítricos (limón, fresa, jitomate, toronja, etcétera).

Ácido pantoténico

12 mg

Huevo, carne, leche, hígado.

BENEFICIO Ayuda al buen funcionamiento del sistema nervioso y circulatorio.

Ayuda al buen funcionamiento del aparato digestivo. Ayuda a la regeneración de los tejidos y aumenta la resistencia de los vasos sanguíneos. Ayuda a evitar la anemia.

Nota: Un miligramo (mg) representa la milésima parte de un gramo.

Para saber la cantidad de vitaminas que necesitamos a diario, podemos hacer una suma de dichas cantidades. Por ejemplo: 2 + 2 + 19 + 80 + 12 = 115 Pero, si no tenemos lápiz, papel o calculadora a la mano, podemos recurrir al cálculo mental. En general, lo conveniente es redondear los números a la decena más próxima; por ejemplo, 19 se puede redondear a 20. Y 12, por ejemplo, puede redondearse a 10, lo cual facilitará la suma mental. O sea que es más sencillo calcular así: 2 + 2 + 20 + 80 + 10 = 114 Entonces, el resultado (114) queda aproximado al resultado real. De aquí surge lo que se conoce como aproximación o estimación del resultado.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 21

Ahora, realice con nosotros otro ejemplo. El cuerpo humano está formado por tres partes principales, que son: cabeza, tronco y extremidades. La cabeza está formada por 28 huesos, el tronco por 52 y las extremidades por 126 huesos. Hagamos una estimación, es decir, una aproximación de la cantidad de huesos que hay en nuestro cuerpo. Para ello podríamos redondear 28 a 30, 52 a 50 y 126 a 130, lo cual nos daría una suma como la siguiente: 30 + 50 + 130 = 210 Si comparamos este resultado con el real (206), nos damos cuenta de que son muy próximos. ¿Qué otras formas utiliza usted para aproximar un resultado empleando nada más el cálculo mental?

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

22

LA SALUD Lea cuidadosamente los siguientes párrafos y luego realice en su cuaderno las estimaciones que se le piden. 1. Natalia mandó hacer 257 carteles para una campaña de higiene en su comunidad y entregó 98 a Rocío para que los distribuyera en el sector norte. Haga, en primer lugar, una estimación —sí, una aproximación— y después realice el cálculo exacto del número de carteles que le quedaron a Natalia para los demás sectores de su comunidad. 2. En un centro de salud, el lunes de la semana pasada se atendió a 168 pacientes, el martes a 143, el miércoles a 177 y el viernes a 185. Realice la estimación, y después haga el cálculo exacto del número total de pacientes que fueron atendidos durante los cuatro días. Si se tenía planeado atender a 812 pacientes durante esa semana, estime primero y después indique exactamente cuántos pacientes faltaron por atender para alcanzar el número 812.

Compare cada estimación con el cálculo exacto, para que usted sepa qué tanto se aproximó.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Considere la siguiente información y realice en su cuaderno lo que se indica. La tabla que aparece a continuación le muestra a usted la cantidad de calorías que consumen nueve personas, en promedio, cada día. HOMBRES

calorías

MUJERES

calorías

Juan

3 128

Consuelo

1 967

Pedro

4 032

María

2 612

René

1 888

Carlota

1 794

Adrián

3 332

Norma

2 913

Saúl

2 965

3. Realice una aproximación (o estimación) del total de calorías que consumen los cinco hombres. Asimismo, haga una aproximación del total de calorías que consumen las cuatro mujeres y del total que consumen las nueve personas. 4. Calcule con exactitud las calorías que consumen los cinco hombres, las cuatro mujeres y, también, las nueve personas en conjunto.

Tenga presente que conviene comparar el resultado exacto del problema con la estimación realizada, para ver cuánto logró usted aproximarse.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 22

15/11/11 13:26

Sesión 3 • Aproxímese

23

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? A partir del siguiente texto realice en su cuaderno las actividades sugeridas. En una persona sin problemas de salud, su corazón late aproximadamente 80 veces por minuto. A este conjunto de latidos o pulsaciones, los médicos le llaman pulso cardiaco. Cuando hacemos ejercicio, nuestro pulso cardiaco puede aumentar hasta 250 latidos por minuto, aproximadamente. Cuando estamos en reposo, por ejemplo al dormir, el pulso cardiaco disminuye hasta 50 latidos por minuto. Tres personas realizaron ejercicio durante 8 minutos, e intensificaron al máximo su esfuerzo a los cuatro minutos de haber comenzado. Los cambios que se produjeron en el pulso cardiaco de dichas personas durante los cuatro primeros minutos fueron registrados en la tabla que aparece a continuación:

PERSONAS

minuto minuto minuto minuto 1

2

Mario Alejandro

81 76

Jorge

83

143

197

3

4

123

191

131

188

227 218 243

5. Haga una estimación de la diferencia entre el número de latidos que da el corazón de Mario, del primer minuto al segundo, del segundo al tercero y del tercero al cuarto. Después, obtenga el resultado exacto y compárelo con la estimación que hizo. 6. Haga una estimación de la diferencia entre el mayor y el menor número de latidos de Alejandro. Luego, realice el cálculo exacto y observe qué tanto se aproximó a él. 7. Estime el promedio de los latidos del corazón de Jorge, durante los primeros cuatro minutos de ejercicios. Haga el cálculo exacto y compárelo con la aproximación. Recuerde que el promedio se calcula al sumar las cantidades, y al dividir después el resultado entre el número de datos que se sumaron.

Com­pa­re sus res­pues­tas con las de la clave. Si no con­cuer­dan, en­cuen­tre el error, analice su causa y co­rrí­ja­lo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 23

15/11/11 13:26

Su­m a­m en­t e di­f e­r en­t e Se­gu­ra­men­te usted ha su­ma­do o res­ta­do di­ver­sas can­ti­da­des en el trans­cur­so de su vida. A con­ti­nua­ción, re­sol­ve­rá al­gu­nos pro­ble­mas donde se apli­ca la suma y la resta. Lea el siguiente texto, en el cual se hace referencia a dos operaciones fundamentales.

¿Sabía usted que el cuerpo humano contiene entre cuatro y cinco litros de sangre?

RECUERDE Para sumar o restar rápidamente dos cantidades es mejor redondearlas a las unidades más próximas y obtener así el resultado aproximado.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 24

Suma y resta de números naturales La donación de sangre tiene la finalidad de que ésta se pueda utilizar en las transfusiones sanguíneas, y la máxima cantidad de sangre que se le puede sacar a un donante es de 500 mililitros (500 ml). Si un litro equivale a 1 000 ml, entonces 500 ml es igual a medio litro. Este proceso de donación se inicia con una revisión médica. De esta manera se determina si el donante está apto físicamente para que se le saque sangre. Si es así, se le toma una muestra de, aproximadamente, 17 ml de sangre, que se lleva al laboratorio y se analiza para ver si el donante tiene algún padecimiento como anemia, enfermedades venéreas, hepatitis o SIDA. Si se le detecta alguna de estas enfermedades, será rechazado y no podrá ser donador.

15/11/11 13:26

Sesión 4 • Sumamente diferente

25

Existen casos como el de Raúl, a quien le sacaron 18 ml de sangre para analizarla. Una vez que su sangre fue aprobada, le sacaron 495 ml más para la donación. ¿Cuál fue el total de sangre que le sacaron? Para responder a esta pregunta, es necesario realizar una suma o adición. Para ello, los números se asocian por medio de un signo como este (+), que significa suma (algunas personas le llaman también “signo de más”). Los números se colocan de manera que en cada columna coincidan las unidades del mismo orden. Es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etcétera, tal como se muestra a continuación:



U. m.

c



+

d

u

1

8

4 9 5 ____________________________ Se suman las columnas de derecha a izquierda. Cuando la suma en una columna sea diez o más, se forma una unidad del siguiente orden, y ésta deberá agregarse en dicho lugar; por ejemplo, al sumar las unidades 8 + 5, el resultado es 13. Estas 13 unidades forman una decena, y sobran tres unidades (10 + 3). Se toma nota de las 3 unidades. La decena que se formó se agrega a lo que resultó de sumar 9 + 1. Se obtienen así 11 decenas. Estas 11 decenas forman una centena y sobra una decena (10 + 1). La centena que se formó se agrega a 4, dando un resultado de 5 centenas, 1 decena y 3 unidades.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 25



U. m. c



d

u

1 8



+ 4 9 5 _____________________ 5 1 3 Por lo tanto, el total de sangre sacada al donante es 513 ml. En una suma, los números que se suman reciben el nombre de sumandos, y al resultado se le llama suma o total.

16 + 495 513

sumando sumando suma o total

Ahora sume 513 + 0. ¿Qué resultado obtuvo? Sume 1 829 + 0. ¿Qué total obtuvo? ¿Qué sucede cuando a una cantidad se le suma 0? ¡Así es! Cuando sumamos cero a cualquier cantidad, ésta no cambia. Ahora responda la siguiente pregunta. Si a otro donante le sacaron un total de 503 ml de sangre, del cual 12 ml fueron para el análisis, ¿qué cantidad se destinó para la donación? Observe que la cantidad de sangre para el análisis, más la cantidad de donación, es igual al total de sangre sacada, es decir, 12 ml + cantidad donada = 503 ml. En este caso, si al total de sangre sacada se le quitan (restan) los 12 ml para el análisis, da como resultado la cantidad donada. Para realizar una resta, es necesario asociar los números con este signo (–) que significa menos, esto es 503 – 12. Para efectuar la resta también se colocan los números en columnas, de manera que coincidan las unidades, las decenas, las centenas, etcétera.

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

26

Al igual que en la suma, los componentes de una resta tienen un nombre específico.



503 – 12

Por lo tanto, la cantidad de sangre donada es 491 ml.

minuendo sustraendo diferencia

12 + 491 503

Observe otro ejemplo de resta: Observe el procedimiento que se muestra en el siguiente esquema:



503 – 012 491

1o. 2o. 3o.

Primero. Se restan las unidades (siempre se inicia de derecha a izquierda), por lo que se dice:

1 241 – 932 0 309

1o. 2o. 3o. 4o.

Primero. Se empieza por las unidades, pero como a 1 no se le pueden restar 2, se toma una decena del 4 y se convierte en unidades, que sumadas con la que había nos dan 11 unidades. Entonces, ya podemos decir:

tres menos dos igual a uno. 11 menos 2 es igual a 9.

Segundo. Cero menos uno no es posible; por lo tanto, tomamos una centena y la convertimos en decenas. Así, decimos:

Segundo. Como a 4 le quitamos una decena, sólo quedan 3 y decimos:

diez menos uno igual a nueve.

3 menos 3 igual a 0.

Tercero. Como se le quitó una centena al cinco para convertirla en decenas, entonces sólo quedan cuatro centenas, por lo que decimos:

Tercero. Nuevamente no se le pueden restar 9 a 2, por lo que tomamos 1 unidad de millar y la convertimos en centenas. Así, decimos:

cuatro menos cero igual a cuatro.

12 menos 9 es igual a 3.

Para comprobar si el resultado de una resta es correcto, podemos sumar la diferencia con el sustraendo. Este resultado deberá coincidir con el minuendo.

Cuarto. Debido a que la unidad de millar que había se convirtió en centenas, en su lugar no quedan unidades, por lo tanto se coloca un cero.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 26

15/11/11 13:26

Sesión 4 • Sumamente diferente

27

EL PESO Y LA ESTATURA En la siguiente tabla aparecen la estatura y el peso de varias personas. Después de leer las cantidades, resuelva en su cuaderno lo siguiente: ESTATURA EN centímetros (cm)

PESO EN gramos (g)

Emma

152

50 690

Carlos

168

60 610

Pedro

160

55 740

Gabriela

162

56 270

Alejandra

157

51 480

Sergio

164

58 170

NOMBRE

1. Con base en la información de la tabla, conteste las siguientes preguntas:

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea con atención cada problema y resuélvalo en su cuaderno. 2. Un médico aplicó 253 vacunas a los habitantes de una población; 384 en otra, y cierto número en una tercera. De las 1 000 vacunas que tenía, ahora le quedan 88. ¿Cuántas vacunas aplicó en total y cuántas en la tercera población que visitó?

c) ¿  Cuántos centímetros más de estatura debería tener Carlos para llegar a 203 cm?

3. Si usted tiene una moneda de 50 centavos, diga cómo se puede completar un peso usando monedas de cinco centavos, diez centavos, veinte centavos y cincuenta centavos. Escriba en su cuaderno todas las posibilidades.

d) ¿  De cuántos gramos es la diferencia entre el menor peso de la mujer y el mayor peso del hombre?

Revise sus respuestas y compruebe sus operaciones.

a) S  i Emma aumentara 500 gramos más, ¿cuántos gramos pesaría? b) C  on ese nuevo peso, ¿cuántos gramos le faltarían para igualar el peso de Alejandra?

e) S  i la estatura de Sergio fuera 25 cm menor que la actual, ¿de cuántos centímetros sería?

Ve­ri­fi­que sus res­pues­tas y si en­cuen­tra algún error, co­rrí­ja­lo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 27

24/11/11 11:03

Unidad 1 • Cuerpo humano

28

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Realice en su cuaderno lo que se indica en cada caso. 4. Complete las siguientes operaciones anotando en cada cuadro las cifras que faltan.



❏

4 – 1 2



2 – 1

❏

8 7

5

❏ 7

❏

3

❏

2 9

1

7 9

❏

5. Lea cada problema, analícelo y luego resuélvalo en su cuaderno. a) L a señora Magdalena recibe de sus hijos la cantidad de $1 200.00, con la que deberá pagar $40.00 de luz, $80.00 de teléfono, $130.00 de impuesto predial y $40.00 de gas. ¿Cuánto le sobra para alimentos?

ISLANDIA

GROENLANDIA

ALASKA

b) L a diferencia entre la extensión territorial de Canadá y México es de 8 012 409 km2. Si la extensión de Canadá es de 9 970 610 km2, ¿cuál es la de México?

CANADÁ

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

Com­pa­re sus res­pues­tas con las de la clave. Si se equi­vo­có en algo, co­rrí­ja­lo.

BERMUDA

BAHAMAS MÉXICO CUBA JAMAICA BELICE GUATEMALA EL SALVADOR

REPÚBLICA DOMINICANA HAITÍ

PUERTO RICO

HONDURAS NICARAGUA

COSTA RICA

VENEZUELA PANAMÁ

COLOMBIA BRASIL

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 28

15/11/11 13:26

Hacer y des­h a­c er Ahora usted va a agru­par, re­par­tir o dis­tri­buir para so­lu­cio­nar al­gu­nos pro­ble­mas. Al ha­cer­lo de­be­rá uti­li­zar dos ope­ra­cio­nes in­ver­sas.

¿Sabía usted que la frecuencia cardiaca (los latidos del corazón) se puede medir tomando el pulso? ¿Sabía que esta frecuencia cardiaca, también conocida como pulso cardiaco, es de 60 a 80 pulsaciones por minuto cuando estamos en reposo? ¿Le han dicho que si la frecuencia es de más de 80, se sabe que hay taquicardia? ¿Y que si es inferior a 60, se dice que hay bradicardia? En los dos últimos casos es necesario acudir al médico.

RECUERDE Las ope­ra­cio­nes numéricas i­ción, prin­ci­pa­les son la suma o ad la resta o sus­trac­ción, ión. la mul­ti­pli­ca­ción y la di­vi­s

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 29

Lea el si­guien­te texto, en el que verá la apli­ca­ción de dos ope­ra­cio­nes arit­mé­ti­cas.

Mul­ti­pli­ca­ción y di­vi­sión de nú­me­ros na­tu­ra­les La respiración es el conjunto de movimientos mediante los cuales entra y sale aire del aparato respiratorio, lo cual permite al organismo oxigenarse. El número de respiraciones por minuto (frecuencia respiratoria) es de, aproximadamente, 18 veces en un adulto. ¿Cómo podría usted obtener el número de respiraciones que se hace en dos horas? Una forma es sentarse tranquilamente las dos horas a contar el número de veces que respiró. Pero, ¿sería sensato y práctico que usted dedicara tanto tiempo a esa actividad? Una forma más sencilla, que le ahorra tiempo y esfuerzo, es realizar una multiplicación.

24/11/11 11:03

Unidad 1 • Cuerpo humano

30

Si una hora tiene 60 minutos, dos horas equivalen a 120 minutos. Por lo tanto, usted tendría que multiplicar los 120 minutos por el número de respiraciones por minuto, que son 18. Esto es, 120 x 18. Para resolver esta multiplicación, se colocan los números en forma de columna, de manera que las unidades queden abajo de las unidades, las decenas abajo de las decenas, etcétera. 120 x 18 Luego se hace lo siguiente: Primero. Se multiplica 8 x 0. Como el resultado es cero, se escribe el cero.

120 x 18 0

Segundo. Se multiplica 8 x 2 = 16. El 6 del 16 se escribe en el lugar de las decenas, y el 1 se sumará al producto que resulte de multiplicar 8 por el siguiente número.

120 x 18 60

Tercero. Luego se multiplica 8 x 1 = 8, pero, como vimos en el paso anterior, a ese 8 hay que sumarle el 1 que llevábamos (8 + 1), y el resultado, que es 9, se anota en el lugar de las centenas.

120 x 18 960

Cuarto. Después, con el 1 que representa las decenas en el número 18 hacemos lo mismo que en los pasos anteriores, pero con la diferencia siguiente: el resultado de multiplicar 1 por el cero, o sea 0, se coloca en el espacio más a la izquierda, de modo que ese cero quede abajo, como en este caso, del 6; y es que ahora el 1 que representa las decenas del número 18 ocupa el lugar de las decenas. Y así se continúa: 1 x 2 y luego 1 x 1.

120 x 18 960 0

120 x 18 960 20

Quinto. Por último, para obtener el producto final sumamos los productos parciales: Lo que da 2 160 como resultado definitivo.

120 x 18 960 120 2160



Los elementos que forman una multiplicación son:

120 x 18 960 120 2160

Factor Factor Producto parcial Producto parcial Producto final

Dentro de la multiplicación se encuentran dos casos especiales, que son: • Todo número natural multiplicado por cero siempre da como resultado cero. Ejemplos: 12 x 0 = 0

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 30

120 x 18 960 120

14 975 x 0 = 0

15/11/11 13:26

Sesión 5 • Hacer y deshacer

31

•T  odo número natural multiplicado por 1 siempre da como resultado el mismo número. Ejemplos: 210 x 1 = 210

1 17 2 550 8

1x2=2 Tercero. Se baja la siguiente cifra

Ahora bien, ¿podría usted decir qué tiempo ha transcurrido si una persona ha respirado 2 550 veces, con un promedio de 17 respiraciones por minuto? Antes que nada, debemos tener claro que si multiplicamos el número de respiraciones por minuto, por el tiempo que ha transcurrido, se obtiene el número total de respiraciones; es decir, 17 x tiempo transcurrido = 2 550. Para encontrar el tiempo transcurrido, es necesario dividir 2 550 entre 17, es decir: 17 2 550 Primero. Se consideran las dos primeras cifras del número que se quiere dividir, en este caso, consideramos el 25 ya que se puede dividir entre 17. Luego se busca un número que multiplicado por 17 sea igual o menor a 25. En este caso este número es 1, ya que 17 x 2 = 34 que es mayor que 25. Escribimos el 1 arriba del 5, como se muestra a continuación: 1 17 2 550 Segundo. Se multiplica 17 por el número encontrado (17 x 1 = 17) y se escribe la diferencia que hay entre el resultado de la multiplicación y el número que se busca alcanzar, en este caso 25. Esto es, 25 - 17 = 8, el 8 se escribe abajo del 5 de 25.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 31

1 17 2 550 85 Se obtiene así el número 85 y se busca ahora un número que multiplicado por 17 sea igual o menor a 85. En este caso es 5, porque 17 x 5 = 85, y escribimos este número arriba de 5 como se muestra a continuación: 15 17 2 550 85 Cuarto. Nuevamente debemos encontrar la diferencia entre el resultado de multiplicar por 17 el número encontrado (17 x 5) y el número 85; en este caso 0, porque 85 - 85 = 0 15 17 2 550 85 0 Quinto. Se baja la siguiente cifra de la derecha formando 00 y se busca un número que multiplicado por 17 sea igual a 0. Como cero multiplicado por cualquier número es cero, se tiene 17 x 0 = 0. Se escribe entonces el cero arriba del cero como se muestra en seguida. 150 17 2 550 85 00

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

32

En la división podemos distinguir los siguientes elementos: Dividendo: el número que se va a dividir. Divisor: el número de veces que se divide el dividendo. Cociente: el resultado de la división. Residuo: el sobrante. 1 50 cociente 17 2 550 dividendo 85 0 0 0 residuo De acuerdo con lo anterior, el tiempo transcurrido es de 150 minutos, que equivale a 2 horas con 30 minutos. divisor

Para comprobar si es correcto el resultado de una división, se multiplica el cociente por el divisor (150 x 17). 150 x 17 1050 150 2550 Y al producto que resulte se le suma el residuo. El resultado debe ser igual al dividendo, o sea 2 550. (50 x 17) + 0 = 2 550 cociente divisor

dividendo residuo

EL RITMO CARDÍACO

a) ¿  Qué operación necesita realizar para contestar la pregunta?

El corazón bombea sangre al organismo con una frecuencia de 60 a 80 veces por minuto; este mecanismo da origen a lo que los médicos llaman pulso cardiaco. Éste puede sentirse en las arterias cercanas a la superficie del cuerpo; por ejemplo, en la muñeca de la mano, en el cuello a la altura de la garganta, etcétera. En cada pulsación el corazón bombea alrededor de 70 ml de sangre. Con la información anterior conteste en su cuaderno.

b) ¿  De qué otra forma puede representar la operación anterior?

1. Si una persona tiene un pulso cardiaco de 70 pulsaciones por minuto, diga qué cantidad de sangre bombea su corazón en ese tiempo.

c) ¿  Qué resultado obtuvo de la operación anterior? d) ¿  Cuántos mililitros le faltan para completar 5 litros de sangre? (Recuerde que 1 litro equivale a 1 000 ml.) 2. Laurentino salió a correr y su pulso cardiaco aumentó. Si su corazón bombeó 8 050 ml en un minuto, ¿cuántas pulsaciones tuvo? a) ¿  Qué operación realizará para contestar la pregunta? b) ¿  De cuánto era el pulso de Laurentino inmediatamente después de correr?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 32

15/11/11 13:26

Sesión 5 • Hacer y deshacer

33

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Analice los siguientes problemas y luego resuélvalos en su cuaderno. Trinidad tuvo la necesidad de viajar al extranjero, por lo tanto cambió su dinero a dólares, cuando un dólar costaba siete pesos. 3. Si tenía 10 535 pesos, ¿cuántos dólares compró? 4. El boleto de avión le costó 400 dólares, y el impuesto que pagó por uso de aeropuerto fue de del costo del boleto. ¿Cuánto pagó de impuesto? Dé el resultado en dólares y en pesos. 5. Si durante el viaje durmió 40 minutos y este tiempo representa la sexta parte del tiempo de vuelo, ¿cuánto duró su viaje? Dé el resultado en minutos y en horas. Recuerde que 1 hora tiene 60 minutos.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 6. Realice en su cuaderno las siguientes operaciones. a)

50 840 x 17

b)



70 046 x 502

c)

8 994 x 76

d)

7 630

e)

14 1 106

f) 23 2 346

Com­pa­re sus resultados con los que aparecen al final de la guía. Si encuentra algún error revise sus procedimientos y co­rrí­ja­los.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 33

15/11/11 13:26

¿Qué tan gran­d e eres? Exis­ten mu­chas cosas que pue­den ser me­di­das, como las lon­gi­tu­des, las su­per­fi­cies, el tiem­po o al­gu­nas par­tes de nues­tro cuer­po. En esta se­sión le mos­tra­re­mos cómo se usa el metro y al­gu­nas me­di­das ma­yo­res (múl­ti­plos) o me­no­res (sub­múl­ti­plos). Tam­bién apren­de­rá a ma­ne­jar al­gu­nas uni­da­des de tiem­po. ¿Sabía usted que la pulgada mide 2.54 cm y es una medida que se obtuvo a partir del dedo pulgar?

Lea el si­guien­te texto y aprenderá a manejar las unidades de longitud y tiempo.

Unidades de longitud y tiempo

RECUERDE

te n e m a id p á r r a c li ip lt u m Para un número cualquie0r,a sólo por 10, 100 o 1 00, dos o tres se le aumenta unomente ceros respectiva se va a la cantidad que mplos: a multiplicar. E-je 487 000 2 487 x 1 000-- 2 700 527 x 100 - 52 SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 34

La unidad principal para medir longitudes es el metro (m). Pero existen distancias tan grandes que esta unidad resulta poco práctica, por lo que se establecieron los múltiplos del metro, que son: el decámetro (dam) que está formado por 10 m, o bien, 1 dam = 10 m; el hectómetro (hm) que equivale a 100 m, es decir, 1 hm = 100 m; y el kilómetro (km), que consta de 1 000 m, esto es 1 km = 1 000 m. También existen distancias demasiado pequeñas para las cuales el metro resulta una unidad poco exacta. Por ello fue dividido en submúltiplos, los cuales se presentan en la siguiente página:

15/11/11 13:26

Sesión 6 • ¿Qué tan grande eres?

35

El decímetro (dm), es la décima parte del metro, esto es 1 dm = m = 0.1 m; el centímetro (cm), corresponde a la centésima parte del metro, o bien 1 cm = m = 0.01 m, y el milímetro (mm), representa la milésima parte del metro, es decir 1 mm = m = 0.001 m. Con lo anterior resulta que 1 decímetro es igual a 10 centímetros y 100 centímetros es igual a 1 metro. Hay ocasiones en que es necesario sumar longitudes dadas en kilómetros con otras dadas en metros. Por ejemplo, supongamos que se desea conocer la distancia que hay del pueblo de San José al rancho La Esmeralda, y que para eso es necesario pasar por el puente de Santa Cruz. Si la distancia del pueblo de San José al puente es de 12 km, y del rancho al puente de 2 500 m, ¿sería posible sumar directamente ambas distancias? ¿Usted qué haría para sumarlas? Lo conveniente es convertir la cantidad de kilómetros en metros, o bien el número de metros en kilómetros. Recuerde que 1 km = 1 000 m. Primera opción: Si usted se decide por ésta, el procedimiento es el siguiente: De San José al puente son 12 km; si un kilómetro es igual a 1 000 m, entonces 12 km serán: 12 x 1 000 m = 12 000 m. Ahora podemos sumar las dos distancias, expresadas ya en metros.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 35

Y obtendremos la distancia de San José al rancho expresada en metros: 12 000 m + 2 500 m = 14 500 m Segunda opción: Si eligió este camino usted tendrá que hacer las siguientes operaciones: De La Esmeralda al puente son 2 500 m. Como un metro es la milésima parte del kilómetro, entonces para convertir 2 500 m en kilómetros debe dividirse 2 500 entre 1 000, lo que da como resultado 2.5 km. Así, la distancia buscada es: 12 km + 2.5 km = 14.5 km. En conclusión, se puede decir: •P  ara convertir longitudes de unidades mayores a unidades menores se multiplica el número por 10, 100 o 1 000, según corresponda a la unidad equivalente. • Para convertir unidades menores a unidades mayores se realiza la operación inversa, esto es, se divide entre 10, 100 o 1 000, según corresponda al valor equivalente. Unidades de tiempo El tiempo también es una magnitud; es decir, puede medirse y, por lo tanto, también existen unidades de medida para el tiempo, basadas en los movimientos de rotación y traslación de la Tierra. El movimiento de rotación produce el día y la noche, que ha sido la forma más antigua de medir el tiempo. Se considera que la duración de un día es de 24 horas. El movimiento de traslación origina los años y tiene una duración de 365 días, 6 horas, 9 minutos y 10 segundos, más o menos.

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

Sesión 6 • ¿Qué tan grande eres?

36

Sin embargo, para el año civil se fijan como norma 365 días, lo que origina una diferencia de 6 horas con respecto a la duración total del movimiento de traslación; por ello, cada cuatro años se aumenta un día en el mes de febrero (pasa de 28 a 29 días), y a ese año de 366 días se le conoce como año bisiesto. La unidad fundamental de medida para el tiempo es el segundo. A partir de él se pueden hacer las siguientes equivalencias: 60 segundos (s) completan un minuto (min); es decir, 60 s = 1 min; 60 minutos completan una hora (h); esto es, 60 min = 1 h; 24 horas completan un día. Aunque no todos los meses tienen la misma cantidad de días, en gran parte del mundo se acepta tomar 30 días como la duración de un mes. Un año = 365 días; un año bisiesto = 366 días. (El año bisiesto se presenta cada cuatro años. Se trata de un año que, al dividirlo entre 4, da como residuo 0. Por ejemplo: 1964; 64 ÷ 4 = 16, con residuo igual a 0.), ¿Cuál será el próximo año bisiesto? El 19 de marzo los trabajadores del rancho La Esmeralda se van a la fiesta del pueblo de San José, en peregrinación. Lo que tardan en llegar al puente son 75 minutos, y del puente al pueblo se hacen 6 horas y media.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 36

¿Cuánto tiempo tardarán en llegar? ¿De qué forma se le ocurre a usted calcular el tiempo total? Es conveniente convertir el número de horas a minutos, o bien, el número de minutos a horas. Primera opción: de horas a minutos Recuerde que 1 hora tiene 60 minutos; esto es, 1 h = 60 min. Para llegar a San José desde el puente de Santa Cruz se ocupan 6 horas y media; es decir, 6 horas con 30 minutos. Entonces, 6 debe multiplicarse por 60, lo que da como resultado 360 minutos. Si a esto le sumamos los 30 minutos, o sea la media hora, nos dará un total de 390 minutos. De esta forma, el tiempo total que tardarán en llegar desde el rancho al pueblo será de 465 min, porque 75 min + 390 min = 465 min. Segunda opción: de minutos a horas Para ir del rancho la Esmeralda hasta el puente se requieren 75 minutos, lo que equivale a 1 hora más 15 minutos, o sea 1 hora y cuarto. Esto, sumado a las 6 horas y media, da como resultado 7 horas y tres cuartos; es decir, 7 horas con 45 minutos. Usted puede optar por cualquiera de estas dos respuestas. Verifique que, en efecto, los resultados son equivalentes.

15/11/11 13:26

Sesión 6 • ¿Qué tan grande eres?

37

LAS TALLAS DE ROPA Analice la siguiente información y después conteste en su cuaderno lo que se pide. Martha fue a comprarse ropa; cuando vio en el aparador el pantalón que tanto le había gustado a su esposo decidió que se lo daría de regalo. Al llegar al mostrador no supo qué talla quería. Le dijeron que la talla era de acuerdo con lo que su esposo midiera de cintura. Entonces dijo que sería aproximadamente talla 80. La señorita que la atendía le informó que no existía dicha talla, y le comentó que tal vez ella se refería a la talla 32. 1. ¿Sabe usted en qué unidades se miden las tallas de un pantalón? La señorita que atendió a Martha le indicó que las tallas se toman en pulgadas, y trajo una cinta métrica para buscar la equivalencia de los 80 cm. Tome usted una cinta métrica y anote, en pulgadas, la talla que Martha debe comprar para su esposo. 2. Ahora, con la misma cinta tome, en pulgadas, las siguientes medidas en un hombre y compruebe si corresponde a la talla que usa. Cuello: _______



Cintura: _______

Pie: _______

Convierta las medidas anteriores a centímetros (1 pulgada equivale a 2.54 cm). Observe que la cinta métrica está graduada por un lado, en centímetros, y por el otro, en pulgadas. Ahora compruebe en ella que los centímetros obtenidos en las operaciones se corresponden con las pulgadas que midió. Como puede observar, la medida de su calzado está dada en _______. Y la de la camisa y el pantalón está dada en ______. 3. A continuación anote su edad y la de su pareja. Su edad es: _____años,_____meses,____días. Y la de su pareja es: ____años, ____meses, ____días. a) Diga cuántos días ha vivido usted. b) ¿Cuántos  días ha vivido su pareja? ¿Tomó en cuenta los años bisiestos? ¿No? Pues sume los días que no incluyó.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 37

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

38 ¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? APLIQUEMOS LO APRENDIDO Conteste lo que se pide, de acuerdo con la información presentada. 4. Anote sus datos y los de su pareja donde corresponda.

HOMBRE



Estatura: _____m, o _____cm MUJER Estatura: _____m, o _____cm a) ¿Cuántos centímetros mide usted?

Realice las siguientes actividades: 6. En una escuela se llevaron a cabo unas miniolimpíadas y se mejoraron las marcas en salto de longitud, carreras y marcha, que se lograron en las miniolimpiadas anteriores. De las nuevas marcas obtenidas, ¿podría efectuar las siguientes equivalencias? ¡Inténtelo! SALTO DE LONGITUD

3.7 m =___ cm

b) ¿Y su pareja?

392 cm =____ cm

c) ¿Quién es más alto?

CARRERAS

100 m =____ mm 25 000 m =____ km

MARCHA

10 km =____ m 150 dam =____ km

d) ¿  De cuántos centímetros es la diferencia? Talla Talla Camisa ______­­­__ Blusa ______­­­__ Pantalón ______­­­_ Falda ______­­­__

b) L a pista en la que Laura corrió mide 250 m. ¿Cuántas vueltas dio? ¿Cuál fue el tiempo aproximado en minutos que tardó en cada vuelta?

e) ¿  Quién es de complexión más gruesa? 5. Roberto distribuye las horas de un día de la siguiente forma: Otras actividades 1

6

7. El ancho de un tablero de basquetbol es de 1.20 m ¿A cuántos decímetros equivale?

Dormir 1

3 Trabajar

a) L aura corrió, por la mañana, 5 km en una hora. ¿Cuántos metros corrió? ¿En cuántos segundos?

1

2 Considerando que el día tiene 24 horas:

8. En el futbol americano se juegan cuatro tiempos de 15 minutos cada uno. ¿A cuántas horas de juego equivale un partido?

Compare sus resultados con los de la clave. Corrija si es necesario.

a) ¿Cuántas horas emplea para dormir? b) ¿Cuántas horas invierte en trabajar? c) ¿  De cuántas horas dispone para otras actividades?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 38

Observe el programa de televisión que le ayudará a conocer otras aplicaciones del metro, y de sus múltiplos y submúltiplos.

15/11/11 13:26

Mi me­d i­d a En esta oca­sión usted rea­li­za­rá al­gu­nas me­di­cio­nes y di­vi­di­rá a la uni­dad de me­di­da en par­tes igua­les, para lo­grar mayor pre­ci­sión.

¿Sabe usted calcular la fecha probable de un parto? Para hacerlo se toma como base la fecha en que comenzó la última menstruación, y a esta fecha se le suman siete días, y luego se resta tres al número del mes que corresponde a esa fecha. Ejemplo: si la fecha de la última menstruación es 14 de agosto de 2008, entonces hacemos la siguiente operación: 14 + 7 = 21. Como agosto es el mes número ocho, entonces le restamos tres; o sea 8 – 3 = 5. Así que el parto será el quinto mes; es decir, aproximadamente el 21 de mayo de 2009.

RECUERDE

No es lo mismo decir “6 entre 3” que “3 entre 6”.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 39

Lea el siguiente texto, donde descubrirá la necesidad de utilizar fracciones.

La medición y las fracciones El peso de una persona está distribuido de la siguiente forma: La cabeza pesa (siete centésimos) del peso total del cuerpo. El tronco pesa , los brazos y las piernas . Esto quiere decir, por ejemplo, que si nosotros pudiéramos dividir nuestro cuerpo en cien partes iguales (fracciones), sólo siete partes corresponderían al peso de la cabeza. De esta manera, si sumamos todas las partes del cuerpo ( + + + ) tenemos como resultado . Esto quiere decir que con todas las partes juntas formamos nuevamente el cuerpo completo.

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

Sesión 7 • Mi medida

40 También podemos establecer una relación entre las medidas del cuerpo. Por ejemplo: Podemos usar nuestra cuarta para medir la longitud de un brazo. La cuarta es la medida que, con la mano abierta, hay desde la punta del pulgar hasta la punta del dedo meñique. Si una persona mide su brazo con su cuarta, encontrará que en él caben aproximadamente tres cuartas y un poco más. Lo anterior se puede representar en la fotografía siguiente:

Analice la siguiente situación: La sangre existente en el cuerpo humano representa del peso de una persona. Si se quiere saber cuál es el peso de la sangre de una persona que pesa 75 kg, se tendrá que dividir 75 kg entre 25, y el resultado hay que multiplicarlo por 2 (75 ÷ 25 = 3, 3 x 2 = 6). El peso de la sangre de esta persona es de 6 kg. En la siguiente ilustración se puede ver gráficamente esta situación. 1 1 1 1

25

1

25

1

1

25

25

1

25

25

1

25

25

1

25

25

1

1

25 1

25 1 25

1

25 1

25

Observe que el segmento que representa la cuarta cabe tres veces y la mitad de otra en el segmento que representa la longitud del brazo. Por lo tanto se puede afirmar que el brazo mide 3 cuartas. Si cada cuarta se puede expresar como (dos medios) de cuarta, entonces también se puede escribir la longitud del brazo como (siete medios). A las expresiones como , , etcétera, se les conoce con el nombre de fracciones. Al número ubicado sobre la línea se le llama numerador, y al que aparece abajo de la línea se le llama denominador.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 40

1

25

1

25

1

25

25

1 1

25

1

1

25

25

1

25

25

1

25

En el esquema, el peso total de la persona está representado por el círculo completo, y el peso de la sangre corresponde a las fracciones sombreadas. De esta forma, los 75 kg están repartidos equitativamente entre las 25 partes iguales (75 ÷ 25 = 3 kg), lo cual indica que a cada fracción le corresponde un peso de 3 kg. Como la sangre está representada por dos de las 25 partes, entonces se multiplica el peso de cada fracción por dos (3 kg x 2 = 6 kg), de donde se obtiene el peso de la sangre en la persona de nuestro ejemplo.

15/11/11 13:26

Sesión 7 • Mi medida

41 EL AIRE Lea la siguiente información y conteste en su cuaderno las cuestiones que se le plantean.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

El volumen de aire que respira normalmente un adulto, en un minuto, es de ocho litros.

Resuelva los siguientes problemas en su cuaderno: 4. Juan tenía 285 pesos. Al realizar varias compras, ha gastado de esa cantidad. ¿Cuánto ha gastado?

Calcule el volumen de aire que se respira en: a) 2 minutos.

b)

minuto.

c) 3 minutos.

d)

minuto.

e)

f ) 2

minuto.

minutos.

Revise cuidadosamente sus cálculos. Si encuentra algún error, corríjalo.

5. Un empleado tiene la oportunidad de aumentar en su sueldo quincenal, que actualmente es de $1 200.00, si logra ascender a jefe de sección.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO a) C  alcule de cuánto sería el aumento de sueldo para el empleado al lograr el ascenso.

Resuelva los siguientes problemas. 1. Una persona pesa 80 kg y partes corresponden al peso de sus piernas. ¿Cuál es el peso en kilogramos que corresponde a sus piernas?

b) C  alcule cuál sería su nuevo salario.

2. Si la cabeza representa del peso total de una persona, ¿cuál será el peso correspondiente a la cabeza de una persona cuyo peso es de 100 kg?

Compare sus respuestas con las de la clave. Si se equivocó en alguna, corríjala.

3. Un atleta corre diariamente 12 km como parte de su preparación. Ayer sólo corrió 4 000 m. Exprese con una fracción la parte que representan los metros recorridos con respecto a los metros que acostumbra correr diariamente.

Observe el programa de televisión para reforzar sus conocimientos en el tema de las fracciones y su aplicación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 41

15/11/11 13:26

Ana­t o­m ía de un nú­m e­r o Los lí­pi­dos son fun­da­men­ta­les para el buen de­sa­rro­llo de nues­tro cuer­po y son co­no­ci­dos co­mún­men­te como gra­sas y acei­tes. En esta se­sión podrá usted co­no­cer la can­ti­dad exac­ta de gra­sas que con­tie­nen al­gu­nos ali­men­tos. Mu­chas de las can­ti­da­des están es­cri­tas con los lla­ma­dos nú­me­ros de­ci­ma­les.

¿Qué sabe usted acerca de cómo el organismo asimila los lípidos y qué cantidad de éstos necesita?

Enseguida se presenta un texto informativo que involucra la lectura y escritura de números decimales.

Lectura y escritura de números decimales

RECUERDE Nuestro sistema mal de numeración es deci porque se basa en agrupamientos de diez elementos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 42

Los cambios físicos que se dan en las personas de uno y otro sexo se manifiestan en la pubertad, esto es, entre los 9 y 15 años para las mujeres, y entre los 10 y 16 años en los hombres. En las mujeres se desarrolla el busto y se ensanchan las caderas y muslos debido a la acumulación de grasa en estas zonas del cuerpo. En los hombres se ensancha el tórax y se desarrollan los músculos en general. La alimentación en esta etapa es fundamental para un buen desarrollo, ésta debe ser variada, en la que se incluyan alimentos de origen vegetal y animal.

15/11/11 13:26

Sesión 8 • Anatomía de un número

43

La siguiente tabla muestra la cantidad de grasa que contienen algunos alimentos: SUSTANCIAS NUTRITIVAS POR CADA 100 g DE ALIMENTO ALIMENTO Huevo de gallina

gramos DE GRASAS 11.5

Leche de vaca

3

Carne de res

7.5

Carne de pollo

4.5

Col

0.8

Lechuga

0.3

Avena

5.9

Frijol

2

Ejotes

0.2

Lentejas

1.5

Espinacas

0.3

Jugo de limón

0.6

Cacahuates

46.1

Chocolate

30

Fuente: Ciencias Naturales Sexto Grado, SEP, México, 1994.

¿Podría usted decir qué tipo de número es el que representa la cantidad de grasa que contiene el huevo? ¿Cómo lo lee? A este número se le llama número decimal, porque está formado por una parte entera (que puede ser cero) y otra fraccionaria. Las dos partes están separadas por un punto llamado punto decimal.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 43

Sabe usted cuál es la parte entera y cuál la parte decimal en el número que representa la cantidad de grasa que contiene el huevo? ¡Así es! El 11 representa a la parte entera y el 5 a la parte decimal. Para leer este número se efectúan los siguientes pasos: Primero. Se menciona la parte entera; en el ejemplo solicitado es 11 enteros. Segundo. Se lee la parte decimal como si fueran enteros, pero dando al final el nombre del lugar que ocupa la última cifra significativa. A las que ocupan el primer lugar se les llaman décimos, a las del segundo lugar se les llaman centésimos y a las del tercer lugar le corresponden los milésimos. Así, si recurrimos al mismo ejemplo de la grasa que contiene el huevo, se dirá: once enteros, cinco décimos. Esto se observa con mayor claridad en el siguiente cuadro.

Enteros Punto decimal

Parte decimal Décimos Centésimos Milésimos

11

.

5

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

Sesión 8 • Anatomía de un número

44

Pero, como en el número anterior se expresa la cantidad de gramos de grasa que contiene el huevo, entonces los gramos (es decir, la unidad de medida utilizada) corresponden a la parte entera. Los décimos corresponden a los decigramos (décima parte de un gramo). Por lo que el número se lee: 11 gramos, 5 decigramos Observe otros ejemplos: 0.527 se lee: cero enteros, quinientos veintisiete milésimos. 1.18 se lee: un entero, dieciocho centésimos. Ahora bien, usted sabe que los números decimales se utilizan con mucha frecuencia y que en ocasiones tienen bastantes cifras a la derecha del punto decimal (parte fraccionaria). Entonces, para manejar los decimales de manera más práctica y fácil, se recurre al redondeo y al truncamiento. Ambos son procedimientos que permiten encontrar una aproximación de cantidades decimales.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 44

Redondeo de decimales Se busca el dígito a la derecha del número que se quiere redondear, y: •S  i el dígito es menor que 5, no cambiará. Ejemplo: Redondear a milésimos el número 2.85432. El dígito ubicado a la derecha de 4 (milésimos) es 3 (menor que 5), entonces el 4 que está en el lugar que se quiere redondear no cambia, y el número redondeado es: 2.854 •S  i el dígito es mayor o igual que 5, se suma 1 al dígito ubicado en el lugar que quiere redondear. Ejemplo: Redondear a centésimos el número 4.2853. El dígito situado a la derecha de los centésimos es 5; entonces, al 8 ubicado en el lugar que se quiere redondear, se le suma 1. El número redondeado es: 4.29

15/11/11 13:26

Sesión 8 • Anatomía de un número

45

Truncamiento de decimales Para truncar a milésimos el número 9.27477, se localiza el dígito situado en la parte decimal hasta donde se desea truncar, y se eliminan todos los dígitos ubicados a su derecha. Como el dígito situado en el lugar de los milésimos es el 4, el número truncado queda: 9.274 La parte entera de los números decimales no se debe truncar. En cambio si puede redondearse. Por ejemplo: Si se requiere resolver mentalmente 39.6 + 70.2, podemos redondear el 39.6 a 40, y 70.2 a 70. Entonces: 40 + 70 = 110. El resultado 109.8 es el exacto. Por otra parte, si utilizamos el truncamiento en la parte entera, 39.6 se convertirá en 3, y 70.2 en 7, que sumados nos dará: 3 + 7 = 10, lo cual no se aproxima nada al resultado real (109.8). Por ello no se deben truncar la parte entera de los números decimales.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 45

LOS ALIMENTOS Realice las siguientes actividades en su cuaderno. 1. Las siguientes cifras representan el contenido de vitaminas de un alimento al que se le hizo un análisis químico. Redondee la cifra que se encuentra subrayada y escriba con letra el resultado. Vitamina A: 5.803 g Vitamina B: 0.254 g Vitamina C: 9.0459 g 2. Del cuadro de sustancias nutritivas que apareció al inicio de la sesión, redondee a enteros el número que representa la cantidad de grasa contenida en la avena. También trunque a enteros el número que representa la cantidad de grasa en los cacahuates. a) S  i consumiera 100 g de avena y 100 g de cacahuates, ¿qué cantidad de grasas habrá consumido? Utilice los números obtenidos en el punto anterior. 3. Ahora redondee a enteros la cantidad de grasa de la col y del limón y, utilizando dichos números, diga la cantidad de grasa que tendría una ensalada preparada con 200 g de cada uno.

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

46

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Redondee los siguientes números.

Realice las siguientes actividades en su cuaderno. 4. Sobre cada línea, coloque la cifra o cifras que correspondan con la posición indicada en cada caso.

6. Hasta décimos: a) 0.666

b) 0.89

c) 0.0577

7. Hasta centésimos: a) 1.007

b) 5.168

c) 8.003

Observe el ejemplo: a) Trece centésimos. _____ __0__ . 1 3

Trunque los números que se presentan enseguida: _____ 8. Hasta milésimos:

b) Cinco centésimos. _____ _____ . _____ _____ _____ c) Seis milésimos. _____ _____ . _____ _____ _____

a) 3.14159

b) 0.8432

c) 15.1007

9. Hasta décimos: a) 0.958

b) 9.141

c) 7.65

d) Ocho unidades simples. _____ _____ . _____ _____ _____ e) Dos centésimos. _____ _____ . _____ _____ _____

Compare sus resultados con los que aparecen en la clave. Si encuentra algún error revise sus procedimientos y corríjalos.

f) Un entero veinte milésimos. _____ _____ . _____ _____ _____ 5. Escriba con letra los siguientes números (tomando en cuenta la unidad utilizada en cada caso). a) 0.18 kg de ajo b) 0.123 m de cordón c) $23.50 d) 258.25 l

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 46

15/11/11 13:26

Juegos y pasatiempos En esta se­sión se le pre­sen­tan al­gu­nos jue­gos y pa­sa­tiem­pos muy in­te­re­san­tes. Con ellos podrá darse cuen­ta de que con la ma­te­má­ti­ca puede pasar un buen rato, ya sea ju­gan­do o sor­pren­dién­do­se con ella.

Resuelva los ejercicios siguientes, pero recuerde que, para aumentar las posibilidades de éxito, es importante leer detenidamente las instrucciones y buscar diferentes opciones de solución.

1. Encuentre en la cuadrícula numérica los números que se indican a continuación (pueden aparecer en posición vertical, horizontal y diagonal, y pueden leerse de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 5 1 0 6 7 0 0 1

3 4 5 6 7 8 9 0

4 0 4 3 0 2

9 6 9 2 6 7

8 7 6 8 1 1 1 6 0 1 1 2 0 5 0 5 4 3 1 1 1 4 7 4 3 2 9 6

5 8 0 3 4

0 2 2

1 4 3

4 4 0 1 0 8 6 5 8

5 5 5 4 6 7

4 5 6 7 8 9



SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 47

a) Ocho mil cincuenta y cinco. b) Cinco mil noventa y uno. c) Mil ciento cuarenta y siete. d) Ocho mil uno. e) Seis mil cincuenta. f) Novecientos sesenta y cinco mil ochocientos setenta y nueve. g) Cincuenta y ocho mil treinta y cuatro. h) Dos mil ciento doce. i) Noventa y ocho mil setecientos sesenta y siete. j) Dieciocho mil ciento cuarenta y tres.

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

Sesión 9 • Juegos y pasatiempos

48 2. Ob­ser­ve esta cu­rio­si­dad: Multiplique su edad por treinta y siete, el resultado por noventa y uno, y nuevamente este otro resultado, por tres. Anote el resultado ______________.

=

3. Termine de colocar los números naturales faltantes entre el 1 y el 9 en el siguiente cuadriculado, de tal manera que la suma de los renglones, columnas y diagonales sea 15.

15

Ahora haga lo mismo con las edades de otras personas. ¿Se cumple siempre lo mismo, o sea, que el resultado final está formado con las cifras de la edad?

= 15

9

= 15 8

6

= 15

= 15

= 15 = 15

4. En­cuen­tre el peso per­di­do del si­guien­te pro­ble­ma: Tres estudiantes van a comer a un restaurante y les cobran $30.00 en total, por lo que cada uno da $10.00. Más tarde, el cajero se da cuenta de que debió cobrarles sólo $25.00, por lo que pide al mesero que les devuelva $5.00. Pero el mesero decide regresarles sólo $3.00 y quedarse con $2.00. Así pues, cada estudiante pagó $9.00 por su consumo. Si esto es verdad, 9 x 3 = 27. Más los $2.00 con los que se quedó el mesero, son $29.00. Pero la cuenta original era de $30.00. ¿Dónde quedó el peso faltante?

Compare sus respuestas con las que aparecen en la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 48

15/11/11 13:26

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • Lec­tu­ra y es­cri­tu­ra de nú­me­ros na­tu­ra­les. • Orden y com­pa­ra­ción de nú­me­ros na­tu­ra­les. • Cál­cu­lo men­tal y es­ti­ma­ción de re­sul­ta­dos. • Suma y resta de nú­me­ros na­tu­ra­les. • Mul­ti­pli­ca­ción y di­vi­sión de nú­me­ros na­tu­ra­les. • Uni­da­des de lon­gi­tud y tiem­po. • Las frac­cio­nes en la me­di­ción. • Lec­tu­ra y es­cri­tu­ra de nú­me­ros de­ci­ma­les. Con base en la anterior lista de temas, realice las siguientes actividades:

— ¿Recuerda el contenido de todos estos temas? —¿  En cuál de ellos tuvo mayor problema de aprendizaje?  — Realice, en su cuaderno, una síntesis del contenido principal de cada uno de los temas. —S  i aún tiene duda en algún tema, regrese a él y analícelo con más detenimiento. —D  iga qué temas de la lista anterior tiene que ver con sus actividades diarias, y de qué manera los aplica.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 49

15/11/11 13:26

Unidad 1 • Cuerpo humano

Sesión 10 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

50 Lea la siguiente información y realice en su cuaderno las actividades que se indican. La vida no es más que una carrera por sobrevivir, la lucha incesante por seguir existiendo.*

En esa lucha por conservar la salud se encuentran los linfocitos, que son las células encargadas de combatir a los microorganismos que se introducen en nuestro cuerpo y pueden dañarlo. En esta sesión utilizará las matemáticas que aprendió, para entender más acerca de un virus que ha cobrado muchas víctimas y del cual se desconocen varios aspectos todavía. El SIDA (Síndrome de Inmunodeficiencia Adquirida) es provocado por un virus que se conoce como VIH (Virus de Inmunodeficiencia Humana) y que destruye las células encargadas de proteger al organismo (linfocitos) ante agentes externos que lo dañan. A las personas portadoras del VIH se les llama seropositivas. Se calcula que alrededor de 60 de cada 100 personas seropositivas desarrollan el SIDA en los 10 años siguientes al inicio de la infección, mientras que 20 de cada 100 presentan síntomas menores (fiebre, sudoración nocturna, pérdida de peso, herpes, etc.) y las demás continúan sanas. Según datos de CONASIDA (Consejo Nacional del Síndrome e Inmunodeficiencia Adquirida), México es el tercer país más afectado del continente americano por el SIDA. La siguiente gráfica muestra las formas de transmisión del SIDA en México. Homosexual 6 475 No clasificados 6 829

Perinatal 198 Donantes remunerados 309

Bisexual 4 560

Drogas intravenosas 167

Hemofilia 253 Transfusión 918 Fuente: Conasida, 1996.

Heterosexual 4 122

* Pfeiffer John, La Célula, Colección Científica de Time Life, Ediciones Culturales Internacionales, 2a. edición.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 50

15/11/11 13:26

Sesión 10 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

51

1. Realice un cálculo mental del total de personas infectadas que tiene registradas CONASIDA. 2. Ordene los datos que le proporciona la gráfica en la tabla, iniciando con el que representa el mayor número, y obtenga la suma de todos ellos. TIPO DE TRANSMISIÓN

NO. DE PERSONAS

Total

3. ¿En qué categoría está registrado el menor número? 4. ¿De cuánto es la diferencia entre el menor y el que le sigue? 5. Escriba con letra la cantidad que representa a las personas que comercian con su sangre. 6. Según la información que se le da, calcule el número de días que tarda en desarrollarse el SIDA en la mayoría de las personas seropositivas. 7. Diga a cuántos meses equivale la cantidad anterior. 8. Si cada persona infectada por medio de drogas intravenosas infectara a dos personas diferentes, ¿a cuánto ascendería el total de personas seropositivas? 9. Siguiendo la relación que se establece en el texto (60 de 100) del número de personas que desarrollan el SIDA en diez años, diga cuántas personas de cada 1 000 desarrollarían el SIDA en ese tiempo. 10. Con base en la misma relación anterior, diga cuántas personas infectadas de cada 10 desarrollan el SIDA en diez años.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 51

15/11/11 13:26

Lo que hemos aprendido La finalidad de esta sesión es que conozca cuáles son los temas que aún le presentan dificultades, con el fin de establecer estrategias para superarlas. Realice los siguientes ejercicios en su cuaderno: I. R  elacione ambas columnas colocando en el paréntesis la letra que corresponda.

1. Ciento noventa y nueve mil novecientos nueve...................( )

a) 199 099

2. Ciento nueve mil novecientos noventa..................................( )

b) 199 990

3. Ciento noventa y nueve mil noventa y nueve.......................( )

c) 109 999

4. Ciento noventa y nueve mil novecientos noventa...............( )

d) 199 909

5. Ciento noventa mil novecientos noventa y nueve...............( )

e) 190 999

6. Ciento nueve mil novecientos nueve......................................( )

f) 109 909

7. Ciento noventa mil noventa y nueve......................................( )

g) 109 990

8. Ciento nueve mil novecientos noventa y nueve...................( )

h) 190 099

II. O  rdene de menor a mayor los números de la columna derecha del ejercicio anterior.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 52

15/11/11 13:26

Sesión 11 • Lo que hemos aprendido

53 III. Resuelva los siguientes problemas:

1. Laura y Esther organizaron una colecta para una casa hogar que necesita un cuarto de baño y productos higiénicos. Con esta intención se realizaron visitas a varias comunidades: en el primer mes, 69 visitas, en el segundo 86, en el tercero 62, y en los cuatro meses siguientes, 39 visitas en cada uno. En cada visita reunieron en promedio $25.00, y a la cantidad obtenida le agregaron $824.00 que habían reunido el año anterior. El costo total del baño y los productos es de $13 225.00.

IV. E  ncuentre mentalmente las respuestas a los siguientes ejercicios:

1. ¿Cuánto le falta a 745 para llegar a 1 200? 2. ¿Cuánto es cinco veces 136?

a) ¿Cuántas visitas llevaron a cabo? b) ¿Cuánto dinero han reunido en total?

3. ¿Cuál es la suma de 560 y 783?

c) ¿  Cuánto dinero les falta reunir para construir el baño y comprar los productos higiénicos que van a donar?

4. ¿Cuántas veces cabe 75 en 525?

2. Jaime realizó una excursión con 25 personas; el costo para cada una fue de $125.00. En los lugares que visitaron obtuvieron algunos descuentos, por lo que hubo un sobrante de $425.00, que fue reintegrado a las 25 personas por partes iguales.

5. ¿De cuánto es la diferencia entre 3 500 y 2 350?

a) ¿Cuánto dinero se reunió en total? b) ¿Cuánto dinero se gastó? c) ¿Cuánto le regresó Jaime a cada persona? 3. La señora Juana tiene dos hijos. El más pequeño tiene 105 días de nacido y el mayor tiene 20 meses de edad.

V. R  esuelva las siguientes operaciones, utilizando sólo lápiz y papel.

1. 3 304 + 25 640 + 897 = 2. 86 435 – 7 601 =

a) S  i un mes equivale a 30 días, ¿cuál es la diferencia entre las edades de los dos hijos? Exprese su resultado en meses.

3. 9 753 x 468 = 4. 37 632 ÷ 256 =

b) Exprese el resultado anterior en días. b) ¿Cuál es la suma de las dos edades? Exprésela en años y en meses. 4. El dueño de una papelería vendió en una semana $900.00, en la siguiente vendió $300.00 menos. ¿Qué parte representa la venta de la segunda semana respecto de la primera?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 53

5. Realice las operaciones anteriores en su calculadora.

Compare sus respuestas con las que aparecen en la clave. Si no coinciden, verifique sus procedimientos y corríjalos.

15/11/11 13:26

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 54

15/11/11 13:26

UNIDAD

LA ALIMENTACIÓN

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 55

15/11/11 13:26

E

n las actividades que resolvió, ¿dejó escrito en su cuaderno de trabajo los procedimientos que le permitieron resolverlas? ¿Hubo algún problema que dejó sin resolver? Si es así, intente resolverlo nuevamente, o coméntelo con algún compañero. Material para esta unidad: cuaderno de trabajo y calculadora de bolsillo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-011-056.indd 56

15/11/11 13:26

Las primeras potencias En ocasiones usted va a tener la necesidad de multiplicar un mismo número varias veces, o bien, de encontrar un número que multiplicado por sí mismo le dé otro número dado anteriormente. Esto lo podrá realizar utilizando las operaciones de potenciación y radicación.

¿Sabía usted que la obesidad es un factor de riesgo para la salud, ya que puede por ejemplo agravar enfermedades del corazón y del riñón, causar endurecimiento de las venas, así como problemas en el embarazo y en el parto?

RECUERDE La suma de sumando+s ig=ua=1le5 s, como en 3+3+3+3 3 como se puede representar o (3) el producto del númer s que por el número de vece número se está sumando dicho (5), es decir, 3 x 5 = 15. SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 57

Lea el siguiente texto, en el cual encontrará la relación que existe entre la potenciación y la radicación.

Potenciación y radicación Durante siglos, el alimento básico de los mexicanos ha sido la tortilla. Juan se dedica en su pueblo a la venta de tortillas y las ofrece de casa en casa. Para facilitar su trabajo, utiliza una caja donde caben 30 paquetes. Si cada paquete contiene 30 tortillas, ¿cuántas tortillas hay en la caja? Para llegar a la solución del problema anterior, se realiza la siguiente multiplicación: 30 paquetes x 30 tortillas de cada paquete = 900 tortillas en total.

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

58 Una forma abreviada de representar esta operación (30 x 30 = 900) es la siguiente : 302 = 900 Esta operación recibe el nombre de potenciación. En ella, el número que se multiplica por sí mismo, en este caso 30, recibe el nombre de base. El número pequeño que se encuentra en la parte superior derecha de la base, que aquí es 2, se llama exponente e indica las veces que la base se multiplica por sí misma. Entonces: exponente base

30

2

75 m

= 30 x 30 = 900 potencia

Pero, ¿de qué manera se lee esta operación? Para leerla hay que poner atención en el exponente. Cuando el exponente es 2, como en el ejemplo, se lee: cuadrado o bien segunda potencia de treinta o treinta al cuadrado. Si el exponente es el número 3 se lee cubo o tercera potencia, cuando es 4, 5, 6 se les nombra, cuarta, quinta, sexta potencia, etcétera. Ahora, si quisiéramos conocer la medida del espacio que ocupa la caja de las tortillas, es decir su volumen, tendríamos que multiplicar las medidas de sus dimensiones: largo, ancho y alto. Si la medida de cada una de estas dimensiones es de 60 cm, entonces tendremos que realizar las siguientes operaciones:

60 x 60 = 3 600 3 600 x 60 = 216 000 Entonces, resulta que:

60 cm x 60 cm x 60 cm = 216 000 cm3

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 58

Cabe aclarar que las unidades de volumen se dan en unidades cúbicas, en nuestro ejemplo se dan en centímetros cúbicos (cm3). Lo anterior se puede representar, en forma abreviada, como una potenciación, esto es 603 = 216 000. Y se lee sesenta al cubo o tercera potencia de sesenta. Si para vender sus tortillas Juan recorre toda una manzana, la cual tiene una longitud de 75 m por cada uno de sus cuatro lados o calles, ¿cuál será el área de la manzana? Lo anterior se representa con la siguiente figura:

75 m

75 m 75 m

Por su forma se sabe que es un cuadrado, y para calcular su área se usa la siguiente fórmula: A= x (Área del cuadrado = lado x lado). Entonces, si cada uno de sus lados mide 75 m, se tiene:

l

l

exponente 75 m x 75 m = 75 base

2

= 5 625 m 2

potencia

Las unidades de área se dan en unidades cuadradas y, en el ejemplo, se dan en metros cuadrados (m2). Por lo cual, el área del cuadrado es de 5 625 m2. Ahora, si el área de la manzana (que es cuadrada) fuera de 6 400 m2, ¿cuál sería la longitud de cada uno de los lados? El resultado lo obtendremos con ayuda del siguiente esquema:

16/11/11 10:37

Sesión 12 • Las primeras potencias

59 exponente 2

base

=

2

6 400 m

potencia

En esta expresión se conoce la potencia (que corresponde al área del cuadrado) y el exponente (que indica el número de veces que se multiplica la medida del lado del cuadrado por sí mismo). Para conocer la longitud del lado del cuadrado, es decir, el valor de la base, es necesario hallar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 6 400 (potencia). ¿Sabe usted cómo encontrar ese número? ¡Así es! Para encontrarlo es necesario calcular la raíz cuadrada de 6 400, es decir 2 6 400. Pero ¿cómo se obtiene la raíz cuadrada de un número? Esto se hace buscando un número que al multiplicarse por sí mismo sea igual al número dado. Ahora bien, ¿cómo encontrar ese número? Una manera es marcar en la calculadora el número 6 400 y después la tecla de raíz cuadrada ( ). El número que aparece en la pantalla es el resultado de 2 6 400. Otra forma es probar con números que multiplicados por sí mismos den 6 400. Por ejemplo, si probamos con 50, cuando multiplicamos 50 x 50 da como resultado 2 500, que es menor a 6 400. Por lo tanto, se debe seguir buscando con números mayores que 50. En este caso el número que multiplicado por sí mismo es igual a 6 400 es 80; porque 80 x 80 = 6 400. Entonces:

2

6 400 = 80

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 59

Por lo tanto, la longitud de cada una de las calles de la manzana es de 80 m. La operación que se realizó para calcular ese número se llama radicación, o lo que todos conocemos como raíz de un número. Las partes de una radicación son las siguientes: índice

2

radicando = raíz

Cuando se trata de buscar un número que aparezca como factor dos veces, estamos extrayendo raíz cuadrada, que se representa con el símbolo (al que se le llama radical). En el ejemplo anterior aparece el índice (2) de la raíz cuadrada sin embargo, no es necesario escribirlo, basta con que aparezca el radical para que se entienda que se trata de una raíz cuadrada. La relación que existe entre la potenciación y la radicación, se muestra enseguida: exponente 80 2 = 6 400 base

potencia

índice 2

6 400 = 80 radicando raíz

Por lo tanto, extraer raíz cuadrada de un número consiste en encontrar un número que al multiplicarse por sí mismo dé como resultado el número que está dentro del radical. También hay raíz tercera o cúbica, raíz cuarta, etcétera, las cuales deben llevar indicando el índice, por ejemplo, 3 , 4 , etcétera.

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

60

EL GALLINERO En el gallinero de Pedro, las gallinas están separadas en jaulas, de cinco en cinco. Si cada gallina come 5 g de suplemento mineral al día: 1. ¿Cuántos gramos consume cada grupo de gallinas? 2. Si en el gallinero hay cinco jaulas, ¿cuántos gramos consumiría al día el total de gallinas? 3. ¿Cómo representaría en forma simplificada la operación anterior? 4. ¿Cuántas jaulas habría si Pedro tuviera un total de 289 gallinas? Considere que el número de jaulas debe ser igual al número de gallinas que hay dentro de ellas. Para llegar a la solución, obtenga los cuadrados de los números 15, 16 y 17. 5. Con la misma consideración anterior, determine cuántas jaulas habría si Pedro tuviera un total de 225 gallinas.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas:

Realice los siguientes ejercicios en su cuaderno.

6. Determine la cantidad de huevos que hay en un cartón en el que hay 6 columnas y 6 filas.

10. Encuentre las potencias que se piden.

7. Si un kilogramo de huevo contiene aproximadamente 18 huevos, diga cuántos kilogramos hay aproximadamente en el cartón.

a) 32 =

b) 24 =

c) 53 =

d) 44 =

8. Si el costo de un kilogramo de huevo es de $9.00, ¿cuál es el costo del cartón?

11. Calcule las raíces que se indican.

9. Benito necesita empacar 324 huevos, de tal forma que la cantidad de paquetes sea igual al número de huevos que contenga cada uno.

a) 144 =

b) 49 =

c) 100 =

d) 225 =

a) ¿Cuántos paquetes se formarían? b) ¿Cuántos huevos contendrá cada paquete? c) ¿  Cuántos kilogramos de huevos se tienen en total? d) ¿Cuál sería el costo de los 324 huevos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 60

Compare sus resultados con los de la clave. Si cometió algún error, corríjalo. Observe el programa de televisión donde se muestra la manera de obtener la potencia y la raíz cuadrada de algunos números.

16/11/11 10:37

Tablas y teclas Existen problemas en los cuales se necesita resolver una raíz cuadrada o una potenciación. Estos cálculos se facilitan con el uso de una tabla o de una calculadora. En esta sesión le mostraremos como hacerlo. Lea el siguiente texto, en el que encontrará la manera de realizar una tabla de cuadrados.

Tabla de cuadrados

¿Sabía usted que los bosquimanos (tribus de los desiertos de África) pueden oler el agua, y que la piel de su abdomen puede estirarse tanto que son capaces de ingerir la comida de varios días, cuando logran cazar?

RECUERDE Para obtener la potencia de un número se toma la base como factor tantas veces como lo indique el exponente.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 61

Las tablas matemáticas son una valiosa ayuda en la aritmética, ya que permiten ahorrar tiempo y esfuerzo; las de sumar y multiplicar son las más conocidas y empleadas. Sin embargo, se pueden elaborar otras más, como las tablas de cuadrados y de raíces cuadradas exactas. Para ello pueden seguirse diferentes caminos: •O  btener las potencias mentalmente, en el caso de los números del 1 al 10. •E  fectuar las operaciones, es decir, multiplicar cada número por sí mismo para calcular así las potencias. • Con ayuda de la calculadora, utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos:

Resultado en pantalla Procedimiento 1:

5

x

5

Procedimiento 2:

5

x

2

=

=

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

62

Una vez que elija cualquiera de los procedimientos antes mencionados, proceda a elaborar su tabla, la cual se formará por dos columnas. En el lado izquierdo de la tabla ubique el número que se va a elevar al cuadrado o segunda potencia, y del lado derecho la potencia, como se ejemplifica para los números 11, 12 y 13. 2

N

N

11

121

12

144

13

169

(12)

2

12

144 144

El sentido de la flecha indica que de izquierda a derecha se obtiene el cuadrado del número, y de derecha a izquierda se obtiene la raíz cuadrada. Si usamos la calculadora para obtener la raíz cuadrada de 144, se tiene que: Resultado en pantalla 1

4

4

LA BÚSQUEDA DE LOS CUADRADOS De la siguiente tabla, obtenga en su cuaderno el valor del elemento faltante. 2

N

N

1

1

11

4

12

3

N

2

16

14 16

8 9

17 18

361 100

20

N

2

576 225

49

N 21 22 23

13

5 6

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 62

N

25 26 27 28 29 900

16/11/11 10:37

Sesión 13 • Tablas y teclas

63

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Conteste en su cuaderno lo que a continuación se pide. Con la ayuda de la calculadora, obtenga la longitud de los lados de tres diferentes cuadrados que tienen, respectivamente, las siguientes áreas. 1. A = 1 156 cm2,

Realice los siguientes ejercicios en su cuaderno. 7. Usando la tabla de cuadrados, escriba entre qué números naturales está la raíz cuadrada de los siguientes números. Continúe la tabla en caso de ser necesario. Observe el ejemplo: 22, 500, 23 ;

l

=____ cm entonces 22 <

l

500 < 23

2. A = 2 025 cm2, =____ cm 3. A = 253 472

l

cm2,

a) _______ < 710

< _______;



b) _______ < 1 009 < _______;



c) _______ < 828



d) _______ < 1 287 < _______;



e) _______ < 105

=____ cm

4. Lucy necesita tapizar la cubierta de una mesa en forma de cuadrado. Si tomamos en cuenta que la superficie de ésta es cinco veces el área del cuadrado del punto 2, ¿cuánto medirá cada uno de los lados de la cubierta? 5. ¿A cuántos metros equivale la medida anterior? Recuerde que 1 m = 100 cm. 6. Si el área del piso de una cocina en forma de cuadrado es la mitad del área del cuadrado del punto 3, ¿cuánto medirá cada uno de sus lados? Exprese el resultado en centímetros y en metros.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 63



< _______;

< _______

8. ¿Cuánto mide el lado de un bocadillo, cuya base tiene forma de cuadrado y su área es de 300 mm2? a) U  sando la tabla de cuadrados dé la estimación del resultado. b) Usando  la calculadora dé el resultado exacto.

Compare sus resultados con la clave y corríjalos si tuvo algún error.

16/11/11 10:37

¿Qué es primero? Cuando se le presentan casos en que se combinan más de dos operaciones numéricas (suma, resta, multiplicación, etcétera), ¿qué operación resuelve primero? En esta sesión usted aprenderá el orden en que debe resolverlas, para evitar resultados erróneos.

¿Sabía usted que una persona joven que realiza una actividad física normal debe obtener de su alimentación 2 500 calorías diarias? (Una caloría es la cantidad de calor necesaria para elevar un grado la temperatura de un gramo de agua.)

RECUERDE Para sumar, restar y multiplicar se comienza por la derecha. En cambio, para dividir se comienza por la izquierda.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 64

Lea el siguiente texto, en el cual se explica el orden en que deben efectuarse las operaciones.

Jerarquía de las operaciones Las calorías que nuestro cuerpo necesita diariamente se pueden obtener con la combinación de varios alimentos. ¿Qué alimentos consume usted? Observe el ejemplo que se le presenta enseguida: Rubén almorzó el día de ayer 3 tortillas, 2 huevos, un plato de frijoles y un vaso de leche con chocolate. ¿Cuántas calorías consumió? Para dar respuesta a esta pregunta nos apoyaremos en el siguiente cuadro: ALIMENTO

Calorías 115

1

tor tilla

1

huevo

1

plato de frijoles

350

1

vaso de leche con chocolate

247

85

16/11/11 10:37

Sesión 14 • ¿Qué es primero?

65

Como en la tabla anterior sólo se muestra la cantidad de calorías por unidad, será necesario multiplicar el número de tortillas por la cantidad de calorías que contiene cada una; se hará lo mismo con el huevo y todo eso se sumará con las calorías de los otros alimentos, esto es, 115 x 3 + 2 x 85 + 350 + 247. ¿Cómo obtener el resultado? ¿Qué resuelve primero? ¿Las sumas o las multiplicaciones? Veamos qué sucede con algunas de las diferentes opciones que se nos presentan.

Para unificar criterios se ha determinado que haya una jerarquía en las operaciones, es decir, un orden: Primero. S  e resuelven las potenciaciones y las radicaciones cuando éstas pertenecen a un solo número. Segundo. S  e resuelven las multiplicaciones y divisiones.  or último se realizan Tercero. P las sumas y restas.

Opción 1

Primero se resuelven las sumas y luego las multiplicaciones:

Por lo tanto, en el ejemplo anterior, la opción 2 es la correcta, con un resultado de 1 112 calorías.

115 x 3 + 2 x 85 + 350 + 247 Analice otros ejemplos: 5

682

Opción 2

a) 1  3 x 42 + 52 – 3 ÷1 = 13 x 16 + 52 – 3 ÷ 1 = 208 + 52 – 3 = 260 – 3 = 257

Primero se resuelven las multiplicaciones y luego las sumas:

b) 1  9 + 12 ÷ 4 – 13 = 19 + 3 – 13 = 22 – 13 = 9

115 x 5 x 682 = 392 150 calorías

115 x 3 + 2 x 85 + 350 + 247 345

170

345 + 170 + 350 + 247 = 1 112 calorías ¿Cuál de las dos opciones considera usted que es la correcta? Obviamente, no pueden ser correctas las dos, pero, ¿cómo elegir?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 65

Cuando en las operaciones aparecen paréntesis ( ) y/ o corchetes [ ], éstos nos indican el orden en que dichas operaciones deben realizarse. Esto es, primero se resuelve la operación señalada dentro del paréntesis, después la que esté contenida en el corchete y finalmente las restantes.

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

66

Por ejemplo: a) 1  1 – [ (8 + 6) ÷ 2 ] = 11 – [ 14 ÷ 2 ] = 11 – [ 14 ÷ 2 ] = 11 – [ 7 ] 11 – [ 7 ] = 11 – 7 = 4 b) [ [ [

52 + (4 – 1) ÷ 3] x 2 = [ 52 + 3 ÷ 3 ] x 2 52 + 3 ÷ 3 ] x 2 = [ 25 + 1 ] x 2 = 25 + 1 ] x 2 = [26] x 2 = 52

Como pudo observar, los paréntesis y/o corchetes se utilizan cuando se requiere resolver las operaciones en un orden diferente al convenido. No sin antes aclarar que las operaciones contenidas dentro de los paréntesis o de los corchetes, se realizan con el orden ya establecido.

LA FONDA Analice el siguiente párrafo y luego resuelva en su cuaderno las cuestiones que se le proponen. La señora Márquez tiene una fonda que está abierta al público cinco días a la semana. La semana pasada recibió, durante cada uno de los tres primeros días, $440.00 por la comida corrida y $520.00 por la comida a la carta. Después gastó $380.00 en la compra de carne, y luego recibió $990.00 por las comidas corridas de los dos últimos días de la semana.

1. Escriba una expresión en la que anote todas las operaciones que deban efectuarse para saber cuánto dinero le quedó a la señora Márquez al finalizar dicha semana. 2. Indique el orden en que deben realizarse las operaciones. 3. Realice las operaciones indicadas. 4. Diga cuánto dinero le quedó a la señora Márquez la semana pasada. 5. Calcule cuánto dinero recibió en total la señora Márquez por las comidas corridas. 6. El costo de una comida corrida es de $11.00, ¿cuántas se vendieron durante la semana?

Revise sus respuestas. Si encuentra algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 66

16/11/11 10:37

Sesión 14 • ¿Qué es primero?

67

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva en su cuaderno las siguientes operaciones:

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea el siguiente problema y realice lo que se le indica.

11. El resultado debe basarse en lo que señalan los signos de agrupación. a) 36 ÷ ( 5 + 7 ) =

Un empleado eventual que trabajó seis días recibió un sueldo de $28.00 diarios. Durante ese tiempo gastó $80.00 en alimentos y $4.00 diarios en transporte. 7. Escriba una expresión que contenga las operaciones que se deben efectuar para saber cuánto le quedó al empleado después de esos seis días de labores. 8. Señale el orden en que deben realizarse las operaciones y resuélvalas.

b) (16 + 8 x 4 ) ÷ 12 = 12. Dé el resultado con base en las reglas que establece la jerarquía de las operaciones, o sea, el orden en que deben realizarse. a) 16 – 3 x 5 = b) 232 – 4 + 25 =

Compare sus respuestas con las de la clave. Si es necesario corrregir, hágalo.

9. Determine cuánto dinero le quedó al empleado al término de los seis días. 10. Si esta persona trabajara cuatro semanas con ese salario, ¿de cuánto sería su sueldo mensual?

Compruebe que sus respuestas sean correctas. Si se equivocó en alguna, corríjala.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 67

16/11/11 10:37

No sólo de pan vive el hombre Para que el organismo humano funcione adecuadamente necesita ciertos nutrientes que le proporcionen energía. Estos nutrientes se encuentran en los alimentos. En esta sesión establecerá la cantidad de nutrientes que hay en algunos alimentos mediante la equivalencia y orden en los números decimales.

Lea el siguiente texto. En él se muestra cómo efectuar la comparación de números decimales.

¿Qué sabe usted acerca de la desnutrición? Equivalencia y orden de los números decimales

RECUERDE Para facilitar el cálculo mental con números decimales es mejor redondearlos o truncarlos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 68

Los alimentos que forman parte de una dieta balanceada contienen proteínas, grasas, carbohidratos, vitaminas y minerales. Las proteínas, formadas por carbono, hidrógeno, oxígeno, azufre y fósforo, son necesarias para la formación de tejidos en el niño y en el adolescente, así como para reemplazar las células que se van gastando en los tejidos de los adultos. Éstas se encuentran principalmente en las leguminosas (frijol, lenteja, garbanzo) y en los productos de origen animal (leche, queso, carne, huevo). Cabe aclarar que si un alimento le proporciona menor cantidad de algún nutriente puede ofrecerle mayor cantidad de otro.

06/12/11 11:00

Sesión 15 • No sólo de pan vive el hombre

69 En la siguiente tabla se presenta la cantidad de gramos de proteínas que hay en 100 g de cada uno de los alimentos que se indican. 100 g de ALIMENTO

gramos de PROTEÍNAS

Pan

7.10

Tortilla

5.65

Frijol

22.0

Huevo

12.80

Jitomate

2.0

Papas

2.0

Queso

25.70

Lechuga

1.4

Carne Chícharos

20.0 3.40

Sardinas

26.0

Atún

28.0

Chile

1.20

Cacahuates

30.60

Charal seco

68.0

Zanahoria

1.10

Fuente: Propuestas de Materiales de Matemáticas para el sexto grado de primaria, SEP, México, 1994.

El primero sea mayor que (>) el segundo, que el primero sea menor que (<) el segundo, o bien, que el primero sea igual (=) al segundo, es decir, que sean equivalentes. Cuando se comparan dos números decimales, primero hay que ver la parte entera, esto es, las cifras que se encuentran a la izquierda del punto. Por ejemplo, entre las proteínas del pan (7.10 g de proteínas) y las de la tortilla (5.65 g de proteínas), 7.10 es mayor que 5.65 (7.10 > 5.65), porque la parte entera de 7.10, que es 7, es mayor que la parte entera de 5.65 que es 5. Si los números tienen la misma parte entera, entonces hay que fijarse si tienen la misma cantidad de cifras en la parte fraccionaria, es decir, a la derecha del punto. Cuando esa cantidad de cifras es diferente, se agregan ceros a la derecha del número que tenga menos cifras, hasta igualarlas. Una vez hecho esto, se realiza la comparación. Ejemplos:

De acuerdo con la tabla anterior, ¿qué alimento contiene más gramos de proteínas y cuál contiene menos? ¡Correcto! El alimento que contiene mayor cantidad de proteínas es el charal seco, y el que proporciona menor cantidad es la zanahoria. ¿Cómo determinó usted esto? ¡Así es! Fue necesario comparar los números. Al comparar dos números decimales, puede ocurrir que:

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 69

a) P  ara determinar si contiene más proteínas la lechuga (1.4 g) o el chile (1.20 g), es necesario recurrir a la parte decimal, ya que la parte entera es la misma. Para ello se agrega un cero a la derecha de 1.4, con lo que se obtiene 1.40. Así, ambas cantidades están expresadas en centésimos, y como 40 centésimos es mayor que 20 centésimos, se tiene que 1.40 es mayor que 1.20 (1.40 > 1.20).

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

70 b) C  omparemos 1.4 y 1.400; se agregan dos ceros a la derecha de 1.4 y se tiene 1.400. Vemos así que 1.4 = 1.400. Un entero 400 milésimos es igual a 1 entero 4 décimos porque 4 décimos es igual a 400 milésimos. c) C  omparemos 2.7 y 2.753; se agregan dos ceros a la derecha de 2.7 y se tiene 2.700. Los números a comparar se leen: 2 enteros 700 milésimos, y 2 enteros 753 milésimos. Si los ubicamos en una tabla como la que se muestra, se observa que: 2.753 > 2.700 por 53 milésimos. decena

unidad

0

7

0

0

2

7

5

3

Otra forma de comparar números decimales es con ayuda de la recta numérica, ubicándolos en ella y estableciendo su orden: mayor que (>), menor que (<) e igual que (=). Por ejemplo: Si se quiere saber cuál de los siguientes números (1.2 y 1.27) es mayor, se puede utilizar la recta numérica como se muestra a continuación. Como 1.2 y 1.27 son números mayores a 1, y a su vez menores que 2, sólo utilizamos un segmento de la recta.

2

1

Cada una de esas partes representa un décimo ( ) del entero; por lo tanto, el 1.2 quedaría ubicado así : 0

1

1.1 1.2 1.3

décimos

2

Ahora, para ubicar al 1.27 se hace un acercamiento al pedazo de recta comprendido entre 1.1 y 1.3, en el que se puede observar, a su vez, que cada décimo está dividido en diez partes. Cada parte se llama centésimo, porque representa 1 de cada 100 partes en las que está dividido el entero.

décimo centésimo milésimo

2

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 70

Para representar el 1.2, se divide la distancia comprendida entre el 1 y el 2, en diez partes iguales.

0

1

1.1 1.2 1.3

2

1.1 1.2 1.3 centésimos

Se puede observar que 1.1 (un entero un décimo) ocupa el mismo lugar que 1.10 (un entero diez centésimos), por lo que 1.1 y 1.10 representan el mismo valor, y por ello se dice que son equivalentes. 1

1.10

1.20

1

1.1

1.2

1.27 1.30 1.3

16/11/11 10:37

Sesión 15 • No sólo de pan vive el hombre

71 Se observa que 1.27 es mayor que 1.2 o 1.20, por 7 centésimos. Si hiciéramos otro acercamiento, se podría ver que cada centésimo está dividido en diez partes. Cada parte se llama milésimo, porque ocupa una de las mil partes en las que queda dividido el entero. Por lo tanto, es correcto decir que: 1.1 = 1.10 = 1.100 Un entero un décimo es igual a un entero diez centésimos y esto es igual a un entero cien milésimos. De aquí se puede concluir que, para comparar números decimales que tengan diferente número de cifras en la parte decimal, hay que agregarles ceros. Ejemplo: ¿Cuál de los siguientes números es menor? (3.05 y 3.048). Como 3.05 tiene dos cifras después del punto decimal y 3.048 tiene tres cifras, se agrega un cero a la primera, quedando así: 3.050 y 3.048 (tres enteros cincuenta milésimos, y tres enteros cuarenta y ocho milésimos); al compararlos resulta que el menor es 3.048.

EL PESO Considere la siguiente información y realice en su cuaderno lo que se indica. El peso ideal de Martha, Luisa, Consuelo, Imelda y Sonia, de acuerdo con su edad y estatura, es de 49.545 kg. Sin embargo, el mes anterior, al pesarse cada una, la báscula marcó: 55.454 kg, 56.363 kg, 57.727 kg, 53.636 kg y 56.818 kg, respectivamente. Para lograr el peso ideal se han sometido a una dieta prescrita por su médico y han logrado una reducción de: 4.086 kg, 5.237 kg, 6.285 kg, 4.206 kg y 3.286 kg, en sus pesos respectivos. 1. ¿Cuál de las cinco personas tiene mayor peso? 2. ¿Quién es la de menor peso? 3. ¿Quién logró la mayor reducción de peso? 4. ¿Quién ha reducido menos su peso? 5. ¿Cuál peso es mayor? ¿56.363 kg o 56.818 kg? ¿Por qué? 6. ¿Cuál peso es menor? ¿4.086 kg o 4.206 kg? ¿Por qué? 7. Ordene, de mayor a menor, los pesos del mes anterior de las cinco personas.

Verifique sus respuestas. Si hay necesidad de corregir, hágalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 71

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

72

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea la siguiente información y conteste lo que se le pide: Una empresa que tiene servicio de comedor para sus trabajadores adquirió 17.429 kg de jamón, 8.747 kg de queso amarillo y 17.635 kg de salchichas. Los precios por kilogramo son: $29.48 el jamón, $31.39 el queso amarillo y $11.36 las salchichas. El encargado de las compras hizo una multiplicación, con el auxilio de su calculadora, para saber cuánto tenía que pagar por cada producto. Y anotó los resultados, que fueron los siguientes:

jamón: 513.80692 queso amarillo: 274.56833 salchichas: 200.33360

Como estas cantidades representan dinero, sólo es necesario tomar en cuenta hasta centésimos, que corresponden a los centavos. 8. Redondee las tres cantidades hasta centésimos.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Analice la siguiente situación y conteste en su cuaderno lo que se pide: 12. Cuando Josefina y María fueron a comprar pollo, se encontraron con que solamente les vendían pollos enteros. Los pesos de los cinco pollos que les agradaron fueron los siguientes:

9. Trunque las tres cantidades hasta centésimos. 10. Sume las tres cantidades redondeadas, y también sume las tres cantidades truncadas. Diga qué suma es mayor. ¿Qué le conviene más al encargado de compras? ¿Redondear o truncar estas cantidades? 11. El encargado de las compras tenía $1 000.00 para pagar la mercancía. Diga usted si esa cantidad es suficiente para pagar. Si es así, ¿cuánto le sobra? Si no le alcanza para pagar, ¿cuánto le falta?

Verifique cuidadosamente sus respuestas, y si en algo se equivocó, corrija.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 72

1.325 kg 1.328 kg

1.835 kg 1.431 kg 1.932 kg

¿Qué peso es mayor: 1.325 kg o 1.328 kg?

Compare sus respuestas con las de la clave. Corrija si es necesario.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

16/11/11 10:37

Punto alineado Al hacer sus compras usted realiza operaciones de suma y resta con números decimales, en esta sesión se le indican algunos aspectos en los que deberá poner mayor cuidado. ¿Sabía que los minerales son nutrimentos que sirven para formar huesos, sangre y otras estructuras del organismo humano? Los minerales más importantes son: hierro, calcio, fósforo y yodo, que se encuentran principalmente en la yema de huevo, hígado, riñones, mariscos, lechuga, leche, tortilla, queso y pescados.

RECUERDE Para redondear un número decimal se busca el dígito ubicado a la derecha del lugar que se requiere redondear. Si es menor que 5, el dígito a redondear no cambia, y si es mayor o igual que 5, se suma 1 al dígito que está en el lugar que se quiere redondear. SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 73

Lea el siguiente texto, en el cual se muestra el procedimiento adecuado para sumar y restar decimales.

Suma y resta de números decimales Estas operaciones tienen un gran parecido con las de números naturales. Sin embargo, es necesario tener cuidado con la clase de unidades que se manejan, además de colocar el punto decimal correctamente. Por ejemplo: Marcos se dedica a la compra y venta de grandes cantidades de maíz. El día de ayer compró las siguientes cantidades: 1 400 kg, 2.6 toneladas, 0.9 toneladas, 2 800 kg y 12.5 toneladas. ¿Qué cantidad de maíz compró en total el día de ayer? Si usted pensó en sumar las cantidades tal como están expresadas, obtendrá una solución incorrecta, porque si bien es cierto que todos los números son decimales, unos representan kilogramos y otros toneladas. Por esta razón, antes de sumar, debe procurar que las cantidades estén expresadas en las mismas unidades.

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

74 Para resolver la suma anterior, Marcos puede calcular el total que compró de dos maneras diferentes: en toneladas o en kilogramos. Para hacer el cálculo en toneladas es necesario buscar las equivalencias de los pesos expresados en kilogramos. Tome en cuenta que, si una tonelada equivale a 1 000 kg, entonces:

1 kg = 0.001 toneladas =

toneladas

10 kg = 0.010 toneladas =

=

toneladas

100 kg = 0.100 toneladas =

=

toneladas

Así que: 1 400 kg = 1.4 toneladas 2 800 kg = 2.8 toneladas

en kilogramos las equivalencias de los pesos expresados en toneladas. Como 1 tonelada es igual a 1 000 kg, basta multiplicar por 1 000 cada una de las cantidades dadas en toneladas para encontrar sus equivalentes en kilogramos. 0.9 tm x 1 000 = 900 kg 2.6 tm x 1 000 = 2 600 kg 12.5 tm x 1 000 = 12 500 kg Una vez hecho esto, se efectúa la suma de todas las cantidades adquiridas por Marcos en la forma que aparece enseguida. 1 400 2 600 + 900 2 800 12 500 20 200

kg kg kg kg kg kg

Ahora puede sumarse así:

1.4 2.6 + 0.9 2.8 12.5 20.2



tm tm tm tm tm tm

Los sumandos se alínean tomando como referencia el punto decimal, y se suman como si fueran números naturales. A la suma se le anota el punto decimal en la columna correspondiente. Por lo tanto, Marcos compró ayer 20.2 toneladas de maíz. Si Marcos hubiera decidido hacer su cálculo en kilogramos, habría sido necesario buscar

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 74

De lo anterior tenemos que Marcos compró 20 200 kg. Como usted puede observar, 20.2 tm es equivalente a 20 200 kg, por lo que cualquiera de los procedimientos elegidos es correcto. Marcos distribuyó su mercancía en tres tiendas de la siguiente manera: En la primera dejó 4 125.5 kg. En la segunda dejó 6 238.75 kg. En la tercera dejó 2 890 kg. ¿Qué cantidad distribuyó en total en las tres tiendas? ¿Cuántos kilogramos le faltan por distribuir?

16/11/11 10:37

Sesión 16 • Punto alineado

75 Para dar respuesta a la primera pregunta es necesario sumar las tres cantidades, como se indicó anteriormente, lo que da un total de 13 254.25 kg. Con respecto a la segunda pregunta, es necesario que se realice una resta del total comprado por Marcos y el total distribuido, esto es, 20 200 kg – 13 254.25 kg. Para resolver esta operación, se alínean el minuendo y el sustraendo con respecto al punto decimal.

Como 20 200 no tiene parte decimal, se completa con dos ceros y se resta como si fueran números naturales. En la diferencia se coloca el punto decimal en la columna correspondiente, tal como se muestra a continuación:

20 200.00 – 1 3 254.25 6 945.75

Por lo que a Marcos le falta distribuir 6 945.75 kg de maíz.

LAS COMPRAS Considere la situación que se le expone y conteste en su cuaderno lo que se le pide, tomando en cuenta que sólo debe sumar o restar. El costo de una despensa en la tienda La Vencedora es de $757.50. La misma despensa cuesta $801.75 en la tienda El Triunfo, y en la tienda La Victoria vale $103.30 menos que en la tienda El Triunfo. 1. Calcule en cuál de las tres tiendas es menor el costo de la despensa. 2. En la tienda La Vencedora no había moneda fraccionaria (menor que $1.00) al momento de vender la despensa y fue necesario redondear el costo. ¿Cuánto se cobró? 3. En la tienda El Triunfo, al comprar tres despensas se le hace al cliente un descuento de $150.00. ¿Cuánto se tiene que pagar? 4. En la tienda La Victoria hay un sistema de apartado en el que se puede dar la décima parte del costo de la despensa y el resto al recogerla. Calcule en pesos (sin centavos) con qué cantidad se puede apartar una despensa. Si le resultan centavos, realice el truncamiento de la cantidad de dinero que necesite.

Verifique sus respuestas. Si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 75

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

76

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea el siguiente texto y luego conteste en su cuaderno lo que se le pide. Un proveedor de frutas y verduras tiene que enviar de Querétaro a México algunos productos, cuyos pesos son: 1.348 tm de aguacate, 2.017 tm de naranja y muchas cajas con jitomate. Debido a un error, no se registró la cantidad de jitomates que debe enviarse y lo único que se recuerda es que faltaban 25 kg para completar una tonelada de dicho producto. Para llevar todo esto se cuenta con un camión cuya capacidad de carga es de 6 500 kg. 5. ¿Cuántos kilogramos de jitomate deben enviarse? 6. ¿Tiene el camión la capacidad de carga suficiente para transportar todo en un solo viaje?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Lea el siguiente párrafo y resuelva las cuestiones que se le plantean. En un mercado existen tres puestos de frutas y verduras. El primero vendió 73.25 kg de fruta y 43.250 kg de verdura; el segundo 64.50 kg de fruta y 52.75 kg de verdura, y el último vendió 86.2 kg de fruta y 71.750 kg de verdura. 8. ¿Cuántos kilogramos de fruta vendieron en total los tres puestos?

7. ¿Cuántas toneladas faltan para cargar el camión al máximo de su capacidad?

Revise sus respuestas. Si alguna es incorrecta, corríjala.

9. ¿Cuál es la diferencia que existe entre las cantidades de verdura vendidas en el primero y el segundo puesto? 10. ¿Cuántos kilogramos de fruta y verdura vendieron en total los tres puestos?

Consulte la clave para que vea si sus respuestas son correctas. Si falló en alguna, corríjala.

Vea el programa de televisión, en él se muestra la aplicación de la suma y la resta de números decimales para resolver problemas.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 76

16/11/11 10:37

Muchos y pocos ¿Alguna vez se ha preguntado cuántas docenas de huevos hay en una caja que contiene 360 huevos? Esto lo podrá calcular mediante divisores de un número. En esta sesión, aprenderá a calcular los múltiplos y divisores de un número. ¿Qué sabe usted acerca de los beneficios que le proporcionan las frutas y verduras?

Lea el siguiente texto. En él se menciona la manera de obtener los múltiplos y divisores de un número natural.

Múltiplos y divisores

RECUERDE

El huevo es un alimento indispensable pues proporciona vitaminas y minerales (hierro y calcio) que ayudan al crecimiento y al buen funcionamiento del organismo, además de que se encuentra entre los alimentos más económicos. Supongamos que un depósito de huevo empaca medias docenas (6 huevos) en bolsas de plástico. ¿Qué cantidad de huevos ha empacado cuando ya lleva 3 bolsas? ¿Cuántos, cuando lleva 5 bolsas? ¿Y cuando ya empacó 8, 9 y 10 bolsas? ¿Qué haría usted para calcular las cantidades que se le piden? Una forma es que el número de bolsas que se van empacando se multiplique por seis (6), ya que ésta es la cantidad de huevos que contiene cada bolsa. Esto se presenta en el siguiente cuadro:

No es lo mismo el doble de un número que el cuadrado de éste. Para obtener el doble de un número se multiplica éste por dos; en cambio, para obtener el cuadrado de un número, se multiplica éste por sí mismo. NÚMERO DE BOLSAS

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Cantidad de huevo empacado

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 77

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

78

En la tabla anterior, los números que aparecen en la segunda fila tienen varias cosas en común, por ejemplo, todos son pares. Intente usted encontrar otra característica común entre ellos. Una característica más es que todos pueden escribirse como un número natural multiplicado por 6. Por ejemplo: 6 = 6 x 1, 12 = 6 x 2, 18 = 6 x 3 ... Cuando un número puede escribirse como un número natural multiplicado por 6, se dice que ese número es múltiplo de 6. Por ejemplo, 24 es múltiplo de 6:



(24 = 6 x 4)

Cuando un número natural se multiplica por otro número natural, el número obtenido es múltiplo de ambos. En general, los múltiplos de un número natural se obtendrán multiplicando ese número por la serie ordenada de los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, ...) De esta manera, existe una infinidad de múltiplos para cada número natural. Recuerde que todo número multiplicado por cero, siempre da como resultado cero. Como consecuencia de esto, el cero será múltiplo de cualquier número. Por otra parte, si nosotros quisiéramos saber si un número es múltiplo de otro, ¿qué tendríamos que hacer?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 78

Para saber, por ejemplo, si 18 es múltiplo de 6, basta con encontrar un número natural que multiplicado por 6 dé 18. Una manera de obtener ese número natural es dividiendo 18 entre 6. Si el residuo es 0 y el resultado es un número natural, entonces 18 es múltiplo de 6. 3 6 18 0

por lo tanto, 18 = 6 x 3 (18 es múltiplo de 6)

¿Existen otras multiplicaciones de dos números naturales que den como resultado 18? Intente encontrarlas. Además de escribir al 18 como 6 x 3, existen las siguientes formas: 1 x 18 y 2 x 9. Por lo tanto, 18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6 Si dividimos 18 entre uno de los factores encontrados, por ejemplo, entre 9, el residuo es 0 y el resultado es 2, que es un número natural. Por lo tanto, se dice que 18 es múltiplo de 9, y que además 9 es divisor de 18, porque lo divide exactamente; es decir, el residuo de la división es 0. 18

es múltiplo de 9 es divisor de

16/11/11 10:37

Sesión 17 • Muchos y pocos

79

El divisor de un número natural es todo número natural (distinto de cero) que divide en forma exacta a otro número natural. A los divisores de un número natural también se les conoce como submúltiplos o factores.

es mediante la división de éste entre todos aquellos números naturales menores o iguales que él (con excepción del cero). Los que lo dividan en forma exacta serán los divisores de dicho número.

Una manera de encontrar los divisores de un número es buscar todas las multiplicaciones de dos naturales que den como resultado dicho número. Los factores de tales multiplicaciones serán los divisores buscados. Otra forma de obtener los divisores de un número natural

A los números que tienen más de dos divisores, como el 18, se les llama números compuestos. A los números como el 2, 3, 5, 7, 11, 13, etcétera, que únicamente tienen dos divisores, que son ellos mismos y la unidad (1) se les llama números primos. Por ejemplo, los únicos divisores de 5 son el mismo 5 y el 1.

LAS BACTERIAS Lea la siguiente información y resuelva en su cuaderno lo que se pide. Las bacterias son microorganismos, y algunas de ellas provocan en el hombre graves enfermedades. Éstas pueden contraerse al consumir alimentos que no están preparados con la higiene necesaria. Con fines médicos y de investigación, se efectúan cultivos de bacterias mediante técnicas de control, crecimiento y desarrollo de estos microorganismos para encontrar un bactericida que los destruya. En la siguiente tabla se muestra un cultivo de bacterias, cuyo número de colonias se triplican (o sea que se multiplican por tres) cada cuatro horas. Si al iniciar el cultivo hay 300 colonias de bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 24 horas? Observe la tabla y complétela: 1. HORAS BACTERIAS

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 79

0

4

8

12

16

20

24

300

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

80

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Conteste en su cuaderno lo que a continuación se pide. En cierta tienda de material eléctrico venden cable tipo Holl; es un tubo de aluminio flexible que tiene en su interior 2 o 3 cables y se fabrica en rollos de 15 y 30 m. Se usa principalmente en instalaciones eléctricas caseras a prueba de agua. Por política de la tienda, este cable sólo puede venderse en tramos cuyas medidas sean divisores de la cantidad de metros que tiene el rollo.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva en su cuaderno lo que se pide a continuación. 6. Escriba todos los productos posibles de números naturales para cada uno de los siguientes números.

2. Obtenga los divisores de 15 para saber las medidas de los tramos en las que puede ser vendido dicho cable.

Observe el ejemplo:

3. Para la misma situación anterior, obtenga los divisores de 30.

a) 16 =

20 = 5 x 4, 20 = 1 x 20

20 = 10 x 2,

b) 30 = 4. Si se fabricara cable de 45 m y, por la misma política, sólo se pueden vender tramos que sean divisores de esta cantidad, ¿cuáles serían las medidas de dichos tramos? 5. Complete las siguientes series:

c) 40 = d) 21 = 7. Los divisores de 24 son: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___ y ___.

a) m  últiplos de 15: 0 , 15 , ___, ___, ___, 75 , ___, ___, ___, 135 , ___, ___, 180 ... b) d  ivisores de 26: ___,___, ___ y ___.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 80

16/11/11 10:37

Que no quede nada Quizá alguna vez ha tenido que repartir algo en partes iguales y sin que haya sobrado. En esta sesión, usted resolverá varios problemas en los cuales debe efectuarse un reparto en forma equitativa.

¿Sabía usted que el arte de la cocina empezó hace por lo menos 400 000 años?

Lea el siguiente texto, que se refiere a diversas formas de hacer un reparto.

Representación de fracciones

RECUERDE En una fracción, el número que se encuentra sobre , la línea se llama numeradoro y el que se encuentra abaj de la línea se le llama denominador.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 81

Las pizzas son unas tortillas de harina que se condimentan con queso y otras especias. Hay de varios tipos. Por ejemplo, “la mexicana” contiene champiñones, carne molida y chorizo; la “hawaiana” contiene jamón y piña. Joel, José y Jorge compraron dos pizzas de igual tamaño pero de diferentes ingredientes, que se repartirán entre ellos en partes iguales.

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

82 Joel De las pizzas mostradas anteriormente ¿podría usted decir cuánto le toca a cada uno? Observe que si a cada pizza la dividen en tres partes iguales, entonces a cada uno de ellos le corresponderá un pedazo, es decir de cada una. Este número se lee “un tercio” y es una fracción.

Debe tomar en cuenta que, en ocasiones, el todo está formado por un solo objeto (unidad) y en otras por varios (unidades); como en este caso, el “todo” está formado por dos unidades (pizzas). Por eso es que al dividir cada una de las 2 unidades (pizzas) en tres partes iguales, se ve que hay seis partes, y como hay tres personas, éstas pueden tomar 2 partes cada una, sin que haya sobrantes. Por lo tanto, a cada uno de ellos le corresponderá de las dos pizzas, es decir, una tercera parte de una y otra tercera parte de otra.

Jorge José

Ahora analice el siguiente caso: Dos niños disponen de tres litros de leche y desean repartirlos equitativamente sin que sobre nada. Usando un envase como representación de la unidad (litro de leche) se tiene:

1 litro

1 litro

1 litro

Dividiendo cada una de las tres unidades en dos partes iguales ( ), se ve que hay seis partes, y como son dos niños pueden tomar 3 partes cada uno y no hay sobrantes. Estas 3 partes ( ) representan también 1 litros. En este caso, como el todo está formado por tres unidades y el reparto es entre dos personas, a cada niño le corresponde más de una unidad (litro), y el número es una fracción mayor que la unidad.

LAS FIESTAS La señora Martínez ha organizado una reunión para celebrar el cumpleaños de su hija Anita. Así es que preparó siete pasteles para los invitados. La señora acostumbra repartir lo que prepara en forma equitativa entre los asistentes.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 82

06/12/11 11:02

Sesión 18 • Que no quede nada

83 Represente usted cada pastel con una hoja de cuaderno (todas del mismo tamaño) para que pueda visualizar las partes que se mencionen, y luego conteste en su cuaderno lo que se le pide. 1. Si asisten 42 invitados, ¿qué parte le corresponde a cada uno? 2. Suponga que solamente hay cinco invitados y calcule qué parte le corresponde a cada uno. 3. Si hay siete invitados, ¿cuánto pastel le toca a cada uno? 4. A cada invitado le correspondieron los invitados?

de pastel. ¿Cuántos fueron

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Conteste en cada caso lo que se le pide. 5. Si tiene usted una docena de tunas y de ellas toma 3, esto se representa como . Ahora complete las siguientes expresiones:

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva en su cuaderno las cuestiones que se le proponen. 7. Utilizando un rectángulo encuentre diferentes representaciones de . Observe la siguiente figura:

De 12 tunas, son ______ tunas. De 12 tunas, _______son 9 tunas. 6. Si tiene una colección de 15 manzanas y quiere representar de ellas, ¿cómo lo haría? a) C  omplete las siguientes expresiones:

8. Juanita le dió a Reina la mitad de todos sus chocolates y luego la mitad de un chocolate. Si le quedaron 11 chocolates: a) ¿Cuántos chocolates tenía Juanita?

Las partes de 15 manzanas son _____ manzanas. Las partes de 15 manzanas son _____ manzanas. ¿Puede decir cuántas manzanas son de 15? ______ ¿Por qué?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 83

b) ¿Cuántos chocolates recibió Reina?

Compare sus respuestas con las de la clave. Si detecta algún error, corríjalo.

16/11/11 10:37

Rápido y seguro Algunas compañías purificadoras de agua la envasan en botellas con una capacidad específica. A su vez, dichas botellas son empacadas en cajas y colocadas en camiones que se encargan de distribuirlas. En esta sesión verá de qué forma se pueden repartir de igual manera estas cajas sin que quede alguna sin distribuir.

¿Sabía usted que a la semana se deben consumir 14 litros de agua, aproximadamente?

RECUERDE Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente, es decir, cuando su residuo es cero y el resultado es un número natural.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 84

Lea el siguiente texto, en el que se menciona la manera de obtener, en forma rápida, el número que puede dividir exactamente a otro.

Criterios de divisibilidad Una compañía purificadora de agua envasa 6 006 botellas diariamente, las cuales deben estar en cajas de 5 o 6 botellas cada una, de tal manera que no queden botellas sin empacar. ¿Qué será mejor? ¿Que elija empacarlas en cajas que tengan 5 botellas cada una o de 6 botellas? Una forma de saber qué es lo que más conviene consiste en realizar la división del número de botellas envasadas (6 006) entre el número de botellas que debe llevar cada caja (5 o 6). Así sabremos como empacarlas sin que sobren botellas. Existe otra forma de saberlo sin necesidad de realizar las divisiones. ¿La conoce usted?

16/11/11 10:37

Sesión 19 • Rápido y seguro

85 Para determinar si un número puede dividir exactamente a otro sin realizar la división, basta con aplicar algunas reglas, conocidas como criterios de divisibilidad. Las más comunes son: • Todo número es divisible entre 1. •T  odo número terminado en cero o en dígito par (0, 2, 4, 6 y 8) es divisible entre 2. Por ejemplo, 6 006 es divisible entre 2. Si no está convencido, compruébelo realizando la división. •S  i la suma de los dígitos que forman un número la dividimos entre 3 y el residuo es cero, entonces el número es divisible entre 3. Como 6 + 0 + 0 + 6 = 12, y 12 entre 3 es 4 y su residuo es 0, entonces 6 006 es divisible entre 3. •S  i un número es divisible entre 2 y 3, entonces también es divisible entre 6. Como 6 006 es divisible entre 2 y 3, entonces también es divisible entre 6. •D  ecidir si un número es divisible entre 5 es muy sencillo; basta que dicho número termine con las cifras 5 ó 0. Una manera de comprobarlo es realizando la división de 6 006 entre 5:

5

1 201 6 006 10 00 06 1

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 85

residuo

Como el residuo es diferente de cero, entonces 6 006 no es divisible entre 5. De lo anterior se puede concluir que lo que más conviene a la compañía purificadora de agua es empacar el agua en cajas con 6 botellas, pues así asegura que ninguna botella de su producción diaria quede sin empacar. •P  ara verificar si un número es divisible entre 7 hay que realizar el siguiente procedimiento: Primero. 0btener, del número que se trate, el doble del número que ocupa el lugar de las unidades. Por ejemplo:

6 006 Resto del número

unidades, y su doble es 12

Segundo. Realizar la diferencia o resta entre lo que queda del número (que en el ejemplo es 600) y el doble de las unidades (que en el ejemplo es 12).

600 – 12 588 Resto del número

unidades, y su doble es 16

Tercero. Realizar el procedimiento las veces que sea necesario, hasta que la diferencia sea cero, o hasta apreciar,sin realizar operaciones, la divisibilidad entre 7.

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

86

58 – 16 42 Resto del número

unidades, y su doble es 4 4 – 4 0

•P  ara saber si un número es divisible entre 9, la suma de los dígitos que lo forman debe ser divisible entre 9. Entonces, 6 006 no es divisible entre 9, porque 6 + 0 + 0 + 6 = 12, y 12 entre 9 da como resultado 1, con residuo igual a 3.

Entonces 6 006 es divisible entre 7.

LAS CALORÍAS Lea cuidadosamente y trabaje en su cuaderno. Nuestro organismo requiere diariamente de una cierta cantidad de calor o energía para mantener sus funciones. Esta energía se obtiene de las calorías de los alimentos que contienen carbohidratos, grasas y proteínas. Por prescripción médica Raúl tuvo que llevar una dieta de tal forma que el primer día realizaría sólo dos comidas, el segundo tres comidas, el tercer día cinco comidas, el cuarto día seis comidas y en los días siguientes regresaría a tres alimentos al día. 1. Si Raúl tenía que consumir 2 820 calorías diarias, diga usted si podría ingerir comidas que le proporcionaran un número igual de calorías cada día. Para ello conteste antes lo que sigue. a) ¿  2 820 es divisible entre 2? _______ ¿Entre 3? _______ ¿Entre 5?_______ ¿Entre 6? _______ b) A  hora realice las divisiones correspondientes y complete la siguiente tabla:

NÚMERO DE ALIMENTOS POR DÍA

CANTIDAD DE calorías POR ALIMENTO

2 3 5 6

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 86

16/11/11 10:37

Sesión 19 • Rápido y seguro

87

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea el siguiente texto y conteste en su cuaderno lo que a continuación se pide.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Plásticos Tola es una compañía que produce varios tipos de plástico, como el tipo cristal, el estampado y el de colores, entre otros. Al día produce lo siguiente: Un rollo de 13 608 m de plástico tipo cristal, un rollo de 4 116 m de plástico color rosa y un rollo de 9 864 m de plástico estampado. Para venderlo lo corta en tramos que deben tener la misma longitud, con el fin de que no se desperdicie.

Conteste en su cuaderno lo que a continuación se pide. De los números siguientes subraye: 7. Los divisibles entre 3. 873, 1 857, 1 472, 1 429, 12 423, 24 216 8. Los divisibles entre 5.

Aplicando los criterios de divisibilidad, determine lo siguiente: 1. ¿Qué números dividen de manera exacta cada cantidad de plástico producido por la compañía? 2. ¿De qué medida serían los tramos cortados?

375, 2 530, 9 101, 74 552, 218 250, 471 935 9. Los divisibles entre 7. 119, 1 472, 5 589, 12 423, 53 361, 70 141 10. Los divisibles entre 9.

3. ¿Qué cantidad de plástico produce en total la compañía? 4. Si el almacén de dicha compañía fue construido en un terreno en forma de cuadrado y su área es de 3 844 m2, ¿cuánto mide cada uno de sus lados? Dé su resultado exacto y el resultado redondeado. 5. Si la producción de plástico tipo cristal se realiza en 8 horas, ¿qué cantidad de plástico se produce en media hora? 6. La materia prima para la producción del plástico es el PVC, por el cual la compañía paga a la surtidora de dicho material $0.96 por cada metro de plástico producido. ¿Cuánto pagó la compañía por el PVC para lograr la producción total indicada en el punto 3?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 87

85, 153, 297, 483, 714 11. Multiplique su edad por su peso, y del número obtenido determine qué números lo dividen exactamente.

Compare sus respuestas con las de la clave y si cometió algún error, corrija.

Observe el programa de televisión en el cual encontrará información relativa a la divisibilidad entre los números 2, 3, 5, 7 y 9.

24/11/11 11:07

Mi peso ideal En muchos casos, la obesidad se debe a que las personas comen alimentos con una alta concentración energética, además de que realizan poca actividad física, tanto en el trabajo como durante las horas de ocio. En esta sesión se analizará información relativa al peso ideal de una persona.

¿Sabía usted que para calcular la cantidad de calorías que necesita su cuerpo diariamente se toma como base su peso en kilogramos? Si es varón se multiplica esa cantidad por 40, y si es mujer se multiplica por 35. Al resultado se le resta 10 por cada año que exceda de los 22. Así obtendrá el número de calorías que su cuerpo necesita diariamente.

RECUERDE ecen Los datos numéricos que aparnar en una tabla se pueden ordemayor en forma descendente (de ente a menor) o en forma ascend (de menor a mayor). SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 88

Lea el siguiente texto en el que se explica la manera de analizar la información contenida en una tabla.

Análisis de tablas De acuerdo con la economía familiar, la adquisición de alimentos a bajo costo contribuye a que el dinero nos rinda más. Por lo tanto, es importante comparar precios de productos en las diferentes tiendas donde éstos se pueden adquirir, para realizar así la mejor elección. Enseguida se muestra una tabla con algunos productos de consumo general y los precios que tienen en diferentes tiendas.

16/11/11 10:37

Sesión 20 • Mi peso ideal

89

LISTA COMPARATIVA DE PRECIOS DE ALGUNOS PRODUCTOS BÁSICOS PRODUCTO BÁSICO

BODEGAS

SUPERMERCADOS

TIENDAS INSTITUCIONALES

1

2

1

2

3

Aceite, 1 l

8.22

8.36

8.30

8.62

8.32

8.10 *7.91

Arroz, bolsa 1 kg

5.60 * 5.52 5.71

5.92

5.76

6.05

5.79

Atún, lata 174 g

3.56 * 3.50 3.70

3.63

3.61

3.64

3.56

Café soluble, 100 g

11.60 11.65 11.97 11.89 12.15 11.00 *10.92

Chiles en rajas, lata 200 g Harina de arroz, paquete 500 g Huevo blanco, docena Leche evaporada, lata 410 g Manteca vegetal, paquete 1 kg Salchicha, 1 kg

1

2

2.30

2.25

2.50

2.38

2.27 * 2.00 2.12

3.38

3.35

3.66

3.70

3.70 * 2.90

7.67

7.90

7.50

7.88

8.10

7.53 * 7.17

4.44

4.45

4.67

4.48

4.78

4.36 * 4.24

11.80 10.24 10.65 11.42 11.85 * 9.23 10.06

*15.90 19.26 20.73 21.60 22.08 22.29 16.66

* Precio más bajo. Datos levantados por PROFECO (Procuraduría Federal del Consumidor) entre los días 1° y 11 de julio de 1996, en la zona metropolitana de la Ciudad de México.

TALLA en centímetros

EL PESO IDEAL

142

LÍMITE INFERIOR PESO PROMEDIO RECOMENDADO en kilogramos en kilogramos

45.11 46.23 47.34

156

41.48 42.44 43.39 44.36 45.32 46.26 47.23 48.18

158

49.14

54.04 55.16

144

En la siguiente tabla se muestra el peso ideal para las mujeres de acuerdo con su talla (estatura). Basándose en ella, conteste las preguntas que se le hacen.

Esta tabla, que contiene los precios de algunos productos, está organizada, lo que permite compararla y analizarla en forma sencilla y ordenada. Por ejemplo, la información de la tabla presenta tres tipos de tiendas donde se puede adquirir el producto indicado. Si analizamos los precios, podemos observar que éstos son más bajos en las tiendas institucionales que en cualquiera de las otras tiendas para la mayoría de los productos; y, aunque algunos son más baratos en bodega, usted puede apreciar dónde le conviene más adquirirlos. Cuando se desea dar a conocer una información que contiene muchos datos, una forma de hacerlo es por medio de tablas. Un objetivo fundamental de escribir información en tablas es el de presentarla en forma clara y resumida, así como proporcionar elementos para facilitar la comparación entre renglones y columnas.

146 148 150 152 154

160

50.01

162

51.05 52.01

164 166 168 170

52.96 53.92 54.88

48.46 49.58 50.69 51.81 52.92

56.27 57.39 58.50 59.62 60.74

LÍMITE SUPERIOR RECOMENDADO en kilogramos

48.73 50.01 51.28 52.55 53.83 55.11 56.38 57.65 58.93 60.21 61.48 62.67 64.03 65.31 66.59

Tabla elaborada por Leticia Casillas y Alberto Vargas. "Archivo de Investigación Médica", Instituto de Investigaciones Antropológicas, México, vol. 11, núm. 1, 1980.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 89

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

90

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

1. ¿Cuáles son las tallas mínima y máxima que se utilizan en esta tabla? 2. Para una mujer que mide 154 cm, ¿cuál es su peso mínimo recomendado? Y, ¿cuál es su peso máximo recomendado? Ahora sume los pesos mínimo y máximo recomendados, y el resultado divídalo entre dos. Compare su resultado con el número correspondiente de la tercera columna (peso promedio). 3. ¿Cuál es el peso promedio de una mujer que mide 168 cm? 4. ¿Cuál es la diferencia, en kilogramos, entre el límite superior y el límite inferior recomendados para una mujer que mide 146 cm? 5. Si usted es mujer, busque su peso ideal de acuerdo con su estatura.

Basándose en la información contenida en la siguiente tabla sobre la talla y el peso ideal en los hombres, conteste las preguntas que se le hacen. TALLA en centímetros 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184

LÍMITE INFERIOR PESO RECOMENDADO PROMEDIO en kilogramos en kilogramos 45.99 47.20 48.40 49.61 50.82 52.03 53.23 54.44 55.65 56.86 58.07 59.27 60.49 61.68 62.90 64.11 65.32

LÍMITE SUPERIOR RECOMENDADO en kilogramos

50.87 52.09 53.30 54.62 55.74 56.96 58.17 59.39 60.61 61.83 63.04 64.26 65.48 66.69 67.91 69.13 70.35

55.74 56.97 58.19 59.42 60.65 61.88 63.10 64.33 65.55 66.79 68.00 69.24 70.46 71.69 72.91 74.14 75.37

Tabla elaborada por Leticia Casillas y Alberto Vargas. "Archivo de Investigación Médica". Instituto de Investigaciones Antropológicas, México, vol. 11, núm. 1, 1980.

6. ¿Cuál debe ser el peso promedio de un hombre cuya estatura es 152 cm? a) ¿  Cuántos kilogramos le faltarían para llegar al límite superior recomendado? b) ¿  De cuánto es la diferencia entre el peso límite inferior y el peso promedio? 7. Si un hombre con una estatura de 182 cm tiene un peso mayor a 84 kg, ¿está dentro de los límites de su peso? ¿Cuántos kilogramos tiene de más? 8. ¿Cuál es el límite inferior recomendado para un hombre que mide 162 cm? ¿Cuál es el límite superior? ¿Cuál es la diferencia entre estos dos límites? 9. ¿Cuál es la suma de los pesos promedio de dos hombres cuyas estaturas son 156 y 178 cm? 10. Si usted es hombre, busque su peso ideal de acuerdo con su estatura.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 90

16/11/11 10:37

Sesión 20 • Mi peso ideal

91

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? De acuerdo con el contenido de la siguiente tabla, conteste las preguntas siguientes:

LAS DIEZ CIUDADES MÁS POBLADAS DEL MUNDO CIUDAD

NÚMERO DE HABITANTES en millones

Tokio México Nueva York Sao Paulo Shangai Pekín Río de Janeiro Los Ángeles Bombay Calcuta

23.4 22.9 21.8 19.9 17.7 15.3 14.7 13.3 12 11.9

PAÍS

Japón México EEUU Brasil China China Brasil EEUU India India

CONTINENTES

Asia América América América Asia Asia América América Asia Asia

Fuente: Guía Mundial 1993.

11. ¿Cuál es la ciudad más poblada del mundo? ¿Cuántos millones de habitantes tiene? 12. De las ciudades que están incluidas en la tabla, ¿cuál es la que contiene menor cantidad de habitantes y en qué continente se encuentra? 13. ¿Cuántos millones de habitantes le hacen falta a la ciudad de México para que tenga la misma cantidad de habitantes que la ciudad de Tokio? 14. ¿Cuántas ciudades de la tabla se ubican en el Continente Americano? Y de ellas, ¿cuál es la más poblada? 15. ¿A qué población se aproxima la suma de los habitantes de las ciudades de Bombay y Calcuta? 16. En la tabla, ¿existen ciudades que pertenezcan al mismo país? ¿Cuáles son y a qué país pertenecen?

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 91

16/11/11 10:37

Información organizadaTítulo Introducción En esta sesión usted aprenderá a organizar información en tablas, con lo cual le será más fácil y rápido interpretarla. Lea el siguiente texto en el que encontrará la manera de organizar información en tablas.

Organización de la información en tablas

¿Qué sabe usted acerca del consumo de insectos como alimento en su comunidad? ¿Alguna vez ha comido jumiles, o gusanos de maguey, de nopal o algún otro insecto?

En una revista se publicó la cantidad de proteínas que proporcionan algunos insectos que sirven de alimento en ciertas regiones de la República Mexicana. A continuación se le presentan datos en forma desorganizada que incluyen el nombre del insecto comestible, el lugar donde se consume y la cantidad de proteínas que proporciona, por cada 100 g. En Chiapas, Guerrero, Tamaulipas, Hidalgo, Veracruz, Guanajuato, Yucatán, Oaxaca y Campeche se comen las hormigas arriera, mielera, chicatacana y mexicana, que proporcionan 50.5 g de proteínas por cada 100 g de alimento de cada una. En el Estado de México, Hidalgo, Tlaxcala, Michoacán, Puebla y Zacatecas se comen escamoles, cuyo contenido de proteínas por cada 100 g es de 53.5 g. Los jumiles se consumen en el Estado de México, Morelos, Guerrero, Hidalgo, Veracruz, Querétaro, San Luis Potosí y Distrito Federal. Su contenido de proteínas es de 47.5 g por cada 100 g. En Oaxaca, Guerrero, Puebla, Hidalgo y Morelos se comen los chapulines, que proporcionan 64.5 g de proteínas por cada 100 g. Los gusanos de maguey se consumen en toda la república, pero principalmente en Nayarit, Veracruz, Oaxaca, Michoacán, Hidalgo y Estado de México. Su contenido proteínico es de 53.2 g por cada 100 g de gusanos. ¿Cómo organizaría usted esta información, de manera que fuera más clara, es decir, más fácil de comprender?

RECUERDE

RECUERDE

La información las presentada en taba y facilita su lectur rma comprensión en fo. clara y resumida SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 92

16/11/11 10:37

Sesión 21 • Información organizada

93

Una de las formas de organizar y presentar una información, de manera que resulte clara y concisa, es con el uso de tablas. Por ejemplo, usted puede leer y comprender mejor la información que le dimos anteriormente si la organizamos así:

LUGARES DONDE LOS INSECTOS SON PARTE DE LA ALIMENTACIÓN INSECTOS COMESTIBLES (NOMBRE COMÚN)

Hormigas: arriera,

Observe que de esta forma es más fácil analizar la información. Con el uso de tablas como la anterior se facilita la organización y consulta de datos, aunque no es ésta la única manera de organizarla; existen otras que buscan presentar la información de modo que se proporcionen elementos para facilitar la comparación entre renglones y columnas.

gramos LUGARES DE PROTEÍNAS DONDE SE CONSUMEN POR CADA 100 g DE INSECTOS 50.5 g

Chiapas, Guerrero, Tamaulipas,

mielera, chicatana,

Hidalgo,Veracruz, Oaxaca,

mexicana

Guanajuato, Yucatán, Campeche

Escamoles

53.5 g

Edo. de México, Hidalgo, Tlaxcala, Michoacán, Puebla, Zacatecas

Jumiles

47.5 g

Edo. de México, Morelos, Guerrero, Hidalgo, Veracruz, Querétaro, San Luis Potosí, D.F.

Chapulines

64.5 g

Oaxaca, Guerrero, Puebla, Hidalgo, Morelos

Gusanos de maguey

52.7 g

En toda la República, pero principalmente

Por ejemplo: Para que una tabla pueda leerse clara y fácilmente, hay que tener en cuenta los siguientes aspectos: •E  l título y los encabezados de una tabla deben explicar de manera clara y breve su contenido. Si se cree necesario, al pie de la tabla se pueden agregar notas con explicaciones y con la fuente de donde se obtuvieron los datos. • También hay que indicar, en un lugar visible, las unidades que se están utilizando para expresar las diferentes magnitudes. Por ejemplo: cientos, miles, millones, kilogramos, gramos, metros, centímetros, pesos, tanto por ciento, etcétera.

en los estados de Nayarit, Veracruz,Oaxaca, Michoacán, Hidalgo, Edo. de México Fuente: "Revista del Consumidor", México, Núm. 116, octubre 1986.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 93

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

94

APLIQUEMOS LO APRENDIDO LA DESNUTRICIÓN INFANTIL En una clínica, una enfermera registró durante el primer semestre del año pasado (es decir, de enero a junio) los casos de desnutrición en niños, como consecuencia de una mala alimentación. Los casos fueron como se menciona: Enero: 12 niños y 17 niñas. Febrero: un total de 23 casos, de los cuales ocho fueron niños. Marzo: 17 niños y 16 niñas. Abril: 22 niños y 27 niñas, Mayo: un total de 20 casos, de los cuales 11 fueron niños. Junio: 5 niños y 8 niñas. Organice la información anterior en una tabla utilizando columnas para meses, número de niños, número de niñas y el total. Una vez construida la tabla, conteste las siguientes preguntas:

Realice las siguientes actividades: 5. Organice en una tabla la siguiente información comparativa de los continentes:

África cuenta con un área de 30.271 millones de km2, de esta área 5.388 millones de km2 son de tierras cultivables y un total de 35 países. América cuenta con un área de 42.044 millones de km2, de los cuales 9.670 millones de km2 son de tierras cultivables y un total de 35 países. Asia, que tiene 48 países, cuenta con un área de 44.020 millones de km2 y 10.124 millones de km2 son de tierras cultivables. Europa cuenta con un área de 10.530 millones de km2 en 44 países y 4.633 millones de km2 son de tierras cultivables. Oceanía tiene un área total de 8.500 millones de km2 en 13 países y 0.935 millones de km2 son de tierras cultivables. Por último, Antártida sólo cuenta con un área de 14 millones de km2 y no tiene tierras cultivables.

1. ¿En qué mes del primer semestre se registró la mayor cantidad de casos de desnutrición?

6. Con base en la información anterior, conteste las siguientes preguntas:

2. ¿Cuál fue el total de casos de desnutrición de todo el semestre?

a) ¿Cuál es el continente más extenso?

3. ¿Cuál fue el total de casos de desnutrición en niñas? Y, ¿cuál fue el total de niños? 4. ¿Cuáles son los aspectos que deben considerarse para que una tabla pueda leerse con claridad?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 94

b) ¿  Qué continente cuenta con mayor superficie de tierras cultivables? c) ¿En qué continente hay más países? d) O  rganice los continentes de acuerdo con su extensión, del mayor al menor.

16/11/11 10:37

Sesión 21 • Información organizada

95

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Escriba la siguiente información en una tabla: En el campeonato mexicano de futbol, hasta la jornada 32 del torneo 95 - 96 los seis máximos goleadores eran: con 19 goles, el brasileño Milton Quéiroz, del equipo León; el mexicano Ricardo Peláez, del equipo Necaxa, con 15 goles; también el mexicano Carlos Hermosillo, del equipo Cruz Azul, con 26 goles. Y con 14 goles el español Emilio Butrageño, el mexicano Luis García y el brasileño Antonio C. Santos, de los equipos Celaya, América y Veracruz, respectivamente. 7. Responda las siguientes preguntas: a) ¿  De qué nacionalidad es el mayor goleador y a qué equipo pertenece? b) ¿  Quién es el segundo goleador y a qué equipo pertenece? c) ¿  Qué diferencia de goles hay entre el primero y el segundo goleador?

Revise sus resultados y compárelos con los de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 95

16/11/11 10:37

Juegos y pasatiempos Lo invitamos a divertirse resolviendo los siguientes pasatiempos. Con ellos, reafirmará además los conocimientos básicos que estudió en esta unidad.

Resuelva los ejercicios que se le piden: 1. La siguiente figura representa un terreno dividido en seis cuadrados iguales. Si sus bardas son fácilmente removibles y se desea acomodar cinco de ellas para que queden únicamente tres rectángulos, ¿cuáles movería? No deben quedar bardas sobrantes. Si quiere puede hacer un modelo con palitos o cerillos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 96

16/11/11 10:37

Sesión 22 • Juegos y pasatiempos

97 2. Al poner de cabeza los dígitos que se representan en la pantalla de una calculadora, simulan letras del alfabeto: Así:

1=

6=

2=

7=

3=

8=

4=

9=

5=

0=

1.8 1.1 1.9

Usando un poco de imaginación y formando ciertas cantidades, usted puede leer palabras con sólo poner de cabeza la calculadora. Por ejemplo, un caballero le envió a su prometida el siguiente mensaje:

( 250 x 404 ) + 76 2 Realice en la calculadora las operaciones indicadas, y una vez obtenido el resultado invierta la calculadora para leer el mensaje que aparece. ¿Cuál es?

3. Escriba en los círculos vacíos los números que aparecen en la lista, de tal manera que al sumar los tres de la misma línea el resultado sea 4.5.

2.4 1.2 2.7 0.3 0.6

1.5

4. Resuelva el siguiente crucigrama:

H orizontales

V erticales

A) 152 + 235 C) 6 x (3 + 1) D) Número divisible entre 3 y entre 32 E) 8 + 10 x 9 G) [28 x (6 + 8)] - 21 I) 4 000 + 300 + 60 + 2 J) Múltiplo de 5 comprendido entre 81 y 89 K) 169 M) Cuarto múltiplo C de 45

A) 19.4 + 14.6 B) 256 C) 63 E) 900 + 30 + 3 F) 1 563 – 687 H) (30 – 19) x 11 I) Número desconocido J) 92 L) 900 A

B D E G

F H

I

Compare sus respuestas con las de la clave. Corrija si es necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 97

J

K

L

M

16/11/11 10:37

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • Potenciación y radicación. • La tabla de cuadrados. • Jerarquía en las operaciones. • Equivalencia y orden en los decimales. • Suma y resta de decimales. • Múltiplos y divisores. Con base en la lista anterior de temas, realice las siguientes actividades:

• Representación de fracciones. • Criterios de divisibilidad. • Análisis de tablas. • Organización de la información en tablas.

—D  iga en cuál de los temas tuvo mayor dificultad para aprender los conceptos que se expusieron. —D  esarrolle, en su cuaderno, una síntesis del contenido principal de cada uno de los temas estudiados. —S  i cree tener alguna duda sobre uno o más temas, regrese a él y analícelo con más detenimiento.

—E  n las actividades que realiza normalmente, ¿se le ha presentado la necesidad de calcular la raíz cuadrada de un número? Si fue así, ¿cómo lo ha hecho? —M  encione cinco actividades donde tenga necesidad de realizar operaciones con números decimales. —D  escriba otras actividades donde haya aplicado los demás contenidos de esta unidad.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 98

16/11/11 10:37

Sesión 23 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

99

En esta sesión usaremos las matemáticas para analizar las necesidades alimenticias diarias en las diferentes edades del niño. Una de las diferencias entre un niño y un adulto es que el niño exige alimento con más frecuencia. En efecto, es claro que la necesidad alimenticia de un niño es más importante. Por lo demás, las necesidades alimenticias de un pequeño de un año son, por naturaleza, distintas de las de uno de diez años, tanto en calidad como en cantidad. En la siguiente tabla se muestran las necesidades alimenticias diarias de los niños en sus diferentes edades, hasta los 10 años. NECESIDAD ALIMENTICIA EN LAS SUCESIVAS EDADES DEL NIÑO (en las condiciones de México) EDADES (meses y años ENERGÍA PROTEINAS cumplidos) (cal) (g)

VITAMINAS

MINERALES CALCIO (mg)

HIERRO (mg)

600 600 600 500 500 500

10 15 15 15 10 10

TIAMINA (mg) B1

RIBOFLAVINA (mg) B2

0.06/kg 0.05/kg 0.6 0.6 0.8

0.07/kg 0.06/kg 0.8 0.8 0.9 1.3

NIACINA (mg) B5

ÁCIDO ASCÓRBICO (mg) C

RETINOL (mcg*) A

40 40 40 40 40 40

500 500 500 500 500 500

Niños y niñas 0 - 3 meses 4 - 11 meses 12 - 23 meses 2 - 3 años 4 - 6 años 7 - 10 años

120/kg** 110/kg 1 000 1 250 1 500

2 000

2.3/kg 2.5/kg 27 32 40 52

1.1

1.1 /Kg 1.0/Kg 11.0 11.0 13.5 18.9

* mcg (microgramos) Representan la milésima parte de un gramo (0.000 001g). ** Esto quiere decir que se necesitan 120 cal por cada kilogramo de peso Fuente: Comisión Nacional de la Alimentación. México, segunda edición revisada, 1992.

Observe que en los meses anteriores al primer año de edad, las calorías se calculan con base en el peso del niño. En la columna de energéticos (cal) ¿qué cantidad de calorías necesitan los niños de 4 a 11 meses? Para determinar esta cantidad es necesario multiplicar el peso del niño (en kilogramos) por el factor 110. 1. Si un niño de 11 meses pesa aproximadamente 9.5 kg, complete la siguiente tabla de sus necesidades alimenticias con base en el cuadro anterior.

NECESIDAD ALIMENTICIA EN LAS SUCESIVAS EDADES DEL NIÑO (en las condiciones de México) MINERALES EDAD

PESO

ENERGÍA PROTEÍNAS CALCIO HIERRO (cal) (g) (mg) (mg)

11

meses 9.5 kg

600

VITAMINAS TIAMINA (mg) B1

RIBOFLAVINA (mg) B2

15

NIACINA (mg) B5

ÁCIDO ASCÓRBICO (mg) C

RETINOL (mcg*) A

40

500

Fuente: Comisión Nacional de la Alimentación, México, segunda edición revisada, 1992.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 99

16/11/11 10:37

Unidad 2 • La alimentación

100

2. De acuerdo con la siguiente tabla, que contiene los valores nutritivos de algunos alimentos por cada 100 g, realice las actividades que se indican.

VALOR NUTRITIVO DE LOS ALIMENTOS CONSUMIDOS EN MÉXICO (En 100 g de alimento crudo en peso neto) MINERALES ALIMENTO

PROTEÍNAS ENERGÍA CALCIO (cal) (mg) (g)

Acelga Aguacate Ajo Apio Arroz Atún con aceite Avena (hojuelas) Cacahuate Calabaza (italiana) Carne de cerdo Carne de res Chabacano Chícharo Chile serrano Coco (agua) Epazote Espinaca Fresa Frijol bayo Frijol negro Guayaba Haba seca Harina de maíz Huevo Jitomate Leche Lechuga Lenteja Limón Maicena Naranja Nopales Pan dulce Papa amarilla Pollo Sardina en tomate Tomate verde Tortilla de maíz Verdolaga Zanahoria

2.9 1.6 3.5 0.8 7.4 24.2 16.2 17.1 1.8 16.7 20.9 0.6 9.0 2.3 0.3 2.7 2.9 0.6 22.7 21.8 0.8 22.6 9.8 12.1 0.6 3.3 1.0 22.7 1.2 0.6 0.9 1.7 9.1 1.7 18.6 18.7 1.0 4.6 2.3 0.4

27 144 151 19 364 228 385 602 18 275 147 43 140 35 18 25 16 30 332 332 51 354 433 158 11 61 13 331

20 357 47 27 384 90 215 197 24 214 26 44

62 24 19 52 10 7 52 65 25 6 6 25 37 35 18 284 66 14 200 183 20 49 136 56 7 119 16 74 61 8 40 93 34 11 11

449 18 196 86 26

VITAMINAS

ÁCIDO HIERRO RETINOL (mcg) ASCÓRBICO (mg) TIAMINA (mg) RIBOFLAVINA (mg) NIACINA (mg) (mg) (A) (B 2 ) (B5 ) (B 1 ) (C)

3.9 0.5 1.5 1.4 1.1 1.2 4.2 3.4 0.5 0.9 2.3 0.5 2.8 1.6 1.2 4.7 4.4 0.4 5.7 4.7 0.3 7.3 3.4 2.1 0.5 0.01 0.4 5.8 0.7 0.9 0.1 1.6 1.3 2.1 0.9 4.1 0.5 2.6 1.9 1.5

330 20

14

6

10

99 8

6 5 101 2 2 6 136 64 50

13

155

11

320 4

40 57

32 5

183

8 60 65 2

156

500 31 44 4 4

18 1

7 77

0.05 0.09 0.08 0.02 0.23 0.04 0.73 0.22 0.06 0.73 0.11 0.03 0.33 0.14 0.01 0.03 0.10 0.02 0.69 0.63 0.05 0.91 0.31 0.09 0.06 0.04 0.05 0.69 0.05

1 12 260

53 8 17

41 9 4 20 361 666

2 13 19

0.09 0.03 0.26 0.09 0.06 0.01 0.08 0.15 0.02 0.04

0.23 0.14 0.11 0.04 0.03 0.10 0.14 0.34 0.06 0.23 0.19 0.46 2.10 0.05 0.01 0.11 0.16 0.07 0.14 0.17 0.05 0.31 0.05 0.30 0.05 0.16 0.03 0.19 0.04 0.02 0.04 0.06 0.09 0.05 0.12 0.27 0.04 0.05 0.10 0.04

0.5 1.9 0.9 0.4 1.6 11.1

0.8 1.6

0.5 4.3 3.6 0.6 2.3 1.3 0.3 0.5 0.5 0.2 1.7 1.8 1.2 2.3 2.4 0.1 0.6 0.1 0.3 2.0 0.2 0.3 0.3 1.0 2.0 16.8 5.3 1.7 1.0 0.6 0.5

Fuente: Tablas de uso práctico del valor nutritivo de los alimentos de mayor consumo en México, Comisión Nacional de la Alimentación, México, segunda edición revisada, 1992.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 100

16/11/11 10:37

Sesión 23 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

101

Si usted alimenta a un niño de 8 años de edad y le da a comer un plato que contiene 100 g de frijoles negros aproximadamente, entonces: a) ¿  Cuántos gramos de proteínas le falta para cubrir el mínimo requerido?¿Cuántas calorías le hacen falta? b) M  encione algunos alimentos que le daría al niño para completar las proteínas requeridas, y que también le proporcionaran vitamina A. c) S  i la vitamina C (ácido ascórbico) ayuda a prevenir las enfermedades gripales, escriba cuatro alimentos con un alto contenido de vitamina C y ordénelos de mayor a menor, según su contenido de ácido ascórbico. d) D  e acuerdo con el contenido proteico, ordene los cuatro alimentos anteriores en forma ascendente. 3. Organice una dieta balanceada para un día y que le proporcione al niño la mayor cantidad de nutrientes. Con base en ella, anote el total de cada nutriente que le está proporcionando. Tenga en cuenta la cantidad de cada alimento. Use su calculadora.

Compare sus respuestas con las de la clave. Si tiene errores, corríjalos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 101

16/11/11 10:37

Lo que hemos aprendido En esta sesión reafirmará los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad, los cuales le ayudarán a resolver problemas que se le presentan en la vida diaria.

Realice los siguientes ejercicios:

l. D  e los problemas siguientes, escriba en el paréntesis el inciso que corresponda a la respuesta correcta.

1. Si un terreno de forma cuadrada tiene 225 m2 de superficie, ¿cuántos metros mide por lado?..................................................................................... ( ) a) 15

b) 112.5

c) 252

d) ninguna

2. El resultado de la operación 2 + 9 ÷ 3 x 4 – 14 es:................................. ( a) 10

b) 6

c) 0

)

d) ninguna

3. Laura pesa 1.5 kg más que Rosa, y ésta pesa 2.750 kg menos que Raquel. ¿Cuál es el peso de Laura si el de Raquel es de 45 kg?.............................. ( ) a) 46.250 kg

b) 49.250 kg

c) 43.750 kg

d) ninguna

4. Se tiene 16 cajas de chocolate y cada caja contiene 16 chocolates. ¿Cuántos chocolates hay en total?................................................................ ( a) 32

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 102

b) 256

c) 160

)

d) ninguna

16/11/11 10:37

Sesión 24 • Lo que hemos aprendido

103

5. Hay 50 kg de azúcar y se tiene que empacar en bolsas de igual peso sin que sobre azúcar. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una forma de lograrlo?........................................................................................................ ( ) a) bolsas de 5 kg

b) bolsas de 7 kg

c) bolsas de 3 kg

d) ninguna

6. En un aeropuerto se tienen dos contadores electrónicos de flujo de personas, uno registra de tres en tres y el otro de cinco en cinco. En el momento en que ambos se detienen uno señala 840 y el otro 560. Diga cuál de los dos es el que marca de tres en tres................................ ( ) a) el que marca 840

b) el que marca 560 c) no se puede saber

d) ninguna

ll. Resuelva los siguientes problemas:

Una compañía fabricante de productos farmacéuticos entregó a una farmacia 96 cajitas de complemento vitamínico B1 (tiamina). 1. Se quiere empacar las 96 cajitas de manera que cada empaque contenga la misma cantidad de cajitas, sin que sobre alguna. ¿De cuántas formas se puede lograr esto? 2. Si se hacen paquetes de 16 cajitas cada uno, ¿cuántos paquetes se obtienen en total? 3. Si la base del paquete es de forma cuadrada, ¿cuántas cajitas tendrá el paquete por cada lado? 4. Si el área de la base del paquete es de 64 cm2, ¿cuál es la longitud de cada uno de sus lados? 5. Si la base de la cajita también es de forma cuadrada, ¿cuánto mide la longitud de cada cajita? ¿Cuál es el área de la base de cada cajita? 6. Si cada cajita de complemento vale $35.00, ¿cuánto valen las 96 cajitas? 7. Si se vendió del total de cajitas, ¿qué fracción falta por venderse y qué cantidad representa dicha fracción?

Compare sus respuestas con las de la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 103

16/11/11 10:37

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 104

16/11/11 10:37

UNIDAD

EL TRABAJO

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 105

16/11/11 10:37

H

¿

a tenido dificultades para resolver algún problema? ¿En qué consistió la dificultad? ¿No entendió el enunciado del problema? ¿No tiene conocimiento necesario para resolverlo? Si le sucede algo de lo que aquí le planteamos, no dude en: • Leer el enunciado del problema las veces

que lo considere, hasta identificar los datos que se proporcionan, la información a buscar y la relación que existe entre los datos. • R ealizar dibujos o esquemas que le ayuden a comprender el problema. • R evisar las sesiones anteriores en las que se desarrollan los conocimientos que necesita para resolver los que aparecen en las nuevas sesiones. Intente poner en práctica estas sugerencias. Probablemente usted pueda resolver los problemas. Material para esta unidad: cuaderno de trabajo, calculadora de bolsillo, juego de geometría: regla, compás, escuadras y transportador.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-057-106.indd 106

16/11/11 10:37

Una figura dice más que mil palabras En revistas, periódicos, libros, etcétera, se utilizan gráficas para mostrar alguna información de manera clara y sencilla. En esta sesión analizará dos tipos de gráficas, la de barras y el pictograma. Lea el siguiente texto, en el que se menciona la manera de interpretar una gráfica.

¿Sabía usted que la jornada de trabajo es el tiempo durante el cual usted está a disposición del patrón para prestar su trabajo? La duración máxima de la jornada diurna es de ocho horas, la nocturna dura siete, y la mixta siete horas y media.

La información contenida en tablas es más fácil de analizar e interpretar.

En el año de 1996 el desempleo en México representó un grave problema, pues a pesar de los esfuerzos realizados aumentó el número de gente sin empleo respecto del año anterior. Con datos proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI) se elaboró la gráfica que se presenta a continuación, donde se puede apreciar cómo fue cambiando el número de desempleados desde enero de 1995 hasta febrero de 1996. DESEMPLEO A NIVEL NACIONAL POR MILES DE DESEMPLEADOS

RECUERDE

Interpretación de gráficas de barras y pictogramas

3 000 2 555

2 500 2 205

2 000 1 500

1 855

2 660

2 555 2 345

2 310 2 310

2 030

1 995

2 240 2 205 1 925

1 575

1 000

500 0

Ene 95 Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic Ene 96 Feb

Fuente: INEGI, 1996.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 107

01/12/11 13:23

Unidad 3 • El trabajo

108 A este tipo de gráficas se les conoce como gráficas de barras. Por otra parte, el número de desempleados que se registró en un mes del año 1995 se puede comparar con el número de desocupados que hubo en el mismo mes del año 1996. Por ejemplo, si se compara el número de desempleados registrados en el mes de enero de 1995 (1 575 000) con respecto al número registrado en el mes de enero de 1996 (2 240 000), se observa que en este último hubo 665 000 desempleados más que en el mismo mes del año anterior. ¿Podría usted mencionar algunos problemas que acarrea el incremento de desempleados?

De la gráfica anterior en la que se muestra el desempleo a nivel nacional, usted puede observar que aparece una barra para cada mes y que la altura de cada barra varía de acuerdo con el número de desempleados. Además, en la parte izquierda de la gráfica aparece una leyenda (por miles de desempleados), la cual indica que cada número que aparece sobre la barra deberá multiplicarse por 1 000, para obtener el número total de desempleados en cada mes. De esta manera se observa claramente el comportamiento que tiene el índice de desempleo, esto es, cómo aumenta o disminuye el número de personas desempleadas en cada uno de los meses que se analizan y comparan. Sin necesidad de ver el número de desempleados por mes, ¿podría usted decir, en qué mes del año de 1995 se registró la mayor cantidad de desempleo? ¿En qué se basó para contestar lo anterior? ¡Claro! Comparando las alturas de las barras y observando cuál es la más alta, ya que la altura de cada una de ellas representa el número de desempleados registrados por mes.

Otra forma de representar gráficamente la información es por medio de un pictograma, que en lugar de barras utiliza figuras que representan una cantidad preestablecida. Al inicio de cada ciclo escolar las papelerías aumentan sus ventas debido a la gran demanda de artículos escolares. Observe el siguiente pictograma, que muestra la venta de cuadernos con las mismas características en cuatro diferentes papelerías.

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

CLASICO®

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 108

CLASICO®

CLASICO®

06/12/11 11:18

Sesión 25 • Una figura dice más que mil palabras

109 ¿Sabe a cuánto equivale cada cuaderno que aparece en la gráfica? Y, ¿cuál es la venta que tuvo cada tienda? Si cada cuaderno del pictograma equivale a 100 cuadernos vendidos y en la tienda 1 hay 11 cuadernos, al realizar la operación 11 x 100 = 1 100, resulta entonces que en esa tienda se vendieron 1 100 cuadernos. Si en la tienda 4 hay 10.5 cuadernos, éstos

equivalen a 1 050 cuadernos vendidos (10.5 x 100 = 1 050), ¿cuántos cuadernos vendieron las tiendas 2 y 3, respectivamente? ¿De qué manera obtiene usted la respuesta a esta pregunta? Con esto, es fácil detectar la tienda que vendió más cuadernos; en consecuencia, se concluye que probablemente también fue la que obtuvo mayor ganancia en la venta de ese producto.

MUJERES ACTIVAS La siguiente gráfica representa el resultado de una entrevista que se realizó a 165 mujeres de una comunidad para conocer el tipo de actividad a la que se dedican. Obsérvelo con atención y después conteste las preguntas que a continuación se piden.

NÚMERO DE MUJERES

60 50 40 30 20 10

0

Ama de Casa

Profesionista

Comerciante

Secretaria

Obrera

1. ¿Qué cantidad de mujeres se dedicadan al comercio?

¿Cuál es la diferencia entre ambas cantidades?

2. ¿Cuántas son profesionistas? 3. ¿Cuántas son secretarias?

5. ¿Por qué cree usted que el número de profesionistas es menor que el de amas de casa?

4. De este grupo de mujeres entrevistadas, ¿qué actividad tiene más participantes? ¿Cuál tiene menos participantes?

6. ¿Cuál cree que sea la causa de que la mayoría de las mujeres que trabajan sean amas de casa?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 109

01/12/11 13:23

Unidad 3 • El trabajo

110 ¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Lea el siguente texto y conteste en su cuaderno lo que se pide.

Analice la siguiente situación y conteste lo que se pide.

La siguiente gráfica muestra el nivel de ozono registrado la semana del 30 de mayo al 6 de junio de 1996, en la ciudad de México.

De las 165 mujeres de la entrevista anterior, se escogió una comerciante, una obrera, una profesionista y una secretaria. Al preguntarles cuál es su salario diario, resultó el siguiente pictograma:

Equivalente a 1 salario mínimo actual ($22.00 diarios, septiembre de 1996) Obrera Secretaria Comerciante Profesionista

calcule el salario diario de cada una de ellas. 8. ¿De cuántos salarios mínimos es la diferencia entre la profesionista y la obrera? ¿A cuánto equivale esta diferencia en pesos? 9. Investigue el salario mínimo actual de su comunidad y actualice el salario por día de las actividades consideradas en el pictograma anterior.

Revise sus respuestas y corrija en caso de ser necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 110

IMECAS

7. De acuerdo con el pictograma,

NIVEL DE OZONO 180 160 140 120 100

80 60 40 20 0

157

151

173

163

91

179

89

Jueves Viernes Sábado Domingo Lunes

Martes Miércoles

Fuente: Reforma, 6 de Junio de 1996.

10. ¿Qué día se registró el nivel más alto de ozono? 11. ¿Qué día se registró el nivel mínimo? 12. ¿Cuál es la diferencia entre ambas cantidades? 13. ¿Cuál es el tipo de gráfica que usted está analizando? 14. Con una nube de color oscuro, que representará 10 IMECAS, realice un pictograma basado en la misma gráfica. Redondee las cantidades señaladas para cada día.

Revise sus resultados con los de la clave y corrija en caso de ser necesario. Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

01/12/11 13:23

¿Soy puntual? Existen empleos en los que la estatura es requisito indispensable, además de otras condiciones. El registro de cada una de las condiciones se puede presentar en una gráfica. En esta sesión se pretende que usted conozca y analice otras gráficas, además de las de barras y de los pictogramas, que son muy utilizadas en cualquier campo de trabajo para tomar decisiones. ¿Sabía usted que la Ley Federal del Trabajo establece que durante el periodo de embarazo las madres trabajadoras no deben realizar labores que exijan esfuerzos considerables y signifiquen un peligro para su salud, tales como levantar, tirar o empujar grandes pesos o estar de pie durante largo tiempo?

RECUERDE En una gráfica de barras, la altura de cada una de las barras representa una cantidad solamente.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 111

Lea el siguiente texto en el que podrá interpretar otro tipo de gráficas.

Interpretación de histogramas y polígonos de frecuencias En una agencia de empleos se recibieron solicitudes de trabajo. Después de recibirlas, la agencia clasificó las solicitudes de acuerdo con las características requeridas por diferentes empresas donde podrían existir vacantes. Entre los datos que pedía la solicitud estaba la estatura, por lo que se realizó una gráfica donde se clasifica a los solicitantes de acuerdo con este dato. Observe la gráfica que se presenta en la página siguiente donde se muestra la clasificación antes mencionada.

01/12/11 13:23

Unidad 3 • El trabajo

13 12 11 10

9 8 7 6 5 4 3 2

153 a 157

148 a 152

158 a 162 163 a 167

Por lo tanto, el total de personas que presentaron 168 a 172 173 a 177 la solicitud es 47. También, a partir de 1 la gráfica se puede conocer 0 145 150 155 160 165 170 175 el número de personas Estatura en centímetros que tienen determinada estatura; por ejemplo, más de 167 cm. Observe que las dos últimas barras representan Observe que las barras están a 7 personas cuya estatura es juntas, es decir, sin espacio mayor a 167 cm. alguno entre ellas (a diferencia La gráfica anterior se conoce de las gráficas de barras). con el nombre de histograma. El Por otra parte, los datos están histograma es muy útil cuando agrupados; por ejemplo, se tiene un gran número de la primera barra representa datos, pues se pueden agrupar. a las personas que tienen ¡Imagínese que tuviera que una estatura desde 143 cm construir una gráfica de barras, hasta 147 cm. La altura de la barra donde cada una de las barras representa el número representara la estatura de cada de personas; la primera, persona! La gráfica quedaría tan por ejemplo, corresponde grande que tal vez no cabría en a cinco personas; es decir, hay una hoja del tamaño de ésta. cinco personas que tienen una estatura comprendida entre En un análisis sobre el número 143 cm y 147 cm. de personas que presentaron ¿Cree usted que a partir solicitud de empleo en los de la gráfica se puede meses de enero a junio, resultó determinar el total de personas la siguiente gráfica: que presentaron su solicitud? ¡Claro que sí! Para ello, basta con sumar el número de personas que corresponde a 1 000 900 la altura de cada barra, 800 esto es, 5, 8, 12, 9, 6, 4 y 3. 500 600 600 Sumando estas cantidades, 400 400 200 300 resulta: 143 a 147

5 + 8 + 12 + 9 + 6 + 4 + 3 = 47

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 112

NÚMERO DE PERSONAS

NÚMERO DE PERSONAS

112

700

0

ENE

FEB

MAR

ABR

MAY

JUN

Meses

16/11/11 12:50

Sesión 26 • ¿Soy puntual?

113

TODOS LOS EMPLEADOS EN UNA SOLA GRÁFICA El siguiente histograma representa el registro de la hora de entrada (de un día cualquiera) del personal de una empresa que empieza a laborar a las ocho de la mañana.

NÚMERO DE EMPLEADOS

Observe que durante enero fue aumentando el número de personas solicitantes, y a partir de febrero fue disminuyendo hasta finales de marzo. A partir de abril comenzó a aumentar nuevamente el número de solicitantes. La gráfica anterior se conoce con el nombre de polígono de frecuencias. Este tipo de gráficas se emplean cuando los datos que se analizan varían con el tiempo.

60 50

53

40 27

30 20

9

10

0

7:55 a 8:00

8:01 a 8:06

8:07 a 8:12

7

8:13 a 8:18

2

3

2

8:19 a 8:24

8:25 a 8:30

8:31 a 8:36

horas

De acuerdo con la gráfica anterior conteste: 1. ¿Cuál es el primer lapso ?_________________ Y, ¿cuál es el último?_________________ 2. ¿Cuál fue el número de trabajadores que llegaron de 7:55 a 8:00 de la mañana?___ ______________ 3. ¿Cuántos trabajadores llegaron después de las 8:00 de la mañana?_________________ 4. Si los trabajadores que llegan después de las 8:30 son regresados, ¿cuántos fueron regresados? 5. Si la tolerancia de entrada es de 12 minutos, ¿cuántos trabajadores tuvieron retardos?_________________

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 113

01/12/11 13:28

Unidad 3 • El trabajo

114

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

El siguiente polígono de frecuencias representa las temperaturas registradas en un día cualquiera. Analícela y responda lo que se pide a continuación:

Analice la siguiente situación y responda a las preguntas: En un laboratorio se mantuvieron encendidos 50 focos para conocer la duración de éstos. Se registró el número de horas que duró encendido cada uno, de lo cual resultó el siguiente histograma:

24 21 18 15 12 9 6 3 0 8:00

10:00

12:00

14:00

16;00

18:00

Horas en las que se registraron las temperaturas

6. ¿Cuál es la temperatura que se registró a las ocho de la mañana? 7. ¿Qué lapso total representa el polígono de frecuencias? 8. ¿Cuál fue la temperatura máxima que se registró? ¿A qué hora se registró? 9. ¿Diga a qué hora inicia y termina el ascenso de la temperatura? 10. ¿A partir de qué hora empezó a descender la temperatura? 11. ¿Para qué tipo de datos se emplea la gráfica llamada polígono de frecuencias?

Revise sus respuestas y corrija en caso de ser necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 114

20:00

NÚMERO DE FOCOS

TEMPERATURA

( º C)

12 10

8 6 4 2 0

0 200 a a 199 399

400 a 599

600 800 1 000 1 200 1 400 a a a a a 799 999 1 199 1 399 1 599

Duración de focos en horas

12. ¿En qué lapso se fundieron más focos? 13. ¿Cuál fue el número de focos que se fundieron en el lapso de 1 400 a 1 599 horas? 14. ¿Cuántos focos duraron encendidos entre 600 y 1 399 horas?

Compare sus resultados con los de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

01/12/11 13:28

Punto por punto Muchas veces el salario que uno percibe no alcanza para los gastos del hogar, por lo que es necesario buscar una forma de complementar los ingresos. Una forma puede ser el trabajo de horas extras. En esta sesión podrá solucionar problemas al multiplicar y dividir números decimales para calcular pagos extras y repartición. ¿Sabía usted que la Ley Federal del Trabajo establece que la jornada de trabajo de los menores de 16 años no puede ser de más de seis horas diarias, y que ésta deberá dividirse en periodos máximos de tres horas?

RECUERDE

Un número decimal está formado por una parte entera y otra decimal, las cuales están separadas por un punto llamado punto decimal.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 115

Lea la siguiente información. Aprenderá a multiplicar y dividir números decimales.

Multiplicación y división de decimales Lo más importante cuando recibimos el pago (salario) por nuestro trabajo es saberlo distribuir y, si es posible, dejar una parte para el ahorro. Angélica tiene un salario de $46.80 diarios, y los pagos en la empresa donde trabaja son semanales. ¿A cuánto asciende su salario semanal? Para saberlo es necesario multiplicar lo que gana diariamente por 7 (días de la semana), esto es, 46.80 x 7. Ésta es una multiplicación de un número decimal y un número entero. La multiplicación con números decimales se puede efectuar de la misma forma que en el caso de los números naturales; la única diferencia es la posición que le corresponde al punto decimal en el resultado.

01/12/11 13:28

Unidad 3 • El trabajo

116 Si ignoramos momentáneamente el punto decimal y multiplicamos de la manera usual, en la operación anterior, obtenemos: 46.80 x 7 32760

factor factor producto

Para determinar ahora la posición del punto en el producto, se cuenta el total de cifras decimales que tienen los factores: 46.80 2 cifras decimales x 7 (centésimos) 32760 ninguna cifra decimal En este caso hay dos cifras decimales, lo que indica que en el producto también habrá dos cifras decimales. Para ubicar el punto decimal en el producto, se cuentan los dígitos de derecha a izquierda, o sea: 46.80 x 7 327.60

2 cifras decimales (centésimos) ninguna cifra decimal producto con 2 decimales (centésimos)

De esta manera, Angélica gana $327.60 semanalmente. En la empresa donde está Angélica se pueden trabajar horas extras, por las que se pagan $10.80 la hora. Si ella trabaja 3.5 horas extras en un día, ¿cuánto le pagan por el tiempo extra trabajado? Aquí es necesario realizar una multiplicación de dos números decimales: 10.80 x 3.5.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 116

La multiplicación se realiza de la misma forma que en los números naturales, y la ubicación del punto dependerá del total de cifras decimales que tienen los factores. Puesto que 10.80 tiene dos cifras decimales y 3.5 tiene una cifra decimal, el total de cifras decimales que tienen los factores es tres. Por tanto, el producto tendrá tres cifras decimales. Así, se tiene que: 10.80 x 3.5 5 4 0 0 3240 3 7.8 0 0

2 cifras decimales (centésimos) 1 cifra decimal (décimos) 3 cifras decimales (milésimos)

Observe que, como se están multiplicando décimos ( ) por centésimos ( ), el resultado es en milésimos ( ). Así es que Angélica recibió $37.80 por las tres horas y media trabajadas en tiempo extra. Al inicio del ciclo escolar, Angélica gastó una quinta parte de su sueldo mensual (sin horas extras) en la compra de útiles y uniformes para sus hijos. ¿Cuánto gastó Angélica en dicho concepto? En este caso, es necesario conocer el sueldo mensual de Angélica y después dividirlo entre 5, para determinar a cuánto equivale la quinta parte. Para ello, primero se multiplica por 4 el sueldo semanal percibido; de esta forma se tiene el sueldo mensual. 327.60 x 4 1 310 .40

16/11/11 12:50

Sesión 27 • Punto por punto

117 Después se efectúa la división entre 5. 262.08 5 1 310.40 31 10 04 40 0 Para encontrar el resultado en una división como la anterior, se procedió a realizarla de igual forma que en los números naturales, pero, al final, se subió el punto decimal al cociente, en la misma posición que estaba en el dividendo. A Angélica le ayuda mucho el pago por las horas extra que trabaja. Por ejemplo, en una semana recibió $75.60 por concepto de tiempo extra. ¿Cómo calcularía usted cuántas horas extra trabajó Angélica? Como sabemos que le pagan a $10.80 la hora extra, bastará con dividir $75.60 entre $10.80. Esto es: 75.60 ÷ 10.80.

En la manera que están expresadas las cantidades, cuesta trabajo realizar esta operación, ya que el divisor (10.80) es un número decimal. Conviene convertir esta división en otra equivalente, cuyo divisor ya no sea decimal. Para ello se multiplican ambos términos (dividendo y divisor) por 10, 100, 1 000, etcétera, según sea el número de cifras decimales que tenga el divisor. En este caso se deberá multiplicar por 100, lo que nos permitirá obtener un nuevo divisor, que es entero: 10.80 x 100, 75.60 x 100, que es equivalente a 1 080 y 7 560. De esta manera, la división se realiza en la forma usual. Así, tenemos que Angélica trabajó 7 horas extras en esa semana. Si a usted le queda alguna duda acerca de que las dos divisiones señaladas (10.80 75.60 y 1 080 7 560 ) den el mismo resultado, tome una calculadora y realice ambas divisiones.

CÁLCULOS SALARIALES Resuelva en su cuaderno el siguiente problema: Faustino trabaja en una fábrica de mochilas y, por la antigüedad que tiene, le pagan una compensación de $12.60 diarios. 1. ¿Cómo podría saber Faustino cuánto le pagan en 5 días por este concepto? 2. Por cada mochila terminada, Faustino recibe $3.20. Si al final del día su patrón le pagó $51.00, ¿cuántas mochilas terminó Faustino? Recuerde que su pago incluye la compensación diaria.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 117

01/12/11 13:39

Unidad 3 • El trabajo

118

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas. Una empresa empacadora logra empaquetar en una caja 12 botellas de aceite comestible, en 2.37 minutos. 3. Escriba los primeros seis múltiplos del número de botellas empacadas. 4. ¿Cuánto tardará la empresa en empacar 48 botellas? 5. Si cada botella tiene una capacidad de 0.985 litros, ¿cuántas botellas podrán ser llenadas si se tienen 14 317.96 litros? 6. ¿Cuántas botellas podrán llenarse si se tienen 12 500 litros? y ¿cuántos litros sobran? 7. ¿Cuánto tarda la empresa en empacar la cantidad de botellas de la actividad 6? Haga el truncamiento del resultado en caso de ser necesario y dé su resultado en minutos.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Lea el siguiente problema y resuélvalo en su cuaderno. Pedro es chofer de una línea de transporte público. Si su vehículo recorre 5.825 kilómetros por cada litro de gasolina, ¿cuántos kilómetros recorrerá para cada una de las siguientes cantidades de gasolina? 8. a) 2.5 l

b) 14.6 l

c) 11.88 l

9. Si 35 litros de gasolina le cuestan $92.75, ¿cuánto le cuesta el litro de gasolina?

Si tiene una calculadora, compruebe sus resultados y verifíquelos con la clave. Observe el programa de televisión que le ayudará a reforzar el concepto de multiplicación y división.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 118

01/12/11 13:39

Un poco de diseño En la construcción de casas o edificios es muy importante la posición de las paredes con respecto al piso. Por ello se hace uso de la plomada. En esta sesión se verá la aplicación de las paralelas y perpendiculares en la construcción. ¿Sabía usted que los revestimientos que tienen las fachadas de cualquier construcción deben evitar el paso de la humedad? ¿Y sabía que el recubrimiento pétreo (hecho con material derivado del petróleo como impermeabilizante) debe estar sujeto a la estructura de la construcción?

Lea atentamente el texto que sigue, del cual aprenderá a trazar líneas paralelas y perpendiculares.

Trazo de paralelas y perpendiculares Cualquier obra de albañilería requiere de cierta planificación; por ejemplo, se deben señalar las líneas donde se colocarán los ladrillos. Esto se hace con cordel, como se ve en la fotografía.

RECUERDE Una gráfica de barrass se traza a partir de la líneas que se cruzan, una colocada en forma horizontal y otra en forma vertical.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 119

Para comprobar que los señalamientos son correctos, se usa la escuadra de albañil. Si es necesario, se corrigen las posiciones de los cordeles.

01/12/11 13:39

Unidad 3 • El trabajo

120 La siguiente ilustración muestra la manera de cómo usar la escuadra de albañil.

Cuando se logra que los dos cordeles estén en la misma posición que los lados más pequeños de la escuadra, se dice que éstos son perpendiculares entre sí. Así, al construir las paredes sobre esas líneas directrices (líneas de referencia), serán también perpendiculares entre ellas. Ubíquese en una habitación de ladrillo y voltee hacia la esquina que queda a su izquierda; observe detenidamente la línea que se forma con la unión de las dos paredes. Enseguida, baje su vista y mire la línea que se forma con la unión de la pared y el piso; lleve su vista hasta donde esas dos líneas se unen y obsérvelas juntas. Ambas forman lo que se conoce como líneas perpendiculares.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 120

Busque en los muebles o en otros objetos que tenga cerca de usted dos líneas que se crucen de la misma forma que las perpendiculares: No vaya a confundirse con otras líneas que también se cruzan, pero que no lo hacen como las líneas mencionadas. Ahora regrese su vista a la línea formada por la unión de dos paredes y mire la otra línea que se forma con la pared que tiene de frente y la que está a su derecha. Trate de observar alternadamente ambas líneas y piense si la distancia que hay entre ellas es la misma, aunque las líneas se prolongaran indefinidamente por ambos extremos.

Recorra con la vista algunos objetos de la habitación donde se encuentra usted y ubique líneas semejantes a las anteriores. A esas líneas se les llama paralelas. A continuación se presenta una forma de trazar en papel una línea perpendicular a otra ya dada. Llamemos MN al segmento de recta dibujado. Abra el compás de manera que la abertura sea mayor que la mitad del segmento MN.

01/12/11 13:39

Sesión 28 • Un poco de diseño

121 Apoye el compás en un extremo del segmento y trace un arco arriba y abajo de él. Enseguida, coloque el compás en el otro extremo, y con la misma abertura que en el paso anterior trace un arco que corte a los arcos antes trazados. Una los puntos de intersección de los arcos. Lo que obtuvo es una recta perpendicular a un segmento. Si tuvo alguna duda, observe las siguientes figuras:

M

N

M

Deslice la primera escuadra hacia abajo hasta el lugar donde se requiera trazar la otra línea. De esta forma, la nueva recta será paralela a la que se dio, pues conservan entre ellas la misma distancia. Para trazar perpendiculares empleando únicamente escuadras, se procede como se observa en la siguiente figura:

N

M

M

Dibuje una línea con ayuda de una escuadra, después coloque sobre la línea la otra escuadra, de la forma en que se muestra. Enseguida, coloque la otra escuadra del lado izquierdo de la primera, en la forma como se ve en el dibujo:

N

N m

Para trazar una línea paralela a otra se procede de la siguiente forma:

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 121

01/12/11 13:39

Unidad 3 • El trabajo

122

MUEBLES BIEN DISEÑADOS Lorena pensó en hacer el diseño de algunos muebles que quería para su departamento. Como tiene el antecedente de que a una amiga le hicieron un mueble chueco, porque no mostró un diseño, decidió que el dibujo que le presentaría al carpintero tendría que ser muy claro, y mostrar los muebles que desea, tal como deberían verse ya acabados. En su cuaderno realice las actividades señaladas. 1. Reproduzca el dibujo que se muestra enseguida, que corresponde a uno de los muebles que desea Lorena. Hágalo al doble del tamaño que tiene el dibujo.

F

E

D

C

A

B

a) ¿  Qué tipo de rectas determinan los segmentos DC, FE y AB? b) ¿  Cómo es el segmento FA con respecto al segmento EB? (Se llama segmento a la parte comprendida entre dos puntos que están sobre la recta.)

2. En el dibujo del mueble que se presenta a continuación, indique si es paralelo o perpendicular: a) a con respecto de b;

d

b) b con respecto de f;

c

c) d con respecto de a;

a

e

b

d) b con respecto de c.

f

g

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 122

01/12/11 13:39

Sesión 28 • Un poco de diseño

123

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

De acuerdo con el dibujo del librero anterior realice las actividades que se indican y conteste en su cuaderno.

En su cuaderno, reproduzca las rectas que se le presentan y haga los trazos que se indican.

3. Mida la línea g que representa la base del librero y calcule la longitud real, tomando en cuenta que cada centímetro del dibujo representa dos decímetros (20 cm) del librero. 4. ¿Cuánto mide de alto el librero si el grosor de la madera de los entrepaños y las bases es de 2.5 cm aproximadamente? 5. Si la separación entre cada entrepaño es de 30 cm y se desea hacer otro librero con seis entrepaños del mismo grosor del caso anterior, ¿qué altura deberá tener el librero?

m n

p q

6. Trace una recta paralela a m y otra paralela a q. 7. Trace una perpendicular a n y otra a p. 8. Si prolonga la recta p, hasta cortar la recta m, ¿cómo resultan entre sí dichas rectas?

Revise sus respuestas con las de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

Para saber más observe el programa televisivo, donde encontrará más información acerca de este tema.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 123

01/12/11 13:39

No hay problema En cualquier trabajo o actividad que desarrollemos se encontrarán problemas que necesitan de dos o más operaciones para encontrar su solución.

¿Sabía usted que la Ley Federal de Protección al Consumidor aplica el arresto administrativo, que consiste en la privación de la libertad, a los proveedores que ocultan o encarecen productos de primera necesidad?

RECUERDE El decámetro es una medida de longitud que equivale a 10 metros. Su símbolo es dam.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 124

Lea el siguiente texto. En él se menciona la manera de solucionar problemas con números decimales.

Resolución de problemas con decimales En la actualidad no podemos darnos el lujo de desperdiciar nada, y mucho menos cuando resulta muy costoso. Por eso, cuando usted va a realizar un trabajo para el que necesita comprar material, debe antes conocer la cantidad requerida, para que le sobre lo menos posible, si es que no puede determinar la cantidad exacta de material que se requiere. Suponga que usted va a pintar una casa que tiene un total de 12 paredes. Tres de ellas miden 3 m de altura por 2.80 m de largo; seis paredes miden 3 m de altura por 4 m de largo, y tres paredes miden 3 m de altura por 2.15 m de largo. ¿Cuánta pintura necesitará para pintar las 12 paredes, si sabe que con un litro le alcanza para 6 m2? ¿Entendió el problema?

01/12/11 13:39

Sesión 29 • No hay problema

125

Si no fue así, vuelva a leerlo con detenimiento. Si ya lo entendió, se habrá dado cuenta de que contiene datos que le ayudarán a resolverlo. Diga usted cuáles son esos datos. ¡Correcto! Se trata de las medidas de las paredes y el rendimiento por litro de pintura. Observe que el cálculo del rendimiento de un litro de pintura está dado en metros cuadrados, y que las medidas de las paredes son largo y ancho, es decir, se trata de medidas lineales. Entonces, será necesario calcular los metros cuadrados que mide cada pared y luego sumarlos para obtener el total. ¿Sabe usted cómo se calculan los metros cuadrados de una superficie como la pared? ¡Claro! Se multiplica su altura por su largo. Note que, hasta aquí, usted ya está planteando la primera operación que necesita para resolver el problema. Ésta la puede hacer con lápiz y papel para obtener el resultado exacto, o bien, hacer un cálculo mental redondeando la medida de 2.80 m a 3 m, y la de 2.15 m a 2 m, con lo que se facilitará dicho cálculo mental. ¡Hágalo!

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 125

¿Qué medidas obtuvo? Ahora, tome papel y lápiz, y haga las operaciones con las medidas exactas. ¿Hubo mucha diferencia? Hecho esto, habrá que sumar el área de las paredes hasta obtener el total de metros cuadrados de las 12 paredes. Esto es: 8.40 + 8.40 + 8.40 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 6.45 + 6.45 + 6.45 Su total son 116.55 m2 ¿Cuál cree usted que sea el siguiente paso, si ya tiene el total de la superficie que va a pintar y la cantidad de metros cuadrados que se pueden pintar con un litro de pintura? ¡Pues claro! Debe realizar una división del total de metros cuadrados, entre los seis metros que se pueden pintar con un litro de pintura: 19.425 6 116.55 56 25 15 30 0

de donde se obtuvo que se necesitan 19.425 litros, que si lo redondeamos, se tiene, 19.5 litros de pintura para las 12 paredes.

16/11/11 12:50

Unidad 3 • El trabajo

126

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea con detenimiento los siguientes problemas y resuélvalos en su cuaderno. 1. Javier es agricultor y acaba de recolectar su cosecha, que es de 185 hectolitros de maíz. Un comerciante le ofrece comprarle toda su cosecha pagándole a $97.50 el hectolitro (hl) y otro le ofrece $122.25 por cada 100 kg. El hectolitro es una medida de capacidad; en algunos lugares se usan recipientes de un litro de capacidad para medir peso. Cuando se miden 100 o más litros, se usan los hectolitros; es decir, un hectolitro equivale a 100 litros.

Se sabe que un hectolitro de un tipo de maíz pesa 75 kg. a) C  alcule cuántos kilogramos pesan los 185 hectolitros de ese maíz. b) ¿Cuál es la mejor oferta? 2. Javier tiene que caminar para llegar al terreno en el que siembra el maíz. El camino que sigue tiene una sección cuesta arriba de 1.32 km, una plana de 0.8 km, una cuesta abajo de 1.15 km y una sección arbolada de 1.5 km. Este camino lo recorre dos veces al día. ¿Cuántos kilómetros camina? Si caminara 500 m más, ¿rebasaría los 10 000 m en un día? 3. Un comerciante adquirió 24.750 kg de arroz y posteriormente recibió 82.275 kg más. Vendió 26.125 kg y el resto lo empacó en cajas de 1.5 kg cada una. ¿Cuántas cajas pudo llenar? 4. Se ha medido un terreno rectangular con un decámetro al cual le faltan 18 cm. La persona que realizó la medición no se dio cuenta de que al decámetro le faltaban los 18 cm, y las medidas que obtuvo del terreno fueron 70 m de largo y 60 m de ancho. ¿Cuáles son las verdaderas dimensiones del terreno?

Verifique sus respuestas, y si encuentra algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 126

01/12/11 13:44

Sesión 29 • No hay problema

127

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas: 5. El cajero de un banco tiene en caja $9 084.15. Hace un pago de $3 107.45 y luego otro del que olvida tomar nota. Después cobra una factura de $2 408.50 y así tiene en caja $6 013.25. ¿De cuánto fue el segundo pago? 6. Observe el cuadro de cotizaciones en pesos de algunas monedas extranjeras y realice los cálculos que se le piden. MONEDAS EXTRANJERAS

COMPRA

VENTA

Dólar estadounidense

$ 7.83

$ 7.97

Dólar canadiense

$ 5.48

$ 5.75

Peseta española

$ 0.056

$ 0.056

Fuente: Casas de cambio. 20 de marzo de 1997. Compra: los bancos le compran al público a ese precio. Venta: los bancos le venden al público a ese precio.

a) S  i usted requiere 100 dólares estadounidenses, ¿cuántos pesos necesita para adquirirlos? ¿Cuántos para 200 dólares? ¿Y para 1 000 dólares? b) S  i usted tiene 100 dólares y los cambia por pesos, ¿cuánto debe recibir? ¿Cuántos recibirá por 200 dólares? ¿Y por 1 000 dólares? c) S  i usted requiere 100 dólares canadienses, ¿cuántos pesos necesita para adquirirlos? ¿Para 50 dólares? ¿Y para 25 dólares? d) Si usted requiere 1 500 pesetas españolas, ¿cuántos pesos debe pagar? 7. Un comerciante compró 150 floreros de vidrio en $1 567.50. Se le rompieron 16 y ganó $670.30 en la venta de todos los demás. ¿A qué precio vendió cada florero?

Compare sus resultados con los de la clave. Si no coinciden, verifique sus procedimientos y corrija lo que sea necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 127

01/12/11 13:44

El salario El trabajo que se realiza fuera del horario establecido debe ser remunerado de acuerdo con los porcentajes que establece la ley. En esta sesión podrá determinar a cuánto equivale el porcentaje de una cantidad cualquiera.

Lea el siguiente texto. En él conocerá algo más sobre el tanto por ciento.

¿Sabía usted que quienes trabajan en días de descanso obligatorio tienen derecho a una prima adicional de 25%, por lo menos, sobre el salario de los días ordinarios de trabajo?

RECUERDE Una fracción representa una parte de la unidad o de un total.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 128

El tanto por ciento y la fracción como razón Alma Rosa recibió su pago por la primera semana de trabajo en una empresa y desea saber si los descuentos corresponden a los porcentajes que le habían dicho. PERCEPCIONES DESCUENTOS Sueldo base $300.00 ISR $36.00 Ayuda de despensa $15.00 IMSS $12.00 Ayuda transporte $9.00 Caja de ahorro $30.00 $324.00 $78.00 Total líquido: $246.00

Alma Rosa sabe que los descuentos se hacen de acuerdo con el sueldo base. ¿De qué forma podría saber qué tanto por ciento de éste representan? Para que ella sepa qué tanto por ciento representa cada una de estas cantidades, debe establecer una relación entre cada descuento y el sueldo base. Así, para el ISR (Impuesto Sobre la Renta), se puede decir que equivale a $36.00 de $300.00. Dicho de otra forma, esto es .

01/12/11 13:44

Sesión 30 • Cuentas claras

129

La expresión anterior se conoce con el nombre de razón, y puede simplificarse de la siguiente forma:

36

=

300

36 ÷ 2 300 ÷ 2

36

por lo tanto,

300

=

=

18 150

=

18 ÷ 2 150 ÷ 2

=

9 75

=

9 ÷ 3 75 ÷ 3

=

9 25

3 300

Esto quiere decir que, por cada $25.00 del sueldo base, le descuentan $3.00 para el ISR. Para el caso del descuento por concepto de IMSS, se tienen $12.00 de $300.00 ( ), que simplificado resulta:

12

=

300 por lo tanto,

12 ÷ 2 300 ÷ 2

12

=

=

6 150

=

6 ÷ 2 150 ÷ 2

=

3 75

=

3 ÷ 3 75 ÷ 3

=

1 25

1

300 25 Es decir, por cada $25.00 del sueldo base, le descuentan $1.00 para el IMSS. Con respecto a la caja de ahorro, el descuento representa $30.00 de $300.00 ( que al simplificarlo nos da: 30 300

=

por lo tanto,

30 ÷ 2 300 ÷ 2

30 300

=

=

15 150

=

15 ÷ 3 150 ÷ 3

=

5 50

=

5 ÷ 5 50 ÷ 5

=

),

1 10

1 10

Entonces por cada $10.00 del sueldo base le descuentan $1.00 para la caja de ahorro. Como Alma desea conocer el tanto por ciento (%) que le descuentan en cada concepto, debe averiguar, para cada caso, cuánto le descuentan por cada $100.00 del sueldo base. Una forma de saberlo es usando tablas: Por ejemplo: DESCUENTO

SUELDO BASE

$3.00

$25.00

?

$100.00

Como $100.00 es igual a 4 veces $25.00 y por cada $25.00 le descuentan $3.00, entonces, por cada $100.00 le descontarán 4 veces $3.00, es decir, (3 x 4), $12.00. Por lo tanto, por cada $100.00 del sueldo base le descuentan $12.00. Esto quiere decir que le descuentan el 12% (por ciento) para el ISR. Utilizando tablas como la anterior, intente calcular el tanto por ciento que se descuenta para el IMSS y para la caja de ahorro.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 129

16/11/11 12:50

Unidad 3 • El trabajo

130

Otra manera de obtener el tanto por ciento de descuento es mediante fracciones equivalentes. Por ejemplo, representa la razón de descuento para el IMSS. Se trata de encontrar una fracción equivalente a con denominador 100. Para ello, se busca un número que multiplicado por 25 dé como resultado 100. ¿De qué número se trata? Por supuesto, 25 multiplicado por 4 da como resultado 100. Una vez encontrado dicho número, éste se multiplica por el numerador y el denominador de la fracción, como se muestra: 1

x

4

25

4 100

x

4

De esa manera se obtiene la razón , que significa que por cada $100.00 se descuentan $4.00 para el IMSS. Esto es lo mismo que decir que el 4% del sueldo base se lo quitan por concepto de seguro social (IMSS). Utilizando fracciones equivalentes, intente calcular el tanto por ciento de descuento para el ISR y para la caja de ahorro. Ahora compárelos con los que obtuvo utilizando tablas. Para cada caso, ¿obtuvo el mismo tanto por ciento de descuento? Procedimientos rápidos para calcular porcentajes

A continuación se presentan algunos procedimientos sencillos para calcular porcentajes. A los empleados de una fábrica les darán a fin de año una gratificación igual al 20%

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 130

del sueldo mensual. Si el sueldo mensual es de $800.00, ¿qué cantidad de dinero les darán de gratificación? Procedimiento A

Buscar una fracción equivalente, ya reducida, de (20 por ciento). ÷ 20 1 20 fracción 5 100 irreducible

÷ 20

Esta fracción ( ) representa la quinta parte del sueldo total y equivale al 20% de éste. Para calcular la cantidad de dinero que corresponde a la gratificación, se divide el sueldo entre cinco, lo que nos dará el equivalente a una quinta parte.

160 5 800 30 00 0

Por lo tanto, el 20% corresponde a $160.00 de gratificación. Procedimiento B

•S  e calcula el 10% de $800.00. Para ello, se calcula la décima parte ( ) de $800.00, dividiendo entre 10. Recuerde que para dividir entre 10 se corre el punto decimal un lugar a la izquierda, obteniendo $80.00. A esa cantidad se le multiplica por dos, porque en este caso es el 20%. $80.00 x 2 = $160.00

01/12/11 13:55

Sesión 30 • El salario

131

•T  ambién se puede calcular el 1% ( ) de $800.00, dividiéndolo entre 100. Por lo tanto se obtiene $8.00. Como la gratificación es de 20%, se multiplica $8.00 por 20.

100

0.2 20 20 0 0

Por lo tanto, el 20% o es igual a 0.2 ó 0.20 que también es su equivalente. Se multiplica $800.00 por 0.20

$8.00 x 20 = $160.00 Procedimiento C

Se convierte el 20% ( ) a número decimal, resolviendo la divisiónde 20 entre 100.

$800.00 x 0.20 = $160.00

DISTRIBUCIÓN DE PERSONAL

1. Represente cada tanto por ciento que aparece en la gráfica, como una fracción.

Observe la siguiente gráfica, en donde se muestra la distribución de 1 300 trabajadores de una empresa en función de los diferentes puestos que desempeñan. Enseguida, conteste en su cuaderno lo que se pide.

2. Simplifique cada fracción lo más que se pueda.

4. Diga cuántos de cada 100 trabajadores son obreros.

EMPLEADOS MANUALES Y DE SEGURIDAD 15%

EMPLEADOS ADMINISTRATIVOS 20%

3. Exprese dichas fracciones como números decimales y sume los resultados. ¿La suma fue menor o igual a uno?

5. Calcule cuántos obreros trabajan en la empresa.

OBREROS 65%

6. Mentalmente, calcule cuántos empleados manuales y de seguridad hay en la empresa. 7. Diga cuál de los tres sectores en que está dividida la gráfica representa del total.

Revise sus respuestas, y si encuentra algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 131

01/12/11 13:55

Unidad 3 • El trabajo

132

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Realice en su cuaderno lo que se indica.

Analice las situaciones siguientes y contéstelas en su cuaderno:

Jorge es aprendiz en un taller mecánico y le están enseñando cómo armar un carburador. Hasta el momento ha logrado armar correctamente cuatro carburadores, de siete intentos. 8. Exprese con una fracción la relación que existe entre los aciertos y el número de intentos que tuvo Jorge. 9. Exprese la fracción anterior como número decimal. Haga el truncamiento del resultado hasta centésimos y represente dicho número como porcentaje. 10. En el taller arreglan un promedio de 68 carburadores a la semana y, de éstos, Rafael tiene que arreglar el 75%. Represente este porcentaje como fracción; trate de simplificar al máximo esta fracción. 11. Obtenga el número de carburadores que arreglaría Rafael en una semana.

12. Una empresa mexicana está constituida por 176 trabajadores. Determine la cantidad de empleados de cada área con base en los siguientes datos: a) E  n el almacén laboran de empleados.

del total

b) E  n ventas, del total de empleados. c) E  n compras, del total de empleados. 13. Los jefes representan del total de empleados y el resto son choferes, ¿cuántas personas laboran en cada área? 14. Exprese en forma de fracción, y con base en el total de trabajadores que hay en la empresa, la cantidad de empleados existente en cada área. 15. Represente cada una de las fracciones obtenidas en el punto 14 como tanto por ciento.

Compare sus resultados con los de la clave y corrija si es necesario.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 132

01/12/11 13:55

¿Qué tanto? Es muy común encontrar información expresada en tanto por ciento, y que algunas veces usted necesita saber la cantidad que representa ese tanto por ciento. En esta sesión usted podrá hacer algunos cálculos de este tipo, que le permitirán resolver fácilmente situaciones semejantes.

¿Sabía usted que los trabajadores menores de 16 años tienen derecho a que se les pague una prima de 25% sobre los salarios que les correspondan, durante el periodo de sus vacaciones?

RECUERDE La relación que existe entre un número y 100 se llama tanto por ciento y se indica con el símbolo %: Por ejemplo: 4%.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 133

Lea el siguiente texto, en el que se menciona la manera de obtener el tanto por ciento.

El tanto por ciento asociado a fracciones En una asamblea sindical de empleados de una dependencia oficial, 25 de cada 100 personas quieren reelegir a su secretario general. Si hay 600 empleados, ¿cuántos quieren reelegir al secretario? Una manera de resolverlo es representar 25 de cada 100 como fracción: . Si simplificamos esta fracción nos queda: 25 ÷ 5

5 ÷ 5 1 = = 100 ÷ 5 20 20 ÷ 5 4 Por lo tanto, es equivalente a . Esta fracción la podemos interpretar como operador fraccionario, es decir, la cuarta parte ( ) de 600 empleados quieren reelegir a su secretario. Por consiguiente, de 600 es igual a x 600 = = 150. Esto quiere decir que 150 empleados quieren reelegir a su secretario. =

5

06/12/11 11:25

Unidad 3 • El trabajo

134

Por otra parte, ó ó 25% equivale al número decimal 0.25, por lo que podría multiplicarse 600 x 0.25 = 150. Como puede observar, para calcular el porcentaje de una cantidad usted puede usar la representación fraccionaria o su equivalente decimal, puesto que en cualquiera de los dos procedimientos se llega al mismo resultado. Al término de las elecciones sindicales se hizo el conteo de votos y se mostró una gráfica como la siguiente:

PLANILLA VERDE 15%

PLANILLA ROJA 60%

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 134

¿Podría usted decir cuántos empleados votaron por la planilla verde y cuántos por la roja? ¿Cómo realizaría sus cálculos? ¡Así es! Se multiplica el total de empleados por el tanto por ciento requerido en cada caso expresado en número decimal. Esto es: Planilla verde = 600 x 0.15 = 90 Planilla roja = 600 x 0.60 = 360 De esta forma se sabe que el número de personas que votaron por las planillas quedó así: Reelección = Planilla verde = Planilla roja = Total =

150 90 360 600

REELECCIÓN 25%

16/11/11 12:50

Sesión 31 • ¿Qué tanto?

135

DESCUENTOS Y PRECIOS Considere el contenido del siguiente problema y resuelva en su cuaderno las cuestiones que se le plantean. El señor Hernández trabaja como vendedor de línea blanca y artículos para el hogar en una gran tienda. La señora Torres desea adquirir una lavadora para su hogar y se encuentra con dos opciones que le propone el vendedor: La primera es una lavadora que cuesta $2 800.00 y que, si paga de contado, le harán un descuento de 20%. La segunda es una lavadora cuyo precio es de $2 500.00 y que, si pagara de contado, le descontarían el 10%. 1. ¿Qué lavadora le conviene comprar a la señora Torres, si ambas lavadoras son de la misma calidad? a) ¿Cuál es el 20% de $2 800.00? b) ¿Cuál es el 10% de $2 500.00? c) E  scriba en su cuaderno las dos restas que tendrá que hacer para determinar el costo de cada lavadora. d) Anote el costo de cada lavadora. e) Diga cuál le conviene más a la señora Torres. 2. Ahora realice las siguientes operaciones: a) Calcule el 80% de $2 800.00. b) Calcule el 90% de $2 500.00. c) ¿  Qué resultados obtuvo? Compárelos con los resultados del inciso d del punto anterior. d) ¿  Qué procedimiento le resulta más fácil? 3. ¿Podría usted explicar por qué le dio el mismo resultado en ambos procedimientos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 135

01/12/11 14:07

Unidad 3 • El trabajo

136

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? APLIQUEMOS LO APRENDIDO Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas. 4. En una fábrica de lápices se ha detectado que, en el último mes, el 9% de la producción presenta defectos. Dicha producción fue de 24 000 lápices. a) ¿  Cuántos lápices resultaron defectuosos? b) ¿  Qué tanto por ciento de la producción salió sin defecto? c) ¿  Cuántos lápices no tienen defecto?

6. Exprese los siguientes números en forma de fracción, de número decimal o tanto por ciento. Por ejemplo: a) 0.25 = b)

=

= 25%



c) 0.2

d) 40%



e) 0.05

7. Si de los siguientes precios le cobran 15% de IVA, diga cuánto deberá pagar en cada caso. Recuerde que el IVA (Impuesto al Valor Agregado) se agrega al precio de cada artículo. a) $340.00



b) $600 .00

5. Salvador necesita un equipo modular para tener música ambiental en su negocio. El costo del aparato que requiere es de $8 450.00. Tiene dos formas de pago a escoger: de contado, con el 15% de descuento o pagar a 90 días de plazo, con un recargo del 20%.

c) $1 240.00

a) ¿  Cuál es el precio del aparato si decide pagar de contado?

a) D  iga qué tanto por ciento tendrá que pagar de cada artículo.

b) ¿  Cuál es el precio del aparato si toma la opción de 90 días para pagar?

b) A  note el costo de cada artículo después del descuento.

d) $180.00

8. Las siguientes cantidades representan el costo de algunos artículos, y sobre su precio se aplica el 30% de descuento. $12.00

$16.00

$38.00

$140.00

Verifique sus resultados con la calculadora. Compare sus respuestas con las de la clave. Si se equivocó en alguna de sus respuestas, encuentre el error y corríjalo. Vea el programa de televisión y descubra algunas aplicaciones que tiene el tanto por ciento.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 136

01/12/11 14:07

Negocio entre ángulos El trazo y la medición de ángulos tienen una infinidad de aplicaciones en la construcción, en la navegación y en la elaboración de algunas gráficas, entre otras actividades.

¿Sabía usted que el sonido viaja más rápidamente en el aire caliente que en el aire frío?

RECUERDE Si una recta vertical y una horizontal se cortan en un ángulo de 90o, forman lo que se conoce como líneas perpendiculares.

Lea con atención el texto que sigue y conocerá cosas importantes sobre los ángulos.

Ángulos Para apreciar mejor la música que reproducen los aparatos de sonido es importante la ubicación de las fuentes sonoras, es decir, las bocinas. Sergio se dedica a la renta de equipos de sonido para todo tipo de eventos. Él está instalando en un salón de fiestas tres bocinas de la siguiente manera: C

I

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 137

Pista

D

01/12/11 14:07

Unidad 3 • El trabajo

138

Cuando Sergio está frente a la bocina central (C) en línea recta, y al girar hacia cada una de las bocinas describe un ángulo. Ahora, Sergio coloca las mismas bocinas en las direcciones en las que estaban ubicadas anteriormente, pero mucho más alejadas, como se muestra en la siguiente figura:

Con el fin de lograr un mejor sonido, Sergio se coloca en el centro de la pista, frente a la bocina central (C) y a la misma altura de las bocinas que están a la izquierda (l) y a la derecha (D). Después pide al operador que ponga a funcionar sólo la bocina central, para determinar el tono ideal en que ésta debe sonar.

C

C

I

D

Una vez hecho esto, Sergio pide que se ponga a funcionar la bocina derecha y, en cuanto ésta suena, él realiza un giro hasta quedar de frente a la bocina. C

I

D

Posteriormente, Sergio regresa a la posición original y pide que se haga funcionar la bocina izquierda, para lo cual realiza otro giro hasta quedar también frente a ella. C

I

D

Sergio se coloca nuevamente en el centro de la pista y describe giros para quedar frente a cada bocina. ¿Cree usted que los giros que describió ahora Sergio son diferentes a los que describió antes, cuando las bocinas se encontraban más cerca de la pista? ¡Claro que no! Como puede verse, no importa qué tan cerca o lejos se coloquen las bocinas si están en la misma dirección. El giro que se hará para quedar frente a ellas será el mismo. Si Sergio realiza un giro completo a partir de la bocina central hasta quedar nuevamente frente a la misma bocina, como se muestra en la siguiente figura, describe un ángulo de un giro completo que se conoce con el nombre de perigonal. C

I

D I I

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 138

D

06/12/11 11:25

Sesión 32 • Negocio entre ángulos

139

30

180 170 1 6 0 10 2 0 150 0

1

1

4 40 0

0

5

10 0 180 20 30 160 170 0 40 0 15 4

00 90 80 70 10 1 01 80 90 100 110 60 12 70 120 50 0 0 13 13 0 6

Los ángulos pueden medirse con un instrumento llamado transportador, que usualmente tiene la siguiente forma.

La unidad de medida que emplea son los grados. Éstos se representan con un círculo pequeño colocado en el extremo superior derecho de la cantidad; por ejemplo, el giro que va desde la bocina central hacia la bocina derecha, es un giro hacia la derecha que describe un ángulo que mide 90° (90 grados). Además, de acuerdo con lo que miden, los ángulos reciben un nombre específico, como se muestra a continuación.

180º

90º Ángulo agudo (menor de 90º)

Ángulo recto (mide 90º)

Ángulo obtuso (más de 90º y menos de 180º)

Ángulo llano (mide 180º)

Ángulo perigonal (mide 360º)

El uso del transportador se puede ilustrar con el siguiente ejemplo: Se quiere reproducir la siguiente figura, de manera que los ángulos de las dos figuras midan lo mismo, pero que el tamaño de los lados del dibujo reproducido sea la mitad del original. E

D

G

F

A

C

B

Primero, se mide el segmento AB del dibujo original y se traza otro segmento cuya medida sea la mitad del primero; en este caso serán 2.5 cm y se le asignarán las letras P y Q. P

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 139

Q

01/12/11 14:21

Unidad 3 • El trabajo

140

Después, se coloca el transportador como se muestra, haciendo coincidir su centro con el punto inicial del segmento, que en este caso es el punto A. G

C 90º

0º

A

B

Se mide el segmento AG del dibujo original, y a partir del punto P se traza otro segmento que pase por la marca de los 135°, cuya medida sea de la mitad del segmento AG, que en este caso serán 2 cm; a dicho segmento se le asigna las letras PR.

Q

R

P

Q C

90º

45 º

180º

5º 13

A

R Se completa la base del barco uniendo los puntos R y S. Para reproducir la vela, se traza una línea perpendicular a partir del punto medio del segmento RS con una medida de 1.5 cm sobre él, que corresponde a la mitad del segmento EF del dibujo original, y se le asignan las letras T y U a los puntos extremos. Observe que el ángulo que forman los segmentos perpendiculares TS y TU mide 90°. Se mide enseguida el ángulo que existe entre EF y DE, R y se traslada al punto U. Finalmente se traza la línea correspondiente al ángulo medido y que corte al segmento RS en el punto V.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 140

P

0º

G Se procede de la misma forma para reproducir la medida del ángulo entre los segmentos BA y BC, así como el segmento cuya medida sea la mitad del segmento BC, como se ilustra a la derecha.

90º

5º 13

0º

Observe la marca que corresponde al transportador, la cual coincide con el segmento que va del punto A hacia el punto G; es la que señala 135°. Esto da la medida del ángulo formado por estos dos segmentos. Ahora, se coloca de igual forma el transportador sobre el nuevo segmento, apoyándose en el punto P y, donde están los 135°, se pone una marca, como se ve en la figura.

180º

180º

5º 13

B

S 45º P

Q U

V T

P

S

Q

01/12/11 14:21

Sesión 32 • Negocio entre ángulos

141

ALIMENTOS Y CONSUMO El señor Larios, al establecerse en cierta población, piensa que sería conveniente abrir una tienda de comestibles. Antes de hacerlo, trata de conseguir información sobre los artículos que se consumen en ese lugar, para saber de qué manera puede surtir su establecimiento comercial y así tener posibilidades de éxito. La primera información que obtiene se presenta en la gráfica de la derecha:

ARROZ TORTILLA

FRIJOL CARNE VERDURAS

1. Con base en la gráfica, complete la siguiente tabla. En la segunda columna anote la medida de cada ángulo de la gráfica; en la tercera, la fracción que representa cada ángulo con respecto al ángulo de 360°. a) ¿  Qué fracción del círculo representan el consumo de carne y verduras?

ALIMENTO

ÁNGULO

FRACCIÓN

b) ¿  Cuánto mide el ángulo que representa el consumo de cada producto?

Verduras

45º

45 360

c) ¿Cuántos grados tiene un giro completo?

Arroz

d) ¿  Cuántos grados suman los ángulos que representan todos los productos que se consumen en ese lugar?

Tortilla

2. En la tabla siguiente están anotados los tantos por ciento de los alimentos que consume la población y, considerando que el total de los mismos es el 100 %, complete las columnas de la tabla.

Frijol

Carne

ALIMENTO Carne Cereales

FRACCIÓN COMUN 1

TANTO POR CIENTO 25 %

4

1

5

Frutas

18 %

Leche

15 % 12 %

Verduras Otros

1 10

Total

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 141

06/12/11 11:29

Unidad 3 • El trabajo

142 APLIQUEMOS LO APRENDIDO En la siguiente gráfica circular se presentan datos acerca de la distribución del gasto de la población mexicana.

L-19%

A-24%

K-6% J-2% I-2% H-6%

B-5% C-6%

G-10% F-11%

D-6% E-3%

A B C D E F G H I J K L

Alimentos Vestido y calzado Electrónica Enseres domésticos Servicios médicos Transporte Educación y esparcimiento Artículos de cuidado personal Autoconsumo Pago en especie Regalos Viviendas

Fuente: Excelsior, 5 de abril de 1996.

3. Piense y conteste las siguientes preguntas: a) C  on respecto a su medida, ¿cómo se llama el ángulo que representa el gasto que se hace en vestido y calzado? b) ¿  Cuánto mide el ángulo correspondiente al gasto en educación y esparcimiento? c) ¿El ángulo correspondiente al gasto en alimentos es recto? ¿Por qué? d) ¿  Qué porcentaje representa el gasto por pago de vivienda y transporte? ¿Cuánto suman sus ángulos? ¿Qué fracción del círculo representan?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 4. En su cuaderno, trace ángulos de 100°, 60° y 45°. 5. Mida los ángulos A,B,C,D, y E de la siguiente figura y diga qué nombre les corresponde.

Compare sus resultados con los de la clave y si es necesario corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 142

A

D

C E

B

Observe el programa de televisión. En él verá cómo se realiza la medición y el trazo de ángulos mediante el uso adecuado del transportador.

01/12/11 14:07

¿Cuánto representa? En esta sesión usted realizará diferentes cálculos relativos a sueldos, descuentos, ahorro y préstamos que se manejan en nóminas y cajas de ahorro.

Lea el siguiente texto, en el cual el % se aplica en varias situaciones.

Si usted trabaja, ¿sabe qué Descuentos le hacen y cuál es su aplicación?

RECUERDE El tanto porciento (%) representa una parte del total de una cantidad y se establece mediante una razón.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 143

Resolución de problemas Para las personas que tienen un empleo, es conveniente saber qué tanto reciben realmente del sueldo que tienen asignado y por qué. Veamos el siguiente caso. El señor Prado es empleado de Aries, S.A. Tiene asignado un sueldo de $3 736.00 mensuales y le pagan quincenalmente. El sobre que le entrega el pagador contiene $1 528.00. Note usted que esta cantidad no es la mitad de los $3 736.00 que le han asignado como sueldo mensual. ¿A qué se debe esto? En el sobre hay una hoja donde se detalla lo siguiente: Sueldo quincenal ISPT $1 868.00 $199.00

IMSS Caja de ahorro $104.00 $37.00

Total a pagar $1 528.00 Analicemos esta situación: Si se divide el sueldo mensual entre dos para conocer lo que corresponde a una quincena, se tiene: $3 736.00 ÷ 2 = $1 868.00. Sumando los descuentos: 199.00 + 104.00 + 37.00, se obtiene $340.00, y si esta cantidad se resta de $1 868.00, se obtiene $1 528.00, que es la cantidad entregada en el sobre al señor Prado.

01/12/11 14:07

Unidad 3 • El trabajo

144 Por lo mencionado anteriormente, su pago se ha efectuado correctamente. Entonces, solamente cabe un breve comentario acerca de la naturaleza de los descuentos. Impuesto Sobre Productos del Trabajo (ISPT): es obligatorio, lo determina la Secretaría de Hacienda y es administrado por el gobierno. IMSS: corresponde al Instituto Mexicano del Seguro Social y se aplica para dar atención médica al trabajador y a sus dependientes económicos, así como para jubilaciones, pensiones, pago de incapacidades, etcétera. Caja de ahorro: es una cantidad que se le guarda al trabajador durante un año y le será entregada el último mes de ese año. Puede ser interesante saber qué tanto por ciento del sueldo del señor Prado representan los descuentos que le hacen. Por ejemplo: ¿Qué tanto por ciento del sueldo representa el total de descuentos de la quincena? Para ello es necesario calcular qué parte del sueldo quincenal representan los descuentos. Es decir, de $1 868.00, $340.00 corresponden a descuentos, lo que se puede expresar en forma de fracción, como: 340 1 868 Al dividir 340 ÷ 1 868 y obtener hasta centésimos, el resultado es 0.18, lo cual significa que se le ha descontado el 18%. Puesto que 100 - 18 = 82, puede afirmarse que el señor Prado recibe el 82% del sueldo que tiene asignado.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 144

Por otra parte, como el hábito del ahorro es deseable, una manera de fomentarlo es mediante la caja de ahorro, que actualmente funciona en muchas empresas. ¿Ofrece alguna ventaja ingresar a la caja de ahorro? Podría considerarse que sí, porque se puede guardar una cantidad pequeña cada día de pago, por ejemplo, $50.00 quincenales y se recibe a fin de año un interés que, en ocasiones, rebasa el 40%. Esto es posible porque el dinero que se recauda es prestado con interés (es muy común que se cobre el 4% mensual), de preferencia a los mismos integrantes de la caja. Generalmente funciona de enero a noviembre, para que en la primera quincena de diciembre se entregue a cada integrante su capital (ahorro) y sus intereses. Considere este ejemplo: Eugenia ahorró $50.00 cada quincena de enero a noviembre del año pasado, y reunió un total de $1 100.00. Además ganó un interés de 48%, es decir: 1 100.00 x 0.48 = $528.00. De manera que recibió: $1 100.00 + $528.00 = $1 628.00. Otro beneficio que recibió de la caja fue un préstamo de $1 000.00 con el 4% (0.04) de interés mensual, de modo que pagó $40.00 de interés por cada mes que tardó en pagar el préstamo. Como tardó 5 meses, en total pagó $1 200.00, o sea $1 000.00 del préstamo más $200.00 de interés. Una parte del interés fue para ella misma al terminar el año.

16/11/11 12:50

Sesión 33 • ¿Cuánto representa?

145 LA NÓMINA Enseguida podrá ver la nómina de una pequeña empresa. Obsérvela bien y luego conteste en su cuaderno lo que se le pide.

ISPT

IMSS

CAJA DE AHORRO

$1 963.00

$223.00

$110.00

$39.00

$1 591.00

Alma

$1 749.00

$171.00

$97.00

$35.00

$1 446.00

Gustavo

$1 322.00

$79.00

$74.00

$26.00

$1 143.00

Enriqueta

$1 082.00

$36.00

$60.00

$22.00

$964.00

Lucas

$370.00

$0.00

$21.00

$7.00

$342.00

Rosa

$242.00

$0.00

$14.00

$4.00

$224.00

NOMBRE

SUELDO

Abel

TOTAL A PAGAR

1. Calcule cuánto le descuentan en total a Gustavo. 2. ¿Qué tanto por ciento de su sueldo le descuentan a Enriqueta para el IMSS? 3. A Lucas le descuentan $7.00 para la caja de ahorro y a Alma $35.00. Calcule a cuál de estas dos personas le descuentan mayor porcentaje de su sueldo por ese concepto. Obtenga hasta milésimos y redondee a centésimos. 4. ¿Pagan todos el mismo tanto por ciento de su sueldo como Impuesto Sobre Productos del Trabajo (ISPT)?

Revise sus respuestas. Si se equivocó, corrija.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 145

01/12/11 14:42

Unidad 3 • El trabajo

146

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Lea cada problema y resuélvalo en su cuaderno.

Conteste en su cuaderno las siguientes preguntas:

5. Jorge depositó en la caja de ahorro $200.00 cada quincena, de enero a noviembre, y al final de ese año recibió $6 248.00 en total. a) C  alcule cuánto ahorró y cuánto recibió de interés. b) C  alcule qué tanto por ciento le pagó de interés la caja de ahorro. 6. Patricia recibió de la caja de ahorro un préstamo de $1 200.00 con el 4% de interés mensual y con un plazo de seis meses.

7. Aldo compró un radio que costaba $600.00 en $480.00 ¿Qué tanto por ciento le dieron como descuento? 8. Marina y Gildardo trabajan en la misma oficina y ganan $3 200.00 mensuales, cada uno. A partir del mes próximo recibirán un aumento de sueldo. A Marina le aumentarán su sueldo en de lo que gana actualmente, mientras a Gildardo le darán 40% de aumento. ¿Quién ganará más?‑

Compare sus respuestas con las de la clave. Corrija si es necesario.

a) ¿  Cuánto pagó mensualmente de interés y cuánto por los seis meses? b) ¿  Cuánto pagó en total al cumplirse los seis meses de plazo?

Verifique sus cálculos y corrija lo que sea necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 146

01/12/11 14:42

Habilidades de un carpintero La naturaleza ha creado formas diversas que el hombre plasmó en las figuras geométricas. Pero no sólo se concretó a copiar dichas formas, sino que las ha estudiado desde muchos puntos de vista, clasificándolas y estableciendo formalmente las propiedades que poseen. A partir de esta sesión usted manejará las figuras geométricas por su nombre, el cual responde a características propias de cada una de ellas. ¿Qué sabe usted sobre la aplicación de las figuras geométricas en el diseño y construcción de edificios, casas o muebles?

Lea atentamente el siguiente texto. Con él aprenderá a clasificar figuras.

Clasificación de figuras

RECUERDE Un ángulo agudo es aqouel que mide menos de 90 . Un ángulo recto es el que mide exactamente 90 o. Un ánguloo obtuso mide más de 90 o y menos de 180 .

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 147

En cualquier trabajo de carpintería, para cortar la madera es necesario trazar las medidas y las formas que tendrá cada una de las partes de un mueble. Las formas que tienen los muebles se basan en figuras geométricas, es decir, están hechas con figuras que se pueden medir y transformar para aprovecharlas mejor. Por ejemplo, Juan es aprendiz de carpintero y tiene como tarea trazar en una hoja de madera las siguientes piezas, cada una de las cuales está destinada a un mueble diferente.

01/12/11 14:42

Unidad 3 • El trabajo

148 Enseguida se presentan las piezas antes mencionadas:

Entrepaño

Repisa

Esquinero

Mesa de centro

Mesa de antecomedor

Desayunador

¿Ha visto en alguna parte la forma que tienen estas piezas? ¿Podría decir cuáles de éstas tienen la forma de un triángulo y qué significa esta palabra? La palabra triángulo significa figura con tres ángulos. Por lo tanto, las piezas que tienen la forma de triángulo son: el entrepaño, la repisa y el esquinero. ¿Sabía que a los triángulos se les puede dar un nombre más específico, de acuerdo con la medida de sus lados o de sus ángulos? Con respecto a sus ángulos: Si los tres ángulos del triángulo son agudos (menores de 90°) se le llama triángulo acutángulo. Si el triángulo posee un ángulo obtuso (mayor de 90° y menor de 180°), se llama triángulo obtusángulo. Y si uno de sus ángulos es recto, se llama triángulo rectángulo. Lo anterior se puede apreciar en las siguientes figuras.

85º 35º 60º Triángulo Acutángulo

35º

65º 120º

25º

Triángulo Obtusángulo

90º

25º

Triángulo Rectángulo

Entonces, ¿podría usted decir el nombre de los triángulos que forman el entrepaño, la repisa y el esquinero? ¡Muy bien! El entrepaño es un triángulo acutángulo, la repisa un triángulo obtusángulo y el esquinero un triángulo rectángulo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 148

01/12/11 14:42

Sesión 34 • Habilidades de un carpintero

149 Pero también se les puede dar un nombre, con respecto a la medida de sus lados: Si el triángulo tiene lados con la misma longitud, se conoce con el nombre de triángulo equilátero. Al triángulo que tiene por lo menos dos lados de igual tamaño se le conoce con el nombre de triángulo isósceles. Y aquel cuyos tres lados son de diferente medida se le llama triángulo escaleno. Lo anterior puede visualizarse con las siguientes figuras:

a

b

a

c a=b=c Triángulo Equilátero

b

a=b Triángulo Isósceles

Triángulo Escaleno

Para comprobar lo anterior, tome una regla graduada y mida la longitud de los lados de cada triángulo. Ahora bien, a las figuras que tienen cuatro lados se les conoce como cuadriláteros, y por la relación que hay entre sus lados opuestos se clasifican en: Paralelogramos, cuando sus lados opuestos son paralelos.

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Trapecios, cuando un solo par de lados son paralelos.

Trapecio Rectángulo

Trapecio Isósceles

Trapecio Escaleno

Trapezoides, cuando no tienen lados paralelos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 149

01/12/11 14:42

Unidad 3 • El trabajo

150

De acuerdo con lo anterior, ¿podría usted decir qué forma geométrica tiene cada una de las partes del desayunador? ¡Claro! Cada parte es un trapecio. De igual forma, las figuras con más de cuatro lados reciben un nombre según su número de lados (pentágono, hexágono, etcétera). Por ejemplo, la mesa de centro tiene seis lados y se le conoce como hexágono, mientras que la mesa de antecomedor tiene CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS nueve lados y se le conoce como nonágono. Regulares Irregulares A todas las figuras geométricas mencionadas también se les conoce con el Sus lados y Por lo menos nombre de polígonos, esto es, un lado o ángulo ángulos son es diferente la figura geométrica formada iguales por una poligonal cerrada, es decir, la sucesión de segmentos NO. DE NOMBRE de recta que limitan una región LADOS determinada. Por ejemplo, un triángulo es un polígono Triángulo 3 formado por la sucesión de tres Cuadrilátero 4 segmentos de recta. 5 Pentágono El siguiente esquema muestra la clasificación general 6 Hexágono de los polígonos: 7

Heptágono

8

Octágono

9

Nonágono

10

Decágono

11

Undecágono

12

Dodecágono

20

Icoságono

A los polígonos que no tienen un nombre específico se les llama por el número de sus lados. Ejemplo: Polígono de 15 lados.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 150

01/12/11 14:42

Sesión 34 • Habilidades de un carpintero

151 PIEZAS DE MADERA Don Luis es un carpintero a quien se le encargó la tarea de hacer, en madera de roble, un tablero de ajedrez y una repisa para colocar figuras como se muestra a continuación: 1. ¿Cuál es la forma que tiene el tablero de ajedrez? 2. ¿Cuál es la forma de la repisa? ¿De qué tipo es? 3. Si el tablero de ajedrez tiene ocho cuadrados por lado, ¿cuántos cuadrados tiene en total? 4. Si el tablero que le encargaron a don Luis debe medir 32 cm por lado, ¿cuánto medirá por lado el cuadrado donde se colocará cada pieza de ajedrez?

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Observe las siguientes figuras y realice lo que se indica. L

M

5. ¿Cómo se llama la primera figura? 6. Del punto que tiene la letra L, trace una recta que vaya hacia los puntos señalados con N, O, P, y diga qué figuras se formaron. 7. Mida los lados de cada una de las figuras formadas en el punto anterior y dé el nombre correspondiente, según la medida de sus lados.

Q

N

P

O

Observe la segunda figura y conteste: 8. ¿Qué nombre le corresponde por el número de lados? 9. ¿Cuántos triángulos se formaron? Fíjese bien, pues son más de 20. 10. ¿Cómo se llama la figura que se formó en el centro?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 151

01/12/11 14:42

Unidad 3 • El trabajo

152

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Realice las siguientes actividades:

a

11. Anote el nombre de cada una de las formas que tienen las caras indicadas en el siguiente cuerpo geométrico.

b

a) _______________ b) _______________

c

c) _______________

12. Mida los lados de cada triángulo y diga su nombre.

a) _______________

b) _______________

c) _______________

13. ¿Qué formas geométricas reconoce en el balón de futbol? 14. Utilizando regla y compás, construya en su cuaderno un rombo de 3 cm de lado. Recuerde que el rombo tiene sus cuatro lados iguales, y los ángulos opuestos son iguales. Prolongue, por ambos extremos, cada lado de la figura. Cada par de lados opuestos, ¿conservan la misma distancia? Si es así, ¿qué nombre reciben? 15. ¿Cómo se le llama al triángulo que tiene un ángulo recto?

Compruebe sus resultados con los de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 152

06/12/11 11:30

Juegos y pasatiempos En esta sesión se pretende que usted se entretenga con algunos juegos y que aumente con ello su grado de entendimiento y de agilidad mental.

Lea detenidamente las instrucciones de cada juego y trate de resolverlo buscando diferentes opciones de solución 1. Las siguientes figuras son ejemplos de ilusiones ópticas, las cuales demuestran por qué es más fiable el razonamiento lógico que la información visual. Responda a las preguntas y después compruebe midiendo. a) ¿Cree que las líneas A y B son paralelas?

A

B

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 153

01/12/11 14:42

Unidad 3 • El trabajo

154

b) ¿  Qué segmento tiene mayor longitud, AB o CD? C

A

B

D

c) ¿  Qué línea es la prolongación de E? A B C

E

3. Lea con atención las instrucciones del juego y trate de resolverlo. El juego consiste en que a partir de las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) exprese los 11 primeros números, es decir, del cero hasta el diez, utilizando cada vez únicamente 4 cuatros. Complete la siguiente tabla buscando con calma las otras 10 soluciones. Cuando haya encontrado dos o tres de ellas, seguramente las demás serán más fáciles de encontrar. La condición es que utilice siempre 4 cuatros, los cuales, adecuadamente combinados, tienen que ir dándole los resultados. Algo muy importante: puede haber dos o más formas de expresar un mismo resultado. OPERACIONES

d) ¿  Qué distancia es más larga? ¿De A a B o C a D? A

B

C

D

2. La siguiente figura es un recogedor con una basura adentro. Reproduzca la figura utilizando palillos o lápices. Mueva sólo dos palillos, de tal manera que quede la misma figura del recogedor, y que la basura (que no debe moverse) quede afuera del recogedor.

1

RESULTADOS 0 1

4 + ( 4 4- 4 )

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Si desea seguir aumentando su grado de entendimiento y de agilidad mental, puede expresar los mismos resultados utilizando 5 cincos, 6 seises, 7 sietes, etcétera. Hay soluciones para todos.

2 3

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 154

4

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

01/12/11 14:42

Lo que bien se aprende jamás se olvida A TRAVÉS DE LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD, USTED: • Interpretó algunos pictogramas, gráficas de barras, histogramas y polígonos de frecuencias que representan registros de algunos aspectos laborales que aparecieron en diarios de circulación nacional. • Realizó con números decimales operaciones tales como la multiplicación y la división para resolver cálculos de salario, cambio de monedas extranjeras, medición de distancias, etcétera. • Trazó líneas paralelas y perpendiculares y clasificó figuras geométricas para el diseño de muebles. • Resolvió problemas de tanto por ciento en la distribución de trabajadores de una empresa, así como las opciones de compra en una tienda de crédito. • Midió y trazó ángulos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 155

01/12/11 14:42

Unidad 3 • El trabajo

156 ¿Recuerda haber realizado las actividades antes mencionadas?

Ahora realice lo que se indica. —¿  Ha interpretado alguna otra gráfica aparte de las presentadas en este curso? —¿  Fueron claras las actividades que realizó para la interpretación de gráficas y pictogramas?

— ¿Le quedó claro el concepto del tanto por ciento? — ¿En qué actividades que realiza comúnmente utiliza el tanto por ciento? —¿  Qué actividad de las que se le presentaron en este núcleo le causó mayor problema? — ¿Qué lección le fue más accesible? —R  egrese a la lección que le causó mayor dificultad y analícela con mayor detenimiento. —A  note, en su cuaderno, una síntesis del contenido principal de la sesión en la que tuvo mayor problema y mencione en qué otras actividades puede aplicarse dicho contenido.

Con base en la siguiente información realice en su cuaderno las actividades que se indican. El trabajo es el esfuerzo humano que tiene un fin determinado y que, generalmente, se ve recompensado con un salario. I.Lea el siguiente texto y conteste lo que se pide.

Rocío está amueblando su casa y solicitó el presupuesto de una cocina integral. Observe la forma que tiene el cuarto destinado para ese fin.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 156

01/12/11 14:42

Sesión 36 • Lo que bien se apende jamás se olvida

157 1. Numere los lados y diga qué tipo de polígono es. 2. Determine si se trata de un polígono regular o irregular y diga por qué. 3. Mida cada ángulo formado por dos paredes consecutivas. 4. Si cada 2 centímetros del dibujo representan un metro de la habitación, anote la longitud de cada lado de la cocina. 5. Identifique qué lados son paralelos y cuáles perpendiculares, con base en la numeración que utilizó. 6. De acuerdo con las medidas de la cocina y el material, a Rocío le dieron los siguientes presupuestos. MATERIAL

PRECIO DE LISTA

Caoba

$8 250.00

Pino

$9 100.00

Cedro

PLAZOS

(3 pagos mensuales de...)

$12 150.00

Formaica

3 MESES

6 MESES

(6 pagos mensuales de...)

$4 455.00 $1 677.50

$10 500.00

$3 850.50

Con base en los datos que se dan en la tabla: a) E  stablezca qué tanto por ciento aumenta el precio de la cocina en un plazo de 3 y 6 meses. b) Con base en el resultado del inciso anterior, complete el cuadro. 7. Si le hacen un descuento de 7% por pagar de contado, calcule el precio de la cocina en los diferentes materiales.

ll. A continuación se le presentan una gráfica y una tabla.

VENTA TOTAL DEL MES CABLE # 14 36 %

PORTALÁMPARAS (sockets) 14 %

CLAVIJAS 16 % CONTACTOS 22 % APAGADORES 12%

TOTAL DE UNIDADES PRODUCTO PRECIO UNITARIO EXISTENTES EN TIENDA

Clavijas Contactos Apagadores Portalámparas Cable # 14

$3.10 $5.50 $4.65 $7.00 $3.10

1 750

650 800 1 250 1 000 m

1. Con los datos que en ellas aparecen y dado que el monto total de la venta del mes fue de $1 550.00 plantee dos problemas.

Compare sus respuestas con las de la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 157

01/12/11 14:42

Lo que hemos aprendido Al igual que en las otras sesiones de este tipo, al cabo de ésta podrá identificar con mayor claridad aquellos temas o conceptos que aún necesitan de un repaso.

I. Resuelva el siguiente crucigrama:



Verticales



Horizontales 1

2. Á  ngulo cuya medida es menor de 90º. 3. Resultado de la multiplicación. 4. Polígono de cinco lados. 5. Polígonos de cuatro lados. 6. Unidad de medida de los ángulos. 7. Triángulos que poseen dos lados de igual longitud. 9. Ángulo de 90º.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 158

1. L íneas que están en el mismo plano y, por más que se alarguen, nunca se cortan. 3. Líneas que se cortan formando ángulos rectos. 8. Nombre genérico del polígono cuyos lados y ángulos son iguales. 10. Resultado de la división. 11. Polígono con menor número de lados.

2 6

5

7

4

3

8

9

10 11

01/12/11 14:42

Sesión 37 • Lo que hemos aprendido

159

II. Elija la respuesta correcta a los siguientes problemas.

1. Cierta institución bancaria ofrece a sus clientes una tasa del 18% anual con disposición inmediata de efectivo. ¿A cuánto asciende la tasa mensual? . . . . . ( a) 1.5%

b) 1.58%

c) 1.6%

d) 2.4%

2. Si un cliente deposita $2 700.00 y no realiza retiros en cinco meses, ¿cuánto habrá acumulado al cabo de este tiempo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( a) $2 902.50

b) $2 908.65

c) $2 903.25

3. El resultado de 1 026 ÷ 12 es: ( a) 55.8

)

b) 84.5



c) 85.5

b) perigonal



d) 0.0117



c) recto



b) perigonal



c) recto



b) doceavo

III. C  on base en la siguiente gráfica, anote algunos puntos que pueda deducir de ella.

Compare sus respuestas con las de la clave. Corrija en caso de ser necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 159



c) dodecágono

)

d) llano o colineal

6. Nombre que recibe el polígono de 12 lados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( a) icoságono

)

d) llano o colineal

5. Nombre del ángulo cuya medida es de 180º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( a) obtuso

)

d) $2 874.21

4. Nombre que se da al ángulo que describe un giro completo. . . . . . . . . . . . . . ( a) obtuso

)

)

d) heptágono.

Chocho 0.86 % Mazateco Totonaca 1.20 % 7.80 % Mazahua 10.15 % Mixteco 3.32 % Zapoteco 2.34 %

POBLACION HABLANTE DE LENGUA INDÍGENA EN LA ZONA CENTRO-SUR DE MÉXICO

Náhuatl 52.82 %

Otomí 21.51 % Fuente: Panorama estadístico, México, Instituto de Educación de Aguascalientes, INEGI, 1993.

01/12/11 14:42

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 160

16/11/11 12:50

UNIDAD

APRENDIZ DE CARPINTERO

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 161

16/11/11 12:50

¿H

a revisado las claves de respuestas después de resolver algún problema? ¿Han coincidido sus resultados con los de la clave? Si no es así, revise sus procedimientos e intente buscar el error. Recuerde que en la búsqueda e identificación de errores también se aprende. ¿Asistió a alguna asesoría? Material para esta unidad: cuaderno de trabajo, calculadora de bolsillo, juego de geometría: regla, compás, escuadras y transportador.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-107-162.indd 162

16/11/11 12:50

Tú, mi complemento ¿Qué tan observador es usted de la naturaleza y de lo que le rodea? ¿Podría señalar semejanzas y diferencias de lo que está a su alrededor? En esta sesión aprenderá a clasificar las figuras que presentan semejanzas entre las partes que las forman.

¿Qué sabe usted acerca de las características que tienen en común una estrella de mar un corazón y una herradura?

RECUERDE El polígono con menor número de lados es el triángulo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 163

Lea con atención el texto siguiente, en el que conocerá lo que son los ejes de simetría.

Ejes de simetría Javier, que es el ayudante de don Luis en la carpintería, tuvo que quedarse al frente del negocio por algún tiempo, debido a que don Luis enfermó. En una ocasión le pidieron que elaborara en madera corazones, estrellas y herraduras, que servirían de adorno en una fiesta de bodas. Javier trazó en cartulina (con el fin de tener moldes) un corazón, una estrella y una herradura, pero no fueron del gusto de la persona que los pidió, ya que no tenían simetría. ¿De qué forma se le ocurre a usted que Javier pueda trazar un corazón simétrico? ¿Cómo podría lograr una estrella que tuviera simetría? ¿Qué deberá hacer para que la herradura sea simétrica? Antes de responder estas preguntas, realice las actividades que se le indican y analice la información que se presenta.

06/12/11 11:21

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

164 Cuando usted tiene una figura que, al doblarla por el centro, las dos partes que se obtienen son de igual forma y tamaño, es decir, que coinciden en todos sus puntos, se dice que la figura es simétrica. A la línea que se forma con el doblez se le conoce como eje de simetría. Una figura puede tener más de un eje de simetría; por ejemplo, haga otro doblez sobre la figura c que pase por los puntos B y F, y observe que también coinciden en todos sus puntos las dos partes sobrepuestas.

Calque las figuras que se presentan enseguida. a)

b)

A

c)

A H H

G

B C

G

B C D

F

D

F

Puntos homólogos

Ejes de simetría E

E

Dóblelas por la mitad, a lo largo. ¿Cómo son las dos partes de la figura a? Eje de simetría

¿Sucede lo mismo con la figura b?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 164

A los puntos de un lado que se corresponden con los del otro lado se les conoce como puntos homólogos. Observe que en la tercera figura, al sobreponer las dos partes, coinciden los puntos A con C, H con D y G con E. Por lo tanto, A es el punto homólogo de C, H es homólogo de D y G es homólogo de E. Observe a su alrededor y diga a qué objetos podría encontrarles uno o más ejes de simetría. ¿Cómo cree que se les llame a las figuras, como la figura b con la que usted trabajó, que al hacerles un doblez por el centro no se obtienen dos partes simétricas?

16/11/11 13:30

Sesión 38 • Tú mi complemento

165 Se conocen como figuras asimétricas, es decir, que no tienen simetría o que carecen de eje de simetría. Si usted deseara dibujar una figura simétrica, ¿cómo cree que podría lograrlo? Una forma es recurrir al eje de simetría de la figura. Por ejemplo, en las figuras que se le presentan enseguida se aprecia el eje de simetría y sólo la mitad de las figuras, de modo que para dibujar la otra mitad bastaría con doblar el papel sobre el eje de simetría y calcar en el otro lado de la hoja la parte que se tiene ya dibujada.

PUERTAS ORIGINALES Ahora Javier tiene la tarea de construir una puerta para una fonda, la cual consta de dos “hojas”. En la siguiente figura se muestra solamente una cuarta parte del diseño de la puerta. Para que Javier pueda completar ese diseño tendrá que trazar las partes faltantes, que deben ser simétricas a la figura mostrada.

E

B C

F

G

H

Ahora, ¿podría usted decir cómo deberá trazar Javier los moldes de las figuras que necesita, para que éstas sean simétricas? ¡Así es! Puede dibujar la mitad de cada una y doblar la cartulina sobre el eje de simetría, para calcarla sobre el otro lado. ¿Verdad que alguna vez usted tuvo que recurrir a los ejes de simetría? Pero es probable que no supiera cómo se llamaban.

2. ¿Cuántos ejes de simetría tendrá la puerta? 3. ¿Qué ángulo forman el eje vertical y el horizontal? 4. Ahora, para completar el diseño de una hoja de la puerta, mida la distancia que hay del punto B al eje horizontal y traslade esta medida a partir del punto A, pero en sentido opuesto al segmento BA. Nombre al nuevo punto como B’. 5. Trace una línea que una el punto A con el punto B’.

D

A

6. Realice los mismos pasos para localizar los puntos homólogos C’, D’, E’, F’, G’ y H’, y posteriormente únalos. 7. Trace una línea que una los puntos H y H’.¿Qué obtuvo? ¡Así es! Esta figura es sólo una “hoja” de la puerta que Javier tiene que hacer.

1. ¿Cuántas partes de la puerta hace falta trazar?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 165

8. Trace la segunda “hoja”, de tal forma que sea simétrica a la primera.

06/12/11 11:22

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

166 ¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? APLIQUEMOS LO APRENDIDO En su cuaderno dibuje la estrella, la herradura y el corazón que Javier tiene que hacer en madera, y trace todos los ejes de simetría que tengan. ¿Le fue más fácil ahora trazar las figuras solicitadas? Javier también logró hacer las figuras de madera al gusto de su cliente, pero tiene ahora el problema de decidir cuánto le va a cobrar. El costo de cada corazón fue de $35.00, el de cada estrella fue de $50.00 y el de cada herradura fue de $45.00; si le aconsejaron que a sus trabajos debía ganarles el 50%, ¿cuánto deberá cobrar por cada figura de madera? El cliente quedó convencido del precio y le mandó hacer 12 corazones, 6 estrellas y 6 herraduras. ¿Qué cantidad le pagarán a Javier? ¿Cuánto será lo que obtenga Javier de ganancia? Si el cliente de Javier va a colocar todos los adornos que mandó hacer en un salón cuyas medidas son 19 m de largo por 11 m de ancho, ¿a qué distancia deberá colocar los clavos en los que se colgarán los adornos, si desea que haya el mismo espacio entre ellos? Revise sus resultados y corrija si es necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 166

A continuación realice las actividades que se le presentan. 9. Encuentre todos los ejes de simetría que tengan las siguientes figuras.

10. Complete los dibujos de tal manera que sean simétricos.

Revise sus figuras con las de la clave y corrija en caso necesario. Observe el programa de televisión, donde verá que existen muchas figuras simétricas que se hallan presentes en nuestra vida cotidiana.

16/11/11 13:30

Maderos cruzados Todo carpintero, antes de dar inicio a un trabajo, tiene que escoger la madera en que lo va a realizar; además, debe interpretar bien los dibujos para efectuar correctamente sus trazos y entregar un trabajo de buena calidad. En esta sesión, usted conocerá la forma de realizar trazos que pueden servirle en la labor que desempeña, o bien, para ayudar a alguien que requiera de su apoyo. ¿Ha utilizado alguna vez la palabra diagonal? ¿Sí? ¿Dónde? Generalmente, uno usa palabras o conceptos de manera intuitiva o por costumbre, sin tener muy claro de dónde surgen o qué significan.

RECUERDE Los ejes de simetría son líneas rectas que dividen una figura en dos partes iguales. Una figura puede tener más de un eje de simetría.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 167

Lea con atención el siguiente texto, en el que se describe la manera de cómo trazar figuras de cuatro lados a partir de sus diagonales.

Trazo de figuras de cuatro lados a partir de sus diagonales Don Luis le dejó la siguiente tarea a Javier: utilizando dos maderos cruzados hacer, en madera, todas las figuras que resulten al unir los puntos extremos de los dos maderos. ¿Cuántos lados cree usted que tendrán estas figuras? Para que usted pueda ayudarlo, recorte en cartón, cartulina o cartoncillo, dos tiras de 15 cm de largo, como se muestra a continuación:

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

168

A los cartoncillos mostrados anteriormente, hágales pequeños orificios, en los lugares señalados. Ahora haga lo siguiente:

En geometría se conoce como diagonal a la línea que va de un vértice a otro no consecutivo. Y ahora, ¿qué es un vértice?

•T  ome las tiras y busque tres maneras diferentes en que puedan cruzarse, haciéndolas coincidir en uno de sus orificios intermedios. Dibuje las figuras resultantes uniendo con una línea los extremos de las tiras.

Vértice es el punto donde se unen dos lados de una figura.

• Intente hacer lo mismo, pero con tiras de cartoncillo de 10 cm y 15 cm, como las que se muestran en la figura.

¿Cuántas figuras diferentes obtuvo? Recordemos que a las figuras de cuatro lados se les conoce como cuadriláteros, y que entre ellos están el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el romboide, el trapecio y el trapezoide. Hay diversas formas de trazar una figura geométrica. En esta ocasión emplearemos una de ellas, que es a partir de las diagonales; pero, ¿qué es una diagonal?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 168

Observe la siguiente ilustración: Vértice D

Vértice C

Diagonal A Vértice

B Vértice

Las letras A, B, C y D indican los vértices de la figura, y las diagonales son las líneas que van del punto A hacia el punto C, y del punto B hacia el punto D. ¿Cómo construir un cuadrilátero a partir de sus diagonales? ¿Qué haría usted si sólo le presentan dos pares de segmentos iguales, como los siguientes, y le dicen que, a partir de ellos construya, figuras de cuatro lados?

16/11/11 13:30

Sesión 39 • Maderos cruzados

169

LOS REFUERZOS DE UNA MESA Como don Luis sigue enfermo, Javier continúa haciéndose cargo de la carpintería, y sufriendo con los diseños y encargos de sus clientes. En esta ocasión, uno de ellos le encargó que colocara el refuerzo a las dos mesitas de trabajo de sus hijos, cada una de forma diferente. 1. Si los refuerzos deben ir cruzados y con las proporciones que se muestran, diga usted qué forma tienen las mesas (complete el dibujo).

D

C

A

B

H

E

G

F

2. Si cada centímetro del dibujo que usted completó representa 1 dm, ¿cuáles son las medidas reales en metros?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 169

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

170

APLIQUEMOS LO APRENDIDO La señora Gómez tiene un taller de costura. En un restaurante le solicitaron que hiciera un diseño especial de mantel, el cual se colocará como se muestra en el dibujo.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 6. Trace las diagonales de las siguientes figuras.

a)

b)

3. Si le dan las medidas de las diagonales del mantel (diagonal mayor: 2.5 m, diagonal menor: 1.5 m), dibuje la figura que se forma cuando las diagonales se cruzan perpendicularmente en su punto medio. Para realizar su dibujo trace las diagonales de 1 cm por cada 50 cm que mide el mantel.

7. Sin despegar el lápiz, y a partir de una de sus diagonales, dibuje el cuadrilátero correspondiente a la siguiente diagonal. (El cuadrilátero debe tener sus dos diagonales dibujadas, que se deben cortar en su punto medio y tener la misma medida.)

4. Dé el nombre de dicha figura. 5. Mida cada lado de la figura y diga cuánto mide cada lado del mantel. Recuerde que usted hizo la figura usando 1 cm para cada 50 cm del mantel.

Revise sus resultados con los de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

Revise que haya trazado correctamente sus dibujos y corrija si es necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 170

16/11/11 13:30

Mesas dúplex ¿Dónde cree usted que pueda acomodar más personas? ¿En una mesa cuadrada o en una circular de aproximadamente el mismo tamaño? ¿Qué ventajas tendrá el círculo sobre otras figuras geométricas? ¿De qué manera se pueden trazar figuras geométricas tomando el círculo como base? En esta sesión daremos respuesta a esas preguntas.

¿Sabe usted qué es un círculo?

RECUERDE n Los polígonos recibeneuro de nombre según el núm dos, lados que tienen: 3 la triángulo; 4 lados, , cuadrilátero; 5 lados pentágono; 6 lados, hexágono, etcétera.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 171

Lea con atención el siguiente texto en el cual se describe la manera de cómo trazar círculos y polígonos de más de cuatro lados.

Trazo de círculo y polígonos de más de cuatro lados Javier sigue metido en problemas por los trabajos que le solicitan en el taller. Ahora tiene que hacer una mesa circular de 150 cm de diámetro, que pueda transformarse en una mesa de juego con forma hexagonal. ¿Cómo resolvería usted este problema? ¿Qué entiende por círculo? ¿Qué es el diámetro? Para contestar estas preguntas, realice la siguiente actividad en su cuaderno: Tome su compás y su regla. Enseguida, coloque la punta metálica del compás en el punto cero de la regla y ábralo de tal manera que la punta del lápiz señale 3.5 cm. En su cuaderno marque un punto, y sobre él apoye la punta metálica del compás con la abertura de 3.5 cm. Hágalo girar una vuelta completa de manera que el lápiz dibuje la línea del círculo. Esta línea dibujada por el compás se conoce con el nombre de circunferencia.

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

172 otro radio en el mismo círculo, pero en otra posición que usted quiera, como si fueran las manecillas de un reloj que giran sobre un punto fijo que aquí es el centro del círculo. ¿Sabe cómo se llama la región que hay entre estos dos radios? ¡Así es! Se llama ángulo.

Dicho de manera más formal, circunferencia es la línea curva cerrada, trazada sobre un plano, cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto llamado centro. Entonces, ¿qué es un círculo? Pues círculo es la región que está contenida en la circunferencia, es decir, es la superficie plana limitada por la circunferencia. ¿Cree usted que haya círculo sin circunferencia? Para hacer el círculo usted tomó una distancia determinada. A esta distancia, que fue de 3.5 cm, se le conoce con el nombre de radio; por lo tanto,el radio es la línea recta que va del centro del círculo a cualquier punto de la circunferencia. Otra recta que es importante para el trazo de círculos es el diámetro. Esta recta es la que pasa por el centro del círculo y une dos puntos de la circunferencia.

r

Radio ( )

x Círculo

c

Circunferencia ( ) Diámetro ( )

Observe que el diámetro está formado por dos radios, que parten del centro a dos puntos opuestos de la circunferencia; por lo tanto, el diámetro ( ) es igual a 2 radios ( = 2 ). Con base en la información anterior diga cuánto medirá el radio de la mesa que va a construir Javier. Ahora trace un círculo de cualquier dimensión, y sobre éste trace un radio. Después trace

r

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 172

Al ángulo que está formado por dos radios en un círculo se le llama ángulo central, pues su origen (llamado vértice) está en el centro del círculo. A continuación, en el círculo que trazó anteriormente en su cuaderno, dibuje dos radios de tal manera que formen el diámetro. ¿Cuánto mide el ángulo formado por dichos radios? Por supuesto, forman un ángulo llano o colineal (180°). Recorte el círculo que dibujó en su cuaderno y dóblelo sobre su diámetro. ¿Qué observa? ¡Correcto! Ambas partes coinciden exactamente, es decir, las dos partes del círculo son simétricas y el diámetro es su eje de simetría. Por lo tanto, si el ángulo central de una mitad mide 180°, también el ángulo central de la otra mitad del círculo medirá 180°, lo que nos indica que la medida total del ángulo central del círculo, en grados, es de 360°. Bueno, ahora que Javier ya sabe trazar un círculo, podrá trazar en la madera uno de 150 cm de diámetro. Pero ahora, ¿qué podrá hacer para trazar el hexágono dentro del círculo y que los vértices del hexágono se localicen sobre la circunferencia, esto es, que trace un hexágono inscrito en el círculo?

24/11/11 12:21

Sesión 40 • Mesas dúplex

173 Para ello, nos va a ser muy útil lo que hasta el momento sabemos acerca del círculo. Primero habrá que decir que los lados de la mesa hexagonal deben tener la misma longitud, es decir, se trata de un polígono regular. Para trazar un polígono regular inscrito en un círculo se hace lo siguiente: Primero. Se dividen los grados que mide el ángulo central del círculo (360°) entre el número de lados que tiene el polígono regular que se va a trazar. En este caso, el número de lados es 6, entonces 360° ÷ 6 = 60°. De esta manera se obtiene la medida del ángulo central del polígono, que nos ayudará en su trazo. Segundo. Se traza el círculo y su radio; luego se coloca el transportador sobre el radio, de manera que el índice del transportador (o punto medio de éste) coincida con el centro del círculo, y se marca la medida del ángulo central del polígono, que para el caso del hexágono fue de 60°.

+

+

60º

Quinto. Se unen los puntos obtenidos sobre la circunferencia. De esta forma queda construido el hexágono inscrito al círculo, es decir, todos los vértices del hexágono quedan sobre la circunferencia.

+ 60º

60

º

Tercero. Con una regla, se traza una línea que parta del centro del círculo y que pase por el punto

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 173

Cuarto. Se abre el compás, tomando como medida la abertura del ángulo ya trazado sobre la circunferencia. Dicha medida se traslada en cinco ocasiones sobre el círculo, tomando como base el punto anterior. Observe la figura.

0º

180º

90º

marcado con el transportador, hasta que la línea cruce la circunferencia.

Ahora piense: si en la mesa hexagonal se colocan seis personas, una de cada lado, ¿cuántas personas cabrán cómodamente cuando la mesa se transforme en círculo?

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

174 APLIQUEMOS LO APRENDIDO ROMPECABEZAS EN MADERA A Javier le llevaron el diseño de un rompecabezas que querían que fuera reproducido en madera. Póngase en el lugar de Javier y reproduzca en su cuaderno el diseño mostrado .

Jorge desea hacer un reloj en forma de octágono, para la oficina de su papá. Para ello, cuenta con la maquinaria del reloj, 12 números del reloj y una base de acrílico. 4. ¿Qué figura deberá trazar primero? 5. ¿Cuántos lados tiene un octágono? 6. ¿Cuánto mide cada ángulo central del reloj? 7. En la siguiente figura, señale la colocación que deben tener los números 12 y 6.

1. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular inscrito en el círculo con el diámetro mayor? 2. ¿Qué nombre recibe? 3. ¿Cuánto mide el ángulo central del polígono inscrito en el círculo mayor?

8. ¿Qué ángulo forman las manecillas cuando señalan los números 12 y 6?

a) ¿  Qué otros polígonos encuentra en el rompecabezas?

9. ¿Cuánto deberá medir el ángulo central que indique la colocación de cada número del reloj?

b) ¿  Cómo se llama el polígono inscrito en el círculo de diámetro menor?

10. ¿Qué ángulo forman las manecillas cuando marcan las siguientes horas?

c) T  race los ejes de simetría que tenga el rompecabezas.

a) 3:00

b) 1:00

c) 5:00

Verifique sus resultados. Corrija en caso necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 174

16/11/11 13:30

Sesión 40 • Mesas dúplex

175

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Realice en su cuaderno lo que a continuación se pide: 11. Trace un círculo cuyo diámetro mida 6 cm y, después, trace un pentágono regular inscrito en él. 12. Mida el radio del círculo que circunscribe (rodea) a la figura siguiente.

O

Compare sus respuestas con las de la clave, si tiene algún error, corrija.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 175

16/11/11 13:30

Siempre el mismo ¿Alguna vez ha necesitado usted cercar un terreno? ¿Colocar el marco a un espejo, una pintura o fotografía? ¿Ponerle encaje o bies a un mantel? ¿Cómo calcularía la cantidad de material que va a emplear? Si usted ha realizado esos cálculos, aquí se le presentarán situaciones similares que le permitirán formalizar ese conocimiento. Si no ha necesitado hasta ahora de ello, en esta sesión comprenderá la importancia de este tema.

RECUERDE nal La unidad internacuiodes es el para medir longit do de la metro. Dependien e recurre longitud a medir s ilómetro, a sus múltiplos (kmetro) hectómetro, decá os o a sus submúltiplímetro, (decímetro, cent milímetro). SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 176

Lea el siguiente texto en el que se menciona la manera de obtener el perímetro.

Cálculo de perímetros El señor Luna adquirió un terreno de forma rectangular para construir una casa, pero la persona que se lo vendió le dijo que medía 40 varas de fondo (largo) y 20 varas de frente (ancho). ¿Cómo calculará el señor Luna el número de tiras de madera que necesitará para cercar su terreno, si sabe que cada tira mide 2.20 m de largo? Algo que facilita la solución del problema es trazar el esquema del terreno para poder así apreciar su forma.

20 varas

¿Sabía usted que la vara es una antigua medida de longitud, que en Castilla, España, equivalía a 0.8359 m?

40 varas

16/11/11 13:30

Sesión 41 • Siempre el mismo

177

Primero es necesario calcular la medida del contorno del terreno, para lo cual el señor Luna realizó la siguiente operación: 40 varas + 20 varas + 40 varas + 20 varas; esto es lo mismo que decir 2 veces 40 varas + 2 veces 20 varas, lo que da como resultado 120 varas. Lo que acaba de realizar el señor Luna es lo que se conoce como cálculo del perímetro, que es la medida del contorno de una figura geométrica. Para ello fue necesario conocer las medidas de los lados que forman el terreno y sumarlas. La vara es una medida que ya no se usa comúnmente, por lo que el señor Luna tendrá que convertir las varas a metros.

MARCOS DECORATIVOS Javier está haciendo los marcos para un espejo, una pintura, una fotografía y un reloj. Los cuatro objetos tienen diferente medida, pero lo que sorprendió a Javier fue que para los cuatro va a utilizar la misma cantidad de material. El espejo mide 120 cm de largo por 60 cm de ancho, la pintura mide 100 cm de largo por 80 cm de ancho, la fotografía mide 90 cm por lado y el reloj mide 60 cm por lado. ¿Por qué va a utilizar la misma cantidad de material?

Para facilitar el proceso de conversión, redondeamos la equivalencia de varas a metros, estableciendo el valor de una vara en 0.85 m. Así se tendrán que multiplicar 120 varas por 0.85 m, lo que da como resultado 102 m. Por lo tanto, el perímetro del terreno es de 102 m. Ahora, para saber cuántas tiras de madera debe comprar el señor Luna para cercar el terreno, es necesario dividir el perímetro (102 m) entre la longitud de cada tira (2.20 m), esto es, 102 ÷ 2.20 = 46.3. Para cercar el terreno son necesarias 46.3 tiras de madera. Como no se pueden comprar 46.3 tiras de madera, porque las tiras se venden completas, el señor Luna tendrá que comprar 47 tiras.

1. ¿Cuánto mide el perímetro del espejo? Dibuje el espejo; tome 1 cm por cada 20 cm del original. 2. ¿Cuál es la medida del contorno de la pintura y de la fotografía? Dibújelos también a la misma escala que utilizó para dibujar el espejo. 3. Como el perímetro es el mismo para todos los objetos, diga cuál es la forma que tiene el reloj. 4. Javier compró siete tiras de madera de 2.40 m para hacer los marcos. ¿Le sobró o le faltó material? 5. Cada tira de madera le costó a Javier $15.00. ¿Cuánto gastó?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 177

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

178

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

A la señora Gómez le encargaron colocar una tira bordada a diez manteles sobre su contorno. Los manteles tienen las siguientes medidas: tres de ellos miden 2.5 m por 1.5 m; cuatro más miden 1.20 m por 2.80 m, y los tres restantes miden 2 m por cada lado.

El señor Parra desea cercar un terreno de cuatro lados, cuya forma es irregular. Se sabe que las medidas de tres de los lados son: 66 m, 54 m y 48 m; mientras que el perímetro del terreno es de 198 m.

6. ¿Cuántos metros de tira bordada necesitará para cada mantel? 7. Si cada pieza de tira bordada mide 30 m, ¿cuántas piezas tendrá que comprar? Y, ¿cuántos metros le sobrarán? 8. Cada pieza de tira bordada le cuesta $90.00, ¿cuál será el costo total de la orilla para cada mantel? 9. ¿Cuál es el costo total de la orilla para los diez manteles?

10. Dé la suma de las medidas conocidas del terreno. 11. Calcule la medida del lado que se desconoce. 12. Construya la figura en su cuaderno, represente cada seis metros del terreno con un centímetro y diga el nombre de la figura. 13. Si el metro de alambrado cuesta $95.00, diga cuál será el costo del alambrado que se requiere para cercar el terreno.

Compare sus resultados con los de la clave y si cometió algún error, corríjalo.

Observe el programa de televisión, donde verá la manera de obtener el perímetro de una figura geométrica.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 178

16/11/11 13:30

Un cuadro a la medida ¿Recuerda los objetos a los que Javier les hizo un marco? Usted los dibujó en su cuaderno. Revíselos y diga cuál es, a simple vista, el más grande: ¿el espejo, la pintura o la fotografía? En esta sesión usted podrá comprobar si su respuesta fue la correcta. Lea atentamente el siguiente texto, en el que se explica cómo obtener el área por conteo.

Área por conteo

¿Sabe usted por qué las losetas y los azulejos son, generalmente, cuadrados?

RECUERDE El perímetro es la medida del contorno de una figura y se calcula sumando la longitud de los lados que la forman.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 179

Piense en un papalote hexagonal con lados iguales y en una hoja de cartulina. ¿Tienen la misma forma? No, en el caso del papalote se trata de un polígono regular de seis lados, y en el de la hoja de cartulina se trata de un rectángulo. Ahora bien, aunque no tengan la misma forma, ambos objetos pueden tener la misma cantidad de superficie, es decir, igual área. Entonces, al medir las superficies se está calculando el área. Pero, ¿cómo se mide una superficie? O, dicho de otra forma, ¿cómo se calcula el área? Analice el procedimiento que siguió Javier al elaborar unas mesas, y entenderá cómo medir el área de superficies planas. El señor Solís pidió a Javier que le construyera tres mesas con las medidas siguientes: la primera debía tener 90 cm de ancho por 1.50 m de largo; la segunda 40 cm de ancho por 60 cm de largo y la tercera 30 cm por cada lado. Además, las tres debían estar cubiertas con cerámicos de Talavera.

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

180

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 180

La forma en que lo ha realizado es calculando cuántas veces cabe cada mosaico en la superficie dada. En cada caso, el mosaico sirvió como unidad de medida, porque se calculó la medida de la superficie de cada mesa en cantidad de mosaicos que le cabían. ¿Podría usted explicar por qué la unidad elegida fue un cuadrado? Observe qué sucedería si se eligiera, por ejemplo, un círculo como unidad de medida.

30 cm

30 cm

10 cm

10 cm 10 cm

Unidad de medida

30 cm

30 cm

Debido a la condición antes mencionada, el señor Solís preguntó a Javier cuántos mosaicos de Talavera necesitaría comprar para las tres mesas, si cada mosaico mide 10 x 10 cm. Usted, ¿cómo calcularía lo que el señor Solís necesita saber? Haga lo mismo que hizo Javier. Corte un cuadrado de papel, cartoncillo o cartulina que mida 10 cm de cada lado; éste representará al mosaico de Talavera. Enseguida, también en cartulina, trace la figura representativa de la mesa más pequeña, es decir, la que mide 30 cm de cada lado. Ahora, coloque el cuadrado pequeño sobre el cuadrado grande y diga cuántas veces cabe el primero en el segundo. ¡Muy bien! Cabe 9 veces. A continuación, haga la misma actividad con los dibujos de las dos mesas restantes. En el dibujo, represente con 1 cm cada 10 cm de las dimensiones reales de las mesas; de igual forma haga el dibujo del mosaico de Talavera. ¿Cuántos mosaicos se necesitan para cada una de las dos mesas restantes? ¡Correcto! Para la mesa más grande se necesitan 135 mosaicos, y para la mediana se necesitan 24 mosaicos. Ahora obtenga el total de mosaicos que empleará Javier para las tres mesas. Al calcular el número de mosaicos de Talavera que se necesitan para cada mesa, usted ha realizado la medición de la superficie o cálculo del área de cada una.

16/11/11 13:30

Sesión 42 • Un cuadro a la medida

181 ¿Se dio cuenta que con el círculo existen regiones internas que quedan sin cubrir? ¿Sucedió lo mismo con el mosaico que hizo usted en papel? ¡Por supuesto que no! Con el cuadrado sí es posible cubrir totalmente una superficie. Es por ello que generalmente las losetas tienen forma cuadrada. El área se mide en unidades cuadradas (u2), y según sea el tamaño de la superficie a medir, será el tamaño de la unidad empleada. Así es como surgen las unidades de área, como

el centímetro cuadrado (cm2); éste es un cuadrado que mide un centímetro por lado. También está el metro cuadrado (m2), el cual se representa por un cuadrado que mide un metro por lado. Igualmente está el kilómetro cuadrado (km2), representado por un cuadrado cuyos lados miden un kilómetro cada uno, etcétera. Tomando en cuenta esta información, ¿podría usted decir cuántos metros cuadrados del mosaico de Talavera tendrá que comprar el señor Solís?

LAS HOJAS DE MADERA Y SU ÁREA Javier no se da abasto con el trabajo de la carpintería. Ahora le pidieron unos asientos de forma cuadrada, cuya medida sea de 25 cm por lado y que servirán para los bancos de un jardín de niños. 1. Si le encargaron 125 bases, ¿cuántas hojas de madera de 2.40 m por 1.20 m deberá utilizar? Si lo considera necesario, haga un dibujo que represente los objetos anteriores. 2. Recorte un centímetro cuadrado (1 cm2) para medir la base de cada banco y diga cuál es su área. 3. ¿Cuánto mide la superficie de cada hoja de madera? Tome como unidad de medida un cuadrado de un decímetro por lado, es decir, un decímetro cuadrado (1 dm2). 4. ¿Cuántas bases para banco obtuvo de cada hoja de madera?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 181

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

182

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Laura tiene la tarea de acomodar escritorios y archiveros en cada uno de los cubículos para maestros, de tal forma que se aproveche de la mejor manera el espacio. Como Laura no cuenta en ese momento con una cinta métrica o con un flexómetro (cinta métrica metálica que se guarda enrollada), decide contar el número de losetas del piso que ocupan dichos muebles, y obtuvo los siguientes datos: Los escritorios ocupan nueve cuadrados de largo por cuatro cuadrados de ancho, y los archiveros ocupan tres cuadrados por lado.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 7. Diga, aproximadamente, cuántas unidades cuadradas mide cada una de las siguientes figuras:

a)

b)

c)

d)

5. Si la superficie de cada cubículo es de diez losetas cuadradas de frente por ocho losetas cuadradas de fondo, ¿de qué forma podrá colocar cada mueble para aprovechar mejor el espacio? 6. ¿Cabrán dos escritorios en cada cubículo? ¿Por qué? Recuerde que, además de los muebles, debe caber por lo menos una persona y su silla.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 182

e)

Revise sus resultados y compárelos con los de la clave, corrija en caso de ser necesario.

Para que tenga una idea más clara sobre este tema, vea el programa de televisión.

16/11/11 13:30

Con ayuda de todos En la carpintería y en otros oficios más, se realizan cálculos numéricos que implican el uso de números decimales. En esta sesión resolverá problemas con números decimales.

¿Sabe cuáles son las medidas estándar de las hojas de madera?

RECUERDE

o (%) t n ie c r o p o t n a t l e r Para calcula especto r n o c d a id t n a c a n u a que represent lo siguiente: de otra, se realiza dera de 4 m2 sólo Ejemplo: de u2na ma ué tanto por ciento se usaron 3m . ¿Q izó? partes de la madera se utilmina la razón 43 todo r e t e Primero. Se d la división za li a e r e S . o d n u g e S 3 ÷ 4 = 0.75 o por 100 d a lt u s e r l e a c li ip lt u m Tercero. Se 0.75 x 100 = 75%só Entonces sólo se u 75% de la madera. SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 183

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea el siguiente texto y conteste en su cuaderno lo que a continuación se pide: A Javier le han encargado que compre unas hojas de madera, para hacer con ellas unas alacenas de cocina. Cada hoja de madera mide 2.44 m de largo, 1.20 m de ancho y las hay de diferente grosor: , , y 1 pulgada. Para hacer una alacena se necesitan las siguientes tablas, con su medida correspondiente: •2  tablas de pulg de grosor, de 0.40 m de largo x 0.25 m de ancho, cada tabla. • 3 tablas de pulg, 0.90 m de largo x 0.25 m de ancho. • 1 tabla de pulg, 0.90 m de largo x 0.40 m de ancho. • 2 tablas de pulg, 0.45 m de largo x 0.40 m de ancho.

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

184

1. Determine el área de cada una de las tablas. Para calcular el área de una superficie rectangular, se multiplica la medida de la base (largo) por la medida de su altura (ancho). Por ejemplo: la tabla de de pulgada tiene 0.90 m de largo por 0.40 m de ancho, por lo que el área es igual a 0.90 m x 0.40 m = 0.36 m2. Note que las unidades del área dependen de las unidades de longitud que se estén manejando.

6. ¿Cuál es el área de la madera sobrante? ¿Alcanzará para otra alacena?

2. Compare las áreas obtenidas y ordénelas en forma creciente.

10. Trace en su cuaderno las dimensiones de la hoja de madera de pulgada de espesor (2.44 m x 1.20 m). Después, dentro de este dibujo, trace cada una de las tablas que se requieren para la alacena (excepto la tabla de de grueso), para poder visualizar la manera de acomodar las tablas para su corte y aprovechar al máximo la hoja de madera. Considere que para trazar su dibujo puede representar cada metro con 10 cm.

3. Sume el área de todas las tablas de pulgada que se van a utilizar para la alacena. 4. Determine el área de cada hoja de madera. 5. Compare el área de la hoja de madera (cuyas medidas son 2.44 m de largo y 1.20 m de ancho) con el área de todas las tablas que obtuvo en el punto 3. ¿Qué área es mayor?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 184

7. ¿Qué tanto por ciento sobró de la hoja de madera? 8. ¿Cuál es el tanto por ciento de la madera que se va a utilizar? 9. ¿Qué tanto por ciento de madera de sobra? y, ¿qué tanto por ciento se utiliza?

11. Si el grosor de la tabla de pulgada equivale a 12.7 mm, ¿a cuántos milímetros equivalen y 1 pulgada?

,

16/11/11 13:30

Sesión 43 • Con ayuda de todos

185

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Lea el problema que se plantea a continuación y luego resuelva en su cuaderno lo que se pide: Alfonso es herrero y necesita comprar el siguiente material para un trabajo: • 2 tiras de solera ángulo de de pulgada • 1 tira de tubular cuadrado de 1 pulgada • 2 tiras de solera cuadrada de pulgada • 3 tiras de tubular circular de 1 pulgadas • 5 kilos de alambrón Cada tira mide seis metros de longitud.

12. El peso de todo el material es de 82.20 kg. ¿Cuál será el peso del tubular circular, si el peso de la solera ángulo fue de 22.7 kg, el de solera cuadrada 9.6 kg y el de tubular cuadrado 8.3 kg? 13. No siempre todas las tiras de fierro del mismo tipo y medida pesan lo mismo. ¿Cuál será el peso de cada una de las dos tiras de solera cuadrada, si el peso de una tira corresponde al 55% del peso de las dos? 14. Determine el costo de los tubulares y de las soleras. Tome en cuenta que el precio por kilogramo de solera es de $4.50, y $4.70 el del tubular. 15. Si el costo de todo el material es de $364.63, ¿cuál es el costo del alambrón? 16. ¿Cuál es el precio por kilogramo de alambrón? 17. Si una libra de peso equivale a 0.45 kg, o bien 1 kg equivale a 2.22 libras, determine el peso de todos los materiales en libras. Redondee dichas cantidades.

Compare sus respuestas con las de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 185

16/11/11 13:30

Encuentre la regla Los elementos de una sucesión de números o de figuras pueden variar de acuerdo con una regla. En esta sesión identificará y aplicará la regla de una sucesión para encontrar elementos desconocidos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 186

4

34.5 cm

5

36 cm

30 cm

33 cm

30 cm

3

30 cm

2

30 cm

30 cm

6 7

39 cm

30 cm

En un cubo, el largo, el ancho y la altura tienen la misma medida.

Ahora Javier va a construir una escalera de ocho peldaños, con una separación de 30 cm entre cada uno de los peldaños, como se muestra en la siguiente figura:

1

8

40.5 cm

30 cm

RECUERDE

Búsqueda de regularidades y patrones

40 cm

¿Alguna vez ha seguido usted alguna regla para determinar un precio, una longitud o algún valor?

30 cm 20 cm

Lea el siguiente texto y realice las actividades que se piden:

16/11/11 13:30

Sesión 44 • Encuentre la regla

187

De la escalera mostrada, Javier desconoce las medidas de los peldaños dos y seis. ¿Cómo obtendrá estas medidas? ¿Conoce usted alguna forma para obtenerlas? Una de las formas para conocer estas dos medidas es la siguiente: Podemos ordenar de menor a mayor los números que representan las longitudes de los peldaños, y dejar un espacio para las longitudes desconocidas; esto es: 30, ____ 33, 34.5, 36, ____ , 39, 40.5 Ahora, calcule la diferencia que existe entre los elementos tercero y cuarto, cuarto y quinto, y séptimo y octavo. ¿Es la misma en los tres casos? ¡Claro! Porque 34.5 – 33 = 1.5, 36 – 34.5 = 1.5 y 40.5 – 39 = 1.5. Esto quiere decir que las longitudes de los peldaños siguen una regla o patrón de comportamiento; esto es, que guardan la misma relación, y para obtener el siguiente término se debe sumar 1.5 al anterior. Entonces, ¿qué número debe ir en el segundo lugar? ¡Por supuesto! Es 31.5, porque 30 + 1.5 = 31.5. De esta misma forma, el número que va en el sexto lugar es 37.5. Por lo tanto, las longitudes de los peldaños dos y seis son 31.5 cm y 37.5 cm, respectivamente. Una sucesión de números no necesariamente tiene que ser ascendente (de menor a mayor) como la anterior. Puede ser descendente (de mayor a menor) y la relación de los términos o elementos sucesivos puede estar determinada por diferentes operaciones.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 187

En la siguiente serie de figuras puede observarse que, a partir de un punto (primer término), se forman cuadrados cada vez mayores en una unidad, tanto en la base como en la altura.

Cuando se requiere completar o continuar una sucesión es necesario, en primer lugar, identificar la regla o patrón de comportamiento; esto se logra comparando los términos sucesivos conocidos. Posteriormente, se aplica la misma regla a partir de un término conocido para obtener los desconocidos. Por ejemplo, al completar la sucesión 1, 3, 9, ____ , 81,____ , primero se comparan 1 y 3, luego 3 y 9. Se aprecia que la sucesión es ascendente y que el segundo término es el triple del primero. x3 1,

x3 3,

9,

Por lo tanto, el cuarto y el sexto términos se obtienen multiplicando por tres el 9 y el 81, respectivamente. Esto es: 1,

3,

9,

27, x3

81,

243, x3

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

188

LA REGLA EN LAS CAJAS Javier es un maestro en el arte de fabricar muebles. El día de ayer un cliente le encargó construir cierto número de cajas de madera en forma de cubos, pero unicamente le dió las dimensiones de cuatro; 20 cm, 24 cm, 28 cm y 40 cm por arista. Si la caja más chica debe medir 20 cm por arista y la más grande 40 cm y además la medida de la arista de cada caja aumenta siempre la misma cantidad que la anterior más pequeña ¿cuántas cajas debe hacer en total? ¿cuál es la medida de la arista de la cuarta caja, contando a partir de la más pequeña? Javier determina que el costo de la caja más chica es de $50.00 y por cada 4 cm que aumenta la arista la caja aumenta su precio $4.00, ¿cuál será el costo de la tercera caja? ¿cuál será el costo de la caja más grande? ¿cuánto deba cobrar Javier por todas las cajas?

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Realice lo que se pide a continuación: 1. Encuentre los números faltantes en la siguiente sucesión. 3, 6, ___, 24, 48, ___, 192 En su cuaderno, explique la regla de la sucesión anterior. 2. Dibuje las figuras faltantes en la siguiente sucesión.

,

,

,

,

,

,

Escriba en su cuaderno cómo fue que obtuvo las figuras faltantes.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 188

16/11/11 13:30

Sesión 44 • Encuentre la regla

189

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Identifique y aplique la regla para encontrar los elementos faltantes en las siguientes sucesiones. 3. 29, ___, 21, 17, ___, 9 4. 1, ___, 9, 16, ___, ___, 49, 64 5.

,

,

,

,____, ____, ____

6.

,

,

,

,

Compare sus resultados con los de la clave y corrija aquellos que estén equivocados.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 189

16/11/11 13:30

Lenguaje universal En esta sesión se pretende que usted sea capaz de comprender expresiones escritas con números y letras, así como escribir en forma simbólica enunciados de uso común. ¡Bienvenido al lenguaje universal: el lenguaje algebraico!

¿Qué sabe usted de los símbolos de seguridad que hay en un taller de carpintería?

RECUERDE

Lea el siguiente texto. Posteriormente resuelva las actividades que se le proponen.

Lenguaje algebraico En el taller de carpintería donde trabaja Javier existen símbolos o figuras que le dan cierta información. Por ejemplo, hay una lámina que indica que no se puede fumar. Hay otra que indica que para usar la sierra eléctrica deben utilizarse guantes y gogles de protección.

El cuádruple de un número es cuatro veces ese número, es decir, es el resultado de multiplicar por cuatro un número.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 190

16/11/11 13:30

Sesión 45 • Lenguaje universal

191 ¿Qué pasaría si esta información se pusiera por escrito en lugar de utilizar símbolos? En este caso Javier, o cualquier persona que estuviera en el taller, tendría primero que saber leer, y después sería necesario ocupar tiempo en la lectura de las instrucciones de seguridad. Debido a estos inconvenientes, se crearon símbolos. Los símbolos expresan alguna información cuyo significado puede ser entendido por todas las personas. En las matemáticas, es común el empleo de símbolos. Por ejemplo, la expresión = 4 x representa el perímetro ( ) del cuadrado, cuyo lado mide . La letra representa un número, pero no un número particular, sino un número cualquiera. Si el lado del cuadrado midiera 10 cm, entonces el valor de sería 10 y el perímetro sería: = 4 x 10 cm = 40 cm. Pero si el lado mide 40 cm, entonces el valor de es 40 y el perímetro sería:

l

P P

l

P

l

l

l

ll ll P

l

l

l

P

l

En general, se le llama coeficiente de la variable al número por el cual está multiplicada la variable.

a aa y y x xxy

Por ejemplo, en 5 x o, como se suele escribir 5 , el 5 es coeficiente y la letra es la variable; en 3 x , o 3 , el 3 es coeficiente y la letra es la variable; en 2 x o 2 , 2 es el coeficiente y la letra es la variable. Nótese que el uso del signo x para indicar la multiplicación puede originar confusión, dado que se puede creer que se trata de la letra . Es por ello que en lugar de escribir 5 x , 3 x o 2 x , se escribe 5 , 3 , 2 .

aa y yx x

l

x

¿Ha escuchado usted expresiones como “el doble de un número”, “la mitad de un número”, etcétera? Analicemos la primera expresión: “el doble de un número”. Al decir “doble” estamos señalando que ese número está multiplicado por 2, de modo que se puede representar como: 2 , donde representa cualquier número. En el lenguaje simbólico de las matemáticas, para representar un número cualquiera se emplean letras. Las más usuales son: , , , , , , , , pero se puede usar cualquier letra para representar una variable.

x

ll

= 4 x 40 cm = 160 cm. Observe que la letra se utiliza aquí para representar un valor numérico y se le llama variable, porque puede tomar cualquier valor numérico.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 191

P

La letra , que representa el perímetro, también es una variable, pero su valor depende del valor que tome . Es decir, si el lado del cuadrado mide 20 cm, entonces el perímetro ( ) valdrá 80 cm. Al número 4 que multiplica a se le conoce como coeficiente.

x

bcmnxyz

a

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

192 Las expresiones algebraicas (aquellas que contienen una combinación de letras y números) más comunes para este curso son las siguientes:

xay x x y ma bncaxbyxzy xa zb xx yy mc bn axb axy xy x y

Un número cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; ; o cualquier letra El doble, triple, etcétera, de un número. . . . . . . 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; etcétera Dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ; , ; , Tres números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , ; , , Un número cualquiera más tres unidades. . . . . . + 3; + 3 Un número cualquiera menos dos unidades . . . – 2; – 2 La suma de dos números cualesquiera . . . . . . . . + ; + La diferencia de dos números cualesquiera. . . . – ; – El producto de dos números cualesquiera. . . . . ; El cuadrado de un número cualquiera. . . . . . . . . 2; 2 El cociente de dos números cualesquiera. . . . . . / o ÷

UNA FORMA DE EXPRESIÓN El detalle marca la diferencia. Por ello Javier arma sus muebles utilizando materiales de primera calidad. Javier requiere de momento 16 bisagras de perno latonadas, 8 chapas tipo bancarias, 37 tornillos cabeza de coche cromados y 4 vidrios de 52 cm x 60 cm x 0.5 cm tipo filtrasol. Si el precio de cada bisagra se representa con la letra , el de cada chapa con letra , el de cada tornillo con la letra y el de cada vidrio con la letra .

y

w

xz

1. Escriba en forma simbólica las expresiones que representan el costo de los materiales: a) bisagras: _________,

b) chapas: ________,

c) tornillos:_________ ,

d) vidrios: _________.

2. De acuerdo con la simbología anterior: a) R  epresente la suma del costo total de bisagras, vidrios y tornillos. b) R  epresente la diferencia del costo total de las chapas menos 10 unidades.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 192

16/11/11 13:30

Sesión 45 • Lenguaje universal

193 APLIQUEMOS LO APRENDIDO Encuentre los números faltantes de las siguientes sucesiones de números.

x

Considere que es cualquier elemento de las sucesciones y escriba, utilizando símbolos, las reglas que permiten obtener el elemento que le sigue. Observe el ejemplo: Aplique la regla para obtener los dos números que siguen en la serie. –3

3. a)

–3

–3

–3

–3

26 , 23 , 20 , 17 , 14 , 11

–3

x-3

, 8

______, _______ Regla: ________ b) 0.4, 1.2, 2, 2.8, 3.6, 4.4, ______, _______ Regla: ________ c) 18, 15.7, 13.4, 11.1, 8.8, ______, _______

Regla: ________

Verifique sus resultados y, si tuvo alguna duda, lea nuevamente el problema con detenimiento.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Escriba en los paréntesis las letras que correspondan. Se trata de que usted relacione la columna de expresiones algebraicas, que aparece a la izquierda, con la de las traducciones en lenguaje común de la derecha.

x ab y mn z xy c p q a

4. 4 . ........... ( )

a. La suma de dos números.

5.

b. Un número aumentado en cuatro unidades.

6. 7.

–

. ...... ( )

+ 4........ ( )

c. El cociente de dos números.

. ........ ( )

d. El cuádruple de un número.

8. 4 2 + 4..... ( )

e. El producto de dos números.

9.

/ ......... ( )

f. El cuádruple de un número disminuido en cuatro unidades.

– 4......... ( )

g. La diferencia de dos números.

+

h. Un número disminuido en cuatro unidades.

10. 11.

12. 4

. ..... ( )

– 4...... ( ) i. El cuádruple del cuadrado de un número aumentado en cuatro unidades.

Compare sus respuestas con las de la clave. Si tuvo algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 193

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

16/11/11 13:30

Juegos y pasatiempos En esta sesión se pretende que usted ejercite su capacidad de analizar y comprender situaciones confusas mediante el manejo de figuras.

Resuelva los ejercicios que a continuación se piden:

1. Las siguientes sucesiones de cuatro dibujos conservan una secuencia lógica. En el último cuadro aparece un signo de interrogación. La respuesta correcta la encontrará en uno de los cinco cuadros (a, b, c, d, o e) que están abajo de cada secuencia. Seleccione el cuadro que completa la secuencia, y subraye la letra que le corresponda.

A

B

C

D

E A

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 194

B

C

D

E

16/11/11 13:30

Sesión 46 • Juegos y pasatiempos

195

2. ¿Cuáles de los siguientes modelos pueden plegarse de manera que formen un cubo al doblar y pegar los bordes?

A

B

C

D

E

3. Considerando la trayectoria más corta, ¿hacia dónde gira la polea? ¿De A hacia B o de B hacia A?

A

B

4. Si las chispas saltan según lo indica el dibujo, ¿en qué dirección gira el esmeril? ¿En la dirección A o en la B?

A

D

B

DE = DC

E

5. Suponga que usted tiene una tabla de madera con la misma forma que se muestra en la figura. Se desea cortarla en tres partes de tal forma que ya cortadas puedan colocarse para formar un cuadrado. ¿Cómo puede hacerse esto con dos cortes? Sugerencia: parta del punto M que es el punto medio de BC.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 195

C

M

A

B AB = BC = AE

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

196

6. Descifre el siguiente mensaje:

ejasnem etse euq ed asuac aL es euq se oñartxe nat aczerap .ojepse nu ed aduya noc óibircse

7. Las áridas tierras de un jefe árabe, pero con cuatro oasis (y mucho petróleo por debajo), fueron divididas entre sus cuatro hijos. Cada uno recibió la misma área y un oasis. ¿Cómo realizó tal hazaña ese viejo patriarca?

8. Existe la opinión de que una mesa de tres patas se balancea, incluso aunque las patas sean de la misma longitud. ¿Es verdad esto? 9. a) P  iense y divida la figura en cuatro secciones iguales. Existen por lo menos dos formas distintas de hacerlo.

b) T  res cuadrados componen esta figura. La idea es que usted la divida en cuatro figuras iguales. ¡Manos a la obra! c) E  sta T usó cinco cuadrados iguales para llegar a su forma. Divídala en cuatro secciones iguales. d) T  res triángulos forman este trapecio. Divídalo en cuatro partes iguales.

Compare sus respuestas con las de la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 196

06/12/11 11:32

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • Ejes de simetría. • Trazo de figuras de cuatro lados a partir de sus diagonales. • Trazo de círculo y polígonos de más de cuatro lados. • Cálculo de perímetros. • Área por conteo. • Búsqueda de regularidades y patrones. • Lenguaje algebraico.

Aprendió después a: — Trazar figuras a partir de un eje de simetría. — Construir figuras a partir de una diagonal dada. — Trazar un círculo y, a partir de éste, trazar un polígono regular. — Calcular perímetros. — Determinar áreas por conteo. — Establecer una regla de comportamiento de una secuencia de números. — Emplear el lenguaje algebraico como simbología.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 197

16/11/11 13:30

Unidad 4 • Aprendiz de carpintero

198

—A  hora que ha recordado el contenido de todos los temas, ¿en cuál de ellos tuvo mayor problema? —R  ealice, en su cuaderno, una síntesis del contenido principal de cada uno de los temas. — Imagine que usted es el maestro: diseñe un examen que permita evaluar los conocimientos mencionados. Para ello, escriba algunos problemas donde haya necesidad de trazar y calcular perímetros y áreas.

4"

12"

1"

3"

Parte de arriba

PATA

PATA

Lea detenidamente la siguiente información:

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 198

3/4"

PARTE SUPERIOR

12"

Muchas veces es más barato construir uno mismo los muebles sencillos que se necesitan para el hogar que comprarlos o mandarlos hacer. Generalmente, para hacer un mueble sencillo sólo se necesitan unas cuantas herramientas manuales y el deseo de probar habilidades. En esta sesión, a partir del molde de un mueble sencillo usted aplicará los conocimientos adquiridos con anterioridad. La siguiente figura muestra un molde para hacer un banco sencillo y económico. Sólo las áreas oscuras son desperdicio y las partes del banco se ensamblan con pegamento y clavos. Son ideales para niños; son ligeros y fáciles de hacer. Las piezas se pueden trazar y cortar en una hoja de triplay 3 de — de pulgada de 2 por 4 2 pies.

Parte de abajo

PATA

PATA

Una vez terminado, queda como se muestra a continuación:

06/12/11 11:32

Sesión 47 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

199

1. Observe que, en la información anterior, las unidades de medida están expresadas en pulgadas (’’) y en pies. Si una pulgada es equivalente a 2.54 cm y un pie a 12 pulgadas (’’), complete la siguiente tabla. PERÍMETRO DE LA HOJA DEL MOLDE

pulgadas

pies

ÁREA DE LA HOJA DEL MOLDE

centímetros pulgadas 2

(")

GROSOR DEL TRIPLAY

pies 2 centímetros 2 pulgadas

(")

pies

centímetros

(")

2. Trace en su cuaderno la figura que representa el molde del banco; considere que 4 pulgadas de la figura equivaldrán a 1 pulgada de su dibujo. 3. De la figura del molde diga cuál es el valor de

x

.

4. En la figura que hizo en su cuaderno cuadricule una de las patas y la parte superior del banco, y diga cuántas unidades cuadradas mide cada una de ellas. Use la medida que más le convenga, de preferencia que sea en pulgadas. 5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura? 6. Para armar un banco necesita 12 clavos y 50 ml de pegamento blanco, aproximadamente. Si el precio de media docena de clavos se representa con letra y el de los 50 ml de pegamento con la letra , escriba en forma simbólica las expresiones que representan el costo de los materiales para armar:

k



a) un banco



b) 5 bancos



c) 8 bancos

p

7. Suponga que usted quiere hacer este banco. Investigue en una maderería cuánto le cuesta una hoja de triplay del tamaño y grosor que se necesita. Si cuenta con los recursos para hacer este mueble, compre el triplay y haga sus trazos, luego llévelo a la maderería para que le hagan los cortes. Finalmente, ensámblelo y aplique barniz o pintura para acabado. 8. De acuerdo con lo anterior, realice un presupuesto del costo de la construcción del banco, tomando en cuenta todos los gastos.

Compare sus respuestas con las que se encuentran en la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 199

16/11/11 13:30

Lo que hemos aprendido Muchas veces, para realizar algún trabajo, se requiere de ciertos conocimientos geométricos. El objetivo de esta sesión es que, a partir de una situación de diseño, usted se percate de cuáles son los temas que aún le causan dificultades y busque la forma de superarlas.

Las indicaciones siguientes son para el diseño de una mesa de centro. Realice todos los pasos para que obtenga la forma de la mesa.

1. Trace un círculo de 2.5 cm de radio. 2. Trace un diámetro del círculo. 3. Con la misma abertura del compás de 2.5 cm, apoye éste en uno de los extremos del diámetro y trace un arco que corte en un punto la circunferencia. 4. Nuevamente, con la misma abertura del compás, apoye la punta en el punto donde intersecó el arco con la circunferencia y trace otro arco como el anterior. 5. Repita cuatro veces más el paso anterior. 6. Con una regla, una las intersecciones que se formaron en la circunferencia, de manera que resulte un polígono regular. 7. Trace todas las diagonales del polígono regular que además sean ejes de simetría. 8. Trace un círculo de del círculo anterior.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 200

cm de radio, apoyando el compás en el centro

16/11/11 13:30

Núcleo 4 • Aprendiz de carpintero

Sesión 48 • Lo que hemos aprendido

201

De acuerdo con el diseño que le resultó, conteste las siguientes preguntas: 9. ¿Cuál es el nombre del polígono regular que trazó inicialmente? 10. ¿Cuántas diagonales que también son ejes de simetría tiene el hexágono regular? 11. ¿Cuántos triángulos se forman con las intersecciones de las diagonales? 12. Si para calcular el perímetro del hexágono se emplea la fórmula con respecto al diseño:

P = 6l , entonces,

l



a) ¿Cuál es el valor de ?



c) En la fórmula, ¿cuál es la constante?



d) ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

b) En la fórmula, ¿cuáles son las variables?

13. Si el área de cada uno de los triángulos es de aproximadamente 2.7 cm2, entonces, ¿cuál es el área total del polígono regular?

Compare sus respuestas con las de la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 201

16/11/11 13:30

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 202

16/11/11 13:30

UNIDAD

LOS DEPORTES

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 203

16/11/11 13:30

¿A

notó todas sus dudas? ¿Vio los programas de televisión de asesoría semanal? ¿Le gustaría realizar alguna pregunta, tanto en relación con las actividades de la guía, como de los programas de televisión? Si es así, plantéele a su asesor sus inquietudes, él sabrá orientarlo para encauzarlas. Material para esta unidad: cuaderno de trabajo y calculadora de bolsillo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-163-204.indd 204

06/12/11 11:33

¡Véale la cara! ¿Considera usted al ajedrez como un deporte? Bueno, pues en nuestro país la Federación Mexicana de Ajedrez y la Confederación Olímpica Mexicana han apoyado su práctica competitiva de alto nivel. En esta sesión se estudiarán las características de algunos cuerpos geométricos, y para ello tomaremos como ejemplo la caja del tablero de ajedrez. ¿Qué sabe usted acerca de los movimientos de cada una de las piezas de ajedrez?

RECUERDE

Lea con atención el siguiente texto y conocerá las características de algunos cuerpos.

Características de los poliedros ¿Alguna vez ha jugado ajedrez o, cuando menos, lo ha visto? A continuación se presenta la caja del ajedrez, que sirve también como tablero.

El perímetro a de cualquier figuro se calcula sumand la medida de todos sus lados. Acerque usted una caja cualquiera que tenga a la mano (cajetilla de cigarros, cerillos, etcétera). Compárela con la caja de ajedrez que aparece en la figura anterior. ¿Les encuentra alguna semejanza?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 205

24/11/11 12:24

Unidad 5 • Los deportes

206

Cuando un poliedro tiene todas Observe la forma que tiene cualquiera sus caras iguales, esto es, que son de los lados (caras) de su caja, polígonos regulares iguales, se dice ¿reconoce esa figura? En efecto, que el poliedro es regular. se trata de rectángulos. Pero no siempre los lados de una caja son En el siguiente cuadro se presentan rectángulos; existen cajas cuyas caras las características principales son cuadradas. de los poliedros regulares. Ahora, observe las líneas que señalan la unión de dos POLIEDROS REGULARES caras y pase usted el dedo por los bordes donde se POLIEDRO CARACTERÍSTICAS No. DE No. DE No. DE unen las caras de la caja que CARAS ARISTAS VÉRTICES tiene a la mano. Cuéntelas. Sus caras son En matemáticas, estas TETRAEDRO triángulos 4 6 4 equiláteros uniones se conocen con el nombre de aristas. Sus caras son HEXAEDRO 12 8 6 cuadrados O CUBO Enseguida, coloque su Sus caras son dedo en las esquinas donde OCTAEDRO 12 6 triángulos 8 se juntan dichos bordes equiláteros o aristas y cuéntelos. Sus caras son DODECAEDRO 12 30 20 Las aristas se unen pentágonos regulares en un punto llamado Sus caras son ICOSAEDRO vértice. Observe el dibujo. triángulos 12 30 20 equiláteros La forma que tiene la caja del ajedrez que aparece en la figura anterior se conoce con el nombre de poliedro. Los poliedros son cuerpos limitados por caras planas en forma de polígonos. Llamamos cara a cada una de las superficies que limitan a un poliedro, y se distinguen las bases (B) y las caras laterales (C).

Tetraedro

vértice Dodecaedro

Octaedro

Icosaedro

Car

a

B as as e e

Cara

B

Car

Cubo o hexaedro

a

Cara aristas

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 206

16/11/11 14:38

Sesión 49 • ¡Véale la cara!

207

Existen cuerpos geométricos o poliedros cuyas caras no son todas iguales; por lo tanto, se les da el nombre de poliedros irregulares. Entre ellos se encuentran los prismas y las pirámides. Prisma es un poliedro que tiene dos bases de la misma forma, y sus caras laterales son rectángulos. Además, los prismas reciben su nombre de acuerdo con la forma de sus bases. Esto quiere decir que si las bases son triángulos, el poliedro es un prisma triangular; si sus bases son hexágonos, el poliedro es un prisma hexagonal, etcétera. PRISMAS NO. DE CARAS

NO. DE ARISTAS

NO. DE VÉRTICES

Sus bases son rectángulos, pero no tienen la mismas dimensiones que sus caras laterales

6

12

8

TRIANGULAR

Sus bases son triángulos

5

9

6

CUADRANGULAR

Sus bases son cuadrados

6

12

8

PENTAGONAL

Sus bases son pentágonos regulares

7

15

10

HEXAGONAL

Sus bases son hexágonos regulares

8

18

12

PRISMA

CARACTERÍSTICAS

RECTANGULAR

Prisma rectangular

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Pirámide es el poliedro que sólo tiene una base y sus caras laterales son triángulos. Al igual que los prismas, las pirámides reciben su nombre de acuerdo con la forma de su base. De esta forma existen pirámides pentagonales, cuadrangulares, etcétera.

Pirámide triangular

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 207

Pirámide cuadrangular

Pirámide hexagonal

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

208

CANCHA DE SQUASH Resuelva en su cuaderno lo que se pide a continuación. Enseguida se muestra el dibujo de una cancha de squash:

1. ¿Qué forma tiene el piso de la cancha? 2. ¿Cuántas paredes de la misma forma tiene la cancha? 3. ¿Qué forma tienen las paredes? 4. Calque la figura y coloree las líneas que representan la unión de las paredes entre sí, y su unión con el piso y con el techo. 5. Diga el nombre que reciben las líneas que acaba de colorear. 6. ¿Cuántos vértices tiene la cancha de squash? 7. De acuerdo con su forma, ¿a qué grupo de poliedros pertenece? 8. Si la renta de una cancha de squash es de $48.00 la hora y usted va a jugar con otras dos personas durante dos horas, y además todos cooperan con la misma cantidad para pagar la cancha, ¿cuánto aporta cada persona?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 208

24/11/11 12:25

Sesión 49 • ¡Véale la cara!

209

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

APLIQUEMOS LO APRENDIDO El siguiente dibujo representa el envase de una bebida refrescante.

16. Anote debajo de cada dibujo el nombre del poliedro que representa, la forma que tienen sus caras y su base. Asígnele una letra a cada vértice y remarque las aristas.

FIGURAS

NOMBRE DEL POLIEDRO

9. ¿A qué tipo de poliedro pertenece?

FORMA DE SUS CARAS

10. ¿Cuántas caras tiene? 11. ¿Qué forma tienen sus caras?

FORMA DE SU BASE

12. ¿Cuántas aristas tiene? Márquelas con rojo. 13. ¿Cuántas caras se unen en cada arista? 14. ¿Cuántos vértices tiene? Márquelos con azul.

Compare sus respuestas con las de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

15. ¿Cuántas aristas concurren en un mismo vértice?

Para conocer más acerca de los poliedros, observe el programa de televisión.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 209

16/11/11 14:38

Por toda el área de juego Usted ya trabajó con la idea de superficie y área. En esta sesión aprenderemos a usar unidades para medir superficies, y conoceremos una forma más rápida de calcular el área del rectángulo y del cuadrado. Lea con detenimiento el texto que aparece a continuación.

Área del cuadrado y del rectángulo

¿Sabía usted que una cancha de basquetbol debe tener una superficie dura, rectangular y libre de obstáculos, y que sus dimensiones deben ser de 28 metros de largo por 15 metros de ancho?

RECUERDE La medición de superficies se hace con unidades cuadradas.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 210

Carolina trabaja en una constructora y tiene que hacer un presupuesto para poner duela al piso de un gimnasio. Como la duela la venden por metro cuadrado, necesita calcular el total de metros cuadrados que tiene todo el piso del gimnasio. ¿Sabe usted qué significa metro cuadrado? ¿Podría usted mencionar algunas cosas que se venden por metro cuadrado? ¿En qué trabajos se hacen los cobros por metro cuadrado? ¿Alguna vez ha tenido la necesidad de comprar algo por metro cuadrado o, ha empleado la expresión “metro cuadrado”? Por ejemplo, ésta se usa con frecuencia cuando se desea comprar la loseta y el precio está dado por metro cuadrado. Además, si usted le pregunta al trabajador que va a colocar la loseta, cuánto material necesitará, él le dará la cantidad también en metros cuadrados; inclusive le cobrará el trabajo por cada metro cuadrado de superficie que tenga que cubrir. En otras ocasiones usted habrá escuchado que sobre un terreno hay un número determinado de metros cuadrados construidos, y que otra cantidad de ellos está destinada para áreas verdes.

16/11/11 14:38

Sesión 50 • Por toda el área de juego

211 Por ejemplo, se desea obtener el área de la siguiente figura:

3 cm

Lo anterior muestra que cuando se desee medir superficies (terrenos, paredes, pisos, etcétera) se usará el metro cuadrado (m2). Pero, ¿qué sucede si la superficie es demasiado grande o demasiado pequeña y, por lo tanto, el metro cuadrado resulta poco práctico para hacer la medición? ¡Así es! También el metro cuadrado tiene múltiplos y submúltiplos. Los múltiplos del metro cuadrado son unidades de mayor tamaño que éste, y son el decámetro cuadrado (dam2), que representa un cuadrado que mide 1 dam por lado (10 m por lado); el hectómetro cuadrado (hm2), que es un cuadrado que mide 1 hm por lado (100 m por lado); el kilómetro cuadrado (km2), que representa un cuadrado de 1 km por lado (1 000 m por lado). Para los submúltiplos del metro cuadrado se sigue un criterio semejante al de los múltiplos. ¿Cuánto cree que mida por lado el cuadrado que representa un decímetro cuadrado, y cómo se representa? ¡Correcto! Mide por lado un decímetro, es decir, la décima parte del metro (o lo que es igual 10 cm), y se representa como 1 dm2. El centímetro cuadrado (cm2) es un cuadrado que mide 1 cm por lado, y el milímetro cuadrado (mm2) es un cuadrado que mide 1 mm por lado. ¿Se imagina lo pequeño que es este cuadrado?

3 cm

En un caso como éste, en el que la superficie a medir es pequeña, usted puede utilizar el centímetro cuadrado o el milímetro cuadrado para hacer la medición. Si elige el centímetro cuadrado como unidad de medida, se obtiene lo siguiente: El cuadrado mide 3 cm por lado; por lo tanto, caben 9 cuadrados de 1 cm de lado dentro del polígono; o sea que la superficie del cuadrado es de 9 cm2. 1 cm 2

Si la opción elegida fuera la de usar el milímetro cuadrado para medir esa superficie, entonces usted tendría que trazar 900 cuadritos de un milímetro de lado, y diríamos que la superficie del cuadrado es de 900 mm2. 1 cm 2

A continuación se verá uno de los tantos usos que tienen estas unidades de medida.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 211

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

212 ¿Por qué cree usted que 9 cm2 de superficie es igual a 900 mm2? Así es, en 1 cm2 caben 100 mm2.

2 cm

Ahora calculemos el área del siguiente rectángulo, cuyas medidas son 4 cm de largo (base) y 2 cm de ancho (altura).

4 cm

Al usar el cuadrado de un centímetro por lado como unidad de medida, entonces habrá ocho cuadrados de un centímetro de lado, lo que se escribe como 8 cm2.

1 cm 2

Si en lugar del cuadrado de un centímetro de lado como unidad de medida, se eligiera el de un milímetro por lado, entonces cabrían 800 cuadritos, lo que se representa como 800 mm2. Por lo tanto, 8 cm2 es igual a 800 mm2. 1 cm 2

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 212

En los ejemplos anteriores se puede observar que cuadricular cada superficie es poco práctico. Por esto, se han establecido fórmulas que responden a relaciones que se observan entre las medidas de los lados de un polígono y el resultado que se obtiene al calcular su área. Así, se tiene que, si usted desea calcular el área de un cuadrado como el del primer ejemplo, basta con que multiplique la medida de un lado por sí misma y, de esta forma, obtendrá el área solicitada. La fórmula que sintetiza todo esto es: A=

l x l = l2

l

donde representa la medida que tiene el lado del cuadrado. Para calcular el área del rectángulo de manera fácil y práctica, se estableció la siguiente fórmula: A = b x a, que significa que el área del rectángulo se obtiene al multiplicar la medida de la base (b) por la medida de la altura (a). No debe olvidar que el resultado siempre estará dado en las unidades de medida que se hayan elegido (km2, m2, cm2, etcétera). Con todo lo anterior, si el gimnasio tiene 30 metros de largo por 25 metros de ancho, entonces, ¿cuántos metros cuadrados tiene de área? ¡Claro! 750 m2, porque la multiplicación de lo que mide de largo por lo que mide de ancho (30 m x 25 m) da por resultado 750 m2.

16/11/11 14:38

Sesión 50 • Por toda el área de juego

213

EL ÁREA EN LOS GIMNASIOS

400 cm2

1 m2

1m

20 cm

El mismo gimnasio cuenta con un pasillo de entrada de 243 m2 de área. En este pasillo se desea colocar mosaico, que por cierto se vende por metro cuadrado. Cada pieza de mosaico mide 20 cm por lado. Con estos datos, Carolina tiene que calcular cuántas piezas se necesitan para cubrir toda la superficie del pasillo. Realice usted las siguientes actividades para que le ayude a Carolina a calcular el número de piezas que se requieren: Con la ayuda de la siguiente figura, calcule usted el número de piezas de mosaicos que cubre un metro cuadrado.

20 cm

20 cm

Escala 1:20

1. ¿Cuántas piezas cubren 1 m2? 2. Multiplique el número de piezas de mosaicos que cubren 1 m2 por el área de cada mosaico.

1m

entonces, calcule el número del total de piezas que se requieren para cubrir toda el área del pasillo, que es de 243 m2.

b) ¿  Qué puede concluir de esto?

a) ¿  Cuál fue su resultado? ¡Claro! 6 075 piezas, porque 243 m2 por 25 piezas que cubre cada metro cuadrado da como resultado 6 075 piezas.

3. Hasta ahora, usted ya conoce el número de piezas de mosaico que cubre 1 m2;

b) S  i el largo del pasillo es de 27 m, ¿cuántos metros mide de ancho?

a) ¿Cuál fue su resultado?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 213

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

214

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Realice lo que se pide a continuación.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Carolina también debe calcular si en el gimnasio cabe una cancha de volibol, una cancha de basquetbol y el área de pesas, que será un cuadrado de 6 m por lado. 4. Si una cancha de volibol mide 18 m de largo por 9 m de ancho, ¿cuál es el área que ocupa? 5. La cancha de basquetbol mide 28 m de largo por 15 m de ancho. ¿Qué área ocupa? 6. ¿Cuánto mide la superficie destinada a pesas? 7. Diga cuál fue la respuesta de Carolina al problema planteado.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 214

5.7 cm

6.3 cm

8. Enseguida se le presentan dos polígonos con sus medidas en centímetros. Encuentre la medida de cada superficie en centímetros cuadrados.

6.3 cm

8.5 cm

A

B

9. Si las medidas del primer polígono estuvieran dadas en metros, ¿cuántos metros cuadrados mediría su superficie? 10. Si las medidas del segundo polígono estuvieran dadas en decámetros, ¿cuántos decámetros cuadrados mediría su superficie?

Compare sus resultados con los de la clave. Corrija en caso de ser necesario.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

16/11/11 14:38

¿Por qué más?

¿Cuántas veces le ha sucedido que usted tiene dos superficies de diferentes dimensiones y, al obtener su área o su perímetro, se da cuenta de que sus perímetros o sus áreas son iguales? En esta sesión verá cómo varía el perímetro y el área de una figura.

Lea atentamente el texto que se presenta a continuación.

¿Sabía usted que no todas las canchas de futbol tienen las mismas dimensiones?

RECUERDE El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar la la longitud de la base por . altura (A= bxa o A =ba)

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 215

Variación perímetro-área Carolina tiene ahora que realizar otro trabajo para la constructora, que consiste en colocar duela al piso de los gimnasios del plantel Sur y el plantel Norte de una escuela. Por lo tanto, le dio instrucciones a Samuel, uno de sus subordinados, para que fuera a tomar las medidas de ambos gimnasios. El primer gimnasio midió 12 m de largo por 10 m de ancho. El segundo midió 15 m de largo por 8 m de ancho. Al realizar sus cálculos para obtener el área de ambos gimnasios, Samuel quedó sorprendido. ¿Podría usted deducir por qué? ¡Así es! Al multiplicar la medida del largo por el ancho de cada gimnasio, se encontró con que ambos gimnasios tienen la misma área, es decir, 120 m2, a pesar de que las medidas de sus lados son diferentes. Entonces, Samuel tendrá que comprar la misma cantidad de material para colocar la duela en ambos gimnasios.

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

216

Pero, en el último momento, le indicaron que colocara una tira de madera alrededor de cada gimnasio, a manera de zoclo, para lo cual tomó las medidas del primer gimnasio y compró la misma cantidad para el zoclo de los dos gimnasios. Cuando colocó el zoclo del segundo gimnasio, se llevó una desagradable sorpresa: ¡el material no le alcanzó! ¿Podría usted decir a qué se debió esto? ¿Dónde estuvo el error? ¡Correcto! Para calcular la cantidad de material que debía comprar para el zoclo, Samuel tuvo que haber obtenido el perímetro de los gimnasios y, como su área era la misma, él pensó que también lo sería su perímetro. Pero, ¡oh sorpresa!, eso no se cumple. Veamos: Perímetro del primer gimnasio: 2 lados de 10 m más 2 lados de 12 m, esto es, 20 m + 24 m = 44 m. Perímetro del segundo gimnasio: 2 lados de 15 m más 2 lados de 8 m, esto es, 30 m + 16 m = 46 m. Como puede observar, el perímetro del segundo gimnasio es mayor que el del primero, por lo tanto, se necesita más material.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 216

Como conclusión podemos decir que existen figuras que tienen la misma área, pero diferente perímetro. Ahora, si le presentáramos tres figuras cuyo perímetro es el mismo, ¿usted afirmaría que también sus áreas son iguales? Observe el siguiente ejemplo: Se tienen dos rectángulos y un cuadrado: el primer rectángulo tiene 5 cm de base y 9 cm de altura, el segundo tiene 6 cm de base y 8 cm de altura, y el cuadrado tiene 7 cm de lado. Calculemos el perímetro de los tres polígonos. P1 =  2 (5 cm) + 2 (9 cm) = = 10 cm + 18 cm = 28 cm P2 =  2 (6 cm) + 2 (8 cm) = = 12 cm + 16 cm = 28 cm P3 = 4 (7 cm) = 28 cm

Ahora, obtengamos el área de cada uno. A1 = 5 cm x 9 cm = 45 cm2 A2 = 6 cm x 8 cm = 48 cm2 A3 = 7 cm x 7 cm = 49 cm2

Por lo tanto, dos o más figuras pueden tener el mismo perímetro, y el área diferente.

16/11/11 14:38

Sesión 51 • ¿Porqué más?

217

CANCHAS DE FUTBOL

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

En el estado de Nuevo León, la Comisión del Deporte recibió en donación un terreno en el que construirá tres canchas de futbol. Por la forma del terreno, las canchas tendrán las siguientes medidas:

Hace algunos días, Alicia fue a la carpintería y pidió que le hicieran el marco a una pintura y a una fotografía, las cuales colocó en la sala de su casa. Pero se cayeron de su lugar y se rompió el vidrio que las cubría, por lo que decidió llevarlos a la vidriería para que les colocaran otro vidrio. Como tenía el antecedente de que el carpintero le cobró lo mismo por los marcos, en virtud de que éste había usado la misma cantidad de material, creyó que pagaría la misma cantidad por los vidrios de la pintura y la fotografía. Pero, ¡oh sorpresa!, le cobraron más por uno de ellos. ¿Cuál habrá sido la razón de eso? Las medidas de la pintura son 100 cm x 80 cm y de la fotografía son 90 cm x 90 cm.

90 m x 60 m; 120 m x 45 m y 108 m x 50 m. 1. Calcule usted cuántos metros cuadrados de pasto se colocarán en cada cancha. 2. Diga usted cuánto medirá el perímetro de cada cancha. 3. Si el metro cuadrado de pasto cuesta $30.00, ¿en qué cancha se invertirá más dinero para colocar el pasto? ¿Por qué?

4. Calcule el perímetro y el área de la fotografía. 5. Calcule el perímetro y el área de la pintura. 6. ¿Cómo son los perímetros de los dos objetos? 7. ¿Cuál es el área de la fotografía y de la pintura? 8. ¿Por qué Alicia tuvo que pagar más por el vidrio de uno de ellos? 9. ¿Por cuál pagó más?

Revise sus resultados y si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 217

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

218

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Realice las actividades que se indican con los polígonos que se presentan a continuación.

B A

D C

E

10. A simple vista, diga qué polígonos cree usted que tengan la misma área y cuáles el mismo perímetro. 11. Mida los lados de cada polígono y obtenga su perímetro. 12. Calcule el área de cada polígono. 13. ¿Qué polígonos tienen el mismo perímetro? 14. ¿Qué polígonos tienen la misma área?

Compare sus resultados con los de la clave y si tuvo algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 218

16/11/11 14:38

Campos deportivos ¿Qué uso le daría usted a un terreno de grandes dimensiones? Siempre es necesario tener un lugar de esparcimiento en el que la familia o usted puedan realizar una actividad que les ayude a mantener el cuerpo y la mente sanos, y qué mejor lugar que un terreno acondicionado para practicar deportes. En esta sesión usted aplicará sus conocimientos sobre las unidades de medida, para distribuir espacios de terrenos destinados a las actividades deportivas. ¿Ha oído hablar de las medidas de terrenos en hectáreas? ¿Conoce la equivalencia con las unidades que manejó anteriormente, es decir, con metros cuadrados, decámetros cuadrados, etcétera?

RECUERDE está o d a r d a u c o r t e m á c El de rado d a u c n u r o p o d a t n e repres de lado. s o r t e m 0 1 e id m e u q mide ¿Recuerda cuántoado por lado el cuadr n metro que representa u cuadrado? SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 219

Enseguida aparece un texto que le ayudará a alcanzar el propósito de esta sesión. Léalo atentamente.

Medidas agrarias ¿Cuántas veces ha escuchado decir que un terreno mide cierto número de hectáreas? Por ejemplo, en una comunidad del estado de Jalisco, la población solicitó al gobierno la construcción de canchas de juego y de recreación en un terreno baldío que mide dos hectáreas. La hectárea pertenece al grupo de medidas agrarias que se usan para medir grandes superficies en el campo. Su unidad es el área (a), la cual sólo tiene un múltiplo que es la hectárea (ha) y un submúltiplo que es la centiárea (ca).

24/11/11 12:25

Unidad 5 • Los deportes

220

La equivalencia de las unidades de medida antes mencionadas con las que usted ya conoce está dada en el siguiente cuadro.

MEDIDAS AGRARIAS NOMBRE

SÍMBOLO EQUIVALENCIA

Centiárea Área Hectárea

ca

1 ca = 1 m2

a

1 a = 100 ca 1 a = 100 m2

ha

1 ha = 100 a 1 ha = 10 000 m2

La comisión encargada de negociar la construcción de canchas deportivas señaló que la población pedía cuatro canchas de basquetbol, tres canchas de volibol, dos canchas de futbol y una zona donde se instalaran talleres de manualidades. ¿Cree usted que pueda hacerse todo esto en el terreno señalado? ¿Qué cálculos será necesario hacer para saberlo? Primero conviene convertir las dos hectáreas que mide el terreno a metros cuadrados, para lo cual podemos recurrir al cuadro de equivalencias. Si 1 ha = 10 000 m2, entonces 2 ha = 20 000 m2. Una vez hecho esto, es conveniente conocer la superficie que abarcarían las canchas deseadas. Para esto es necesario saber las medidas de cada una.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 220

La cancha de basquetbol es una superficie rectangular de 28 m de largo por 15 m de ancho, así que su área es de 420 m2. Como quieren cuatro canchas, el área de una se multiplica por cuatro, esto es, 420 m2 x 4 = 1 680 m2. Las canchas de volibol también tienen forma de rectángulo, cuyas medidas son 18 m x 9 m. ¿Cuál es el área de una cancha de volibol? ¿Cuál es el área total de las tres canchas de volibol? Para las canchas de futbol las medidas varían, pero en el proyecto presentado se dieron las siguientes dimensiones: 90 m de largo por 70 m de ancho. Entonces, ¿cuánto mide la superficie de cada cancha de futbol? ¿Cuál es el área total que ocuparán las dos canchas? El siguiente paso es sumar las áreas de las canchas que se solicitaron: esto es,

1 680 m2 + 486 m2 + 12 600 m2 = 14 766 m2.

¿Obtuvo usted el mismo resultado? Por lo tanto, si a 20 000 m2 le restamos 14 766 m2, todavía quedan 5 234 m2 para las zonas libres que debe tener cada cancha y para la zona de talleres de manualidades que requiere la comunidad. En conclusión, se puede decir que conociendo las unidades de medida, así como sus múltiplos y submúltiplos, es fácil hacer los cálculos para distribuir la superficie de un terreno.

16/11/11 14:38

Sesión 52 • Campos deportivos

221

CAMPOS DEPORTIVOS Una asociación deportiva cuenta con un terreno cuya superficie mide una hectárea, y lo quiere utilizar para habilitar en él canchas de futbol. Si se quiere que las medidas de cada cancha sean de 45 m x 90 m, ¿cuántas canchas de esas dimensiones cabrán en dicho terreno, si debe dejarse un espacio de 2 m entre cada cancha? Revise sus cálculos y si tuvo algún error, corríjalo.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Un municipio del Estado de México donó a la comunidad un terreno que mide 1 ha. En él se van a construir un campo de futbol de 45 m por 90 m, una cancha de volibol de 18 m por 9 m y una de basquetbol de 14 m por 26 m. Con estos datos conteste las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el perímetro de la cancha de futbol? 2. ¿Cuál es su área? 3. ¿Cuál es el área de la cancha de basquetbol?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 7. En un terreno que mide 6 a (6 áreas) se quieren plantar rosales, y debe haber un máximo de cinco plantas por metro cuadrado, ¿cuántos rosales se podrán plantar en el terreno?

Compare sus resultados con los de la clave. Corríja en caso de ser necesario.

4. ¿Cuánto mide la parte de la cancha de volibol que corresponde a cada equipo? 5. ¿Cuál es el área total de las tres canchas? 6. ¿Cuántos metros cuadrados quedarán disponibles para pasillos y áreas verdes?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 221

16/11/11 14:38

A vuelta de rueda Existen muchos deportes en que el balón es el único elemento en juego; por ejemplo, el volibol, el futbol, el basquetbol, el balonmano, etcétera, y en la cancha donde se practican estos deportes aparecen círculos o medias circunferencias. En esta sesión veremos cómo se mide una circunferencia y una semicircunferencia (media circunferencia). Lea atentamente el texto que sigue y al final sabrá cómo medir una circunferencia.

¿Sabía usted que en una cancha de basquetbol, el círculo central debe tener un radio de 1.80 metros y estar trazado en el centro del terreno de juego?

Longitud de la circunferencia y la semicircunferencia La siguiente figura representa las medidas reglamentarias de una cancha de basquetbol.

RECUERDE

1.25 m

Medidas reglamentarias de la cancha

3.6 m 1.8 m 15 m

6.25 m

8m

lo El diámetro de un círeclu equivale a dos veces ecir, radio del mismo, es d encia 2r. La circunfer la es la línea que delimita superficie del círculo.

28 m

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 222

24/11/11 13:04

Sesión 53 • A vuelta de rueda

223

Observe que la cancha cuenta con tres círculos. El que está trazado en el centro tiene un diámetro de 3.6 m, y los otros dos tienen un radio de 1.8 m. Si la circunferencia es la línea que delimita la superficie del círculo, ¿cree usted que se pueda medir? ¿Cómo la mediría usted? Una de las formas de medir una circunferencia, aunque no es muy exacta, es la siguiente: Se toma un pedazo de hilo o cordón y se coloca sobre la circunferencia a medir. Luego con una regla o cinta métrica se mide el largo del hilo o cordón, para obtener una aproximación de la longitud de la circunferencia. Pero, ¿siempre se podrá hacer esto? ¿Qué sucedería si la circunferencia es demasiado grande? Hagamos un ejercicio que ayudará a entender de dónde se obtiene la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia. Tome una cuerda o cordón, una regla y un vaso, o una olla, o un disco o cualquier otro objeto que tenga forma de círculo. Mida el diámetro del objeto con la regla y anote la medida obtenida. Enseguida, con el cordón, tome la medida de la circunferencia del mismo objeto, mida la cantidad de cordón utilizado y anótela. Por último, divida la medida de la longitud de la circunferencia entre el diámetro. Haga una aproximación hasta centésimos. Realice el mismo ejercicio con otro de los objetos elegidos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 223

Como habrá notado, el resultado siempre es tres y una fracción decimal, sin importar qué tan grande o pequeña sea la circunferencia que haya medido. Esto quiere decir que el diámetro cabe tres veces y una fracción en la longitud de la circunferencia. Esta relación se puede representar así:

c

= 3.14, donde representa la longitud de la circunferencia y el diámetro. De diferentes formas se ha intentado encontrar el número exacto que representa esta relación entre el diámetro y la circunferencia, pero de todas las maneras se ha encontrado que el resultado tiene un número infinito de decimales; es decir, hasta ahora no se conocen todas sus cifras; a este número se le representa con la letra griega π (Pi) y su valor se redondea a 3.14. Entonces, para calcular la longitud de la circunferencia, basta con multiplicar el valor de π por la me metro, π x . Si lo que se conoce es la medida del radio , la operación se puede representar como π x 2 , o bien, 2π x , ya que la medida del diámetro es igual a dos veces la medida del radio. Como = π, entonces = π x . Pero se tiene que = 2 , por lo que = π x 2 , o bien, = 2 π x . Hay que aclarar que a la longitud de la circunferencia se le conoce también como perímetro del círculo.

r r

r

c r c

r c

r

24/11/11 13:04

Unidad 5 • Los deportes

224

Por lo tanto, para calcular la circunferencia de los dos círculos de la cancha de basquetbol basta con aplicar las fórmulas mencionadas. Entonces lo anterior se puede resolver de la siguiente manera. Para el círculo central, resulta: = π = (3.14)(3.6 m) = 11.3 m Para cada uno de los otros dos círculos: = 2π = (2)(3.14)(1.8 m) = 11.3 m ¿Qué puede usted concluir con estos resultados? ¡Claro! Que los tres círculos tienen el mismo perímetro y esto se debe a que los tres círculos tienen el mismo radio. Por otra parte, observe que también en la cancha hay una media circunferencia en cada lado, con un radio de 6.25 m. ¿Podría usted decir cuál es la longitud de esta media circunferencia (semicircunferencia)?

c c r

De acuerdo con todo lo anterior, para calcular la circunferencia o perímetro del círculo (cuando se cuenta con la medida del diámetro o del radio) se emplean las fórmulas = π o = 2π , según sea el caso; y para calcular la semicircunferencia, dividimos estos resultados entre dos: o =π .

c

c r

r

Como la medida del radio es 6.25 m, entonces, al multiplicar 2π por el radio tenemos 2 (3.14)(6.25) = 39.25 m, que es la medida de toda la circunferencia. Pero nosotros sólo deseamos conocer la longitud de la semicircunferencia (la mitad de la circunferencia), por lo tanto, dividiremos entre dos el resultado obtenido: 39.25 m ÷ 2 = 19.62 m.

CAMPOS DE JUEGO 1. El círculo central de una cancha de futbol debe tener una circunferencia de 57.4 metros. Suponga que usted tiene que trazar este círculo en una nueva cancha de futbol. ¿Cómo lo haría? Si para trazar este círculo central se usa una cuerda que represente el radio del círculo, ¿cuánto debe medir ésta?

Para responder estas cuestiones, realice lo siguiente: 2. Divida la medida de la circunferencia entre el valor de

π cuando π = 3.14.

a) ¿Este valor corresponde al diámetro o al radio del círculo? b) ¿Qué tiene que hacer para encontrar el valor del radio? 3. ¿Cuál es la longitud que debe tener la cuerda para trazar el círculo central de una cancha de futbol?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 224

24/11/11 13:04

Sesión 53 • A vuelta de rueda

225

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Analice y resuelva los siguientes problemas:

Conteste lo que se pide a continuación.

4. En una población con pocos recursos económicos se construyeron canchas deportivas. Para las canchas destinadas al basquetbol, el herrero del lugar hizo los aros correspondientes al tablero. Si el diámetro de la canasta debe medir 0.45 m, ¿cuál es la longitud que tendrá el aro? Dé su resultado en centímetros.

7. Un niño lleva a reparar la llanta de su bicicleta que mide 0.29 m de radio

5. ¿Qué distancia tiene que recorrer un automóvil de Fórmula 1 en dos tramos de una pista con forma de media circunferencia cada uno y cuyo radio mide 25 km?

8. ¿Cuántos centímetros mide la circunferencia de la llanta?

6. ¿En cuánto tiempo recorrerá dicha distancia, si su velocidad es de 200 km/h?

Revise que sus resultados sean correctos y corríjalos si es necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 225

a) ¿  Cuánto mide el diámetro de la llanta de la bicicleta? b) ¿Por qué? c) ¿  A cuántos centímetros equivale la medida del diámetro?

9. Al girar la llanta diez vueltas exactas, ¿qué distancia habrá recorrido?

Compare sus resultados con los de la clave que se encuentra al final del libro y si encontró algún error, corríjalo.

16/11/11 14:38

El juego de pelota ¿Cuántas cosas conoce usted que tengan forma de círculo? ¿Qué ventajas tiene esa forma? Piense en una llanta cuadrada. El hombre le encontró muchas ventajas al círculo; por ello lo estudió hasta conocerlo bien y usarlo en diferentes objetos y contextos; por ejemplo, en los deportes. En esta sesión veremos cómo calcular el área de un círculo. ¿Conoce usted todos los significados que puede tener un juego de pelota? ¿Sabía usted que el juego de pelota se practicaba en América desde varios siglos antes de la llegada de los españoles? ¿Sabía que éstos quedaron asombrados por la flexibilidad del material con que los pueblos prehispánicos elaboraban las pelotas? ¿Y sabía que nuestros antepasados conocían el hule desde muchos siglos atrás?

RECUERDE

rímetro pe o ia nc re fe un rc ci la de ud La longit siguiente del círculo se calcula con lar. fórmula: P= o P = 2 n anterior usamos Observe que en la lecció a la medida de la letra C para referirnosse usa la letra P. la circunferencia y ahora tra siempre Se puede usar cualquier leiones. y cuando no lleve a confus SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 226

Lea con atención el texto que aparece a continuación, y sabrá cómo calcular el área del círculo.

Área del círculo El juego de pelota en Mesoamérica se practicaba de diversas formas. Una de ellas consistía en hacer que la pelota atravesara el orificio de un anillo de piedra. En las excavaciones hechas en la Ciudadela, en el Distrito Federal, se encontró un anillo de piedra con su espiga; ésta es una vara de piedra que también servía para empotrar dicho anillo en las paredes de la cancha. El anillo tiene un diámetro total de 57 cm y su orificio mide 20 cm de diámetro. ¿Cómo podríamos calcular la superficie del anillo y la superficie del agujero que tiene en el centro? Observe con detenimiento el dibujo que representa el anillo de piedra usado para el juego de pelota.

24/11/11 13:07

Sesión 54 • El juego de pelota

227

Cuarto. Corte los dos semicírculos sobre la marca de cada radio desde el centro hacia afuera, sin desprender totalmente.

Como puede ver, se trata de dos círculos concéntricos, es decir, son dos círculos que tienen el mismo centro. Antes de calcular la medida del orificio del anillo, veamos una manera de obtener aproximadamente la fórmula del área del círculo. Para ello, utilizando una hoja de papel efectúe en su cuaderno las siguientes indicaciones: Primero. Trace un círculo que mida 2 cm de radio y recórtelo.

Quinto. Con los dos semicírculos forme una figura parecida a un paralelogramo, lo puede hacer al extender los dos semicírculos y unir las dos partes.

Sexto. ¿Cuál es la base de la figura que se formó? Séptimo. ¿Cuál es la altura?

Segundo. Divídalo en 16 partes iguales como se muestra en la figura.

Tercero. Dóblelo a la mitad y córtelo.

Octavo. ¿Cómo se obtiene el área de la figura que se formó? Usted acertó, se formó una figura muy parecida a un paralelogramo, cuya altura es la medida del radio y la base es la mitad de la longitud de la circunferencia, esto es:



πx

o

2

π x

r

Por lo tanto, en la figura formada, la base es ( π x ) y la altura es ( ). De esta manera el área de esta figura, que representa al círculo, se calcula como: A = ( π x )( ) = π x 2 De esta manera, para calcular la medida del orificio del anillo se multiplica el valor de π por la medida del radio elevada al cuadrado (π x 2).

r r r

r

r

r

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 227

24/11/11 13:07

Unidad 5 • Los deportes

228

Recuerde que el valor de π que usamos es de 3.14. Como el diámetro del círculo interior mide 20 cm, entonces su radio mide 10 cm, que elevado al cuadrado nos da 100 cm2. Así que el agujero del anillo de piedra mide 3.14 x 100 cm2 = 314 cm2. Ahora, de igual forma se calcula el área del anillo de piedra completo, incluyendo el orificio. Como el diámetro mide 57 cm, el radio mide la mitad, es decir, 28.5 cm, que elevado al cuadrado es 812.25 cm2, de donde, si se multiplica π x 2 se tiene 3.14 x 812.25 cm2 = 2 550.465 cm2. Si sólo quisiéramos conocer el área sólida del anillo, es decir, sin considerar

el orificio, tendríamos que restar al área total del anillo el área del orificio que hay en él, esto es, 2 550.465 cm2 – 314 cm2, de donde obtenemos que la superficie de piedra es de 2 236.465 cm2. En conclusión diremos que para calcular el área A, de cualquier círculo se emplea la fórmula siguiente: A=πx 2 Para conocer el área comprendida entre dos círculos concéntricos (cuyo centro es el mismo), se resta al área del círculo de mayor diámetro el área del círculo con diámetro menor.

r

r

CANCHAS DE LANZAMIENTO DE BALA En el deportivo México, se va a recubrir con asfalto el círculo de lanzamiento de bala y de disco, para lo cual es necesario conocer la medida de su superficie. El área está limitada por un aro de metal pintado de blanco. Círculo para lanzamiento de bala 1.22 m

45º

45º 2.50 m

2.140 m Círculo para lanzamiento de disco

1. Si el diámetro del círculo para lanzamiento de bala mide 2.140 m, ¿cuánto mide la superficie que debe recubrirse? 2. El diámetro del círculo para lanzamiento de disco mide 2.50 m, ¿cuál es el área que se recubrirá de asfalto? 3. ¿Cuál es la medida de la superficie del aro que rodea al círculo de lanzamiento de bala, si se sabe que su ancho es de 6 mm?

Revise sus cálculos y corríja si es necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 228

24/11/11 13:07

Sesión 54 • El juego de pelota

229

APLIQUEMOS LO APRENDIDO En una kermés se instalaron varios juegos, entre ellos estaba uno de lanzamiento de dardos a un blanco.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? En su cuaderno reproduzca el blanco utilizado, siguiendo las instrucciones que se le dan. 4. Trace usted cinco círculos concéntricos cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm y 6 cm, respectivamente. 5. Diga cuál es el área del círculo más pequeño. 6. Calcule el área del anillo que se forma entre el círculo cuyo radio mide 6 cm y el de 5 cm. 7. ¿Cuál es la longitud de cada circunferencia?

Revise sus resultados y sus figuras. Si cometió algún error, corríjalo.

Resuelva lo que se indica. Si cada centímetro que usted trazó representa 3 cm del blanco original, dé la respuesta a cada una de las siguientes preguntas: 8. ¿Cuál es la medida de los radios de cada círculo en el blanco original? 9. ¿Cuánto mide la superficie de cada uno de los círculos? 10. ¿Cuánto mide la superficie de cada anillo que se forma con los círculos concéntricos? 11. Si usted lanzara un dardo a ese blanco, ¿a cuál anillo cree que sería más fácil atinarle? ¿Por qué?

Compare sus resultados con los de la clave y corrija si es necesario.

Observe el programa de televisión, donde verá la aplicación de la fórmula para obtener el área del círculo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 229

16/11/11 14:38

En el mismo sentido ¿Ha visto alguna vez una carrera de autos? ¿No le parece sorprendente la velocidad que alcanzan los vehículos que compiten? Pero, ¿se ha imaginado qué sucede con la distancia que recorre un auto, a medida que el tiempo transcurre si el auto lleva una velocidad constante? En esta sesión trataremos situaciones de variación semejantes a ésta.

¿Sabía usted que la velocidad es la rapidez con la que cambia de posición, por ejemplo, un auto o un cuerpo cualquiera, en un tiempo determinado?

Lea el siguiente texto, en el que encontrará información interesante relacionada con el tema de estudio.

Proporcionalidad directa En la siguiente tabla se muestran las distancias que recorrió un auto deportivo y el tiempo en que lo hizo.

RECUERDE Una razón es la comparación por cociente de dos cantidades.

DISTANCIA

TIEMPO QUE TARDÓ

RECORRIDA

EN RECORRER LA DISTANCIA

EN kilómetros

A LA MISMA VELOCIDAD

1 600

8 horas

800

4 horas

La velocidad de los automóviles se mide en kilómetros por hora (km/h), es decir, la cantidad de kilómetros que recorre en una hora a velocidad constante. ¿Podría usted decir cuál fue la velocidad del auto?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 230

16/11/11 14:38

Sesión 55 • En el mismo sentido

231

¿Fue la misma velocidad para las dos distancias recorridas? Observe que 800 km es la mitad de 1 600 km, y 4 horas es la mitad de 8 horas. Entonces, si seguimos dividiendo a la mitad, resulta el siguiente cuadro: DISTANCIA RECORRIDA EN kilómetros

TIEMPO QUE TARDÓ EN RECORRER LA DISTANCIA A LA MISMA VELOCIDAD

1 600

8 horas

800

4 horas

400

2 horas

200

1 hora

De acuerdo con la tabla, el auto recorrió 200 km en una hora, por lo que llevaba una velocidad constante de 200 km por hora; es decir, V = 200 km/h. Con el fin de comprobar si fue la misma velocidad para los dos primeros recorridos, multiplicamos la velocidad por el tiempo, los que nos dará como resultado la distancia recorrida en ese tiempo; es decir: 200 x 8 = 1 600 y 200 x 4 = 800, con lo que constata lo mencionado anteriormente. Otra forma de comprobar si la velocidad fue constante es dividiendo la cantidad de kilómetros recorridos entre el tiempo que tardó en recorrerlos: 1 600 km = 200 km/h; 8 h

800 km = 200 km/h 4h

Note que el cociente de ambas razones son iguales, por lo que podemos igualarlas. 1 600 km = 800 km 8 h 4 h

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 231

Si se da cuenta, al duplicar la distancia a recorrer (de 800 km a 1 600 km) el tiempo se duplica (de 4 h a 8 h). A esta forma de variación se le llama proporcionalidad directa. A la igualdad de dos razones se le llama proporción. Observe que en una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Como 1 600 y 4 son los extremos, y los otros dos valores (800 y 8) son los medios, tenemos: 1 600 x 4 = 800 x 8, entonces: 6 400 = 6 400 medios de la proporción

a c = b d

a•d = b•c

extremos de la proporción

En una forma más general tenemos: Entonces, si el auto recorrió 200 km en una hora, ¿podría usted decir cuántos kilómetros recorrió en 15 minutos? Una forma de resolver el problema es estableciendo la siguiente proporción: 200 km = 60 min

x

15 min

x

donde representa la distancia recorrida en 15 minutos. Ahora, como el producto de los extremos es igual al producto de los medios, tenemos: 200 x 15 = 3 000 =

xx

x 60 x 60

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

232

Necesitamos ahora encontrar el número que multiplicado por 60 dé 3 000. Para ello recurrimos a la división. Si dividimos ambos lados de la igualdad entre 60, obtenemos: 3 000 60

=

50

=

x x

x 60 60

Entonces, la distancia que recorrió el auto en 15 minutos fueron 50 kilómetros. Este tipo de variación proporcional se presenta en muchas actividades de nuestra vida cotidiana, como comprar zapatos, ropa, material de trabajo, etcétera, donde la cantidad a pagar variará proporcionalmente de acuerdo con la cantidad de objetos del mismo precio que se compren.

EXÁMENES MÉDICOS Analice la situación que se plantea a continuación y realice en su cuaderno lo que se pide. Un laboratorio médico realizó exámenes médicos a los solicitantes de seis unidades deportivas de una comunidad. Dicha empresa reportó que 2 de cada 10 personas no están aptas para practicar ningún deporte. El número de personas solicitantes por cada unidad fue el siguiente: 2 430, 955, 3 640, 4 125, 970, 1 145 personas.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 232

16/11/11 14:38

Sesión 55 • En el mismo sentido

233

1. Determine el número de personas no aptas para practicar deporte que hay en cada unidad deportiva y complete la tabla:

U N I DA D DEPORTIVA

PERSONAS SOLICITANTES

P E R S O N A S COSTO TOTAL NO APTAS D E L O S EXÁMENES POR U N I DA D

1

2 430

$15 187.50

2

955

$6 064.25

3

3 640

$22 568.00

4

4 125

$25 368.75

5

970

$6 159.50

6

1 145

$7 179.15

COSTO POR EXAMEN EN CADA UNIDAD

2. En la tabla anterior se muestra el costo total de los exámenes que cobró el laboratorio a cada unidad deportiva. a) D  etermine cuál es el precio que cobró a cada unidad por examen. b) ¿  Cuánto pagaría la unidad 1 al laboratorio si el examen se aplica al 30% de los solicitantes de esa unidad? Recuerde que para obtener el porcentaje, se multiplica 0.30 por la cantidad a la que se quiere calcular el porcentaje. c) ¿  Cuánto pagaría la unidad 3 si el examen se aplica al 45% de los solicitantes de esa unidad? d) ¿Cuánto  pagaría la unidad 6 si el examen se aplica al 60% de los solicitantes de esa unidad?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 233

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

234

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea el siguiente texto y realice en su cuaderno lo que a continuación se pide. El maratón es una carrera de resistencia instaurada en los Juegos Olímpicos de Atenas, el año 1896, en homenaje al soldado griego Filípides (490 a.C.), que fue quien llevó a Atenas la noticia de la victoria de Maratón. La distancia que recorrió para dar el aviso fue de 42.175 km. En un maratón, un corredor recorre 100 m en 16 segundos, manteniendo la misma velocidad durante los primeros 40 minutos. 3. ¿En cuánto tiempo recorre 400 m? Dé su resultado en minutos y segundos. 4. ¿Qué distancia recorre en 30 minutos? Dé su resultado en metros. 5. ¿Qué distancia recorre en 40 minutos? En este momento, ¿qué distancia le falta por recorrer? Dé su resultado en metros y kilómetros. 6. Después de los 40 minutos, el resto de la carrera la termina en un tiempo de 1 hora, 30 minutos y 35 segundos, manteniendo la misma velocidad ¿A cuántos segundos equivale este tiempo? 7. ¿En cuánto tiempo recorrió 100 m?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva en su cuaderno el siguiente problema: 9. Una fábrica de trajes requiere de 9.30 m de tela para confeccionar tres trajes. a) ¿  Cuántos metros de tela se necesitarían para fabricar 177 trajes iguales a los anteriores? b) ¿Cuántos para 255? c) S  i 8 metros de tela cuestan $1 000.00 (y no hay descuentos), ¿cuánto deberá pagar la maquiladora por la tela necesaria para los 177 trajes? d) ¿  Cuánto debe pagar por la tela de los 255 trajes? e) C  on base en los datos anteriores, complete la siguiente tabla: No. DE TRAJES

1

2

METROS DE TELA

3.10

6.20

5

7

15

31

8. ¿Cuál fue el tiempo que tardó el corredor en terminar la carrera? Dé su respuesta en horas, minutos y segundos.

Revise sus cálculos y si no cometió ningún error ¡felicidades! De lo contrario, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 234

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

16/11/11 14:38

Es mi favorito El futbol es el deporte preferido por la mayoría de la población. En esta sesión usted realizará algunos conteos.

¿Qué sabe usted de futbol? ¿Alguna vez ha visto en periódicos o en revistas estas abreviaturas JJ, JG, JE, JP, GF, GC, etcétera? ¿Sabe qué significa cada una de ellas? ¿Qué operaciones matemáticas cree usted que se usen para construir las tablas de posiciones de los equipos de futbol?

RECUERDE , Una razón es la comparación ades. por cociente, entre dos cantreidpresenta Por ejemplo, la razón que n se 4 de 10 es: . Si esta razó , se simplifica como se muestras entre cinco obtiene . Si dividimos do al 40% se obtiene 0.4 que equivale 2 ÷ 5 = 0.4 o 40%. SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 235

Lea con detenimiento el siguiente texto y conocerá algunas situaciones relacionadas con los problemas de conteo.

Problemas de conteo Usted sabe que el futbol es muy popular en nuestro país. Y este deporte ilustra muy bien lo que debe ser el trabajo en equipo, ya que cuando cada miembro del mismo realiza sus funciones de la mejor manera posible, normalmente se obtienen buenos resultados. Si usted logra interpretar los datos registrados en la tabla de posiciones de un torneo de futbol, esto le será útil si quiere ser el representante de su equipo o participar en la organización de un torneo. Tomaremos como ejemplo la actuación del equipo Río Mayo en el campeonato de liga.

06/12/11 11:38

Unidad 5 • Los deportes

236

En la siguiente tabla se muestran los datos de las actuaciones del equipo. TABLA DE POSICIONES EQUIPO

JJ

JG

JE

JP

GF

GC

P

DIF

RÍO MAYO

38

17

9

12

67

51

60

16

La interpretación de esta tabla es la siguiente: Juegos jugados (JJ) por el equipo Río Mayo: 38 ¿Podría usted decir cuántos equipos participaron en este campeonato? ¡Claro! Son 20 equipos, porque cada equipo juega dos veces contra los demás, una vez como local y otra como visitante. Por lo tanto, si el equipo Río Mayo tiene 38 partidos jugados en dos vueltas, entonces se ha enfrentado a 19 equipos diferentes. De esos 38 juegos ganó 17 (JG), empató 9 (JE) y perdió 12 (JP). Como se asignan tres puntos por partido ganado, un punto por partido empatado y cero puntos por partido perdido, tenemos: 17 x 3 = 51, 9 x 1 = 9, 12 x 0 = 0 y 51 + 9 = 60 60 es el número de puntos (P) con que aparece en la tabla. Por otra parte, el equipo anotó 67 goles (GF) y recibió 51 (GC), por lo que su diferencia (DIF) es 16, que le es favorable, porque anotó más goles de los que recibió. También se considera que si anotó 67 goles en 38 partidos, su efectividad fue de 1.76 (67 ÷ 38), y que si recibió 51 goles en 38 partidos, entonces le anotaron 1.34 (51 ÷ 38) por partido. También puede verse que si hubiera ganado los 38 partidos que jugó, tendría 114 puntos (38 x 3). Como ganó 17 de 38, o sea , que es igual 0.44, ganó el 44% de los partidos jugados. Si algún equipo tuviera en la columna DIF un número precedido del signo – (como – 5, por ejemplo) significaría que anotó menos goles de los que recibió; por ejemplo: GF 49

GC 54

DIF –5

La tabla de posiciones permite analizar aspectos importantes del rendimiento de un equipo durante el torneo en que haya participado.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 236

16/11/11 14:38

Sesión 56 • Es mi favorito

237

TORNEOS DEPORTIVOS A los trabajadores de una empresa se les informó que se estaba planeando la organización de un torneo deportivo. Por tal motivo, se les preguntó qué deporte preferían, y con esta información se elaboró la siguiente gráfica.

No. DE PERSONAS

160 140 120 100

80 60 40 20 0

Beisbol

Basquetbol

Futbol

Volibol

DEPORTE PREFERIDO

Analice la gráfica y resuelva en su cuaderno las siguientes cuestiones. 1. ¿Cuántas personas prefieren practicar beisbol? 2. ¿Cuántas personas prefieren basquetbol y volibol? 3. ¿Cuántas personas fueron interrogadas? 4. ¿Qué parte del total representan quienes prefieren practicar futbol?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 237

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

238

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Como la mayoría de los trabajadores prefirió el futbol, se nombró una comisión encargada de organizar el torneo. La comisión decidió, entre otras cosas, estudiar la tabla de posiciones de un torneo de liga, para contar con bases sólidas que le permitan una buena organización. Observe la siguiente tabla y luego conteste en su cuaderno lo que se le pide.

TABLA DE POSICIONES EQUIPOS Soles Aguila

JJ 34 34

JG 14 15

JE 14 10

JP 6 9

GF 61 58

GC 38 41

P 56 55

DIF 23 17

Halcones México Anáhuac Gallos Estrella Linces Gamos Cafés Atlético Huracán Talleres Marte Deportivo Dorados Lobos Internacional

34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

14

11

14

10

51 49 52 50 55 55 44 38 45 37 41 41 33 36 39 29

45 46 47 41 49 50 45 38 53 42 47 43 45 50 56 54

53 52 51 50 50 50 50 49 46 43 42 37 37 36 33 28

6 3 5 9 6 5

13

12

9 10 9

13

11

10

13

11

10

13

11

10

15

5 13 16 10 18 10 7 9 12 10

14

12 10 11

8 9 10 9 7 6

9 8 13 8 15 17 16 15 18

–1 0 –8 –5 –6 –2 – 12 – 14 – 17 – 25

JJ-Juegos jugados / JG-Juegos g­anandos / JE-Juegos empatados / JP-Juegos perdidos GF-Goles a favor / GC-Goles en contra / P-Puntos /DIF-Diferencia entre goles a favor y goles en contra.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 238

16/11/11 14:38

Sesión 56 • Es mi favorito

239

5. Viendo la puntuación del equipo Halcones (53) y sabiendo que ganó un punto por partido empatado, ¿cuántos puntos obtuvo por los partidos ganados? 6. En la tabla hay cuatro equipos con el mismo número de puntos y que no están colocados en orden alfabético, ¿qué criterio se siguió para ordenarlos? 7. ¿Qué significa – 8 en la columna DIF de la tabla para el equipo Atlético? 8. Sabiendo que el equipo Linces anotó 55 goles en 34 partidos, calcule cuántos goles anotó por partido, aproximadamente. 9. ¿Qué equipo ocupó el duodécimo lugar en la tabla de posiciones?

Verifique sus respuestas y corrija si es necesario.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Después de analizar la tabla de posiciones y toda la información disponible, la comisión va a organizar su torneo con 10 equipos. Conteste en su cuaderno las preguntas relativas a dicha organización. 10. Si hay 10 equipos, ¿cuántos partidos tendrá que jugar cada uno de ellos si lo hace dos veces con cada uno de los demás equipos? 11. Suponga que uno de los equipos ganara todos sus partidos. ¿Cuántos puntos acumularía? 12. ¿Cómo sería la relación entre goles a favor y goles en contra para un equipo que en la columna DIF tuviera cero? 13. Un equipo que logró ganar el 50% de los partidos jugados y empatar la tercera parte del total restante, ¿con cuántos puntos terminaría el torneo? 14. Un equipo que lograra anotar 1.5 goles por partido, ¿cuántos goles habría anotado al finalizar el torneo?

Compare sus resultados con los de la clave. Corrija si hace falta.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 239

16/11/11 14:38

Narre cómo fue Cuando usted hojea una revista, un libro o el periódico, seguramente encuentra gran variedad de esquemas, tablas y gráficas. Éstas, en combinación con el texto escrito y el lenguaje matemático, representan una forma típica de mostrar información. En esta sesión interpretará información contenida en una gráfica.

¿Sabía usted que los comentaristas de futbol utilizan la palabra estadística para informar sobre los resultados del juego?

Lea detenidamente el siguiente texto. Al finalizar, sabrá interpretar la información en gráficas o tablas.

Interpretación de la información

RECUERDE La información contenida en gráficas o en tablas facilita el trabajo cuando se trata de analizar, interpretar y tomar decisiones.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 240

La presentación de resultados es muy empleada al final o en el intermedio de la transmisión de un partido de futbol. Por ejemplo, la gráfica comparativa que se muestra en la siguiente página representa la estadística de un partido de futbol entre los equipos Guadalajara y América. ¿Qué conclusiones puede usted tener respecto a este partido? ¿Podría usted decir cuál de los dos equipos jugó mejor? Observe que en cuanto a tiros a gol, el América fue más ofensivo, ya que tuvo mayor número de tiros; sin embargo, no supo aprovechar todas las oportunidades, como el Guadalajara, que a pesar de tener menor número de tiros, empató el partido.

16/11/11 14:38

Sesión 57 • Narre cómo fue

241 GUADALAJARA AMÉRICA 11 10

9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 Tiros a gol

Tiros de esquina

Fuera de lugar

Generalmente, el equipo más ofensivo es el que tiene mayor número de tiros de esquina. Es el caso del equipo América. En lo referente a fuera de lugar, por lo general, también el equipo más ofensivo es el que tiene un mayor número de éstos. Sin embargo, como se muestra en la gráfica, en el partido no se cumplió esto, porque el Guadalajara tuvo un mayor número de jugadas en fuera de lugar. Esto quiere decir que dicho equipo trató de sorprender con tiros largos, pero no tuvo una buena aplicación en el sistema de juego. En cuanto a la disciplina, el juego fue muy parejo, debido a que la diferencia en las barras de faltas y amonestados es mínima, mientras que en las barras de expulsiones no hay diferencia. Por otra parte, podemos construir una tabla de resultados a partir de la gráfica anterior. Los datos son: en tiros a gol,

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 241

Faltas

Amonestados Expulsados

Goles

Guadalajara 7, América 11; tiros de esquina, Guadalajara 4, América 6; fuera de lugar, Guadalajara 8, América 2; faltas, América 9, Guadalajara 7; amonestados, Guadalajara 3, América 2; expulsados, Guadalajara 1, América 1; goles, Guadalajara 2, América 2. ACTUACIÓN DE LOS EQUIPOS GUADALAJARA

ASPECTOS

AMÉRICA

7

Tiros a gol

11

4

Tiros de esquina

6

8

Fuera de lugar

2

7

Faltas

9

3

Amonestados

2

1

Expulsados

1

2

Goles

2

Lo anterior se conoce en el medio deportivo como estadísticas de un partido de futbol.

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

242

UN ANÁLISIS DEPORTIVO Rodrigo se presentó en una radiodifusora para hacer un examen de locución (pronunciación, medición de tono y nivel de voz) para narrar partidos de futbol. El encargado de aplicar el examen le presentó la siguiente gráfica, correspondiente al partido entre los equipos América y Cruz Azul, que se realizó el fin de semana.

AMÉRICA CRUZ AZUL 8 7 6 5 4 3 2 1

0 Tiros a gol

Tiros de esquina

Fuera de lugar

Faltas

Amonestados Expulsados

Goles

¿Podría usted comentar los aspectos más sobresalientes del partido? Pero antes de hacerlo conteste las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál fue el equipo más ofensivo? ¿Por qué? 2. ¿Cree usted que el equipo más ofensivo es el que gana el partido? ¿Por qué? 3. ¿Por qué cree que ganó el América? 4. ¿Qué puede comentar con respecto a la disciplina de ambos equipos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 242

16/11/11 14:38

Sesión 57 • Narre cómo fue

243

APLIQUEMOS LO APRENDIDO La siguiente información corresponde a los resultados de un partido de futbol entre los equipos Atlante y Necaxa. En tiros a gol, Atlante 8, Necaxa 6; tiros de esquina, Atlante 4, Necaxa 2; fuera de lugar, Atlante 3, Necaxa 2; faltas, Atlante 4, Necaxa 5; amonestados, Atlante 3, Necaxa 2; expulsados, Atlante 1, Necaxa 0; goles, Atlante 3, Necaxa 2. Elabore una tabla con estos datos, y a partir de ella construya una gráfica comparativa. Posteriormente, haga un comentario del partido.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Observe por televisión un partido de futbol, y cuando se presenten los resultados tome nota de ellos y elabore una gráfica. Posteriormente, muéstresela a otras personas que conozcan de futbol para que le den su opinión del partido con base en la gráfica. Finalmente saque sus conclusiones.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 243

16/11/11 14:38

La triada El triángulo es una de las figuras geométricas más simples. Lo encontramos en construcciones antiguas como las caras laterales de las pirámides de Egipto, en las velas de una embarcación y también en las estructuras de los edificios modernos. En esta sesión se muestra la forma de calcular el perímetro y el ‑área del triángulo.

¿Sabía usted que la estructura de un domo geodésico se construye uniendo varios triángulos, y que éstos pueden ser isósceles o equiláteros? ¿Conoce usted el Palacio de los Deportes que se encuentra en la ciudad de México? Su domo es geodésico.

RECUERDE ier El perímetro de cualqaundo figura se obtiene sum . la medida de sus lados

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 244

Lea con atención el texto siguiente y conocerá la manera de obtener el perímetro y área de un triángulo.

Perímetro y área del triángulo El campismo es un deporte que cada día es practicado por un mayor número de personas. Quienes salen de campamento deben llevar todos los aditamentos necesarios para establecerse en el lugar elegido. Así que, además de la mochila donde se cargan los instrumentos necesarios, se suele llevar una tienda de campaña.

16/11/11 14:38

Sesión 58 • La triada

245 ¿Sabe usted cómo son las tiendas de campaña? ¿Todas tienen la misma forma y tamaño? En las formas diseñadas para ellas se reconocen figuras que nosotros ya manejamos. A continuación se ilustra la cara frontal de una casa de campaña. Los vértices PQR representan las esquinas del soporte o tubo de aluminio que levanta la casa. ¿Qué figura geométrica reconoce en este soporte? R

R

1m

P

Una forma sería la siguiente: Observe el segmento RS que representa la cremallera o cierre de la casa de campaña. ¿Cómo es este segmento con respecto a PQ? Así es, RS es perpendicular a PQ y representa la altura del triángulo PQR. Fíjese que este segmento divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales o congruentes. Si el triángulo PSR se coloca invertido a la derecha del triángulo SQR, ¿qué figura se forma? ¿Podría calcular el área de la misma? P

1m

0.80 m

Q

¡Correcto! Tiene la forma de un triángulo y, como dos de sus lados son iguales o congruentes, se trata de un triángulo isósceles. ¿Cómo saber la cantidad de aluminio que se necesita para construirlo? ¡Muy bien! Para calcularla se recurre a las medidas del contorno de la figura, esto es, a su perímetro, el cual se obtiene al sumar 0.80 m + 1 m + 1 m = 2.80 m. De modo que se necesitarán 2.80 m de tubo de aluminio para construirlo. Ahora, bien, si quisiera saber la cantidad de tela que se necesita para la cara frontal, debería calcular el área del frente de la casa de campaña. ¿Cómo lo haría?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 245

0.92 m

S

S

0.40 m

Q

¡Por supuesto que puede! Porque la figura formada es un rectángulo, y usted sabe que su área se obtiene multiplicando la medida de la base por su altura; esto es, 0.40 m x 0.92 m = 0.368 m2 = 3 680 cm2. Entonces, el área del triángulo formado por el soporte de aluminio es de 3 680 cm2.

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

246

Un procedimiento general se ilustra a continuación. R

Q'

h

P

S

Q

Note que se traslada el segmento PQ en forma paralela hasta el vértice R, de tal manera que el punto P coincida con el vértice R. Se hace lo mismo con el segmento PR, de manera que este segmento una los puntos Q’ y Q. A la figura resultante PQQ’R se le llama paralelogramo, porque sus lados opuestos son paralelos entre sí. Para calcular el área de un paralelogramo se multiplica la base por su altura; en este caso el área es: 0.80 m x 0.92 m = 0.736 m2 = 7 360 cm2.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 246

Pero, en este caso, se utilizaron dos triángulos isósceles congruentes para formar el paralelogramo PQQ’R; entonces, para conocer el área de cada triángulo, se tendrá que dividir el área del paralelogramo entre dos; esto es, 0.736 m2 ÷ 2 = 0.368 m2, o bien, 3 680 cm2. Retomando el problema de la casa de campaña, se tiene que el área de la cara frontal se obtiene al multiplicar 0.80 m x 0.92 m, y dividiendo ese resultado entre dos, lo que da 0.368 m2 ó 3 680 cm2 como resultado. En general podemos decir que la fórmula para calcular el área A de cualquier triángulo es: A = b xh 2 donde b representa la medida de la base y h la medida de la altura del triángulo. Es decir, se obtiene al multiplicar la medida de su base por la de su altura, y ese resultado se divide entre dos.

06/12/11 11:41

Sesión 58 • La triada

247

BANDERINES TRIANGULARES En la población de San Pablo, la gente se organizó para celebrar las fiestas de la independencia de México con actos oficiales, ferias y competencias deportivas. Para ello se adornaron las calles con banderas multicolores de una gran variedad de formas geométricas‚ como las siguientes:

APLIQUEMOS LO APRENDIDO En la figura que se muestra a continuación, realice las siguientes actividades. C

A

D

F

E

B

7. Tomando en cuenta los puntos C, D, E, y F, y el segmento AB, trace los triángulos ABC, ABD, ABE,y ABF, utilizando un color diferente en cada caso. De acuerdo con la medida de sus lados, ¿qué nombre recibe cada uno de ellos? 8. Trace, en cada triángulo dibujado, la altura sobre el lado AB. ¿Cree usted que las alturas dibujadas tienen las misma medida? Compruebe su respuesta midiendo cada una de ellas. 1. Mida cada lado del banderín para las carreras de caballos. 2. ¿Cuál es el perímetro de esta figura en decímetros? 3. Trace una de las alturas del triángulo que forma el banderín para el torneo de futbol. ¿Cuánto mide? 4. Calcule el área de este banderín en milímetros cuadrados. 5. ¿Cuál es el área del banderín para las peleas de gallos? 6. ¿Qué banderín tiene mayor área?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 247

9. ¿Cree usted que la superficie que ocupa cada triángulo es la misma? Calcule el área de cada triángulo dibujado. La respuesta que dio anteriormente, ¿coincide con las áreas obtenidas? 10. Mida los lados de cada triángulo y calcule su perímetro. ¿Obtuvo el mismo resultado en todos los casos? 11. ¿A qué conclusión llega después de haber realizado estas actividades? Escríbala en su cuaderno.

Compare sus respuestas con las de la clave y si cometió algún error, corríjalo.

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

248

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva el siguiente problema: El perímetro de la alberca que se muestra a continuación es de 72 m.

12. ¿Qué forma tiene la alberca, y cuál la parte sombreada? 13. ¿Cuántos triángulos iguales al sombreado componen la alberca? 14. ¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo sombreado, si su altura es de 10.4 m? 15. ¿Cuál es el área de la alberca?

Compare sus respuestas con las de la clave y si cometió algún error, corríjalo.

Para saber más acerca de este tema, observe el programa de televisión.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 248

16/11/11 14:38

Juegos y pasatiempos Nunca diga ¡no puedo! Tenga paciencia, analice y eche a volar su imaginación. Así le será más fácil resolver los siguientes ejercicios. Resuelva los problemas que se plantean a continuación, y si necesita hacer dibujos u operaciones utilice su cuaderno. 1. Los siguientes dibujos muestran dos formas diferentes de dividir un cuadrado en cuatro partes iguales.

¿Qué otras formas se le ocurren? Hágalo por lo menos de cinco formas más. Utilice papel cuadriculado o punteado. 2. ¿Cómo partiría un pastel circular en ocho pedazos iguales con tres cortes únicamente?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 249

24/11/11 13:09

Unidad 5 • Los deportes

250

3. El área del cuadrado sombreado del siguiente tablero es de 1 cm2. Dibuje en el mismo tablero triángulos con áreas de cm2, 1 cm2, 1 cm2, 2 cm2, 2 cm2 y 3 cm2.

4. Dibuje la siguiente figura sin despegar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma línea. A

B

C D

E

F

5. Andrés y José Luis dan vueltas a un patio circular que tiene 30 metros de circunferencia; en la misma dirección y empezando juntos, Andrés se tarda un minuto en cada vuelta y José Luis se tarda un minuto y medio. Al cabo de una hora, ¿cuántas veces habrá rebasado Andrés a José Luis?

Compare sus respuestas con las de la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 250

16/11/11 14:38

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • Características de los poliedros. • Área del cuadrado y del rectángulo. • Variación perímetro-área. • Medidas agrarias. • Longitud de la circunferencia y semicircunferencia. • Área del círculo. • Proporcionalidad directa. • Problemas de conteo. • Interpretación de la información. • Perímetro y área del triángulo.

—R  ealice una síntesis del contenido principal de cada uno de los temas anotados anteriormente. —S  i aún le quedan dudas de algún tema, regrese a él y analícelo con más detenimiento. —D  iga cuáles de los temas desarrollados en esta unidad le han sido útiles en su trabajo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 251

16/11/11 14:38

Unidad 5 • Los deportes

252

Lea la siguiente información y realice las actividades propuestas.

127.5 cm

30 cm

El billar es un juego de destreza que se ejecuta impulsando una bola de marfil con un palo llamado taco en una mesa rectangular forrada de paño o lana. En el billar existen varios tipos de juego, entre los cuales está el pool. En la siguiente figura se muestra la vista superior de una mesa de billar utilizada para el pool. También se encuentra un marco en forma de triángulo equilátero que sirve para ordenar de manera triangular las 15 bolas en el centro de la mesa, las cuales deben introducirse en los hoyos llamados buchacas, que se encuentran en los vértices de la mesa y en la parte media de los lados más largos de la misma.

255 cm

1. De acuerdo con la figura, diga cuál es el perímetro de la mesa de juego. 2. ¿Cuál será su área? Dé su resultado en centímetros cuadrados y en metros cuadrados. 3. Si en un salón de billar se tienen siete mesas y se requiere cambiar el paño sobre el que se juega, diga cuántos metros de tela se necesitará comprar. Considere que el rollo de paño tiene 1.30 m de ancho. 4. ¿A cuántos metros cuadrados equivale esta cantidad de tela? 5. Si el tapicero cobra lo mismo por cada mesa y por las siete mesas cobra $2 625.00, ¿cuánto cobraría por tapizar sólo tres de ellas?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 252

16/11/11 14:38

Sesión 60 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

253

6. Si el triángulo utilizado para ordenar las 15 bolas del pool tiene una altura de 26 cm, determine su perímetro y su área. 7. Los círculos que se encuentran dentro del triángulo ubicado en el centro de la mesa representan las bolas utilizadas en el juego. a) S  i cada círculo tiene un diámetro de 5.5 cm, ¿cuál es su área? Trunque su resultado a décimos. b) ¿Cuál es el área de los 15 círculos? c) ¿Cuál es el perímetro de cada círculo? 8. Si el terreno donde está ubicado el salón de billar es de forma cuadrada y tiene una área de 196 m2: a) ¿A cuántas centiáreas equivale? b) ¿A cuántas hectáreas equivale? c) ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados del terreno?

Compare sus respuestas con las de la clave.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 253

16/11/11 14:38

Lo que hemos aprendido El propósito de esta sesión es que usted repase los conocimientos adquiridos en el transcurso de esta unidad. Así se dará cuenta si aún se le dificultan algunos temas, con lo que buscará la manera de comprenderlos.

Realice lo que se indica a continuación.

I. Complete los siguientes enunciados:

1. Los _______________________ son cuerpos limitados por caras planas en forma de polígonos. 2. El prisma es un poliedro que tiene dos bases de la misma forma y cuyas caras laterales tienen forma de ______________. 3. Se les llama ______________ a los poliedros que sólo tienen una base y cuyas caras laterales son triangulares. 4. El ______________ es un poliedro regular que tiene seis caras iguales. 5. La expresión A =

π

r

r

2 sirve para calcular _________________________.

6. La expresión 2 π se puede representar también de la forma _______, y sirve para calcular __________________ de __________________.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 254

24/11/11 13:10

Sesión 61 • Lo que hemos aprendido

255

II. Realice lo que a continuación se pide:

1. En la siguiente figura se muestra el área de uno de los cuadrados que está dentro del rectángulo. 64 mm2

Calcule: a) La longitud de los lados del cuadrado. b) El largo y ancho del rectángulo. c) El perímetro del rectángulo en centímetros. d) El área del rectángulo en milímetros cuadrados.

III. Resuelva los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo radio mide 5.2 cm? ¿Cuánto mide la longitud de su circunferencia? 2. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados miden 6.6 cm? 3. ¿Cuál es el área del triángulo anterior si su altura es de 5.7 cm?

Compare sus respuestas con las de la clave. Si no coinciden, revise detenidamente sus procedimientos para que corrija donde se equivocó.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 255

16/11/11 14:38

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 256

16/11/11 14:38

UNIDAD

EL COMERCIO

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 257

16/11/11 14:38

A

l ver la asesoría semanal por televisión, ¿toma nota de aquellos conocimientos que le son útiles, o de aquellos que no le quedan claros? Si hasta ahora no lo ha hecho, le sugerimos que al ver la asesoría por televisión, tenga a la mano lápiz y papel y anote todo aquello que sea de su interés. Material para esta unidad: cuaderno de trabajo, calculadora de bolsillo, juego de geometría: regla, compás, escuadras y transportador.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-205-258.indd 258

16/11/11 14:38

Armado de cajas Para que duren más, algunos comestibles son empacados en cajas especiales de tetrapak, las cuales, por lo general, tienen forma de cubo o de paralelepípedo recto. En esta sesión veremos el procedimiento que se sigue para el trazo y construcción del cubo y del paralelepípedo recto. Lea el siguiente texto, donde aparece la explicación del procedimiento que se sigue para trazar y armar un cubo y un paralalepípedo recto.

¿Sabe usted qué significa el término tridimensional?

RECUERDE Un paralelepípedo recto es un cuerpo geométrico formado por seis caras rectangulares. Sus caras opuestas son paralelas.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 259

Desarrollo y armado del cubo y del paralelepípedo recto Para algunos productores es muy útil y práctico distribuir sus productos empacados en cajas de cartón. Si se desea conocer la cantidad de cartón que se requiere para hacer una caja es necesario realizar un patrón o desarrollo plano. ¿Sabe usted cómo hacer un patrón de una caja de cartón? Si no es así, consiga una, ya sea de cereal, jugo, harina de arroz o almidón. Estará de acuerdo en que cualquiera de estas cajas tiene forma de paralelepípedo recto. ¿Cuántas caras tiene una caja de este tipo? ¡Claro! Tiene seis caras. Ahora desármela de tal forma que queden extendidas todas sus caras. Note que las seis están separadas por los dobleces que tenía la caja, los cuales representan las aristas. ¿Qué forma tienen las caras de la caja? Sí, tienen forma de paralelogramos, y el tamaño de éstos determina el tamaño de la caja.

24/11/11 13:20

Unidad 6 • El Comercio

260 Ahora observe las siguientes figuras en las que se muestran dos cajas desarmadas.

A

B

C

D

Después, dibuje dos cuadrados más, uno arriba y otro abajo del primer cuadrado. Con esto ya se tienen trazadas las seis caras del cubo.

F

Ahora bien, si usted quisiera hacer una caja similar a la que acaba de desarmar, pero de otro tamaño, sería conveniente seguir algún procedimiento que facilite su construcción y que lo lleve a lograr un buen trabajo. A continuación se le presentan los pasos a seguir en el trazo del desarrollo plano de un cubo y de un paralelepípedo recto. Cubo Trace un cuadrado de las dimensiones que se indican. Este cuadrado representa una cara del cubo. 3 cm

A

B

C

D

E

Por último, dibuje las cejas, que irán ocultas y servirán para unir las caras. Para armar la caja, recorte el desarrollo plano, obteniendo una sola pieza. Hága los dobleces sobre las aristas y pegue las cejas en su lado de ajuste.

3 cm

F

A

B

C

D

E Enseguida, trace tres cuadrados más, de manera que queden alineados y unidos al primero.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 260

16/11/11 15:05

Sesión 62 • Armado de cajas

261 Paralelepípedo recto

D

Primero trace el paralelogramo A con las dimensiones señaladas. F

2.5 cm

B

A continuación, dibuje las caras B, C, D y E alrededor del primer paralelogramo, con las medidas que se indican y que, en este caso, representan las caras laterales de la caja. 2.5 cm

1.5 cm

C

A

4 cm

A

E

D

Fíjese que cuando se trazó la cara A del paralelogramo se manejaron dos dimensiones: largo (2.5 cm) y alto (4 cm), pero cuando se dibujaron las caras B, C, D y E alrededor del paralelogramo, se manejó una tercera dimensión: el ancho (1.5 cm). Dicha medida es la que da la tercera dimensión a ese cuerpo. Por lo tanto, ya estuvo manejando tres dimensiones (largo, alto y ancho). Y, si algo es tridimensional, se trata de un cuerpo. (Largo)

A

C

4 cm

E

1 Dimensión

Finalmente, trace el paralelogramo F con las mismas medidas de A. Al igual que en el cubo, trace las cejas que ayudarán a unir las caras y doble el patrón sobre las líneas de trazo que serán las aristas del paralelepípedo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 261

(Largo) 2 Dimensiones

(Altura)

o)

1.5 cm

ch

B

(A n

1.5 cm

(Alto)

(Largo) 3 Dimensiones

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

262

En algunas ocasiones es necesario representar el cubo y el paralelepípedo recto en forma tridimensional en un solo plano, es decir, en un dibujo. Para representar las aristas ocultas, se trazan líneas punteadas como se observa en la siguiente figura.

F

D

C

A

A

B

E

E

D C

B

F

ENVASES DE LECHE

10 cm

Una industria de lácteos pidió a una fábrica de envases de cartón que le presentara el diseño de un envase que fuera práctico e irrompible, pues estaba por lanzar al mercado una nueva marca de leche. El diseño presentado fue semejante al de un paralelepípedo recto. A continuación verá el dibujo tridimensional del envase y las medidas que tendrá.

6 cm

4

cm

Haga usted, en cartulina y con las medidas que se indican, los trazos necesarios para el diseño plano; luego recórtelo y arme el envase.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 262

01/12/11 15:03

Sesión 62 • Armado de cajas

263

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Realice en su cuaderno lo que se le pide.

Realice los siguientes ejercicios.

1. Haga el desarrollo plano, por separado, de cada una de las partes del edificio A y B del siguiente dibujo. Represente cada 5 m del cuerpo con un centímetro en su dibujo. Posteriormente, ármelo.

5. Con material de desecho (cartoncillo de caja de galletas, de cereal, papel fantasía) construya un cubo que tenga 5 cm de longitud por lado. Recuerde que tiene que marcar las aristas antes de doblarlas.

15 m

15

m

15 m

4. Dibuje en su cuaderno diferentes formas para el desarrollo plano de un cubo.

B

45 m

A

6. Ubique frente a usted el cubo que construyó en el ejercicio anterior y dibújelo tal como lo ve. El dibujo resultante es un dibujo en perspectiva.

35

m

Compare sus figuras con la de la clave, y de ser necesario, corrija.

25 m

2. Calcule el perímetro original de la base del cuerpo A del edificio. 3. ¿Qué área real tendrá la cara frontal del cuerpo B del edificio?

Observe el programa de televisión donde encontrará más información acerca de este tema.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 263

16/11/11 15:05

Cajas de sorpresa ¿Ha visto la gran variedad de cajas que hay para guardar regalos? Cada vez son más ingeniosas en su forma y decorado. La forma más común de caja es la de cubo y paralelepípedo recto. En esta sesión le enseñaremos cómo calcular la cantidad de material empleado en la elaboración de cajas.

¿Sabía usted que una hoja de papel tiene tres dimensiones: largo, ancho y grosor?

Lea con atención el siguiente texto, donde verá cómo se calcula la cantidad de material para hacer una caja.

Áreas lateral y total del cubo y del paralelepípedo recto

RECUERDE La arista es la unión de dos caras en un cuerpo geométrico.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 264

Ana Luisa es ama de casa, y debido a que el sueldo de su marido ya no alcanza para todos los gastos que deben realizar, pensó en elaborar y vender cajas decoradas que sirvieran para envolver regalos. Así que investigó cómo hacer los trazos y el costo del material que debía emplear. ¿Qué trazos imagina usted que será necesario que conozca Ana Luisa? ¡Así es! Ella deberá realizar el desarrollo plano o el patrón del cubo y del paralelepípedo recto y, con base en esto, calcular la cantidad y costo del material necesario. ¿Recuerda usted cómo es el desarrollo plano de los cuerpos mencionados?

16/11/11 15:05

Sesión 63 • Cajas de sorpresa

265

Ana Luisa pensó que podría hacer cajas de diferentes tamaños. Reproduzca usted en cartulina el desarrollo plano del cubo dado anteriormente, quintuplicando las medidas y después recórtelo y ármelo. ¿Cuánto material va a necesitar? ¿Cómo lo calculará? Para saber la cantidad de material que se empleará es necesario que calcule el área que ocupa el desarrollo plano. ¿Sabe usted hacerlo? Observe que el cubo está formado por seis caras cuadradas y para calcular el área de un cuadrado se multiplica la medida de dos de sus lados, es decir, se eleva al cuadrado la medida de la arista. Esto es, 52 = 5 x 5 = 25, pero como el cubo consta de seis caras iguales, el área de una de ellas debe multiplicarse por seis, de donde se tiene que, 25 x 6 = 150. Así que para el cubo que usted va a construir ocupará 150 cm2 de cartulina. ¿Podría representar el anterior procedimiento por medio de una fórmula? ¿Cuál? Lo que acabamos de calcular se conoce como área total (AT) del cubo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 265

Ya teniendo esta medida, Ana Luisa puede calcular el costo del material que empleará en cada caja y la ganancia que desea obtener de cada una. Ahora, cabe aclarar que no siempre se presenta la necesidad de calcular el área total de cubo, sino que sólo es necesario conocer el área de las caras laterales, esto es, que no se consideren las caras superior e inferior llamadas también bases. ¿Cómo se calculará dicha área? ¿Qué nombre cree usted que se le dé? ¡Correcto! Como lo que se desea calcular es el área que ocupan sólo cuatro de sus caras, bastará con multiplicar el área de una de ellas por cuatro, lo cual, para el desarrollo que usted hizo, da como resultado 100 cm2, y se le conoce como área lateral (AL) del cubo. Ana Luisa no sólo quiere hacer cajas en forma de cubo, también pensó en construir cajas en forma de paralelepípedo recto, aunque ella no sabía que recibía ese nombre el diseño en el que pensó. ¿Cómo cree usted que podría calcular Ana Luisa el área lateral y el área total del paralelepípedo recto? ¿Cómo son las caras de un paralelepípedo recto? Observe la figura. 12

9 cm

Anote el nombre del cuerpo al que pertenecen los siguientes desarrollos:

cm

F

A

B

15 cm

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

266

¡Así es! Son rectángulos. Y, ¿cómo se calcula el área de un rectángulo? ¡Muy bien! multiplicando su base por su altura que en este caso corresponden al largo y altura del cuerpo. Así que, si las caras laterales B y D miden 12 cm de largo y 9 cm de altura, al multiplicarlos se obtiene 108 cm2, para una cara, 216 cm2 para las dos caras iguales. Además, las caras A y C miden 9 cm de altura por 15 cm de largo, de donde 15 x 9 = 135 cm2 para una de las dos caras y 135 x 2 = 270 cm2 para las dos caras. Por lo tanto, el área lateral (AL) de la caja será de 486 cm2, que resulta de sumar el área de las cuatro caras laterales A, B, C y D (lateral derecha, lateral izquierda, frontal y posterior). Cara lateral izquierda (D) Cara frontal (A)

Cara posterior (C)

Si se desea calcular el área total de este cuerpo, bastará con calcular el área de sus dos bases y sumarla al área lateral. Las bases E y F del paralelepípedo, es decir, de la caja, miden 12 cm de ancho por 15 cm de largo, por lo tanto, el área de una de ellas es 180 cm2, y el área de las dos bases será de 360 cm2. Al sumar el área lateral (486 cm2) con el área de las bases (360 cm2) obtenemos el área total (AT) que es de 846 cm2. Como conclusión tenemos que, para calcular el área lateral de un cubo o de un paralelepípedo recto, basta con sumar el área de cada una de sus cuatro caras laterales. Y, para calcular el área total de los mismos cuerpos, se suma el área lateral al área de sus dos bases; dicho de otra forma, AT = AL + 2AB.

Cara lateral derecha (B)

CAJAS DE CARTÓN Aura tiene un negocio de venta y distribución de cajas de cartón. Recientemente recibió un pedido de 50 cajas de 50 cm de largo, 40 cm de ancho y 30 cm de altura, las cuales deben estar totalmente forradas. ¿Qué cantidad de papel necesitará para forrarlas? 1. Dibuje la caja con sus caras extendidas en un solo plano. Represente cada 10 cm de la caja con 1 cm en su dibujo. 2. Coloree de verde las caras laterales y de amarillo las caras inferior y superior.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 266

16/11/11 15:05

Sesión 63 • Cajas de sorpresa

267 3. Diga qué forma tiene la caja y a qué grupo de poliedros pertenece. 4. Calcule el perímetro y el área de la base de la caja. 5. Calcule el área lateral de la caja. 6. Calcule el área total de la caja.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

7. Calcule la cantidad de papel (en metros cuadrados) que se requiere para forrar las 50 cajas.

Joel pintará las paredes de una bodega, cuyas medidas de frente fondo y altura son de 3.6 m cada una. 14. ¿Qué forma tiene la bodega?

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Carolina tiene el encargo de hacer un presupuesto para cambiar el azulejo de una alberca del Deportivo México y necesita saber cuánto va a cobrar por ese trabajo la empresa para la que ella trabaja. La alberca mide 25 m de largo, 12 m de ancho y 1.5 m de profundidad. 8. ¿Qué forma tiene la alberca? Dibújela en su cuaderno. 9. Calcule el área del piso de la alberca. 10. Diga cuánto mide la superficie de cada pared de la alberca.

15. ¿Cuánto mide la superficie de cada pared? 16. ¿Cuál es el área lateral de la bodega? 17. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan, si se sabe que un litro de pintura alcanza para pintar 3 m2 de superficie? 18. Si compra una cubeta de pintura (19 litros), ¿cuántos litros le sobrarán?

Compare sus respuestas con las de la clave y en caso necesario, corrija.

11. ¿Cuál es el área lateral de la alberca? 12. ¿Cuál es el área total de la alberca? Tenga presente que la alberca no tiene techo pero si tiene piso. 13. Si la constructora cobra $70.00 por metro cuadrado, incluyendo material y mano de obra, ¿cuál será el costo total?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 267

Observe el programa de televisión, donde encontrará más información sobre este tema.

16/11/11 15:05

¿Compra envase o contenido? Usted se habrá dado cuenta de que productos como aceite, leche, jugo o refrescos se venden empacados con diferentes formas de presentación, pero con el mismo contenido. ¿Se ha preguntado, por curiosidad, qué relación hay entre la cantidad del contenido y la medida del envase? ¿Le gustaría conocerla? En esta sesión encontrará la respuesta a ésta y otras cuestiones igual de interesantes.

¿Sabe usted la diferencia que existe entre volumen y capacidad? ¿Conoce las unidades de medida para cada una?

RECUERDE

Lea con atención el siguiente texto en el que conocerá el significado de volumen y capacidad.

Volumen y capacidad Las nieves son almacenadas en depósitos, que a su vez están ubicados en refrigeradores especiales para poder conservarlos por mayor tiempo. Algunos de los depósitos de nieve tienen la siguiente forma.

Un cuerpo es aquel que presenta las tres dimensiones: largo, ancho y alto. Todos los cuerpos ocupan un lugar en el espacio llamado volumen.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 268

16/11/11 15:05

Sesión 64 • ¿Compra envase o contenido?

269

Observe cada depósito mostrado anteriormente. A simple vista, ¿puede decir si el espacio que ocupa cada depósito es el mismo? Una manera de saber si los tres depósitos ocupan el mismo espacio es conociendo las medidas que tienen sus lados.

cm

cm

cm

30

30

30

25 cm B

25 cm A

4 cm

45 m

2 cm

45 m

45 m

0.5 cm

25 cm C

Para averiguarlo deberá multiplicar la medida de las tres dimensiones (largo por ancho por alto); esto es, 25 cm x 30 cm x 45 cm = 33 750 cm3. Como las medidas de los tres depósitos son iguales, entonces quiere decir que poseen el mismo volumen.

1m

En el sistema métrico decimal, la unidad fundamental de medida del volumen es el metro cúbico (m3), y se representa con un cubo que tiene un metro de longitud en cada arista.

1 1m

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 269

m

Observe que este metro cúbico también contiene cubitos que miden diez centímetros (1 dm) por lado, es decir, decímetros cúbicos. Si contamos estos decímetros cúbicos, nos daremos cuenta de que caben 1 000 en un metro cúbico. Cuando se presentan cuerpos con dimensiones mayores o menores que el metro cúbico, se recurre al uso de sus múltiplos como el kilómetro cúbico (km3), el hectómetro cúbico (hm3), el decámetro cúbico (dam3); o a los submúltiplos como el decímetro cúbico (dm3), el centímetro cúbico (cm3) y el milímetro cúbico (mm3). En el siguiente cuadro se presentan sus equivalencias: UNIDAD DE MEDIDA kilómetro cúbico hectómetro cúbico decámetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico

SÍMBOLO km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

EQUIVALENCIA 1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1 m3 3 0.001 m 0.000 001 m3 0.000 000 001 m3

Si el cuerpo es un sólido, es decir, si no presenta huecos en su interior, entonces sólo tiene volumen. Pero si tiene un hueco en el que pueda almacenar líquidos, entonces se dice que también tiene capacidad. Por ejemplo, en los depósitos presentados anteriormente aparece un hueco en el que se puede almacenar nieve; por lo tanto, dichos depósitos tienen capacidad. Sin embargo, la capacidad depende del espacio que existe entre las paredes del cuerpo que contiene al líquido.

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

270

Ahora, ¿a cuál de los depósitos le cabe menor cantidad de nieve? ¿Por qué? Con las medidas que tienen los depósitos de nieve, ¿cómo podría usted calcular qué cantidad de nieve le cabe a cada depósito? Para resolver esto, se calcula el volumen interior, o capacidad, de los depósitos. Pero es necesario tomar en cuenta el grosor de sus paredes. Por ejemplo, el depósito B tiene paredes de 2 cm de grosor; los 2 cm de cada lado se deben restar a sus dimensiones. Una vez hecho esto, se multiplican las tres dimensiones: 21 cm x 26 cm x 43 cm = 23 478 cm3. La capacidad o volumen interior del depósito B es de 23 478 cm3. Calcule la capacidad de los depósitos A y C y diga a cuál de los tres le cabe menos nieve. ¡Claro! Al depósito C. Así como existe una unidad para el volumen que ocupa un sólido, también existe para el volumen que ocupan los líquidos. Para este fin se emplean las medidas de capacidad, que tienen como unidad fundamental al litro (l). Un litro es equivalente a la capacidad que tiene un cubo cuya arista interior mide 1 dm. De aquí se establece una relación entre volumen y capacidad tal que 1 dm3 = 1 l. Las demás equivalencias se presentan en la siguiente tabla. De acuerdo con esta tabla, el depósito B, cuyo volumen interior corresponde a 23 478 cm3 , puede

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 270

almacenar 23.478 litros de nieve (23 478 x 0.001 l = 23.478 l). VOLUMEN

CAPACIDAD

1 m3

1 000 l

1 dm3

1l

1 cm3

0.001 l o 1 ml

10 dm3 100

dm3

1 dal o 10 l 1 hl

DEPÓSITOS DE PETRÓLEO El petróleo crudo es un líquido de color oscuro y olor fuerte que se encuentra en el interior de la tierra. Está compuesto por hidrocarburos (mezcla de hidrógeno y carbono) y otros elementos; arde con facilidad y, después de refinado, tiene diversas aplicaciones. Por ejemplo, se usa como combustible para aviones, automóviles, etcétera. El petróleo diáfano es un producto que se obtiene a partir de la refinación del petróleo crudo; se usa todavía en muchos hogares como combustible para las estufas, y también para lámparas. Un comerciante de petróleo diáfano almacena su producto en un depósito de forma cúbica que tiene 50 dm por lado. ¿Cuál es el volumen del depósito? Si las paredes de dicho depósito son de 20 cm de grosor, ¿cuál es su capacidad de almacenamiento en litros?

16/11/11 15:05

Sesión 64 • ¿Compra envase o contenido?

271

APLIQUEMOS LO APRENDIDO En su cuaderno realice las siguientes actividades:

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 1. En un aserradero había 3 hm3 de madera, y en un mes se vendieron partes de dicho volumen. ¿Cuántos metros cúbicos de madera quedaron al final del mes? 2. Un productor tenía en un depósito 2.5 hl de jugo de uva, volumen con el cual se llenaron 50 botellas con la misma cantidad cada una. ¿Cuál es la capacidad de dichas botellas? 3. Si una caja de chocolates, en forma de cubo, tiene un volumen de 27 cm3, ¿cuántas de estas cajas cabrán en otra caja, también cúbica, pero de 216 cm3?

Resuelva lo que se indica a continuación: 4. El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 80 l y, cuando está recién afinado, consume 89 cm3 de gasolina por cada kilómetro recorrido. a) ¿  Cuántos litros de gasolina se consumen por kilómetro recorrido? b) ¿  Cuál es la distancia recorrida con un litro de gasolina? Si por cada kilómetro recorrido consumiera 143.3 cm3. c) ¿  cuántos litros de gasolina se gastarán en 25 km de recorrido? d) ¿  Qué distancia recorre con 1 dm3? e) ¿Qué  distancia recorrerá con el tanque lleno?

Verifique sus resultados comparándolos con los de la clave, y corrija en caso necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 271

16/11/11 15:05

¡Qué pesado! En la venta de productos alimenticios se emplean algunas medidas como, por ejemplo, la tonelada, el kilogramo, el litro, el mililitro, etc. En esta sesión hablaremos sobre los múltiplos y submúltiplos de las medidas de peso y capacidad.

¿Sabe usted cuál es la medida de peso y cuál la de capacidad usadas con mayor frecuencia en los medicamentos?

RECUERDE Magnitud es todo aquello que se puede medir. Por ejemplo, el tiempo, la distancia, la altura, el peso, el volumen, etcétera.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 272

Lea atentamente el texto que aparece a continuación, en él conocerá la manera de realizar operaciones con distintas unidades de medida.

Medidas de peso y capacidad En algunas ocasiones es necesario sumar diversas cantidades de peso que están dadas en distintas unidades de medida, por ejemplo, unas en toneladas y otras en kilogramos. Daniel es transportista y desea saber cuál es el peso total de la carga que transportó en dos días, de la población de San Carlos a la central de abastos de Cuautla. Si el primer día llevó tres toneladas de maíz y 1 550 kg de arroz, el segundo día 375 kg de huevo y 2.5 toneladas de fruta y verdura, ¿es posible sumar directamente el peso de la mercancía? ¿Usted qué haría para sumarla? ¡Claro! Para poderlas sumar es necesario convertir todas las cantidades a la misma unidad de medida. Hay que convertir la cantidad de toneladas a kilogramos, o bien, el número de kilogramos a toneladas.

16/11/11 15:05

Sesión 65 • ¡Qué pesado!

273

La unidad fundamental para medir el peso es el kilogramo (kg), pero cuando existen cantidades muy grandes o muy pequeñas es de mayor utilidad usar los múltiplos o submúltiplos del kilogramo. Para cantidades de peso mayores de 1 000 kg se emplea la tonelada (tm), que equivale a 1 000 kg, es decir, 1 tm = 1 000 kg, y el quintal (q), que es equivalente a 100 kg, o sea, 1 q = 100 kg. En cantidades pequeñas se emplea el hectogramo (hg), que es la décima parte del kilogramo, esto es, 1 hg = kg = 0.1 kg; el decagramo (dag), que corresponde a la centésima parte del kilogramo, es decir, 1 dag = kg = 0.01 kg, y el gramo (g), que es la milésima parte del kilogramo, o bien, 1 g = kg = 0.001 kg. Lo anterior se resume en el siguiente cuadro: UNIDAD DE MEDIDA

tonelada quintal hectogramo SUBMÚLTIPLOS decagramo gramo MÚLTIPLOS

SÍMBOLO EQUIVALENCIA

tm q hg dag g

kg kg 100 0.1 kg 0.01 kg 0.001 kg

1 000

Si para resolver el problema planteado decide que quiere conocer el peso en kilogramos, el procedimiento será el siguiente: El primer día Daniel transportó 3 tm de maíz y 1 550 kg de arroz. Dado que una tonelada es igual a 1 000 kg, 3 toneladas son: 3 x 1 000 kg = 3 000 kg. En total, el primer día llevó 4 550 kg. El segundo día llevó 2.5 tm de fruta y verdura y 375 kg de huevo. Al convertir las 2.5 toneladas a kilogramos, se obtiene: 2.5 x 1 000 kg = 2 500 kg.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 273

Así vemos que el segundo día transportó 2 875 kg. Ahora sí podemos calcular el peso total de la carga, expresada en kilogramos; 4 550 kg + 2 875 kg = 7 425 kg. Si usted elige la segunda opción, entonces tendrá que convertir a toneladas las cantidades dadas en kilogramos. El primer día llevó 3 tm de maíz y 1 550 kg de arroz; como un kilogramo es la milésima parte de la tonelada, entonces para convertir 1 550 kg en toneladas debe dividirse 1 550 entre 1 000, lo que da como resultado 1.550 tm. El segundo día transportó 2.5 tm de fruta y verdura y 375 kg de huevo, esto es, 375 ÷ 1 000 = 0.375 tm. Así, el peso buscado es: 3 tm + 1.550 tm + 2.5 tm + 0.375 tm = 7.425 tm

( )

En conclusión, se puede establecer que para convertir unidades de peso mayores en unidades menores se multiplica la cantidad por 10, 100 ó 1 000, según corresponda a la unidad equivalente, y si lo que desea es convertir unidades de peso menores a mayores, debe realizarse la operación inversa, es decir, dividir entre 10, 100 ó 1 000, de acuerdo con el valor equivalente. En el área de investigación y, sobre todo, en la industria farmacéutica, se emplean cantidades muy pequeñas como el decigramo (dg), que corresponde a la décima parte del gramo, es decir, 1 dg = g = 0.1 g; el centigramo (cg), que es la centésima parte del gramo, o bien, 1 cg = g = 0.01 g; y el miligramo (mg), que equivale a la milésima parte del gramo, o sea, 1 mg = g = 0.001 g. Esto se resume en el siguiente cuadro:

24/11/11 13:26

Unidad 6 • El Comercio

274 UNIDAD DE MEDIDA

SÍMBOLO EQUIVALENCIA

decigramo

dg

0.1 g

centigramo

cg

0.01 g

miligramo

mg

0.001 g

Por otra parte, tenemos las unidades de capacidad, que nos sirven para medir o saber cuánto líquido puede contener un recipiente. Recuerde que la unidad fundamental para medir la capacidad es el litro (l) y, al igual que las demás magnitudes, también tiene múltiplos y submúltiplos, los cuales se presentan en el siguiente cuadro:

UNIDAD DE SÍMBOLO EQUIVALENCIA MEDIDA k i l o l i t ro

kl

1 000 /

hectolitro

hl

100 /

decalitro

dal

10 /

litro

/

1/

decilitro

dl

centilitro

cl

mililitro

ml

1 / = 0.1 / 10 1 100 / = 0.01 / 1 1 000 / = 0.001 /

Enseguida se presenta una situación donde se hace uso de estas unidades. Emilio, el boticario, tiene que envasar un decalitro de aceite de almendras en frascos de un centilitro de capacidad. ¿Cuántos frascos tendrá que llenar? Para ello tenemos que calcular cuántos centilitros hay en un decalitro.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 274

Como un decalitro equivale a 10 litros y un centilitro es igual a 0.01 litros, entonces se divide la cantidad de aceite de almendras (10 litros) entre la capacidad de los frascos (0.01 litros), esto es, 10 ÷ 0.01 = 1 000. Por lo tanto, serán 1 000 frascos de aceite de almendras los que podrá llenar Emilio.

EL PESO DE LA MERCANCÍA Guillermo es comerciante de mayoreo y necesita transportar, de la bodega principal a la tienda de uno de sus clientes, media tonelada de maíz, 25 costales de arroz que pesan 50 kg cada uno, 25 cajas de café con 24 frascos de 50 g cada uno y 5 cajas de huevo de 23.5 kg cada una. 1. ¿Cuál es el peso total, en kilogramos, de la mercancía que transportará Guillermo? 2. Si el camión de carga que tiene Guillermo puede transportar 1.5 tm, ¿cuántos viajes tendrá que hacer para entregar esa carga? 3. Cuánto cobrará Guillermo por toda la mercancía que va a entregar, si los precios que él ofrece son los siguientes: tonelada de maíz $1 800.00, costal de arroz $110.00, kilogramo de huevo $8.50 y $4.50 frasco de café.

24/11/11 13:26

Sesión 65 • ¡Qué pesado!

275

APLIQUEMOS LO APRENDIDO ¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva el siguiente problema. 4. Emilio mezcla 10 g de la sustancia A y 120 g de la sustancia B, en un litro de agua, para preparar una sustancia C. a) ¿  Cuántos mililitros equivalen a un litro? b) S  i sólo se requiere preparar 500 ml de la sustancia C, ¿qué cantidad de la sustancia A se requiere? y, ¿cuánto de la sustancia B? Tome en cuenta que las cantidades deben ser proporcionales.

El médico veterinario le recomendó a Samuel que le aplicara al becerro enfermo 1.5 ml de un cierto medicamento por cada 10 kg de peso del animal. 5. Si el becerro pesa 80 kg, ¿cuántos mililitros del medicamento tendrá que inyectarle? 6. Si el frasco de medicamento contiene 125 ml, ¿para cuántas aplicaciones le alcanzará? 7. Escriba el número que falta para que se cumpla la igualdad. a) 8 ml = ______ cl b) 11 hl = ______ l

Verifique sus resultados con la clave. Si se equivocó, corrija.

c) 23 dl = ______ ml

Verifique sus resultados con la clave. Si se equivocó, corrija.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 275

16/11/11 15:05

Una de cal por las que van de arena En la vida cotidiana se presentan casos en que, al preparar ciertas mezclas, la cantidad de un elemento debe ser proporcional a la cantidad de otro. Por ejemplo, cuando se hace una mezcla de cemento y arena, la cantidad de cemento es proporcional a la cantidad de arena. En esta sesión, usted verá algunas situaciones de este tipo.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿Qué sabe acerca de la proporción que debe haber entre cemento, grava y arena para echar la losa de una casa?

RECUERDE Para calcular el área de un cuadrilátero se multiplican las longitudes de la base y la altura.

Lea el siguiente problema, analícelo y resuélvalo en su cuaderno. Enrique es albañil y necesita comprar el material que utilizará para echar la losa de la planta baja de una casa. El sabe que con una varilla de de pulgada cubre 2 un área de 1 m de losa (una varilla mide 12 m); y la proporción que requiere para preparar la mezcla es por cada 10 bultos de cemento (cada bulto contiene 50 kg) se requieren 0.6 m3 de grava y 0.9 m3 de arena. Con estas cantidades de material se cubre un área de 8.4 m2 de losa, con un espesor de 8 cm. 1. ¿Qué cantidad de arena, grava, cemento y varilla se requiere si la losa de la planta baja es de 50.4 m2? Considere varillas enteras. 2. ¿Cuál es el volumen de la losa? 3. Si para la planta alta se necesita una losa cuya superficie es 25% más grande que la losa de la planta baja, ¿qué cantidad de material se necesita para esta losa? 4. ¿Cuál es el volumen de dicha losa?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 276

16/11/11 15:05

Sesión 66 • Una de cal por las que van de arena

277 5. En la siguiente tabla se presenta el precio del material. Calcule el costo de cada material, tanto para la losa de la planta baja como para la planta alta, y obtenga el precio total del material de ambas losas.

LOSA LOSA MATERIAL CANTIDAD PRECIO PLANTA BAJA PLANTA ALTA grava cemento arena varilla

5 m3

$337.50

50 kg

$45.50

5 m3

$337.50

pieza

$39.40

6. Si se cobra $202.50 de mano de obra por cada 3 m2 de losa, ¿cuánto se tendrá que pagar por las dos losas? 7. La cimbra es un armazón provisional, y sobre ésta se construye la losa. Si la cimbra se renta a $225.00 por 4 m2, ¿cuánto costará la cimbra para la planta baja? 8. La superficie en la que se va a echar la losa tiene forma de rectángulo y sus medidas son 6 m x 8.4 m; sobre esta superficie se va a colocar la varilla, la cual debe fraccionar a dicha superficie en cuadrados de 20 cm x 20 cm, de tal manera que se formen líneas paralelas y perpendiculares. Dibuje esta superficie, así como las líneas que representarán la ubicación de las varillas en su cuaderno. Cada metro lo puede representar como 1 cm.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 277

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Armando, que es repartidor de comestibles, trabaja con ayuda de su bicicleta, en la que hace un recorrido diario de 52 km. Si la llanta de su bicicleta recorre 1 319.5 cm al dar siete giros completos: 9. ¿Cuántos giros dan sus llantas para recorrer los 52 km? 10. ¿Cuántos giros habrán de dar para recorrer una distancia de 41.5 km? 11. Si Armando recorrió los 52 km a una velocidad constante, en un tiempo de 6 horas y media, ¿cuánto partes tiempo tarda en recorrer de la distancia total? Dé su resultado en horas y minutos. 12. ¿En cuánto tiempo habrá recorrido 1.6 km? 13. Armando repartió botellas de aceite comestible; las 48 botellas tenían 47.472 litros, ¿qué cantidad de aceite contenían 15 botellas? 14. Si el volumen del líquido de 36 botellas de aceite es de 0.035 604 m3 ¿cuál es el volumen del líquido de 41 botellas? Dé su resultado en dm3. ¿A cuántos litros equivale el volumen?

Verifique sus respuestas con los de la clave. Si encontró algún error, corríjalo.

16/11/11 15:05

De diferentes maneras La necesidad de vernos vestidos de diferente manera cada día, sin contar con un presupuesto que nos permita comprar demasiada ropa, nos lleva a buscar combinaciones con la ropa que poseemos. En esta sesión usted verá situaciones en las que podrá obtener todas las combinaciones posibles con diferentes elementos. Lea el siguiente texto, que se refiere a problemas sencillos de conteo.

¿Sabía usted que si en una cocina económica hacen tres guisados, tres sopas y dos postres, podrían ofrecer dieciocho menús diferentes?

Problemas de conteo Cuauhtémoc es vendedor de ropa para caballeros. Con el fin de convencer a la clientela de que le compre ropa, utiliza una tabla que contiene todas las combinaciones que se pueden hacer. Por ejemplo, un cliente compra tres pantalones (azul, negro, verde y tres camisas (blanca, gris y rosa). ¿Usted podría decir cuántas combinaciones distintas puede hacer el cliente? Para verlo con claridad, resulta útil elaborar una tabla que contenga todas las combinaciones posibles, como se muestra a continuación:

RECUERDE La información contenida PANTALONES en tablas es más CAMISAS . ar et pr r te in de l fáci Blanca Gris Rosa

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 278

Azul p. azul y c. blanca p. azul y c. gris p. azul y c. rosa

Negro p. negro y c. blanca p. negro y c. g r i s p. negro y c. rosa

Verde p. verde y c. blanca p. verde y c. g r i s p. verde y c. rosa

24/11/11 13:28

Sesión 67 • De diferentes maneras

279

De la tabla de combinaciones mostrada anteriormente, usted observa que hay nueve formas diferentes para que se vista el cliente, pues ese es el número de combinaciones que resulta. Esta misma información puede presentarse por medio de un arreglo rectangular, en el cual cada pareja de objetos que aparece en la tabla queda representada por un punto del plano, como vemos a continuación:

ya no es suficiente con el arreglo rectangular. Vea de qué se trata:

PANTALÓN

CAMISA

Camisas

blanca

rosa gris

azul

gris

blanco rosa

azul negro verde

Pantalones blanca

Note usted que en el arreglo rectangular se colocó el primer elemento de cada pareja (pantalón) en el eje horizontal, y el segundo elemento (camisa) en el eje vertical. Por supuesto aparecen nueve puntos que corresponden al número de combinaciones que pueden hacerse con las prendas de vestir del cliente. El cliente también compró dos suéteres, uno blanco y otro negro. Por lo tanto, cabe preguntar: ¿cuántas combinaciones distintas (de pantalón, camisa y suéter) se pueden efectuar? Como ahora hay tres elementos en cada combinación, es necesario recurrir a otra forma de representación, pues

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 279

negro

gris rosa blanca

verde

SUÉTER blanco (azul, blanca, blanco) negro (azul, blanca, negro) blanco (azul, gris, blanco) negro (azul, gris, negro) blanco (azul, rosa, blanco) negro (azul, rosa, negro) blanco (negro, blanca, blanco) negro (negro, blanca, negro) blanco (negro, gris, blanco) negro (negro, gris, negro) blanco (negro, rosa, blanco) negro (negro, rosa, negro) blanco (verde, blanca, blanco) negro (verde, blanca, negro) blanco (verde, gris, blanco)

gris

negro ( verde, gris, negro) blanco (verde, rosa, blanco)

rosa

negro (verde, rosa, negro)

A esta forma de mostrar las combinaciones que pueden hacerse se le llama diagrama de árbol. Usted se da cuenta de que hay 18 combinaciones posibles.

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

280

VARIEDAD EN EL MENÚ Gustavo tiene una fondita llamada “El Refugio”. A la hora de la comida un cliente puede escoger una sopa, un guisado y un postre del menú que está a la vista.

Por ejemplo, puede escoger consomé, pescado y natilla, o lenteja, pollo y ate. ¿De cuántas maneras pueden combinarse los elementos del menú para comer en la fondita? 1. Usted puede encontrar la respuesta si completa en su cuaderno el diagrama de árbol que se le presenta.

consomé pescado menú

natilla ate

2. Si además el cliente tiene la posibilidad de escoger entre agua de pepino y de melón, ¿cuántas comidas diferentes puede escoger?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 280

16/11/11 15:05

Sesión 67 • De diferentes maneras

281

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Resuelva los siguientes problemas: 3. Se tienen cuatro pares de zapatos y tres pares de calcetines ¿cuántas combinaciones se pueden hacer? 4. ¿De cuántas formas distintas se pueden combinar 3 blusas con 4 faldas? 5. Un grupo de comerciantes formado por 15 mujeres y 12 hombres eligirán como representantes a una mujer y a un hombre. ¿Cuántas parejas diferentes pueden formarse? 6. Un comerciante cuenta con 6 marcas distintas de jabón de baño y 3 marcas distintas de shampoo. Si por oferta desea venderlos por pares, es decir, un jabón y un shampoo, ¿de cuántas maneras puede combinar los dos productos?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Aurelia desea participar en las actividades que organiza el comité del DIF de su localidad. Cada persona puede inscribirse para tomar un curso y practicar un deporte. Los cursos son de tejido, bordado y cocina. Los deportes son volibol y natación. ¿Cuántas combinaciones diferentes pueden efectuarse para ser elegidas por las personas que desean asistir? Para contestar esta pregunta, elabore en su cuaderno una tabla, un arreglo rectangular y un diagrama de árbol que muestren las diferentes opciones.

Compare sus respuestas con las de la clave. Si se equivocó, corrija.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 281

16/11/11 15:05

La casa de los azulejos Algunos diseñadores de interiores encuentran buenos ejemplos en la geometría para hacer o seleccionar diseños de telas, suelos y papel para paredes. Este tipo de diseño emplea un concepto geométrico llamado teselado.

Lea con atención el siguiente texto, en él se describe la manera de cómo trazar polígonos.

¿Sabía usted que el teselado es un conjunto de polígonos puestos de tal forma que no se sobreponen unos a otros ni dejan separaciones entre ellos?

RECUERDE

Trazo de polígonos a partir de sus diagonales y ejes de simetría En la siguiente figura se muestra la forma de un terreno en el cual están ubicados 18 locales comerciales ¿Cuántos lados tiene la figura que conforma la superficie del terreno?

Se le llama diagonal a cada uno de los segmentos que unen a dos vértices no continuos de un polígono o de un poliedro. ¡Claro! Tiene 6 lados.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 282

06/12/11 11:47

Sessión 68 • La casa de los azulejos

283 Ahora, si de la figura anterior quitamos los locales del terreno y trazamos una de las diagonales de la figura, se obtiene:

Calque la figura en su cuaderno, marque las diagonales faltantes, y mida la longitud de sus lados, ¿son iguales? Como sus lados no tienen la misma medida, se trata de un hexágono irregular. ¿Las diagonales de la figura harán las veces de ejes de simetría? Haga un doblez sobre una de las diagonales y observe qué es lo que sucede. ¡Correcto! En el caso del hexágono irregular las diagonales no corresponden con los ejes de simetría. Entonces, ¿cree usted que la figura tenga ejes de simetría? Si es así, trácelos y compárelos con la siguiente figura:

Ahora calque en su cuaderno uno de los grupos de 6 locales, y mida cada uno de sus lados. Como éstos son del mismo tamaño, se trata de un hexágono regular. Note usted que la separación entre cada local está señalada por todas las diagonales del hexágono regular. Si hiciera un doblez sobre cualquiera de las diagonales, podría observar que éstas hacen las veces de ejes de simetría. ¿Serán los únicos ejes de simetría que tiene el hexágono regular? ¿Podría usted encontrar más ejes de simetría? Trácelos y compárelos con la siguiente figura:

En el caso del hexágono irregular mostrado anteriormente se observa que sólo tiene 3 ejes de simetría, mientras que el hexágono regular tiene 6 ejes de simetría, de los cuales tres son diagonales también. Debemos aclarar que no todas las diagonales de un polígono son ejes de simetría, ni que todos los ejes de simetría son diagonales del polígono.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 283

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

284

AZULEJOS SIMÉTRICOS Georgina fue a una tienda llamada “Casa de los Azulejos” para elegir el diseño que colocarían en su cocina. Ella eligió el que se presenta a continuación. Cálquelo en su cuaderno.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Georgina diseñó tres formas de azulejo y pidió que le fueran hechos para el baño de su casa. Las formas de los azulejos se obtienen a partir de las siguientes líneas:

7. Una los extremos de cada segmento y diga qué formas obtuvo.

1. ¿Qué forma tiene cada azulejo? 2. ¿Qué formas geométricas se identifican dentro del azulejo? 3. Dibuje las diagonales en el azulejo y diga si cumplen la función de ejes de simetría. 4. Dibuje todos los ejes de simetría que tenga el azulejo.

En la “Casa de los Azulejos” le dijeron que sólo una de esas formas cubriría totalmente la superficie del piso; en cambio, las otras dos dejarían huecos que tendrían que cubrirse con otra figura. 8. Diga usted cuál de las tres figuras es la que cubre totalmente la superficie. 9. Investigue cuál es la relación que hay entre la celdilla de un panal de abejas y uno de los azulejos diseñados por Georgina. 10. Si las diagonales de los diseños de Georgina hubieran estado en la siguiente posición, ¿qué figuras se obtendrían? ¿Cumplirían con el objetivo de cubrir totalmente el piso del baño?

5. ¿Cuántos azulejos y de qué forma tendrían que estar unidos para que se formen un hexágono, y dos círculos? 6. Trace todos los ejes de simetría que tiene el conjunto de azulejos anterior.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 284

16/11/11 15:05

Sesión 68 • La casa de los azulejos

285

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? En los siguientes polígonos, realice las actividades que se proponen.

11. Trace con azul todas las diagonales y con rojo marque las que, además, son ejes de simetría. 12. Con color verde trace los ejes de simetría que no son diagonales en los polígonos. a) ¿Cuántos ejes de simetría tiene el hexágono? b) ¿Cuántas diagonales tiene el octágono? c) ¿  Cuántas diagonales son ejes de simetría en el pentágono?

Verifique sus respuestas con las de la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 285

16/11/11 15:05

Simboliza la regla En esta sesión se pretende que, a partir de tablas de dos columnas, encuentre usted la regla que relaciona los números de una columna con los de la otra y la exprese simbólicamente. Lea el siguiente texto y, posteriormente, resuelva las actividades que se le indican.

¿Sabía usted que para convertir pulgadas a centímetros o centímetros a pulgadas se sigue una regla? ¿Alguna vez ha vendido o comprado un producto cuyas medidas estén en pulgadas?

RECUERDE La tabla de cuadrados se hace a partir de dos columnas y se obtiene multiplicando un número por sí mismo. SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 286

Escritura algebraica a partir de tablas En general los productos que se venden en una ferretería tienen medidas en pulgadas. Por ejemplo, los tubos utilizados en plomería. Para hacer equivalencias de pulgadas en centímetros, es necesario hacer conversiones. Guillermo trabaja en una ferretería y un día llegó un cliente pidiendo 3 metros de tubo de cobre de 1.9 cm de diámetro. Guillermo le dijo que no tenían tubos con diámetros en centímetros, sino en pulgadas; por ejemplo, pulgada, pulgada, 1 pulgada, etcétera. ¿Cree usted que realmente no tenían de esa medida? ¡Claro que sí! Lo que ocurre es que hay que saber a cuántas pulgadas equivalen 1.9 cm. Guillermo le comentó al dueño sobre la compra que quería el cliente. Por supuesto, el dueño se enojó porque sí tenían la medida que quería el cliente. Como tarea, el dueño puso a Guillermo a realizar conversiones de pulgadas a centímetros de las tuberías que más se venden. Estas conversiones están en la siguiente tabla:

24/11/11 13:28

Sesión 69 • Simboliza la regla TUBO

No.1 No. 2 No. 3 No. 4 No. 5

DIÁMETRO EN pulgadas 1

2 3

4

= 0.5 = 0.75

1 = 1.0 1

1

= 1.5 2 = 2.0

2

1.27 1.90

1

8

2.54

3

10

3.81 5.08

5

12

7

14

9

16

¿Podría usted decir cómo obtuvo Guillermo las equivalencias en centímetros? ¿Cuál fue la regla que utilizó? Antes de que conteste, hagamos un análisis de la tabla anterior. Si usted observa bien la tabla, se dará cuenta de que 1 pulgada equivale a 2.54 cm. ¿Está usted de acuerdo? Entonces, ¿cuál es la medida en pulgadas del tubo que quería comprar el cliente? ¡Claro! Es de pulgada. Observe que las equivalencias de las pulgadas en centímetros se obtienen multiplicando el número de pulgadas por 2.54. Así, para saber a cuántos centímetros equivale pulgada, ó 0.5 pulgadas, se multiplica 0.5 por 2.54, y se obtiene 1.27. El 1.90 se obtiene al multiplicar 0.75 por 2.54. Por lo tanto, si se representa con el número de pulgadas (primera columna de datos), la regla para obtener su correspondiente en centímetros (segunda columna de datos) será de x 2.54. Si se desea obtener un número de la primera columna a partir de su correspondiente de la segunda, deberá aplicarse la operación inversa, es decir, dividir en lugar de multiplicar. Observe que por ejemplo 1.27÷ 2.54 = 0.5; 1.90 ÷ 2.54 = 0.75, etcétera. Si representa un número de la segunda columna, entonces la regla para obtener su correspondiente en la primera será ÷ 2.54. Analicemos otro caso más sencillo, como el que se presenta en la siguiente tabla:

n

n

m

m

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 287

287

DIÁMETRO EN centímetros

x

n

Observe que cualquier número de la segunda columna puede obtenerse sumando siete a su correspondiente de la primera columna. Así el 8 se obtiene sumando 7 al 1, 1 + 7 = 8, el 10 sumando 7 al 3, 3 + 7 = 10, etcétera. Por lo tanto, si se representa con a cualquier número de la primera columna, entonces la regla para obtener su correspondiente en la segunda será + 7. Si se desea obtener un número de la primera columna a partir de su correspondiente de la segunda, deberá aplicarse la operación inversa es decir, restar en lugar de sumar. Así vemos que 8 – 7 = 1; 10 – 7 = 3, etcétera. Si representa cualquier número de la segunda columna, entonces la regla para obtener su correspondiente en la primera será – 7.

x

x

n

n

Note que si se tienen dos números y se obtiene un tercer número aplicando determinada operación, entonces el primero resulta de aplicar la operación inversa. Suma y resta, multiplicación y división, así como potenciación y radicación, son operaciones inversas. Ejemplos:

3+5=8 = 8–5=3 4 x 6 = 24 = 24 ÷ 6 = 4 2

8

= 6 =

64 = 8

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

288

LAS COMISIONES EN LAS VENTAS

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Complete la siguiente tabla, en la cual un agente de ventas registra en la segunda columna su comisión diaria y en la tercera su sueldo total por día, que resulta de sumar su sueldo base más su comisión.

Identifique y use la regla para completar la siguiente tabla.

l

LADO ( ) ÁREA (

5

25

6

36

A)

7

Nota: puede auxiliarse de la calculadora.

8 81

DÍAS COMISIONES ($)

SUELDO TOTAL ($)

Lunes

55

125

Martes

48

118

Miércoles

75

Jueves

56.80

Viernes

152.50

Con base en la información anterior, conteste:

100

Analice la información contenida en la tabla anterior y conteste las siguientes preguntas:

l

7. Si fuera 5.5, ¿cuál sería el valor de ?

A

l A vale 144?

8. ¿Para qué valor de , 1. ¿Cómo obtuvo los números de la tercer columna? 2. ¿Cuál es el sueldo base (sin comisiones) que percibe el empleado diariamente?

x

representa cualquier 3. Si comisión, ¿qué expresión algebraica representa la regla para obtener el sueldo total? 4. ¿Cuál es el sueldo semanal por comisión? 5. ¿Cuál es el sueldo base semanal? 6. ¿Cuál es el sueldo total en toda la semana?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 288

A

9. ¿Cómo obtiene el valor de , si conoce el valor de ? Represente algebraicamente esta regla.

l

10. ¿Reconoce la fórmula que obtuvo en la pregunta anterior? ¿Para qué sirve esta fórmula? Si se expresa en centímetros, ¿cómo se expresa ?

l

A

l

11. ¿Cómo obtiene el valor de , si conoce el valor de ? Represente en forma algebraica esta regla.

A

12 ¿Qué sucede con los valores de cuando crecen los valores de ?

A

l

16/11/11 15:05

Sesión 69 • Simboliza la regla

289

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Complete las siguientes tablas y escriba en forma algebraica las reglas que se piden. 13.

x

y

13 17 19 15 19

31 37 25 31

43

a) R  egla para obtener los números del segundo renglón: ______________ b) R  egla para obtener los números del primer renglón: ______________ 14.

a

b

2

6

1

3 9 12

5 6

a) R  egla para obtener los números de la segunda columna: ______________ b) R  egla para obtener los números de la primera columna: ______________

Verifique sus respuestas con la clave y corrija en caso necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 289

24/11/11 13:31

Sea más breve En esta sesión usted practicará la escritura algebraica y conocerá algunas reglas que le permitirán simplificar expresiones algebraicas.

¿Sabía usted que algunos centros comerciales tienen registrados todos sus productos con un código electrónico que es detectado automáticamente por las cajas registradoras para conocer el precio de cada uno de ellos?

Lea con atención el siguiente texto y al finalizar éste, sabrá escribir algebraicamente diversas cantidades.

Reglas de escritura algebraica

RECUERDE En el lenguaje algebraico, para representar una variable se utiliza una literal. Es muy común el uso de x, y, z, pero cualquier literal se puede usar.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 290

Para llevar un mayor control de los productos en la tlapalería, Joel realizó una lista representando con letras la mercancía existente en cada caja. Con la letra representó la cantidad de clavos, con la , la cantidad de armellas, con los tornillos y con los fusibles. En la tlapalería hay 5 cajas con 20 clavos cada una, 3 cajas con 30 armellas cada una, 2 cajas con 70 tornillos cada una y 2 cajas con 20 fusibles cada una. ¿En qué forma se podría representar brevemente la existencia de dicho material?

y

ab x

16/11/11 15:05

Sesión 70 • Sea más breve

291

Una forma sería la siguiente: Las Las Las Las

5 3 2 2

cajas cajas cajas cajas

de de de de

ab x y

clavos con 5 armellas con 3 tornillos con 2 fusibles con 2

Si quisiéra saber la cantidad contenida en las cajas, ¿qué haría? Bueno, pues como ya sabe el contenido de cada caja, podría hacer lo siguiente:

ab xy

5 = 5 (20) = 100 clavos 3 = 3 (30) = 90 armellas 2 = 2 (70) = 140 tornillos 2 = 2 (20) = 40 fusibles Si la cantidad de productos que contiene cada una de las cajas variara, ¿podría representar de la misma forma la existencia del material? ¡Claro que sí! Observe porqué: Si existen las mismas 5 cajas, pero ahora con 60 clavos cada una, las 3 cajas con 15 armellas cada una, 2 cajas con 78 tornillos cada una y 2 cajas con 35 fusibles cada una, su representación abreviada será la misma (5 , 3 , 2 , 2 ). Pero, lo que sí cambia es el valor de , , , , pues ahora será 60, 15, 78 y 35 respectivamente. Por lo tanto, el cálculo se hará como se muestra:

a

b

x y

abxy

Los valores que cambian se representan con letras y se les da el nombre de variables. Con estas variables se pueden hacer las mismas operaciones que con los números. Por ejemplo, se pueden sumar ( + + ), restar (5 – 2 ), multiplicar ( x ), dividir (8 ÷ 2 ), elevar a una 4 . potencia (m3) o extraer raíz Además, algunas de estas expresiones se pueden abreviar, como es el caso de:

x xax a x a y y x ay ya ya a + x

+ =3 = 2

Cuando se desea representar el producto de dos variables diferentes se recurre a las siguientes formas:

a

x

b = a • b = (a) (b) = a(b) = ab

De todas estas maneras, la última es la más compacta. Es importante mencionar que cuando una literal aparece sola implica que su coeficiente y exponente son el número 1. coeficiente 3

exponente

a



=1

2

a a

1

ab xy

5 = 5 (60) = 300 clavos 3 = 3 (15) = 45 armellas 2 = 2 (78) = 156 tornillos 2 = 2 (35) = 70 fusibles

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 291

16/11/11 15:05

Unidad 6 • El Comercio

292

SIMPLIFIQUE EL TRABAJO Analice la siguiente situación y realice las actividades que se proponen. En una papelería se hizo un recuento de la mercancía existente. Con la notación que se le indica, escriba en forma simbólica los siguientes enunciados: Usar para la cantidad de lápices por caja, para el número de plumas por caja usar , para el número de gomas por caja, para la cantidad de cuadernos existentes en cada caja, para la cantidad de folders por paquete, para el número de monografías por paquete.

x

yz

b

c

a

1. Tres cajas de lápices: ________________ 2. Cinco cajas de plumas: _______________ 3. Doce paquetes de monografías: _______­­­_______ 4. Siete paquetes de folders: _____________ 5. Cuatro cajas de gomas: _______________ 6. Nueve cajas de cuadernos: ___________

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Relacione las expresiones de la columna izquierda con las expresiones de la derecha, escribiendo en los paréntesis la expresión que le corresponda.

ma am m m xm x m m m xa x a a

• • • ...........( ( ) ( ) . ...........................( ( ).................................( + + + ...........( 1 + 1. ..........................( 1 .....................................( + ...............................(

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 292

) ) ) ) ) ) )

xm ax m a a 2 4

2 4 2

2

16/11/11 15:05

Sesión 70 • Sea más breve

293

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Utilizando las literales de cada figura, escriba de manera abreviada los perímetros y áreas que se solicitan.

x

z

x

x

x

y

x

7. Perímetro =___________

9. Perímetro =___________

8. Área =___________

10. Área =___________

l l

l

l

l

n m

l 11. Perímetro =___________

n m

m

12. Perímetro =___________

Verifique sus respuestas con las de la clave y corrija de ser necesario.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 293

06/12/11 11:50

Juegos y pasatiempos En esta sesión se pretende que usted resuelva algunos juegos de ingenio mediante la aplicación de sus conocimientos y de su habilidad mental. Realice cada uno de los siguientes ejercicios: 1. De un pastel quedaba la tercera parte, de la cual me comí la tercera parte. ¿Cuánto quedó de pastel? 2. ¿Qué le sale más barato, invitar a un amigo dos veces a comer o invitar a dos amigos una vez? 3. Un granjero quiere separar estas once ovejas construyendo once corrales exactamente con cuatro vallas rectas. ¿Cómo puede hacerlo? (Las vallas se pueden cruzar.)

4. En el medio tiempo de un partido de futbol, el equipo “A” va ganando al “B” por dos goles de diferencia. En el segundo tiempo cada equipo anota un gol, y el marcador final suma 8 goles. ¿Cuál era el marcador en el medio tiempo?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 294

16/11/11 15:05

Sesión 71 • Juegos y pasatiempos

295

5. Divida el siguiente reloj en seis partes, con la condición de que las sumas de los números de cada parte sean equivalentes entre sí.

11

12

1

2

10

9

3 8

4 7

6

5

6. Un hombre en apuros económicos, pero muy confiado en su suerte, fue a hacerle una propuesta a un amigo, y le dijo: —S  i me doblas el dinero que traigo en el bolsillo, te daré $5.00. El amigo lo complació, y el hombre le dio los $5.00, después de lo cual pidió de nuevo: —S  i me doblas el dinero que tengo ahora en el bolsillo te regalaré otros $5.00. El amigo accedió, y el hombre hizo la segunda entrega de dinero. Entusiasmado por el éxito que estaba teniendo la gestión, el hombre volvió a pedir: —S  i por última vez vuelves a doblarme el dinero que ahora tengo en la bolsa, te regalaré otros $5.00. El amigo estuvo de acuerdo, y el hombre efectuó la tercera y última entrega. A continuación salió a la calle para hacer un recuento de su capital, que según él debía ser bastante. Pero cuál sería su sorpresa y su desencanto al revisarse los bolsillos: ¡sólo traía $1.00! Desde luego, no podía ni remotamente suponer que el amigo le hubiese hecho trampa, o que él se hubiera equivocado al hacer las entregas. Todas las operaciones habían sido limpias y correctas. Entonces, ¿con cuánto dinero había empezado el hombre? 7. Arme un prisma que contenga 24 cubos de 1 cm por arista. El área total del prisma debe ser la máxima. (Sugerencia: haga cubitos de 1 cm por lado en plastilina o jabón para armar su prisma)

Compare sus respuestas con las de la clave, y corrija en caso necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 295

16/11/11 15:05

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • L a construcción del cubo y del paralelepípedo recto, por medio de su desarrollo plano. Y, ¡claro!, la obtención del área y el volumen de dichos cuerpos.  diferencia entre los conceptos • La

de volumen y capacidad. • L a obtención de todas las combinaciones posibles entre dos o más elementos. • E  l trazo de polígonos a partir de sus diagonales y ejes de simetría. • L as ventajas de la escritura algebraica y sus reglas.

Realice las siguientes actividades:

—E  scriba, en su cuaderno, una síntesis del contenido principal de cada uno de los temas señalados anteriormente. — ¿Alguno de los temas desarrollados en esta unidad le ayudó a mejorar sus actividades cotidianas? ¿Cuál? ¿Cómo?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 296

16/11/11 15:05

Sesión 72 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

297

l. A  partir del siguiente texto conteste lo que a continuación se pide.

Para las festividades de fin de año, el comercio aumenta debido a la costumbre de hacer intercambio de regalos. En una tienda deciden comprar 30 cajas, 70 envolturas y 150 moños. No saben cuál es el costo de estos productos, por ello han designado con la letra el costo de una caja, con el costo de una envoltura y con el costo de cada moño.

e

m

c

1. Anote en forma algebraica el precio de las cajas, las envolturas y los moños que necesita la tienda y el precio total.

cc c ee e mm m

 . Hablan a varias bodegas para conocer los precios y ver donde les conviene comprar. 2 Si los precios de la bodega 1 son: = $2.40, = $0.70, = $0.30 bodega 2; = $3.20, = $0.90, = $0.40 bodega 3; = $2.10, = $0.50, = $0.45 ¿Cuánto pagarían si compran en la bodega 1? ¿Cuánto pagarían si compran en la bodega 2? ¿Cuánto pagarían si compran en la bodega 3? ¿Dónde conviene comprar? 3. La caja es cúbica y mide 9 cm de arista. Determine el área mínima que debe tener el papel para envolverla.

ll. Lea el siguiente texto y conteste lo que se pide.

El pueblo de México cuenta con una gran historia acerca de su origen, donde el comercio juega un papel importante. Los pueblos prehispánicos acostumbraban intercambiar productos, fundamentalmente artesanías características de cada región. En la actualidad el comercio de artesanías es una fuente importante de ingresos para la economía familiar. Leoncio hace figuras, en una madera conocida como palofierro, de un personaje de la literatura llamado Don Quijote de la Mancha. Las figuras tienen una altura de 19.5 cm y su base es de 6 cm de diámetro. Con esas dimensiones ayude a Leoncio a diseñar cajas para empacar sus figuras. Éstas no deben quedar justas dentro de las cajas. 1. ¿Qué forma tendrán las cajas? 2. Dibuje el desarrollo plano de la cajita con base en las dimensiones que le haya dado a la caja. 3. Determine el volumen de la caja.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 297

Compare sus respuestas con las de la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

16/11/11 15:05

Lo que hemos aprendido Una vez más, usted tiene la oportunidad de evaluar la calidad de los conocimientos que adquirió al resolver las sesiones contenidas en esta unidad. Para ello se le presentan los siguientes ejercicios. Resuelva los siguientes problemas. l. En la sopa de letras que aparece enseguida, encuentre las palabras que dan respuesta a las preguntas que se plantean.

J A Z L W H P K L F M C

A R F I D Q A A I D E Z

L E U T O X N N N P T L

T A V R P O B C E B R S

O K Y O G R F H A V O P

G L I A L W L O B U C E

F O I L Y U O Z D T U R

X D M K O Ñ M C F L B I

L A R G O G K E Y Ñ I M

K I L O K F R W N K C E

S I M E T R I A G R O T

C I T A M E T A M H J R

C A P A C I D A D O X O

1. ¿Cómo se llama al espacio que ocupa un cuerpo? 2. ¿Cómo se llama el espacio que contiene un cuerpo? 3. ¿Cómo se llama la unidad fundamental de capacidad? 4. ¿Cuál es la unidad fundamental de volumen? 5. ¿  Cuáles son las tres dimensiones que tiene un cuerpo? 6. ¿Cuál es la unidad fundamental de peso? 7. ¿  Cómo se llama la línea que une dos vértices no consecutivos? 8. ¿  Cómo se llama el eje que divide una figura en dos partes iguales? 9. ¿  Cómo se llama el paralelepípedo cuyas caras son cuadrados? 10. ¿  Cómo se le llama a la suma de la medida de los lados de cualquier polígono?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 298

24/11/11 13:34

Sesión 73 • Lo que hemos aprendido

299

ll. En el siguiente cuadrado usted tiene que encontrar un número para cada cuadrito, de tal manera que la suma de cada fila, columna y diagonal sea igual a 507. 507 A

B 507 C 507

507

507 507

507

507

Para ello tendrá que solucionar los siguientes problemas y poner el resultado en el cuadro correspondiente a cada problema. A) E  n una compañía productora de barniz aislante para conexiones eléctricas, el peso de 300 cl de barniz es de 0.00669 tm. Determine el peso total en kilogramos de 8 dal de barniz (incluyendo el envase). Considere que el peso de los 8 dal corresponde al 80% del peso total del producto (el 20% restante equivale al peso del envase). B) D  etermine el área total de un paralelepípedo recto cuyas medidas son 3.5 cm de largo y 7.75 cm de alto. ¡Ah! Sus bases son de forma cuadrada. C) E  l señor Robles quiere cambiar el baño de su casa. Le gustaron tres tipos de azulejo, dos tipos diferentes de muebles y tres juegos de llaves. Obtenga el número total de combinaciones que se pueden hacer para el baño, y al resultado súmele el resultado del problema A.

Basándose en los resultados obtenidos, calcule los números correspondientes a los cuadros restantes. Recuerde que, de cualquier forma, los números de los cuadros deben sumar 507. Compare sus respuestas con las de la clave. Si encontró algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 299

16/11/11 15:05

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 300

16/11/11 15:05

UNIDAD

EL TRANSPORTE

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 301

16/11/11 15:06

E

n las sesiones que ha resuelto hasta ahora, ¿ha tomado en cuenta su experiencia y los conocimientos que posee al resolver sus problemas? ¿Ha usado en algún momento algún libro de apoyo para aclarar dudas o profundizar algún contenido? Material para esta unidad: cuaderno de trabajo, calculadora de bolsillo juego de geometría: regla, compás, escuadras y transportador.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-259-302.indd 302

16/11/11 15:06

Conozca Puebla ¿Qué ciudades de la República ha visitado? ¿Conoce usted Puebla? Si ha ido, ¿alguna vez tuvo la necesidad de usar un plano de esta ciudad? En la presente sesión trabajaremos con el plano cartesiano, el cual nos permitirá localizar puntos específicos. Lea con atención el siguiente texto y sabrá cómo localizar puntos en un plano.

¿Sabía usted que el estado de Puebla se sitúa en el extremo este de la cuenca del río Balsas, en la Sierra Madre Oriental? ¿Y sabía que dicha entidad limita al norte con el estado de Veracruz, al oeste con Hidalgo, Tlaxcala, México y Morelos, y al sur con Guerrero y Oaxaca?

1 OFINAS DE TURISMO

Plano cartesiano

AV. 11 NORTE

H 12

1

H 18

16 OTE.

12

13

H H 6-7 H

H

10

3

H

1

19 OTE.

33 PTE.

33 OTE.

5 DE MAYO

10 SUR

33 PTE. 37 PTE.

8 SUR

37 PTE.

10 SUR

25 OTE.

2 SUR

PANTEÓN MUNCIPAL PANTEÓN FRANCÉS

27 PTE.

3 SUR

13 SUR

AV. 31 PTE.

AV. 11 SUR

G

11 OTE. 4 SUR

19

AV. REVOLUCIÓN 25 PTE.

15 SUR

8-9

BOULEVARD

3 SUR

5 SUR

9 SUR

19 PTE.

21 PTE.

19 SUR

4 OTE.

AV. MAXIMINO ÁVILA CAMACHO

4

11 PTE.

17 PTE.

G

11 8 10 9

3-4

10 NTE.

H

2

13 PTE.

23 SUR

PANTEÓN DE LA PIEDAD

1

25 SUR

G

25 SUE

F. DE LOS FRAILES BOULEVARD ATLIXCO

Las líneas perpendiculares son aquellas que í se cortan entre s o formando un ángul de 90°.

3 PTE. 5 PTE. AV. JUÁREZ 9 PTE.

P 17

G

5

2 PTE.

AV. REFORMA

LA PAZ

7

6 PTE.

4 PTE.

H 11

3NTE. 6

14 PTE. 12 PTE.

E S

AV. 16 DE SEPTIEMBRE

8 PTE.

0

AV. 5 DE MAYO

20 PTE.

13 NTE.

12 PTE.

5 N

26 PTE.

7 NTE.

LA DI AG .D EF .D E

INFORMACIÓN TURISTICA

H

16 PTE. 19 NTE.

16

PROLONGACIÓN 18 PTE. 21 NTE.

BOULEVARD NORTE

RECUERDE

H

AV. 15 DE MAYO

15 NTE.

RE PÚ BL ICA

En el siguiente mapa se presentan algunos lugares interesantes del estado de Puebla.

Fuente: Fuente: Secretaría Secretaría de deTurismo, Turismo,Puebla, Puebla,Puebla. Puebla.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 303

2 3 4 5

20

BIBLIOTECA CATEDRAL MUSEO BELLO CAPILLA DEL ROSARIO Y PINACOTECA BELLO ZETINA CONVENTO DE SANTA MÓNICA CASA DE LAS ARTESANÍAS CASA DEL ALFAÑIQUE MERCADO EL PARIÁN BARRIO DEL ARTISTA TEATRO PRINCIPAL CASA DE LOS SERDÁN PASEO DE SAN FRANCISCO FUERTES DE LORETO Y GUADALUPE RECINTO DE FERIAS Y EXPOSICIONES BALNEARIO AGUA AZUL ZOOLÓGICO AFRICAM PLANETARIO MUSEO AMPARO MUSEO DE HISTORA NATURAL

G

GASOLINERÍAS

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1

2 3 4 5 6

BALNEARIOS ALPHA 1 ALPHA 2 ALPHA 3 AGUA AZUL AGUA CLARA PUERTO ESCONDIDO

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

304 Filemón es del estado de Oaxaca y está de visita en Puebla. Uno de los lugares que quiere conocer es el Museo Bello, el cual exhibe una vasta colección de objetos artísticos, como artesanías de cobre, marfil y cristalería. Pero Filemón tiene un problema: no cuenta con un mapa como el mostrado anteriormente y no sabe en qué dirección caminar. Si usted observa el mapa, notará que el museo se representa con el número 4 y está ubicado entre las calles 3 sur y 3 poniente. Ahora, si Filemón se encuentra entre las avenidas Revolución 25 pte. y 16 de Septiembre, ¿cómo describiría usted el recorrido que tiene que hacer para llegar al museo sin problemas? Para ello, primero localice la ubicación de Filemón de acuerdo con los nombres de las calles. A partir de ahí, y según el mapa, diga cuántas calles tiene que caminar Filemón hacia el oeste, sobre Avenida Revolución 25 pte. ¡Claro! Sólo tiene que caminar una calle para llegar a la 3 sur. Ahora, ¿cuántas calles tiene que caminar hacia el norte sobre la 3 sur? Bien, sólo son 11 calles. Dése cuenta que a partir del cruce de dos líneas, una horizontal y otra vertical, y con sólo dos datos, pudo usted ubicar un punto en el plano. La línea horizontal que usted utilizó fue la Avenida Revolución 25 pte., sobre la que puede desplazarse hacia el este u oeste (derecha o izquierda,

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 304

respectivamente), y la línea vertical es la calle 3 sur. Los dos datos fueron: 3 pte y calle 3 sur. El punto donde se cruzan las líneas horizontal y vertical se llama origen. Observe que, al cruzarse las líneas mencionadas, se definen cuatro regiones, que llamaremos cuadrantes. Así, cualquier punto de la ciudad de Puebla queda ubicado en alguno de los cuatro cuadrantes, los cuales se enumeran en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, empezando por el cuadrante superior derecho.

y Cuadrante II

Cuadrante 1

Origen Cuadrante III

x

Cuadrante IV

Por ejemplo, el panteón de la Piedad se encuentra al norte de la Avenida Revolución 25 pte., y al oeste de la Avenida 16 de Septiembre; esto es, queda ubicado en el segundo cuadrante. ¿Podría usted decir en qué cuadrante se encuentra el Panteón Francés? ¡Bien! Se encuentra en el tercer cuadrante. Esta forma de ubicar lugares en el mapa nos lleva a considerar lo que se conoce como plano cartesiano. El plano cartesiano

24/11/11 13:39

Sesión 74 • Conozca Puebla

305 está formado por dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en un punto, llamado origen; dichas rectas forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. La recta horizontal se conoce con el nombre de eje de las “equis” ( ) o de las abscisas; la recta vertical lleva el nombre de eje de las “yes” ( ) o de las ordenadas. Un punto en el plano cartesiano se localiza a partir de sus coordenadas, que son dos números que se escriben entre paréntesis y que están separados por una coma. El primer número representa la ubicación del punto con respecto al eje de las abscisas ( ). En nuestro ejemplo, la Avenida Revolución 25 pte. representa a este eje. El segundo número indica la ubicación del punto con respecto al eje de las ordenadas ( ), que en nuestro ejemplo es la Avenida 16 de Septiembre. Si las coordenadas fueron (1 oeste, 11 norte), entonces Filemón tuvo que caminar, a partir del origen, una calle al oeste y después once calles al norte para llegar al Museo Bello. Ahora, supongamos que Filemón se encuentra entre las avenidas 5 de Mayo y Reforma. ¿Cuántas calles tiene que caminar hacia el este y cuántas hacia el sur para llegar al Museo Amparo? Dicho museo se representa con el número 19 en el mapa. ¡Muy bien! Las coordenadas serían una calle al este y cinco calles al sur, es decir, (1 este, 5 sur). Ahora veamos otros ejemplos; la ubicación de los puntos que

x

y

x

y

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 305

corresponden a las siguientes coordenadas: A (2,5), B (0,3), C (8,0), D (1,3), E (5,4).

y 6 5 4 3B 2

A E D

1

x

C 1 2 3 4 5 6 7 8

0

Si se presentan puntos ubicados en el plano y le piden a usted que dé sus coordenadas, deberá identificar el primer valor sobre el eje de las abscisas y el segundo valor sobre el eje de las ordenadas. En el plano que se muestra enseguida aparecen los puntos A, B, C, D. ¿Cuáles son sus coordenadas?

9 8 7 6 5 4 3 2

y

D

B

C

1

A

0

1 2 3 4 5 6 7 8

x

¡Perfecto!, sus coordenadas son: A (1,1), B (4,4), C (8,4), D (7,9). En conclusión, para ubicar un punto sobre un plano, siempre es necesario tener sus coordenadas.

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

306

APLIQUEMOS LO APRENDIDO PUEBLA EN EL PLANO CARTESIANO

Salvador conduce un camión de carga y tiene que llevar una carga de café de Puerto Madero hacia Tapachula, luego a Huixtla y después a Pijijiapan.

Ahora Filemón se encuentra entre las avenidas 11 norte y Reforma. Según el mapa conteste: 1. Considerando las avenidas mencionadas anteriormente como ejes de coordenadas cartesianas, ¿en qué cuadrante se encuentra el balneario Alpha 1? Éste se representa con ‑1. el símbolo a) A  partir del origen, ¿cuántas calles tiene que caminar Filemón hacia el oeste para llegar al balneario?

A continuación, observe el mapa de Chiapas, que fue ubicado sobre el primer cuadrante del plano cartesiano, y realice lo que se indica.

y 5 4 Pijijiapan

3

Huixtla

2 b) A  partir de la 21 sur, ¿cuántas calles tiene que caminar Filemón hacia el sur para llegar al balneario?

Tapachula 1

0 c) ¿  Cree usted que desde el origen existan otras rutas para llegar al balneario? Si es así, descríbalas. d) ¿  Cuál de esas rutas cree usted que sea la más corta?¿Por qué? e) C  onsidere ahora las calles 21 sur y 9 poniente como ejes del plano cartesiano y a partir de éste diga en qué cuadrante se encuentra la catedral y las coordenadas que la ubican. Ésta se representa con el número 3.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 306

Puerto Madero 1

2

3

4

5

6

7

x

2. Diga las coordenadas de cada uno de los lugares que visitará Salvador, incluida la ciudad de donde saldrá con la carga de café. Si es necesario, represéntelo con números decimales. 3. Si la distancia de Puerto Madero a Tapachula es de aproximadamente 0.5 cm en este mapa y cada centímetro representa 50 km, diga usted cuál es la distancia aproximada entre estos dos lugares. 4. De Tapachula a Pijijiapan hay 2.5 cm. ¿Cuál es la distancia aproximada entre los dos sitios?

17/11/11 12:15

Sesión 74 • Conozca Puebla

307

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Jugar y dibujar no son actividades que sólo realicen los niños. Haga usted los siguientes cálculos en su cuaderno, encuentre los valores de y de , y considérelos como las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F y G. Ubique estos puntos en el plano cartesiano y únalos para descubrir el dibujo. Observe el ejemplo:

x

x x x x x x x

y y y y y y y

A: = 36 – (40 – 4), = (5 – 5) x 12 B: = 135 ÷ 45, = 16 – 3 C: D: E: F: G:

= 32, = 12 – 3, = 23, = 25 + = 50,

4,

xy

y

= 36 – 36 = 0 Por lo tanto: = 0 x 12 = 0

A (0, 0) B(

)

= 23 – 16

C(

)

=

64

D(

)

=

90 – 9

E(

)

= (5 x 1) + 4

F(

)

= 54 ÷ 18

G(

)

Verifique sus resultados con los de la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

Observe el programa de televisión, para obtener mayor información acerca de este tema.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 307

17/11/11 12:15

La revolución en el transporte ¿Alguna vez ha observado la figura que describe la hélice de un helicóptero en vuelo? A los cuerpos generados por el movimiento que describen algunas figuras se les llama cuerpos de revolución. En esta sesión veremos aspectos importantes de estos cuerpos.

¿Sabía usted que la rueda fue probablemente el invento mecánico más importante de todos los tiempos? La rueda apareció en Mesopotamia, hace unos cinco mil años. La usaron los alfareros para ayudarse en su labor con la arcilla y, más o menos al mismo tiempo, transitaron por los caminos vehículos sobre ruedas, transformando el transporte y haciendo posible el desplazamiento de materiales pesados y objetos voluminosos con facilidad.

Lea detenidamente el texto que aparece a continuación y conocerá las características de los cuerpos de revolución.

Cuerpos de revolución ¿Alguna vez ha visto el tubo de escape de un automóvil? El silenciador se encarga de eliminar el ruido del motor. La siguiente fotografía muestra el tubo de escape y el silenciador de un automóvil.

RECUERDE A la mitad de un círculo se le llama semicírculo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 308

17/11/11 12:15

Sesión 75 • La revolución en el transporte

309

Ahora fíjese en la forma que tiene el tubo de escape. ¿Sabe usted qué nombre recibe este tipo de cuerpos? Llevan el nombre de cilindro. Si usted desarma el cilindro y lo extiende en forma plana, ¿qué figura geométrica cree usted que se forme? ¡Así es! La forma plana que se obtiene a partir de un cilindro es un rectángulo, como se muestra a continuación:

Forma cilíndrica

interno. Los rodamientos se encuentran en cualquier parte mecánica que sea giratoria. A estos baleros también se les llama esferas. Ahora bien, ¿qué forma se obtiene si se trata de extender en forma plana un cojinete o balero de rodamiento? Si pudiéramos hacerlo con una pelota de plástico veríamos que no se puede. Pero observemos que si partimos la pelota a la mitad obtenemos una forma plana como se muestra en seguida:

Forma plana

Otra pieza fundamental en la mecánica automotriz es el rodamiento, que está formado por cojinetes de bolas, como se muestra enseguida: anillo interno

¿Qué figura plana se forma? ¡Claro! Es un círculo. La siguiente imagen representa un cohete espacial:

cojinetes de bolas

anillo externo

Los cojinetes de bolas reducen la fricción, porque ruedan por una superficie en vez de arrastrarse por ella. Los cojinetes de bolas permiten que una rueda gire libremente sobre un eje que pasa a través de un anillo

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 309

Fuente: La Crónica.

Como usted sabe, un cohete espacial se emplea, entre otras cosas, para transportar satélites al espacio.

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

310

Observe que dicho cohete está formado por un cilindro y que la punta del cohete tiene una forma que tal vez usted sepa cómo se llama. Lleva el nombre de cono. Si tiene un cono y lo corta a la mitad como se muestra a continuación, ¿qué figura plana se forma?

como cuerpos de revolución, porque se generan debido al giro que efectúa una figura sobre uno de sus lados. A la recta sobre la cual giran las figuras para originar un cuerpo se le conoce como eje, y al segmento que describe la superficie lateral del cuerpo se le llama generatriz.

Cilindro eje Cono

Forma Plana

La figura plana que se forma es un triángulo. Pero, ¿cómo se generan figuras como la esfera, el cilindro y el cono? Si hacemos girar un semicírculo, un rectángulo y un triángulo como se muestra enseguida, ¿qué cuerpos se generan?

Semicírculo

Rectángulo

Triángulo

¡Así es! Con el semicírculo se forma una esfera, con el rectángulo se forma un cilindro y con el triángulo se forma un cono. Debido a esto, la esfera, el cilindro y el cono se conocen

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 310

Cono Esfera eje eje generatriz generatriz r

h

h

d r

r Base

Base

De acuerdo con lo anterior, tanto en el cono como en el cilindro se puede observar que las bases son circulares. De esta forma, tenemos que el cono sólo tiene una base y un vértice o cúspide, y que el cilindro tiene dos bases. La distancia que existe entre las dos bases del cilindro se conoce como altura. En el cono, la altura está determinada por el lado del triángulo que sirve como eje. La esfera no presenta caras definidas como bases, sino que toda ella está formada por una superficie curva, cuyos puntos están a la misma distancia del centro.

17/11/11 12:15

Sesión 75 • La revolución en el transporte

311

LA REVOLUCIÓN EN LOS CUERPOS Realice las siguientes actividades, que lo llevarán a comprender cómo se generan los cuerpos de revolución. 1. Haga girar una moneda sobre una superficie plana y observe. ¿Qué forma describe el giro de la moneda? 2. Trace un semicírculo y recórtelo; enseguida colóquelo en una pluma sobre su diámetro, deteniéndolo con el clip de la tapa de la pluma, hágalo girar, tal como se muestra en la figura. ¿Qué cuerpo geométrico describe el semicírculo al girar?

3. Ahora, trace un triángulo rectángulo y un rectángulo. Recórtelos y haga lo mismo que en el caso anterior. a) ¿Qué forma describe el giro del triángulo rectángulo? b) ¿Qué forma describe el giro del rectángulo? 4. Escriba los nombres de cinco objetos que tengan, respectivamente, la forma de una esfera, de un cilindro y de un cono.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 311

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

312

APLIQUEMOS LO APRENDIDO A continuación se presenta el desarrollo plano de un cilindro. Reprodúzcalo en una cartulina con las medidas que se indican y ármelo.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Conteste las siguientes preguntas. Si lo considera necesario, vuelva a leer el texto informativo.

15.7 cm

2.5 cm

10. ¿Del movimiento de qué figuras se generan el cilindro, el cono y la esfera? 11. ¿A qué se le llama generatriz?

0.5 cm

12. ¿Cuántas bases tiene una esfera? 13. ¿Cómo son las caras laterales de los cuerpos de revolución? 12 cm

Resuelva las actividades que se presentan. 5. Calcule la longitud de la circunferencia de cada base.

14. ¿Cómo son las bases del cilindro y del cono?

Compare sus respuestas con las de la clave, y si cometió algún error, corríjalo.

6. Calcule el área de cada base. 7. Diga cuánto mide la superficie del rectángulo que representa la cara lateral del cilindro. 8. ¿Qué relación encontró entre, la longitud de la circunferencia de las bases y la medida de la base del rectángulo? 9. ¿Cuál es el área total del cilindro?

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 312

17/11/11 12:15

¿La misma cantidad? ¿Ha pensado alguna vez cuántas formas diferentes existen para decir lo mismo? Por ejemplo, cuando usted quiere demostrar enojo hacia alguien, ¿qué hace? ¿Busca caminos diferentes para expresarse? ¡Bueno! Aquí usted encontrará otras formas para expresar lo mismo; sólo que en este caso se trata de cantidades. ¡Venga con nosotros al maravilloso mundo de las matemáticas, donde encontrará una gama infinita para representar fracciones equivalentes! ¿Sabía usted que, en 1862, un francés llamado Étienne Lenoir puso en marcha el motor que había construido y montado en un viejo carro? Su éxito se debió a que inventó un motor compacto que funcionaba al arder gas dentro de un cilindro. Pocos años después, en 1885, de los talleres de Karl Benz en la ciudad Manheim (Alemania) salió el primer motor que se vendería al público y que utilizaría gasolina. Actualmente, la empresa que lo vende se llama Mercedes Benz, la cual fabrica el auto del mismo nombre.

RECUERDE por Una fracción está compuesadtaor. el numerador y el denomin Ejemplo: 2 numeradoror 7 denominad SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 313

Lea el siguiente texto, en el cual se hace referencia a cierta clase de fracciones.

Fracciones equivalentes Tres camiones de pasajeros se ponen a prueba para determinar cuál de ellos gasta menos gasolina al recorrer una misma distancia. Para ello, recorren una ruta de 720 kilómetros. Al término del recorrido, el primero gasta de tanque, el segundo de tanque y el tercero de tanque. Si a cada tanque de los camiones le caben 128 litros, ¿cuál de ellos gastó más gasolina? ¿Por qué?

24/11/11 13:50

Unidad 7 • El transporte

314

De la situación anterior, observe que si representamos cada tanque por medio de un rectángulo y se divide el primero en 4, el segundo en 8 y el tercero en 12 partes iguales, resulta: 3 4

32 l

32 l

6 8

32 l

12 16

16

l

16

l

16

l

16

l

16

l

16

l

16

l

16

l

32 l

Total: 128 litros

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

8l

Total: 128 litros

Total: 128 litros

De acuerdo con las figuras anteriores, ¿qué puede concluir? ¡Claro! Los tres camiones gastaron la misma cantidad de gasolina, es decir, 96 litros respectivamente. Por lo tanto, las fracciones , y son equivalentes, pues representan una misma cantidad. De estas fracciones, es la expresión más simple. Una forma de saber si dos o más fracciones son equivalentes consiste en expresarlas en su forma más simple. Para ello se dividen numerador y el denominador entre un mismo número, hasta llegar a su mínima expresión. Ejemplo: 6 8

=

6 ÷ 2 8 ÷ 2

=

3

12

4

16

=

12 ÷ 2 16 ÷ 2

=

6 8

=

6 ÷ 2 8 ÷ 2

=

3 4

De esta forma, se comprueba que es equivalente a y . Por otro lado, si se quiere encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada, basta con multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número. Por ejemplo: 3 4

=

3 × 2 4 × 2

Entonces, 3 4

=

=

6 8

=

6 × 2 8 × 2

es equivalente a 6 6

=

y

=

12 16 . Esto es:

12 16

De acuerdo con todo lo anterior, se dice que dos o más fracciones son equivalentes cuando representan una misma cantidad.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 314

24/11/11 13:50

Sesión 76 • ¿La misma cantidad?

315

¿DISTANCIAS IGUALES? Una línea de transporte de carga, Flecha Rota, cubre con sus camiones la ruta Distrito Federal - Durango, cuya extensión es de 903 km. Dos camiones salieron del Distrito Federal hacia Durango. Uno de ellos lo maneja Alejandro, y el otro Juan. En la terminal de Durango se reciben continuamente reportes de los avances que hacen los conductores. La última información que tienen en Durango es: el camión que maneja Alejandro ha recorrido del total de la ruta, y el camión que maneja Juan ha recorrido . ¿Cuál de los dos camiones ha avanzado más? Para responder a esta pregunta, haga las siguientes actividades: 1. Dibuje dos rectángulos iguales. 2. Divida al primer rectángulo en seis partes iguales y el segundo en 8 partes iguales. 3. Ilumine tres partes en el primer rectángulo y cuatro partes en el segundo. a) ¿  Qué parte de la superficie total de cada rectángulo representa la zona iluminada? b) ¿  La superficie de las tres partes que iluminó es equivalente a la superficie de las cuatro partes iluminadas de la otra figura? c) ¿Entonces,

y

son equivalentes?

4. Ahora, simplifique las dos fracciones anteriores a su mínima expresión. a)¿Las dos fracciones simplificadas son iguales? b) P  or lo tanto, ¿el camión que maneja Alejandro ha recorrido la misma distancia que ha recorrido el camión que maneja Juan? c) ¿  Cuántos kilómetros han recorrido los dos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 315

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

316

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Resuelva los siguientes problemas: 5. José compra mayor cantidad?

kg de jamón y 250 g de queso. ¿De qué producto compró

6. Yanira trabaja en una empresa en donde le pagan $1 200.00 quincenales y recibe un premio del 20% de su pago quincenal, es decir de $1 200.00. Su hermana Thalía trabaja en otra empresa y gana la misma cantidad que Yanira. Thalía recibe de su sueldo quincenal como premio. ¿A cuál de las dos hermanas le dieron más dinero como premio? 7. Encuentre dos formas diferentes de repartir en partes iguales, y sin que sobre nada, dos gelatinas del mismo tamaño entre tres personas. Represente en su cuaderno cada gelatina con un círculo.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva lo que se indica a continuación. 8. Simplificando a su mínima expresión las fracciones, coloque en el espacio vacío el símbolo = si son equivalentes o el símbolo ≠, si son diferentes. a)

d)

2

10

5

25

32

1

64

2

b)

e)

1

2

3

4



4%



4 100

c)

f)

3 4

0.75

3

9

9

3

9. Encuentre dos fracciones equivalentes a las que aparecen a continuación. a)

2 6

= — = —

b)

2 7

= — = —

c)

24 36

= — = —

Compare sus respuestas con las de la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

Observe el programa de televisión. En él se mostrarán fracciones expresadas de distintas maneras, pero que representan la misma cantidad.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 316

17/11/11 12:15

Poco a poquito ¿Cuántas veces ha tenido la necesidad de sumar kg de un producto,

kg de otro y 2

kg de otro más, para

conocer el peso de todos ellos juntos? O, acaso, ¿no se ha visto ante la disyuntiva de calcular a cuánto equivale la cuarta parte de algo? O bien, ¿cuánto queda cuando se gasta la tercera parte de cualquier cosa? Observe que el manejo de fracciones es muy común en nuestras actividades cotidianas. Y compruebe que usted puede realizar operaciones con números fraccionarios fácilmente. En esta sesión usted aprenderá a formalizar estos conocimientos y pondrá en juego esa habilidad que ya posee.

¿Qué sabe usted de las toneladas? ¿Alguna vez ha escuchado esta palabra? ¿Sabe usted a cuántos kilogramos equivale una tonelada?

RECUERDE Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad, aunque estén escritas en forma diferente.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 317

Lea con atención el siguiente texto, al finalizar éste sabrá sumar y restar fracciones.

Suma y resta de fracciones Alejandro transporta en un camión de tonelada de sandía y tonelada de papaya. ¿Podría decir cuántas toneladas ha transportado en total? Para responder a esta pregunta, es necesario sumar los de tonelada de sandía con de tonelada de papaya, es decir + . ¿Sabe usted cómo realizar esta operación? Observe, ¡es muy fácil! Cuando tenga la necesidad de sumar fracciones con diferentes denominadores, como en este caso, primero hay que convertir las fracciones en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Observe que:

3



4

=

6 8

y

1 2

=

4 8

24/11/11 13:59

Unidad 7 • El transporte

318

Ahora bien, si vendió tonelada, entonces ¿cuántas toneladas le quedaron en el camión? Veamos, aquí es necesario realizar una resta; es decir, al total de toneladas que transportó en el camión hay que quitarle la tonelada de fruta vendida. Por lo tanto, la operación es:

Si sustituimos las equivalencias anteriores en la suma inicial, obtenemos:

6

4 + 8 8



Para resolver esta operación basta con sumar los numeradores y dejar el mismo denominador.

6



8

4

+

8

=

6 + 4 8

=

10 8

=

5

Por lo tanto, ¿cuántas toneladas transportó Alejandro? ¡Claro! de tonelada, o lo que es lo mismo 1 tonelada y , porque =1 . Si una tonelada equivale 1 000 kg, entonces, ¿cuántos kilogramos de fruta transportó Alejandro? ¡Claro! 1 250 kg, porque si una tonelada es igual a 1 000 kg, entonces tonelada es igual a 500 kg; por lo tanto, de tonelada equivale 250 kg. De modo que una tonelada y cuarto es igual a 1 250 kg. De los de tonelada de sandía y papaya, Alejandro vendió de tonelada de sandía y de tonelada de papaya. ¿Podría usted decir cuántas toneladas vendió en total? En este caso, es necesario realizar otra suma, es decir + . Como aquí los denominadores son iguales, basta con sumar los numeradores y dejar el mismo denominador. Por lo tanto,

1



4

+

1 4

=

2 4

=

1 2

Esto quiere decir que vendió en total tonelada de fruta, que equivale a 500 kg.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 318



4



5

1 – 4 2

Para resolver esta resta, buscamos fracciones equivalentes a las dadas, pero que tengan ambas el mismo denominador. Como



5



4

=

10 8

y

1 2

=

4 8

,

sustituimos las fracciones iniciales por sus equivalentes y restamos los numeradores, lo que nos da: 10

8

–

4

10 – 4 6 3 = = = 8 8 8 4

Por lo tanto, quedaron de tonelada de fruta, que equivalen a 750 kg. En resumen, para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores se buscan fracciones equivalentes a las dadas, hasta obtener dos que tengan el mismo denominador. Finalmente, se sustituyen en la operación inicial las fracciones equivalentes y se suman o se restan los numeradores, según sea el caso, dejando el mismo denominador.

24/11/11 13:59

Sesión 77 • Poco a poquito

319

PIPAS DE GASOLINA Víctor es conductor de una pipa que transporta gasolina. El tanque de esta pipa tiene una capacidad de 120 000 litros. Cierto día, Víctor dejó en una gasolinería de tanque y en otra tanque. ¿Qué fracción del tanque quedó con gasolina? Antes de responder a esta pregunta, realice las siguientes actividades: Suponga que el siguiente rectángulo representa el tanque de la pipa.

1. Calque el rectángulo tres veces y, con lineas verticales divida uno en dos partes iguales, el segundo en tres partes iguales y el último en seis partes iguales.

a) ¿  Qué parte del rectángulo que dividió en seis partes iguales quedó cubierta?

2. Recorte las partes de los rectángulos divididos en dos y tres partes iguales.

c) S  i se dividen 120 000 litros en seis partes iguales, entonces, ¿a cuántos litros equivale una sexta parte?

3. Coloque una parte del rectángulo que está dividido en dos partes sobre el rectángulo que está dividido en seis partes iguales (haciendo coincidir sus vértices). A continuación, coloque una tercera parte del rectángulo que está dividido en tres partes iguales sobre el que está dividido en 6 partes. Una vez hecho esto, conteste:

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 319

b) E  ntonces, ¿qué fracción de tanque queda con gasolina?

d) ¿  Qué fracción del tanque descargó en las dos gasolinerías? e) ¿  Cuántos litros de gasolina dejó en cada gasolinería? f) ¿  Cuántos litros de gasolina quedan en el tanque?

24/11/11 13:59

Unidad 7 • El transporte

320

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Resuelva los siguientes problemas: 4. En la ciudad de México, de los contaminantes del aire son provocados por los vehículos y , por las fábricas. El restante es provocado por la basura que tira la gente. Recuerde que el total de los contaminantes se puede expresar en forma de fracción como =1 a) ¿  Qué parte de los contaminantes del aire es provocada por los vehículos y fábricas? b) ¿  Qué parte de los contaminantes del aire es provocada por la basura que tira la gente? 5. Enrique tiene partes del total de gas que puede tener su tanque estacionario. Si el fin de semana consume partes del gas que tenía, ¿cuánto gas le queda?

Compruebe que sus respuestas sean correctas. Si se equivocó en alguna corríjala.

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? 6. Resuelva las operaciones que se indican a continuación:



1

1



2 3

3 3



4 3

12 1



5

2

a) + = d) – = g) + =



1

1

b) + =



5 4 1 e) – = 4



1



2 3



4

c) f)

– +

1 5 1 5

= =

1 1 h) – =

2

3

Compare sus resultados con los de la clave. Si no coinciden, verifique sus procedimientos y corrija en donde se haya equivocado.

Observe el programa de televisión. En él se le mostrará la manera de sumar y restar fracciones, tanto con denominadores iguales como diferentes.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 320

24/11/11 13:59

En reversa ¿Cuántas veces ha tenido el resultado de una operación, pero lo que desconoce es una de las partes que lo originaron? En esta sesión aprenderá a resolver problemas en los que es necesario determinar un número desconocido involucrado en una operación.

¿Sabía usted que una persona que trabaje como chofer de tráiler debe tener una licencia especial de manejo?

Lea con atención el siguiente texto en el que aprenderá a determinar uno de los operandos faltantes dentro de una operación.

Operaciones incompletas

RECUERDE La suma y la resta son operaciones inversas. Lo mismo ocurre con la , multiplicación y la división y con la potenciación y la radicación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 321

Rosalío trabaja de chofer en una compañía fletera y tiene que cumplir con una ruta, en la cual debe hacer dos paradas. En cada una de ellas tiene que descargar parte de la mercancía. El peso de la camioneta, incluída la carga, es de 1 450 kg. Si en la primera parada descarga 380 kg de mercancía, ¿cuánto pesa la mercancía sobrante y la camioneta? He aquí la manera de saberlo: Si representamos el peso de la mercancía sobrante y el de la camioneta con un cuadro vacío , entonces la operación que resuelve el problema es la siguiente: + 380 = 1 450 En este caso, se busca un número que sumado con 380 dé como resultado 1 450.

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

322

Para resolver situaciones como la anterior, debemos realizar la operación inversa (que en el caso de la suma es la resta) con los elementos conocidos, partiendo del resultado; es decir, a 1 450 hay que restarle 380. De esta forma se obtiene el número desconocido. 1 450 – 380 = 1 070

número buscado

Operación inversa La operación + 380 = 1 450 puede aparecer como 380 + = 1 450. ¿Cree usted que el número que se busca va a cambiar estando de esta forma la operación? ¡Claro que no! Esto se debe a que el orden en que aparecen los sumandos no altera el resultado. + 380 = 1 450, entonces = 1 450 – 380 = 1 070, o bien, 380 + = 1 450 = 1 450 – 380 = 1 070

Entonces, la mercancía faltante por repartir y la camioneta pesan 1 070 kg. Ahora, si al finalizar la entrega la camioneta pesa 779 kg, ¿cuánto pesó la última mercancía? Siguiendo el mismo procedimiento, representa el peso de la mercancía, entonces: 

+ 779 = 1 070 usando la operación inversa: = 1 070 – 779 = 291

Por lo tanto, el valor buscado es 291. De donde se tiene que el peso de la última mercancía fue de 291 kg.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 322

En el transcurso del viaje, Rosalío tuvo que pagar $1 416.00 por concepto de gasolina. Si el costo por litro de gasolina es de $2.95, ¿cuántos litros de gasolina consumió la camioneta por todo el recorrido? En este caso se trata de una multiplicación, para encontrar un número que multiplicado por 2.95 dé por resultado 1 416. Esto se puede representar como: x 2.95 = 1 416 ó 2.95 x = 1 416, ya que el orden de los factores no altera el producto. Para ambos casos, el factor desconocido se encuentra a través de una división, entonces: = 1 416 ÷ 2.95 = 480

número buscado

Así que la camioneta de Rosalío consumió por todo el viaje 480 litros de gasolina. En su último viaje, la camioneta de Rosalío consumió un total de 425 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros recorrió Rosalío, si su camioneta recorre 7 km con cada litro de gasolina? Esto se puede representar como:

—7 = 425 ó

÷ 7 = 425,

representa los kilómetros recorridos. Para obtener un elemento desconocido involucrado en la división, debe efectuarse la operación inversa, esto es, la multiplicación. Entonces:

donde

= 425 x 7, lo que da 2 975. Por lo tanto Rosalío recorrió 2 975 km en su camioneta.

17/11/11 12:15

Sesión 78 • En reversa

323

Antes de salir, Rosalío recibió cierta cantidad de dinero para sus gastos de viaje. Pero, ¿qué cantidad recibió si en el transcurso del viaje sólo gastó $350.00 y le quedan $170.00? Bueno, lo anterior se puede representar como una resta: – 350 = 170, donde representa el total de dinero que recibió Rosalío antes de salir. La obtención del resultado será más sencilla a través de la operación inversa, esto es: = 350 + 170 y el

= 520.

Entonces, Rosalío recibió un total de $520.00.

Hay que aclarar que el orden en que aparecen los elementos que contienen la resta y la división sí altera el resultado, por ejemplo: 9 – 3 = 6 es diferente a 3–9=–6 36 ÷ 4 = 9 es diferente a 4 ÷ 36 = 0.111 Las expresiones del tipo + 380 = 1 450 — = 425 7 2.95 x = 1 416 reciben el nombre de ecuaciones. Por lo tanto, cuando hablemos de ecuación nos referiremos a una igualdad en la cual se incluyen valores conocidos y desconocidos (incógnitas).

LOS GASTOS DEL TRANSPORTE Resuelva en su cuaderno lo que se pide a continuación. En un viaje de Puebla a Villahermosa, Tabasco, un chofer de camión de carga gastó $685.00 en gasolina y casetas. Si para gasolina ocupó $215.00, ¿cuánto ocupó para casetas? ¿Qué procedimiento se le ocurre realizar para resolverlo? ¡Inténtelo! ¿Qué operaciones realizó? ¿Cuál fue su respuesta? Ahora resuélvalo siguiendo los pasos enunciados a continuación. Si se representa con un el gasto en casetas, iguale la expresión que representa el gasto en gasolina y casetas a $685.00, que es el costo total de ambos conceptos. Aplicando la operación inversa, encuentre el valor que representa el . ¿Cuánto gastó el chofer del camión de carga en casetas? ¿Coincidieron sus respuestas en ambos procedimientos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 323

24/11/11 14:00

Unidad 7 • El transporte

324

APLIQUEMOS LO APRENDIDO Lea el siguiente texto y conteste en su cuaderno lo que se pide a continuación. Establezca la relación entre los datos de cada uno de los siguientes problemas y obtenga el valor desconocido (solución del problema) aplicando la operación inversa. 1. El precio neto de una llanta para un tráiler (incluido el impuesto al Valor Agregado (IVA) del 15%) es de $1 268.50. a) ¿  Qué cantidad de dinero se paga por concepto de IVA?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Realice lo que se pide a continuación. 3. Aplicando la operación inversa, encuentre los elementos desconocidos de las operaciones siguientes: = 700

a) 537.25 +



= _____

c) 6.75 x



= ____

= 13.5

b)

– 85.20 = 150.55 = _____

d) — = 10 = _____

Verifique sus resultados con la clave Corrija de ser necesario.

b) ¿  Cuál es el costo de la llanta? 2. El área de un rectángulo es de 72 m2. Si su base mide 12 m, ¿cuánto mide su altura?

Verifique sus resultados con los de la clave. Corrija en caso necesario.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 324

17/11/11 12:15

Mudanza de literales En sesiones anteriores usted aprendió que en matemáticas se usan letras para representar números indeterminados y/o desconocidos. Ahora aprenderá a encontrar los valores que representan las letras cuando aparecen en ecuaciones. Lea el siguiente texto. Posteriormente resuelva las actividades que se le proponen.

¿Qué sabe usted de las fórmulas? ¿Qué es una fórmula? ¿Para qué sirve? ¿En dónde se aplican?

RECUERDE En matemáticas se suepleara usar cualquier letra representar números s indeterminados. Se leque, llama variables, por en principio, pueden r tomar cualquier valo numérico.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 325

Despeje de fórmulas sencillas Hoy en día existen aviones que transportan alrededor de 360 pasajeros, como el Boeing 747. Los aviones de esta capacidad utilizan grandes cajones llamados contenedores, en los que se transporta el equipaje de los pasajeros. Los contenedores facilitan el control y el manejo del equipaje. Los contenedores para este tipo de avión tienen forma de paralelepípedo rectangular, con las siguientes dimensiones: largo = 3.5 m, ancho = 1.70 m y alto = 1.70 m Con estos datos, ¿cómo se obtendrá el volumen que ocupa el contenedor? Recuerde que para obtener el volumen de un paralelepípedo recto, primero hay que obtener el área de la base (AB), la cual se obtiene multiplicando el largo por el ancho, entonces: AB = 3.5 m x 1.70 m = 5.95 m2 Después de obtener el área de la base, habrá que multiplicarla por la altura, para así obtener el volumen de dicho cuerpo.

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

326

Entonces tenemos: V = 5.95 m2 x 1.70 m = 10.115 m3, por lo tanto, el volumen del contenedor es de 10.115 m3. Pero, ¿qué sucedería si se tuviera otro contenedor con otras dimensiones? ¿Se haría el mismo procedimiento para obtener su volumen? ¡Claro que sí!, seguiríamos el mismo método que se acaba de describir. En general, si representamos el largo de la base con la letra b, y el ancho con la letra a, podemos decir que para calcular el área de la base de cualquier paralelepípedo recto se multiplica el largo por el ancho. Esto se expresa como AB = b x a, o AB = ba, donde AB representa el área de la base, b el largo y a el ancho del cuerpo. El volumen a su vez se expresa como: V = AB x h, o V = AB h, donde V representa el volumen de cualquier paralelepípedo recto y h la altura del mismo. A las expresiones AB = ba, V = AB h se les llama fórmulas. Y en matemáticas, se le llama fórmula a la expresión literal que indica la manera de realizar los cálculos para resolver problemas del mismo tipo. Ahora, si se tuviera un contenedor en forma de paralelepípedo recto, cuyo volumen (V) fuera igual a 14 m3, el área de su base (AB) igual 7 m2 y se desconoce la altura (h), ¿cómo obtendría este valor? ¿Le sería de utilidad la fórmula para obtener el volumen de un paralelepípedo recto (V = AB h)? ¡Claro! Si sustituimos los datos que tenemos en la fórmula, ésta quedará de la siguiente manera:

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 326

Datos: V = 14 m3 Fórmula: h=?

AB = 7 m2 V = AB x h

Sustituyendo los valores obtenemos la ecuación: 14 = 7 x h en la que h es la incógnita cuyo valor hay que encontrar. ¿Qué operación realizaría usted para encontrar el valor de h? Para ello, se aplica la operación inversa de la multiplicación, que es la división; entonces la operación queda de la siguiente manera: 14 = 7 x h Con la operación inversa queda: 14 ÷ 7 = h Al realizar la división se obtiene h = 2. Entonces dado que h representa la altura del contenedor, concluimos que ésta es de 2 m. A este procedimiento, se le conoce como despeje, es decir, cuando a la incógnita se le deja sola de un lado del signo igual, se dice que se ha despejado la incógnita. Ahora, determine el largo de la base del contenedor, si el área de su base (AB) es igual a 7 m2 y su ancho (a) es igual a 2 m. Recuerde que la fórmula para calcular el área de la base de un paralelepípedo recto es AB = b x a. Sustituyendo los valores se obtiene la ecuación: 7 = b x 2 Despejando la incógnita tenemos: 7 ÷ 2 = b; b = 3.5 m. Entonces, las dimensiones del contenedor son: ancho = 2 m, largo = 3.5 m y altura = 2 m.

17/11/11 12:15

Sesión 79 • Mudanza de literales

327

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

LA VELOCIDAD Realice en su cuaderno las siguientes actividades: Encuentre la distancia recorrida por un automóvil que viaja durante 3.5 horas a una velocidad de 80 kilómetros por hora.

Lea con atención los siguientes problemas y resuélvalos en su cuaderno, utilizando las fórmulas correspondientes. 5. Si el área de un rectángulo es de 144 m2, y su altura es de 8 m, ¿cuál es el valor de su base? Fórmula: __________________ Incógnita despejada: __________________ Valor de la incógnita: __________________

1. Utilizando V para representar la velocidad, d para la distancia y t para el tiempo, escriba simbólicamente “velocidad es igual a distancia entre tiempo”. 2. Sustituya en la fórmula anterior los valores conocidos (tiempo y velocidad).

6. Considerando a π como 3.14, ¿cuál es el diámetro de un círculo que tiene una circunferencia de 62.8 cm? Fórmula: __________________ Incógnita despejada: __________________ Valor de la incógnita: __________________

3. Despeje d (distancia) realizando la operación inversa. 4. Realice la operación indicada y obtenga el valor de la distancia recorrida.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 327

Compare sus resultados con la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

24/11/11 14:02

Unidad 7 • El transporte

328

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Conteste en su cuaderno lo que se pide a continuación. Despeje las literales que se indican en las siguientes fórmulas: 7. F  órmula: F = ma F = fuerza m = masa a = aceleración

l

m = __________________ a = __________________

l

8. F  órmula: A = 2 = __________________ A = Área del cuadrado = lado del cuadrado

l

l

l

9. F  órmula: P = 5 = __________________ P = Perímetro del pentágono = lado del pentágono regular

l

V 10. F  órmula: I = — V =__________________, R = __________________ R I = Flujo de corriente eléctrica V = Voltaje R = Resistencia 11. Fórmula: A =

bxh

b = __________________, h = __________________

A = Área del triángulo b = base del triángulo h = altura del triángulo

Compare sus resultados con la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 328

24/11/11 14:02

Juegos y pasatiempos En esta sesión se pretende que usted resuelva algunos juegos mentales por medio de razonamientos simples, y otros, mediante los conocimientos adquiridos durante el curso. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios: 1. Si un hombre se encuentra de pie en cualquier lugar de la Tierra, parece lógico afirmar que si su frente mira al norte, evidentemente su espalda tendrá que dar al sur. ¿Elemental, verdad? Sin embargo, hay un punto en la superficie de la Tierra donde la lógica falla, pues tanto el frente como la espalda del hombre dan al norte en el mismo instante y sin cambiar de posición. ¿Cuál es ese punto? 2. El siguiente juego parece ser un problema de geometría; sin embargo, es sólo una cuestión de razonamiento. Un cazador sale de su campamento y brújula en mano, camina exactamente 10 kilómetros hacia el sur. Aquí se detiene, y enseguida camina 10 kilómetros hacia el oeste. En este momento ve a un oso y le dispara, después de lo cual, siempre guiándose por la brújula de precisión y midiendo con toda exactitud las distancias, camina finalmente 10 kilómetros hacia el norte, volviendo al punto de partida, o sea, su campamento. Con estos datos, diga: ¿De qué color era el oso? No se apresure a afirmar que la pregunta es incoherente. Una vez que haya razonado, verá que es muy lógica y fácil de contestar.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 329

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

330

3. Un tren sale a las 9:00 a.m. de México a Veracruz, a una velocidad de 80 kilómetros por hora. A la misma hora sale de Veracruz a México otro tren que va más lento, a sólo 60 kilómetros por hora. Cuando los dos trenes se crucen, ¿cuál de ellos estará más cerca de México? 4. Realice un dibujo que represente la forma de colocar 10 soldados en cinco filas, de modo que cada fila tenga cuatro soldados. 5. ¿Cómo adivinar la edad de una persona? Para ello, realice los siguientes pasos: a) Que una persona anote su edad. b) Que le sume 90 a esa edad. c) A  l resultado que obtenga, que le quite la cifra de la izquierda y la sume al resto del número d) U  sted puede adivinar la edad de esa persona, si al número al que llegó la otra persona, usted suma 9. Ejemplo: Edad: 25 años a) 25, b) 25 + 90 = 115, c) 1 + 15 = 16, d) 16 + 9 = 25 6. Identifique qué parte de cada uno de los siguientes modelos es el área sombreada.

a)

b)

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 330

17/11/11 12:15

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • Plano cartesiano. • Cuerpos de revolución. • Fracciones equivalentes. • Suma y resta de fracciones. • Operaciones incompletas. • Despeje de fórmulas.

— ¿Cuál de ellos le pareció más interesante? — ¿En cuál tuvo mayores dificultades? — ¿Alguno de estos temas es aplicable a su vida cotidiana? —¿  Conoce alguien a quien le ayudará poner en práctica lo aprendido aquí? Si es así, ¿se le ocurrió acercarse a él para ayudarlo?

Realice las siguientes actividades: ¿Ha pensado qué sucedería si su comunidad se quedara sin transporte sólo por un día? Sería un grave problema, ¿no? Ahora imagínese qué sucedería si por un día fuera suspendido el servicio el Sistema de Transporte Colectivo (Metro), que mueve cada día a 4 500 000 personas, aproximadamente, en la ciudad de México. Sería caótico, ¿verdad? Bueno, pues en esta sesión usted viajará en metro.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 331

17/11/11 12:15

Unidad 7 • El transporte

332

La Ciudad de México y el área metropolitana está habitada por más de 19 millones de personas, las cuales utilizan diferentes medios de transporte. Entre los principales está el metro, cuya red se muestra a continuación:

0

6

5

7

CO

3

OLÍMPICA

TRO

S

RD O

6 GO

POTRERO

IL H IDA L

CUAUHTÉMOC

EDUA

TA VIS LIN

ME

TALISMÁN

PE

IOS

EZ ÓM

NA OLI GÓN

EAN OS REL

IÓN

ITO

CIRCUNVALAC

TEP

MO

UN LAG

R. AN

CA

NA

RU

DEPORTIVO OCEANÍA

BIO

L

TERMINAL TAPO SAN LÁZARO MOCTEZUMA

TERMINAL AÉREA

RA

TÉM

CED

UH

LDE S

OC

ISA B CAT EL LA ÓLI CA

OC

ILL

A

ÍA

EDU

ARA

CO

ARD

NS

OM

ULA

VAL

DO

LE G

MIS

A

BA

SALTO DEL AGUA

GR

CANDELARIA

ZÓCALO

SAN JUAN DE LETRÁN

MER

M. ESCOBEDO

REF

ORM

S EONE PANT

CANAL DEL NORTE

ALLENDE

BELLAS ARTES

ÓN

RTE

AG

CANAL DEL NO

DI

AR

G

I AR

L BA

TL

ÓN

8

RO

RA

AG

LGO

RE

YO

LSO

LA

G

R UE

CÓ

PU

AR

A

AL

VIL

ST

ES

ILL

BALBUENA

A

A

4

PORTALES

ES GAR HAN

BLA

TIV

PUE

APATLACO PEÑÓN VIEJO ACULCO ACATITLA

RÍO CHURUBUSCO

ERMITA IZTAPALAPA

SANTA MARTHA LOS REYES LA PAZ

MA

T. DE

1917

.I

A

TASQUEÑA

MIGUEL A. DE QUEVE

DO

2

COPILCO UNIVERSIDAD

U .A .M

LA ES C. DE

IVE

M. A. DE QUEVEDO

ZU CTE

TREL

RSI DAD

GENERAL ANAYA

UN

PERIFÉRICO

CEDRO VIVEROS

8

CONS

ERMITA

ESCUADRÓN 201

PA

EMILIANO ZAPATA

PALA

CO

GUELATAO

LA

7

ÍA RI

IZTACALCO

IZ T A

INSURGEN TES SUR

BARRANCA DEL MUERTO

MAR

TEPALCATES

L IL C O

PATRIOTISMO

REVOLUCIÓN

COYOACÁN

NATIVITAS

ORTE

JOSÉ

CENTENARIO

COYUYA

LAS TORRES

ZAPATA

DEL N

MOLINOS

IÓN DIVIS

MIXCOAC

CANAL DE SAN JUAN

CIU

ALTRAT

ÁNGEL URRAZA

PANTITLÁN

AGRÍCOLA ORIENTAL

OR

RO ÓD

XOLA

EUGENIA

DIVISIÓN DEL NORTE

VEL

IGA

AC AB CH

SANTA ANITA

159A

A

MO

O AN

AS CÁR ARO

ES DE M

ANDO

GÓMEZ FARÍAS ZARAGOZA

MIXIUHCA

VIADUCTO

XOLA

CUMBR

LÁZ

SAN ANTONIO ABAD

VILLA DE CORTÉS

SAN ANTONIO

FRAY SERV

FRAY SERVANDO AEROPUERTO

JAMAICA

EUGENIA

MO

RÍO DE LA LOZA

A

ATLA

SAN PEDRO DE LOS PINOS

ER BR

DEP

O

DEN

O

ETIOPÍA

CEN

CHI

TRO

LPA

MÉ

NCI

DIC

O TISM RIO

9

PAT

OBSERVATORIO TERMINAL CENTRAL DEL PONIENTE

NGO

TACUBAYA

ORES

HOSPITAL GENERAL

JUANACATLÁN

CONSTITUYENTES

DOCT

GÓN ÁLVARO OBRE

DAD

NIÑOS HÉROES

CHAPULTEPEC

PINO SUÁREZ

LA V

AUDITORIO

1

CUA

SEV

ACH O

ENT

CAM

URG

PA

S LMA

VI

JUÁREZ INS

LAS

POLANCO

LA

B

NA

NORMAL SAN COSME REVOLUCIÓN H ID A

EJÉRCITO NACIONAL

ÁVI

E BU

HU

DE

COLEGIO MILITAR SAN JOAQUÍN

M.

NONOALCO

POPOTLA

ZA

UE

CUATRO CAMINOS

TLATELOLCO

NES

CUITLÁHUAC

BONDOJITO SQ

ARO

TACUBA

2

FER

ROC

NE

BO

CAM

TER

REFINERíA

IM

ALU

LA RAZA

RÍO DE LOS REMEDIOS

AD

B

NO

GU

TO

S

L

M. MÚZQUIZ

MARTÍN CARRERA

RÍO

AU

E US

DE

100

E RT

TECNOLÓGICO

ARR

CAMARONES

4

LA VI BA LLA SÍL ICA

O VAL

LEJ

AQUILES SERDÁN

INDIOS VERDES

DA

NO

TERMINAL CENTRAL DEL NORTE

DE 18 POR DE TIV MA O RZ O

45

APO AZC

RTE

VÍA

INSTITUTO DEL PETRÓLEO

MOLIN A

ÍA RER

TZA

OM

LCO

OC

E QU PAR

OZ

CD. AZTECA PLAZA ARAGÓN

CNI

TEZ

E S

ITÉ POL FER

EL ROSARIO

B

LÍNEA B

N

TLALPAN

TAXQUEÑA

3

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 332

17/11/11 12:15

Sesión 81 • Lo que bien se aprende jamás se olvida

333

Suponga que usted llega a la Terminal Central del Norte y aborda el metro en la estación Autobuses del Norte (línea 5), pues desea trasladarse hacia Pino Suárez (línea 1). ¿Qué rutas podría elegir? Considere que la estación Autobuses del Norte está ubicada en el punto 1.5 oeste, 7 norte. 1. Escriba las coordenadas donde se localiza la estación Pino Suárez, de las líneas 1 y 2. 2. ¿Cuántas estaciones recorrería en cada ruta? Si encuentra otra ruta más corta menciónela. 3. ¿Cuál es la ruta que más le convendría? ¿Por qué? 4. Diga las coordenadas de la estación Chapultepec que se encuentra en la línea 1. Especifique coordenadas este u oeste y norte o sur como en el ejemplo de la estación Autobuses del Norte. 5. Dé las coordenadas de la estación Apatlaco, que corresponde a la línea 8. 6. ¿Qué fracción representa el número de pasajeros que transporta el metro diariamente con respecto al total de habitantes en el área metropolitana? 7. En 1995 el metro recorrió en todo el año 35 250 000 km. a) R  epresente en forma de fracción la cantidad de kilómetros que recorrió el metro en promedio cada mes en ese año. b) C  on base en el resultado del inciso anterior, obtenga la fracción que representa los kilómetros recorridos por el metro, en promedio, en un trimestre. Y realice una división. c) ¿Qué porcentaje representan los kilómetros recorridos en el trimestre?

Compare sus respuestas con las de la clave. Si encontró algún error corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 333

17/11/11 12:15

Lo que hemos aprendido Ha finalizado otra unidad y, como era de esperarse, en esta sesión podrá allanar el camino revisando los conceptos que le causan dificultades.

Resuelva las siguientes actividades:

l. E  scriba en el paréntesis una V si el enunciado es verdadero o una F si la afirmación es falsa.

1. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en un punto llamado origen . . . ( ) 2. El cilindro se genera debido al giro que da un rectángulo sobre uno de sus lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (

)

3. La operación inversa a la multiplicación es la radicación . . . . (

)

4. Para sumar fracciones con diferente denominador es necesario sustituirlas por sus equivalentes con denominador igual . . . . . . ( ) 5. La operación inversa a la potenciación es la radicación . . . . . (

)

6. En el plano cartesiano, el eje de las x recibe el nombre de eje de las ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (

)

7. El cono es un cuerpo con dos bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (

)

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 334

17/11/11 12:15

Sesión 82 • Lo que hemos aprendido

335

ll. D  e la lista de números que se da en cada caso, elija el que hace verdadera a la expresión y escríbalo en el espacio vacío.

1.

— = — .................................................................................................. ( 4

a) 48

b) 34

2. 78.40 = 30.48 + a) 28.18 3. 63.54 –

d) 51

+ 29.10..................................................................... ( b) 18.82

c) 8.40

b) 38.09

c) 35.09

5. 126 ÷

b) 4

c) 210

b) 6

c) 84

)

d) 1.3

= 42........................................................................................... (

a) 3

)

d) 28.45

÷ 15 = 19............................................................................................ (

a) 285

)

d) 18.28

= 28.45................................................................................... (

a) 91.99 4.

c) 86

)

)

d) 168

III. R  elacione ambas columnas y escriba en el paréntesis el número que corresponde a la definición de cada cuerpo.

1. Pirámide triangular

(

)E  s el cuerpo con dos bases triangulares y caras rectangulares.

2. Esfera

(

) Sus bases son circulares y su cara es curva.

3. Cilindro

(

) Sus caras laterales y su base son triangulares.

4. Paralelepípedo

(

) Todas sus caras y bases son cuadradas.

5. Cubo

(

) Se le da ese nombre porque sus caras son paralelas.

6. Prisma triangular

(

)S  e genera por el giro que da un semicírculo sobre su diámetro.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 335

24/11/11 14:05

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 336

17/11/11 12:15

UNIDAD

CUENTAS DIARIAS

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 337

17/11/11 12:15

H

a llegado usted a la última unidad de esta guía. Con el propósito de prepararse para su examen, revise las anotaciones que hizo en su cuaderno de trabajo, así como las sesiones de esta guía de aprendizaje. Material para esta unidad: cuaderno de trabajo y calculadora de bolsillo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-303-338.indd 338

06/12/11 11:51

Medidas en cajas Las personas que se dedican al comercio necesitan transportar su mercancía en cajas, ya sea de cartón o de madera, que facilitan el embalaje y almacenamiento de productos que requieren cuidado especial. En esta sesión se verá el procedimiento para calcular el volumen de un cubo y de un paralelepípedo recto. Lea con atención el texto que se presenta enseguida.

¿Sabe usted cómo aprovechar mejor un espacio?

RECUERDE El volumen se mide en unidades cúbicas; y existe una equivalencia entre unidades de volumen y capacidad. Por ejemplo, 1 dm3 ==1 l

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 339

Volumen del cubo y del paralelepípedo recto Para la celebración de la noche del 15 de septiembre, en la población de La Mora se compraron algunos alimentos que fueron almacenados en una bodega de 4 m de fondo por 2 m de frente y 3 m de altura. ¿Qué forma tiene la bodega? ¿Cuánto mide la superficie del piso? ¿Cuál será el volumen de la bodega? Para resolver el problema, es recomendable representar la bodega con un dibujo, como el que se muestra:

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

340

Observe en la figura anterior que la forma de la bodega es un paralelepípedo recto (prisma con bases en forma de paralelogramos) y, para conocer su volumen, se deberá proceder a calcular primero la superficie del piso (base). Recuerde que el área del rectángulo se obtiene multiplicando b x h; donde b representa el largo y h el ancho del cuerpo. De esta forma tenemos que la superficie del piso es de 4 m x 2 m = 8 m2. Para obtener el volumen, se multiplica esta cantidad por la altura de la bodega, esto es, 8 m2 x 3 m = 24 m3. Entonces, el volumen de la bodega es de 24 m3. Si los alimentos se almacenan en cajas cúbicas de 50 cm, ¿qué espacio ocupa cada caja? Fíjese que las medidas corresponden a un prisma

cuyas caras laterales y bases son cuadradas; por ello se le da el nombre específico de cubo y también se le considera paralelepípedo. Esto quiere decir que su volumen debe calcularse como para los demás paralelepípedos, es decir, obteniendo el área de la base, que en este caso es cuadrada (50 cm x 50 cm = 2 500 cm2) y, posteriormente, multiplicarla por la altura de la caja (2 500 cm2 x 50 cm = 125 000 cm3). Por lo tanto, 125 000 cm3 representa el volumen de cada caja.

En conclusión, para obtener el volumen, V, de un prisma cualquiera se calcula el área de la base, AB, y enseguida se multiplica ésta por la altura, h. Esto se representa con la fórmula: V = AB x h.

EL VOLUMEN DE LAS ARTESANÍAS Lea atentamente el siguiente problema y resuélvalo en su cuaderno. 1. La fábrica de cerámica “Tepozteca” exporta artesanías de barro a una distribuidora que se encuentra en la ciudad de San Diego, en los Estados Unidos de América. Si el remolque del tráiler que las va a transportar mide 11.8 m de largo, 2.2 m de ancho y 2.75 m de alto, ¿cuál es su volumen? 2. Para empacar las artesanías se usan cajas cúbicas cuyo lado mide 30 cm. ¿Cuál es el número de cajas que puede contener el remolque?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 340

06/12/11 11:53

Sesión 83 • Medidas en cajas

341

APLIQUEMOS LO APRENDIDO En la parte trasera de una tienda está ubicado el almacén donde se guardan cajas de mercancía. Determine el volumen de cada una de ellas a partir de la siguiente información. CAJA DE MERCANCÍA Chiles Aceite Leche Jugo Chocolate

LARGO (cm) 20 42 68.7 53.8 17

ANCHO (cm) 20 53 33.2 48.2 17

ALTURA (cm) 20 60 21.2 34.3 17 TOTAL

VOLUMEN

3. En el almacén se encuentran 25 cajas de chiles y cada caja contiene 48 latas de 125 g cada una. a) Si el precio por lata es de $2.75, ¿cuál es el precio por caja? b) ¿Qué peso tienen las 25 cajas? 4. Las medidas del almacén son 8 m de frente, 4 m de fondo y 2.80 m de altura. ¿Cuál es su volumen? 5. En el almacén hay, además de las cajas de chile, 15 cajas de aceite, 35 de leche, 18 de jugo y 8 de chocolate. Determine el volumen total de la mercancía y diga si cabe en la bodega.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 341

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

342

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? El siguiente esquema muestra el dibujo de una cisterna.

2.8 m

3.5

m

50 cm

4.5 m

De acuerdo con los datos que aparecen conteste lo siguiente: 6. ¿Qué forma tiene la cisterna? 7. ¿Qué volumen ocupa? 8. Si el grosor de sus paredes es de 50 cm, ¿de cuántos litros será su capacidad?

Verifique sus respuestas con la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 342

01/12/11 15:08

Que no le cuenten La reproducción es una parte primordial en la conservación de las especies. Debido a esto se han hecho estudios sobre el desarrollo de los seres vivos, entre los cuales se encuentra el ser humano. Uno de esos estudios se enfoca al peso y la talla de los niños recién nacidos. En esta sesión tendrá la oportunidad de analizar la información recogida de este tipo de estudios, representada en forma gráfica. ¿Sabía usted que un recién nacido se considera maduro cuando su peso está entre 2.5 kg y 4 kg al nacer? Los niños que nacen con un peso menor a los 2.5 kg se consideran prematuros, y cuando nacen con más de 4 kg es necesario que el doctor analice si no hay enfermedades en la madre como, por ejemplo, diabetes.

RECUERDE Una gráfica de barrasdos se realiza a partir de ejes, uno horizontal y otro vertical. SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 343

Lea con atención el texto que aparece a continuación, al finalizar este, sabrá interpretar información contenida en gráficas.

Interpretación de la información Para vigilar la salud y el crecimiento de un bebé es necesario que durante sus primeros meses de vida se le pese y mida con regularidad, sólo así puede saberse si se está desarrollando normalmente. Su crecimiento se considera normal cuando su talla y peso son semejantes a la talla y peso de la mayoría de los bebés. Existen estudios sobre el crecimiento de los bebés que han dado por resultado gráficas como la siguiente; en ella aparecen indicadas las edades, así como los pesos máximos y mínimos para cada una de ellas.

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

344 CURVA DE PESO DE UN BEBÉ DE 1-12 MESES 12 11 10

Peso en kilogramos

9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Edad en meses Fuente: Matemáticas I, SEP, México, 1990.

EL PESO IDEAL DE LOS BEBÉS Con base en la información de la gráfica anterior, conteste las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el peso mínimo aproximado de un bebé al nacer? 2. ¿Cuál es el peso máximo aproximado de un bebé de cinco meses? 3. ¿Cuál es el peso mínimo y máximo de un bebé de dos meses? ¿Cuál es la diferencia entre ambos pesos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 344

10

11

12

Observe que en el eje horizontal se representan las edades en meses, y en el eje vertical los pesos en kilogramos. Para interpretar la información contenida en esta gráfica, primero se localiza la línea vertical que coincida con la marca de la edad deseada; posteriormente se identifica la parte sombreada que coincida con la línea vertical de la edad; ésta indica el peso mínimo (línea inferior) y el máximo (línea superior) del bebé, de acuerdo con la escala vertical. Por ejemplo, la parte sombreada que se encima en la vertical y que corresponde a ocho meses, va de 6 kg hasta aproximadamente 9.8 kg, lo que significa que el peso normal de un bebé de ocho meses de nacido puede variar entre 6 y 9.8 kg, aproximadamente.

4. ¿Cuál es la diferencia entre los pesos mínimos de un bebé de cuatro meses y otro de nueve meses? 5. Observe que la variación aceptable entre el peso mínimo y máximo de un bebé es mayor a medida que va aumentando su edad. ¿A qué cree que obedezca este cambio? Comente su respuesta con algún familiar o amistad. 6. Investigue con familiares y amistades el peso de sus hijos al nacer (consulte a un mínimo de diez personas) y vea si están dentro de los límites señalados en la gráfica anterior.

17/11/11 12:23

Sesión 84 • Que no le cuenten

345 APLIQUEMOS LO APRENDIDO Uno de los problemas de las grandes ciudades es la enorme cantidad de basura que se genera en ellas. La siguiente gráfica de barras muestra, en porcentajes, la composición de la basura que se produce en el Distrito Federal. INGREDIENTES DE LA BASURA (Distrito Federal) (%) 60 A: Desperdicio de alimentos

50

B: Papel

40

C: Metales

30

D: Vidrio E: Textiles

20

F: Plásticos 10

0

G: Caucho y cuero A

B

C

D E Material

F

G

H

H: Madera

Fuente: Tambutti, Romilio, Muñoz, Héctor, Física 1, segundo grado, Limusa, México, 1994.

Note que en el eje horizontal se representan los diferentes materiales que componen la basura, y en el eje vertical la escala en porcentaje. La altura de cada barra indica el porcentaje de cada material. Por ejemplo, de acuerdo con el eje vertical la barra F, que corresponde a plásticos, alcanza una altura aproximada a cuatro; esto significa que de la basura generada en el Distrito Federal, el 4% corresponde a plásticos. Basándose en la gráfica de basura conteste las siguientes preguntas: 7. ¿Cuántos ingredientes de basura se consideran en la gráfica? 8. ¿Cuáles tienen el menor porcentaje? ¿Cuál es ese porcentaje? 9. ¿Qué porcentaje tiene el desperdicio de alimentos? 10. Si se tomara una muestra de 200 toneladas de basura del Distrito Federal, ¿cuántas toneladas serían de metales y cuántas de desperdicio de alimentos?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 345

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

346

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? La siguiente gráfica muestra la relación entre la velocidad del sonido en el aire (eje vertical) y la temperatura del mismo (eje horizontal). VARIACIÓN O LA VELOCIDAD DEL SONIDO CON LA TEMPERATURA Velocidad del sonido en aire (m/s)

360 350 340

330

0

10

20 30 Temperatura (ºC)

40

50

Fuente: Tambutti, Romilio, Muñoz, Héctor, Física 1, segundo grado, Limusa, México, 1994.

Analícela y conteste las siguientes preguntas. 11. ¿Qué unidades se utilizan para medir la velocidad del sonido? 12. ¿Qué unidad se emplea para medir la temperatura? 13. ¿Cuál es, aproximadamente, la velocidad del sonido en el aire a una temperatura de 0°C? 14. ¿Qué ocurre con la velocidad del sonido cuando aumenta la temperatura? 15. ¿Cuál es, aproximadamente, la velocidad del sonido en el aire a una temperatura de 40°C?

Verifique sus respuestas con las de la clave. Si cometió un error, corríjalo.

Observe el programa de televisión, donde podrá analizar otras gráficas de interés general.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 346

17/11/11 12:23

Cómo se ve la inflación Existen situaciones que provocan desequilibrio en la economía de un país. Ello desencadena aumentos de precios en los productos de consumo familiar; a su vez, los salarios no son incrementados en la misma proporción, así que no alcanzan para satisfacer las necesidades del hogar. En esta sesión analizará gráficas que representan algunos fenómenos económicos. ¿Ha escuchado usted la palabra inflación? ¿Sabe su significado? ¿De qué manera le afectan a usted las variaciones de la inflación?

Lea el siguiente texto, con él sabrá interpretar la información de tipo económico.

Interpretación de la información

RECUERDE Para interpretar la información en gráficasrvar primero hay que obse qué cantidades se representan en el eje horizontal y cuáles en el vertical. SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 347

El Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), indica la variación en promedio de los precios al consumidor, los cuales se incrementan en mayor escala en épocas de inflación. Esto no significa que todos los productos se encarezcan. Hay productos que suben de precio, otros se mantienen y otros más bajan. Pero en promedio siempre hay un aumento. A este aumento se le conoce precisamente como índice nacional de precios al consumidor (INPC).

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

348

Repunta la inflación Registra 1.60% en septiembre Acumulan los precios un incremento de 20.39% en nueve meses y prácticamente se alcanza la meta oficial para todo el año. Indice Nacional de Precios al Consumidor (Variaciones porcentuales mensuales) 3.26

3.59 2.84 2.20

Dic 95 Ene 96 Feb Mar

Inflación (Porcentajes)

1.82

Abr

Acumulada

1.63 1.42 1.33 1.60

May Jun

Jul

Ago

La gráfica anterior representa la variación de los índices de precios al consumidor de diciembre de 1995 a septiembre de 1996. Observe que el mayor aumento promedio registrado en 1996 fue de 3.59% en enero, y el más bajo, de 1.33% en agosto.

Sep

Septiembre

Consumidor Productor

20.39

1.60

19.23

1.42

Canasta Básica

22.87

1.38

Aumentan 6.26% los precios en educación y esparcimiento Inflación por rubro. Educación y esparcimiento

6.26

Ropa y calzado

1.68

Muebles y enseres domésticos

1.54

Muebles y enseres domésticos

1.41

Alimentos, bebidas y tabaco

1.20

Otros servicios

1.20

Transporte

LA ECONOMÍA De acuerdo con la gráfica anterior, conteste lo siguiente: 1. ¿Cuál fue el INPC registrado en enero de 1995?

1.14

Vivienda

1.12

2. ¿Cuál fue el INPC en enero de 1996?

Estimados de inflación para 1996. (Porcentajes)

26.50

20.50

Oficial

Privado

Fuente:Fuente: El Universal, jueves 1jueves 0 de octubre de 1996.de 1 996. El Universal, 1 0 de octubre

3. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos índices? 4. ¿Cuál fue el porcentaje de descenso que se registró a partir de abril y que terminó en agosto? 5. ¿En qué rubro se presentó mayor inflación?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 348

06/12/11 11:54

Sesión 85 • Cómo se ve la inflación

349

APLIQUEMOS LO APRENDIDO La siguiente gráfica representa la encuesta nacional de gastos de los hogares correspondiente a 1994.

L-19%

A-24%

K-6% J-2% I-2%

B-5% C-6%

H-6% G-10% F-11%

D-6% E-3%

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L:

Alimentos Vestido y calzado Electrónica Enseres menores Servicios Médicos Transporte Educación y esparcimiento Artículos de cuidado personal Autoconsumo Pago en especie Regalos Vivienda

Fuente: Excelsior, 8 de abril de 1996.

De acuerdo con la gráfica anterior, conteste lo siguiente: 6. ¿Qué tanto por ciento del ingreso se destina para alimentos? 7. ¿Qué tanto por ciento del ingreso se invierte en educación y esparcimiento? 8. Según la distribución de la gráfica anterior, si una persona gana $4 000.00 mensuales, entonces: a) ¿Cuánto destina para alimentos? b) ¿Cuánto para transporte? c) ¿Cuánto para vestido y calzado? d) ¿  Cuánto le sobra para los demás gastos?

Verifique sus respuestas con la clave. Si se equivocó, corrija.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 349

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

350

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Si usted compra un producto proveniente del extranjero, es decir, de importación, el precio de éste en pesos mexicanos depende o está en función del valor del dólar respecto al peso mexicano en el momento de la compra. La gráfica siguiente muestra la variación del precio de venta del dólar en moneda nacional durante una semana. VARIACIÓN DEL DÓLAR (del 23 al 30 de septiembre de 1996) 7.75

7.70

PESOS

7.70 7.65 7.60

7.65

7.65

7.65

7.62

7.63

V

L

7.55 7.50

L

M

M

J Días

Fuente: El Universal, 1 de octubre de 1996.

Note que en el eje horizontal se representan los diferentes días de la semana y que el costo por dólar es indicado por la altura del punto (•) respecto a la escala vertical, en la cual se indican los diferentes valores de la moneda extranjera. Así, por ejemplo, el lunes 23 de septiembre de 1996 se pagó $7.65 por un dólar.

9. ¿Qué precio tuvo un dólar el día martes? 10. ¿Cuántos dólares se podían comprar el miércoles con $130.00? 11. ¿Hay días consecutivos en que no haya variado el precio de la moneda extranjera? ¿Cuáles son?

12. ¿Qué variación sufrió el precio del dólar del 23 al 30 de septiembre de 1996? 13. ¿Cuál fue la ganancia de una sucursal bancaria si el día 30 de septiembre de 1996 vendió 1 200 dólares y compró la misma cantidad? El precio de compra fue de $7.20 por dólar; el precio de venta aparece en la gráfica.

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 350

06/12/11 11:55

¿Cuánto pago? Los impuestos son parte importante en la vida de un país, y mucho más en la vida de un trabajador. Por ello es importante que conozcamos qué impuestos nos cobran, por qué concepto y a cuánto ascienden. En esta sesión resolverá diferentes problemas que están ligados a los impuestos del servicio telefónico y la luz.

Lea con atención el siguiente texto, en el que aprenderá a calcular impuestos.

¿Qué sabe usted acerca del IVA? El tanto porciento en los impuestos

RECUERDE El porcentaje de una cantidánaddola se puede obtener multiplic cado. por el tanto por ciento indi50 Ejemplo: 10 % (0.10) de = 5. Se calcula así: 50 x 0.10

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 351

El impuesto es una aportación económica obligatoria que realizan las personas en favor del Estado para que éste la invierta en servicios como educación y salud entre otros. Por ejemplo, si tiene contrato con la Compañía de Luz, debe pagarse un impuesto, llamado IVA (Impuesto al Valor Agregado), y que equivale al 15% del consumo total. Además, dicho consumo se paga cada dos meses. En la casa del señor Romero se consumen cada dos meses 160 kwh (kilowats hora), y por este consumo debe pagar $37.30, más el 15% de IVA. ¿Cuánto debe pagar el señor Romero en total por el consumo de luz?

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

352

Para obtener el total a pagar, primero hay que obtener el 15% de $37.30. Recuerde que cualquier tanto por ciento puede expresarse como número decimal. Así el 15% puede expresarse como 0.15. Para calcular el 15% de 37.30 se multiplica 37.30 x 0.15 = 5.595. Para obtener el total a pagar, se suma 37.30 + 5.595 = 42.895. Entonces, el total a pagar es de $42.895. Esta cantidad, redondeada, nos da $42.90. Una forma más rápida de obtener el total a pagar es multiplicando 37.30 x 1.15 = $42.895. Con este procedimiento no es necesario realizar ninguna suma. A los que tienen línea telefónica también se les cobra un impuesto del 15% de IVA. Si Gregorio paga por el servicio telefónico $94.20, incluyendo el

impuesto del 15%, ¿cuánto está pagando por servicio medido y renta? $94.20 corresponde al 115% (100% corresponde al servicio medido y renta, y el 15% correspondiente al IVA). Primero se convierte 115% a número decimal (115% = 1.15) y después se divide 94.20 ÷ 1.15 = $81.91. Esta es la cantidad que está pagando Gregorio por concepto del servicio medido y renta. Para comprobar que $81.90 corresponde al pago del servicio medido y renta, basta con obtener el 15% de esta cantidad y sumarlos a $81.90. El resultado debe ser $94.20. Este se obtiene de la forma más rápida si se multiplica 81.90 x 1.15. Realice la multiplicación y verifique que obtiene $94.19. Si redondeamos los centavos obtenemos la cantidad total que debe pagar Gregorio, que son $94.20.

LOS IMPUESTOS EN LA VIDA DIARIA

2. ¿Cuánto pagará de IVA? Y, ¿cuánto en total?

Lea el siguiente problema y conteste en su cuaderno lo que se le pide.

3. El pago del servicio telefónico incluye el servicio medido, que depende del número de llamadas, y la renta, que es una cuota fija por la línea telefónica. Si la señora Sara paga una renta de $57.80 y un servicio medido de $47.38, ¿cuánto pagará en total del servicio telefónico?

La señora Sara consumió en dos meses 180 kwh y pagó por este consumo en total $48.30. ¿cuánto fue de IVA? 1. Si la señora Sara consume 148 kwh en dos meses, ¿cuánto pagará únicamente por el consumo?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 352

4. ¿Cuánto le cobrarán de IVA?

06/12/11 11:56

Sesión 86 • ¿Cuánto pago?

353

APLIQUEMOS LO APRENDIDO

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS?

Lea el siguiente problema y resuelva en su cuaderno lo que se pide:

Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios.

Diana y Jorge terminaron de construir una pequeña casa y fueron a la Compañía de Luz para hacer su contrato. Si pagaron un total de $3 795.40, ¿cuánto pagaron por concepto de IVA? 5. Si en los dos primeros meses consumen 73 kwh y pagan por este consumo $18.174, ¿cuánto pagarán de IVA?

10. Graciela pagó por el servicio telefónico del mes anterior un total de $153.50. ¿Cuánto pagó por concepto de IVA? Trunque el resultado a enteros. 11. Si en el mes antepasado pagó $88.95 en total y sabe que le cobran $57.80 por concepto de renta, ¿cuánto pagó del servicio medido? Redondee su resultado a centavos. 12. ¿Cuánto pagó de IVA?

6. Si consumen 96 kwh, ¿cuánto pagan por este consumo? Y, ¿cuánto pagan de IVA? 7. Si pagaran en total $33.50 ¿cuánto estarían pagando de IVA? 8. ¿Cuánto estarían pagando por el consumo?

13. ¿Cuánto habría pagado en total si se hubiera registrado un servicio medido de $54.54?

Compare sus resultados con los de la clave, y si tuvo algún error, corríjalo.

9. ¿Cuántos kilowatts hora habrán consumido?

Observe el programa de televisión. En él se muestran algunas situaciones del pago de servicios e impuestos.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 353

17/11/11 12:23

¿Cuánto será? Para pagar los impuestos o los servicios, usted tiene que calcular antes cuánto le corresponde pagar y cómo le conviene efectuar dicho pago. Ahora realizará algunos de esos cálculos.

Lea el siguiente texto en el que se hace referencia al pago de impuestos y servicios:

¿Sabe usted calcular la cantidad que debe pagar de impuesto por la prestación de un servicio?

RECUERDE El tanto por ciento puede mero expresarse en forma de nú decimal. Ejemplo: 5% == 0.05, 28% == 0.2815 40% == 0.40, 15% == 0.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 354

Un procedimiento adecuado El impuesto predial es uno de los muchos pagos que se realizan cuando se tiene un bien raíz (departamento, casa, etcétera), y la cantidad que debe aportarse por ese concepto se establece según la zona donde se localice la propiedad. La siguiente tabla muestra cómo se fija el pago anual de este impuesto en los municipios A, B, C y D. MUNICIPIO

IMPUESTO PREDIAL

A

0.81%

B

0.75%

C

0.87%

D

0.92%

17/11/11 12:23

Sesión 87 • ¿Cuánto será?

355

De la tabla anterior, por ejemplo, el señor Arriaga es dueño de una casa que ha sido valuada por el gobierno (valor catastral) en $80 000.00 ¿Cómo calcular el impuesto predial anual que debe pagar, si se sabe que vive en el municipio C? El procedimiento para conocer la cantidad a pagar es: valor de la casa x tanto por ciento = impuesto 100 esto es, 80 000 x 0.87% = $80 000 x 0.87 100 100 $80 000 x 0.0087 = $696.00. El impuesto

predial anual que corresponde a la casa del señor Arriaga es de $696.00. Pero, hay que tomar en cuenta que se hacen descuentos a las personas que efectúan su pago anual durante los primeros meses del año, como se muestra en la siguiente tabla. MES EN QUE

DESCUENTO POR

SE PAGA

PRONTO PAGO

Enero

10%

Febrero

8%

Marzo

5%

Si el señor Arriaga pagara en enero, ¿de cuánto sería su descuento y cuánto tendría que pagar? Para saberlo es necesario calcular el 10% de 696, que se obtiene al multiplicar 696 x 0.10 = 69.60; esta cantidad corresponde al descuento que se aplicará y que se debe restar al impuesto calculado (696 – 69.60 = 626.40). Así, la cantidad que pagará el señor Arriaga en el mes de enero será de $626.40.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 355

¿Recuerda otra forma de obtener el mismo resultado? ¿Qué pasa si multiplica el impuesto ($696.00) por el tanto por ciento que va a pagar (90%)? ¡Así es! Se obtiene la cantidad a pagar directamente, sin necesidad de la resta. Pero, ¿sabe usted dónde quedó esa resta? ¿Cree usted que se elimina sin ninguna razón? ¡Claro! La resta ya está incluida en el tanto por ciento por el cual multiplicó el impuesto, es decir, al 100% que equivalen $696.00, usted está restándole ya el 10% que la van a descontar. Dicho de otra forma, si el señor Arriaga realiza su pago en enero, sólo tendrá que pagar el 90% de la cantidad total. El servicio de agua potable también tiene un descuento, si se hace el pago anual en los primeros meses del año. Por ejemplo, el señor Suárez vive en el municipio A y le corresponde un pago anual de $414.00 por el servicio de agua. Como paga en el mes de marzo, su descuento es de 5%. Calculemos la cantidad que pagó el señor Suárez. Una forma consiste en obtener el 5% de $414.00 y restárselo a esta cantidad: 414.00 x 0.5 = 20.70 414.00 – 20.70 = 393.30 El señor Suárez pagó $393.30 por concepto de agua. Con el segundo procedimiento, tenemos que el señor Suárez sólo pagará el 95% de la cantidad total, porque 100% – 5% = 95%. Basta multiplicar $414.00 por 95%, esto es, 414.00 x 0.95 = 393.30. Por lo tanto, $393.30 es la cantidad a pagar. Como vio, con cualquiera de los dos procedimientos usted puede llegar al mismo resultado.

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

356

APLIQUEMOS LO APRENDIDO PAGO DE SERVICIOS Lea el siguiente problema y resuelva en su cuaderno lo que se le indica: La señora Soberanes vive en el municipio B y su casa está valuada en $25 000.00. 1. Consulte la tabla del impuesto predial y calcule el pago anual que debe realizar la señora Soberanes.

Al señor Andrade, que vive en el municipio D, le corresponde un pago anual de $408.00 por el servicio de agua potable. 5. Si paga en el mes de febrero, ¿qué cantidad le corresponde como descuento y cuánto debe pagar? 6. ¿Qué tanto por ciento del total va a pagar? ¿De cuánto es el porcentaje? 7. Si paga cada bimestre, ¿de qué cantidad debe ser cada pago?

2. Si la señora Soberanes decide pagar cada bimestre, tendría que hacer seis pagos. Calcule de cuánto será cada uno. 3. Si la señora Soberanes quiere pagar en enero , ¿de cuánto es el descuento y cuánto debe pagar?

¿QUÉ TANTO APRENDIMOS? Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios:

4. Si la señora Soberanes debe un año de impuesto predial y le cobran 8% de recargos, ¿cuánto va a pagar de recargos?

8. El señor Robles tiene una casa valuada en $28 000.00 y tiene que hacer un pago anual de impuesto predial de $210.00. Realice sus cálculos y diga en qué municipio vive el señor Robles.

Verifique sus resultados con la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

9. Jaime debe hacer un pago anual por servicio de agua potable de $380.00. Si pagó solamente $342.00, diga en qué mes efectuó dicho pago.

Compare sus resultados con la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 356

17/11/11 12:23

Juegos y pasatiempos Otra vez lo invitamos a pasar un rato agradable resolviendo algunos pasatiempos. Y recuerde: más que una prueba de conocimientos son un reto mental y de ingenio. Resuelva los ejercicios siguientes: 1. Escriba los números faltantes entre 0 y 4 de medios en medios, de tal manera que la suma de cada fila, columna o diagonal sea igual a 6.

1

1

2

2

1

2

2. Si usted sólo cuenta con un recipiente de 3 litros y uno de 5 litros, ¿de qué forma pondría 1, 4 y 5 litros en un depósito?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 357

3. En la siguiente lista de números sólo hay uno que se repite. ¿Cuál es? 66 42 92 4 61 44 75 21 97 86 40 77 89 93 58 38 53 78 87 81

10

23 41 32 98 25 47 70 24 95 3 57 43 14 2 69 85 96 54 8

36 74 22 59 20 64 62 9 73 18 91 52 27 84 12 94 65 31 6 76

71

29

11

15

45 90

50 19 26 80 37 83 39 49 67 13 17 68 48 5 33 82 63 79

1

51 7 16 88 34 72 30 35 46 99 55 28 56 23 60

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

358

4. Un caracol se encuentra en el fondo de un pozo de 5 metros de profundidad; durante el día sube 3 metros y por la noche baja 2 metros. ¿Cuántos días tardará en salir del pozo?

6. Acomode 10 semillas, fichas o monedas en la siguiente posición. Mueva sólo tres para que el triángulo apunte hacia abajo.

5. Intente unir los siguientes nueve puntos con cuatro rectas sin levantar el lápiz del papel.

Verifique sus respuestas con la clave. Si cometió algún error, corríjalo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 358

17/11/11 12:23

Lo que bien se aprende jamás se olvida LOS TEMAS DESARROLLADOS EN ESTA UNIDAD FUERON: • Volumen del cubo y del paralelepípedo recto. • Interpretación de la información. • Cálculo de porcentajes en pagos de servicios e impuestos.

— A  note en forma breve los aspectos más importantes desarrollados en las sesiones de esta unidad. — ¿  Los temas aquí abordados le ayudaron a comprender mejor algunas situaciones de su vida cotidiana? ¿Cuáles?

Lea el siguiente texto, y realice lo que se le indique.

Las condiciones económicas del país han permitido que aumente el número de empresas que venden productos a crédito. Esto no siempre favorece la economía familiar, pues en ocasiones se paga muchísmo más del valor original del producto. Analice las siguientes situaciones y anote las respuestas que correspondan. 1. Rosaura desea comprar un refrigerador en una tienda de prestigio donde le informaron sobre las diferentes formas de pago. Una es de contado. Lo que debe pagarse en este caso son $3 800.00, con lo que la mercancía se entrega de inmediato.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 359

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

360

Otra forma de pago es a crédito en 39 semanas de $141.28 cada una; la entrega se hace en forma inmediata. La tercera y última forma consiste en hacer un primer pago equivalente al 10% del precio de contado, y a pagar el resto en 3 meses, pero el producto se entrega al finiquitar el costo total. a) ¿  Cuál será el costo del refrigerador si Rosaura decide comprarlo a crédito? Redondee su resultado. b) ¿Qué tanto por ciento más pagará Rosaura si elige esta opción? c) S  i elige la tercera opción y, al cabo de dos meses, ha pagado $3 000.00 ( incluyendo el pago inicial) sin gozar de la mercancía, ¿qué porcentaje ganará la empresa al invertir esa cantidad en el banco con una tasa de interés mensual de 4%? d) S  i en una sola de las sucursales de la misma empresa se diera una situación semejante a la anterior con 20 personas, ¿a cuánto ascendería la ganancia por los intereses producidos en ese mes? e) C  alcule la cantidad que se ganaría en un mes si se repitiera la misma situación en 30 sucursales. 2. ¿Por cuál de las tres opciones se decidiría usted? ¿Por qué? 3. Rafael solicitó $1 800.00 a una persona que se dedica a prestar dinero con interés (agiotista). Se comprometió a pagar en tres meses, al cabo de los cuales pagó $2 340.00 en total. a) ¿  Cuál es la diferencia entre la cantidad pagada y la cantidad que prestaron a Rafael? b) ¿  Qué tanto por ciento cobra el agiotista al mes por los préstamos? Considere que la tasa de interés es la misma para los tres meses. ­c) ¿  A cuánto ascendería la deuda de Rafael si tardara dos meses más en pagarla? Considere la misma tasa de interés en el préstamo original.

Compare sus respuestas con las de la clave.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 360

17/11/11 12:23

Lo que hemos aprendido ¡Felicidades! No sólo ha concluido una unidad más; esta sesión también es la última del curso, y el llegar hasta aquí es señal de su persistencia y voluntad de superación. Siga así y propóngase la meta de continuar con el siguiente curso.

Resuelva los ejercicios que se le piden: 1. Calcule el volumen de un cubo, cuyo lado mide 11.5 pulgadas. 2. Convierta la medida del lado del cubo anterior a centímetros y calcule el volumen. 3. Mida el cuarto donde está usted y calcule área lateral, área total y volumen. 4. La distancia promedio que hay de la ciudad de México a Tecolutla, Veracruz, es de 355 km. Suponga que usted sale de la ciudad de México rumbo a Tecolutla en un automóvil que rinde 12 km por litro. a) S  i el costo de la gasolina por litro es de $2.98, ¿cuánto gastará usted en promedio por el consumo de gasolina en el viaje de ida? b) E  l hospedaje por persona es de $62.50 (un día y una noche) y el costo por cada alimento es de $15.00. ¿Cuánto gastaría usted en hospedaje y alimentos si pasa dos días completos en Tecolutla (dos días y dos noches) y realiza tres alimentos diarios?

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 361

17/11/11 12:23

Unidad 8 • Cuentas diarias

362

c) C  alcule el gasto con las mismas condiciones para usted y tres miembros más de su familia. d) ¿  Cuánto gastaría en total por el viaje? Incluya los gastos de regreso. e) S  i se quedara un día más, ¿a cuánto ascenderían sus gastos? Incluya tres comidas y hospedaje. 5. Ahora elija un lugar donde le gustaría ir de vacaciones, investigue costos y haga un presupuesto según el número de días que le gustaría estar ahí y el número de personas que lo acompañarían.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 362

17/11/11 12:23

Sesión 90 • Lo que hemos aprendido

363

6. A continuación se le muestra un cuadro que apareció en un periódico de circulación en la ciudad de México. Con base en él conteste las siguientes preguntas:

Fuente: Reforma, 28 de Junio de 1996.

a) S  i el D.F. tiene una población aproximada de 8 200 000 habitantes y el 48.6% de ella está formada por personas de 19 años y menores, diga el número de personas que corresponde a esta edad. b) D  el número de personas obtenido en el inciso anterior, diga cuántas representan el 1.29%, que es el promedio de jóvenes que consumen mariguana. c) E  scriba en pocas líneas su interpretación del cuadro anterior y explique qué medidas tomaría usted para evitar el consumo de drogas entre los jóvenes, y en particular en sus hijos (si los tiene).

Vea la sesión de asesoría por televisión, donde podrá participar con sus comentarios, dudas y sugerencias. Revise la programación.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-339-363.indd 363

17/11/11 12:23

E

Cla ves n este apartado están las respuestas de todas las evaluaciones de cada sesión y de aquellas actividades que probablemente le presentaron alguna dificultad.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 364

24/11/11 14:07

Claves unidad 1 • El cuerpo humano

365

UNIDAD 1 EL CUERPO H U M A N O S e s i ó n 1 : ¿ C o n n ú m e r o o c o n l etra? 3. 4 700 000 + 5 800 000 = 10 500 000 10 500 000 ÷ 2 = 5 250 000 (promedio) 5 250 000 < 5 750 000. El signo < significa “menor que”. El signo > significa “mayor que”. 7. 5.170 – 4.275 = 0.895. La diferencia es 0.895, que es menor que un litro,es decir 0.895 < 1. 8. Se obtiene el número 2 895 342, que se lee: dos millones, ochocientos noventa y cinco mil, trescientos cuarenta y dos. 9. Se obtiene el número 28 717 208, que se lee: veintiocho millones, setecientos diecisiete mil, doscientos ocho. 10. El número es 80 008 008, tiene ocho cifras y se debe leer: ochenta millones, ocho mil ocho.

S e s i ó n 2 : S i me compara, ya me ubicó 1. María: 3 600 neutrófilos; Jorge: 4 200 neutrófilos. El procedimiento para obtener los neutrófilos de María puede efectuarse de la siguiente manera: Tomemos en cuenta la relación entre leucocitos y neutrófilos.

LEUCOCITOS

NEUTRÓFILOS

1 000

600

2 000

1 200

4 000

2 400

Puesto que María tiene 6 000 leucocitos por cada milímetro cúbico: Leucocitos: 2 000 + 4 000 = 6 000 Tenemos: Neutrófilos: 1 200 + 2 400 = 3 600 7. 152 651, 85 268, 49 968, 17 125, 13 727, 1 849, 1 573 8. En una tonelada hay 1 000 kg. 9. Recibe 500 kg de abulón. 10. Habría adquirido 250 kg de sierra. 11. 1 573 toneladas de langosta.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 365

24/11/11 14:10

Claves unidad 1 • El cuerpo humano

Núcleo 1

366

Sesión 3: Aproxímese 1.

Para realizar una aproximación del resultado se pueden redondear 257 a 260, y 98 a 100. Por lo tanto, si ahora resolvemos el problema de los 260 carteles, Natalia entregó 100 para que se repartieran en el sector norte. Para calcular cuántos le quedaron para los otros sectores resolvemos mentalmente 260 – 100, con lo cual quedan aproximadamente 160 carteles para los demás sectores. El resultado exacto del problema se obtiene de restar 257 – 98, lo que da por resultado, exactamente, 159 carteles. La cantidad que nos dio la estimación (160 carteles), se aproxima bastante al resultado exacto del problema (159).



5.

6.

MARIO Estimación

7.

ALEJANDRO

Real

JORGE

Estimación

Real

Estimación

Real

140

142

165

166.5

1o. a 2o. minuto

40 2o. a 3er. minuto

42

70

68

3o. a 4o. minuto 40

36

Sesión 5: Hacer y deshacer

Sesión 4: Sumamente diferente

3. Compró 1 505 dólares, porque 10 535 pesos entre 7 pesos da 1 505 dólares. 4. Como

4. 4 6 5 – 1 8 8

2 7 7

2 1 3 6 – 1 2 1 7 0 9 1 9

5. a) $910.00 b) 9 970 610 – 8 012 409 = 1 958 201 km2.

de 400 es 4, entonces

de 400 es 8. Por lo tanto, pagó 8 dólares de impuesto, que equivalen a 56 pesos. 5. Si 40 minutos representan la sexta parte del total del viaje, entonces se multiplica 40 x 6, lo que da como resultado 240. Por lo tanto, el viaje duró 240 minutos. Para convertirlo a horas, se divide 240 entre 60 (240 ÷ 60), lo que da por resultado: 4 horas. 6. a) 864 280 c) 683 544 e) 79

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 366

b) 35 163 092 d) 90 f) 102

17/11/11 14:55

Claves unidad 1 • El cuerpo humano

367

Sesión 6: ¿Qué tan grande eres? 6. 3.7 m = 370 cm, 100 m = 100 000 mm, 10 km = 10 000 m, 392 cm = 3.92 m, 25 000 m = 25 km, 150 dam = 1.5 km. a) 5 000 m, 3 600 segundos. b) 20 vueltas, 3 minutos.



Sesión 7: Mi medida 3. Como un kilómetro equivale a 1 000 metros, entonces 12 kilómetros son 12 000 metros. De los 12 000 m que recorre diariamente, en esa ocación el atleta sólo recorrió 4 000 m. Esta relación se expresa en forma de fracción de la siguiente manera: 4000

7. 12 dm.

12000  omo usted puede observar el atleta C recorrió de lo que recorre usualmente porque 4 000 m cabe 3 veces en 12 000 m. =

4.

8. Una hora.

= 570 ÷ 3 = 190. Entonces Juan

ha gastado $190.00 =

5. a)

Sesión 8: Anatomía de un número 6. a) 0.7

b) 0.9

c) 0.1

7. a) 1.01

b) 5.17

c) 8.00

8. a) 3.141

b) 0.843

c) 15.100

9. a) 0.9

b) 9.1

c) 7.6

= 2 400 ÷ 5 = 480. Aumento

de sueldo $480.00

b) 1  200 + 480 = 1 680. Nuevo salario: $1 680.00

1 1

1.

3 5 9 6 9 2 6 7

3 4 5 6 7 8 9 1 1 0 4 3

4 5 1 0 8 7 8 1 1 6 1

1

0 5 5 4 1 4 2 9

6 7 8 9 6 7 0 0 6 5 0 2 1 8 1 4 0 0 4 5 2 3 4 5 0 4 0 5 3 1 0 4 7 8 6 6 6 5 8 7

0

4

9

2

=15

2 3 4 5 6 7 8 9

3

5

7

=15

8

1

6

=15

2. Si su edad fuera de 32 años, entonces: 32 x 37 = 1 184, 1 184 x 91 = 107 744, y luego 107 744 x 3 = 323 232 si fuera otra edad, 28 años por ejemplo: 28 x 37 = 1 036, 1 036 x 91 = 94 276, y finalmente 94 276 x 3 = 282 828.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 367

3.

1

5 =1

2 2 4 0 4 3 0 2

=1 5

Sesión 9: Juegos y pasatiempos

=15

=15

=15

4. S  i debía cobrarles $25.00 a los tres estudiantes entonces hay que dividir los $25.00 entre 3, lo que da como resultado 8.333, si a esta cantidad le sumamos el peso que les regresa el mesero será 9.333. Si la multiplicamos por 3, esto nos da 27.999, que al redondearla obtenemos $28.00. Más los $2.00 que se quedó el mesero, son los $30.00 que les cobran en total.

17/11/11 14:55

Claves unidad 1 • El cuerpo humano

Núcleo 1

368

S e s i ó n 1 0 : L o q u e b i e n s e a p r e n d e j a m á s se olvida 2.

TIPO DE TRANSMISIÓN

6. 3 650 días.

No. DE PERSONAS

No clasificados Homosexual Bisexual Heterosexual Transfusión Donantes remunerados Hemofilia Perinatal Drogas intravenosas Total

6 829 6 475 4 560 4 122 918 309 253 198 167 23 831

7. 121 meses aproximadamente, si hizo el cálculo dividiendo 3 650 ÷ 30 120 meses si hizo el cálculo basándose en que 1 año tiene 12 meses, por lo que 10 años x 12 meses son 120 meses.

3. En la infección por el uso de drogas intravenosas.

8. Si hay 167 personas infectadas por drogas intravenosas y cada una infecta a 2 personas, entonces: 167 x 2 = 334 personas infectadas. Por lo tanto, el total de personas seropositivas será de 24 165

4. 31

9. 600 personas de cada 1 000

5. Trescientos nueve.

10. 6 personas de cada 10

Sesión 11: Lo que hemos aprendido I.

ll.

1. d

109 909

2. g

109 990

3. a

109 999

lll.

lV.

V.

1. 455

1. 29 841

a) 373 visitas.

2. 680

2. 78 834

b) $10 149.00

3. 1 343

3. 4 564 404

4. 7

4. 147

1.

c) $3 076.00

4. b

190 099

5. e

190 999

a) $3 125.00

6. f

199 099

b) $2 700.00

7. h

199 909

8. c

199 990

2.

5. 1 150

c) $17.00 3. a) 16.5 meses. b) 495 días. c) 1 año 11 meses 15 días.

4.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 368

24/11/11 14:11

Claves unidad 2 • La alimentación

369

UNIDAD 2 L A A L I M E N TA C I Ó N Sesión 12: Las primeras potencias

4. Como la cantidad de grupos debe ser igual a la cantidad de gallinas de cada grupo, se está buscando un número que multiplicado por sí mismo dé 289. Para ello se extrae la raíz cuadrada al total de gallinas, esto es 289 = 17, porque 172 = 289. Por lo tanto, son 17 grupos con 17 gallinas caga grupo. 9. a) 18 paquetes.

b) con 18 huevos cada paquete.

c) 18 kg.

d) $162.00

10. a) 32 = 9

b) 24 = 16

c) 53 = 125

d) 44 = 256

11. a) 144 = 12

b) 49 = 7

c) 100 = 10

d) 225 = 15

Sesión 14: ¿Qué es primero?

S e s i ó n 1 3 : Tab l a s y t e c l a s 1. 34 cm.

1. 3 x (440 + 520) – 380 + 990 =

2. 45 cm.

2. Primero la suma que se encuentra entre paréntesis, después la multiplicación y por último las sumas y restas, de izquierda a derecha.

3. 503.46 cm. 4. 2 025 x 5 = 10 125 cm2 , 10 125 = 100.62 cm. 5. 1.006 m.

3. 3 x 440 + 520 – 380 + 990 = 3 490. A la señora Márquez le quedó $3 490.00

6. 253 472 cm2 ÷ 2 = 126 736 cm2, 126 736 = 356 cm, 3.56 m.

5. 3 x 440 + 990 = 2 310. Recibió $2 310.00 por comidas corridas.

7. a) Entre 26 y 27 c) Entre 28 y 29 e) Entre 10 y 11

b) Entre 31 y 32 d) Entre 35 y 36

6. Se vendieron 210 comidas corridas.

8. a) 17 mm2.

b) 17.32 mm2.

11. a) 36 ÷ ( 5 + 7 ) = 36 ÷ 12 = 3 b) (16 + 8 x 4 ) ÷ 12 = (16 + 32) ÷ 12 = 48 ÷ 12 = 4 12. a) 16 – 3 x 5 = 16 – 15 = 1 b) 232 – 4 + 25 = 529 – 4 + 5 = 525 + 5 = 530

S e s i ó n 1 5 : N o s ó l o d e p a n v i v e e l hombre 12. 1.328 kg, porque 328 g es mayor que 325 g.

Sesión 16: Punto alineado 8. 223.95 kg.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 369

9. 9.5 kg.

10. 391.7 kg.

24/11/11 14:11

Claves unidad 2 • La alimentación

Núcleo 2

370

Sesión 17: Muchos y pocos

1.

HORAS BACTERIAS

0

4

8

12

16

20

24

300

900

2 700

8 100

24 300

72 900

218 700

2. Los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15 El rollo de 15 m puede venderse en tramos de 1, 3, 5 ó 15 m. 5. a) 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 165, 180... b) 1, 2, 13, 26 6. a) 1  x 16 = 16 2 x 8 = 16 4 x 4 = 16

b) 1 x 30 = 30 2 x 15 = 30 3 x 10 = 30 5 x 6 = 30

c) 1 x 40 = 40 2 x 20 = 40 4 x 10 = 40 5 x 8 = 40

d) 1 x 21 = 21 3 x 7 = 21

7. Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Sesión 18: Que no quede nada 7.

Sesión 19: Rápido y seguro 7. 873, 1 857, 12 423, 24 216 8. 375, 2 530, 218 250, 471 935

 i sumamos el medio chocolate a los 11 chocolates 8. a) S que le habían quedado a Juanita, tenemos 11.5 chocolates que equivalen a la mitad de todos sus chocolates y como la otra mitad la tiene Reina (11.5), entonces el total de todos los chocolates será 11.5 + 11.5 = 23 chocolates.

9. 119, 53 361 10. 153, 297 11. Resultado abierto

b) C  omo Reina tenía 11.5 chocolates más el medio chocolate que después le dió Juanita dan un total de 12 chocolates.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 370

17/11/11 14:55

Claves unidad 2 • La alimentación

371

Sesión 20: Mi peso ideal 11. Tokio, 23.4 millones de habitantes.

15. Tokio.

12. Calcuta, Asia.

16. Sí, Sao Paolo y Río de Janeiro en Brasil, Shangai y Pekín en China, Nueva York y Los Ángeles en Estados Unidos, y Bombay y Calcuta en la India.

13. 0.5 millones de habitantes. 14. Cinco, México.

Sesión 21: Información organizada Torneo 95-96 hasta jornada 32

JUGADORES

NACIONALIDAD

EQUIPO

GOLES

mexicano brasileño mexicano mexicano español brasileño

Cruz Azul León Necaxa América Celaya Veracruz

19 15 14 14 14

Carlos Hermosillo Milton Quéiroz Ricardo Peláez Luis García Emilio Butragueño Antonio C. Santos

26

Fuente: El Universal, 25 de marzo de 1996.

 ) Es mexicano y pertenece al Cruz Azul. 7. a b) Milton Quéiroz, y pertenece al equipo León. c) 7 goles.

Sesión 22: Juegos y pasatiempos 1.

2.

3.

4.

2.4 2.7

A

1.2 C

1.5

0.9

2

3

6 1.8

0.3 0.6

I J M

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 371

4

8

5

1

8

B

7 D

4

1

2.1

8 E

F

9

G

3

7

3

6

6

8 H

1

2 K

0

9

1

1

L

3 0

17/11/11 14:55

Claves unidad 2 • La alimentación

Núcleo 2

372

S e s i ó n 2 3 : L o q u e b i e n s e a p r e n d e j a m á s se olvida 1.

NECESIDAD ALIMENTICIA EN LAS SUCESIVAS EDADES DEL NIÑO (en las condiciones de México) MINERALES EDAD

PESO

VITAMINAS

ENERGÍA PROTEÍNAS CALCIO HIERRO TIAMINA (mg) RIBOFLAVINA (mg) NIACINA (mg) B1 B2 B5 (Cal) (g) (mg) (mg)

11 meses 9.5 kg 1 045 23.75

600

15

0.475

0.57

ÁCIDO ASCÓRBICO (mg) C

9.5

RETINOL (mcg) A

40

500

2. a) 30.2 g de proteínas, 1 668 cal de energía. b) S  e le podría dar pollo, que tiene un alto grado proteínico y a su vez un gran contenido de vitamina A. También podría darle sardina en tomate o chícharos. c) Guayaba, con 183 mg; ajo, con 99 mg; limón, 77 mg; chile serrano, con 65 mg de vitamina C. d) Guayaba, con 0.8 g; limón, con 1.2 g; chile serrano, con 2.3 g; ajo con 3.5 g de proteínas. 3. Una posible dieta podría ser la siguiente: Tomando como base un mínimo de 100 g de cada alimento.

DESAYUNO

Leche Huevo Tortilla Guayaba

COMIDA

CENA

Arroz Pollo Chícharo Zanahoria Nopales Frijol negro Limón

Avena Leche

TOTAL DE NUTRIENTES DE LA DIETA PROPUESTA Total Total Total Total Total Total Total Total Total

de de de de de de de de de

proteínas energía calcio hierro vitamina A vitamina C vitamina B1 vitamina B2 vitamina B5

100.4 2 072 983 22.52 6 406 349 2.47 3.42 26.8

g cal mg mg mcg mg mg mg mg

Compárela con la que usted propuso, y a partir de las dos realice varias dietas que contengan la mayor cantidad de nutrientes.

Sesión 24: Lo que hemos aprendido l. 1. a

2. c

3. c

4. b

5. a

6. a

ll. 1. Dos paquetes de 48 cajitas cada uno, 48 paquetes de 2 cajitas cada uno, 3 paquetes de 32 cajitas cada uno, 32 paquetes de 3 cajitas cada uno, 4 paquetes de 24 cajitas cada uno, 24 paquetes de 4 cajitas cada uno,

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 372

6 paquetes de 16 16 paquetes de 6 8 paquetes de 12 12 paquetes de 8

cajitas cajitas cajitas cajitas

cada cada cada cada

uno, uno, uno, uno.

2. Seis paquetes.

3. Cuatro cajitas por lado.

4. 8 cm.

5. 2 cm, 4 cm2.

6. $3 360.00 7.

, 64 cajitas.

17/11/11 14:55

Claves unidad 3 • El trabajo

373

UNIDAD 3 E L T R A B A J O

Sesión 26: ¿Soy puntual? 12. 1 000 a 1 199 horas. 13. 5 focos. 14. 37 focos.

S e s i ó n 2 5 : U n a f i g u r a d i c e m á s q ue mil palabras 10. Miércoles.

11. Lunes.

12. 90

13. Gráfica de barras.

Sesión 27: Punto por punto

14. 

3. 0, 12, 24, 36, 48, 60

Jueves

4. 9.48 minutos.

Viernes Sábado

5. 14 536 botellas.

Domingo Lunes

6. 12 690 botellas y sobran 0.355 litros.

Martes Miércoles = 10 IMECAS (Índice Metropolitano de la Calidad del Aire).

Ésta es una forma de representar en un pictograma el nivel de contaminación del aire. Usted pudo haber elegido otra equivalencia para la nube del pictograma.

7. 2 506.275 minutos por las 12 690 botellas completas. 8. a) 14.5625 km. b) 85.045 km.

c) 69.201 km.

9. $2.65 el litro.

Sesión 28: Un poco de diseño 3. 80 cm de base, que equivalen a 8 dm.

m'

6.

5. Debe medir 230 cm, que equivalen a 2.30 m. Si son seis los entrepaños, los espacios de 30 cm entre cada uno serán siete.



m

q

q'

7. 30 cm

6 5

30 cm

3 30 cm

n'

4

p

p'

n

2 1

30 cm

8. Serían perpendiculares.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 373

24/11/11 14:13

Claves unidad 3 • El trabajo

Núcleo 3

374

Sesión 29: No hay problema

Sesión 30: El salario

1. a) Los 185 hl pesan 13 875 kg.

3. 0.15 para los empleados manuales, 0.20 para los empleados administrativos, 0.65 para los obreros. La suma es igual a 1; esto es porque 1 representa el 100% de empleados que laboran en esa empresa, por lo tanto, no podría haber sido el resultado mayor ni menor que 1



b) L a primera oferta supera a la segunda por $1 075.30

2. C  amina 9.54 km. Sí, rebasaría los 10 000 m, ya que con los 500 m más serían 10 040 m. 3. Se llenaron 53 cajas completas. 4. Un decámetro tiene 10 metros. Si al decámetro le faltan 18 centímetros y las medidas del terreno que se obtuvieron fueron 70 m x 60 m, quiere decir que: Por cada 10 m del terreno le faltaron 18 cm, por lo tanto en los 70 m de largo le faltan 7 veces 18 cm (7 x 18 = 126 cm o 1.26 m). En los 60 m de ancho le faltan 6 veces 18 cm (6 x 18 = 108 cm o 1.08 m). Entonces el terreno mide en realidad 68.74 m de largo (70 – 1.26 = 68.74 m) y 58.92 m de ancho (60 – 1.08 = 58.92 m).

5. 845 obreros. 7. El de los empleados administrativos, porque de 100% es igual a 20%. 12. a) 4  4 trabajadores laboran en el almacén.

b) 88 trabajadores laboran en ventas.



c) 2  2 trabajadores laboran en compras.

5. El segundo pago era de $2 371.95 6. a) $797.00, $ 1 594.00, $7 970.00

b) $783.00, $ 1 566.00, $7 830.00



c) $575.00, $287.50, $143.75



d) $84.00

7. Vendió cada florero a $16.70

13.  = 0.0625, entonces 176 x 0.0625 = 11 personas laboran como jefes (otra manera de solucionar sería = 11 personas). El resto del personal se puede obtener al sumar el número de trabajadores que hay en cada área y obtener después la diferencia con el total de trabajadores. 44 + 88 + 22 + 11 = 165, entonces 176 – 165 = 11, por lo tanto, hay 11 choferes. 14. 

(almacén),

(ventas),



(compras),

(jefes) y

(choferes). 15. 25% (almacén), 50% (ventas), 12.5% (compras), 6.25% (jefes) y 6.25% (choferes).

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 374

17/11/11 14:55

Claves unidad 3 • El trabajo

375

Sesión 31: ¿Qué tanto? 3. Porque en el primer caso, usted calcula el porcentaje de descuento y se lo resta al total, y en el segundo caso, usted obtiene lo que va a pagar del total. 4. a) 2 160 lápices.

b) 91%.

5. a) $7 182.50

b) $10 140.00

6. b)

=

=

c) 21 840 lápices.

= 0.75 = 75% c) 0.2 =

=

= 20%. d) 40% =

7. a) $391.00

b) $690.00

8. a) El 70%

b) $8.40, $11.20, $26.60, $98.00, respectivamente.

c) $1 426.00

=

= 0.4 e) 0.05 =

= 5%.

d) $207.00

Sesión 32: Negocio entre ángulos 1. a) C  omo el círculo mide 360°, la carne y las verduras representan un cuarto ( de 90° cabe cuatro veces en el ángulo de 360°.

), porque el ángulo

4.

100º

60º

45º 5. A = 90° es recto,

B = 45° es agudo,

C = 90° es recto,

Sesión 33: ¿Cuánto representa? 1. $79.00 + $74.00 + $26.00 = $179.00

D = 90° es recto,

E = 45° es agudo.

 agó mensualmente 6. a) P $1 200.00 x 0.04 = $48.00, y por seis meses: 48.00 x 6 = $288.00

2. $60.00 ÷ $1 082.00 = 0.0554 = 5.54%, aproximadamente.



3. Lucas: $7.00 ÷ $370.00 = 0.018 = 0.20 = 2%, aproximadamente. Alma: $35.00 ÷ $1 749.00 = 0.020 = 0.02 = 2%.

7. Como $600.00 – $480.00 = $120.00, y $120.00 ÷ $600.00 = 0.20, se determina que le dieron 20% como descuento.

4. No, a Abel le descuentan aproximadamente 11%, a Alma alrededor del 10%, a Gustavo cerca del 6%, a Enriqueta casi el 3%, a Lucas y a Rosa el 0%.

8. Marina: x $3 200.00 = ($3 200.00 ÷ 5) x 2 = $640.00 x 2 = $1 280.00, y $3 200.00 + $1 280.00 = $4 480.00. Gildardo: $3 200.00 x 0.40 = $1 280.00, y $3 200.00 + $1 280.00 = $4 480.00 por lo tanto ganarán lo mismo.

5. a) J orge ahorró $4 400.00 y recibió $1 848.00 de interés. b) 1 848.00 ÷ 4 400.00 = 0.42 = 42%.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 375

b) P  agó en total: $1 200.00 + $288.00 = $1 488.00

17/11/11 14:55

Claves unidad 3 • El trabajo

Núcleo 3

376

Sesión 35: Juegos y pasatiempos S e s i ó n 3 4 : H a b i l i d a d e s d e u n c a r p i ntero

1. a  ) A simple vista pareciera que no son paralelas. Busque la posición de la hoja hasta que compruebe que si lo son.

11. a  ) Hexágono,

b) Son iguales.

b) rectángulo,

c) Ninguna.

c) triángulo isósceles.

d) Son iguales.

12. a  ) Escaleno, b) equilátero,

1

2.

4

c) isósceles.

2

13. Pentágonos y hexágonos.

2

14.

4 3

3. Una forma es:

OPERACIONES 4x4 - 4 4

Al prolongar los lados de la figura por ambos extremos, la distancia entre estos lados sigue siendo la misma distancia. Por lo anterior, las rectas son paralelas. 15. Triángulo rectángulo.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 376

(4/4) + 4 - 4 (4/4) + (4/4) (4+4+4) 4 4+(4-4) 4 (4x4) + 4 4

RESULTADOS 0 1

2 3 4 5

4+4 +4 4

6

(4+4)-(4/4)

7

4x4 +4 4

8

(4+4)+(44)

9

(44-4) 4

10

17/11/11 14:55

Claves unidad 3 • El trabajo

377

S e s i ó n 3 6 : L o q u e b i e n s e a p r e n d e jamás se olvida l. 1. Se trata de un pentágono. 2. Es un polígono irregular porque sus lados y ángulos no son iguales.

3.60 m Lado 1

90º

150º

0m 2.3

La

do

3

Lado 5

3.40 m

Lado 2

90º

1.40 m

3 y 4.

90º

Lado 4

120º

2.40 m 5. Tomando como base la figura anterior se tuvo: Son paralelos los lados 1 y 4, 5 y 2. Son perpendiculares los lados 5 y 1, 4 y 2, 1 y 2, 5 y 4. 6. a) Para 3 meses el precio aumenta el 10%, y para 6 meses el precio aumenta el 22%. b)

MATERIAL Caoba Formaica Pino Cedro

PRECIO DE LISTA $12 150.00 $8 250.00 $9 100.00 $10 500.00

3 MESES

PLAZOS

6 MESES

(3 pagos mensuales de ...) (3 pagos mensuales de ...)

$4 455.00 $3 025.00 $3 336.50 $3 850.50

$2 470.50 $1 667.50 $1 850.30 $2 135.00

7. Con el descuento, la cocina de caoba cuesta $11 299.50, la de formaica $7 672.50, la de pino $8 463.00, y la cocina de cedro cuesta $9 765.00

ll. 1. Se puede plantear un problema en el que tiene que determinar la cantidad de productos vendidos en el mes, a cuánto asciende la venta mensual de dichos productos, qué cantidad de cada material se vendió, cuál fue el más vendido y cuánto queda en existencia.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 377

17/11/11 14:55

Claves unidad 3 • El trabajo

Núcleo 3

378

S e s i ó n 3 7 : L o q u e h e m o s a p rendido I. 1.

1

P 2A R A L E L A S G 6 5 7 G I C U 3 4 P E R P E N D I C U L A R E S O A Ó A E R D S D N O O C R T D S E I Á U 8 9 L G C R E G U L A R E E A O T C S T N O 10 T C OC I E N T E O R 11 T R I Á N G U L O S

II. 1. a

2. a

3. c

4. b

5. d

6. c

III. 1. En ella se puede observar que la lengua de mayor habla es el náhuatl. De aquí podríamos deducir que la población náhuatl es la mayor de los grupos indígenas que habitan en nuestro país. De igual forma se observa que el grupo indígena chocho es el de menor población. 2. Los grupos indígenas mazateco, chocho, totonaca, mixteco, mazahua, zapoteco y otomí representan menos del 50% de la población total indígena de la zona centro-sur del país.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 378

17/11/11 14:55

Claves unidad 4 • Aprendiz de carpintero

379

UNIDAD 4 APRENDIZ DE C A R P I N T E R O Sesión 38: Tú, mi complemento Por cada herradura cobrará $67.50; por cada estrella $75.00 y por cada corazón $52.50. Como la longitud total del salón es de 60 m y los adornos son 24, entonces se divide 60 entre 24, lo que da una distancia de 2.5 m. Cada clavo debe estar a 2.5 m del siguiente. 9.

10.

Sesión 39: Maderos cruzados 2. C  uadrado 0.35 m por lado; trapecio 0.55 m de base mayor, 0.30 m de base menor y cada uno de los lados no paralelos 0.40 m. 4. Rombo. 5. Cada lado del mantel mide 1.5 m (porque en la figura cada lado mide 3 cm). 6.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 379

7.

24/11/11 14:17

Claves unidad 4 • Aprendiz de carpintero

Núcleo 4

380

Sesión 40: Mesas dúplex 3. 30° 8. Forman un ángulo llano o colineal (180°). 9. Como son doce números los que lleva el reloj, se divide 360° ÷ 12 = 30° 11.

Sesión 41: Siempre el mismo 3. La forma del reloj es hexagonal, puesto que su perímetro es de 360 cm, al igual que el de los otros objetos. Se mencionó que mide 60 cm por lado; entonces, se hace la división de 360 ÷ 60, lo que da el número de lados. 10. 168 m. 11. 30 m. 12. L a figura que usted hizo, debe tener las siguientes medidas: 11 cm, 9 cm, 8 cm y 5 cm respectivamente; y es un cuadrilátero.

12. 3 cm.

13. $18 810.00

S e s i ó n 4 2 : U n c u a dro a la medida 7. a) 9 u2. b) 12 u2. c) 8 u2. d) aproximadamente 6.5 u2. e) aproximadamente 16 u2.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 380

24/11/11 14:13

Claves unidad 4 • Aprendiz de carpintero

381

Sesión 43: Con ayuda de todos 12. 41.6 kg. 13. 5.28 kg y 4.32 kg. 14. Á  ngulo $102.15, tubular cuadrado $39.01, solera cuadrada $43.20 y tubular circular $172.02

Sesión 44: Encuentre la regla

15. $8.25 16. $1.65

3. 29, 25, 21, 17, 13, 9 17. 2 tiras de solera ángulo pesan 22.7 kg y equivalen a 50.4 libras. 1 tira de tubular cuadrado pesa 8.3 kg y equivalen a 18.4 libras. 2 tiras de solera cuadrada pesan 9.6 kg y equivalen a 21.3 libras. 3 tiras de tubular circular pesan 36.6 kg y equivalen a 81.3 libras. 5 kg de alambrón equivalen a 11.1 libras.

4. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 5.

,

,

,

,

,

,

6.

,

,

,

,

Sesión 45: Lenguaje universal 3. a) 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8,

5, 2

Regla:



b) 0.4, 1.2, 2, 2.8, 3.6, 4.4, 5.2, 6

Regla:



c) 18, 15.7, 13.4, 11.1, 8.8, 6.5, 4.2

Regla:

x x x

–3 + 0.8 – 2.3

4. d 5. g

9. c

6. b

10. h

7. e

11. a

8. i

12. f

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 381

17/11/11 14:55

Claves unidad 4 • Aprendiz de carpintero

Núcleo 4

382

Sesión 46: Juegos y pasatiempos

7.

1. D,C. 2. A, B, D, E. 3. De B hacia A. 4. En la dirección B.

D

5.

E

2 1

3

A

C

8. Una mesa de tres patas es muy estable ya que nunca se balancea, es por esto que se utilizan trípodes en instrumentos de precisión como los agrimensores o los aparatos fotográficos.

2

9.

3

M

a)

1

B c)

6. La causa de que este mensaje parezca tan extraño es que se escribió con ayuda de un espejo.

d)

b)

S e s i ó n 4 7 : L o q u e b i e n s e a p r e n d e j a m á s se olvida 1.

PERÍMETRO DE LA HOJA DEL MOLDE

ÁREA DE LA HOJA DEL MOLDE

pulgadas (")

pies

centímetros

pulgadas2 (")

pies2

centímetros2

96

8

243.84

576

4

3 716.12

GROSOR DEL TRIPLAY pulgadas (") 3 4

centímetros 1.905

x

3. Si la mitad de un lado son 12 pulgadas y sólo se tienen 7 pulgadas en la otra mitad, entonces faltarán 5 pulgadas para 12, entonces = 5 pulgadas. de pulgadas la pata tiene un área aproximada de 65 u2

4. Si usted eligió unidades cuadradas de y la parte superior tiene 289 u2. 5. Tiene 2 ejes de simetría. 6.

a)

p + 2k

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 382

p + 10k

b) 5

p + 16k

c) 8

24/11/11 14:14

Claves unidad 4 • Aprendiz de carpintero

383

Sesión 48: Lo que hemos aprendido

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Hexágono.

12. a) 2.5 cm.

13. 16.2 cm2, porque 6 (2.7) = 16.2

P, l.

10. Tres.

b)

11. Seis.

c) 6 d) 15 cm, porque 6 (2.5) = 15

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 383

17/11/11 14:55

Claves unidad 5 • Los deportes

384

UNIDAD 5 LOS DEPORTES S esión 49: ¡Véale la cara!

FIGURAS

NOMBRE DEL POLIEDRO

Pirámide pentagonal

Prisma triangular

Cubo o hexaedro

FORMA DE SUS CARAS

Triangular

Rectangular

Cuadrada

FORMA DE SU BASE

Pentagonal

Triangular

Cuadrada

Sesión 50: Por toda el área de juego 2. b) C  omo son 25 piezas con las que se cubren exactamente al metro cuadrado, al multiplicar el número de éstas por el área de una de ellas (0.04 m2 o 400 cm2) da como resultado 1 m2 que es el metro cuadrado que se cubre exactamente. 3. b) 9  metros, porque 9 m x 27 m es igual a 243 m2. 8. 39.69 cm2, 48.45 cm2. 9. 0.003969 m2.

Sesión 51: ¿Por qué más? 11. P  A = 18 cm, PB = 21 cm, PC = 21 cm, PD = 13 cm, PE = 18 cm. 12. A  A = 20.25 cm2, AB = 20 cm2, AC = 27.5 cm2, AD = 9 cm2, AE = 20 cm2. 13. Los polígonos A y E y B y C. 14. Los polígonos B y E.

Sesión 52: Campos deportivos 7. Como 1 ca = 1 m2 y 1 a = 100 ca, entonces 6 a = 600 ca, o bien, 6 a = 600 m2. Por lo tanto: 600 x 5 = 3 000 rosales.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 384

06/12/11 11:57

Claves unidad 5 • Los deportes

385

S e s i ó n 5 3 : A v u e l t a de rueda 1. Para trazar el círculo central de una cancha de futbol se usa una cuerda con la medida del radio del círculo (9.14 m, aproximadamente). Esta cuerda se fija al centro con una estaca y en el otro extremo se coloca una bolsa de cal. Se tensa la cuerda y se le hace girar, dejando caer la cal. De esta forma queda trazado el círculo requerido. 5. 157 km. 6. El automóvil de Fórmula 1 recorre 200 km en una hora. Para calcular el tiempo que tarda en recorrer 157 km, basta con dividir 157 km entre 200 km/h. 157 km ÷ 200 km/h = 0.785 h Para saber con exactitud la cantidad de minutos a los que equivale 0.785 h, es necesario convertir esta cantidad a minutos como se muestra: 0.785 h x 60 = 47.1 minutos Para saber cuantos segundos corresponden la parte decimal de 47.1 (0.1) se debe multiplicar 0.1 x 60 = 6 segundos.  Por lo tanto para recorrer los dos tramos de la pista con forma de semicircunferencia, el automóvil tarda 47 minutos y 6 segundos. 7. a) 0.58 m.

r



b) P  orque la medida del diámetro es igual a dos veces la medida del radio ( = 2 ).



c) 58 cm.

8. 182.12 cm, porque 182.12 cm = 1.8212 m. 9. 1 821.2 cm o 18.212 m porque 182.12 cm x 10 = 1 821.2 cm o 1.8212 m x 10 = 18.212 m.

Sesión 54: El juego de pelota 8. Los radios miden respectivamente 6 cm, 9 cm, 12 cm, 15 cm y 18 cm. 9. A1 = 113.04 cm2, A2 = 254.34 cm2, A3 = 452.16 cm2, A4 = 706.5 cm2 y A5 = 1 017.36 cm2. 10. E  l Anillo 1 (A1) es el que rodea al círculo más pequeño. A1= 141.3 cm2; A2 = 197.82 cm2; A3 = 254.34 cm2 y A4 = 310.86 cm2. 11. Al anillo más alejado del centro del blanco, porque su área es la mayor (310.86 m2).

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 385

06/12/11 11:58

Claves unidad 5 • Los deportes

386

Sesión 55: En el mismo sentido 3. 64 segundos o 1 minuto, 4 segundos. 4. 11 250 m o 11.250 km. 5. 15 000 m o 15 km en 40 minutos y le faltan por recorrer 27 175 m o 27.175 km. 6. 5 435 segundos. 7. 20 segundos. 8. 2 horas 10 minutos 35 segundos. 9. a) La razón es:

=

, entonces: ? x 3 = 9.30 x 177

? x 3 = 1 646.10, al realizar la división, ? = ? = 548.7 m de tela.

b) Para 255 trajes: ? x 3 = 2 371.5, ? =



, entonces: ? = 790.5 m de tela.

, ? x 8 = 1 000 x 548.7 y ? x 8 = 548 700

entonces: ? =

= $68 587.50

d)De la misma forma. =



; ? x 3 = 9.30 x 255

c) P  ara obtener la razón tome en cuenta que para los 177 trajes se requieren 548.7 m de tela. =



=

, ? x 8 = 1 000 x 790.5, entonces: ? =

= $98 812.50

e)

No. DE TRAJES METROS DE TELA

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 386

1

2

5

7

10

15

3.10

6.20

15.50

21.70

31

46.50

17/11/11 14:55

Claves unidad 5 • Los deportes

387

Sesión 58: La triada 7. Los triángulos ABC, ABD y ABF son escalenos. El triángulo ABE es isóceles.

Sesión 56: Es mi favorito 1. 100 personas.

8. 1.61 goles por partido.

8. La altura es la misma para los cuatro triángulos.

9. Huracán.

9. La superficie que ocupa cada triángulo es de 2.73 cm2 ya que la base y la altura es la misma para todos.

2. 140 personas. 3. 400 personas. 10. 18 partidos (9 como local y 9 como visitante).

4. Dos quintas partes. 5. 42 puntos.

10. No, el perímetro es diferente para cada triángulo.

11. 54 puntos (18 x 3). 6. Se colocó primero al que tuvo mayor diferencia entre goles a favor y goles en contra.

12. Tendría el mismo número de goles anotados que de recibidos.

7. Que anotó ocho goles menos de los que aceptó.

11. Abierta.

13. 30 puntos.

12. La alberca es de forma hexagonal y la parte sombreada tiene forma de triángulo equilátero.

14. 27 goles.

13. Seis triángulos. 14. Como se trata de un triángulo equilátero, su perímetro es de 36 m, y como su altura es de 10.4 m, entonces su área es de 62.4 m2.

Sesión 59: Juegos y pasatiempos

15. Como son seis triángulos los que conforman la alberca y cada uno tiene un área de 62.4 m2, entonces el área de la alberca es de 374.4 m2.

1.

2.

4. Siga el sentido de las flechas y encontrará más de una forma de resolver el ejercicio.

A B

C D

1

2

cm2 1 cm2

3.

1 12 cm2

3

2 cm2

cm2 2 2 12 cm

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 387

Final

E

F

Inicio

5. 20 veces porque en cada 3 vueltas de Andrés rebasa una vez a José Luis.

17/11/11 14:55

Claves unidad 5 • Los deportes

388

S e s i ó n 6 0 : L o q u e b i e n s e a p r e n d e jamás se olvida

1. 765 cm. 2. 32 512.5 cm2 o 3.25 m2. 3. 17.85 m. 4. 22.75 m2. 5. $1 125.00 6. Perímetro = 90 cm y Área = 390 cm2. 7. a) 23.7 cm2

Sesión 61: Lo que hemos aprendido

b) 355.5 cm2. I. c) 17.27 cm. 1. Poliedros. 8. a) 196 ca. 2. Rectángulos. b) 0.0196 ha. 3. Pirámides. c) 14 m. 4. Cubo o hexaedro. 5. El área del círculo. 6. π

, la longitud, la circunferencia.

II. 1. a) 8 mm.

b) largo = 64 mm o 6.4 cm, ancho = 40 mm o 4 cm.



c) p  erímetro del rectángulo = 20.8 cm o 208 mm.



d) á  rea del rectángulo = 2 560 mm2 o 25.60 cm2.

III. 1. área del círuclo = 84.9 cm2, circunferencia = 32.6 cm. 2. perímetro del triángulo equilátero = 19.8 cm. 3. área del triángulo = 18.81 cm2.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 388

17/11/11 14:55

Claves unidad 6 • El comercio

389

UNIDAD 6 EL COMERCIO Sesión 62: Armado de cajas 4. Algunos de los desarrollos para el cubo se le presentan a continuación. Si usted halló otros diferentes, trate de comprobar que efectivamente se pueden utilizar para construir el cubo.

6.

Sesión 63: Cajas de sorpresa 14. Forma de cubo. 15. 12.96 m2. 16. Áreas laterales (izquierda y derecha) = 12.96 x 2 = 25.92 m2. Áreas frontal y posterior = 12.96 x 2 = 25.92 m2. AL = 25.92 + 25.92 = 51.84 m2. 17. 51.84 ÷ 3 = 17.28 litros. 18. 19 – 17.28 = 1.72 litros.

Sesión 64: ¿Compra envase o contenido? 4. a) 0.089 l.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 389



c) 3.58 l.



e) 558.26 km.

b) 11.23 km. d) 6.97 km.

24/11/11 14:17

Claves unidad 6 • El comercio

Núcleo 6

390

Sesión 65: ¡Qué pesado! 4. a) 1 litro = 1 000 ml. b) P  ara preparar 1 000 ml de sustancia C se requieren 10 g de A; entonces, para preparar 500 ml (que es la mitad de 1 000 ml) de sustancia C se necesitan 5 g de A (que es la mitad de 10 g). De igual manera, se requieren 60 g de sustancia B para los 500 ml de sustancia C.

Sesión 66: Una de cal por las que van de arena 9. 27 586.207 vueltas.

5. 12 ml.

10. 22 015.915 vueltas.

6. 10 aplicaciones.

11. 5 horas 12 minutos.

7. a) 0.8 cl.

12. 12 minutos.



b) 1 100 l.

13. 14.835 l.



c) 2 300 ml.

14. 4  0.549 dm3 que equivalen a 40.549 l.

Sesión 67: De diferentes maneras

CURSOS DEPORTES Volibol Natación

Tejido tejido y volibol tejido y natación

Bordado bordado y volibol bordado y natación

Cocina cocina y volibol cocina y natación

Vo l i b o l Tejido Natación natación

Vo l i b o l Cursos

Volibol

Bordado Natación

Tejido Bordado Cocina

Vo l i b o l Cocina Natación

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 390

17/11/11 14:55

Claves unidad 6 • El comercio

391

Sesión 68: La casa de los azulejos 6. Las rectas que pasan por las uniones de los cuatro azulejos, son ejes de simetría. 8. El hexágono. 9. Ambos tienen forma hexagonal y por ello cubren totalmente una superficie. 10. No, porque las figuras que se obtienen son irregulares; y no es fácil acomodarlas para que cubran una superficie, ya que dejan espacios entre sí o se enciman. 11.

Sesión 69: Simboliza la regla 13.

x y

12.

13 17

19 23 29 31

15 19

21 25

37 41

31 33 39 43

yx b) Regla para obtener los números de la primera columna: x = y – 2

a) R  egla para obtener los números de la segunda columna: = +2

a) 6 ejes de simetría. b) 20 diagonales. c) Ninguna.

14.

a

b

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

6

18

a) R  egla para obtener los números de la segunda columna: 3 .

a

b) Regla para obtener los números

b

de la primera columna: — .

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 391

24/11/11 14:20

Claves unidad 6 • El comercio

Núcleo 7

392

Sesión 70: Sea más breve 7.

x y z +

+

.

8. Área del triángulo =

=

xy .

x x

9. 4 . 10.

Lo que bien se aprende jamás se olvida

2.

l

e c ec mm

11. 6 . 12. 3

I. 1. Para las cajas 30 . Para las envolturas 70 . Para los moños 150 . El costo total 30 + 70 + 150 .

m n

+2 .

S e s i ó n 7 1 : Ju e g o s y p a s a t i e m p o s 1.

Sesión 72:

(dos novenos).

2. Invitar a dos amigos una vez porque solamente así se pagan 3 platillos, en caso contrario, se pagaría 4 platillos. 3.

2. El costo en la bodega 1 es: 30 (2.40) + 70 (0.70) + 150 (0.30) = 166.00 El costo en la bodega 2 es: 30 (3.20) + 70 (0.90) + 150 (0.40) = 219.00 El costo en la bodega 3 es: 30 (2.10) + 70 (0.50) + 150 (0.45) = 165.50 Entonces conviene comprar en la bodega 3. 3. El área por cada cara es 81 cm2, pero como son 6 caras iguales entonces 81 x 6 = 486. El área mínima del papel es de 486 cm2. El área total de la caja es de 486 cm2. ll. 1. La cajita tendrá forma de paralelepípedo recto. 2. Le pudo haber dado las siguientes dimensiones: alto = 20 cm, largo = 6.5 cm y ancho = 6.5 cm. 3. Con las dimensiones dadas se tiene: 6.5 x 6.5 x 20 = 845 cm3. Entonces el volumen de la cajita es de 845 cm3.

4. “Cuatro a dos”. 5. 11

12

6.5 cm 1

2

10

9

3 8

4

6. $4.50 7. El prisma que cumple con las condiciones solicitadas tiene las siguientes medidas: 24 cm de largo, 1 cm de ancho y 1 cm de altura; o 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 24 cm de altura.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 392

20 cm

6

5

6.5 cm

7

17/11/11 14:55

Claves unidad 6 • El comercio

393

Sesión 73: Lo que hemos aprendido l. J A Z L W H P K L F M C

ll. A R F I D Q A A I D E Z

L E U T O X N N N P T L

T A V R P O B C E B R S

O K Y O G R F H A V O P

G L I A L W L O B U C E

F O I L Y U O Z D T U R

X D M K O Ñ M C F L B I

L A R G O G K E Y Ñ I M

K I L O K F R W N K C E

S I M E T R I A G R O T

C I T A M E T A M H J R

C A P A C I D A D O X O

A

B

223

133

151 C

97

169

241

187

205

115

UNIDAD 7 EL TRANSPORT E Sesión 74: Conozca Puebla 1.

a) 5 calles al oeste.

2.

Puerto Madero (4,1) Tapachula (4.5, 1.5) Huixtla (4,2) Pijijiapan (2.5, 3)

Sesión 75: La revolución en el transporte

b) 4 calles al sur.

8.

r

A (0, 0), B (3, 1), C (9, 7), D (9, 8), E (8, 9), F (7, 9), G (1, 3)

y

1

9. AB = π x 2 = 3.14 x 6.25 cm2 = 19.625 cm2, como son dos bases, entonces 19.625 cm2 x 2 = 39.25 cm2. AL = b x h = 15.7 cm x 12 cm = 188.4 cm2. AT = AB + AL = 39.25 cm2 + 188.4 cm2 = 227.65 cm2. 10. Rectángulo, triángulo rectángulo y círculo, respectivamente.

10

9 8 7 6 5 4 3 2

Son iguales.

F E

11. A la recta que genera la superficie curva de estos cuerpos.

D C

12. Ninguna.

G A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 393

x

13. Curvas. 14. Circulares.

06/12/11 11:57

Claves unidad 7 • El transporte

Núcleo 7

394

Sesión 76: ¿La misma cantidad? 3. a  ) Para el primer rectángulo la parte sombreada representa b) Si. c) Si. 8. a)

b)

=

≠

c)

d)

= 0.75

9. Dos de las fracciones posibles son: a)

,

b)

y para el segundo

e) 4% =

=

,

c)

f)

.

≠

,

Sesión 77: Poco a poquito Sesión 78: En reversa

6. a) b) c) d)

=

=

1. Como $1 268.50 corresponde al 115%, el 100% representa el valor de la llanta sin IVA. Esto se puede calcular dividiendo 1 268.50 ÷ 1.15 = $1 103.04 a) E  ntonces el concepto de IVA se obtiene restando 1 268.50 – 1 103.04 = $165.45

e) f)

b) $1 103.04

g) 2. A = bh; 72 m2 = (12 m)(h), entonces h = = 6 m.

h)

Sesión 79: Mudanza de literales 5. A = bh, b = 6.

c

=

π ,

3. a )

= 162.75

b)

= 235.75

c)

=2

d)

= 25

, b = 18 m.

c

=— , π

= 20 cm.

F F 7. m = — ,a= — .

8. 9.

l = A. l = —. P

V 10. V = I R, R = — .

11. b = 2A — , h = 2A —.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 394

24/11/11 14:27

Claves unidad 7 • El transporte

395

Sesión 80: Juegos y pasatiempos 1.

4.

El Polo Sur.

2. Las condiciones del texto sólo pueden darse en el Polo Norte, ya que en cualquier otro lugar de la Tierra el cazador no regresaría al punto de partida. Y un oso en el Polo Norte tiene que ser forzosamente blanco. 3. Los dos estarán a la misma distancia. 5. Abierta. 6. a)

b)

S e s i ó n 8 1 : L o q u e b i e n s e a p r e n d e jamás se olvida 1.

(0,0).

2. Una ruta sería de: Autobuses Norte a La Raza, se transborda en La Raza y de ahí a la estación Balderas, y de ésta a Pino Suárez, recorriendo así un total de 9 estaciones. Una segunda ruta sería de: Autobuses Norte a Consulado; de ahí se transborda a Candelaria y de Candelaria a Pino Suárez, recorriendo así 9 estaciones. 3. Podría usar cualquiera de las dos rutas, ya que en ambas tienen que hacerse dos transbordos y recorrerse la misma cantidad de estaciones. 4. (4.7 oeste, 0.3 sur). 5. (2.8 este, 4 sur). 6. 

=

7. c)

=

=

, representa

parte de la población.

= 2 937 500 km recorridos en un mes,



entonces:



b)



c) 0.25 = 25%.

+

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 395

= +

=

= =

=

=

=

= 0.25

25/11/11 13:47

Claves unidad 7 • El transporte

Núcleo 8

396

Sesión 82: Lo que hemos aprendido

I.

II.

III.

1. V

1. d

6

2. V

2. b

3

3. F

3. c

1

4. V

4. a

5

5. V

5. a

4

6. F

2

7. F

UNIDAD 8 CUENTAS DIARIAS S e s i ó n 8 3 : M e d i d a s e n c ajas

Sesión 84: Que no le cuenten

6. De paralelepípedo recto.

11. m/s (metros sobre segundo).

7. 44.10 m3.

12. °C (grados centígrados).

8. 20 125 litros (20.125 m3).

13. 332 m/s. 14. Aumenta. 15. 354 m/s.

Sesión 85: Cómo se ve la inflación 8. a) $960.00

c) $200.00

b) $440.00 d) $2 400.00

9. $7.70 10. 17 dólares. 11. Sí, miércoles y jueves. 12. Bajó $0.02 (dos centavos). 13. $516.00

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 396

06/12/11 11:58

Claves unidad 8 • Cuentas diarias

397

Sesión 86: ¿Cuánto pagó? 10. $20.00 por concepto de IVA. 11. Se divide 88.95 ÷ 1.15 = 77.347, que si lo redondeamos a centavos se obtiene $77.35 por el pago de servicio telefónico. Al restar 77.35 – 57.80 = 19.55. Entonces, por concepto de servicio medido está pagando $19.55 12. 88.95 – 77.35 = $11.60, que se debe pagar por el impuesto. 13. 54.54 + 57.80 = $112.34 112.34 x 1.15 = 129.191. Redondeándolo a centavos es $129.20 Hubiera pagado un total de $129.20

S e s i ó n 8 7 : ¿Cuánto será? 1.

$187.50

2. $31.25 3.

Descuento: $18.75, debe pagar $168.75

4. $15.00 5. Descuento: $32.64. Debe pagar $375.36 7. Cada pago debe ser de $68.00 8. En el municipio B. 9. En enero.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 397

17/11/11 14:55

Cl aves unidad 8 • Cuentas diarias

Núcleo 8

398

Sesión 88: Juegos y pasatimepos 3. El 23

1. 1 12

1

3 12

4. 3 días. 5.

4

2

0

1

3

2 12

2

2. Para 1 litro se colocan en el depósito dos veces la cantidad de 3 litros y luego se extrae una vez con el recipiente de 5 litros. Con lo cual queda 1 litro en el depósito. Para 4 litros, se coloca en el depósito dos veces la cantidad de 5 litros con lo cual habría en el depósito 10 litros; luego se extraen dos veces la cantidad de 3 litros quedando 4 litros en el depósito. Por último, para 5 litros con el recipiente de 5 litros.

L o q u e b i e n s e a p r e n d e j a m á s s e o l v i da

c) $120.00

6.

Sesión 90: Lo que hemos aprendido

Sesión 89:

1. a) $5 510.00

Inicio

1.

V = 1 520.87 pulg 3.

b) 45%.

2. V = 24 922.67 cm3.

d) $2 400.00

4. a  ) $88.15

e) $72 000.00

b) $215.00 c) $860.00

3. a) $540.00

b) 10%. d) $1 036.30

c) $2 700.00 e) $1 466.30 6. a  ) 3 985 200 personas. b) 51 409 personas.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 398

17/11/11 14:55

Claves Núcleo 1

BIBLIOGRAFÍA

C O N S U LTADA

•A  lmanaque mundial 1996. Diccionario geográfico, México, Televisa, 1995. • Ángela García, Fernando (coord.), Ma. Elena García Reyes, Ma. Eugenia González Padilla y Raúl Caballero López, Matemáticas, primer grado. Educación básica secundaria. Apoyo didáctico, México, Secretaría de Educación, Cultura y Bienestar Social del Estado de México, 1994. • Aragón, Misael, René Benítez y Santiago Valiente, Diccionario de matemáticas para secundaria, México, Patria, 1991. •B  aldor, Aurelio, Artimética teórico práctica, México, Cultural, 1988. •B  eristáin, Eloisa y Yolanda Campos, Matemáticas y realidad 1. Libro de trabajo para secundaria, México, epsa, 1994. •B  iblioteca temática Uthea, El mundo del deporte, t. I, México, Unión Tipográfica Hispanoamericana, 1980. •B  osch Giral, Carlos, Luz María Garduño y Agustín Prieto Huesca, Propuesta de materiales de matemáticas para el sexto grado de primaria, México, sep, 1994. •C  lemens Santley R., Phares G. O’Daffer y Randall I. Charles, Preálgebra, Wilmington, Delaware, EUA, Addison-Wesley Iberoamericana, 1992. •C  lemens Santley R., Phares G. O’Daffer y Thomas Cooney, Geometría con aplicaciones y solución de problemas, Wilmington, Delaware, EUA, Addison-Wesley Ibeoramericana, 1989. •H  igashida, Hiros y Bertha Yoshiko, Ciencias de la salud, México, McGraw-Hill, 1990. • Instituto de Educación de Aguascalientes, inegi, Panorama estadístico, inegi, México, 1993. • Instituto Nacional de la Nutrición “Salvador Zubirán”, Tablas de uso práctico del valor nutritivo de los alimentos de mayor consumo en México, México, Comisión Nacional de la Alimentación, 1992. • L awrence, Mike, Carpintería y vidriería, colección “Hágalo usted mismo”, México, GG/México, 1995. • L awrence, Mike, Plomería y calefacción, colección “Hágalo usted mismo”, México, GG/México, 1995. • Muy interesante (Juegos), núm. 9, Bogotá, Editora Cinco, 1991. • Muy interesante (Juegos), núm. 10, Bogotá, Editora Cinco, 1991. •P  eniche García, Antonio, Matemáticas. Nueva exposición teórico-práctica, México, Enrique Sainz Editores, 1967. •P  erelman Y., Matemáticas recreativas, Barcelona, Martínez Roca, 1968. •P  eter, Levi, Grecia, cuna de occidente, vol. I y II, colección “Atlas cultural del mundo”, España, Ediciones Folio, 1993. •P  rograma Educativo Visual, Atlas Cartográfico de México, Santa Fé de Bogotá, Colombia, P.E.V., Aruba, 1993. • Revista del consumidor, núm. 201, México, Profeco, noviembre de 1993. • Revista del consumidor, núm. 202, México, Profeco, diciembre de 1993. •S  erralde Márquez, Eulalio, Enrique Zúñiga Topete, Jorge A. Zuñiga Topete y Héctor I. Zuñiga Topete, Matemáticas uno, México, epsa, 1992. • s ep, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas sexto grado, México, sep, 1995. • s ep, La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria 1. Taller para maestros, México, sep, 1995. • s ep, Libro para el maestro. Educación secundaria, Biología, México, sep, 1994. • s ep, Libro para el maestro. Educación secundaria, Matemáticas, México, sep, 1994. • s ep, Matemáticas sexto grado, México, sep, 1995. •T  ambutti, Romilio y Héctor Muñoz, Física 1. Segundo grado, enseñanza básica, México, Noriega Editores, 1994. •T  rueba Urbina, Alberto, Ley Federal del Trabajo, 74a ed., México, 1994. •V  aliente Barderas, Santiago, Algo acerca de los números. Lo curioso y lo divertido, México, Alhambra Mexicana, 1995. •V  aliente Barderas, Santiago y Santiago Rubio Ramírez, El hombre y las matemáticas 1, México, Patria, 1994. •V  aliente Barderas, Santiago y Santiago Rubio Ramírez, El hombre y las matemáticas 2, México, Patria, 1994.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 399

17/11/11 14:55

Cálculo y resolución de problemas. Cuentas claras. Guía de aprendizaje. Nivel inicial se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de , con domicilio en , en el mes de de 2016. El tiraje fue de ejemplares.

SEA-CALCULO-GA-NI-P-364-400.indd 400

21/04/16 13:35