Satu Dimensi.docx

Pandangan terhadap ilmu fisika mulai berubah sejak peristiwa bencana ultraviolet yang melahirkan hipotesis Planck, kemudian dilanjutkan oleh teori kuantum cahaya yang dipublikasikan oleh Einstein dan percobaan Efek Compton. Era ini kemudian ditandai dengan lahirnya fisika kuantum. Dalam bab ini kita mengembangkan persamaan matematika untuk gelombang berjalan secara umum tetapi berkonsentrasi pada kasus khusus yang paling berguna, gelombang harmonik. Fungsi gelombang harmonik kemudian dijabarkan lebih lanjut untuk mewakili gelombang elektromagnetik, yang meliputi gelombang cahaya. Hasil dari elektromagnetis menggambarkan gelombang elektromagnetik yang dipinjam untuk memungkinkan penentuan energi yang disampaikan olehgelombang tersebut. Dalam hal ini kami akan membahas secara langsung persamaan gelombang. Persamaan gelombang satu dimensi, persamaan gelombang harmonik, bilangan komplek, gelombang bidang, gelombang bola, gelombang elektromagnetik, dan efek dopller.

II.

PEMBAHASAN

8-1 PERSAMAAN GELOMBANG SATU DIMENSI Bentuk yang paling umum dari gelombang berjalan, dan persamaan diferensial yangmemenuhi, dapat ditentukan dengan cara berikut. Pertimbangkan pertama pulsa satu dimensi gelombang bentuk umumnya, dijelaskan oleh y '= f (x'), tetap ke sistem koordinat O '(x', y '), seperti pada Gambar 81a. Pertimbangkan berikutnya bahwa sistem 0 ', bersama dengan pulsa, bergerak ke kanan sepanjang sumbu x padaseragam kecepatan v relatif terhadap sistem koordinat tetap, O (x, y), seperti pada Gambar 8-1b. Ketika bergerak, gerak pulsa diasumsikan untuk mempertahankanbentuknya. Setiap titik pada gerak pulsa, seperti P, dapat digambarkan oleh salah satu dari dua koordinat, x atau x ', di mana x' = x- vt. Koordinat di titik-y identikdalam sistem yang baik.

Gambar 8-1 Terjemahan pulsa gelombang

Dari sudut pandang sistem koordinat stasioner, maka, pulsa bergerak memilikibentuk matematis: y = y’ = f(x’) = f(x-vt) Jika pulsa bergerak ke kiri , tanda v harus dibalik , sehingga secara umum dapat kita tulis: y = f(x ± vt) (8-1) sebagai bentuk umum dari gelombang berjalan. Perhatikan bahwa kita telah mengasumsikan x = x ' pada t = 0. Bentuk asli pulsa, y '= f (x'), tidak bervariasi tetapi

ditemukan hanya diterjemahkan di sepanjang arah x dengan jumlah υt pada waktu t.Fungsi f adalah fungsi apapun, sehingga misalnya, y = A sin (x-υt) y = A (x+υt)2 y = e (x-υt) semua mewakili gelombang berjalan. Hanya yang pertama, bagaimanapun juga merupakan kasus penting dari gelombang periodik. Kami berharap berikutnya akan ditemukan persamaan diferensial parsial yangdipenuhi oleh semua gelombang periodik tersebut, tanpa mmperhatikan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi f. Karena y adalah fungsi dari dua variabel, x dan t,kita menggunakan aturan rantai diferensiasi parsial dan ditulis sebagai berikut: y= f (x’) Dimana x’ = x ± υt Maka

Dengan menggunakan aturan rantai, maka turunan ruang menjadi:

Mengulang prosedur yang sama untuk menemukan turunan ke dua:

Dengan demikian, turunan unuk waktu ditemukan:

Dengan mengombinasikan kedua turunan, kita dapat menuliskan persamaan gelombang satu dimensi,

Setiap gelombang bentuk Pers. (8-1) harus memenuhi persamaan gelombang ( 8-2), terlepas dari sifat fisik gelombang itu sendiri. Dengan demikian, untuk menentukan apakah suatu fungsi yang diberikan x dan t merupakan gelombang berjalan, itu sudah cukup untuk menunjukkan baik bahwa itu adalah bentuk umum dari Pers. (8.1) atau yang memenuhi persamaan gelombang (8.2). 8-2 GELOMBANG HARMONIK Gelombang

harmonik y

yang melibatkan = A sincos [ k (

sinus atau x ± υt )

fungsi ]

cosinus, (8-3)

Dimana A dan k adalah konstanta yang dapat bervariasi tanpa mengubah karakter harmonik gelombang. Ini adalah gelombang periodik, mewakili pulsa halus yang berulang tanpa henti. Gelombang semacam ini sering dihasilkan oleh osilator teredam menjalani gerak harmonik sederhana. Lebih penting, fungsi sinus dan cosinus bersama-sama membentuk sebuah persamaan lengkap dari fungsi yaitu, kombinasi linear dari istilah seperti pada pers.( 8-3 ) dapat ditemukan untuk mewakili bentuk gelombang periodik yang sebenarnya. Seperti serangkaian istilah yang disebut deret Fourier dan diperlakukan lebih lanjut pada sub-bab 12-1. Jadi kombinasi gelombang harmonik berpotensi mampu mewakili bentuk gelombang lebih yang rumit, bahkan serangkaian pulsa persegi panjang atau gelombang persegi. Karena sin x = cos (x - π / 2), satu-satunya perbedaan antara fungsi sinus dan kosinus adalah relatif π / 2 radian. Gelombang sinus yang digambarkan pada Gambar 8-2. Pada Gambar 8-2a, bagian dari gelombang dengan amplitudo A ditunjukkan pada waktu yang tetap, seperti dalam snapshot, pada Gambar 8-2b variasi waktu gelombang adalah pada titik x tetap sepanjang gelombang. Pada Gambar 8-2a unit spasial berulang gelombang ditampilkan sebagai λ panjang gelombang. Karena periodisitas ini, meningkat sepanjang x dengan λ harus mereproduksi gelombang yang sama. Secara matematis, gelombang direproduksi karena argumen fungsi sinus dikemukakan oleh 2π. Secara simbolis, A sin k [ ( x + λ ) + tf ] = A sin [ k ( x + υt ) +2 π ] atau A sin ( kx + + kλ kυt ) = A sin ( kx + kυt + 2π ) Diketahui bahwa k λ = 2 π , sehingga k konstanta propagasi berisi informasi mengenai panjang gelombang: k = 2π / λ (8-4) Atau, jika gelombang dilihat dari posisi tetap , seperti pada Gambar 8 - 2b, adalah periodik dalam waktu dengan unit temporal yang berulang disebut periode T. Meningkatkan semua t oleh T, bentuk gelombang direproduksi persis, sehingga A sin k [x + υ (t + T)] = A sin [k (x + υt) + 2π] atau A sin (kx + kυt -kυT) = A sin (kx + kυt + 2π) Jelas, kυT = 2π, dan kami memiliki persamaan yang berhubungan dengan periode T untuk pergeseran k konstanta dan kecepatan gelombang υ. Informasi yang sama termasuk dalam relasi υ=υλ (8-5) di mana kita telah menggunakan Pers.( 8-4 ) bersama-sama dengan hubungan timbal balik

antara periode T dan frekuensi υ , υ=1/T (8-6) Deskripsi terkait parameter gelombang yang sering digunakan. Kombinasi ώ= 2πυdisebut frekuensi sudut, dan kebalikan dari panjang gelombang k=1/λ disebut bilangan gelombang. Dengan hubungan ini mudah untuk menunjukkan kesetaraan bentuk umum berikut untuk gelombang harmonik: y = A sincos [ k (x ± υt)] y = A sincos [2 π (x/ λ ± t/T)] y = A sincos [kx (x ± ώ t)]

(8-7) (8-8) (8-9)

8-3 BILANGAN KOMPLEKS Dalam banyak situasi terbukti menjadi nyaman untuk mewakili gelombang harmonik di complex -nomor notasi. Untuk tujuan ini, pertama-tama kita meninjau secara singkat bentuk-bentuk di mana kita dapat menulis sejumlah kompleks dan hubungan-hubungan bilangan kompleks yang paling berguna i dinyatakan sebagai jumlah dari bagian real dan imajiner, z = x + iy (8-11) Dimana bilangan real dan i v'IT . Bentuk bilangan kompleks diberikan oleh Persamaan (8-11) juga dapat dilemparkan ke bentuk polar . Mengacu pada Gambar 8-3, kompleks mati rasa er i diwakili dalam hal bagian real dan imajiner di sepanjang sesuai sumbu . Besarnya , dilambangkan oleh II, juga disebut nilai mutlak atau mod lu.c r'2 = x'2 + y'2 (8-12)

Gambar 8-3 Grafik representasi bilangan kompleks real (Re) dan imajiner (Im)

Dari dari Gambar 8-3 , a = l cos iby Oandh - isin 0, itisal sopossible to express 1 = Pil ( coso + isinO ) Persamaan dengan rumus Euler, ( 8-13 ) sehingga

( 8-14 ) dimana

( 8-15 )

Kompleks konjugasi Σ * hanyalah bilangan kompleks Σ dengan i diganti dengan - i. Jadi jika ± = a + lb ( 8-16) di mana tanda bintang digunakan untuk menunjukkan konjugat kompleks. Sebuah minitheor sangat berguna em bahwa produk dari sejumlah kompleks dengan konjugat kompleks sama dengan kuadrat dari nilai mutlak. Menggunakan bentuk pol,

( 8-17 ) Akhirnya, akan sangat membantu untuk daftar nilai-nilai e', menggunakan rumus Euler , Persamaan. ( 8-13 ), untuk sering terjadi kasus-kasus khusus . 8-4 GELOMBANG HARMONIK AS BILANGAN KOMPLEKS Menggunakan rumus Euler, adalah mengekspresikan gelombangharmonik dengan

mungkin untuk

(8-18) dimana

(8-19)

dan

(8-20) Disajikan dalam bentuk Pers. (8-18), fungsi gelombang harmonik sehingga mencakupsinus dan cosinus gelombang sebagai bagian real dan imajiner. Perhitunganmenggunakan bentuk kompleks impiictly membawa hasil yang benar untuk kedua sinus dan cosinus gelombang. Pada setiap titik dalam perhitungan tersebut, persamaan yang sesuai untuk bentuk baik dapat diekstraksi dengan mengambil nyata atau bagian imajinerdari kedua sisi persamaan. Karena matematika dengan fungsi eksponensial biasanya lebih sederhana dibandingkan dengan fungsi trigonometri, ii sering nyaman untuk berurusan dengan gelombang harmonik ditulis dalam bentuk Pers. (8-18). 8-5 GELOMBANG DATAR Kami berharap sekarang untuk menggeneralisasi persamaan gelombang harmonik lebih lanjut sehingga dapat repres ent propagasi sepanjang segala arah di ruang angkasa. Karena arah sewenang-wenang inv olves tiga ruang koordinat x, y, dan z, kami mewakili displacerrent gelombang oleh Ji daripada y, misalnya,

( 8-21 ) Persamaan (8-21) merupakan sebuah gelombang bergerak sepanjang + arah x. di waktu yang tetap ( untuk kesederhanaan kita mengambil t = 0), luas spasial gelombang ini

(8-22) Ketika x = konstan, tahap p = kx = konstan. Dengan demikian permukaan fase konstan adalah keluarga pesawat diberikan pada Gambar 8-5 . Permukaan fase konstan merupakan wavifronts dari gangguan . Terbukti, saat itu, perpindahan gelombang yang diberikan oleh 4c adalah sama untuk semua titik wavefront a. Gelombang gangguan pada titik itrary arb dalam ruang , yang didefinisikan oleh vektor r pada Gambar 8 - 6a , karena itu sama seperti untuk titik x sepanjang sumbu x, di mana x = r cos 0. Persamaan. ( 8-22 ) kemudian dapat ditulis sebagai

Gambar 8-5 gelombang bidang sepanjang sumbu-x . Permukaan fase konstan adalah bidang x konstan. Gelombang menembus pesawat x a t = b . dan x c dititik yang ditunjukkan .

Gambar 8-6 Generalisasi dari gelombang pesawat ke arah yang sewenang-wenang. W diberikan oleh k vektor sepanjang sumbu x pada ( a) dan arah yang sewenang-wenang

Beberapa hasil penyederhanaan jika konstan propagasi , yang besarnya 2ir / A telah ditentukan dalam Pers . (8-4) , kini dianggap sebagai besaran vektor , menunjuk ke arah propagasi . Kemudian kr cos 0 = k r , dan gelombang harmonik dari Pers . (8-21) menjadi ( 8-23 ) Dalam bentuk ini, persamaan (8-23) dapat mewakili gelombang bidang merambat dalam ection dir sewenang-wenang yang diberikan oleh k, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8-6b. dalam kasus umum, mana (ks, k,k1) adalah komponen dari arah perambatan dan (x, y, z) komponen titik dalam ruang di mana perpindahan IJI dievaluasi . Persamaan gelombang harmonik sekarang menjadi persamaan gelombang tiga dimensi yang mungkin juga dinyatakan dalam bentuk kompleksyaitu

(8-24) Persamaan diferensial parsial dipenuhi oleh gelombang tiga dimensi tersebut adalah realisasi dari Pers. (8-2) dalam bentuk

(8-25) dengan mudah dapat diverifikasi dengan menghitung turunan parsial kedua dari 4, dari persamaan (8-24). Gelombang persamaan (8-25) sering ditulis lebih kompak dengan memisahkan waktu turunan spasial dari fungsi gelombang 4', memperlakukan mereka sebagai operator , dan mendefinisikan seluruh operator dalam kurung sebagai operator Laplacian, sehingga Pers. (8-25) menjadi

( 8-26 ) 8-6 GELOMBANG BOLA Gangguan gelombang harmonik yang berasal dari sumber titik dalam perjalanan homogen ndium pada tingkat yang sama dalam segala arah. Permukaan fase konstan, yaitu, muka gelombang , yang kemudian permukaan bola berpusat pada sumbernya. Gelombang tersebut juga dapat diwakili oleh persamaan gelombang harmonik dikembangkan untuk gelombang pesawat, dengan satu modifikasi: Amplitudo harus dibagi dengan jarak r untuk memberikan.

( 8-27 ) Gelombang bola, karena merambat jauh dari sumber, penurunan amplitudo, berbeda dengan gelombang pesawat yang amplitudo konstan. Jika amplitudo di dist Ance r dari sumber adalah A/r, maka radiasi (W/m2) dari gelombang ada prop ortional ke (Air) 2, dan kita melihat bahwa kita hanya menggambarkan akrab persegi hukum propagasi untuk gangguan gelombang bulat. Perhatikan bahwa dalam kasus ini arti A harus hati-hati dijelaskan secara . Jelas, kita tidak bisa membiarkan amplit ude untuk menjadi terbatas pada titik sumber, seperti r mendekati nol. Nilai A harus sesuai dengan amplitudo gelombang pada satuan jarak ( r = 1 ) dari sumber. 8-7 GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK Persamaan gelombang harmonik dibahas sejauh ini dapat mewakili semua jenis gelombang mengganggu Ance yang bervariasi secara sinusoidal. Ini termasuk, misalnya, gelombang pada tali, gelombang air, dan gelombang suara. Persamaan berlaku untuk situasi tertentu secepat makna fisik perpindahan Ψ diidentifikasi. Jumlah Ji bisa merujuk ke perpindahan vertikal string atau variasi tekanan akibat gelombang suara merambat dalam gas. Untuk gelombang elektromagnetik yang dapat mewakili propagasi cahaya, Ψ singkatan salah satu dari medan listrik atau magnet yang merupakan gelombang. Gambar 8-7 menggambarkan sebuah gelombang

bidang elektromagnetik berjalan dalam beberapa arah yang sewenang-wenang. Dari persamaan Maxwell , yang menggambarkan gelombang tersebut, kita tahu bahwa variasi harmonik dari medan listrik dan magnetik selalu tegak lurus satu sama lain dan terhadap arah propagasi diberikan oleh k, seperti yang disarankan oleh orthogonal set sumbu pada Gambar 8-7. Variasi ini dapat dijelaskan oleh persamaan gelombang harmonik dalam bentuk: E = Eoe i(k.r-wt) ( 8-28 ) B = Boe i(k.r-wt) ( 8-29 ) di mana E dan B mewakili medan listrik dan medan magnet, dan Eo dan B0 adalah amplitudo masing-masing dari keduanya. Kedua komponen dari gelombang dengan sama pergeseran vektor k dan frekuensi w dan dengan demikian dengan panjang gelombang dan kecepatan yang sama. Selanjutnya, teori elektromagnetik menjelaskan bahwamedan amplitudo terkait dengan E0= cBO, di mana c adalah kecepatan gelombang. Pada setiap waktu dan tempat yang ditentukan, E = cb ( 8-30 ) Dalam ruang bebas, kecepatan c diberikan oleh

Gambar 8-7 Gelombang elektronika bidang datar. Medan elektik E, medan magnet B, dan perambatan vektor k yang saling tegak lurus.

dimana konstanta ϵ0 dan μo masing-masing adalah permitivitas dan permeabilitas dari vakum. Nilai ukur untuk konstanta ini , ϵ0= 8,8542 x 10-12 (C-s)2/kg-m3 dan μo= 4πx10-7kg-m /(A-s)2, memberikan metode tidak langsung untuk menentukankecepatan cahaya dalam ruang bebas dan menghasilkan nilai c = 2,998 x l08 m/s. Seperti gelombang , tentu saja , merupakan transmisi energi. energi density (J/m3) terkait dengan medan listrik di ruang bebas adalah

( 8-32 ) dan kepadatan energi

yang berkaitan dengan medan magnet

dalam ruang bebas

( 8-33) Persamaan ini, mudah diperoleh untuk medan listrik statis ideal kapasitor dan

medan magnet statis dari suatu solenoid ideal, umumnya berlaku. Dengan memasukkan Pers.(830) dan (08-31) menjadi salah satu dari Pers. (8-32) atau (8-33), uE, dan uB yang terbukti sama. Misalnya, dimulai dengan Persamaan (8-33) ,

(8-34) Energi dari gelombang elektromagnetik karena itu dibagi rata antara medan listrik dan magnetik penyusunnya. Total kepadatan energi adalah jumlah yang atau

(8-35) Pertimbangkan depan tingkat di mana energi yang diangkut oleh gelombang elektromagnetik, atau kekuatannya. Dalam waktu, energi diangkut melalui penampang luas A ( Gambar 8-8 ) adalah energi yang berkaitan dengan tV volume volumepersegi panjang cΔt . demikian

( 8-36 )

Gambar 8-8 Aliran Energi gelombang elektromagnetik. Dalam waktu At , energi yang tertutup dalam volume persegi panjang mengalir di permukaan A.

atau kekuatan ditransferper satuan luas S, adalah S = uc ( 8-37 ) Kita sekarang menjelaskan kepadatan energi u dalam hal E dan B , sebagai berikut, memanfaatkan Pers. ( 8-31 ) dan ( 8-35 ) :

( 8-38 )

Memasukkan hasil ini ke dalam Pers . ( 8-37 ) ,

( 8-39 ) Kekuatan per satuan luas S. ketika ditugaskan arah perambatan, disebut Poynting vektor. Karena arah ini adalah sama seperti yang dari produk silang dari ortogonal vektor, E dan B, maka kita dapat menulis:

( 8-40 ) Karena variasi cepat dari listrik dan medan magnet, frekuensinya adalah 1014 sampai l015 Hz dalam spektrumyang terlihat, besarnya vektor Poynting di Persamaan (8-39) juga merupakan fungsi cepat variasi waktu. Dalam kebanyakan kasus rata-rata waktu daya yang dikirim per satuan luas adalah semua yang diperlukan. Kuantitas ini disebut penyinaran, Ee .

( 8-41 )

di mana kurung sudut menunjukkan rata-rata waktu dan kami telah menyatakan bidang sebagai fungsi sinus fase . Rata-rata dari fungsi sin2ѳ atau cos2ѳ atas periodik mudah terbukti tepat 1/2, sehingga

( 8-42 ) Bentuk-bentuk alternatif dari Pers. (8-42) disajikan untuk kasus ruang bebas. Mereka juga berlaku untuk media indeks bias n jika e0 digantikan oleh n2εo dan c digantikan oleh kecepatan c/n. Perhatikan bahwa perubahan ini meninggalkan tinju dari alternatif bentuk yang bervariasi . 8-8 EFEK DOPPLER Efek Doppler dikenal pada gelombang suara yang memiliki pasangan dalam gelombang cahaya , tetapi dengan sebuah perbedaan penting . Ingatlah bahwa ketika berhadapan dengan gelombang suara, frekuensi yang jelas dari sumber meningkat atau menurun tergantung pada gerak dari kedua sumber dan pengamat sepanjang garis bergabung dengan mereka. Pergeseran frekuensi

akibat sumber bergerak didasarkan pada perubahan panjang gelombang yang ditransmisikan. Pergeseran frekuensi akibat pengamat bergerak didasarkan pada perubahan kecepatan gelombang suara relatif terhadap pengamat. Dua efek secara fisik berbeda dan dijelaskan oleh persamaan yang berbeda. Mereka juga pada dasarnya berbeda dari kasus gelombang cahaya. Perbedaan antara efek Doppler dalam suara dan gelombang cahaya lebih dari perbedaan kecepatan gelombang. Sedangkan gelombang suara merambat melalui media materi, gelombang cahaya merambat di vakum. Segera setelah media perambatan dihapus, tidak ada lagi dasar fisik untuk perbedaan antara pengamat bergerak dan sumber bergerak. Ada satu gerakan relatif antara mereka yang menentukan pergeseran frekuensi dalam efek Doppler untuk cahaya. Penurunan efek Doppler untuk cahaya membutuhkan teori relativitas khusus dan sebagainya tidak dilakukan di sini.

(8-43) dimana λ ' adalah Doppler bergeser - panjang gelombang dan v adalah kecepatan relatif antara sumber dan pengamat . Tanda v positif ketika mereka mendekati satu sama lain. Ketika v<< c , persamaan ini didekati dengan.

(8-44) Efek Doppler sangat penting ketika digunakan untuk menentukan kecepatan sumber astronomi memancarkan radiasi elektromagnetik. Pergeseran merah adalah pergeseran panjang gelombang radiasi tersebut terhadap panjang gelombang lagi, karena kecepatan relatif dari sumber jauh dari kami (pengamat). Dopplermemperluas garis spektrum yang merupakan aplikasi lain yang penting di mana atom yang bergerak cepat dari cahaya memancarkan gas dengan kedua kenaikan dan penurunan frekuensi akibat gerakan acak mereka terhadap dan jauh dari pengamatketika melakukan pengukuran spektroskopi.