Sangaku

10 problemes Sangaku amb triangles

Ricard Peiró i Estruch Gener 2009

Introducció Els Sangaku són unes taules de fusta amb enunciats de problemes de geometria euclídea creats al Japó en el període Edo 1603-1867. En aquest període el Japó estava aïllat d’occident. Aquestes taules estaven exposades als temples budistes.

Els 10 problemes escollits pertanyen a taules de la prefectura de Nagano i la seua temàtica principal són triangles. Els problemes són de distint grau de complexitat i d’una gran bellesa de colors i formes.

Enunciats Problema 1 La següent figura està formada per 1 triangle equilàter i 3 quadrats iguals. El costat del triangle equilàter és a. Calculeu el costat del quadrat.

Problema 2 ∆

Siga el triangle isòsceles ABC , AB = AC . Siga la seua circumferència inscrita de centre O 1 i radi r1 . Siguen D, E els punts de tangència de la circumferència inscrita i els costats AB, AC del ∆

triangle. Siga la circumferència inscrita al triangle ADE de centre O 2 i radi r2 . Considerem la circumferència de centre O 3 i radi r3 . Determineu el valor de r2 en termes de r3 .

Problema 3 A

∆

En el triangle rectangle ABC , B = 90 º , s’han inscrit els quadrats P, Q, R, S, T (veure figura). Si els costats dels quadrats S, T són a, b, respectivament, calculeu el costat del quadrat P.

T R

P Q B

Problema 4 ∆

El rombe BDEF està inscrit en el triangle ABC . Siga r el radi de la ∆

circumferència inscrita al triangle AFE i s el radi de la circumferència ∆

inscrita al triangle DCE . Determineu r en funció de s i dels costats a, c.

Problema 5 ∆

En el triangle rectangle ABC , C = 90 º , siga CD l’altura sobre la hipotenusa. Siguen coneguts els catets del triangle. Determineu els radis de les ∆

∆

circumferències inscrites als triangles rectangles ADC , BCD .

S C

Problema 6 ∆

Siga el triangle rectangle ABC , B = 90 º . Siga D un punt de la hipotenusa AC . Siga r1 el radi de la circumferència inscrita al triangle ∆

∆

ABD i r2 el radi de la circumferència inscrita al triangle BCD .

Determineu el radi r1 en funció de r2 i dels catets a = BC i c = AB .

Problema 7 ∆

Donat el triangle rectangle ABC , A = 90 º , tal que els triangles ∆

∆

ADE , DAF , i el rectangle HCGI tenen la mateixa àrea. Si x = FH = GE , determineu x en funció dels catets del triangle ∆

rectangle ABC .

Problema 8 En la següent figura el triangle és isòsceles i està inscrit en una circumferència de radi R. Hi ha 4 circumferències iguals de radi r i una circumferència més menuda de radi s. Calculeu els radis de les circumferències r i s en funció de R radi de la circumferència major.

Problema 9 ∆

Siga el triangle isòsceles ABC , AB = AC = a constant. Siga la seua circumferència inscrita de centre O 1 i radi r1 . Una circumferència de centre O 2 i radi r2 és tangent als costats del triangle AB, AC i tangent exterior al la circumferència anterior. Així es construeixen n circumferència. Si n és constant i x = BC variable. Per a quin valor de x el radi rn és màxim.

Problema 10 ∆

Siga el triangle ABC qualsevol i r el radi de la circumferència inscrita i h a .l’altura sobre el costat BC . ∆

A

∆

Les circumferències inscrites als triangles ABD , ADC tenen el mateix radi r1 . Determineu r1 en termes de r i h a . B

D

C

Solucions Problema 1

La següent figura està formada per 1 triangle equilàter i 3 quadrats iguals. El costat del triangle equilàter és a. Calculeu el costat del quadrat.

Solució: ∆

Siga el triangle equilàter ABC de costat a. Siga x = DE = BD costat del quadrat. ∠EDF = 30º . Aleshores, DF = 3 x .

( ) Aleshores, x = (2 − 3 )a .

a = 2x + 3 x = 2 + 3 x .

Problema 2

∆

Siga el triangle isòsceles ABC , AB = AC . Siga la seua circumferència inscrita de centre O 1 i radi r1 . Siguen D, E els punts de tangència de la circumferència inscrita i els costats AB, AC del triangle. Siga la circumferència inscrita al triangle ∆

ADE de centre O 2 i radi r2 . Considerem la circumferència de centre O 3 i radi r3 . Determineu el valor de r2 en termes de r3 .

Solució: Siga H el punt mig del costat BC . Siga M el punt mig del segment DE . Siga α = ∠DAM = ∠ MDO 1 ∆

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle MDO1 : DM = r1 cos α . Per tant, DE = 2r1 cos α . MO 1 = r1 sin α ∆

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle ADO1 : r r AO1 = 1 , AD = 1 . sin α tgα Aleshores, r AM = AO1 − MO 1 = 1 − r1 sin α . sin α ∆

Calculant l’àrea del triangle ADE : 1 1  r   cos α  S ADE = DE ⋅ AM = 2r1 cos α ⋅  1 − r1 sin α  = r12  − sin α cos α  . 2 2  sin α   sin α 

(

)

  1  1 1  2r 2AD + DE r2 =  1 + 2r1 cos α r2 = r1r2  + cos α  . 2 2  tg α   tgα  Igualant les àrees:  1   2  cos α r1  − sin α cos α  = r1r2  + cos α  . Simplificant:  sin α   tgα  S ADE =

 cos α   cos α  r1  − sin α cos α  = r2  + cos α  .  sin α   sin α  Aïllant r2 : r2 =

cos α − sin2 α cos α 1 − sin 2 α r1 = r1 = (1 − sin α )r1 . cos α + sin α cos α 1 + sin α

Aleshores, r2 = (1 − sin α )r1 = r1 − MO 1 . ∆

Aleshores, el centre de la circumferència inscrita al triangle ADE pertany a la ∆

circumferència inscrita al triangle ABC . Aleshores, r2 = 2r3 .

Problema 3

A T R ∆

En el triangle rectangle ABC , B = 90 º , s’han inscrit els quadrats P, Q, R, S, T (veure figura). Si els costats dels quadrats S, T són a, b, respectivament, calculeu el costat del quadrat P.

P Q

S C

B

Solució: Siga x el costat del quadrat P. Siga y el costat del quadrat Q. Siga z el costat del quadrat R.

A L J

∆

∆

K

Els triangles rectangles DEF , FGH són semblants. Aplicant el teorema de Tales: a y = . Aleshores, y 2 = ax (1) y−a x− y ∆

D E B

∆

Els triangles rectangles JKL , HIJ són semblants. Aplicant el teorema de Tales: x − z z −b = . Aleshores, b(x − z) = z( z − b ) (3) z b Substituint l’expressió (2) en l’expressió (3): b(x − x − y ) = (x − y )(x − y − b ) . y 2 − 2 xy + x 2 − bx = 0 . Resolent l’equació en la incògnita y: y = x − bx Igualant les expressions (1) i (4):

(

)

2

(4)

ax = x − bx . Resolent l’equació en la incògnita x: x = a + b + 2 ab .

F

G

∆

Els triangles rectangles FGH , HIJ són semblants. Aplicant el teorema de Tales: y x−z = . Aleshores, z = x − y (2) x−y z ∆

H I

C

Problema 4

∆

El rombe BDEF està inscrit en el triangle ABC siga r el radi de la circumferència ∆

∆

inscrita al triangle AFE i s el radi de la circumferència inscrita al triangle DCE . Determineu r en funció de s i dels costats a, c. Solució: Siga x = BD = BF el costat del rombe. ∆

∆

Els triangles AFE , DCE són semblants aplicant el teorema de Tales: r x x = , aleshores, r = s (1) s a−x a− x ∆

∆

Els triangles AFE , ABC són semblants aplicant el teorema de Tales: x c ac = , aleshores, x = (2) a c−x a+ c Substituint l’expressió (2) en l’expressió (1) i simplificant: cs r= . a

Problema 5

∆

En el triangle rectangle ABC , C = 90 º , siga CD l’altura sobre la hipotenusa. Siguen coneguts els catets del triangle. Determineu els radis de ∆

∆

les circumferències inscrites als triangles rectangles ADC , BCD . Solució: Siguen els catets a = BC , b = AC Siguen r, s els radis de les circumferències inscrites als triangles ∆

∆

rectangles ADC , BCD , respectivament. ∆

Aplicant el teorema del catet al triangle rectangle ABC : b2 a2 b 2 = AH ⋅ c , aleshores, AH = . a 2 = BH ⋅ c , aleshores, BH = . a2 + b2 a2 + b2 El radi de la circumferència inscrita a un triangle rectangle és igual al semiperímetre menys la hipotenusa, aleshores: b2 ab b+ + 2 2 2 − b a 2 + b 2 + b 2 + ab AC + AD + CD a +b a +b2 r= − AC , r = −b = . 2 2 2 a2 + b2 Anàlogament, s =

− a a 2 + b 2 + a 2 + ab 2 a 2 + b2

.

Problema 6

∆

Siga el triangle rectangle ABC , B = 90 º . Siga D un punt de la hipotenusa AC . Siga r1 el radi de la circumferència inscrita al triangle ∆

∆

ABD i r2 el radi de la circumferència inscrita al triangle BCD .

Determineu el radi r1 en funció de r2 i dels catets a = BC i c = AB . Solució: Siga O 1 el centre de la circumferència ∆

inscrita al triangle ABD de radi r1 . Siga O 2 el centre de la circumferència ∆

inscrita al triangle BCD de radi r2 . Considerem la circumferència inscrita al ∆

triangle ABC de centre I i radi r. Siga D, E els punts de tangència de la ∆

circumferència inscrita al triangle ABC i els costats a, c respectivament. Siga M el punt de tangència de la ∆

circumferència inscrita al triangle ABD i el costat c. ∆

Siga N el punt de tangència de la circumferència inscrita al triangle BCD i el costat a. ∆

∆

Els triangles AMO 1 , AEI són semblants, aplicant el teorema de Tales: r (c − r ) r (c − r ) AM r1 = . Aleshores, AM = 1 . BM = c − 1 c−r r r r ∆

(1)

∆

Els triangles CNO 2 , CDI són semblants, aplicant el teorema de Tales: r (a − r ) r (a − r ) CN r2 = . Aleshores, CN = 2 . BN = a − 2 a −r r r r

(2)

∆

Considerem el triangle rectangle BLK , L = 90 º tal que la circumferència de centre O 2 i radi r2 és inscrita al triangle. Siga J el punt de tangència del costat KL i la circumferència. BK = BN + KJ . ∆

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle BLK :

(BN + KJ) = (BN + r ) + (KJ + r ) . Aïllant KJ . 2

2

2

2

2

KJ =

(BN + r )r 2

2

(3)

BN − r2 Substituint l’expressió (1) en l’expressió (3): r (ar − ar2 + 2r2 r ) KJ = 2 a(r − r2 ) ∆

(4)

∆

Els triangles BMO 1 , KJO 2 són semblants aplicant el teorema de Tales: BM KJ = r1 r2

(5)

Substituint les expressions (1) (4) en l’expressió (5): cr − r1(c − r ) r2 (ar − ar2 + 2r2 r ) a(r − r2 ) r = . r1 r2 Simplificant: ac r 2 − rr1 − rr2 + r2 r1 = 2r 2 r2 r1 (6) Aïllant r1

(

r1 =

)

(

ac r 2 − rr2

)

(7) 2r r2 + ac (r − r2 ) El radi de la circumferència inscrita del triangle rectangle és igual al semiperímetre menys la hipotenusa: 2

a + c + a2 + c 2 a + c − a2 + c 2 − a2 + c2 = 2 2 Substituint l’expressió (8) en l’expressió (7) i simplificant: ac a + c − 2r2 − a 2 + c 2  . r1 =  2 2 2 ac − 2r2 a + c    r=

(8)

Problema 7

∆

Donat el triangle rectangle ABC , A = 90 º , tal que els triangles ∆

∆

ADE , DAF , i el rectangle HCGI tenen la mateixa àrea. Si x = FH = GE , determineu x en funció dels catets del triangle ∆

rectangle ABC . Solució: Siga a = BC , b = AC . ∆

∆

Si els triangles ADE , DAF tenen la mateixa àrea, aleshores, BF = ∆

L’àrea del triangle ADE és S ADE =

ab . 8

a b − x , CG = − x . 2 2 L’àrea del rectangle HCGI és: a  b  SHXGI =  − x  − x  , S HXGI = S ADE . Aleshores: 2  2  a  b  ab . Resolent l’equació en la incògnita x:  − x  − x  = 2  2  8 HC =

x=

a + b − a 2 + b2 . 4

1 1 a , AE = b . 2 2

Problema 8

En la següent figura el triangle és isòsceles i està inscrit en una circumferència de radi R. Hi ha 4 circumferències iguals de radi r i una circumferència més menuda de radi s. Calculeu els radis de les circumferències r i s en funció de R radi de la circumferència major. Solució: ∆

Siga el triangle isòsceles ABC a = BC , b = AB = AC . Siga h = AD altura del triangle. Siga OE = R − 2r . ∆

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle AEO :  b R − 2r = R −    2

2

2

∆

(1) ∆

Els triangles AGC i ABD són semblants, aplicant el teorema b h b2 de Tales: = , aleshores, h = (2) 2R b 2R a 2 2 2 = (2R ) − b , aleshores, a = b ( 2R) 2 − b 2 (3) b 2R R ∆

Considerem el triangle rectangle ACD i la seua circumferència inscrita de radi r. a h + −b 2 Aleshores, r = (4) 2 Substituint les expressions (2), (3) en l’expressió (4): b2 b 2r = + (2R )2 − b 2 − b (5) 2R 2R Substituint l’expressió (5) en l’expressió (1): 2  b2  b b 2 2 2   R− + (2R) − b − b  = R −   (6)  2  2R 2R  Elevant al quadrat i simplificant: 2b 2 − 2Rb − 3R 2 = 0 . Resolent l’equació en la incògnita b:

1+ 7 R 2 Substituint l’expressió (7) en l’expressió (1) b=

(7)

 1+ 7  R − 2r = R −  R  4   

2

2

Aleshores, 2r = R − R

8 −2 7 5− 7 , r= R. 16 8 2

 1+ 7   R 2   2 b  = 4 − 7 R, h + 2s = 2R . Aleshores, 2s = 2R − h = 2R − = 2R −  2R 2R 4 4− 7 aleshores, s = R. 8

Problema 9

∆

Siga el triangle isòsceles ABC , AB = AC = a constant. Siga la seua circumferència inscrita de centre O 1 i radi r1 . Una circumferència de centre O 2 i radi r2 és tangent als costats del triangle AB, AC i tangent exterior al la circumferència anterior. Així es construeixen n circumferències. Si n és constant i x = BC variable. Per a quin valor de x el radi rn és màxim. Solució: Siga H el punt mig del costat BC . ∆

Siga D el punt de tangència de la circumferència inscrita al triangle ABC i el costat AC . Siguen E, F les tangents de les altres circumferències. Considerem la recta tangent a les dues primeres circumferències que talla el costat AB en el punt K. Siga J la projecció de K sobre el costat BC . 2a + x x AD = , CH = CD = 2 2 2

x AH = a −   .  2 2

∆

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle AO1D : 2

2 2    a 2 −  x  − r  = r 2 +  2a + x  .     1 1   2  2   

Aleshores, r1 =

x 2a − x

(1)

2 2a + x

KL = DE BC − KL x − DE DE x + DE BJ = = , LC = KB = CD + = . 2 2 2 2 ∆

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle KJB : 2

2

 x − DE   x + DE  2      2  + (2r1 ) =  2  .    

4r12 (2) x Siga h l’altura sobre el costat BC del triangle r2 AE AD − DE . = = r1 AD AD r2 h − 2r1 h − 2r1 − 2r2 r3 = = = r1 h h − 2r1 r2 Aleshores: r2 r3 r4 r AD − DE (3) = = = .... = n = r1 r2 r3 rn−1 AD

Aleshores, DE =

2a − x AD − DE x (2a − x ) x(2a − x ) 2a − x 2 = = = = 2 2 2 2a + x AD 2a − x 4r1 x( 2a − x ) − 8r1  x(2a − x )  −  x(2a − x ) − 8 2 x  2(2a + x ) 

Multiplicant les n-1 primeres igualtats de (3): rn  2a − x  =  r1  2a + x 

n −1

n−1

n−1

x 2a − x  2a − x  x  2a − x   2a − x  rn = r1   =   =   2  2a + x   2a + x  2 2a + x  2a + x  Calculem la derivada de rn respecte de la variable x:

d(rn ) 1  2a − x  =   dx 2  2a + x 

n−

1 2

+

x 1  2a − x  n −   2 2  2a + x 

d(rn ) 1  = 0 , si − x 2 − 4an − x + 4a 2 = 0 dx 2  Resolent l’equació: x =  (2n − 1) 2 + 4 − (2n − 1)a .  

n−

3 2

n−

1 2

.



− 4a 1  2a − x  =   2 2  2a + x  (2a + x )

1  x 2 − 4a n − x + 4a 2 2    (2a − x )(2a + x )  

n −1  −

     

Problema 10

A ∆

Siga el triangle ABC qualsevol i r el radi de la circumferència inscrita i h a .l’altura sobre el costat BC . ∆

∆

Les circumferències inscrites als triangles ABD , ADC tenen el mateix radi r1 . B Determineu r1 en termes de r i h a .

C

D

Solució: Vegem primer la relació entre el radi d’una circumferència inscrita a un triangle i l’altura. A Siga p el semiperímetre. Igualant les fórmules de les àrees: ah pr = p(p − a )(p − b )(p − c ) , = p(p − a)(p − b)(p − c ) . 2 I 2 p(p − a )(p − b )(p − c ) (p − a)(p − b)(p − c ) Aleshores, r = , ha = . p a Siga T el punt de tangència de la circumferència inscrita i el costat B H T BC . B r C r BT = p − b , CT = p − c ,. tg = , tg = . 2 p −b 2 p −c 2

(p − a)(p − b)(p − c ) p

B C r p−a a 2r a ⋅ tg = = = 1− . 1− = 1+ = 1− . 2 2 (p − a)(p − b) p p ha p 2 p(p − a)(p − b)(p − c ) a 2r B C Aleshores, 1 − = tg ⋅ tg (1) ha 2 2 2

tg

∆

Aplicant la propietat anterior al triangle ABD 2r B ∠ BDA 1 − 1 = tg tg ha 2 2

(2)

C

∆

Aplicant la propietat anterior al triangle ADC 2r C ∠ ADC 1 − 1 = tg tg (3) ha 2 2 Substituint les expressions (2) (3) en l’expressió (1): 2r 2r 1− 1 1− 1 2r ha ha 1− = ⋅ ∠BDA ∠ADC ha tg tg 2 2 BDA ADC Com que tg ∠ ⋅ tg ∠ = 1, 2 2 2

2r  2r  1− = 1 − 1  . Aïllant la incògnita r1 : ha  ha  h a − h a − 2rh a 2

r1 =

2

.

Bibliografia. García Capitán, F. (2003) Problemas San Gaku. 2003. Es pot descarregar en: http://garciacapitan.auna.com/problemas/sangaku1/libro.pdf Eiichi Ito i altres. Japanese Temple Mathematical problems, in Nagano Pref. Japan. 2003.

Adreces: http://www.wasan.jp/english/ Pàgina japonesa sobre Sangaku. http://mathworld.wolfram.com/SangakuProblem.html Enciclopèdia Mathworld. Entrada SangakuProblem http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml Applets amb problemes Sangaku. http://www.mfdabbs.pwp.blueyonder.co.uk/Maths_Pages/SketchPad_Files/Japanese_ Temple_Geometry_Problems/Japanese_Temple_Geometry.html Applets amb problemes Sangaku. http://www.arrakis.es/~mcj/sangaku.htm Pàgines de la Gacetilla matemática. On podeu trobar les demostracions d’alguns teoremes Sangaku. http://agutie.homestead.com/files/sangaku2.html Pàgina d’Antonio Gutiérrez. Problemes de Geometria.