Sang Kien Kinh Nghiem 2009

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai



Ñeà taøi saùng kieán kinh nghieäm:

Hoï vaø teân ngöôøi vieát : NGUYEÃN VAÊN BAÛY Giôùi tính: Nam Daân toäc: Kinh Ngaøy thaùng naêm sinh: 05/ 9 / 1971 Chöùc vuï: Thö kyù hoäi ñoàng sö phaïm Ñôn vò: Tröôøng THPT chuyeân Huøng Vöông-Gia Lai

Plieku, ngaøy 25 thaùng 2 naêm 2009

Pleiku, ngaøy 25 thaùng 02 naêm 2009

-1-

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai

PHẦN I: LỜI GIỚI THIỆU

Năm học 2006-2007 là năm học đầu tiên thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học đối với lớp 10, chương trình sách giáo khoa có nhiều thay đổi trong đó Bộ Giáo dục không đưa vào chương trình học “ Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” Vì vậy kể từ năm học 2008-2009 học sinh lớp 12 không được áp dụng trực tiếp định lý nói trên để giải quyết bài toán: “ Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước”, để tháo gỡ phần nào sự lúng túng của học sinh về dạng toán này và chuẩn bị tốt cho mùa thi sắp tới, tôi xin giới thiệu bài viết : “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước khi không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai ” Rất mong sự góp ý, trao đổi của đồng nghiệp và để bài viết được hoàn thiện hơn.

-2-

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai

PHẦN II:

NỘI DUNG

Bài toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên một khoảng cho trước khi không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai. Bài toán: Tìm m để y = f(x , m) tăng hoặc giảm trên khoảng I * Tập xác định hàm số D ( ta phải có I  D ) * Định m để f’(x,m)  0 (  0 ) ; x  I . Lưu ý: f’(x,m) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I Ta xét các bài toán cụ thể Bài toán 1: Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số : y   x 3  3x 2  mx  4 . nghịch biến trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) . Lời giải: Tập xác định hàm số: D = R. y' = − 3x 2 − 6 x + m .

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) ⇔ y ' = − 3x 2 − 6 x + m ≤ 0 ; ∀x > 0 ⇔ 3 x 2 + 6 x ≥ m ; ∀x > 0 (I)

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x2 + 6x trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) : x 0

+∞

y

+∞ 0

Từ đó, ta được (I) ⇔ m ≤ 0 . Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 – 3(2m+1)x2 + (12m +5)x + 2. a) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; + ∞ ). b) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; − 1) và ( 2 ; + ∞ ) -3-

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai

Lời giải: Tập xác định hàm số: D = R. y ' = 3 x 2 − 6.( 2m + 1) x + 12m + 5

a) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; + ∞ ) ⇔ y ' = 3 x 2 − 6.( 2m + 1) x + 12m + 5 ≥ 0 ; ∀x > 2 ⇔ 3 x 2 − 6 x + 5 ≥12m ( x − 1) ; ∀x > 2 ⇔

3x 2 − 6 x + 5 ≥ 12m ∀x > 2 (II) x −1

3x 2 − 6 x + 1 3x 2 − 6 x + 5 xét g ( x) = ; g ' ( x) = >0 ∀x > 2 ( x − 1) 2 x −1

Ta có bảng biến thiên hàm số g(x) trên khoảng ( 2 ; + ∞ ). +∞

x 2 g’(x)

+ +∞

g(x) 5 Từ đó : (II) ⇔ 12m ≤ 5 ⇔ m ≤

5 . 12

Đáp số: m ≤

5 12

b) Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; − 1) và ( 2 ; + ∞ ) ⇔ y ' = 3 x 2 − 6.( 2m + 1) x + 12m + 5 ≥ 0 ; ∀x < 1; x > 2

⇔ g ( x) =

3x 2 − 6 x + 5 3x 2 − 6 x + 5 ≤ 12m ∀x < −1 ; ≥ 12m ∀x > 2 (III) x −1 x −1

3x 2 − 6 x + 1 g '( x) = ( x − 1) 2

Bảng biến thiên hàm số g(x) trên các khoảng ( − ∞ ; − 1) và ( 2 ; + ∞ ) x

-∞

g’(x)

+

g(x)

3− 6 3

-1 +

0

3+ 6 3

1 -

-

-7

0

+

+ 5

-∞ -4-

+∞

2

+∞

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai

Từ bảng biến thien ta có: (III) ⇔ −7 ≤ 12m ≤ 5 ⇔ −

7 5 ≤m≤ 12 12

Bài toán 3: Xác định m để hàm số : y = 4mx3 − 6 x 2 + (2m − 1) x + 1 tăng trên khoảng

( 0;2) Lời giải: Tập xác định hàm số: D= R y ' = 12mx 2 − 12 x + 2m − 1

Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2  ⇔ y '  12mx 2  12 x  2m  1  0 x   0; 2 

 g ( x) 

12 x  1  m x   0; 2  (IV) 12 x 2  2



1 x   36 x  6 x  6 3 g '( x)  ; g '( x)  0   2 2 (6 x  1)  x1  2 2

Bảng biến thiên hàm số g(x) trên các khoảng  0; 2 

x

-

g’(x)



+

1 2

-

1 3

0

-

0 9 10

g(x) 0 

+ + 0

7 5

Từ bảng biến thiên ta có: (IV)  m 

9 10

Bài toán 4: Xác định m để hàm số : y 

x 2  mx  5 . Xác định m để hàm số đồng 3 x

biến trên khoảng (-1 ; 0). Lời giải: Tập xác định hàm số: D=R \  3

-5-

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

y'

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai

 x  6 x  3m (3  x) 2 2

Hàm số đồng biến trên khoảng  1;0   y'

 x 2  6 x  3m  0 x  (1;0)   x 2  6 x  3m  5  0 x   1;0  2 (3  x)

 g ( x)  x 2  6 x  5  3m x  (  1;0)

(IV)

Bảng biến thiên hàm số g(x) trên các khoảng  1;0  x

-1

0

g’(x)

-

g(x)

12 5

Từ bảng biến thiên ta có: (IV)  3m  5  m 

5 3

x 2  2mx  3m 2 Bài toán 4: Với những giá trị nào m thì hàm số: y  2m  x

nghịch biến trên  1;     x 2  4mx  m 2 Lời giải:Tập xác định hàm số D= R\  2m . Ta có : y '  (2m  x ) 2

 1,    D 

y nghịch biến trên khoảng  1;    

 y '  0; x  1



1 (V)  2  x 2  4mx  m 2  0; x  1 m



Đặt:

g ( x)  x 2  4mx  m 2

Bảng biến thiên hàm số g(x) x - g’(x)

2m -

0

+

1 +

+

g(x) - 

+ m2 -4m +1 -3m2 -6-

2m  1 2   x  4mx  m  0; x  1 



2

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai

1 2

Từ bảng biến thiên ta có: (V) ⇔ m 2 − 4m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 − 3 ( thoả điều kiện m < ) • Nhận xét: Rõ ràng lời giải trên ngắn gọn, tháo gỡ phần nào sự lúng túng của học sinh khi gặp dạng toán này. Ngoài cách giải trên chúng ta còn có cách giải khác qui bài toán về bài toán tam thức bậc 2. Chẳn hạn: Tim điều kiện để: f(x) = ax2 + bx +c 1) x1  x2  

;

2) x1    x2

(a ≠ 0) có 2 nghiệm thoả mãn:

3)   x1  x2

Phương pháp: Ta đặt x  t    x  0  1) x1  x2    t1  t2  0    Pt  0  S 0  t

2) x1    x2  t1  0  t2  Pt  0  x  0   0  t1  t2    Pt  0  S 0  t

3)  < x1  x2

Ta giải bài toán 2 câu a) bằng phương pháp này. y '  3 x 2  6.( 2m  1) x  12m  5  '  6(6m 2  1)

• Nếu m 

1 thì  '  0 khi đó y '  0 x  R  Hàm số đồng biến R, nên đồng 6

biến trên  2;    • Nếu m 

1 thì y’ có 2 nghiệm x1< x2.Do đó để hàm số đồng biến trên 6

khoảng  2;    ta phải có x1  x2  2 Xét: g ( x)  3x 2  6.( 2m  1) x  12m  5 Đặt x = t +2 ta có : g(t) =  3t 2  6.( 2m 1) x 12m  5 -7-

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n B¶y

Trêng THPT chuyªn Hïng V¬ng Gia Lai



1  m 6   t  0 1 5 5 1   m x1  x2  2  t1  t2  0   Pt  0   m  m hoặc 12 12 6 6  S 0   t 1   m 2 

Tóm lại để y đồng biến trên khoảng  2;    ta có m 

5 12

Nhận xét: Cách giải này đòi hỏi phải tính toán,xét nhiều trường hợp dễ gây sự nhầm lẫn hơn nhiều so với cách giải trên. Để kết thúc bài viết này tôi xin giới thiệu một số bài toán mà cách giải tương tự Tìm m để hàm số: 1 3

a) y  mx3  (m  1) x 2 3(m  2) x 

1 đồng biến trên  2;    3

1 3

b) y  x3  (m  1) x 2 (m  3) x  4 đồng biến trên  0;3 2 x 2  (1  m) x  1  m c) y  đồng biến trên  1;    xm

d) y 

mx 2  6 x  2 nghịch biến trên  1,    x2

PHẦN 3

KẾT LUẬN

Phương pháp trên khá hiệu quả giải quyết một cách nhanh gọn một lớp bài toán dạng này. Ngoài ra ta có thể áp dụng phương pháp này để giải bài toán “ xác định vị trí của một điểm cực trị ”. xin giới thiệu quí thầy cô và các en học sinh ở bài sáng kiến kinh nghiệm lần sau. Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắn bài viết còn nhiều thiếu sót, rất mong sự góp ý chân thành của đồng nghiệp,để rút kinh nghiệm cho đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm sau phục vụ tốt hơn cho việc giảng dạy.

-8-