Sample 2

Calculus Techniques of Differentiation = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = fp_k= =VVURTUVUOO= = `çéóêáÖÜí=«=OMMP=^KpîáêáåK=^ää=oáÖÜíë=oÉëÉêîÉÇK=

= qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâ=

i

Preface = = = = qÜáë= ÉÄççâ= áë= áåíÉåÇÉÇ= éêáã~êáäó= Ñçê= ëíìÇÉåíë= äÉ~êåáåÖ= Å~äÅìäìë= ~åÇ= ÑçÅìëÉë= ÉåíáêÉäó= çå= ÇáÑÑÉêÉåíá~íáçå= çÑ= ÑìåÅíáçåë= çÑ= çåÉ= î~êá~ÄäÉK=qÜÉ=ëÉÅíáçåë=~êÉ=ïêáííÉå=~ë=ëÉäÑ-ÖìáÇÉÇ=íìíçêá~äëK=b~ÅÜ=ÅÜ~é íÉê=ÄÉÖáåë=ïáíÜ=~ééêçéêá~íÉ=ÇÉÑáåáíáçåë=~åÇ=Ñçêãìä~ë=ÑçääçïÉÇ=Äó= åìãÉêçìë=ëçäîÉÇ=éêçÄäÉãë=äáëíÉÇ=áå=çêÇÉê=çÑ=áåÅêÉ~ëáåÖ=ÇáÑÑáÅìäíóK= _~ëáÅ=ÜáÖÜ=ëÅÜççä=ã~íÜ=áë=~ää=íÜ~íDë=åÉÉÇÉÇ=íç=Ñçääçï=íÜÉ=Éñéä~å~íáçåë=~åÇ=äÉ~êå=Ñêçã=OMM=éê~ÅíáÅ~ä=éêçÄäÉãë=ëçäîÉÇ=ëíÉé-Äó-ëíÉéK= = fí=áë=ïÉää=âåçïå=íÜ~í=íÜÉ=çåäó=ï~ó=íç=äÉ~êå=Å~äÅìäìë=áë=Äó=ëçäîáåÖ= éêçÄäÉãëK=qÜÉ=ãçêÉ=éêçÄäÉãë=óçì=ïçêâI=íÜÉ=ÄÉííÉê=óçì=ÄÉÅçãÉ=~í= ëçäîáåÖ=íÜÉãKqÜáë=ÉÄççâ=ÜÉäéë=óçì=Åìí=ëíìÇó=íáãÉI=áåÅêÉ~ëÉ=éêçÄäÉã-ëçäîáåÖ= ëâáääë= ~åÇ= ~ÅÜáÉîÉ= óçìê= éÉêëçå~ä= ÄÉëí= çå= Å~äÅìäìë= Éñ~ãë>=

ii

Contents = = = = iáëí=çÑ=pçäîÉÇ=mêçÄäÉãë==1= 1. aÉÑáåáíáçå=çÑ=íÜÉ=aÉêáî~íáîÉ==7=== 2. _~ëáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=oìäÉë==14= 3. aÉêáî~íáîÉë=çÑ=mçïÉê=cìåÅíáçåë==20= 4. qÜÉ=mêçÇìÅí=~åÇ=nìçíáÉåí=oìäÉë==35= 5. qÜÉ=`Ü~áå=oìäÉ==49= 6. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==60= 7. aÉêáî~íáîÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==71= 8. aÉêáî~íáîÉë=çÑ=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==85= 9. aÉêáî~íáîÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==90= 10. aÉêáî~íáîÉë=çÑ=bñéçåÉåíá~ä=~åÇ=içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë==96= 11. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå==108= 12. fãéäáÅáí=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå==117= 13. eáÖÜÉê-lêÇÉê=aÉêáî~íáîÉë==125= 14. q~ÄäÉ=çÑ=aÉêáî~íáîÉë==132 = ==

iii

Chapter 4

The Product and Quotient Rules = = = =

The Product Rule iÉí= ì(ñ ) =~åÇ= î (ñ ) =ÄÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉK=qÜÉå=ìî=áë=~äëç=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ= ~åÇ== = (ìî )′ = ì′î + ìî′ K= = fãéçêí~åí>= qÜÉ= ÇÉêáî~íáîÉ= çÑ= íÜÉ= éêçÇìÅí= áë= klq= Éèì~ä= íç= íÜÉ= éêçÇìÅí=çÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉëK= =

The Quotient Rule iÉí= ì(ñ ) =~åÇ= î (ñ ) =ÄÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉK=qÜÉåI=áÑ= î (ñ ) ≠ M I=ïÉ=Ü~îÉ== =  ì  ′ ì′î − ìî′ K=   = îO î = =

plisba=mol_ibjp== = cáåÇ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçääçïáåÖ=ÑìåÅíáçåë=EÉñ~ãéäÉë=QS-TM): = Example 46. ó (ñ ) = (ñ Q + Oñ )(ñ P + ñ ) K=

35

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

Solution. rëÉ=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉ=~åÇ=íÜÉ=éçïÉê=êìäÉW= ′ ′ ó ′(ñ ) = (ñ Q + Oñ )(ñ P + ñ ) ′ = (ñ Q + Oñ ) (ñ P + ñ ) + (ñ Q + Oñ )(ñ P + ñ ) = = Q ñ P ⋅ (ñ P + ñ ) + (ñ Q + Oñ ) ⋅ Pñ O = Q ñ S + Q ñ Q + Pñ S + Sñ = = ñ (T ñ R + Q ñ P + S) K= = = Example 47. aáÑÑÉêÉåíá~íÉ==ñRLO==Äó=ïêáíáåÖ=

[

R

]

N

ñ O = ñ OñO = ñ ⋅ ñO = ~åÇ=ìëáåÖ=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉK=

Solution. ′  RO  ñ  =     =

(

′ ñ ⋅ ñO =

N

⋅ñ +

O ñ

) ( ñ )′ ⋅ ñ + ( ñ )⋅ (ñ )′ =

O

N

O

O

( )

ñO ñ ⋅ Oñ = + Oñ ñ = O ñ

N

P

P

P

N+ N O− N R = ñ O + Oñ O = ñ O + Oñ O = ñ O K= O O O

= = Example 48. O ó (ñ ) = K= ñ

Solution. `çãéìíÉ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=çÑ=íÜáë=ÑìåÅíáçå=ìëáåÖ=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉW= ′ O  O  ON ⋅ ñ − O ⋅ ñ ′ M ⋅ ñ − O ⋅ N M − O ó ′(ñ ) =   = = = O = − O K= O O ñ ñ ñ ñ ñ

36

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

Example 49. cáåÇ=~=Ñçêãìä~=Ñçê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=åÉÖ~íáîÉ=éçïÉê== ó (ñ ) = ñ − å K=

Solution. tÉ=Å~å=ïêáíÉ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå=~ë== N ó (ñ ) = å K= ñ eÉåÅÉI=Äó=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉI=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë= ′ ′ N  N′ ⋅ ñ å − N ⋅ (ñ å )  ó ′(ñ ) =  å  = = ñ  (ñ å )O M ⋅ ñ å − åñ å −N å å = = − Oå −å +N = − å+N K= Oå ñ ñ ñ = = Example 50. Oñ − P Ñ (ñ ) = K= Pñ + O

Solution. _ó=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉI== ′ ′ ′  Oñ − P  (Oñ − P) (Pñ + O) − (Oñ − P)(Pñ + O) Ñ ′(ñ ) =  = =  (Pñ + O)O  Pñ + O  O ⋅ (Pñ + O) − (Oñ − P) ⋅ P Sñ + Q − Sñ + V NP = = = K= O O (Pñ + O) (Pñ + O)O (Pñ + O) = = Example 51. ó (ñ ) = (ñ + ~ )(ñ − Ä) I=ïÜÉêÉ=~I=Ä=~êÉ=Åçåëí~åíëK=

Solution. rëÉ=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉW=

37

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

′ ′ ′ ó ′(ñ ) = [(ñ + ~ )(ñ − Ä)] = (ñ + ~ ) (ñ − Ä) + (ñ + ~ )(ñ − Ä) = = N ⋅ (ñ − Ä) + (ñ + ~ ) ⋅ N = ñ − Ä + ñ + ~ = Oñ − Ä + ~ K= = = Example 52. Oñ ó (ñ ) = K= N− ñ O

Solution. rëÉ=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉW= ′ ′ ′ Oñ  (Oñ ) (N − ñ O ) − (Oñ )(N − ñ O )  = K= ó ′(ñ ) =  O   N− ñ  (N − ñ O )O aáÑÑÉêÉåíá~íÉ=íÜÉ=ÉñéêÉëëáçåë=áå=íÜÉ=Äê~ÅâÉíë=~åÇ=ëáãéäáÑóW= O(N − ñ O ) − (Oñ )(− Oñ ) O − Oñ O + Q ñ O O(N + ñ O ) ó ′(ñ ) = = = K= (N − ñ O )O (N − ñ O )O (N − ñ O )O = = Example 53. N+ ñ − ñ O K= ó (ñ ) = N− ñ + ñ O

Solution. rëÉ=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉW= ′  N+ ñ − ñO  = ó ′(ñ ) =  O   N− ñ + ñ  (N + ñ − ñ O )′ (N − ñ + ñ O ) − (N + ñ − ñ O )(N − ñ + ñ O )′ K= = (N − ñ + ñ O )O aáÑÑÉêÉåíá~íÉ=íÜÉ=ÑìåÅíáçåë=áå=íÜÉ=åçãáå~íçêW=

38

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

ó ′(ñ ) =

(N − Oñ )(N − ñ + ñ O ) − (N + ñ − ñ O )(− N + Oñ ) K=

(N − ñ + ñ )

O O

páãéäáÑóW= (N − ñ + ñ O − Oñ + Oñ O − Oñ P )− (− N − ñ + ñ O + Oñ + Oñ O − Oñ P ) = ó ′(ñ ) = (N − ñ + ñ O )O N − ñ + ñ O − Oñ + Oñ O − Oñ P + N + ñ − ñ O − Oñ − Oñ O + Oñ P = = (N − ñ + ñ O )O O − Qñ = K= (N − ñ + ñ O )O = = Example 54. cáåÇ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=çÑ=í~åÖÉåí=ÑìåÅíáçå= ó (ñ ) = í~å ñ =Äó=ìëáåÖ=íÜÉ= èìçíáÉåí=êìäÉK=

Solution. ëáå ñ I=ëç=íÜ~íI=ìëáåÖ=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉI=ïÉ=çÄí~áå= Åçë ñ ′ ′ ′ ëáå ñ  (ëáå ñ ) Åçë ñ − ëáå ñ (Åçë ñ )  ′ K= ó ′(ñ ) = (í~å ñ ) =   = (Åçë ñ )O  Åçë ñ  ′ ′ páåÅÉ= (ëáå ñ ) = Åçë ñ I (Åçë ñ ) = − ëáå ñ I=ïÉ=Ü~îÉ=

í~å ñ =

(í~å ñ )′ = Åçë ñ Åçë ñ − ëáåOñ (− ëáå ñ ) = Åçë ñ + ëáåO (Åçë ñ ) (Åçë ñ ) O

O

ñ

=

N K= Åçë O ñ

eÉêÉ=ïÉ=ìëÉÇ=íÜÉ=íêáÖçåçãÉíêáÅ=áÇÉåíáíó= ëáå O ñ + Åçë O ñ = N K== = = Example 55. cáåÇ= íÜÉ= ÇÉêáî~íáîÉ= çÑ= Åçí~åÖÉåí= ÑìåÅíáçå= ó (ñ ) = Åçí ñ = ìëáåÖ= íÜÉ= èìçíáÉåí=êìäÉK=

39

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

Solution. tÉ=Å~å=ïêáíÉ= Åçë ñ K= ëáå ñ _ó=èìçíáÉåí=êìäÉI=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë== ′ ′ ′ ñ (ëáå ñ ) (Åçí ñ )′ =  Åçë ñ  = (Åçë ñ ) ëáå ñ − Åçë K= (ëáå ñ )O  ëáå ñ  ′ ′ páåÅÉ= (ëáå ñ ) = Åçë ñ I (Åçë ñ ) = − ëáå ñ I=ïÉ=Ü~îÉ= ó (ñ ) = Åçí ñ =

ñ Åçë ñ Åçë ñ + ëáå (Åçí ñ )′ = − ëáå ñ ëáå ñ − Åçë =− O (ëáå ñ ) (ëáå ñ )O O

O

ñ

=−

N K= ëáå O ñ

eÉêÉ=ïÉ=ìëÉÇ=íÜÉ=íêáÖçåçãÉíêáÅ=áÇÉåíáíó= ëáå O ñ + Åçë O ñ = N K== = = Example 56. ëáå ñ ó (ñ ) = K= N + Åçë ñ

Solution. rëÉ=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉW= ′ ′ ′ ëáå ñ  (ëáå ñ ) (N + Åçë ñ ) − ëáå ñ (N + Åçë ñ )  ó ′(ñ ) =  K=  = (N + Åçë ñ )O  N + Åçë ñ  ′ ′ páåÅÉ= (ëáå ñ ) = Åçë ñ I (Åçë ñ ) = − ëáå ñ I=ïÉ=Ü~îÉ= Åçë ñ (N + Åçë ñ ) − ëáå ñ (− ëáå ñ ) ó ′(ñ ) = = (N + Åçë ñ )O Åçë ñ + Åçë O ñ + ëáå O ñ N + Åçë ñ N = = K= O O (N + Åçë ñ ) (N + Åçë ñ ) N + Åçë ñ tÉ=ìëÉÇ=ÜÉêÉ=íÜÉ=íêáÖçåçãÉíêáÅ=áÇÉåíáíó== ëáå O ñ + Åçë O ñ = N == =

40

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

íç=ëáãéäáÑó=íÜÉ=~åëïÉêK= = = Example 57. iÉí= ó (ñ ) = ëáå O ñ K= aáÑÑÉêÉåíá~íÉ= íÜÉ= ÖáîÉå= ÑìåÅíáçå= åçí= ìëáåÖ= íÜÉ= ÅÜ~áå=êìäÉK=

Solution. tÉ=Å~å=ïêáíÉ== ó (ñ ) = ëáå ñ ëáå ñ K= _ó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉI= ′ ′ ′ ó ′(ñ ) = (ëáå ñ ëáå ñ ) = (ëáå ñ ) ëáå ñ + ëáå ñ (ëáå ñ ) K= ′ ′ páåÅÉ= (ëáå ñ ) = Åçë ñ I (Åçë ñ ) = − ëáå ñ I=ïÉ=Ü~îÉ= ó ′(ñ ) = Åçë ñ ëáå ñ + ëáå ñ Åçë ñ = O ëáå ñ Åçë ñ K= rëÉ=íÜÉ=ÇçìÄäÉ=~åÖäÉ=Ñçêãìä~= ëáå Oñ = O ëáå ñ Åçë ñ K= pç=íÜ~í=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë== ó ′(ñ ) = ëáå Oñ K= = = Example 58. ~ñ + Ä Ñ (ñ ) = I=ïÜÉêÉ=~I=ÄI=ÅI=~åÇ=Ç=~êÉ=Åçåëí~åíëK= Åñ + Ç

Solution. rëÉ=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉW= ′ ′ ′  ~ñ + Ä  (~ñ + Ä) (Åñ + Ç ) − (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) ′ Ñ (ñ ) =  =  = (Åñ + Ç )O  Åñ + Ç  ~ ⋅ (Åñ + Ç ) − (~ñ + Ä) ⋅ Å ~Åñ + ~Ç − ~Åñ − ÄÅ ~Ç − ÄÅ = = = K= (Åñ + Ç )O (Åñ + Ç )O (Åñ + Ç )O têáíÉ=íÜÉ=åçãáå~íçê=ìëáåÖ=ÇÉíÉêãáå~åíW=

41

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

~ Ä K= Å Ç pç=íÜ~í=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë= ~ Ä ′ Å Ç  ~ñ + Ä  Ñ ′(ñ ) =  K=  = O  Åñ + Ç  (Åñ + Ç ) = = Example 59. ó (ñ ) = (ñ − ~ )(ñ O + ~ñ + ~ O ) I=ïÜÉêÉ=~=áë=~=Åçåëí~åíK= ~Ç − ÄÅ =

Solution. ^ééäó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉ=~åÇ=ëáãéäáÑóW= ó ′(ñ ) = (ñ − ~ )(ñ O + ~ñ + ~ O ) ′ =

[

] ) + (ñ − ~ )(ñ

′ = (ñ − ~ ) (ñ O + ~ñ + ~ O

′ + ~ñ + ~ O ) =

O

= N ⋅ (ñ O + ~ñ + ~ O ) + (ñ − ~ ) ⋅ (Oñ + ~ ) = = ñ O + ~ñ + ~ O + Oñ O − O~ñ + ~ñ − ~ O = Pñ O K= = = Example 60. ë(í ) = (í O + Oí + U)(í Q − Rí P )K=

Solution. ^ééäó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉ=íç=ÅçãéìíÉ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉK= ë ′(í ) = (í O + Oí + U)(í Q − Rí P ) ′ =

[ = (í

] ′ + Oí + U) (í − Rí ) + (í + Oí + U)(í − Rí ) = = (Oí + O)(í − Rí ) + (í + Oí + U)(Qí − NRí ) = = (Oí + Oí − NMí − NMí ) = + (Qí + Uí + POí − NRí − PMí − NOMí ) = ′

O

Q

Q

P

P

O

Q

O

P

R

Q

Q

P

R

Q

P

Q

P

42

P

O

O

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

= (Oí R − Uí Q − NMí P ) + (Q í R − Tí Q + Oí P − NOMí O ) = = Sí R − NRí Q − Uí P − NOMí O = í O (Sí P − NRí O − Uí − NOM) K= = = Example 61. ó (ñ ) = O ëáå ñ Åçë ñ K=

Solution. ^ééäó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉW= ′ ′ ó ′(ñ ) = O(ëáå ñ ) Åçë ñ + ëáå(Åçë ñ )  K=   ′ ′ páåÅÉ= (ëáå ñ ) = Åçë ñ I (Åçë ñ ) = − ëáå ñ I=ïÉ=çÄí~áå= ó ′(ñ ) = O(Åçë ñ Åçë ñ + ëáå ñ (− ëáå ñ )) = O(Åçë O ñ − ëáå O ñ ) K= páãéäáÑó=íÜÉ=~åëïÉê=ìëáåÖ=íÜÉ=ÇçìÄäÉ=~åÖäÉ=Ñçêãìä~W= Åçë Oñ = Åçë O ñ − ëáå O ñ K= qÜÉå== ó ′(ñ ) = O Åçë Oñ K= EqÜÉ=~åëïÉê=áë=çÄîáçìë=ÄÉÅ~ìëÉ=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ÑìåÅíáçå=Å~å=ÄÉ=ïêáí íÉå=~ë= ó (ñ ) = O ëáå ñ Åçë ñ = ëáå Oñ FK= = = Example 62. ó (ñ ) = (ñ ëáå α + Åçë α )(ñ Åçë α − ëáå α ) I=ïÜÉêÉ=α=áë=~=Åçåëí~åí== ~åÖäÉK=

Solution. eÉêÉ=Åçëα=~åÇ=ëáåα=~êÉ=Åçåëí~åíëK=qÜÉå=Äó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉI= ′ ó ′(ñ ) = [(ñ ëáå α + Åçë α )(ñ Åçë α − ëáå α )] = ′ = (ñ ëáå α + Åçë α ) (ñ Åçë α − ëáå α ) = ′ + (ñ ëáå α + Åçë α )(ñ Åçë α − ëáå α ) = = (ëáå α + M )(ñ Åçë α − ëáå α ) + (ñ ëáå α + Åçë α )(Åçë α − M) =

43

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

= ëáå α(ñ Åçë α − ëáå α ) + (ñ ëáå α + Åçë α ) Åçë α = = ñ ëáå α Åçë α − ëáå O α + ñ ëáå α Åçë α + Åçë O α = = O ëáå α Åçë α ⋅ ñ + Åçë O α − ëáå O α K= rëÉ=íÜÉ=ÑçääçïáåÖ=íêáÖçåçãÉíêáÅ=áÇÉåíáíáÉëW= ëáå Oα = O ëáå α Åçë α I= Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α K= qÜÉå=ïÉ=Ü~îÉ== ó ′(ñ ) = ëáå Oα ⋅ ñ + Åçë Oα K= = = Example 63. ó (ñ ) = ñ (Oñ + N)(Pñ + O) K=

Solution. tÉ= Å~å= ÑáåÇ= íÜÉ= ÇÉêáî~íáîÉ= çÑ= íÜÉ= ÖáîÉå= ÑìåÅíáçå= Äó= ãìäíáéäóáåÖ= çìí=ÑáêëíK=få=íÜáë=Å~ëÉI=ïÉ=Ü~îÉ= ó (ñ ) = ñ (Oñ + N)(Pñ + O) = ñ (Sñ O + Pñ + Q ñ + O) = = S ñ P + T ñ O + Oñ K = qÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=çÑ=íÜáë=áë== ′ ó ′(ñ ) = (Sñ P + T ñ O + Oñ ) = NUñ O + NQ ñ + O K= kçï=~ééäó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉ=EíïáÅÉF=íç=ÇáÑÑÉêÉåíá~íÉ=íÜáë=ÑìåÅíáçåK= ó ′(ñ ) = [ñ (Oñ + N)(Pñ + O)] ′ = ′ = [ñ (Oñ + N)]′⋅ (Pñ + O) + [ñ (Oñ + N)]⋅ (Pñ + O) = ′ =  ñ ′ ⋅ (Oñ + N) + ñ ⋅ (Oñ + N)  ⋅ (Pñ + O) + [ñ (Oñ + N)]⋅ P =   = [N ⋅ (Oñ + N) + ñ ⋅ O](Pñ + O) + Pñ (Oñ + N) = = [Oñ + N + Oñ ](Pñ + O) + Sñ O + Pñ = = (Q ñ + N)(Pñ + O) + S ñ O + Pñ = = NOñ O + Pñ + Uñ + O + Sñ O + Pñ = = NUñ O + NNñ + O K=

44

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

fí=áë=É~ëó=íç=ëÜçï=EëÉÉ=mêçÄäÉã=64FI=íÜ~í=áÑ=~=ÑìåÅíáçå=áë=~=Ñ~Åíçê=çÑ= P=çíÜÉê=ÑìåÅíáçåëW= Ñ (ñ ) = ì(ñ )î (ñ )ï (ñ ) I= áíë=ÇÉêáî~íáîÉ=áë== Ñ ′(ñ ) = ì′îï + ìî ′ï + ìîï ′ K= qÜáë=Ñçêãìä~=~ääçïë=íç=ÑáåÇ=íÜÉ=ÖáîÉå=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇáêÉÅíäóK=== = = Example 64. iÉí= Ñ (ñ ) = ì(ñ )î (ñ )ï (ñ ) K=cáåÇ=~=Ñçêãìä~=Ñçê=Ñ=∞EñFK=

Solution. ^ééäó=íÜÉ=éêçÇìÅí=êìäÉ=íïáÅÉK==qÜÉå=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë== ′ ′ Ñ ′(ñ ) = (ì(ñ )î (ñ )ï (ñ )) = [ì(ñ )î (ñ )]′ ï (ñ ) + [ì(ñ )î (ñ )]ï (ñ ) = páåÅÉ=

[ì(ñ )î (ñ )]′ = ì′î + ìî ′ I= ïÉ=çÄí~áå=íÜÉ=ÑçääçïáåÖ=Ñçêãìä~= ′ Ñ ′(ñ ) = (ìîï ) = (ì ′î + ìî ′)ï + ìîï ′ = ì ′îï + ìî ′ï + ìîï ′ K= = = Example 65. aáÑÑÉêÉåíá~íÉ=íÜÉ=ÑçääçïáåÖ=ÑìåÅíáçå=åçí=ìëáåÖ=íÜÉ=ÅÜ~áå=êìäÉK= Ñ (ñ ) = (ñ O − N) K= P

Solution. rëÉ=íÜÉ=Ñçêãìä~=ÖáîÉå=áå=mêçÄäÉã=64W= (ìîï )′ = ì′îï + ìî ′ï + ìîï ′ K= tÉ=Å~å=ïêáíÉ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå=~ë= Ñ (ñ ) = (ñ O − N)(ñ O − N)(ñ O − N) K= qÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë== ′ Ñ ′(ñ ) = (ñ O − N) (ñ O − N)(ñ O − N) =

45

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

′ ′ + (ñ O − N)(ñ O − N) (ñ O − N) + (ñ O − N)(ñ O − N)(ñ O − N) =

= Oñ (ñ O − N)(ñ O − N) + (ñ O − N) ⋅ Oñ ⋅ (ñ O − N) + (ñ O − N)(ñ O − N) ⋅ Oñ = = P ⋅ Oñ (ñ O − N)(ñ O − N) = Sñ (ñ O − N) K= O

= = Example 66. ó (ñ ) = (ñ O + Pñ + Q )(Oñ − R)(ñ O + P) K=

Solution. rëÉ=íÜÉ=Ñçêãìä~=ÖáîÉå=áå=mêçÄäÉã=64W= (ìîï )′ = ì′îï + ìî ′ï + ìîï ′ K= pìééçëáåÖ=íÜ~í== ì(ñ ) = ñ O + Pñ + Q I== î (ñ ) = Oñ − R I= ï (ñ ) = ñ O + P I== ïÉ=Ü~îÉ== ′ ′ ó ′(ñ ) = (ñ O + Pñ + Q ) (Oñ − R)(ñ O + P) + (ñ O + Pñ + Q )(Oñ − R) (ñ O + P) = ′ + (ñ O + Pñ + Q )(Oñ − R)(ñ O + P) = = (Oñ + P)(Oñ − R)(ñ O + P) + (ñ O + Pñ + Q ) ⋅ O ⋅ (ñ O + P)= + (ñ O + Pñ + Q )(Oñ − R) ⋅ Oñ K= páãéäáÑó=íÜÉ=ÉñéêÉëëáçåW= ó ′(ñ ) = (Q ñ O − Q ñ − NR)(ñ O + P) + (ñ O + Pñ + Q )(Oñ O + S) = + (ñ O + Pñ + Q )(Q ñ O − NMñ ) = = (Q ñ Q − Q ñ P − NRñ O + NOñ O − NOñ − QR) = + (Oñ Q + Sñ P + Uñ O + S ñ O + NUñ + OQ ) = + (Q ñ Q + NOñ P + NSñ O − NMñ P − PMñ O − QMñ ) K= pç=íÜ~í== ó ′(ñ ) = NMñ Q + Q ñ P − Pñ O − PQ ñ − ON K=

46

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

Example 67. cáåÇ= ~= ÖÉåÉê~ä= Ñçêãìä~= íç= ÇáÑÑÉêÉåíá~íÉ= ~= êÉÅáéêçÅ~ä= NLÑEñF= çÑ= ~= ÑìåÅíáçå=ÑEñFK==

Solution. N K=_ó=íÜÉ=èìçíáÉåí=êìäÉI=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë= Ñ (ñ ) ′  N  N′ ⋅ Ñ (ñ ) − N ⋅ Ñ ′(ñ ) =  = ó ′(ñ ) =  Ñ O (ñ )  Ñ (ñ )  M ⋅ Ñ (ñ ) − N ⋅ Ñ ′(ñ ) Ñ ′(ñ ) = =− O K= O Ñ (ñ ) Ñ (ñ ) pç=ïÉ=ÖÉí=íÜÉ=êÉÅáéêçÅ~ä=êìäÉ=Ñçê=ÇÉêáî~íáîÉW= ′ Ñ ′(ñ )  N    = − O K= Ñ (ñ )  Ñ (ñ )  = = Example 68. N ó (ñ ) = S K= ñ + Rñ O iÉí= ó (ñ ) =

Solution.

rëÉ=íÜÉ=êÉÅáéêçÅ~ä=êìäÉ=áå=bñ~ãéäÉ=67=íç=ÑáåÇ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉW= ′  N  Ñ ′(ñ )  K=  = − O Ñ (ñ )  Ñ (ñ )  eÉåÅÉ= ′ ′ ( N ñ S + Rñ O ) Sñ R + NMñ   = − K= ó ′(ñ ) =  S = −  O  ñ + Rñ  (ñ S + Rñ O )O (ñ S + Rñ O )O = = =

47

4. THE PRODUCT AND QUOTIENT RULE

Example 69. ó (ñ ) = ëÉÅ ñ K=

Solution. rëÉ=íÜÉ=êÉÅáéêçÅ~ä=êìäÉ=Ñçê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉW= ′  N  Ñ ′(ñ )  K=  = − O Ñ (ñ )  Ñ (ñ )  qÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë= ′ (Åçë ñ )′ = ′  N  = − ó ′(ñ ) = (ëÉÅ ñ ) =   Åçë O ñ  Åçë ñ  (− ëáå ñ ) = ëáå ñ = í~å ñ ëÉÅ ñ K= =− Åçë O ñ Åçë O ñ = = Example 70. ó (ñ ) = ÅëÅ ñ K=

Solution. rëÉ=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=çÑ=êÉÅáéêçÅ~ä=ÑìåÅíáçåW= ′  N  Ñ ′(ñ )  K=  = − O Ñ (ñ )  Ñ (ñ )  qÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=áë= ′ (ëáå ñ )′ = ′  N  = − ó ′(ñ ) = (ÅëÅ ñ ) =   ëáå O ñ  ëáå ñ  Åçë ñ Åçë ñ = − O = − O = − Åçí ñ ÅëÅ ñ K= ëáå ñ ëáå ñ

48