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Derivadas parciales de primer orden Razón de cambio y regla de la cadena

CONTENIDOS Derivadas parciales de primer orden

Razón de cambio Regla de la cadena

Logros esperados • Analiza el comportamiento de una función de varias variables mediante sus conjuntos de nivel y el estudio de sus derivadas parciales. • Resuelve problemas de contexto real haciendo uso de las derivadas parciales. • Interpreta las derivadas parciales en situaciones variadas. • Aplica la regla de la cadena para funciones de varias variables en situaciones intra-extra matemáticas.

Saberes previos Antes de iniciar el estudio de las funciones de varias variables, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo que estudiaremos en esta lección. Reglas de derivación

Regla de la cadena.

Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus compañeros.

Saberes previos 1. Calcule las derivadas de las funciones siguientes: a)

3

𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 + tan 𝜋𝑥 2

b) 𝑓(𝑦) = c)

2𝑦 3

4−9𝑦

2 + 8 − 9𝑦²

6

𝑓 𝑤 = 4 3𝑤 2 − 1 − ln 𝑤 2 + 1

2. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto dado: a)

𝑢 𝑡 = ln 𝑡 2 cos 𝑡 + 1 ; 𝑡0 = 𝜋 2 .

b) 𝑢 𝑠 = sen

2𝑒 𝑠

𝜋

sen 𝑠 ; 𝑠0 = . 2

Derivadas parciales de primer orden

Derivadas parciales Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una función de 𝑛 variables definida 𝐷. 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ; ⋯ ; 𝑥𝑛 ) Definimos la derivada parcial de 𝑓 respecto a 𝑥𝑖 en el punto 𝑎 ∈ 𝐷 como el límite 𝝏𝒇 𝒇 𝒂 + 𝒕𝒆𝒊 − 𝒇(𝒂) 𝒂 = 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 𝝏𝒙𝒊 𝒕

siempre y cuando este límite exista. 𝒆𝒊 es el vector canónico unitario en la dirección 𝑥𝑖 En ℝ𝟐 tenemos: 𝑒1 = 𝑖 = 1; 0 𝑒2 = 𝑗 = 0; 1

En ℝ𝟑 tenemos: 𝑒1 = 𝑖 = 1; 0; 0 𝑒2 = 𝑗 = 0; 1; 0 𝑒3 = 𝑘 = 0; 0; 1

Derivadas parciales (regla práctica) Podemos usar la siguiente regla práctica para calcular derivadas parciales para una función de tres ( o dos) variables 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)

𝜕𝑓 𝜕𝑥

considerar a 𝒚 y 𝒛 como constantes y derivar respecto de 𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑦

considerar a 𝒙 y 𝒛 como constantes y derivar respecto de 𝑦

𝜕𝑓 𝜕𝑧

considerar a 𝒙 y 𝒚 como constantes y derivar respecto de 𝑧

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE Calcule las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦³ + 3𝑦 2 𝑥³ − 9. b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

3 𝑥𝑦 𝑒

+ 𝑡𝑎𝑛 𝑦 2 − 𝑥³ .

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥2 8+𝑦 4

+ 𝑙𝑛 𝑦 2 + 𝑥 .

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 =

2 −𝑦 𝑒

+ 4 3𝑦 2 − 𝑥.

e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥+2𝑦 3 𝑦−9𝑥 2

Solución:

+ 𝑥³ − 9𝑦²

6

Interpretación geométrica Con la definición del límite, la derivada parcial se puede interpretar como: 𝝏𝒇 𝒙𝟎 ; 𝒚 𝟎 𝝏𝒙

Pendiente en el punto 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑓( 𝑥0 ; 𝑦0 ) de la curva 𝐶 (orientada en la dirección de 𝑖) formada por la intersección de la gráfica de 𝑓 y el plano perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por 𝑥0 : 𝑦0 y es paralelo a 𝑖 𝒛

𝐶

𝝏𝒇 𝝏𝒙 𝟏

𝒚

𝒙 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎

Interpretación geométrica 𝝏𝒇 𝒙 ;𝒚 𝝏𝒚 𝟎 𝟎

Pendiente en el punto 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑓( 𝑥0 ; 𝑦0 ) de la curva 𝐶 (orientada en la dirección de 𝑗) formada por la intersección de la gráfica de 𝑓 y el plano perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por 𝑥0 : 𝑦0 y es paralelo a 𝑗

𝒛

𝐶 𝟏 𝝏𝒇 𝝏𝒚

𝒙 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎

𝒚

Interpretación como razón de cambio Las derivadas parciales también pueden interpretarse como la razón de cambio instantáneo de la función respecto de una variable, mientras la otra permanece constante. Así, •

𝜕𝑓 𝜕𝑥

•

𝜕𝑓 𝜕𝑦

𝑥0 ; 𝑦0 se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la función 𝑓 a lo largo del semieje positivo 𝑋.

𝑥0 ; 𝑦0 se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la

función 𝑓 a lo largo del semieje positivo 𝑌. Es decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variación parcial de la función con respecto a cada variable, cuando las demás se mantienen fijas.

EJEMPLO Una lámina de metal plana se encuentra en un plano 𝑋𝑌 y su temperatura (en grados Celcius) en un punto 𝑥, 𝑦 está dada por la siguiente expresión 𝑇 𝑥; 𝑦 = 10 𝑥 2 + 𝑦 2 (donde 𝑥 e 𝑦, se miden en centímetros). Calcule la razón de cambio de la temperatura desde la posición 1; 2 a.- En la dirección positiva del eje 𝑋 b.- En la dirección positiva del eje 𝑌

Solución:

2

EJEMPLO Un cilindro circular recto de metal es calentado gradualmente. Debido al calor el cilindro comienza a dilatarse (manteniendo su forma cilíndrica). Determine la razón de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto de la altura en el instante en que su radio mide 9cm y su altura 45 cm. Interprete sus resultados. Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE: 1 • La ley de los gases ideales 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (en la que los números 𝑛 y 𝑅 toman valores constantes) relaciona las variables de presión 𝑝, volumen 𝑉 y temperatura 𝑇 de un gas. Demuestre que •

𝜕𝑝 𝜕𝑉

𝜕𝑉 𝜕𝑇

𝜕𝑇 𝜕𝑝

= −1

Solución: PASO 1: Para expresar las derivadas parciales, expresemos cada una de las variables en términos de las otras: 𝑇 𝑇 1 𝑝 = 𝑛𝑅 ; 𝑉 = 𝑛𝑅 ; 𝑇 = 𝑃𝑉 𝑉 𝑃 𝑛𝑅 PASO 2: Derivamos parcialmente cada una de las variables anteriores, respecto de la variable que necesitamos: 𝜕𝑝 −𝑇 𝜕𝑉 1 𝜕𝑇 1 = 𝑛𝑅 2 ; = 𝑛𝑅 ; = 𝑉 𝜕𝑉 𝑉 𝜕𝑇 𝑃 𝜕𝑃 𝑛𝑅

PASO 3: Multiplicamos y simplificamos: 𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝑇 = −𝑛𝑅 2 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑃 𝑣

1 𝑛𝑅 𝑃

1 𝑇 𝑉 = −𝑛𝑅 𝑛𝑅 𝑉𝑃

Pero notemos que −𝑛𝑅 𝑇 = 𝑃𝑉 en consecuencia: 𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑇 = −1 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑃

Regla de la cadena

Regla de la cadena Sean 𝑔 = 𝑔1 ; 𝑔2 ; ⋯ ; 𝑔𝑚 : 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ y 𝑢0 ∈ 𝐷, tales que: • Para cada 𝑘 ∈ 1; 2; ⋯ ; 𝑚 y cada 𝑖 ∈ 1; 2; ⋯ ; 𝑛 existen las derivadas 𝜕𝑔𝑘 parciales (𝑢0 ) 𝜕𝑢𝑖

• La función 𝑓 es diferenciable en 𝑔 𝑢0 = 𝑥0 Entonces para la función 𝑓 ∘ 𝑔 se cumple 𝒏 𝝏 𝒇∘𝒈 𝝏𝒇 𝝏𝒈𝒌 𝒖𝟎 = 𝒙𝟎 𝒖𝟎 ; 𝝏𝒖𝒊 𝝏𝒙𝒌 𝝏𝒖𝒊 𝒌=𝟏

𝒖 ∈𝑫

𝒈 𝒖 =𝒙

𝒇 𝒙

∀𝒊 = 𝟏; 𝟐; ⋯ 𝒏

Regla de la cadena La regla de la cadena da la forma de calcular las derivadas parciales de la composición 𝑓 ∘ 𝑔, esto se visualiza mejor con un esquema de árbol. Si 𝑤 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) es una función real de 3 variables (𝑚 = 3) y cada variable es función de otras, digamos 𝑢 y 𝑣, (𝑛 = 2) entonces 𝒖 𝒙 𝑤

𝒚

𝒛

𝒗

𝝏𝒘 𝝏𝒘 𝝏𝒙 𝝏𝒘 𝝏𝒚 𝝏𝒘 𝝏𝒛 = + + 𝝏𝒖 𝝏𝒙 𝝏𝒖 𝝏𝒚 𝝏𝒖 𝝏𝒛 𝝏𝒖

𝒖 𝒗 𝒖 𝒗

𝝏𝒘 𝝏𝒘 𝝏𝒙 𝝏𝒘 𝝏𝒚 𝝏𝒘 𝝏𝒛 = + + 𝝏𝒗 𝝏𝒙 𝝏𝒗 𝝏𝒚 𝝏𝒗 𝝏𝒛 𝝏𝒗

EJEMPLO • En cada caso, determine las derivadas parciales

𝜕𝑢 𝜕𝑠

y/o

𝜕𝑢 𝜕𝑡

• a.- 𝑢 = sen 2𝑥 + 3𝑦 2 ; 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑠 sen 𝑡 • b.- 𝑢 = 4𝑥 − 𝑦 2 ; 𝑥 = 𝑠 𝑡 2 ; 𝑦 = 𝑠 3 𝑡 • c.- 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ; 𝑥 = 𝑡 2 − 1 ; 𝑦 = 𝑡 3 + 1 ; 𝑧 = 1 − 2𝑡 Solución

EJEMPLO •

•

𝑥−𝑦 Sean 𝑢 = y además 1+𝑥𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 𝜋 𝜋 𝜕𝑠 𝑠= ;𝑡= 𝜕𝑡 𝑠=𝜋 ;𝑡=𝜋 4 4 4 4

Solución

𝑥 = tan 𝑠 ; 𝑦 = tan 𝑡. Calcule el valor de:

EJEMPLO La producción de trigo 𝑊, en un año dado, depende del promedio de temperatura 𝑇 y la cantidad de lluvia anual 𝑅. Los expertos estiman que el promedio de temperatura está subiendo a razón de 0,15°C/año y la lluvia está decreciendo a razón de 0,1 cm/año. También se estima que, 𝜕𝑊 𝜕𝑊 a los niveles actuales de producción = −2,25 y = 8,5. Bajo 𝜕𝑇 𝜕𝑅 estas condiciones estime la razón de cambio de la producción de trigo Solución

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE

• Considere una función 𝑓 real de variable real y defina la función 2

2

𝑧 = 𝑦 + 𝑓 𝑥 − 𝑦 . Si se cumple la igualdad 𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑥

+𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 𝑎𝑥 + 𝑏

para cualquier valor de 𝑥 y 𝑦, determine el valor de 𝑎 + 𝑏. Solución PASO 1: Como la igualdad dada se cumple para cualquier valor de 𝑥 y 𝑦, entonces debe tratarse de una identidad. PASO 2: Determinemos la expresión del lado izquierdo de esta igualdad. 𝜕𝑧 = 𝑓 ′ 𝑥 2 − 𝑦 2 2𝑥 = 2𝑥𝑓′(𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = 1 + 𝑓 ′ 𝑥 2 − 𝑦 2 −2𝑦 = 1 − 2𝑦𝑓′(𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝜕𝑦

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE 𝜕𝑧 𝑦 = 2𝑥 𝑦 𝑓′(𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 𝑦𝑓′(𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Sumamos para obtener: y + 𝑥 = 𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑦

PASO 3: La identidad dada inicialmente queda expresada como: 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 de donde obtenemos 𝑎 = 1 y 𝑏 = 0. En consecuencia 𝑎 + 𝑏 = 1

REFERENCIAS  Bibliográficas: Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Cálculo Esencial. México: Cengage Learning Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. México. Cengage Learning Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. México: Limusa Wiley. Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. México: Pearson Educación. Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. México: Pearson.  Electrónicas: Mora,W. (2018, Enero). Cálculo en Varias Variables. Visualización interactiva. Revisado el 13 de junio de 2018 desde internet: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/