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Funciones de varias variables dominio, curvas de nivel y gráfica de superficies

CONTENIDOS Funciones de dos variables: definición y dominio Conjuntos de nivel de funciones de dos y tres variables Gráfica de superficies Gráfica de sólidos limitados por superficies

Logros esperados • Elabora representaciones gráfica y simbólica de las cuádricas y de las gráficas de funciones de dos variables. • Analiza el comportamiento de una función de varias variables mediante sus conjuntos de nivel y el estudio de su dominio.

Saberes previos Antes de iniciar el estudio de las funciones de varias variables, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo que estudiaremos en esta lección. Grafica de cónicas. Grafica de funciones de una variable.

Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus compañeros.

Saberes previos 1. Grafique las siguientes cónicas: a) 4𝑦 2 − 𝑥 = 0 b) 𝑦 2 + 𝑥 2 = 16 2. Grafique las siguientes funciones: a) 𝑦 = 4 − 𝑥 b) 𝑦 = ln 4 + 𝑥 c) 𝑦 = 0,4 sen 𝑥 + 1

Funciones reales de varias variables

Funciones de varias variables Las isobaras son curvas donde la presión atmosférica tiene el mismo valor. Los meteorólogos usan estos mapas para predecir los patrones del clima. Si la velocidad del viento aumenta conforme el gradiente de presión aumenta, ¿puedes determinar en que punto la velocidad es mayor?

CURVAS DE NIVEL

El espacio tridimensional El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por ℝ3 . Cada terna ordenada (𝑥, 𝑦, 𝑧) se denomina punto del espacio tridimensional.

Ejes y planos coordenados Los planos 𝑋𝑌, 𝑌𝑍 y 𝑋𝑍 se denominan planos coordenados. z Plano YZ Plano XZ

(0,0,0)

y

Plano XY

x

Los octantes en R³ Z

Y X

El primer octante en R³

Función de dos variables Sea 𝐷 un subconjunto de ℝ2 . Si a cada (𝑥, 𝑦) en 𝐷 le corresponde un único valor real 𝑓 𝑥, 𝑦 , entonces 𝑓 es una función de 𝑥 y 𝑦. El conjunto 𝐷 es el dominio de 𝑓 y el correspondiente conjunto de valores 𝑓 𝑥, 𝑦 es el rango de 𝑓. 𝑧

𝑅𝑎𝑛(𝑓)

𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝑥

𝑦

𝑅𝑎𝑛(𝑓)

𝑧

𝑥

𝐷𝑜𝑚(𝑓)

Dominio de una función de dos variables El dominio de la función 𝑓, denotado por 𝐷𝑜𝑚(𝑓), es el conjunto de pares ordenados del plano 𝑋𝑌, o sea ℝ2 , tales que 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) existe. Consideraciones para graficar el dominio de una función de dos variables:

1.- Considere la restricción o restricciones involucradas: – Si n ∈ ℕ es par, entonces 𝑛 𝑝 existe, si 𝑝 ≥ 0. – Si n ∈ ℕ es impar, entonces 𝑛 𝑝 existe, sin ninguna restricción. 1 𝑝

– La fracción existe cuando 𝑝 ≠ 0 – La expresión log 𝑏 𝑝 existe cuando 𝑝 > 0

2.- Para el borde o contorno de la región considere: Desigualdad

Tipo de línea

< ó >

----------

≤ ó ≥

__________

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE Grafique el dominio de las siguientes funciones: a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 ln 4𝑦 2 − 𝑥 b.- 𝑓 𝑥, 𝑦 =

−16 + 𝑦 2 + 𝑥 2

c.- 𝑓 𝑥, 𝑦 =

4− 𝑥 −𝑦

Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE: 1

• Determine el dominio de la siguiente función y represéntelo gráficamente en el plano 𝑋𝑌. 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑦 Solución:

PASO 1: Notemos que existen raices de índice par, así que existen las siguientes restricciones: 𝑦−𝑥 ≥0 ∧ 𝑥−𝑦 ≥0 𝑦 PASO 2: Simplifiquemos las inecuaciones obtenidas 𝑦 ≥𝑥 ∧𝑦 ≤𝑥 𝑦=𝑥 y observemos que obtenemos la ecuación 𝑦 = 𝑥 PASO 3: Escribimos formalmente: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 𝑦 = 𝑥 y graficamos el conjunto obtenido.

𝑥

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE: 2

Grafique el dominio de la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = 4 − 𝑥 − |𝑦| Solución:

PASO 1: Notemos que existe una restricción (raíz de índice par). Formulamos la inecuación: 4− 𝑥 − 𝑦 ≥0 o equivalentemente: 𝑥 + 𝑦 ≤ 4 PASO 2: Consideremos dos casos por separado: • Si 𝑦 ≥ 0: En este caso obtenemos 𝑦 ≤ − 𝑥 + 4 • Si 𝑦 < 0: En este caso obtenemos 𝑦 ≥ 𝑥 − 4 𝑦

𝑦 𝑥

𝑥 𝒚≥𝟎∧𝒚≤− 𝒙 +𝟒

𝒚 <𝟎∧𝒚 ≥ 𝒙 −𝟒

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE: 2 PASO 3: Finalmente unimos los conjuntos obtenidos. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 𝑥 + 𝑦 ≤ 4 𝑦 𝒙 + 𝒚 ≤𝟒

𝑥

Conjuntos de nivel

Conjuntos de nivel Dada una función 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ, cuyo dominio es 𝐷, el conjunto de nivel 𝑘, es el conjunto 𝑳 𝒇; 𝒌 = 𝒙 ∈ ℝ𝒏 𝒙 ∈ 𝑫 ∧ 𝒇 𝒙 = 𝒌 En ℝ2 son llamadas curvas de nivel y en ℝ3 superficies de nivel

Líneas de contorno

Curvas de nivel

Conjuntos de nivel El conjunto de todas las curvas de nivel es llamado mapa de contorno de la función. 𝑦

𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑧 𝑥

𝑥

𝑦

Mapa de contorno

EJEMPLO Grafique el mapa de contorno de las siguientes funciones: a.- 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 2𝑥

b.- 𝑓 𝑥, 𝑦 = −16 + 𝑦 2 + 𝑥 2 . c.- 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 d.- 𝑓 𝑥, 𝑦 =

Solución:

4− 𝑥 −𝑦

EJEMPLO Para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 =

ln 𝑥 2 − 𝑦

𝑥 − 𝑦

a) Grafique su dominio b) Grafique su curva de nivel cero Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE

• Grafique la curva de nivel cero de la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = sen (𝑥 − 𝑦) Solución:

PASO 1: Aplicamos la definición. Para la curva de nivel CERO, formulamos la ecuación: sin 𝑥 − 𝑦 = 0. (el dominio de 𝑓 es ℝ2 , en consecuencia no hay ninguna restricción a tomar en cuenta) PASO 2: Resolvemos la ecuación sen 𝑥 − 𝑦 = 0 y obtenemos: 𝑥 − 𝑦 ∈ 0; ±𝜋 ; ±2𝜋 ; ±3𝜋 ; ⋯ Es decir el conjunto solución de esta inecuación es un conjunto infinito de puntos (𝑥; 𝑦) de la forma 𝑥 − 𝑦 = 𝑛𝜋 o equivalentemente 𝑦 = 𝑥 ± 𝑛 𝜋 donde 𝑛 ∈ ℕ ∪ 0

𝑦

𝑥

PASO 3: Para cada 𝑛 graficamos las rectas respectivas CURVA DE NIVEL CERO DE 𝒇

Gráfica de una función de dos variables

Gráfica de una función de dos variables La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisfacen 𝑧 = 𝑓(𝑥, ; 𝑦), con 𝑥; 𝑦 en el dominio de 𝑓. 𝑮𝒓𝒂𝒇 𝒇 = 𝒙; 𝒚; 𝒛) ∈ ℝ𝟑 / 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 , 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚)

𝑍

(𝑥; 𝑦; 𝑓(𝑥; 𝑦))

𝑌

𝑋 (𝑥; 𝑦; 0)

𝐷𝑜𝑚(𝑓)

En la figura se ve que la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) es una superficie cuya proyección sobre el plano 𝑿𝒀 es 𝐷 (el dominio de 𝑓).

Gráfica de una función de dos variables Las funciones de dos variables son complicadas de graficar, en casos muy particulares podemos seguir los siguientes pasos: 1.- Determine el dominio de la función 2.- Determine las trazas de la gráfica con los planos cartesianos. 3.- Realice un esbozo del mapa de contorno.

EJEMPLO Grafique las funciones siguientes: a) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 b) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + |𝑦| Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE Grafique la función 𝑓 𝑥; 𝑦 =

Solución:

𝑥2 + 𝑦2

PASO 1: Analizamos las restricciones para determinar el dominio. Como no hay restricciones, el dominio es todo ℝ2 PASO 2: se determinan los intersectos con los planos cartesianos (llamadas las trazas): Plano 𝑋𝑌: 𝑧 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0 → 𝑥; 𝑦 = (0; 0) Plano 𝑋𝑍: y = 0 → 𝑧 = 𝑥 Plano 𝑌𝑍: 𝑥 = 0 → 𝑧 = 𝑦

𝑥

𝑦

𝑥 INTERSECTO CON 𝑿𝒁

𝑦

𝑧

𝑧

INTERSECTO CON 𝒀𝒁

INTERSECTO CON 𝑿𝒀

Gráfica de superficies en

𝟑 ℝ

𝟑 Grafica de superficies en ℝ Algunas relaciones entre las variables 𝑥; 𝑦 y 𝑧 dan como resultado un conjunto de puntos llamados superficies. Aquí tenemos algunas: Ecuaciones de los planos coordenados Ecuación del plano XY : 𝑧 = 𝟎. Ecuación del plano XZ : 𝑦 = 𝟎.

Ecuación del plano YZ : 𝑥 = 𝟎.

Planos paralelos a los planos cartesianos Para planos paralelos a los planos cartesianos Plano paralelo al plano 𝑋𝑌: 𝒛=𝒄

Plano paralelo al plano 𝑌𝑍 : 𝒙 = z𝒉

z 𝐶

ℎ

y x

x

z

Plano paralelo al plano 𝑋𝑍: 𝒚=𝒌

𝑘 x

y

y

Planos paralelos a los ejes coordenados Para planos paralelos a los ejes coordenados Plano paralelo al eje 𝑍: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0

Plano paralelo al eje 𝑋 : 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 Z

Z

Y

Y X

X

Z

Plano paralelo al eje Y : 𝐴𝑥 + 𝑐𝑍 + 𝐷 = 0 X

Y

Cilindros paralelos a los ejes Para cilindros con ejes paralelos a los ejes coordenados Cilindro paralelo al eje 𝒁: 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑐

Cilindro paralelo al eje 𝑿: 𝑓 𝑦; 𝑧 = 𝑐

Cilindro paralelo al eje 𝒀: 𝑓 𝑥; 𝑧 = 𝑐

Cuádricas Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos (𝑥; 𝑦; 𝑧) de ℝ3 que cumplen la ecuación: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒛𝟐 + 𝟐𝑫𝒙𝒚 + 𝟐𝑬𝒙𝒛 + 𝟐𝑭𝒚𝒛 + 𝟐𝑮𝒙 + 𝟐𝑯𝒚 + 𝟐𝑰𝒛 + 𝒄 = 𝟎

Mediante un cambio adecuado de variable, esta ecuación se puede reducir a cualquiera de las formas:

𝛼 𝑥 2 + 𝛽𝑦 2 + 𝛾𝑧 2 = 𝛿

Cuádrica del tipo 1

𝛼 𝑥 2 + 𝛽𝑦 2 = 𝑧

Cuádrica del tipo 2

Cuádricas del tipo 1:

𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 + 𝜸𝒛𝟐 = 𝜹

La clasificación de éstas cuádricas depende básicamente de los signos de los coeficientes Caso 1: ELIPSOIDE 𝒛

SIGNO

ECUACIÓN

+

+

+

𝟏

𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 2+ 2=1 2 𝑎 𝑏 𝑐 𝒙

𝒚

Cuádricas del tipo 1:

𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 + 𝜸𝒛𝟐 = 𝜹

Caso 2: LA ESFERA ECUACIÓN

(𝑥 − ℎ)2 +(𝑦 − 𝑘)2 +(𝑧 − 𝑙)2 = 𝑅2

Cuádricas del tipo 1:

𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 + 𝜸𝒛𝟐 = 𝜹

Caso 3: HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA SIGNO

+

+

−

𝟏

ECUACIÓN

𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 2− 2=1 2 𝑎 𝑏 𝑐

𝒛

El eje del hiperbolide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. 𝒙

𝒚

Cuádricas del tipo 1:

𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 + 𝜸𝒛𝟐 = 𝜹

Caso 4: HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS SIGNO ECUACIÓN

+

−

−

𝟏

𝑧2 𝑥2 𝑦2 − 2− 2=1 2 𝑐 𝑎 𝑏

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo.

𝒛

𝒙

𝒚

Cuádricas del tipo 1:

𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 + 𝜸𝒛𝟐 = 𝜹

Caso 5: CONO DE DOS HOJAS SIGNO ECUACIÓN

+

+

𝑥2

𝑦2

𝑎2

+

𝑏2

−

−

𝑧2 𝑐2

𝟎 𝒛

=0

El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

𝒙

𝒚

Cuádricas del tipo 2: 𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 = 𝒛 Caso 1: PARABOLOIDE SIGNO

𝜶𝜷>𝟎

2 2 𝑥 𝑦 ECUACIÓN + 2=𝑧 2 𝑎 𝑏 El eje del paraboloide corresponde a la variable lineal (exponente uno).

𝒛

𝒙

• Gráfica de la función: 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 • Cuando 𝒂 = 𝒃 se obtiene un paraboloide circular

𝒚

Cuádricas del tipo 2: 𝜶 𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 = 𝒛 Caso 2: PARABOLOIDE HIPERBÓLICO SIGNO ECUACIÓN

𝜶𝜷<𝟎

𝒛

𝑥2 𝑦2 − 2=𝑧 2 𝑎 𝑏 𝒙

𝒚

EJERCICIO

Sea 𝑅 la región limitada por las superficies de ecuaciones 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑧 = 0 y 𝑧 = 4 − 𝑦. a) Grafique el sólido 𝑅 b) Grafique y represente analíticamente la proyección R sobre el plano 𝑋𝑍

EJERCICIO Considere las superficies (primer octante) cuyas ecuaciones son 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 ; 3𝑦 + 2𝑥 = 6 ; 𝑥 = 0 a) Grafique la región 𝑹 limitada por dichas superficies. b) Grafique las proyecciones de 𝑹 sobre los planos cartesianos. c) Exprese analíticamente cada una de las proyecciones graficadas en el item anterior Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE Sea 𝑄 ⊂ ℝ3 el sólido limitado: • Superiormente por el plano 𝑧 = 10 • Lateralmente por el paraboloide 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 − 𝑧 y el plano 𝑦 = 2 • Inferiormente por el plano 𝑧 = 0 Si además para todo 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝑄 se cumple que 𝑦 > 0, grafique el sólido 𝑄

Solución: PASO 1: Graficamos cada una de las superficies, teniendo cuidado con las intersecciones entre ellas

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE 𝟐

𝒛 = 𝟏𝟔 − 𝒙 − 𝒚 (paraboloide) 𝑧

𝒚=𝟏 Plano paralelo a 𝑿𝒁 𝑧

𝒛 = 𝟏𝟎 Plano paralelo a 𝑿𝒀 𝑧

𝟐

𝑦

𝑦 𝑥 Traza en el plano XY: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 (circunferencia de radio 4)

𝑥 𝑧 = 10 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6 (circunferencia de radio 6 = 2,45)

𝑦 𝑥

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE PASO 2: Graficamos el sólido teniendo en cuenta la restricción 𝑦 > 0 𝒛 = 𝟏𝟎

𝑧

𝒚=𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝒛

𝑦 𝒛=𝟎

𝑥

LO QUE NO DEBES OLVIDAR • Para hallar el dominio de algunas funciones comunes, considera las restricciones que pueden aparecer 1. Si 𝑛 ∈ ℕ es par, entonces 𝑛 𝑝 existe, si 𝑝 ≥ 0. 2. Si 𝑛 ∈ ℕ es impar, entonces 𝑛 𝑝 existe, sin ninguna restricción. 1 𝑝

3. La fracción existe cuando 𝑝 ≠ 0. 4. La expresión log 𝑏 𝑝 existe cuando 𝑝 > 0. • Al determinar las curvas de nivel de una función 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ siempre debes tener en cuenta el dominio de 𝑓

𝐿 𝑓; 𝑘 = 𝑥 ∈ ℝ𝑛 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑘

LO QUE NO DEBES OLVIDAR 𝑥2

𝑦2

𝑧2

𝑥2

ELIPSOIDE: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 = 1 𝒛 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒁: 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝒄 (elipse)

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒀: 𝒚

(elipse)

DE UNA HOJA:

+

−

𝒛

=1

(hipérbola)

DE DOS HOJAS:

𝒚 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒁: (hipérbola)

𝒙𝟐 𝒛𝟐 − =𝟏 𝒂 𝟐 𝒄𝟐

𝒙

𝒚

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO 𝑧2 𝑐2

−

𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

𝑥2

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒀𝒁:

𝑦2

𝑧 = 𝑎2 − 𝑏2

=1

(hipérbola)

𝒙

(valor absoluto)

𝒛

𝒚 𝟐 𝒛𝟐 − =𝟏 𝒃𝟐 𝒄𝟐

𝒙𝟐 𝒚 𝟐 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒀: 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝒃 (elipse)

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒀𝒁: 𝒛 =

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒀: (𝟎; 𝟎) (punto)

𝒚

HIPERBOLOIDE

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒀𝒁:

𝒙 𝒂

𝒛

𝒚𝟐 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒀𝒁: 𝟐 = 𝒛 𝒃 (parábola)

HIPERBOLOIDE 𝑧2 𝑐2

(valor absoluto)

𝒙𝟐 𝒚 𝟐 + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒀: (𝟎; 𝟎) (punto) 𝑦2 𝑏2

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒁: 𝒛 =

𝒛

𝒙

𝑥2 𝑎2

𝑦2

CONO DE DOS HOJAS: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧 2

𝒙𝟐 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒁: 𝟐 = 𝒛 𝒂 (parábola)

𝒚 𝟐 𝒛𝟐 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒀𝒁: 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝒃 𝒄 (elipse)

𝒙

𝑥2

𝑦2

PARABOLOIDE: z = 𝑎2 + 𝑏2

𝒛𝟐 𝒚 𝟐 − =𝟏 𝒄𝟐 𝒃𝟐

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒁: 𝒛 = (parábola)

𝒙𝟐 𝒂𝟐

𝒛

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒀: (no existe) 𝒙

𝒚

𝒚

𝒙 𝒛𝟐 𝒙𝟐 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒁: 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 𝒄 𝒂 (hipérbola)

𝒃 𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝑿𝒀: 𝒚 = ± 𝒙 𝒂 (dos rectas)

𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒀𝒁: 𝒛 = − (parábola)

𝒚𝟐 𝒃𝟐

𝒚 𝒃

REFERENCIAS  Bibliográficas: Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Cálculo Esencial. México: Cengage Learning Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. México. Cengage Learning Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. México: Limusa Wiley. Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. México: Pearson Educación. Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. México: Pearson.  Electrónicas: Mora,W. (2018, Enero). Cálculo en Varias Variables. Visualización interactiva. Revisado el 13 de junio de 2018 desde internet: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/