S-exp-ii Math Exercices Fonction Log

‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫أﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ln( x‬‬ ‫)‪1 − ln( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim+‬و‬ ‫)‪ lim+ ( ln( x) ) + ln( x‬و‬ ‫) ‪x →+∞ 1 + ln( x‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫)‪ln( x‬‬ ‫) )‪ln (1 + ln( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و )‪ lim+ + ln( x‬و ) ‪ lim x − ln(1 + x 2‬و‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) )‪ln (1 − sin( x‬‬ ‫) )‪ln ( ln( x‬‬ ‫‪ lim+‬و‬ ‫‪ lim‬و‬ ‫و‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫) ) ‪x → 0 ln (1 + tan( x‬‬ ‫)‪ln( x‬‬

‫)‪ lim+ x n ln( x‬و‬ ‫‪x →0‬‬

‫‪n‬‬

‫و‬

‫) )‪( ln( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪n‬‬

‫) )‪lim x ( ln( x‬‬

‫‪x → 0+‬‬

‫)‪ln( x‬‬ ‫و‬ ‫‪xn‬‬

‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ‬ ‫ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪ ) . (O, i, j‬وﺣﺪة اﻟﻘﻴﺎس ‪( 1cm :‬‬

‫أ ( أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ب( أدرس ﺕﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ج( أﻋﻂ ﻡﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻤﻤﺎس اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ذات‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل ‪. 3‬‬ ‫د( أرﺱﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻡﺒﺮزا ﻥﻘﻄﻪ اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ هﻲ ‪ 3‬و‪ -2‬و‪-4‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ (4‬أ ( أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻡﻞ ‪ln( x)dx :‬‬

‫ﺣﻴﺚ * ‪. n ∈ IN‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ x = 1 :‬و ‪ x = 3‬و ‪. y = x‬‬ ‫) ﻥﺄﺧﺬ ‪ ln(2) ≈ 0, 7 :‬و ‪( ln(3) ≈ 1,1‬‬ ‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎪⎧ f ( x) = x ( −1 + 3ln( x) ) , x ≠ 0‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩ f (0) = 0‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﺣﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪. lim f ( x) :‬‬

‫‪ (4‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ (3‬أ ( أدرس اﺕﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ‪.‬‬ ‫ب( أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 0‬‬ ‫‪ (4‬أ ( أﺣﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ‪.‬‬ ‫ب( أدرس إﺷﺎرة )‪. f ′( x‬‬ ‫ج( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬

‫أ ( أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ب( أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪. y = −x‬‬ ‫ج( – ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ α‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪ (5‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ‬

‫‪1‬‬ ‫‪<α <1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ β‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬‫‪3‬‬ ‫‪ − < β < −1‬و ‪f ( β ) = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د( أرﺱﻢ ) ‪. ( C f‬‬

‫و ‪f (α ) = 0‬‬

‫ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬

‫أ ( ﺣﺪد ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻡﻊ ﻡﺤﻮر اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ ‪.‬‬

‫ب( أدرس اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ج( ﺏﻴﻦ ان اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻥﻘﻄﺔ اﻥﻌﻄﺎف وﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺙﻴﺘﻴﻬﺎ ‪.‬‬

‫‪ (5‬ﺣﺪد ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﻤﺤﺪد ﺏﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬وﺏﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ذات‬

‫‪ (6‬أرﺱﻢ ) ‪ ) . ( C f‬ﻥﺄﺧﺬ ‪≈ 0, 6 :‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ y = − x :‬و ‪ x = 1‬و ‪. x = 2‬‬ ‫) ﻥﺄﺧﺬ ‪ 0, 69 < ln(2) < 0, 70 :‬و ‪( 1, 09 < ln(3) < 1,10‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ e‬و ‪( e 3 ≈ 1, 4‬‬

‫‪ (7‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ A(λ‬ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﻤﺤﺪد ﺏﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت‬ ‫ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ x = 1 :‬و ‪ y = 0‬و ‪ x = λ‬ﺏﺤﻴﺚ‪. λ ∈ ]0,1[ :‬‬ ‫أ ( أﺣﺴﺐ ‪ A(λ ) :‬ﺏﺪﻻﻟﺔ ‪. λ‬‬ ‫ب( أﺣﺴﺐ ‪. lim A(λ ) :‬‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪f ( x) = x + + 2 ln ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (1‬أ ( ﺣﺪد ‪ D‬ﺣﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ب( أﺣﺴﺐ ﻥﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻡﺤﺪات ‪. D‬‬ ‫‪ (2‬أ ( أﺣﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻡﻦ أﺟﻞ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ‪ x‬ﻡﻦ ‪. D‬‬ ‫‪3‬‬

‫∫‬

‫‪.‬‬

‫ب( أﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ ﺟﺰء اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺏﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬و‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫⎞‪⎛ 1‬‬ ‫⎟ ‪f ( x) = − x + ln ⎜1 +‬‬ ‫⎠‪⎝ x‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﺣﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ﻥﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻡﺤﺪات ‪. D‬‬ ‫‪ (3‬أ( أﺣﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪. D‬‬ ‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬

‫‪3‬‬

‫‪λ →0‬‬ ‫‪λ >0‬‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ .2‬ب ‪ .‬ع ‪ .‬ت‪.‬‬

‫‪8‬‬ ‫⎡‪⎤ 1 1‬‬ ‫⎢ ‪ ، α ∈ ⎥ − , −‬ﻋﻠﻤﺎ أن ‪ ln(13) < 3 :‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫⎣‪⎦ 2 3‬‬

‫⎞ ‪⎛ x2 + 3‬‬ ‫⎜ ‪f ( x) = x + 2 ln‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 4x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬

‫د( أرﺱﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪x →0‬‬ ‫‪x >0‬‬

‫‪ (3‬أ ( ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪ ، D‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪( x − 1)( x 2 + 3 x + 6‬‬ ‫= )‪f ′( x‬‬ ‫)‪x( x 2 + 3‬‬ ‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (4‬أ ( ﺕﺤﻘﻖ ﻡﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪ ، D‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎞‪3‬‬ ‫⎛‬ ‫)‪f ( x) = x + 2 ln( x) + 2 ln ⎜1 + 2 ⎟ − 4 ln(2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬ ‫ب( أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ج( أﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ ﺟﺰء اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺏﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬و‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ x = 1 :‬و ‪ x = 2‬و ‪. y = 2 x − 2‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫⎞ ‪⎛ x −1‬‬ ‫⎜ ‪f ( x) = x + ln‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪⎝ x +1‬‬ ‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ أن ﺣﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ ‪ f‬هﻮ ‪. D = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ :‬‬

‫ج( أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ‪ lim f ( x) :‬و )‪. lim f ( x‬‬

‫د( أرﺱﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫‪ (4‬ﺕﺤﻘﻖ ﻡﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻡﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = x‬ﻡﻘﺎرب ﻡﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪.y=x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪3 − x2‬‬ ‫‪ (5‬أ ( أﺣﺴﺐ ‪∫1 3 + x 2 dx :‬‬ ‫‪3 − x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﻻﺣﻆ أن ‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪= −1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3+ x‬‬ ‫⎞ ‪⎛ x‬‬ ‫⎜ ‪1+‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪⎝ 3‬‬ ‫ب( ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻡﻠﺔ ﺏﺎﻷﺟﺰاء ‪ ،‬أﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺰء ﻡﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺏﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪:‬‬

‫) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪ (5‬أ ( ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪x2 − 1‬‬ ‫ب( ﺣﺪد ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]1, +‬‬ ‫= )‪. ∀x ∈ D, f ′( x‬‬

‫‪ (6‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻳﻘﻄﻊ ﻡﺤﻮر اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ ﻓﻲ ﻥﻘﻄﺔ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ‬

‫‪3‬‬ ‫ﻡﺤﺼﻮر ﺏﻴﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (7‬أﻥﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ) . ( C f‬ﻥﺄﺧﺬ‪ ln(3) ≈ 1,1 :‬و ‪( ln(5) ≈ 1, 6‬‬ ‫و‪. 2‬‬

‫‪ x =1‬و ‪ x = 3‬و ‪. y = x‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ (8‬أ ( ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ G‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]1, +‬ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫⎞ ‪⎛ x2 − 2x + 2‬‬ ‫⎜ ‪f ( x) = 2 x − 2 + ln‬‬ ‫⎟‬ ‫‪x2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫*‬ ‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ أن ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬هﻲ ‪. IR :‬‬

‫)‪. G ( x) = ( x + 1) ln( x + 1) − ( x − 1) ln( x − 1‬‬ ‫أﺣﺴﺐ )‪ G′( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]1, +‬‬

‫ب( أﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺏﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت‬

‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ﻥﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻡﺤﺪات *‪. IR‬‬ ‫‪ (3‬أ ( ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ *‪ ، IR‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪2( x − 1)( x 2 − x + 2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫)‪x( x 2 − 2 x + 2‬‬ ‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪1‬‬ ‫ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ x = 4 :‬و ‪ x = 9‬و ‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪. y‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ (4‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ‬

‫⎧‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪, x>0‬‬ ‫= )‪⎪ f ( x‬‬ ‫)‪ln( x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ f (0) = 0‬‬ ‫⎩‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻡﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 0‬‬ ‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ﻥﻬﺎﻳﺎت اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻡﺤﺪات ‪. D‬‬ ‫‪ (4‬أ ( أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ‪.‬‬

‫ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬

‫أ ( أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ب( أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪. y = 2x − 2‬‬ ‫ج( ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ وﺣﻴﺪ ‪ α‬ﺣﻴﺚ ‪ f (α ) = 0 :‬و‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬

‫‪x →1‬‬ ‫‪x >1‬‬

‫) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ ) .‬ﺕﺤﺪﻳﺪ ﻥﻘﻄﺔ اﻹﻥﻌﻄﺎف ﻏﻴﺮ ﻡﻄﻠﻮب (‬

‫‪ (5‬أ ( ﺕﺤﻘﻖ ﻡﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪ ، IR‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2x − 4‬‬ ‫‪2x − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x − 2 x + 2 x − 2 x + 2 1 + ( x − 1) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x − 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. ∫ 2‬‬ ‫ب( أﺣﺴﺐ ‪dx :‬‬ ‫∫ ﺙﻢ ‪dx‬‬ ‫‪1 1 + ( x − 1) 2‬‬ ‫‪1 x − 2x + 2‬‬

‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪ lim f ( x) :‬و )‪. lim f ( x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫> )‪. ln(25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .2‬ب ‪ .‬ع ‪ .‬ت‪.‬‬

‫أ ( أدرس اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫ب( ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ [∞‪ ، ]0,1[ ∪ ]1, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) )‪x ( −1 + 2 ln( x‬‬ ‫‪2‬‬

‫) )‪( ln( x‬‬

‫ب( أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬

‫= )‪f ′( x‬‬

‫‪x‬‬ ‫=‪. y‬‬ ‫‪2‬‬

‫ج( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪ (5‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ‬

‫‪x‬‬ ‫ج( أرﺱﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻥﻌﻄﺎف (‬

‫ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪ . (O, i, j‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ل ) ‪. ( C f‬‬

‫‪ (6‬أرﺱﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ) . ( C f‬ﻥﺄﺧﺬ ‪e ≈ 1, 6 :‬‬

‫(‬

‫‪ (4‬أ ( أﺣﺴﺐ ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب( ﺏﻴﻦ أن ‪= 0 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (3‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫واﺱﺘﻨﺘﺞ )‪. lim f ( x‬‬

‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت ‪ lim f ( x) :‬و‬ ‫و )‪lim f ( x‬‬

‫‪x →e+‬‬

‫‪f‬‬

‫ب( أﻥﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬ ‫‪f‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) = − 2 ln x − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1‬أ ( ﺣﺪد ‪ D‬ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ب( أﺣﺴﺐ ‪. lim f ( x) :‬‬

‫‪, x=0‬‬ ‫‪, x<0‬‬

‫‪x →1‬‬ ‫‪x >1‬‬

‫) ‪)( x − 2‬‬ ‫)‪x ( x − 1‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫∞‪x →+‬‬

‫= )‪f ′( x‬‬

‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ‬

‫أﻥﺸﺊ ) ‪i = j = 2cm ) . ( C f‬‬

‫ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬

‫)‪⎧ ln(1 + x‬‬ ‫⎪‬ ‫‪x‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨ = )‪f ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎪− x + 1 − x‬‬ ‫⎩‬

‫‪x2‬‬ ‫‪. ∀x ≤ 0, ln(1 + x) − x ≥ −‬‬ ‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2 x3‬‬ ‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪. ∀x > 0, ln(1 + x) − x ≤ − +‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪ (3‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﻡﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 0‬‬ ‫‪ (4‬هﻞ ‪ f‬ق‪.‬ش‪.‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ‪ 0‬؟ ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ق‪.‬ش‪.‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪.0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪ ϕ ( x‬ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0, +‬‬ ‫‪ (5‬ﺣﺪد إﺷﺎرة )‪− ln( x + 1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ (7‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ل ) ‪ ( C f‬و‬ ‫‪ (6‬أدرس ﺕﻐﻴﺮات ‪. f‬‬

‫‪ lim‬واﺱﺘﻨﺘﺞ )‪. lim f ( x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ (2‬أ ( ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ، ]1, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ ) .‬ﻥﺄﺧﺬ ‪( e ≈ 2, 7 :‬‬ ‫‪, x>0‬‬

‫(‬

‫∞‪x →+‬‬

‫و‬

‫‪x→e‬‬

‫‪ (4‬أ ( أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬

‫‪1‬‬ ‫واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ y = 0 :‬و = ‪ x‬و ‪. x = e‬‬ ‫‪e‬‬

‫ج( ﺏﻴﻦ أن ‪) :‬‬

‫)‪. lim− f ( x‬‬

‫‪ (3‬أ ( ﺏﻴﻦ أن إﺷﺎرة )‪ f ′( x‬ﻋﻠﻰ ‪ D‬هﻲ إﺷﺎرة )‪. ln( x‬‬ ‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪ (6‬أﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ ﺟﺰء اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺏﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬

‫‪x −1‬‬

‫)‪lim f ( x‬‬

‫‪x → 0+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ (5‬أرﺱﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ) . ( C f‬ﺕﺤﺪﻳﺪ ﻥﻘﻂ اﻹﻥﻌﻄﺎف ﻏﻴﺮ ﻡﻄﻠﻮب (‬

‫(‬

‫=‪. y‬‬

‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰﻡﻌﻠﻢ‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ (4‬أ ( ﺏﻴﻦ أﻥﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪ ، D‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) )‪(1 + ln( x) )(1 − ln( x‬‬ ‫= )‪f ′( x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ب( أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪ln‬‬

‫∫‬

‫) ﺿﻊ ‪x − 1 = t‬‬

‫ﻡﻦ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫) )‪x (1 − ln( x‬‬

‫‪x →0‬‬ ‫‪x >0‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ذات اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪ x = 4 :‬و ‪ x = 9‬و‬ ‫‪2‬‬

‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬أ ( أﺣﺴﺐ ‪. lim f ( x) :‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∫‬

‫‪x‬‬ ‫ب( اﺱﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻡﻞ ‪dx :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫أﺟﻞ ‪( x > 1‬‬ ‫ج( أﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ ﺟﺰء اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺏﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬

‫‪x‬‬ ‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬

‫‪2‬‬

‫‪(t + 1) 2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫) )‪(1 + ln( x‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫) )‪( ln( x‬‬ ‫‪lim‬‬

‫= ‪ ) . y‬ﻥﻘﺒﻞ أﻥﻪ ﻟﻴﺲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬أﻳﺔ ﻥﻘﻄﺔ‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪ .2‬ب ‪ .‬ع ‪ .‬ت‪.‬‬