S Exp Ii Math Exercices Etude2 Exp Log

‫اﻟﺪوال اﻷﺳﻴﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫‪+‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪ : 1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ :‬اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 4‬‬ ‫‪f ( x ) = x .e −‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺕﺤﻘﻖ ﻡﻦ أن ‪:‬‬

‫ب‪ -‬أﺡﺴﺐ ‪:‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ .2‬أ‪ -‬أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺕﺤﻘﻖ أن‪. ∀x ∈ ]0, +∞[ : f ′ ( x ) = 2 − x e − x :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ .3‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬ ‫‪JG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G JG‬‬ ‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ‪ O , i , j‬ﺡﻴﺚ ‪ i = 1cm :‬و ‪. j = 4 c m‬‬

‫)‬

‫∞‪x →−‬‬

‫(‬

‫‪x − 2 x1−1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﺕﺤﻘﻖ أن ‪ f‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]1, +‬‬ ‫= )‪f ′( x‬‬

‫أ‪ -‬ﺡﺪد إﺡﺪاﺙﻴﺘﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ ( D‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]1, +‬‬

‫)‪2(e + 1‬‬ ‫‪ex −1‬‬ ‫ﻡﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪( C‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ D‬ﺡﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ب‪ -‬أﺡﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻡﺤﺪات ‪. D‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﺡﺪد ﻡﻘﺎرﺏﺎت ) ‪. ( C‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 3‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫‪; x ≠1‬‬ ‫‪⎨ f ( x) = (2 x − 3)e‬‬ ‫‪⎪⎩ f (1) = 0‬‬ ‫ﻡﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ‬

‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪( C‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ D‬ﺡﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ب‪ -‬أﺡﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻡﺤﺪات ‪. D‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﺡﺪد ﻡﻘﺎرﺏﺎت ) ‪. ( C‬‬

‫‪ .2‬أ‪ -‬أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ 1‬ﺙﻢ أﻋﻂ‬ ‫ﺕﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺱﻴﺎ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 1‬‬

‫⎠⎟‪2x 2 − 6x + 5 ⎜⎝ x −1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪(x −1)2‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫= ) ‪∀x ∈ \ − {1} ; f ′(x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 5‬‬ ‫‪⎧ f ( x) = − x + ( x − 1) ln( x − 1) ; x > 1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪; x ≤1‬‬ ‫‪⎩ f ( x) = x − 1 − e‬‬ ‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ .1‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﻡﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 1‬‬ ‫‪ .2‬أﺙﺒﺖ أن ‪:‬‬ ‫وأﺡﺴﺐ )‪. lim f ( x‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪ .3‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫)‪f ( x) − f (1‬‬ ‫‪ lim‬وأن ‪ f g′ (1) = 0 :‬؛‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x >1‬‬

‫ﺙﻢ أﻋﻂ ﺕﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺱﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ ‪.‬‬ ‫‪ .4‬أ‪ -‬أﺡﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ }‪ \ − {1‬؛ وأدرس إﺷﺎرﺕﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻡﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ ]‪ ]−∞,1‬و‬ ‫[∞‪ [ 2, +‬؛ وﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ]‪. [1, 2‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬آﻮن ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ .5‬أﺙﺒﺖ أن ) ‪ ( C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻡﺤﻮر اﻷراﺕﻴﺐ آﺎﺕﺠﺎﻩ ﻡﻘﺎرب واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف‬ ‫ﺏﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x − 1‬آﻤﻘﺎرب ﻡﺎﺋﻞ ‪.‬‬ ‫‪ .6‬أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ‪ α‬ﻡﻦ اﻟﻤﺠﺎل [‪ ]4,5‬ﺏﺤﻴﺚ ‪. f (α ) = 0 :‬‬ ‫) ﻧﺄﺧﺬ ‪ ln 2 ≈ 0, 7 :‬و ‪( ln 3 ≈ 1,1‬‬ ‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ ) ‪. ( C‬‬

‫‪ .3‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬ ‫ﻣﺤﻤــﺪ اﻟﺤﻴــﺎن‬

‫‪ lim ( f ( x) − x ) = 0‬؛ وأول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺱﻴﺎ ‪.‬‬

‫‪ .4‬أرﺱﻢ ) ‪ ) . ( C‬ﺕﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﻂ اﻹﻧﻌﻄﺎف ﻏﻴﺮ ﻡﻄﻠﻮب وﻧﻘﺒﻞ أن ) ‪( C‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺕﺤﺖ ﻡﻘﺎرﺏﻪ ﻋﻠﻰ [‪( ]−∞,1‬‬

‫‪ .2‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ ‪.‬‬ ‫‪ .3‬أﺡﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪ D‬؛ واﺱﺘﻨﺘﺞ ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ .4‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 1‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ x −1‬‬

‫; [‪. ∀x ∈ ]−∞,1‬‬

‫د‪ -‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ .3‬أ‪ -‬ﺕﺤﻘﻖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ ( D‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x − 1 :‬ﻡﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫) ‪ ( C‬ﺏﺠﻮار ∞‪ +‬؛ ﺙﻢ أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬

‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 2‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻡﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 1‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 1‬‬

‫(‬

‫‪x‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫⎞ ‪⎛ 1‬‬ ‫⎧‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪⎪ f ( x) = ( x − 1)e⎝ ⎠ ; x < 1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ f ( x) = x − 1 − ln x ; x ≥ 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎩‬ ‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬أﺡﺴﺐ ‪:‬‬ ‫)‪. lim f ( x‬‬ ‫و‬ ‫)‪lim f ( x‬‬

‫‪⎛1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪x‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟ ‪. ∀x ∈ \ + : f (x ) = 4 ⎜ 2 1‬‬ ‫⎟ ‪⎜ e2 x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫) ‪. lim f (x‬‬

‫)‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬اﻟﺤﻴﺎن‬

‫‪-1-‬‬

‫‪.2‬ب‪.‬ع‪.‬ت‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪ : 6‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪. f ( x) = x − ln e x − e− x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O, i, j‬‬ ‫‪ .1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﺡﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬أﺡﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ‪ lim f ( x) :‬و )‪. lim f ( x‬‬ ‫∞‪x →−‬‬

‫⎞ ‪⎛ 1‬‬ ‫⎜ ‪. ∀x ∈ ]1, +∞[ ; f ′( x) = ( x − 1) g‬‬ ‫ ﺕﺤﻘﻖ أن ‪⎟ :‬‬‫⎠ ‪⎝ 2x −1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺡﺪد إﺷﺎرة )‪ f ′( x‬ﻡﻦ أﺟﻞ ‪ x < 1‬؛ ﺙﻢ ﻡﻦ أﺟﻞ ‪. x > 1‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﺿﻊ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ .4‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ) ‪ . (O, i, j‬ﻧﻘﺒﻞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻡﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y =− x +‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫ﻡﻘﺎرب ﻡﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﺏﺠﻮار ∞‪. +‬‬

‫‪x →0‬‬

‫∞‪. lim f ( x) = +‬‬

‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫أ‪ -‬أﻋﻂ ﻡﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎس ) ‪ (T‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪1 e2 x − 3‬‬ ‫‪ .3‬أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪f ′( x) = × 2 x‬‬ ‫‪2 e −1‬‬ ‫ب‪ -‬أدرس إﺷﺎرة )‪. f ′( x‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات ‪. f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .4‬أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪. ∀x ∈ D ; f ( x) − x = − ln e2 x − 1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺙﻢ اﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻡﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = x‬ﻡﻘﺎرب ﻡﺎﺋﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﺏﺠﻮار ∞‪. −‬‬

‫أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ‪. 0‬‬ ‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬

‫; ‪. ∀x ∈ D‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 8‬‬

‫‪3e − 1‬‬ ‫ﻋﻠﻰ \ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ex + 1‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Cf‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫) ﺡﻴﺚ ‪( i = 2 cm :‬‬ ‫ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ‪. O, i, j‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪f ( x) − x = − ln 1 − e−2 x :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫واﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻡﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = x‬ﻡﻘﺎرب ﻡﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( C‬ﺏﺠﻮار ∞‪. +‬‬ ‫‪ .5‬أدرس ﺕﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬ ‫‪ .6‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 7‬‬

‫زوج إﺡﺪاﺙﻴﺘﻴﻪ ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬أﺡﺴﺐ )‪ lim f ( x‬و )‪ ) lim f ( x‬ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪ ( t = e :‬؛‬ ‫‪x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ‪. 0‬‬ ‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ ϕ‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮاﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫)‪. ϕ ( x) = f ( x) − ( x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ .2‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪2x −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫; [∞‪. ∀x ∈ ]1, +‬‬ ‫‪+ 2ln ⎜1 −‬‬ ‫‪ .3‬اﺱﺘﻨﺘﺞ أن ‪⎟ < 0 :‬‬ ‫‪2x −1‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2x −1‬‬ ‫‪ II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫⎞‪⎛ e x −1‬‬ ‫‪ ∀ x ∈ \ : ϕ ′( x ) = − ⎜ x‬؛‬ ‫ﺏﻴﻦ أن ‪⎟ :‬‬ ‫⎠‪⎝e +1‬‬ ‫واﺱﺘﻨﺘﺞ ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ϕ‬؛ ﺙﻢ ﺡﺪد إﺷﺎرﺕﻬﺎ‪ ) .‬أﺡﺴﺐ )‪( ϕ (0‬‬

‫ﺟـ‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﻡﻤﺎ ﺱﺒﻖ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( Cf‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. (T‬‬ ‫‪ .3‬أﻧﺸﺊ ) ‪ ( Cf‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (T‬و ﻡﻘﺎرﺏﻴﻪ ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 9‬‬

‫⎧‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎪f (x ) = (x − 1) ln ⎜1 −‬‬ ‫‪⎟ ; x >1‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2x − 1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪f (x ) = x (x − 1) 2 e 2 x ; x ≤ 1‬‬ ‫⎩‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ D‬ﺡﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ب‪ -‬أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.1‬‬ ‫‪ lim x 3e 2 x = 0‬واﺱﺘﻨﺘﺞ )‪. lim f ( x‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫ﻣﺤﻤــﺪ اﻟﺤﻴــﺎن‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﺙﻢ اﺱﺘﻨﺘﺞ أن ) ‪ ( Cf‬ﻳﻘﺒﻞ ﻡﻘﺎرﺏﻴﻦ ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺕﺤﺪﻳﺪ ﻡﻌﺎدﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬أﺡﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ \ ؛ ﺙﻢ ﺿﻊ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺡﻴﺰ ﺕﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬ﺡﺪد ﻡﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎس ) ‪ (T‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( Cf‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫< ‪. ∀x ∈ ]1, +∞[ ; 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬أﺡﺴﺐ )‪ ) lim f ( x‬ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪:‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫‪ .3‬أ‪ -‬أﺡﺴﺐ )‪ f ′( x‬ﻟﻜﻞ ‪. x < 1‬‬

‫(‬

‫اﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻡﺮآﺰ ﺕﻤﺎﺙﻞ ‪ A‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺕﺤﺪﻳﺪ‬

‫‪ I‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪g (x ) = x + 2 ln(1 − x‬‬ ‫‪ .1‬ﺿﻊ ﺟﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪. [ 0,1‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪t =−‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ ∀x ∈ \ : f (− x ) + f (x ) = 2 :‬؛ ﺙﻢ‬

‫; ‪. ∀x ∈ D‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬

‫(‬

‫أﺡﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪(i‬‬

‫‪:‬‬

‫‪ex‬‬ ‫‪x →+∞ x 2‬‬

‫‪(ii‬‬

‫‪:‬‬

‫‪lim x 2e x‬‬

‫‪: (iii‬‬

‫‪lim x 4e − x‬‬

‫‪.‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪: (iv‬‬

‫‪-2-‬‬

‫‪e‬‬

‫‪x 3 +1‬‬

‫‪x‬‬

‫;‬

‫‪(v‬‬

‫;‬

‫‪(vi‬‬

‫;‬

‫‪(vii‬‬

‫‪x −1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪⎛ x1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪lim x ⎜ e − 1⎟ :‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim 3x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x →0 e‬‬ ‫‪−e x‬‬ ‫‪lim‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫;‬

‫‪: (viii‬‬

‫‪.2‬ب‪.‬ع‪.‬ت‪.‬‬

‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫⎟ ‪lim ⎜ 1 +‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪2‬‬