S Exp Ii Math Exercices Etude1 Exp Ln
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View S Exp Ii Math Exercices Etude1 Exp Ln as PDF for free.
More details
- Words: 3,581
- Pages: 4
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ " اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 1 . Iﻧﻌﺘﺒﺮ f
دراﺳﺔ اﻟﺪوال
⎧f ( x ) = e 1 − e ; x ≤0 ⎪ ⎨ ) ln( x x ; x >0 ⎩⎪ f (x ) = e وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ O , i , jﺣﻴﺚ . i = j = 2cm :
)
x
ب -أدرس إﺷﺎرة ) . g ′ ( x
(
.2أﺣﺴﺐ lim+ g ( x ) :و ) . lim g ( x .3أ -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . g
.1أ -ﺑﻴﻦ أن ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ f ب -أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت fﻋﻨﺪ ﻣﺡﺪات W fﺛﻢ أﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ
ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
. II
ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ f
⎞ 1 ⎛ .3أ -ﺑﻴﻦ أن lim+ x ln ⎜1 + 2 ⎟ = 0 : x →0 ⎠ ⎝ x
(
هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ . .4أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .5أﻧﺸﺊ
f
. IIIﻟﻴﻜﻦ
) ﻧﻘﺒﻞ أن (α ) ≈ f ( 0,5) ≈ 0,8 : λﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﺑﺡﻴﺚ . λ ∈ ]0,1] : 1
∫λ f (x )dx
)lim Aλ = ln(2
= A λ؛ ﺛﻢ ﺑﻴﻦ أن :
λ →0
.
⎧0 ≤ x ≤ 1 ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻁ ) M ( x , yاﻟﺘﻲ ﺗﺡﻘﻖ : ⎨ ) ⎩0 ≤ x ≤ f (x اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ب cm 2 " اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 3 .
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 2 ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞ [ 0, +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
.1 . Iأ -ﺑﻴﻦ أن :
x2 x2 ⎤⎡ 2 3 ∀x ∈ ⎢0, ⎥ : − x − − x ≤ ln(1 − x ) ≤ − x − 2 2 ⎦⎣ 3 ln(1 − x ) − x . lim+ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ : x →0 x2
⎧ ⎞ 1 ⎛ ⎪f (x ) = x ln ⎜ 1 + 2 ⎟ ; x > 0 ⎠ ⎝ x ⎨ ⎪ f (0) = 0 ⎩ وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ O , i , jﺣﻴﺚ . i = j = 5cm :
ب -ﺑﻴﻦ أن : 2
]
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
( f
.2ﻧﻘﺒﻞ أن هﺬﻩ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ هﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺡﻴﺰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻜﻮن
.3اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ `∈ (u n ) nﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ وﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ .
. Iﻟﺘﻜﻦ g
G JG
Cﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) (O , i , j
.
.1ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء ؛ أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ :
⎧ u0 = e ⎪ ) ln (u n ⎨ ⎪⎩u n +1 = e u n ] . ∀n ∈ ` : u n ∈ [1, e
[
.
⎞ 1 ⎛ 2 ) ﻻﺣﻆ أن ( x ln ⎜ 1 + 2 ⎟ = x ln (1 + x ) − 2x ln(x ) : x ⎝ ⎠ ب -أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0ﺛﻢ أول
.2ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ `∈ (u n ) nﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ .
)
= ( t
∞x →+
(
(
اﻟﻤﺠﺎل
]
∞ ∀x ∈ 0, +؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ
1 .2أ -أﺣﺴﺐ ) lim xf ( x ) :ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ : ∞x →+ x2 ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن . lim f ( x ) = 0 :
. IIﻟﺘﻜﻦ `∈ (u n ) nاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
.1ﺑﻴﻦ أن :
]
[ [∞. [ 0, +
.1ﺑﻴﻦ أن ; f ′ ( x ) = g (x ) :
ﻧﻌﻄﻲ e ≈ 2, 7 ) :و e ≈ 1, 4و ln(2) ≈ 0, 7 ⎡ 1 ⎤ .6ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎥ . I = ⎢ − ln(2), 0 ⎣ 2 ⎦ أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ . −1 ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . g −1 ﺟـ -ﺣﺪد ) g ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
`∈ n
[
؛ ﺣﻴﺚ :
.4اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) g ( xﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞. 0, +
⎧ ex ′ 1 − 2e 2 x ) ; x < 0 ( = ) ⎪f ( x 2x ⎪ 1−e ⎨. .3أ -ﺑﻴﻦ أن : ) 1 − ln(x ) ln(xx ⎪ ; x >0 ⎪⎩ f ′(x ) = x 2 e ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ fﺛﻢ أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .4ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ) (Tﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ). I (1,1 G JG .5أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
;
g (x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا α
. 0,5 < α < 0, 6
ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ . .2أ -أدرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .0 ب -أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0؛ ﺛﻢ أﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ .
)
∞x →+
x →0
هﻮ . W f = R :
1 e
اﻷﺳﺘﺎذ :
⎞ 1 2 ⎛ g (x ) = ln ⎜1 + 2 ⎟ − 2 ⎝ x ⎠ x +1 )2 ( x 2 − 1 ′ = ) . ∀x ∈ ]0, +∞[ ; g ( x .1أ -ﺑﻴﻦ أن : 2 )x ( x 2 + 1
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ : 2x
اﻟﺡﻴﺎن
-1-
x x2 x3 ⎤⎡ 2 ∀x ∈ ⎢0, ⎥ : x − ≤ ln(1 + x ) ≤ x − + 2 2 3 ⎦⎣ 3 ln(1 + x ) − x . lim+ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ : x →0 x2
.2ب.ع.ت.
4
.2ﻟﺘﻜﻦ uو vاﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ : ) u (x ) = x − 1 − x ln(xو ) v (x ) = x − 1 − x ln(−x
) ﺗﺬآﻴﺮ :
أ -أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ uو v؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) u (x ) ﻧﻌﻄﻲ ln(2) ≈ 0, 7 :و ( ln(3) ≈ 1,1 ) . v (x ) ﻻﺣﻆ أن ( ∃!α ∈ ]−4, −3[ / v (α ) = 0 :
و
. IIﻟﺘﻜﻦ f
⎧ ) ln ( x = ) ⎪f ( x ; x ≠1 ⎨ x −1 ⎪ f (1) = 2 ⎩ .1ﺣﺪد W fﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ . f .2أدرس اﺗﺼﺎل وﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 1 .3أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .4ﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
; x <0
2
)
أ -أﻋﻁ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد
) (α
)
)
ب -أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ 1 + x − 1 dx
و.1
⎧ ) ln ( x = ) ⎪ g (x ; x ≠1 ⎨ x +1 ⎪ g (−1) = −2 ⎩ .1ﻗﺎرن اﻟﻌﺪدﻳﻦ f ( x ) :و ) . g ( −x .2أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻴﻴﻦ Cfو . Cg G JG .3أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ Cgﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j 2
)
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ O , i , j
)
(
[
x 3 ⎧ ⎪f ( x ) = 1 + 3 − 1 + x ⎨ ) ⎪ f (x ) = ln (e − x + x 2 ⎩
(
)
.1ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ . .2أﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ lim f ( x ) :و ∞x →−
.3أ -أﺛﺒﺖ أن :
)
) lim f (x
1+ x 1 − 1− x x أ -أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ gﻋﻠﻰ }. ]0, +∞[ − {1 g (x ) = ln
.
( ∆ ) :ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ
[
]
ﺟـ -ﺣﺪد ﻣﻮﻗﻊ Cfﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل ) ∆ ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . −∞, 0
ب -ﺑﻴﻦ أن ] [ / g (α ) = 0 : ﺟـ -اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) g ( xﻋﻠﻰ }. ]0, +∞[ − {1 د – ﺑﻴﻦ أن . ∀x ∈ ]0, +∞[ − {1} : f ′( x ) = 2xg ( x ) :
.
.6أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .7أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ
.4أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﺛﻢ أﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ .
. Cf
.8أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf
) ﻧﺄﺧﺬ α ≈ −0, 65 :و f (α ) ≈ −0,89
د -ﺣﺪد اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
]
. ∃!α ∈ 0,1
∀x ∈ ]−∞, 0[ : f (x ) = − x + ln (1 + x e
ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( −
) lim f (x
∞x →+
.
.3أدرس اﺗﺼﺎل fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .1 .4أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 1؛ ﺛﻢ أول هﻨﺪﺳﻴﺎ هﺬﻩ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ. .5ﻟﺘﻜﻦ gاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ } 0, +∞ − {1ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
∞x →+
(
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
[
2 x
ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ y = −x
0
[
.2أﺣﺴﺐ :
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
∫= I
؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ
.1أدرس زوﺟﻴﺔ fواﺳﺘﻨﺘﺞ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪراﺳﺔ هﻲ ∞. W E = 0, +
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 4
; x <0
3
(
7
1 ﻣﻌﺎدﻻﺗﻬﺎ x = 0 :و x = 7و . y = x 3 " اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 5 ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: 1+ x ⎧ 2 }; x ∈ R − {−1,1 ⎪f (x ) = ( x − 1) ln 1− x ⎨ ⎪ f (1) = f (−1) = 0 ⎩
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
; x ≥0
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞[0, +
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺡﻴﺰ اﻟﻤﺡﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ Cfواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﺘﻲ
ﺟـ -أﻧﺸﺊ . Cf
ﻧﻌﺘﺒﺮ f
(
اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ .
ب -أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﻓﻲ اﻟﻨﻘﻁ اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ
. IIIﻟﺘﻜﻦ g
⎧ ⎛ 1 ⎪f ′(x ) = 1 ⎜1 − ⎪ 3 ⎜ 3 (1 + x )2 ⎨. ⎝ ⎪ 2xe x − 1 ⎪ f ′(x ) = 2 x x e +1 ⎩
.8أ -ﺣﺪد داﻟﺔ أﺹﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x 6 3 1 + x
. f
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ -1 :و
3
.6ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f G JG .7أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
(
α
a2 + 3 a +1
3
⎞ ⎟ ; x >0 ⎟ ⎠
.5ﺑﻴﻦ أن :
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
a −1
= a −1
) ln (1 + h و =1 h →0 h
lim
(
(
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 6 ﻧﻌﺘﺒﺮ f ﻳﻠﻲ:
-2-
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ *
f (x ) = ln e x − e x
.2ب.ع.ت.
4
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
(
)
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
∞x →−
x →0
2 e −1
.2أ -ﺑﻴﻦ أن :
)
(
e −1 x
[
و ) . lim f ( x
= ) : f ′(x
2
∞x →+
*
ب -أﺣﺴﺐ ) (x
. ∀x ∈ R
واﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
= ) ∀x ∈ ]−∞,0[ : f (x
[
. IIﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ f ⎧f (x ) = ⎡⎣1 + ln (1 + x ) ⎤⎦ e − x ; x ≥ 0 ⎪ ⎨ −3 x 4 − x 3 = ) ⎪ f (x ; x <0 x ⎩ وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞⎛1 ) ﻧﻌﻄﻲ ln ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ≈ −1, 4 :و ⎜ 2 ⎟⎟ ≈ 0,9 ⎝ ⎠ .5ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞. I = ]0, + أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ. −1 ب -ﺣﺪد ) g ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
)
∞x →−
f (x ) = x + ln e x − 1 ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
.1ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن . W f = R : *
.4ﺑﻴﻦ أن :
ﺑﺠﻮار ) ∞. ( − ( ∆′ ) :ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ
Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
= ) : f ′(x
*
. ∀x ∈ R
.6ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎس ) (Tﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
⎧ f ′(x ) = g (x )e − x ⎪ −1 ⎨. = ) f ′(x 2 ⎪ ) 3. 3 (1 − x ⎩
; x <0
∞x →+
ب -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ( ∆ ) : y = xﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cf
⎞ ⎛ 1+ 5 ذات اﻷﻓﺼﻮل ⎟⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠
؛ وأﻋﻁ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻠﻰ
; x >0
.3أ -أﺣﺴﺐ ) lim f (x؛ وأول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ .
⎜ . ln
f g′ (0) = −
.
اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) . O ( 0, 0
⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1+ 5 ⎜⎜ f ⎜ ln ) ) f ( − ln(2و ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ) lim f (xو ) lim f (x
2e − 1 .4أ -ﺑﻴﻦ أن : e x −1 ب -ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .5أدرس ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf
∀x < 0 : f (x ) = 3 1 − x
ب -ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن :
1 ﺟـ -أﺛﺒﺖ أن : 3
x →0
∞x →+
.2ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 0 .3أ -أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ 0وأول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ .
ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
x
(
.1ﺑﻴﻦ أن W f = R :وأﺣﺴﺐ lim f ( x ) :و ) . lim f ( x
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 7
ﺟـ -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ y = 2x
]
ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
⎜ ( 2 ln
و:
ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) g ( xﻟﻜﻞ
∞. x ∈ 0, +
ب -أﻧﺸﺊ . Cf
∞x →−
[
x ) − ln (1 + x g (x ) = − x +1 x +2 . ∀x ∈ [ 0, +∞[ : g ′( x ) = − 2 ) (1 + x
.2ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ g
.4أ -ﺣﺪد ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ Cfوﻣﺡﻮر اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ .
.2أﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
gﻟﻜﻞ xﻣﻦ . J
[
.1ﺑﻴﻦ أن :
واﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( −
)
−1
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
.3أ -ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن ∀x ∈ ]0, +∞[ : f (x ) = x + ln 1− e −x :
(
]
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 8
ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
[
اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ.
. Iﻟﺘﻜﻦ g
x ب -ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن + ln 1− e x : 2
]
.8أ -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻘﺼﻮر gﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ
.1أﺣﺴﺐ lim f (x ) :و ) lim f (x x
)
G JG
(
.7أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
.5آﻮن ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .6ﺣﺪد اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ
G JG .7أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
)
(
. Cf
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 9 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: ⎧ f (x ) = e 2 x − 2e x ; x ≤0 ⎪ ⎨ x2 2 f ( x ) = x (ln x ) − −1 ; x > 0 ⎪ 2 ⎩ وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
)
(
.1ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .0 .2أﺣﺴﺐ ) lim f ( xوأﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ. ∞x →−
-3-
.2ب.ع.ت.
4
.3أﺣﺴﺐ ) lim f (x
∞x →+
ﺛﻢ ﺣﺪد اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ل Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
.4أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر وأﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ اﻟﻤﺡﺼﻠﺘﻴﻦ .
x x ⎪⎧f ′(x ) = 2e (e − 1) ; x < 0 ⎨. .5أ -ﺑﻴﻦ أن : ⎪⎩ f ′(x ) = 2x ln(x ) ; x > 0 ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f ⎞3 ⎛ .6ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ⎟ I ⎜ − ln(2), −ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf ⎠4 ⎝ .7أﻧﺸﺊ . Cf
]
.8ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ f أ -ﺑﻴﻦ أن g
]
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . −∞, 0
]
]
ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ −∞, 0ﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ.
⎞⎛ 3 −1 ب -ﺑﻴﻦ أن gﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ⎟ ⎜ − ⎠⎝ 4 ⎞3 ⎛ −1 ′ ⎟ . (g ) ⎜− ⎠⎝ 4 G JG ﺟـ -أﻧﺸﺊ Cg −1ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
)
د – ﺣﺪد ) g −1 (xﻟﻜﻞ x
.2أ -ﺑﻴﻦ أن :
) 2e 2 x (1 − e x
2
)− 2e x + 1
2x
( 2e
؛ ﺛﻢ ﺣﺪد
1 ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2
∞n →+
⎧ f (x ) = − x + ln (e + 1) ; x ≤ 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩f (x ) = − x + ln x − 2 ; x > 0 وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
و ) lim f (x
∞x →+
= ) ∀x ∈ R : f ′ ( x
.
]
(
.4ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ f أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ. ⎞ −1 ′ ⎛ 1 ب -أﺣﺴﺐ . ( g ) ⎜ ⎟ : ⎠⎝2 −1 ﺟـ -ﺣﺪد ) g ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J . IIﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ `∈ (u n ) nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
)
(
.1أ -ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 0 ب -أﺣﺴﺐ lim f ( x ) :و ) lim f (xو ) . lim f ( x ∞x →−
∞x →+
x →4
1 )f (x ) − f (0 lim+وأن : .2أ -ﺑﻴﻦ أن = −∞ : x →0 2 x
.
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I = −∞, 0
`∈ n
∞n →+
x
ب -أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ ) . Cfﻧﻌﻄﻲ ln(2) ≈ 0, 7 :
;
) . lim (v 0 + v 1 + ... + v n
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 11 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ } R − {4ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
(
]
⎛ 1 ⎞ ⎟: v n = ln ⎜ − 1 .5ﻧﻀﻊ : ⎝un ⎠ أ -ﺑﻴﻦ أن `∈ (v n ) nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ .
` ∈ . ∀n
د – أﺣﺴﺐ :
ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .3أ -أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
= y
⎛ 1 ⎞ ⎜ − 1⎟ + 1 ⎝ un ⎠ .2أﺣﺴﺐ u 1و . u 2 1 .3ﺑﻴﻦ أن : . ∀n ∈ ` : < un < 1 2 .4ﺑﻴﻦ أن `∈ (u n ) nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ.
ﺟـ -أﺣﺴﺐ u nﺑﺪﻻﻟﺔ n؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ . lim u n
(
.1 . Iأﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ lim f (x ) :
2
∞n →+
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 10 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: e 2x f (x ) = 2 x 2e − 2e x + 1 وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j ∞x →−
= : u n +1
ب -أﺣﺴﺐ v nﺑﺪﻻﻟﺔ n؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ . lim v n
ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
)
.1ﺑﻴﻦ أن :
1
` ∈ . ∀n
.
f g′ ( 0 ) = −
ﺛﻢ أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ .
ب -أﺣﺴﺐ ) f ′(xﻟﻜﻞ xﻣﻦ } R*+ − {4وﻟﻜﻞ x ﺟـ -ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .3أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf .4أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf ) ﻧﻘﺒﻞ أن ل Cfﻧﻘﻄﺘﻲ اﻧﻌﻄﺎف ؛ أﺣﺴﺐ )( f (16
ﻣﻦ . R −
[
*
]
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I = −∞, 0
.5ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ f أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ. ب -ﺣﻞ ﻓﻲ Iاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ). g ( x ) = ln(5
ﺟـ -أﺣﺴﺐ ) )( )′ ( ln(5 −1
د -ﺣﺪد ) (x
−1
. g
gﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
ﺑﺎﻟﺘﻮﻓﻴﻖ إﻧﺸﺎء اﷲ
3 ⎧ = u0 ⎪ 4 ⎨ ) ) ⎪u n +1 = f ( ln(u n ⎩
-4-
.2ب.ع.ت.
4
دراﺳﺔ اﻟﺪوال
⎧f ( x ) = e 1 − e ; x ≤0 ⎪ ⎨ ) ln( x x ; x >0 ⎩⎪ f (x ) = e وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ O , i , jﺣﻴﺚ . i = j = 2cm :
)
x
ب -أدرس إﺷﺎرة ) . g ′ ( x
(
.2أﺣﺴﺐ lim+ g ( x ) :و ) . lim g ( x .3أ -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . g
.1أ -ﺑﻴﻦ أن ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ f ب -أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت fﻋﻨﺪ ﻣﺡﺪات W fﺛﻢ أﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ
ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
. II
ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ f
⎞ 1 ⎛ .3أ -ﺑﻴﻦ أن lim+ x ln ⎜1 + 2 ⎟ = 0 : x →0 ⎠ ⎝ x
(
هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ . .4أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .5أﻧﺸﺊ
f
. IIIﻟﻴﻜﻦ
) ﻧﻘﺒﻞ أن (α ) ≈ f ( 0,5) ≈ 0,8 : λﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﺑﺡﻴﺚ . λ ∈ ]0,1] : 1
∫λ f (x )dx
)lim Aλ = ln(2
= A λ؛ ﺛﻢ ﺑﻴﻦ أن :
λ →0
.
⎧0 ≤ x ≤ 1 ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻁ ) M ( x , yاﻟﺘﻲ ﺗﺡﻘﻖ : ⎨ ) ⎩0 ≤ x ≤ f (x اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ب cm 2 " اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 3 .
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 2 ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞ [ 0, +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
.1 . Iأ -ﺑﻴﻦ أن :
x2 x2 ⎤⎡ 2 3 ∀x ∈ ⎢0, ⎥ : − x − − x ≤ ln(1 − x ) ≤ − x − 2 2 ⎦⎣ 3 ln(1 − x ) − x . lim+ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ : x →0 x2
⎧ ⎞ 1 ⎛ ⎪f (x ) = x ln ⎜ 1 + 2 ⎟ ; x > 0 ⎠ ⎝ x ⎨ ⎪ f (0) = 0 ⎩ وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ O , i , jﺣﻴﺚ . i = j = 5cm :
ب -ﺑﻴﻦ أن : 2
]
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
( f
.2ﻧﻘﺒﻞ أن هﺬﻩ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ هﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺡﻴﺰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻜﻮن
.3اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ `∈ (u n ) nﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ وﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ .
. Iﻟﺘﻜﻦ g
G JG
Cﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) (O , i , j
.
.1ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء ؛ أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ :
⎧ u0 = e ⎪ ) ln (u n ⎨ ⎪⎩u n +1 = e u n ] . ∀n ∈ ` : u n ∈ [1, e
[
.
⎞ 1 ⎛ 2 ) ﻻﺣﻆ أن ( x ln ⎜ 1 + 2 ⎟ = x ln (1 + x ) − 2x ln(x ) : x ⎝ ⎠ ب -أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0ﺛﻢ أول
.2ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ `∈ (u n ) nﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ .
)
= ( t
∞x →+
(
(
اﻟﻤﺠﺎل
]
∞ ∀x ∈ 0, +؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ
1 .2أ -أﺣﺴﺐ ) lim xf ( x ) :ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ : ∞x →+ x2 ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن . lim f ( x ) = 0 :
. IIﻟﺘﻜﻦ `∈ (u n ) nاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
.1ﺑﻴﻦ أن :
]
[ [∞. [ 0, +
.1ﺑﻴﻦ أن ; f ′ ( x ) = g (x ) :
ﻧﻌﻄﻲ e ≈ 2, 7 ) :و e ≈ 1, 4و ln(2) ≈ 0, 7 ⎡ 1 ⎤ .6ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎥ . I = ⎢ − ln(2), 0 ⎣ 2 ⎦ أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ . −1 ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . g −1 ﺟـ -ﺣﺪد ) g ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
`∈ n
[
؛ ﺣﻴﺚ :
.4اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) g ( xﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞. 0, +
⎧ ex ′ 1 − 2e 2 x ) ; x < 0 ( = ) ⎪f ( x 2x ⎪ 1−e ⎨. .3أ -ﺑﻴﻦ أن : ) 1 − ln(x ) ln(xx ⎪ ; x >0 ⎪⎩ f ′(x ) = x 2 e ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ fﺛﻢ أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .4ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ) (Tﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ). I (1,1 G JG .5أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
;
g (x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا α
. 0,5 < α < 0, 6
ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ . .2أ -أدرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .0 ب -أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0؛ ﺛﻢ أﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ .
)
∞x →+
x →0
هﻮ . W f = R :
1 e
اﻷﺳﺘﺎذ :
⎞ 1 2 ⎛ g (x ) = ln ⎜1 + 2 ⎟ − 2 ⎝ x ⎠ x +1 )2 ( x 2 − 1 ′ = ) . ∀x ∈ ]0, +∞[ ; g ( x .1أ -ﺑﻴﻦ أن : 2 )x ( x 2 + 1
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ : 2x
اﻟﺡﻴﺎن
-1-
x x2 x3 ⎤⎡ 2 ∀x ∈ ⎢0, ⎥ : x − ≤ ln(1 + x ) ≤ x − + 2 2 3 ⎦⎣ 3 ln(1 + x ) − x . lim+ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ : x →0 x2
.2ب.ع.ت.
4
.2ﻟﺘﻜﻦ uو vاﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ : ) u (x ) = x − 1 − x ln(xو ) v (x ) = x − 1 − x ln(−x
) ﺗﺬآﻴﺮ :
أ -أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ uو v؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) u (x ) ﻧﻌﻄﻲ ln(2) ≈ 0, 7 :و ( ln(3) ≈ 1,1 ) . v (x ) ﻻﺣﻆ أن ( ∃!α ∈ ]−4, −3[ / v (α ) = 0 :
و
. IIﻟﺘﻜﻦ f
⎧ ) ln ( x = ) ⎪f ( x ; x ≠1 ⎨ x −1 ⎪ f (1) = 2 ⎩ .1ﺣﺪد W fﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ . f .2أدرس اﺗﺼﺎل وﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 1 .3أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .4ﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
; x <0
2
)
أ -أﻋﻁ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد
) (α
)
)
ب -أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ 1 + x − 1 dx
و.1
⎧ ) ln ( x = ) ⎪ g (x ; x ≠1 ⎨ x +1 ⎪ g (−1) = −2 ⎩ .1ﻗﺎرن اﻟﻌﺪدﻳﻦ f ( x ) :و ) . g ( −x .2أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻴﻴﻦ Cfو . Cg G JG .3أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ Cgﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j 2
)
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ O , i , j
)
(
[
x 3 ⎧ ⎪f ( x ) = 1 + 3 − 1 + x ⎨ ) ⎪ f (x ) = ln (e − x + x 2 ⎩
(
)
.1ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ . .2أﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ lim f ( x ) :و ∞x →−
.3أ -أﺛﺒﺖ أن :
)
) lim f (x
1+ x 1 − 1− x x أ -أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ gﻋﻠﻰ }. ]0, +∞[ − {1 g (x ) = ln
.
( ∆ ) :ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ
[
]
ﺟـ -ﺣﺪد ﻣﻮﻗﻊ Cfﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل ) ∆ ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . −∞, 0
ب -ﺑﻴﻦ أن ] [ / g (α ) = 0 : ﺟـ -اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) g ( xﻋﻠﻰ }. ]0, +∞[ − {1 د – ﺑﻴﻦ أن . ∀x ∈ ]0, +∞[ − {1} : f ′( x ) = 2xg ( x ) :
.
.6أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .7أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ
.4أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﺛﻢ أﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ .
. Cf
.8أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf
) ﻧﺄﺧﺬ α ≈ −0, 65 :و f (α ) ≈ −0,89
د -ﺣﺪد اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
]
. ∃!α ∈ 0,1
∀x ∈ ]−∞, 0[ : f (x ) = − x + ln (1 + x e
ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( −
) lim f (x
∞x →+
.
.3أدرس اﺗﺼﺎل fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .1 .4أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 1؛ ﺛﻢ أول هﻨﺪﺳﻴﺎ هﺬﻩ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ. .5ﻟﺘﻜﻦ gاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ } 0, +∞ − {1ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
∞x →+
(
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
[
2 x
ب -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ y = −x
0
[
.2أﺣﺴﺐ :
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
∫= I
؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ
.1أدرس زوﺟﻴﺔ fواﺳﺘﻨﺘﺞ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪراﺳﺔ هﻲ ∞. W E = 0, +
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 4
; x <0
3
(
7
1 ﻣﻌﺎدﻻﺗﻬﺎ x = 0 :و x = 7و . y = x 3 " اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 5 ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: 1+ x ⎧ 2 }; x ∈ R − {−1,1 ⎪f (x ) = ( x − 1) ln 1− x ⎨ ⎪ f (1) = f (−1) = 0 ⎩
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
; x ≥0
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞[0, +
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺡﻴﺰ اﻟﻤﺡﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ Cfواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﺘﻲ
ﺟـ -أﻧﺸﺊ . Cf
ﻧﻌﺘﺒﺮ f
(
اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ .
ب -أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﻓﻲ اﻟﻨﻘﻁ اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ
. IIIﻟﺘﻜﻦ g
⎧ ⎛ 1 ⎪f ′(x ) = 1 ⎜1 − ⎪ 3 ⎜ 3 (1 + x )2 ⎨. ⎝ ⎪ 2xe x − 1 ⎪ f ′(x ) = 2 x x e +1 ⎩
.8أ -ﺣﺪد داﻟﺔ أﺹﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x 6 3 1 + x
. f
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ -1 :و
3
.6ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f G JG .7أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
(
α
a2 + 3 a +1
3
⎞ ⎟ ; x >0 ⎟ ⎠
.5ﺑﻴﻦ أن :
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
a −1
= a −1
) ln (1 + h و =1 h →0 h
lim
(
(
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 6 ﻧﻌﺘﺒﺮ f ﻳﻠﻲ:
-2-
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ *
f (x ) = ln e x − e x
.2ب.ع.ت.
4
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
(
)
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
∞x →−
x →0
2 e −1
.2أ -ﺑﻴﻦ أن :
)
(
e −1 x
[
و ) . lim f ( x
= ) : f ′(x
2
∞x →+
*
ب -أﺣﺴﺐ ) (x
. ∀x ∈ R
واﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
= ) ∀x ∈ ]−∞,0[ : f (x
[
. IIﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ f ⎧f (x ) = ⎡⎣1 + ln (1 + x ) ⎤⎦ e − x ; x ≥ 0 ⎪ ⎨ −3 x 4 − x 3 = ) ⎪ f (x ; x <0 x ⎩ وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞⎛1 ) ﻧﻌﻄﻲ ln ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ≈ −1, 4 :و ⎜ 2 ⎟⎟ ≈ 0,9 ⎝ ⎠ .5ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞. I = ]0, + أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ. −1 ب -ﺣﺪد ) g ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
)
∞x →−
f (x ) = x + ln e x − 1 ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب
.1ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن . W f = R : *
.4ﺑﻴﻦ أن :
ﺑﺠﻮار ) ∞. ( − ( ∆′ ) :ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ
Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
= ) : f ′(x
*
. ∀x ∈ R
.6ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎس ) (Tﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
⎧ f ′(x ) = g (x )e − x ⎪ −1 ⎨. = ) f ′(x 2 ⎪ ) 3. 3 (1 − x ⎩
; x <0
∞x →+
ب -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ( ∆ ) : y = xﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cf
⎞ ⎛ 1+ 5 ذات اﻷﻓﺼﻮل ⎟⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠
؛ وأﻋﻁ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻠﻰ
; x >0
.3أ -أﺣﺴﺐ ) lim f (x؛ وأول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ .
⎜ . ln
f g′ (0) = −
.
اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) . O ( 0, 0
⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1+ 5 ⎜⎜ f ⎜ ln ) ) f ( − ln(2و ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ) lim f (xو ) lim f (x
2e − 1 .4أ -ﺑﻴﻦ أن : e x −1 ب -ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .5أدرس ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf
∀x < 0 : f (x ) = 3 1 − x
ب -ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن :
1 ﺟـ -أﺛﺒﺖ أن : 3
x →0
∞x →+
.2ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 0 .3أ -أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ 0وأول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ .
ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
x
(
.1ﺑﻴﻦ أن W f = R :وأﺣﺴﺐ lim f ( x ) :و ) . lim f ( x
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 7
ﺟـ -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ y = 2x
]
ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
⎜ ( 2 ln
و:
ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) g ( xﻟﻜﻞ
∞. x ∈ 0, +
ب -أﻧﺸﺊ . Cf
∞x →−
[
x ) − ln (1 + x g (x ) = − x +1 x +2 . ∀x ∈ [ 0, +∞[ : g ′( x ) = − 2 ) (1 + x
.2ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ g
.4أ -ﺣﺪد ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ Cfوﻣﺡﻮر اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ .
.2أﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
gﻟﻜﻞ xﻣﻦ . J
[
.1ﺑﻴﻦ أن :
واﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( −
)
−1
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
.3أ -ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن ∀x ∈ ]0, +∞[ : f (x ) = x + ln 1− e −x :
(
]
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 8
ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f
وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
[
اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ.
. Iﻟﺘﻜﻦ g
x ب -ﺗﺡﻘﻖ ﻣﻦ أن + ln 1− e x : 2
]
.8أ -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻘﺼﻮر gﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ∞ 0, +ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ
.1أﺣﺴﺐ lim f (x ) :و ) lim f (x x
)
G JG
(
.7أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
.5آﻮن ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .6ﺣﺪد اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ
G JG .7أﻧﺸﺊ Cfﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
)
(
. Cf
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 9 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Rﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: ⎧ f (x ) = e 2 x − 2e x ; x ≤0 ⎪ ⎨ x2 2 f ( x ) = x (ln x ) − −1 ; x > 0 ⎪ 2 ⎩ وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
)
(
.1ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .0 .2أﺣﺴﺐ ) lim f ( xوأﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺡﺼﻠﺔ. ∞x →−
-3-
.2ب.ع.ت.
4
.3أﺣﺴﺐ ) lim f (x
∞x →+
ﺛﻢ ﺣﺪد اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ل Cfﺑﺠﻮار ) ∞. ( +
.4أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر وأﻋﻁ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ اﻟﻤﺡﺼﻠﺘﻴﻦ .
x x ⎪⎧f ′(x ) = 2e (e − 1) ; x < 0 ⎨. .5أ -ﺑﻴﻦ أن : ⎪⎩ f ′(x ) = 2x ln(x ) ; x > 0 ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f ⎞3 ⎛ .6ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ⎟ I ⎜ − ln(2), −ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf ⎠4 ⎝ .7أﻧﺸﺊ . Cf
]
.8ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ f أ -ﺑﻴﻦ أن g
]
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . −∞, 0
]
]
ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ −∞, 0ﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ.
⎞⎛ 3 −1 ب -ﺑﻴﻦ أن gﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ⎟ ⎜ − ⎠⎝ 4 ⎞3 ⎛ −1 ′ ⎟ . (g ) ⎜− ⎠⎝ 4 G JG ﺟـ -أﻧﺸﺊ Cg −1ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ . O , i , j
)
د – ﺣﺪد ) g −1 (xﻟﻜﻞ x
.2أ -ﺑﻴﻦ أن :
) 2e 2 x (1 − e x
2
)− 2e x + 1
2x
( 2e
؛ ﺛﻢ ﺣﺪد
1 ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2
∞n →+
⎧ f (x ) = − x + ln (e + 1) ; x ≤ 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩f (x ) = − x + ln x − 2 ; x > 0 وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j
و ) lim f (x
∞x →+
= ) ∀x ∈ R : f ′ ( x
.
]
(
.4ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ f أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ. ⎞ −1 ′ ⎛ 1 ب -أﺣﺴﺐ . ( g ) ⎜ ⎟ : ⎠⎝2 −1 ﺟـ -ﺣﺪد ) g ( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J . IIﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ `∈ (u n ) nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن
)
(
.1أ -ﺑﻴﻦ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 0 ب -أﺣﺴﺐ lim f ( x ) :و ) lim f (xو ) . lim f ( x ∞x →−
∞x →+
x →4
1 )f (x ) − f (0 lim+وأن : .2أ -ﺑﻴﻦ أن = −∞ : x →0 2 x
.
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I = −∞, 0
`∈ n
∞n →+
x
ب -أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ ) . Cfﻧﻌﻄﻲ ln(2) ≈ 0, 7 :
;
) . lim (v 0 + v 1 + ... + v n
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 11 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ } R − {4ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
(
]
⎛ 1 ⎞ ⎟: v n = ln ⎜ − 1 .5ﻧﻀﻊ : ⎝un ⎠ أ -ﺑﻴﻦ أن `∈ (v n ) nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ .
` ∈ . ∀n
د – أﺣﺴﺐ :
ب -أﻋﻁ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .3أ -أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ Cfﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
= y
⎛ 1 ⎞ ⎜ − 1⎟ + 1 ⎝ un ⎠ .2أﺣﺴﺐ u 1و . u 2 1 .3ﺑﻴﻦ أن : . ∀n ∈ ` : < un < 1 2 .4ﺑﻴﻦ أن `∈ (u n ) nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ.
ﺟـ -أﺣﺴﺐ u nﺑﺪﻻﻟﺔ n؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ . lim u n
(
.1 . Iأﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ lim f (x ) :
2
∞n →+
" اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ¯ # : 10 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺡﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: e 2x f (x ) = 2 x 2e − 2e x + 1 وﻟﻴﻜﻦ Cfاﻟﻤﻨﺡﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب G JG إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ . O , i , j ∞x →−
= : u n +1
ب -أﺣﺴﺐ v nﺑﺪﻻﻟﺔ n؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ . lim v n
ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
)
.1ﺑﻴﻦ أن :
1
` ∈ . ∀n
.
f g′ ( 0 ) = −
ﺛﻢ أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ .
ب -أﺣﺴﺐ ) f ′(xﻟﻜﻞ xﻣﻦ } R*+ − {4وﻟﻜﻞ x ﺟـ -ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f .3أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf .4أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺡﻨﻰ . Cf ) ﻧﻘﺒﻞ أن ل Cfﻧﻘﻄﺘﻲ اﻧﻌﻄﺎف ؛ أﺣﺴﺐ )( f (16
ﻣﻦ . R −
[
*
]
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I = −∞, 0
.5ﻟﻴﻜﻦ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ f أ -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺡﻮ ﻣﺠﺎل Jﻳﺘﻢ ﺗﺡﺪﻳﺪﻩ. ب -ﺣﻞ ﻓﻲ Iاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ). g ( x ) = ln(5
ﺟـ -أﺣﺴﺐ ) )( )′ ( ln(5 −1
د -ﺣﺪد ) (x
−1
. g
gﻟﻜﻞ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل . J
ﺑﺎﻟﺘﻮﻓﻴﻖ إﻧﺸﺎء اﷲ
3 ⎧ = u0 ⎪ 4 ⎨ ) ) ⎪u n +1 = f ( ln(u n ⎩
-4-
.2ب.ع.ت.
4
Related Documents
S Exp Ii Math Exercices Etude1 Exp Ln
October 2019 10
S-exp-ii Math Exercices Fonction Log
October 2019 10
S Exp Ii Math Exercices Etude2 Exp Log
October 2019 12
S-exp-ii Math Devoir S1 9
October 2019 8
S-exp-ii Math Devoir S2 11
October 2019 19
S-exp-ii Math Devoir S1 4
October 2019 13More Documents from "Ihsan Mokhlisse"
Tajribi Math Sx (39)
April 2020 6
Solutions 1
November 2019 4
I04pm1e
November 2019 3
Tdmeca2
November 2019 2
Tdmeca4
November 2019 2