S-exp-ii Math Devoir S1 6

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪ 2 :‬ﺑﺎﻛﺎﻟﻮﺭﻳﺎ‬ ‫ﺍﻷﺭﺑﻌﺎء‪  08 ‬ﻧﻮﻧﺒﺮ‪2006 ‬‬ ‫ﻧﻴﺎﺑﺔ‪ ‬ﻭﺍﺩﻱ‪ ‬ﺍﻟﺬﻫﺐ‪ ‬ﻭ‪ ‬ﺃﻭﺳﺮﺩ‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ‪ ‬ﻣﻮﻻﻱ‪ ‬ﺭﺷﻴﺪ‪ ‬ﺍﻟﺘﺄﻫﻴﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳــــﺎﺿـﻴــــــﺎﺕ‪                             ‬ﻋﻠﻮﻡ‪ ‬ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﺔ‪                                                    ‬‬ ‫ﻣﺪﺓ‪ ‬ﺍﻹﻧﺠﺎﺯ‪2h:‬‬ ‫ﺴﻠﻡ ﺍﻟﺘﻨﻘﻴﻁ‬

‫) ‪(7 pts‬‬

‫ﻳﺮﺍﻋﻰ‪ ‬ﺣﺴﻦ‪ ‬ﺗﻘﺪﻳﻢ‪ ‬ﻭﺭﻗﺔ‪ ‬ﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪ ‬ﺍﻷﻭﻝ‪:‬‬ ‫‪x2  1‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‪ ‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪ ‬ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‪ ‬ﺑﻤﺎ‪ ‬ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫‪1pt‬‬ ‫‪2 pts‬‬ ‫‪1pt‬‬ ‫‪1.5pts‬‬ ‫‪0.5pt‬‬ ‫‪1pt‬‬ ‫) ‪(2.5 pts‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ (1‬ﺣﺪﺩ‪ ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‪ ‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪  f‬ﺛﻢ‪ ‬ﺍﺩﺭﺱ‪ ‬ﺯﻭﺟﻴﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x‬‬

‫‪ (2‬ﺃﺣﺴﺐ‪lim f ( x) : ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x ‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x 1‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫ﻭ‪  ‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪ (3‬ﺍﺩﺭﺱ‪ ‬ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ‪ ‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪  f‬ﻋﻠﻰ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]‪  [0;1‬ﻭﻋﻠﻰ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [‪[1; ‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﻴﻜﻦ‪    g  ‬ﻗﺼﻮﺭ ‪  f‬ﻋﻠﻰ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‪. [1; [  ‬‬

‫‪. lim‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪ ‬ﺑﻴﻦ‪ ‬ﺃﻥ‪    g  ‬ﺗﻘﺒﻞ‪ ‬ﺩﺍﻟﺔ‪ ‬ﻋﻜﺴﻴﺔ‪    g 1  ‬ﻣﻌﺮﻓﺔ‪ ‬ﻋﻠﻰ‪ ‬ﻣﺠﺎﻝ‪  J  ‬ﻳﺘﻢ‪ ‬ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬ ‫‪ (5‬ﺃﻋﻂ‪ ‬ﺟﺪﻭﻝ‪ ‬ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ‪ ‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪. g 1  ‬‬ ‫‪ (6‬ﺣﺪﺩ‪    g 1 ( x)  ‬ﻟﻜﻞ‪. x  J  ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪ ‬ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬

‫‪3  0.5 pt‬‬

‫‪ (1‬ﺃﺣﺴﺐ‪:‬‬

‫‪2  0.5 pt‬‬

‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ‪ ‬ﺃﻧﻪ‪:‬‬

‫) ‪(5 pts‬‬

‫‪f ( x) ‬‬

‫‪x 1  2x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4x  2‬‬ ‫‪x 7 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ ‬ﻭ‬

‫‪x   : cos(arctan( x)) ‬‬

‫‪1  x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ ‬ﻭ‬

‫‪lim‬‬ ‫‪x2‬‬

‫ﻭ‬

‫‪x‬‬ ‫‪1  x2‬‬

‫‪arctan(2 x  1) ‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪x   : sin(arctan( x)) ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ (U n ) n‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ U 0  1 :‬ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ 3U n 1  2U n  n  3‬ﻟﻜﻝ ‪ n‬ﻤﻥ ‪‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ (V n ) n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ Vn  U n  n :‬ﻟﻜﻝ ‪ n‬ﻤﻥ ‪. ‬‬

‫‪1pt‬‬

‫‪ (1‬ﺃ‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‪ (V n ) n :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻤﺤﺩﺩﺍ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭﻝ‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1.5pts‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ (n   );U n     n‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪. (U n ) n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪1.5pts‬‬

‫‪ (2‬ﺃ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﻴﻥ ‪ S  1  2  3  4  ......  98  99‬ﻭ‬

‫‪98‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S '  1        ......      ‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪. U 0  U1  .....  U 98  U 99  4953  3  ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1pt‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪:‬‬

‫) ‪(5.5 pts‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪ ‬ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‪:‬‬ ‫‪Un  Un‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ U0 ‬ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (U n ) n‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪1pt‬‬ ‫‪1pt‬‬ ‫‪0.75pt‬‬ ‫‪1pt‬‬ ‫‪0.75pt‬‬ ‫‪1pt‬‬

‫‪n   : U n 1 ‬‬

‫‪ (1‬ﺃ‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪. n  ;U n  1  0‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪. (U n ) n‬‬ ‫ﺝ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (U n ) n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (2‬ﺃ‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪. n   : 0
‫‪1‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪. n   : 0  U n  1   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺝ‪ -‬ﺤﺩﺩ ‪. lim U n‬‬ ‫‪n ‬‬

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