Rumus-rumus Segitiga

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

1

Rumus-rumus segitiga

RUMUS-RUMUS SEGITIGA Pandanglah  ABC pada gambar 1. Besar sudut dalam  ABC, dituliskan dengan  A,  B, dan  C. Sisi di hadapan  A (yaitu sisi BC) panjagnya a, sisi di hadapan  B (yaitu sisi AC) panjagnya b dan sisi di hadapan  C (yaitu sisi AB) panjangnya c. A ao

b

c B

A = ao B = bo C = co

bo

co a

sisi BC = a sisi AC = b sisi AB = c

C

Gambar 1 Jadi dalam  ABC terdapat 6 unsur , yaitu 3 unsur sudut (dengan  A,  B, dan  C) dan 3 unsur sisi ( a, b , dan c). Dalam BAB ini kita akan mempelajari rumus-rumus segitiga yang menghubungkan unsur-unsur sudut dengan unsur-unsur sisi pada sebuah segitiga, yaitu : aturan sinus (Dalil Sinus), atura kosinus (Dalil kosinus), dan luas segitiga. 1. ATURAN SINUS A. Contoh-contoh untuk pengantar. Untuk memudahkan kita dlam memahami aturan sinus itu, perlu kita simak terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini . 1. Pada gambar 2, segitiga ABC siku-siku di B, dengan  A = 50o,  B = 90o, dan b = 8 . Hitunglah : a. besar  C b. Panjang sisi a dan sisi c. C Penyelesaian : b=8 50o A c

a B

a. Untuk menghitung  C kita gunakan hubungan :  A +  B +  C = 180o  C = 180o -  A -  C = 180o – 50o – 90o = 40o

Gambar 2 b. Dari gambar 2 didapat : a sin A   a  b  sin A b = 8  sin 50o = 8  0,7660 = 6,1 (teliti samai 1 tempat desimal) c cos A   c  b  cos A b Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

2

Rumus-rumus segitiga

= 8  cos 50o = 8  0,6428 = 5,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). Jadi panjang sisi a = 6,1 dan panjang sisi c = 5,1 . 2. Pada gambar 3,  ABC lancip dengan  A = 40o,  B = 80o dan b = 6 . a. Hitung besar  C ! C b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung Langsung seperti pada contoh 1 ? c. Buat garis tinggi CD pada sisi AB, kemudian a b=6 Hitung : i. panjang CP iv. Panjang BP ii. panjang BC v. Panjang AB 40o D 80o iii. panjang AP A B c Gambar 3 Penyelesaian : a. Untuk menghitung  C, kita gunakan hubungan :  C = 180o -  A -  B = 180o – 40o – 80o = 60o b. Karena  ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1. c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 3) kita dapatkan : CD i. sin A   CD  b  sin A b = 6  sin 40o = 6  0,6428 = 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). CD CD ii. sin B   BC  BC sin B 3,9 = sin 80o 3,9 = 0,9848 = 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). AD iii. cos A   AD  b  cos A b = 6  cos 40o = 6  0,7660 = 4,6 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). DB iv. cos B   DB  BC  cos B BC Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

3

Rumus-rumus segitiga

= 3,9  cos 80o = 3,9  0,1736 = 0,7 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). v. AB = AD + DB = 4,6 + 0,7 = 5,3 Jdi dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat menghitung panjang sisi a dan sisi c. 3. Pada gambar 4,  ABC tumpul dengan  A = 100o,  B = 50o dan b = 12. a. Hitunglah besar  C! C b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung a Langsung seperti pada contoh 1. b =12 c. Buat garis tinggi CD pada perpanjangan 100o 50o Sisi AB, kemudian hitung panjang a dan D c! A c B A Gambar 4 Penyelesaian : a. Untuk menghitung  C, kita gunakan hubungan :  C = 180o -  A -  B = 180o – 100o – 50o = 30o b. Karena  ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1. c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 4). Maka kita dapatkan : i. pada  DAC,  DAC = 180o – 100o = 80o, sehingga CD sin DAC   CD  b  sin DAC b = 12  sin 80o = 12  0,9848 = 11,8 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). AD cos DAC   AD  b  cos DAC b = 12  cos 80o = 12  0,1736 = 2,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). ii. pada  PBC : CD CD sin B   BC  BC sin B 11,8 = sin 50o Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

4

Rumus-rumus segitiga

11,8 0,7660 = 15,4 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). =

BD  BD  BC  cos B BC = 15,4  cos 50o = 15,4  0,6428 = 9,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). AB = BD-AD = 9,9 = 2,1 = 7,8 Jadi, dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat menghitung panjang sisi a dan sisi c. Dari contoh 1 sampai dengan contoh 3, kita dapat mengamati beberapa hal sebagai berikut : 1. Dalam  ABC siku-siku (contoh 1), panjang sisi a dan c dapat dihitung langsung dengan menggunakan perbandingan trigonometri. 2. Dalam  ABC lancip (contoh 2) atau tumpul (contoh 3), panjang sisi a dan c dapat dihitung dengan menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan. Lalu sekarang timbul pertanyaan, dapatkah panjang sisi a dan c dihitung tanpa menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut simaklah uraian berikut ini . cos B 

B. Aturan Sinus dan Buktinya. Pada uraian terdahulu telah kita pelajari cara menentukan unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lain telah diketahui. Namun yang terpenting dari padanya, adalah apa yang disebut di bawah ini : Aturan Sinus : Dalam setiap segitiga, perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang mengahadapi sisi itu adalah sama, untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Atau dengan rumus dapat ditulis sebagai berikut : Untuk segitiga ABC berlaku : a b c   sin A sin B sin C Bukti : Cara 1 i. Untuk  ABC lancip. C b

a

A D c

B Gambar 5

Perhatikan gambar 5 *) segitiga ADC siku-siku di D, maka : CD sin A   CD  b  sin A ---(1) b *) segitiga BDC siku-siku di D, maka : CD sin B   CD  a  sin B ---(2) a Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

5

Rumus-rumus segitiga

Dari (1) dan (2) didapat : bsinA = asinB atau a b  sin A sin b

---------(3) Perhatikan gambar 6 *) segitiga AEC siku-siku di E, maka : AE sin C   AE  b  sin C ---(4) b *) segitiga BEC siku-siku di E, maka : AE sin B   AE  c  sin B ---(5) c

C E b

a

A

B c Gambar 6

Dari (1) dan (2) didapat : bsinC = csinB atau b c  sin B sin C

---------(6)

a b c   sin A sin B sin C ii. Untuk  ABC tumpul : Perhatikan gambar 5 *) segitiga ADC siku-siku di D, maka : C CD a sin A   CD  b  sin A ---(1) b b *) segitiga BDC siku-siku di D, maka : CD D A c B sin B   CD  a  sin B ---(2) a Gambar 7

Dari (3) dan (6) didapat :

Dari (1) dan (2) didapat : bsinA = asinB atau a b  sin A sin b

---------(3)

C E b

a A

c

Perhatikan gambar 6 *) segitiga AEC siku-siku di E, maka : AE sin C   AE  b  sin C ---(4) b *) segitiga BEC siku-siku di E, maka : AE B sin B   AE  c  sin B ---(5) c

Gambar 8 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

6

Rumus-rumus segitiga

Dari (4) dan (5) didapat : bsinC = csinB atau b c  sin B sin C

---------(6)

Dari (3) dan (6) didapat :

a b c   sin A sin B sin C

(terbukti)

Bukti : Cara 2 i. Untuk  ABC lancip: Y

C(b.cosA,b.sinA) b

Y

a

C(a.cosB,a.sinB) a

b

yc O=A

yc c (a)

B

X

O=B

c

A

X

(b) Gambar 9

Perhatikan gambar 9 di atas ! Pada gambar 9 (a) didapat hubungan : yc = b.sinA -----(1) Pada gambar 9 (b) didapat hubungan : yc = a.sinB -----(2) Dari (1) dan (2) didapat hubungan b.sinA = a.sin B atau a b  --------(3) sin A sin B Y

B(c.cosA,c.sinA) c

Y

a

B(a.cosC,a.sinC) a

yb O=A

c yb

b (a)

C

X

O=C

b

A

X

(b)

Gambar 10 Perhatikan gambar 10 di atas ! Pada gambar 10 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA -----(4) Pada gambar 10 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC -----(5) Dari (4) dan (5) didapat hubungan c.sinA = a.sin C atau a c  --------(6) sin A sin C Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

7

Rumus-rumus segitiga

a b c   sin A sin B sin C ii. Untuk  ABC tumpul : Y Y B(c.cosA,c.sinA)

Dari (3) dan (6) didapat :

yb c D

(terbukti)

B(a.cosC,a.sinC)

a O=A

a b

C

X

O=C

b

(a)

c A (b)

yb D

X

Gambar 11 Perhatikan gambar 11 di atas ! Pada gambar 11 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA ------ (1) Pada gambar 11 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC ------ (2) Dari (1) dan (2) didapat hubugan : c.sinA = a.sin C atau a c  --------(3) sin A sin C Y Y A(c.cosB,c.sinB) A(b.cosC,b.sinC) c O=B

ya a

b

b C

(a)

X

O=C

ya a

c B

X

(b) Gambar 12 Perhatikan gambar 12 di atas ! Pada gambar 12 (a) didapat hubungan : ya = c.sinB -----(4) Pada gambar 12 (b) didapat hubungan : ya = b.sinC -----(5) Dari (4) dan (5) didapat hubungan c.sinB = b.sin C atau b c  --------(6) sin B sin C a b c   (terbukti) Dari (3) dan (6) didapat : sin A sin B sin C Bukti cara 3: i. Untuk  ABC lancip. Perhatikan gambar 13 di samping ! C  D =  A (sudut dalam segmen yang sama) 1 b a  CBD siku-siku (menghdapi busur lingkaran DC), 2 A x O CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran) c B a a a atau sin A  sin D   atau x CD 2 R 2R a Oleh : Padiya,S.Pd.  2 R ----(1)[email protected] 8 e-mail: sin A

Rumus-rumus segitiga

D Gambar 13 C b

a

A

O c

y

y E Gambar 14 C F

z

z b

a

A

O c

Gambar 15

Perhatikan gambar 14 di samping !  E =  B (sudut dalam segmen yang sama) 1  CAE siku-siku (menghdapi busur lingkaran CE), 2 B CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran) b b b atau sin B  sin E   atau CE 2 R 2R b  2 R ----- (2) sin B Perhatikan gambar 15 di samping !  F =  C (sudut dalam segmen yang sama) 1  BAF siku-siku (menghdapi busur lingkaran BF), 2 B BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran) c c c atau sin C  sin F   atau BF 2 R 2R c  2 R ----- (3) sin C

Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan : a b c    2R sin A sin B sin C

ii. Untuk  ABC tumpul: C a A

b

x

O c x

D Gambar 16

Perhatikan gambar 16 di samping !  D =  A (sudut dalam segmen yang sama) B  CBD siku-siku (menghdapi busur 1 2 lingkaran DC), CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran) a a a atau sin A  sin D   CD 2 R 2R atau a  2 R ----- (1) sin A

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

9

Rumus-rumus segitiga

C a

b

A

O

y

c y E Gambar 17 C

Perhatikan gambar 17 di samping !  E =  B (sudut dalam segmen yang sama) B  CAE siku-siku (menghdapi busur 1 2 lingkaran CE), CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran) b b b atau sin B  sin E   CE 2 R 2R atau b  2 R ----- (2) sin B

a b A c

B O

F

Gambar 18

Perhatikan gambar 18 di samping !  F=  180o -  C (sudut hadap segiempat tali busur),  BAF = 90o BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran) sin F  sin(180o  C )  sin C c c c atau sin C  sin C   BF 2 R 2R atau c  2 R ----- (3) sin C

Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan : a b c    2R sin A sin B sin C

terbukti

C..Penggunaan Aturan Sinus Aturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lainnya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam sebuah segitiga dapat terdiri atas : 2. sebuah sisi dan dua buah sudut : - sisi, sudut, sudut (ss, sd, sd) - sudut, sisi, sudut (sd, ss, sd) 3. dua buah sisi dan sebuah sudut yang berhadapan dengan salah satu sisi itu. - sisi, sisi, sudut (ss, ss, sd). Untuk memahami penggunaan aturan sinus, marilah kita simak beberapa contoh berikut ini : 1. Dalam kasus 1, unsur-unsur yang diketahui : sebuah sisi dan dua buah sudut. Diketahui  ABC dengan  A = 38o,  B = 64o dan sisi b = 5. a. Hitunglah  C ! Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

10

Rumus-rumus segitiga

b.

Hitunglah panjang sisi a dan c !.

Penyelesaian: a.  C = 180o -  A -  B = 180o – 38o – 64o = 78o b. Panjang sisi a dan c ditentukan dengan aturan sinus - panjang sisi a - panjang sisi c b c a b   sin A sin B sin B sin C b  sin A b  sin C a c sin B sin B o 5  sin 38 5  sin 78o a c sin 64o sin 64o 5  0,6157 5  0,9781 a c 0,8988 0,8988 3,0785 4,8905 a c 0,8988 0,8988 a  3,42 c  5,44 Atau dengan cara lain : a. Dengan menggunakan daftar logaritma : 5  sin 38o a sin 64o  5.sin 38o   log a  log o   sin 64  log a  log 5  log sin 38o  log sin 64o log a  0,6990  (9,7893  10)  (9,9537  100 log a  0,6990  0,2104  (0,0465) log a  0,5345 a  3,424 a  3,42 b. Dengan menggunakan kalkulator. Kalkulator yang dapat dipakai untuk keperluan ini adalah kalkulator jenis ilmiah (scientific calculator), misalnya kalkulator merk ” Casio seri fx-3600P” Caranya : - Pertama-tama mode ukuran sudut diatur dalam kedudukan ”DEG” (degree = derajat). -Kemudian tekan berturut-turut tombol : 3 8 sin x 5 = : 6 4 sin = -Hasil perhitungan akan ditunjukkan pada layar sebagai : 3,424930761 -Apabila hasil itu dibulatkan sampai 2 tempat desimal, maka diperoleh a = 3,42 (sesuai dengan perhitungan sebelumnya). Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

11

Rumus-rumus segitiga

2. Dalam kasus 2, unsur-unsur yang diketahui : dua buah sisi dan sebuah sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu. Diketahui  ABC, dengan  B = 30o, a = 7 , dan b = 6. Hitunglah : C a.Besar  A ! b..Besar  C ! 6 7 o c..Panjang c ! 30 A c B Penyelesaian : Gambar 19 Perhatikan gambar 19 di samping ! a b a  sin B 7  sin 30o 7  0,5 3,5 a.   sin A      0,58  A  35,68o sin A sin B b 6 6 6 b.  C = 180o -  A -  B = 180o – 35,68o – 30o = 114,32o b c b  sin C 6  sin 114,32o 6  0,9113 5,4678 c.  c     10,94 sin B sin C sin B sin 30o 0,5 0,5 3. Diketahui  PQR dengan  P = 30o,  Q = 45o dan q = 7. Tentukanlah : a. Besar  R ! b. Panjang p dan r ! Penyelesaian : a.  R = 180o -  P -  Q = 180o – 30o – 45o = 105o b. - menentukan panjang p 3,5 p q q  sin P 7  sin 30o 7  0,5   p     4,95 o sin P sin Q sin Q sin 45 0,7071 0,7071 - menentukan panjang r q r q  sin R 7  sin 105o 7  0,9659 6,7613  r     9,56 sin Q sin R sin Q sin 45o 0,7071 0,7071 4..Diketahui  ABC dengan  B = 60o, a = 4 dan b = 7 Hitunglah besar  A ! Penyelesaian : a b a  sin B 4  sin60o 4  0,8660 3,464   sin A      0,4949 A  29,66 sin A sin B b 7 7 7 C Seekor laba-laba (A) menjaring seekor lalat (B) 5. dan seekor lebah (C). Apabila sudut BAC = 20o B dan jarak laba-laba (A) dengan lalat (B) = 6, jarak antara lalat (B) dengan lebah (C) = 5. Berapakah A jarak laba-laba (A) dengan lebah (C) ? Gambar 20 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

12

Rumus-rumus segitiga

Penyelesaian : Kejadian tersebut dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga berikut ini. C BC AB AB  sin A   sin C  ? 5 sin A sin C BC o 6  sin 20 6  0,3420 sin C    0,41 B 5 5 20o 6 C  24,23o A Gambar 21  B = 180o -  A -  C = 180o – 20o – 24,23o = 135,77o

AC BC BC  sin B 5  sin 135,77 o 5  0,6925 3,4625   AC      10,12 sin B sin A sin A sin 20o 0,3420 0,3420 Jadi jarak antara laba-laba dengan lebah adalah 10,12 2. ATURAN KOSINUS A. Contoh-contoh untuk pengantar. Untuk memudahkan kita dalam memahami Aturan Kosinus itu, perlu kita simak terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini : 1. Pada gambar 22,  ABC siku-siku di A, dengan b = 3 dan c = 4 . Hitunglah: C a. Panjang a ! b. Besar  B dan  C! b=3 a A

c=4 B Gambar 22

Penyelesaian : a. Dengan menggunakan Theorema Pythagoras diperoleh :

a  b 2  c 2  32  42  9  16  25  5 b. Dari gambar 22 diperoleh : b 3 sin B    0,6  B  36,87 o a 5 c 4 sin C    0,8  C  53,13o a 5

2. Pada gambar 23  ABC lancip dengan  A = 50o, b = 6 dan c = 5. a. Apakah sisi a , B dan  C dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1? b. Apakah sisi a , B dan  C dapat dihitung dg aturan sinus ?

C b=6

a

A

B c=5 Gambar 23 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

13

Rumus-rumus segitiga

Penyelesaian : a. Dalam hal di atas sisi a tidak dapat ditung dengan Theorema Pythagoras. Sudut B dan C tidak dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri. b. Dengan menerapkan aturan sinus pada  ABC di atas diperoleh : a b c   sin A sin B sin C a 6 5    o sin 50 sin B sin C Dari perhitungan di atas, terlihat bahwa dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung sisi a,  B dan  C. 3. Pada gambar 24,  ABC tumpul dengan a = 4, b = 5 dan c = 8. a. Apakah  A,  B dan  C dapat A dihitung langsung seperti pada contoh 1 ? b. Apakah  A,  B dan  C dapat c=8 dihitung dengan aturan sinus ? b=5 B

C a=4 Gambar 24

Penyelesaian : a. Sudut A, B dan C dalam hal di atas tidak dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri. b. Dengan menerapkan aturan sinus pada  ABC di atas diperoleh : a b c   sin A sin B sin C 4 5 8    sin A sin B sin C Ternyata dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung  A,  B dan  C. Dari contoh 2 di atas kita dapat meihat bahwa apabila dalam sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu maka unsur-unsur lainnya yang belum diketahui tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Demikian pula pada contoh 3 pada sebuah segitiga yang diketahui ketiga sisinya, unsur-unsur yang lainnya juga tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Untuk dapat menghitung unsur-unsur yang belum diketahui dalam segitiga pada contoh 2 dan 3 marilah kita simak uraian berikut ini : B. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) dan Buktinya. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) : Pada setiap segitiga, kuadrat sebuah sisi adalah sama dengan jumlah kuadrat-kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dengan dua kali hasil perkalian itu dengan kosinus sudut yang Dengan antara rumus sisi-sisi dapat ditulis (untuk segitiga ABC) : diapitnya. Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

14

Rumus-rumus segitiga

Dengan menggunakan rumus dapat dituiskan sebagai berikut : (i )

a 2  b 2  c 2  2bc. cos A

A. (ii )

b 2  a 2  c 2  2ac. cos B

B.

(iii )

c 2  a 2  b 2  2ab. cos C

(i )

cos A 

( ii ) ( iii )

b2  c2  a2 2 bc 2 a  c2  b2 cos B  2 ac 2 a  b2  c2 cos C  2 ab

Bukti : Dalam pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan cara 1, pembaca diharapkan dapat membuktikan dengan yang lain. i. Untuk  ABC lancip. (i)

C b

Pada gambar 25 (i) tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :

a

tc

2

A

D

(ii)

c

B

ta

- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh : 2

tc  b.sin A ------ (2)

A c

a 2  tc  (BD) 2 ------ (1)

- dan AD = b.cosA, sehingga BD = AB-AD = c – b.cosA ------(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

b

a 2  (b.sin A) 2  (c  b. cos A) 2 a 2  b 2 .sin 2 A  c 2  2bc. cos A  b 2 . cos 2 A B

E a

(iii)

C

a 2  b 2  c 2  2bc. cos A atau

B a

C

tb

F b

a 2  b 2 (sin 2 A  cos 2 A)  c 2  2bc. cos A

c

cos A 

b c a 2bc 2

2

2

A(i) dan B(i) terbutki

A

Gambar 25 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

15

Rumus-rumus segitiga

Pada gambar 25 (ii) ta adalah garis tinggi pada sisi a. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AEC diperoleh : 2

b 2  ta  (EC )2 ------ (1) - pada segitiga siku-siku BEA diperoleh : 2

t a  c. sin B ------ (2) - dan BE = c.cosB, sehingga EC = BC - BE = a – c.cosB ------(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

b 2  (c.sin B) 2  (a  c. cos B) 2 b 2  c 2 .sin 2 B  a 2  2ac. cos B  c 2 . cos 2 B b 2  c 2 (sin 2 B  cos 2 B)  a 2  2ac. cos B b 2  a 2  c 2  2ac. cos B atau cos B 

a c b 2ac 2

2

2

A(ii) dan B(ii) terbutki

Pada gambar 25 (iii) tb adalah garis tinggi pada sisi b. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AFB diperoleh : 2

c 2  tb  ( AF ) 2 ------ (1) - pada segitiga siku-siku BFC diperoleh : 2

tb  a.sin C ------ (2) - dan CF = a.cosC, sehingga AF = AC - CF = b – a.cosC ------(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

c 2  (a.sin C ) 2  (b  a. cos C ) 2 c 2  a 2 .sin 2 C  b 2  2ab. cos C  a 2 . cos 2 C c 2  a 2 (sin 2 C  cos 2 C )  b 2  2ab. cos C c 2  a 2  b 2  2ab. cos C atau cos C 

a b c 2ab 2

2

2

A(iii) dan B(iii) terbutki

ii. Untuk  ABC tumpul. C tc

a

Gambar 26

b D

A

c

B Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

16

Rumus-rumus segitiga

Pada gambar 26 tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh : 2

a 2  tc  (BD) 2 ------ (1) -

pada segitiga siku-siku ACD diperoleh : 2

tc  b.sin CAD  b.sin(180o  A)  b.sin A ------ (2) - dan AD = b.cosCAD = b.cos(180o-A) = b.(-cosA) = -b.cosA, sehingga BD = AB + AD = c + (- b.cosA) = c – b.cosA ------(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

a 2  (b.sin A) 2  (c  b. cos A) 2 a 2  b 2 .sin 2 A  c 2  2bc. cos A  b 2 . cos 2 A a 2  b 2 (sin 2 A  cos 2 A)  c 2  2bc. cos A a 2  b 2  c 2  2bc. cos A atau cos A 

b2  c 2  a 2 2bc

A(i) dan B(i) terbutki

A

B

ta c E

b B

a (i)

tb a C

F

c C

b (ii)

A

Gambar 27 Dengan cara yang sama dengan menggunakan gambar 27 (i) kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut : a 2  c 2  b2 b 2  a 2  c 2  2ac. cos B atau cos B  (Rumus A(ii) dan B(ii)) 2ac Dan dengan mengunakan gambar 27 (ii) kita akan mendapatkan hubungan : a 2  b2  c2 c 2  a 2  b 2  2ab. cos C atau cos C  (Rumus A (iii) dn B (iii) ) 2ab C. Penggunaan Aturan Kosinus Aturan kosinus dapat kita gunakan untuk menentukan unsur-unsur yang belum diketahui dari sebuah segitiga, jika diketahui : 1. dua buah sisi dan sebuah sudut yang diapit oleh kedua sisi itu. - sisi, sudut, sisi (ss, sd, ss) 2. ketiga buah sisinya - sisi, sisi, sisi (ss, ss, ss) Untuk lebih memahami penggunaan aturan kosinus, simaklah beberapa contoh berikut ini : Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

17

Rumus-rumus segitiga

1. Dalam kasus 1. Kita lihat contoh pada sub A contoh 2: Diketahui  ABC lancip dengan  A = 50o, b = 6 dan c = 5 . Tentukanlah : a. panjang sisi a ! b. besar  B dan  C! Penyelesaian : a. Untuk menghitung panjang sisi a, kita gunakan rumus : a 2  b 2  c 2  2bc. cos A a 2  62  52  2.6.5. cos 50o a 2  36  25  60.(0,6428) a 2  61  38,568 a 2  22,432 a  22,432 a  4,74 b. Untuk menghitung besar  B, kita gunakan rumus : a2  c2  b2 (4,74)2  52  62 22,4676  25  36 11,4676 cos B      0,2419 2ac 2.(4,74).5 47,4 47,4 cos B  0,2419 B  76o

Untuk menghitung besar  C , kita gunakan rumus : a2  b2  c2 (4,74)2  62  52 22,4676 36  25 33,4676 cosC      0,5884 2ab 2.(4,74).6 56,88 56,88 cosC  0,5884 C  53,96o 2. Dalam kasus 2, kita lihat contoh pada sub A contoh 3. Diketahui  ABC tumpul, dengan a = 4 , b = 5 dan c = 8. Hitunglah besar  A,  B,  C ! Penyelesaian : Untuk menghitung besar  A , kita gunakan rumus : b2  c2  a 2 52  82  42 25  64  16 73 cos A      0,9125 2bc 2.5.8 80 80 cosC  0,9125 C  24,15o

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

18

Rumus-rumus segitiga

Untuk menghitung besar  B, kita gunakan rumus : a2  c2  b2 42  82  52 16  64  25 55     0,8594 cos B  2ac 2.4.8 64 64 cos B  0,8594 B  30,75o Untuk menghitung besar  C , kita gunakan rumus : a2  b2  c2 42  52  82 16  25  64  23 cosC      0,575 2ab 2.4.5 40 40 cosC  0,575 C  125,09o 3. Pada ABC, lihat gambar 28 diketahui  A = 40o, b = 5 dan c = 6. tentukanlah panjang sisi a ! Penyelesaian : a 2  b 2  c 2  2bc. cos A a  5  6  2.5.6. cos 40 2

2

2

C b=5 A

o

a

40o

B c=6 Gambar 28

a 2  25  36  60  0,7660 a 2  61  45,96 a 2  15,04 a  15,04 a  3,88 4. Pada  ABC, diketahui a = 8 , b = 6 dan c = 10. Tentukanlah besar  C ! Penyelesaian : a2  b2  c2 cos C  2ab 2 8  62  102 cos C  2.8.6 64  36  100 cos C  96 0 cos C  96 cos C  0 C  90o Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

19

Rumus-rumus segitiga

5. Kota Q terletak 20 km disebelah utara kota P, dan kota R terletak 15 km disebelah barat laut dari kota P. Hitunglah jarak antara kota Q dan kota R ! Penyelesaian : Kejadian di atas dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga sebagai berikut : U Dari gambar 29 terlihat : PQ = r = 20 km Q PR = q = 15 km TL QPR = BPQ +  BPR = 90o + 45o = 135o 20 km Sehingga jarak kota Q dan kota R adalah QR B T QR2 = PQ2 + PR2 – 2.PQ.PR.Cos QPR P QR2 = 202 + 152 – 2.20.15.cos 135o 15 km QR2 = 400 + 225 - 600(-0,7071) R QR2 = 625 +424,26 S QR2 = 1049,26 BD QR = 1049,26 Gambar 29 QR = 32,39 Jadi jarak antara kota Q dan kota R adalah 32,39 km. 6. Perhatikan gambar 30. O adalah titik pusat lingkaran, dengan OP dan OQ adalah jari-jari lingkaran. Jika PQ = 3 dan OP = 2. Tentukanlah nilai cos ao !

2 P

O ao

2

3

Q

Gambar 30

Penyelesaian : Dari gambar 30 terlihat : PQ = sisi o = 3 OP = sisi q = 2 OQ = sisi p = 2  O = ao , maka : p2  q2  o2 cos O  2 pq 2 2  22  32 2.2.2 449 cos a o  6 1 cos a o  6 o cos a  0,125 cos a o 

Jadi cos ao = -0,125

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

20

Rumus-rumus segitiga

*) Petunjuk penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus: Apabila Anda dihadapkan pada suatu masalah yang berhubungan dengan penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus, apakah Anda sudah dapat menentukan rumus (aturan ) mana yang paling tepat untuk menyelesaikan masalah tersebut ?. Kalu belum perhatikan petunjuk di bawah ini : No. Dalam  ABC diketahui Ditanya Aturan yang digunakan 1 Sisi, sudut, sudut Aturan sinus (c dicari dulu) i). a, A,  C b, c, B Aturan sinus (b dicari dulu) ii). a,  B,  A b, c,  C Aturan sinus (a dicari dulu) iii). b,  A,  B a, c,  C Aturan sinus (c dicari dulu) iv). b,  B,  C a, c,  A Aturan sinus (a dicari dulu) v). c,  A,  C a, b,  B Aturan sinus (b dicari dulu) vi). c,  B,  C a, b,  A 2 Sudut, sisi, sudut i).  A, c,  B a, b,  C Aturan sinus (C dicari dulu) ii).  B, a,  C b, c,  A Aturan sinus (A di cari dulu) iii).  A, b,  C a, c,  B Aturan sinus ( B dicari dulu) 3 Sisi, sisi, sudut i). a, b,  A c,  B,  C Aturan sinus (B dicari dulu) ii). a, c,  C b,  A,  B Aturan sinus ( C dicari dulu) iii). b, c,  B a,  A,  C Aturan sinus ( C dicari dulu) iv). b, a,  B c,  A,  C Aturan sinus ( A dicari dulu) v). c, a,  C b,  A,  B Aturan sinus ( A dicari dulu) vi). c, b,  C a,  A,  B Aturan sinus ( B dicari dulu) 4 Sisi, sudut, sisi i). a,  C, b c,  A,  B Aturan kosinus (c dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus) Aturan kosius ( a dicari dulu ii). b,  A, c a,  B,  C dilanjutkan dengan aturan sinus) iii). c,  B, a b,  A,  C Aturan kosinus (b dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus) 5 Sisi, sisi, sisi a, b, c A, B, C Aturan kosinus

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

21

Rumus-rumus segitiga

3. LUAS SEGITIGA Di Sekolah Menengah Pertama, kita mengetahui bahwa luas daerah sebuah segitiga dapat dihitung, jika panjang alas dan tinggi pada alas tersebut diketahui, misalnya luas daerah segitiga ABC lancip seperti pada gambar 31 (i) maupun segitiga ABC tumpul seperti pada gambar 31 (ii) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : LuasABC 

(i)

A c

(ii) t

b

B

A t

C

1 at -------- (1) 2

c

b B

C

a

a Gambar 31 Dalam sub bab ini, kita akan mempelajari cara-cara perhitungan luas segitiga, jika tiga unsur yang terdapat dalam segitiga tersebut telah diketahui. Ketiga unsur yang diketahui itu kemungkinannya adalah : a. dua sisi dan satu sudut yang dipit oleh kedua sisi itu (sisi, sudut, sisi/ ss, sd, ss) b. dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu (sudut, sisi, sudut/sd,ss,sd). c. dua sisi dn satu sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu (sisi, sisi, sudut/ss,ss,sd). d. ketiga sisinya (sisi,sisi,sisi/ss,ss,ss) A. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu. Agar Anda memahami penurunan rumus luas segitiga yang diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, simaklah kembali dua buah segitiga pada gambar 31 di atas, t adalah garis tinggi dati titik A ke sisi BC (gambar 31 (i)) atau perpanjangan sisi BC (gambar 31 (ii)) yang panjangnya a. Dari gambar 31 tersebut kita peroleh hubungan sebagai berikut : t *) sin C   t  c.sin C sehingga b 1 Luas  ABC = at menjadi 2 1 LuasABC  a.b.sin C -------- (2) 2 t  t  c. sin B sehingga c 1 Luas  ABC = at menjadi 2

*) sin B 

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

22

Rumus-rumus segitiga

1 a.c. sin B -------- (3) 2 a b b.sin A *) dari aturan sinus :   sin B  sin A sin B a LuasABC 

sehingga

1 a.c. sin B menjadi 2 1 b. sin A LuasABC  a.c. 2 a LuasABC 

1 LuasABC  b.c. sin A ------ (4) 2

Contoh : Diketahui  ABC dengan a = 5 cm, b = 7 cm dan  C = 40o. Hitunglah luas  ABC tersebut ! Penyelesaian Dengan rumus (2) luas  ABC sama dengan : 1 LuasABC  a.b.sin C 2 1  LuasABC  .5.7. sin 40o 2 1  LuasABC  .5.7.(0,6428) 2  LuasABC  11,25 Jadi luas daerah segitiga ABC adalah 11,25 cm2 B. Luas segitiga , jika diketahui dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu. Jika pada sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya dan panjang sebuah sisinya yang terletak di antara kedu sudut itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung dengan rumus : a 2 .sin B.sin C LuasABC  ------ (5) 2.sin( B  C )

b 2 .sin A.sin C LuasABC  2.sin( A  C )

------ (6)

c 2 .sin A.sin B 2.sin( A  B)

------- (7)

LuasABC 

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

23

Rumus-rumus segitiga

Bukti : a c a.sin C a.sin C  c  , kemudian subtitusikan c  sin A sin C sin A sin A ke rumus (3) diperoleh : 1 a. sin C Dari hubungan A = 180o – (B + C) LuasABC  a. . sin B maka sin A= sin{180o – (B + C) 2 sin A

*) dari aturan sinus :

sin A = sin (B + C)

2

1 a .sin C. sin B LuasABC  . 2 sin A 2 1 a . sin C.sin B LuasABC  . 2 sin( B  C )

-------- rumus 5 terbukti.

b c b.sin C b.sin C  c , kemudian subtitusikan c  sin B sin C sin B sin B ke rumus (4) diperoleh : 1 b. sin C Dari hubungan B = 180o – (A + C) LuasABC  b. . sin A maka sin B= sin{180o – (A + C) 2 sin B

*) dari aturan sinus :

sin B = sin (A + C)

2

1 b . sin C. sin A LuasABC  . 2 sin B 2 1 b .sin A.sin C LuasABC  . -------- rumus 6 terbukti. 2 sin( A  C ) a c c. sin A c.sin A  a , kemudian subtitusikan a  sin A sin C sin C sin C ke rumus (3) diperoleh : 1 c. sin A Dari hubungan C = 180o – (A + B) LuasABC  . .c. sin B maka sin C = sin{180o – (A + B) 2 sin C

*) dari aturan sinus :

sin C = sin (A + B)

1 c 2 .sin A. sin B LuasABC  . 2 sin C 2 1 c .sin A.sin B LuasABC  . 2 sin( A  B)

-------- rumus 7 terbukti.

Contoh : Tetukanlah luas  ABC, jika diketahui  B = 60o,  C = 30o dan a = 8 cm ! Penyelesaian : Dengan rumus 5 luas  ABC adalah : 1 a 2 . sin C.sin B LuasABC  . 2 sin( B  C ) Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

24

Rumus-rumus segitiga

1 82.sin 60o.sin 30o  LuasABC  . 2 sin(60o  30o ) 1  LuasABC  .16 3  8 3 2 Jadi luas daerah  ABC sama dengan 8 3 cm2 C. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu. Jika pada sebuah segitiga diketahui panjang dua sisinya dan besar sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung melaui langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1 : - Kita tentukan sudut-sudut yang belum diketahui dengan aturan sinus. Langkah 2 : - Setelah semua sudut pada segitiga itu diketahui luas daerah segitiga dapat dihitung dengan salah satu dari rumus 2 s.d. 7 Contoh : Hitunglah luas  ABC, jika diketahui a = 6 cm, b = 4 cm dan  B = 40o ! Penyelesaian : Langkah 1 : menentukan  A dan  C dengan aturan sinus : a b a.sin B 6.sin 40o 6  0,6428 3,8568   sin A      0,9642  A  74,6o sin A sin B b 4 4 4 Atau  A = 180o – 74,6o = 105,6o  C = 180o -  A -  B = 180o – 74,6o – 40o = 65,4o atau  C = 180o -  A -  B = 180o – 105,6 – 40o = 34,6o Langkah 2 : Menghitung luas ABC dengan rumus (2) : - Untuk  C = 65,4o 1 a .b . sin C 2 1 Luas  ABC   6  4  sin 65 , 4 o 2 Luas  ABC  12  0 , 9092 Luas  ABC  10 , 9 Luas  ABC 

Jadi untuk  C = 65,4o luas  ABC = 10,9 cm2 - Untuk  C = 34,6o 1 a.b. sin C 2 1 Luas  ABC   6  4  sin 34 ,6 o 2 Luas  ABC  12  0,5678

Luas  ABC 

Luas  ABC  6 ,8

Jadi untuk  C = 34,6o luas  ABC = 6,8 cm2 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

25

Rumus-rumus segitiga

D. Luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a , sisi b dan sisi c, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus : LuasABC  s ( s  a )( s  b)( s  c) dengan

s

1 (a  b  c) 2

--------- (8)

Bukti : Dari hubungan sin2A + cos2 A = 1  sin2 A = 1 – cos2 A  sin2 A = (1 + cos A)(1 – cos A) b2  c 2  a 2 dan hubungan cos A  diperoleh : 2bc   b 2  c 2  a   b 2  c 2  a 2    1     sin 2 A  1   2 bc 2 bc      2 2 2 2 2  2 bc  b  c  a   2 bc  b  c  a 2  sin 2 A     2 bc 2 bc     b 2  2 bc  c 2  a 2   a 2  ( b 2  2 bc  c 2 )  sin 2 A     2 bc 2 bc     (b  c ) 2  a 2   a 2  ( b  c ) 2  sin 2 A     2 bc 2 bc    ( )( ) ( b c a b c a a b  c )( a  b  c )         sin 2 A     2 bc 2 bc     ( b  c  a )( b  c  a )( a  b  c )( a  b  c )  sin 2 A    ( 2 bc ) 2   1 sin A  ( b  c  a )( b  c  a )( a  b  c )( a  b  c ) 2 bc 1 dengan mengambil s  (a  b  c) 2 1).( a  b  c )  2 s 2 ).( b  c  a )  ( a  b  c )  2 a  2 s  2 a  2 ( s  a ) 3 ).( a  b  c )  ( a  b  c )  2 c  2 s  2 c  2 ( s  c ) 4 ).( a  b  c )  ( a  b  c )  2 b  2 s  2 b  2 ( s  b ) sehingga 1 2 s . 2 ( s  a ). 2 ( s  c ). 2 ( s  b ) 2 bc 1 sin A  16 s ( s  a )( s  b )( s  c ) 2 bc 4 sin A  s ( s  a )( s  b )( s  c ) 2 bc 2 sin A  s ( s  a )( s  b )( s  c ) bc

sin A 

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

26

Rumus-rumus segitiga

Dengan mengambil rumus (4) 1 2 Luas  ABC = b.c.SinA dan kita substitusikan sin A  s ( s  a )( s  b)( s  c) 2 bc Kita peroleh : 1  2  LuasABC  b.c. s ( s  a )( s  b)( s  c)  2  bc 

LuasABC  s ( s  a)( s  b)( s  c)

(terbukti).

Contoh : Hitung luas  ABC, jika diketahui panjang a = 5 cm, b = 6 cm dn c = 7 cm ! Jawab : 1 1 1 s  (a  b  c)  (5  6  7)  (18)  9 2 2 2 s – a = 9 – 5 = 4, s – b = 9 – 6 = 3, s–c=9–7=2 sehingga luas  ABC adalah : LuasABC  s ( s  a)( s  b)( s  c)

LuasABC  9  4  3  2 LuasABC  216 LuasABC  6 6 Jadi luas  ABC = 6 6 cm2 E. Luas segitiga , jika diketahui ketiga sudutnya dan jari-jari ingkaran luarnya. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui besar ketiga sudutnya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus : Luas  ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC

-------- (9)

Bukti: Dari aturan sinus :

a  2 R  a  2 R. sin A sin A

b  2 R  b  2 R. sin B sin B Substitusikan nilai a dan b di atas ke dalam rumus (2) : 1 Luas  ABC = a.b.sinC deiproleha : 2 1 Luas  ABC = .2R.sinA.2R.sinB.sinC 2 Luas  ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC (terbukti)

Dan

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

27

Rumus-rumus segitiga

Contoh : Diketahui segitiga ABC, dengan  A = 50o,  B = 60o dan  C = 70o dan jari-jari lingkaran luarnya R = 8 cm. Hitunglah luas  ABC tersebut ! Penyelesaian : Luas  ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC Luas  ABC = 282sin50osin60osin70o Luas  ABC = 2640,76600,86600,9397 Luas ABC = 79,79 Jadi luas  ABC = 79,79 cm2 F. Luas Segitiga jika diketahui ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran luarya. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus : LuasABC 

abc 4R

-------- (10)

Bukti : Dari rumus (9) Luas  ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC dan aturan sinus a b c sin A  , sin B  , sin C  diperoleh 2R 2R 2R  a  b  c  LuasABC  2 R 2      2 R  2 R  2 R  2 R 2 abc LuasABC  8R3 abc LuasABC  ------- (terbukti) 4R Contoh : Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm , b = 7cm, c = 5 cm dan jari-jari lingkaran luarnya 5 cm. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut ! Penyelesaian : abc LuasABC  4R 5 75 LuasABC  45 165 LuasABC  20 LuasABC  8,25 Jadi luas  ABC = 8,25 cm2 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

28

Rumus-rumus segitiga

G. Menentukan luas segiempat dan segibanyak beraturan dengan menggunakan rumus luas segitiga. i.Luas Segiempat. Perhatikan gambar 32. ABCD adalah sebuah segiempat sembarang. P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Misalkan  DPA = , maka : Luas  DAC = Luas  ADP + Luas  CDP 1 1 = PD.AP.sin  + DP.PC.sin(180o-) 2 2 1 1 = PD.AP.sin  + DP.PC.sin  2 2 1 = PD.(AP+PC).sin  2 1 = PD.AC.sin  2 Dengan cara yang sama dapat diperoleh : 1 Luas  ABC = BP.AC.sin  2 Luas segiempat ABCD = Luas  DAC + Luas  ABC 1 1 = PD.AC.sin  + BP.AC.sin  2 2 1 = AC.(BP+PD).sin  2 1 = AC.BD.sin  2 1 Jadi luas segiempat ABCD = AC.BD.sin  atau 2 Luas suatu segiempat sama dengan setengah dari perkalian antara diagonaldiagonalnya dengan sinus sudut yang diapit oleh diagonal-diagonal tersebut. Contoh : 1. Tentukanlah luas segiempat ABCD, jika panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10 cm dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dan BD = 60o ! Penyelesaian : 1 AC.BD.sin  2 1 = 610sin 60o 2 = 30 0,8660 = 25,98 Jadi luas segiempat ABCD = 25,98 cm2

Luas segiempat ABCD =

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

29

Rumus-rumus segitiga

2. Pada segiempat PQRS (Gambar 33). PQ = 6 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm dan SP = 5 cm, serta  P = 100o. Hitunglah : c. Luas segiempat PQRS. a. panjang QS b. Besar  R Penyelesaian : P 5 100o 6 S

Q 5

4 R Gambar 33

a. Pada  PQS : QS2 = PQ2 + QS2 – 2.PQ.PS.cos P QS2 = 62 + 52 – 2.6.5.cos 100o QS2 = 36 + 25 – 60.(-0,1736) QS2 = 61 + 10,42 QS2 = 71,42 QS = 71,42 QS = 8,45

Jadi panjnag QS = 8, 45 cm. b. Pada  QRS : QR2  SR2  QS2 42  52  (8,45)2 16  25  71,42  30,42 cos R =     0,7609 2.QR.SR 2.4.5 40 40  R = 139,5o c. Luas segiempat PQRS = Luas  PQS + Luas  QRS 1 1 Luas  PQS = .PQ.PS .sin P   6  5  sin 100o  15  0,9848  14,77 2 2 1 1 Luas  QRS = .QR.RS . sin R   4  5  sin 139,5o  10  0,6494  6,5 2 2 Jadi luas segiempat PQRS = 14,77 + 6,5 = 21,27 cm2 ii. Luas Segilima beraturan D

E

s

r

r

O 

s

s

r A

r

C

r s

Gambar 34

s B

Gambar 34 menunjukkan sebuah segilima beraturan ABCDE dengan titiktitk sudutnya terletak pada ling-karan yang berjari-jari r. O adalah titik pusat lingkara dan s adalah panjang sisi segilima ABCDE. AOB = BOC = COD = DOE = 360o EOA =  72o 5 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

30

Rumus-rumus segitiga

Pada segilima ABCDE terdapat 5 segitiga yang sama dan sebangun (kongruen). Kita ambil salah satu dari segitiga tersebut yaitu  AOB 1 Luas  AOB = .OA.OB. sin  2 1 = .r.r.sin 72o 2 1 = .r 2 . sin 72 o 2 1 Luas segilima ABCDE = 5 x luas  AOB = 5  .r 2 . sin 72 o 2 Jadi luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran 5 luarnya = r 2 sin 72o 2 Ingat : Segitiga AOB adalah segitiga sama kaki, sehingga  OBA = 1 1 1  OAB =  = (180o   )  (180o  72o )   108o  54o 2 2 2 Dengan menggunakan salah satu rumus luas segitiga no. 5 , 6 tau 7, kita peroleh : 1 AB 2 .sin  .sin  LuasAOB  . 2 sin(    )

1 s 2 .sin 54o.sin 54o LuasAOB  . 2 sin(54o  54o ) 1 s 2 . sin 2 54o LuasAOB  . 2 sin 108o 1 s 2 .sin 2 54o Sehingga luas segilima ABCDE = 5  luas  AOB = 5  . 2 sin 108o Jadi luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisi5s 2 sin 2 54o sisinya = 2 sin 108o Contoh : 1. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 cm ! Penyelesaian : Luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 adalah = 5.s 2 sin 2 54o 5  62  (0,8090) 2 5  36  0,6545 117,81     61,93 2 sin 108o 2  0,9511 1,9022 1,9022 Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 61,93 cm2 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

31

Rumus-rumus segitiga

2. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm ! Penyelesaian : Luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah 5.r 2 sin 72o 5  102  0,9511 475,55 =    237,78 2 2 2 Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 237,78 cm2 iii. Luas segienam beraturan. Perhatikan gambar 35. U s T Dalam lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r terdapat segienam s r r s beraturan PQRSTU dengan panjang sisi s. P r  O r S o 360  60o s r r s Dari gambar jelas bahwa  = 6 1 sedangkan  = (180o  60o )  60o Q s R 2 Karena  =  = 60o , maka  POQ adalah Gambar 35 segitiga sama sisi Di dalam segienam PQRSTU terdapat 6 buah segitiga yang sama dan sebangun (kongruen). Salah satu dari segitiga tersebut kita ambil untuk mencari luasnya, misal  POQ. 1 LuasPOQ  .OP.OQ. sin  2 1 LuasPOQ  .r.r.sin 60o 2 r 2 . sin 60o LuasPOQ  2 r 2 .sin 60o 6.r 2 .sin 60o Sehingga luas segienam PQRSTU = 6  luas  POQ = 6   2 2 Jadi luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran 6.r 2 .sin 60o luarnya r adalah 2 Atau dengan menggunakan rumus luas segitiga no. 5, 6, atau 7 kita peroleh : Luas  POQ 

PQ 2 . sin  . sin  2 . sin(    )

Luas  POQ 

s 2 sin 60 o . sin 60 o 2 . sin( 60 o  60 o )

Luas  POQ 

s 2 . sin 2 60 o 2 . sin 120 o Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

32

Rumus-rumus segitiga

Luas segienam PQRSTU = 6  luas  POQ = 6 

s 2 .sin 2 60o 6.s 2 .sin 2 60o  2.sin 120o 2.sin 120o

Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya s adalah 6.s 2 . sin 2 60o 2. sin 120o Contoh : 1. Hitunglah luas segiena beraturan, jika diketahui panjang jari-jari lingkaran luarnya r = 8 cm !. Penyelesaian : Luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran luarnya r = 8 cm 6.r 2 . sin 60o 6  82. sin 60o 6  64  0,8660 332,54 adalah     166,27 cm2 2 2 2 2 2. Hitunglah luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm !. Penyelesaian : Luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm adalah 6.s 2 . sin 2 60o 6  82. sin 2 60o 6  64  (0,8660) 2 332,54     166,27cm 2 2. sin 120o 2.sin 120o 2  0,8660 2 iv. Luas segi-n beraturan. Perhatikan kembali rumus luas segilima dan segienam beraturan berikut ini :  360o  2   5 . . sin r 5  5r 2 sin 54o   Luas segi lim a beraturan  2 2  360o  2   6 . . sin r 6  6.r 2 .sin 60o  Luas segienam beraturan   2 2 Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan rumus luas segi-n beraturan sebagai berikut : 360o n.r 2 . sin n Luas segie  n beraturan  2 Kemudian kita perhatikan juga rumus luas segilima dan segienam beraturan yang kedua :

  (5  2).180O    sin    s 5 . .  2 . 5 5s 2 sin 2 54o    beraturan   o o 2 sin 108  (5  2).180   2. sin  5  

2

2

Luas

segi lim a

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

33

Rumus-rumus segitiga

2

  (6  2).180o    sin    s 6 . .  2.6 6.s 2 .sin 2 60o    Luas segienam beraturan   o o 2.sin 120  (6  2).180   2. sin  6   Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan luas segin beraturan sebagai berikut : 2

  (n  2).180o     n.s . sin   2.n    beraturan   (n  2).180o   2.sin  n  

2

2

Luas

segi  n

Catatan : n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 2 (n  2), r adalah jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan tersebut dan s adalah panjang sisi segi-n beraturan tersebut. Contoh : 1. Hitunglah luas segi-7 beraturan yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berjari-jari r = 10 cm ! Penyelesaian : Luas segi-7 beraturan yang berjari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah o  360  2 7.r . sin   2 o  7   7  10 . sin 51,43  700  0,7818  574,26  273,63 cm 2 2 2 2 2 2. Hitunglah luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm ! Penyelesaian : Luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm adalah 2

2

  (n  2).180o     (9  2).180o     7  180o   2  sin   sin       n.s . sin 9 30 . 9 900 .       18   2.n 29            o o o  (n  2).180   (9  2).180   7  180     2.sin 2.sin 2.sin n 9      9 

2

2



8100.(sin 70o )2 8100  (0,9392)2 8100  0,8830 7152,2     5563,39 2.sin140o 2  0,6428 1,2856 1,2856

cm2

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

34

Rumus-rumus segitiga

DAFTAR PUSTAKA 1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 1981 2. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 1980 3. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc, Erlangga, 1991 4. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 1993 5. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 1988 6. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta, 1952 7. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon Group Bandung, 1991. 8. Trigonometri, CJ. Alders, 9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982

Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected]

35