Rumus Matematika Geometri Dimensi Dua

C. MENERAPKAN KONSEP M A T R I K S 1. Pengertian Matriks Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut. Jenis Kelamin Kelas II Ak 1 II Ak 2 Jumlah

Putra

Putri

Jumlah

28 32 60

15 10 25

43 42 85

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks. Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa ( ) , kurung siku [ ] , atau kurung bergaris dua . 28  Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut 32 60 

15 10 25

43   42  85  

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya. Contoh : 2 3 1 ← baris ke-1  A =  4 5 6 ← baris ke-2   ↓

↓

↓

Kolom Kolom Kolom Ke-1 Ke-2 Ke-3 Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 ×3, ditulis A2×3 atau ( a 23 ) . Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut. 2. Hubungan Matriks Dengan Matriks. Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B

Contoh : 2 0

A=  

1 3

3  dan B = 2 

3  5 

2 4

1  6 

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 ×3 Definisi: Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika : a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama. 2. Macam-Macam Matriks 1. Matriks Baris Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris Contoh : A = (1 5 3 − 2 ) 2. Matriks Kolom Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom  2    Contoh : A =  1  −3   

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom  1  Contoh : A =  2 − 2 

3 4 3

5  0  , jumlah baris = jumlah kolom 7 

4. Matriks Nol Matriks Nol adalah Suatu matriks dengan huruf O. 0 0

Contoh : O2×3 =  

0 0

m × n yang setiap unsurnya 0 berordo m × n ,ditulis

0  0 

5. Matriks Segi Tiga Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .  2   3 Contoh : C =  −9   4 

0 7 5 1

0 0 8 −3

0  0 , 0  5 

8  0 D=  0  0 

2 6 0 0

1 5 3 0

−3  4  7   9  

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas. 6. Matriks Diagonal Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. 5  0 Contoh : E =  0  0 

0 7 0 0

0 0 −2 0

0  0 0  8 

7. Matriks Skalar Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. 7  0 Contoh : F =  0  0 

0 7 0 0

0 0 7 0

0  0 0  7 

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I. 1  Contoh : I3 = 0 0 

0 1 0

1  0 , I4 =  0  0 

0  0 1 

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 0  1 

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4 9. Matriks Simetris Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga a ij = a ji . 1  3 Contoh : G =  2  5 

3 4 6 9

2 6 7 10

5  9 8  2 

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9. 10. Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom . 3

1

2

Contoh : H 2×3 =  5 4 6     11. Matriks Tegak Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh : K 3×2

5  = 2 9 

6   1  −7  

12. Matriks Transpos ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A. 1  Misal Matriks A = 9 0 

−2

5

1 3

4 −2

8   2  −3  

 1   −2 t Maka Transpos A adalah A =  5   8 

9 1 4 2

0   3  − 2  − 3 

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3 Sifat-sifat matriks transpos 1) ( A + B )t = At + Bt 2) ( At )t = A 3) ( AB )t = Bt At 3. Operasi Matriks 1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks. Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan. 3 5

Contoh : Jika A =  

2 4

1  dan B = 6 

 7  − 2 

5 1

−3   0  

 3+7 Maka A + B =   5 + ( − 2)  3−7 A – B =   5 − ( − 2)

2 + 5 1 + ( − 3)  10  = 4 +1 6 + 0   3 2 − 5 1 − ( − 3)   − 4 = 4 −1 6 − 0    7

7 5 −3 3

−2   6   4  6 

Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks 1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif) 2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif) 3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah) 2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks kA

Jika A suatu ordo m × n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka

adalah metriks ordo m × n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar. ka12   a11 a12   ka  , maka: kA =  11  Jadi, jika A =   a21 a 22   ka 21 ka 22  2 1

Contoh : Misal A =  

−1 3

0  maka 3A = 3 2 

2  1 

−1 3

0  6 =   2  3

−3 9

0  6 

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real. Jika a dan b bilangan real, maka : 1) ( a + b )A = aA + bA 2) a ( A + B ) = aA + aB 3) a( bA ) = (ab)A 3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks) Matriks A yang berordo m × p dangan suatu matriks B yang berordo p × n adalah matriks C yang berordo m × n. A m × p.B p × n = C m × n. Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

 a11 Secara umum jika A =   a 21  b11  B =  b21 b  31

a12 a 22

a13   a 23 

→ ordo matriks 2 × 3

b12   b22  b32 

→ ordo matriks 3 × 2

C=A.B  c11 c12   =   c21 c22 

→ ordo matriks 2 × 2

Dimana c11 = a11 .b11 +a12 .b21 +a13 .b31 c12 = a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32 c 21 = a 21 .b11 + a 22 .b21 + a 23 .b31 c 22 = a21 .b12 + a 22 .b22 + a23 .b32

Menentukan Determinan dan Invers 1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2 a c

Matriks A =  

b  d 

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping disebut determinan matriks A. Notasi determinan matriks A adalah A atau det A = ad – bc 4. Menentukan Determinan dan Invers 1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2 a c

Matriks A =  

b  d 

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping disebut determinan matriks A. Notasi determinan matriks A adalah A atau det A = ad – bc  1  −3

Contoh : Jika A =  

2 1  maka det A = −3  4

2 4

= ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6 = 10 2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3  a11  Matriks A =  a 21 a  31

a12 a 22 a32

a13   a 23  a33 

Cara menentukan det A sebagai berikut : Cara 1 : det A = a11

a22 a32

a 23 a − a12 21 a33 a31

a 23 a + a13 21 a33 a31

a22 a32

= a11 ( a22 .a33 − a23 .a32 ) − a12 ( a21 .a33 − a23 a31 ) + a13 ( a21 a32 − a22 a31 ) Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus a11 det A = a 21 a31

-

-

a12 a22

a13 a 23

a11 a 21

a12 a 22

a32

a33

a31

a32

-

+

+

+

=

a11 .a 22 .a33 +a12 .a 23 .a31 +a13 .a 21 .a32 −a13 .a 22 .a31 −a11 .a 23 .a32 −a12 .a 21 .a33

3). Invers Matriks Bujur Sangkar Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas. 3 1

5  dan B = 2  −5  3 2 Maka BA =  −1 3      1

Contoh : Misal A =  

2  −1  5 = 2 

−5   3   1 0   0 1   =I  

Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A

-1

maka A-1A = I a c

b  maka invers A (ditulis A-1) d  −b  d 1   A −1 = dan dirumuskan  a  ad − bc  − c 

Jika A =  

Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A. a c

Matriks  

b  mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) d  a c

Jika (ad – bc) = 0 maka matriks   .

≠ 0.

b  tidak mempunyai invers.Matriks yang d 

determinannya = 0, dinamakan matriks Singular. Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks 1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut

ax +by = c px + qy = r

Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan D= Dx = Dy =

a

b

p

q

c

b

r a

q c

p

r

= a.q −b. p = c.q −b.r = a.r − c. p

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan x =

Dx Dy dan y = D D