Rpp Pertemuan 5 Sebaran Sampel.docx

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( RPP )

Mata Kuliah

: Statistika Dasar

Semester

: V (Lima)

Bobot

: 3 SKS

Pertemuan

: VI (Enam)

Alokasi Waktu

: 3x 50 menit

Standar Kompetensi

: Memahami Pengertian Sebaran Sampel

Kompetensi Dasar

: Menjelaskan perbedaan antara sebaran rataan, sebaran selish rataan,sebaran proporsi sebaran selisih proporsi, sebaran T=

x S

n

dan

sebaran simpangan Baku Indikator

: -Memahami Pengertian sebaran sampel -Mengidentifikasi jenis-jenis sebaran dan teorema sebaran -Menghitung Rataan dan Varians dari sebaran rataan,sebaran selisih rataan,sebaran proporsi, sebaran selisih proporsi, sebaran T=

x S

n

dan sebaran simpangan baku

I.Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan mampu: -

Mengidentifikasi jenis-jenis sebaran dan teorema sebaran

-

Menjelaskan dan memahami serta membedakan sebaran proporsi,sebaran selisih proporsi, dan sebaran simpangan baku

II. Materi Pembelajaran 5.1 Pengertian Sebaran Sampel 5.2 Sebaran Rataan 5.3 Sebaran Selisih Rataan 5.4 Sebaran Proporsi 5.5 Sebaran Selisih Proporsi 5.6 Sebaran T

𝑋−𝜇 𝑆 √𝑛

5.7 Sebaran Simpangan baku III. Metode Pembelajaran -

Diskusi

-

Tanya jawab

-

Evaluasi

IV. Langkah-Langkah Pembelajaran A. Kegiatan Awal

: Kebaktian Singkat

B. Kegiatan Inti

: Menjelaskan materi pembelajaran

C. Kegiatan Akhir

: Evaluasi/Kuis

V. Sumber Pembelajaran

: Buku paket Statistika oleh Hotman Simbolon

VII Tanggal Pertemuan

: 2 Oktober 2018

VII.URAIAN MATERI SEBARAN SAMPEL 5.1. Pengertian Sebuah Sampel. Pengambilan sampel dari suatu populasi mempunyai kemampuan beberapa cara tergantung pada ketentuan sampel yang didefenisikan, sehingga statistic tertentu dari sampel ke sampel merupakan peubah acak ini dinamakan sebaran sampel.

D.5.1. Defenisi antara statistik merupakan peubah acak yang hanya tergantung pada sampel acak yang diambil. D.5.2. Defenisi sebaran peluang suatu statistik disebut sebaran sampel. D.5.3. Rata-rata sebaran sampel suatu statistik disebut rata-rata statistik tersebut. D.5.4. Varians sebaran sampel suatu statistik disebut varians statistik tersebut.

5.2. Sebaran Rataan Untuk memudahkan pengertian, perhatikanlah suatu populasi X={2,3,5,6}, n(x)=N=4, E(X2)= 22 ¼ + 32 . ¼ + 52 . ¼ + 62 . ¼ = 18 dan μ = 4 Ơ2x =E ( X 2)- μ2 = (22 ¼ + 32 . ¼ + 52 . ¼ + 62 . ¼)-16 = 2,5 Sampel diambil berukuran n =2 sekaligus tanpa pengembalian, kemudian diambil rata-rata sampel . Segala kemungkinan pengembalian sampel tanpa pengembalian adalah ={(2,3), (2,5), (2,6), (3,5),(3,6),(5,6) } dengan menggunakan pengertian rata-rata sampel



x n

diperoleh rata-rata . { X 1=2½, X 2=3½ X 3=4, X 4=4, X 5=4½, X 6=5½ }= X

adaalah peubah acak untuk sebaran rataan, masing-masing peluang adalah

1

6

D.5.5 Defenisi : Sebaran yang peubah acak adalah semua rataan sampel berukuran tertentu dari sesuatu populasi disebut sebaran sampel rataan disingkat sebaran rata-rata.

Hubungan rata-rata variasi sebaran rata-rata dengan rata-rata atau variasi populasi dapat diikuti lanjutan ilustrasi berikut.

Sampel

Peubah

Peluang peubah

Rata-rata X

acak

rata-rata

rata-rata

peluang

X

P( X )

= f( x )

(2,3) ………….. 2½ …………………P( 2½ ) =

1

(2,5)……………3½ ………………….P( 3½ ) =

1

(2,6) ……………4 ………………….P( 4 )

1

=

6

X.

P( X )

…………………..2½ / 6

6

…………………..3½ / 6

6

…………………..

4/ 6

(3,5) ……………4 ………………….P( 4 )

=

1

(3,6) ……………4½………………….P(4½)

=

1

(5,6)…………….5½………………….P(5½)

=

1

Rata-rata dari peubah rata-rata



=

24

x

6

6

…………………..

4/ 6

6

…………………..4½ / 6

6

…………………..5½ / 6

=4.

 x    6

=

Ternyata :

x

x

dan 

2 x

=   =

=

6



Secara sistematis dapat diturunkan :

T.5.1 Teorema :

i

i 1

=

2 x



5 6

2

N n n N 1

=

x

x

x

2

N n n N 1 Dan untuk N menuju tak hingga atau cukup besar atau bila. 2

T.5.2 Teorema :

x

x



2

n 2 x  o, o5 gunakan saja  x = N n T.5.3 Teorema : Bila populasi menyebar normal maka sebaran rataanpun normal

(ukuran sampel tidak dipersoalkan ) dengan rataan Varians 

2

x

x

,

2 x

. n T.5.4 Teorema : Bila x rataan sampel acak aturan n diambil dari populasi yang berhingga maka limit sebaran Z = x      n  , n   adalah sebaran normal baku ( 2,0,1 ) . Teorema ini dikenal dengan T. limit sentral. x

=



=



5.3. Sebaran Selisih Rataan Misalkan dua populasi berbeda dengan peubah acak X dan Y , rata-rata Varians



1

dan 2 berturut dari populasi pertama diambil sampel berukuran

populasi kedua diambil brukuran

 dan  1

n

1

2

dan dari

n . Sebaran rataan mempunyai data selisih dari semua 2

kemungkinan rataan dari setiap sempel acak dari populasi pertama dengan tiap sampel acak

dari populasi kedua, Sebagai ilustrsi ambil populasi pertama X= 2,3,6,7,8} ,

{ 6,7,9,10 } dan Y={

n =2 dan n = 4, pengambilan sekaligus tanpa pengambilan . 2

1

Sampel

Sampel

X

Y

(6,7 ) ........... 6½

(2,3,6,7)……………..4½

(6,9 )………. 7½

(2,3,6,8)……………..4¾

(6,10) ……... 8

(2,6,7,8)……………..4¾

(7,9 ) ……… 8

(2,3,7,8)……………..5

(7,10) ……… 8½

(3,6,7,8)……………..6

(9,10) ……… 9½ X - Y =U ij

x  y , i = 1,2,3,4,5,6,… i

i

j = 1,2,3,4,5,…

{ (6½ - 4½), (6½ - 4¾), (6½ - 4¾), (6½ - 5), (6½ - 6), (7½ - 4½), (7½ - 4¾), (7½ - 5), (7½ - 6), (8 - 4½), (8 - 4¾), (8 – 5), (8 – 6), (8 - 4½), (8 - 4¾), (8 - 4¾), (8 – 5), (8 – 6), (8 4½), (8½ - 4¾), (8½ - 5), (8½ - 6), (9½ - 4½), (9½ - 4¾), (9½ - 4¾),(9½ - 5), (9½ - 6) }. X - Y = { 2,1¾, 1¾, 1½, 1½, 3, 2¾, 2¾, 2½, 1½, 3½, 3 1 4 , 3 1 4 , 3,2, 3½, 3 1 4 , 3 1 4 ,3,2,

3½, 3 1 4 , 3 1 4 ,3½, 2½, 5, 4¾, 4¾, 3½ }

D.5.6. Defenisi : Sebaran yang peubah acaknya adalah selisih peubah acak antara dua sebaran rataan dari dua populasi disebut sebaran sampel selisih rataan disingkat sebaran selisih rataan. T.5.5. Teorema : Sebaran sampel bebas dari selisih rataan X - Y mengahampiri 2 2 sebaran normal. Rataan dan varians adalah :  =  x   y ;  2x  y   1   2 dan x y n1 n2 X  Y  1   2  Z menghampiri sebaran normal baku.





 12   22

n1 n2 Teorema T.5.6. Berlaku untuk variansi dan Z jumlah rata-rata X  Y , sadangkan  x y   x   y

Contoh 5.2. Dari dua populasi X = {6,7,9,10} dan Y = {2,3,6,7,8} diambil sampel berturut berukuran 2 dari X dan 4 dari Y . Hitunglah rata – rata dari variasi selisih sampel .

Jawab : Dari defenisi ekspektasi dan variasi dapat dihitung rata – rata dan varians populasi .

 x2 = 2,5

x = 8 ;

 

x y

2 x y

=  x   y = 8- 5 =

dan

v = 5

1 5

;  y2 = 5

9 = 5,36. 25

1 4 = 2 = 2,80 5 5

2 9  2x   y = 2,5  5 25 = 2,59 2 4 n1 n2

5.4. Sebaran Proporsi Misalkan suatu pupulasi X berukuran N dan terdiri dari k objek atau peristiwa A adalah P(A) =

K disimbolkan  . Jika diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian N

maka ada banyak Xi peristiwa A, 0  X i  n atau Pi = X i merupakan peubah acak n proporsi. D.5.7. Defenisi : Sebaran yang peubah acaknya adalah proporsi suatu peristiwa (x) pada sampel berukuran tertentu (n) \; symbol proporsi : X n

Contoh 5.3 Dalam suatukelas ada2 orang wanita dan 4 orang pria,dari antara mereka dibutuhkan tiga orang utusan seminar.ragakanlah peubah acak proporsi wanita terpilih dalam utusan itu. Jawab: Namakan lah wanita dengan 𝑊1 , 𝑊2 ,dan pria dengan 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , dan 𝑃4 ,banyaknya cara pemilihan itu adalah(63)= 20 cara

Pilihan yang mungkin

Proporsi Wanita

𝒙

Peubah acak

P(𝒏)

𝑃1 = 2⁄3

4⁄ 20

𝑃2 = 1⁄3

12⁄ 20

𝑃3 = 0⁄3

4⁄ 20

adalah

1.𝑊1 𝑊2 𝑃1

2⁄3

2.𝑊1 𝑊2 𝑃2

2⁄3

3. 𝑊1 𝑊2 𝑃3

2⁄3

4. 𝑊1 𝑊2 𝑃4

2⁄3

5. 𝑊1 𝑃1 𝑃2

1⁄3

6. 𝑊1 𝑃1 𝑃3

1⁄3

7. 𝑊1 𝑃1 𝑃4

1⁄3

8. 𝑊1 𝑃2 𝑃3

1⁄3

9. 𝑊1 𝑃2 𝑃4

1⁄3

10. 𝑊1 𝑃3 𝑃4

1⁄3

11. 𝑊2 𝑃1 𝑃2

1⁄3

12. 𝑊2 𝑃1 𝑃3

1⁄3

13. 𝑊2 𝑃1 𝑃4

1⁄3

14. 𝑊2 𝑃2 𝑃3

1⁄3

15. 𝑊2 𝑃2 𝑃4

1⁄3

16. 𝑊2 𝑃3 𝑃4

1⁄3

17. 𝑃1 𝑃2 𝑃3

0⁄3

18. 𝑃1 𝑃2 𝑃4

0⁄3

19. 𝑃1 𝑃3 𝑃4

0⁄3

20. 𝑃2 𝑃3 𝑃4

0⁄3

T.5.6. Teorema : Rataan dan varians suatu sebara proporsi x proporsi dalam populasi =  N n  2x =  1    n n N 1

n

adalah  x parameter n

Akibat T.5.6 Jika N menuju tak hingga atau cukup besar dibandingkan dengan ukuran sampel n  0,05 maka N  x = parameter proporsi dalam populasi = 





n

1    }  2x = {  n n

T.5.7 Teorema transformasi sebaran proporsi x

n

dengan Z 

x

n   menghampiri

 xn

n(Z;0,1)

5.5 Sebaran Selisih Proporsi D.5.8 Defenisi : Sebaran yang peubah acaknya adalah selisih peubah acak proporsi dari dua dua populasi disebut sebaran selisih proporsi disimbolkan antara lain x  y n1 n2

T.5.8 Teorema : Rata-rata dan varians sebaran selisih adalah  sp   x   y

 2sp =

 1 1   1   2 1   2  n1

n2

T.5.9 Teorema : Jika ukuran sampel dua sebaran proporsi besar atau maka sebaran  x  y      1  2 n1 n2  selisih proporsi mendekati normal, Z=  dan  sp

Contoh bersebaran normal baku n(Z;0,1). Berdasarkan catatan petugas lalu lintas bahwa porsi sepeda motor yang lewat dari jalan raya A adalah 40% . Suatu pengamatan yana dilakukan dalam jangka waktu tertentu ada 300 kendaraan yang lewat dari A dan 200 yang lewat dari B. Tentukan peluang bahwa perbedaan persentase sepeda motor yang lewat selama pengamatan tidak lebih dari 25%. Jawab.

Misalkan X danY menunjukkan jumlah sepeda motor pada A dan B berturut, jadi peubah acaknya adalah x

nx

 y

ny

, maka yang diminta adalah

Px n1  y n2  0,25 yang berarti P(  0,25  x n1  y n2  0,25 )

 1 = 0,6 dan  2 = 0,4 sehingga  sp = 0,6 – 0,4 = 0,2 sedangkan



sp

 0,6  0,4  0,4  0,6 = 0,045 ; Z untuk -0,25     300   200 

dan 0,25 berturut  0.25  0,2

0,045

= -10 dan 0.25  0,2

0,045

= 1,11

Jadi P  x  y   0,25 = P ( -10 < Z < 1,11 ) = 0,8665. n2   n1 5.6 Sebaran T=

x S

n

Menurut T.5.4 pengambilan sampel dari suatu sebaran n (  ,  ) menghasilkan

x    yang memiliki sebaran n ( 0,1 ) , menurut T.4.16 sebaran dari  n 

2

n  1 s 2 

memiliki

sebaran khi kwadrat dengan derajat bebas n – 1 , sedangkan x dan s2 bebas maka berdasarkan D . 4.26.

x   

    x n   T 2 n  1 s  2  s  n 





Memiliki sebaran t dengan derajat bebas n-1 T.5.10 . Teorema : jika x dan s2 berturut adalah rata – rata dan varians sampel berukuran n yang diambil dari populasi yang memiliki sebaran normal atau hampir normal maka peubah acak T atau disebut statistik T. x  memiliki sebaran t dengan derajat bebas n-1 . s n

 

 

5.7Sebaran Simpangan Baku D.5.9 Teorema : suatu sebaran yang peubah acaknya adalah simpangan batu dari sampel acak dari suatu populasi disebutkan sebaran simpangan batu .

T .5.11. Teorema : Jika suatu sampel berukuran besar n  100 diambil dari suatu populasi yang memiliki sebaran normal atau hampir normal maka rata – rata dan varians dari simpangan batu adalah  s   dan  s2 

2 2n

.

Akibat T.5.11 Dalam kondisi T.5.11.  

s 

s

sangat mendekati sebaran normal batu