Rpp Matematika Klas Xiiipa

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN SEKOLAH : MA PPMI ASSALAAM MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/PROGRAM/SEMESTER: XII/IA/ 1 TAHUN PELAJARAN : 2007-2008 STANDAR KOMPETENSI : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR : Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan integral taktentu dan integral tertentu

INDIKATOR

: 1. Merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan.

2. Menghitung integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri. 3. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar. 4. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN: Siswa dapat menggunakan integral un tuk menyelesaikan soal –soal yang berhubungan dengan konsep integral. B. MATERI PEMBELAJARAN: Integral C. METODE PEMBELAJARAN: 1. Inkuiri 2. Tanya jawab 3. Penugasan D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Kegiatan Awal: a. Siswa mencermati konsep integral b. Siswa mencermati ciri – ciri integral 2. Kegiatan Inti a. Siswa menyelesaikan soal integral tak tentu b. Siswa menentukan kurva dengan integral c. Siswa menyelesaikan soal dengan integral tertentu d. Siswa menentukan luas dan volum dengan integral tertentu 3.

Kegiatan Akhir a. Siswa dan guru melakukan refleksi b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN 1

1. Buku pegangan siswa 2. Modul MGMP sekolah 3. LKS F. PENILAIAN 1. Tehnik 2. Bentuk Instrumen 3. Soal Instrumen I.

2

Selesaikan :a. ∫ 6 x + 4 x + 5dx = b.

II.

: Tes tertulis : Tes uraian :

2

∫ 2 x + 1 dx =

Diketahui f’(x) =

1 2 x + 2x -6 .dan f(0) = 6. Tentukan f(x)! 3

3

III.

∫ 3x

2

+ 2 xdx = ……

2

IV.

Carilah luas daerah yang dibatasi : a. Kurva y = x2 – 4x + 3 dan sumbu x b. Kurva y = x2 – 4x dan y= x2 + 4x

V.

Tentukan volume benda yang diputar pada sumbu x dari daerah yang dibatasi oleh y = 3x – 2 , garis x = 1 dan x = 3

2

INTEGRAL KOMPETENSI DASAR ILUSTRASI

: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah : waktu klas duasiswa telah mengenal konsep turunan, sedangkan integral merupakan lanjutan dari turunan

I.

Integral Tak tentu: Integral merupakan operasi invers dari turunan . Jika turunan pertama dari F(X )adalah F’)x) = f(x) maka integral dari fungsi f(x) ditulis : ∫ f ( x)dx = F ( x) + c C = konstanta Rumus Integral Taktentu: x A. ∫ xdx = ax + c 4. ∫ e dx = B. C. D.

∫ ax dx = 1 ∫ x dx = n

1

∫ u dx =

n 5. ∫ U dx = u 6. ∫ e dx =

, U = f(x) , U = f(x)

,U = f(x)

Sifat – sifat: 1. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f (x)dx

2. ∫ f ( x ) ± g ( x) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g ( x) dx Contoh : 1 1. Diketahui f’(x) = x2 + 2x -6 .dan f(0) = 6. Tentukan f(x)! 3 Jawab : f(x) =........................ =........................ =........................ → x=0 + - + c = ...... → ... = .... Jadi f(x) = ................................ 2 dx = 2. ∫ 2x + 1 du Misal u = 2x + 1 maka u’ = =........ dx du=............... 2 ∫ 2 x + 1 dx = ......................... =......................... =......................... II.

INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu digunakan dalam melakukan integral pada interval-interval tertentu. Pada integral tertentu faktor c diabaikan.

3

1. Rumus Integral Tertentu b

b

a

a

∫ f ( x)dx = [ F ( x)]

= F (b) − F (a ) dengan a= batas bawah dan b =

batas atas 2. Sifat integral Tertentu a.

b

a

a

b

a

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx

b. .

c.

∫ f ( x)dx = 0 a

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 3

2 Contoh: Hitung ∫ 3 x + 2 xdx = ............................ 2

=............................ =............................ III.

Luas Daerah 1. y = f(x)

2. y = f(x) L

L

y = g(x) a

b

a

b

b

L=

∫ f ( x)dx

L=

a

b

∫ ( f ( x) − g ( x))dx a

Carilah luas daerah yang dibatasi : a. Kurva y = x2 – 4x + 3 dan sumbu x b. Kurva y = x2 – 4x dan y= x2 + 4x IV.

Volume Benda putar 1. Volume benda yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a , garis x = b dan sumbu x yang diputar 360o pada sumbu x adalah V= π

b

∫ ( f ( x))

2

dx

a

4

2. Volume benda yang dibatasi oleh kurva x = f(y), garis y = a , garis y = b dan sumbu y yang diputar 360o pada sumbu y adalah V= π

b

∫ ( f ( y))

2

dy

a

3. Volume dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y =g(x) adalah: V= π

b

∫ ( f ( x)

2

− g ( x) 2 )dx

a

Contoh : Tentukan volume benda yang diputar pada sumbu x dari daerah yang dibatasi oleh y = 3x – 2 , garis x = 1 dan x = 3

Mengetahui,

Sukoharjo, 01 Juni 2007 Guru Mata Pelajaran

Sigit Rahardja, S.Si

................................

5

6

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN SEKOLAH : MA PPMI ASSALAAM MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1 TAHUN PELAJARAN : 2007-2008 STANDAR KOMPETENSI : Merancang dan menggunakan model matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret , matriks , vektor, tranformasi , fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : Merumuskan masalah nyata kedalam model matematika sistem pertidaksamaan linier, menyelesaikan dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

INDIKATOR

: 1. Menentukan

penyelesaian sistem oertidaksamaan linier dua variabel.. 2. Menentukan fungsi tujuan beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linier. 3. Menggambarkan kendala sebagai daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN: Siswa dapat mengubah soal cerita kedalam sistem pertidaksamaan linier dan menyelesaikannya. B. MATERI PEMBELAJARAN: Program Linier C. METODE PEMBELAJARAN: 1. Ikuiri 2. Tanya jawab 3. Penugasan D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Kegiatan Awal: a. Siswa mencermati bentuk program linier b. Siswa mencermati ciri – ciri bentuk program linier 2. Kegiatan Inti a. Siswa menentukan daerah penyelesaian.

7

b. Siswa menentukan nilai maksimum dan minimum pada daerah penyelesaian c. Siswa mengubah soal cerita kedalam model matematika d. Siswa dapat menyelesaikan soal gram linier dengan tabel e. Siswa dapat menyelesaikan soal gram linier dengan garis selidik f. Dengan contoh pcara menyelesaikan soal program linier siswa diberi tugas untuk menyelesaikan soal dengan tabel dan garis selidik 3.

Kegiatan Akhir a. Siswa dan guru melakukan refleksi b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN a. Buku pegangan siswa b. Modul MGMP sekolah c. LKS F. PENILAIAN 1. Tehnik 2. Bentuk Instrumen 3. Soal Instrumen

: Tes tertulis : Tes uraian :

i. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut: 1. x ≥ 0 ;y ≥ 0 ; 3x + 2y ≤ 12; 5x + 6y ≤ 30 2. x ≥ 0 ;y ≥ 0 ; x + 2y ≥ 12 ; 2x + t ≥ 12 3. 2 ≤ x ≤ 8 ; 0 ≤ y ≤ 6 ; 3x + 4y ≤ 36 ii. Tulislah sistem pertidak samaan dari daerah penyelesaian berikut: 8

7

5 9

14

(6,7) DP 9

iii. Jika A = x + y , B = 5x + y , maka tentukan A maksimum dan B maksimum pada

daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 2y ≤ 12; 5x + 6y ≤ 30 iv. Roti jenis A memerlukan tepung 200 gram dan mentega 25 gram, sedangkan roti jenis B memerlukan tepung 100 gram dan mentega 50 gram. Pabrik ingin membuat roti sebanyak – banyaknya. Jika tepung yang tersedia 3 kg dan mentega 1,2 kg . Berapa buah roti jenis A dan B dapat dibuat dengan barang ? v. Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata – rata untuk sebuah mobil 6 m2 dan untuk sebuah bus 24 m2 . Daerah parkir itu tidak dapat memuat kendaraan lebih dari 30 kendaraan. Biaya parkir sebuah mobil Rp 1.000,00 sedangkan bus Rp 2.000,00. berapakah banyaknya masing – masing jenis kendaraan agar diperoleh pendapatan maksimum?

8

PROGRAM LINIER KOMPETENSI DASAR: Merumuskan masalah nyata kedalam nodel matematika sistem pertidaksamaan kinier, menyelesaikan dan menafsirkan hasil yang diperoleh. ILUSTRASI

I.

: siswa telah mengenal pertidaksamaan dua variabel , sedangkan ada program linier siswa harus bisa mengubah soal dalam bentuk cerita kedalam model matematika.

Menentukan daerah penyelesaian. Tentukan derah penyelesaian dari x + 2y ≤ 12 Jawab: x + 2y = 12 X Y

0 0

Y

(0,0) → x + 2y < 12 ↔ 0 + 2.0 < 12 ↔ 0 < 12 Jadi HP dari x + 2y ≤ 12 adalah daerah dimana titik (0,0) beradadan daerah pada garis : x + 2y = 12

II.

Mengubah soal deritera kedalam model matematika Suatu jenis roti memerlukan 150 g tepung dan 50 g mentega . Sedangkan roti jenis lain memerlukan 75 g tepung dan 75 g mentega. Jika tersedia tepung 2,25 kg dan mentega 1,5 kg .Buatlah model matematikanya. Jawab Jenis Roti Tepung Mentega I 150 50 2 75 75 2250 1500 Misal banyaknya roti 1 = x dan banyaknya roti 2 = y maka didapat sistem pertidaksamaan sbb: ( 1 ) x ≥ 0 (2) y ≥ 0 (3) 150 x + 75 y ≤ 2250 ↔ 2x + y ≤ 30 50 x + 75 y ≤ 1500 ↔ 2x + 3 y ≤ 60

9

III.

Menentukan nilai Maks dan min pada daerah penyelesaian Carilah nilai maksimum dan minimum P =3x +10 y padai sistem pertidaksaman: x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≤ 5; x + 2y ≤ 6

Jawab: x+y=5 x y

5 0 0 5

x + 2y = 6 x y

6 0

0 3

Y y=1 → x + 2.1 = 6 ↔ x=4 titk potong (4,1)

Titik potong: x + 2y = 6 x+y =5 y =1 x

Tabel : Titik P = 3x +10 y (0 , 5) 50 ( 0 , 0) 0 ( 5 , 0) 15 (4,1) 22 Jadi P maklsimum = 50 dam P minimum = 0 IV. Menentukan nilai maksimum dan minimum dengan garis selidik Tentukan nilai maksimum x + y dari sistem pertidaksamaan : x + 2y ≤ 10; 2x + y ≤ 8; x ≤ 0; y ≤ 0. Jawab : x + 2y = 10 2x + y = 8 x 1 0 y 0

0

x y

5

y

4 0

0 8 Titik

potong: y=4 → x + 2.4 = 10 ↔ x=2 8 titk potong (2,4) 5

2x + 4y = 20 2x + y = 8 3y = 12 y =4

4

10

x

Perhatikan himp garis – garis x + y= k, dengan k ∈ R Garis x + y= k digeser hingga menyinggung paling kanan daerah penyelesaian yaitu di titik (2,4)

10

Jadi nilai maksimum x + y = 2 + 4 = 6 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN SEKOLAH : MA PPMI ASSALAAM MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1 TAHUN PELAJARAN : 2007-2008 STANDAR KOMPETENSI : Merancang dan menggunakan model matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret , matriks , vektor, tranformasi , fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : Menggunakan sifat – sifat dan operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi beserta pembuktian rumusnya

INDIKATOR

: 1. Menjelaskan ciri suatu matriks. 2. Menuliskan informasi dalam bentuk matriks.. 3. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN: Siswa dapat menyelesaikan operasi aljabar dua matriks B. MATERI PEMBELAJARAN: MATRIKS C. METODE PEMBELAJARAN: 1. Ikuiri 2. Tanya jawab 3. Penugasan D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Kegiatan Awal: a. Siswa mencermati bentuk matrik b. Siswa mencermati ciri – ciri matrik 2. Kegiatan Inti a. Siswa menentukan hasil operasi aljabar 2 matriks b. Siswa menyimpulkan syarat operasi aljabar 2 matriks c. Dengan contoh operasi aljabar 2 matriks siswa diberi tugas untuk mencari hasil aljabar dua matriks

11

3.

Kegiatan Akhir a. Siswa dan guru melakukan refleksi b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN 1. Buku pegangan siswa 2. Modul MGMP sekolah 3. LKS F. PENILAIAN 1. Tehnik 3. Bentuk Instrumen 4. Soal Instrumen

: Tes tertulis : Tes uraian :

 10 3 0 − 7    a. Diketahui A =  − 5 2 1 4   5 0 3 8    1. Sebutkan ordo matriks A 2. Sebutkan elemen kolom ke 2 baris ke 3 3. Tentukan transpos matriks A x+ y b. Tentukan nilai x dan y dari :   4  − 3 2  , B = c. Jika A =   1 0 a. Tentukan A + B b. Tentukan A – C c. Tentukan A . B d. Tentukan B . C e. Tentukan A-1

Mengetahui, Sigit Rahardja, S.Si

5   5 5 =  x − y   4 1 

 4 − 1   dan C = 2 5 

 − 2 − 2   3   3

Sukoharjo, 01 Juni 2007 Guru Mata Pelajaran ................................

12

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN SEKOLAH : MA PPMI ASSALAAM MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1 TAHUN ELAJARAN : 2007-2008 STANDAR KOMPETENSI : Merancang dan menggunakan model matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret , matriks , vektor, tranformasi , fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : Menggunakan determinan dan invers matriks persegi dalam penyelesaian sistem persamaan linier

INDIKATOR

: 1. Menjelaskan sifat – sifat matriks yang digunakan dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linier.. 2. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan determinan

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN: Siswa dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan matriks dan determinan B. MATERI PEMBELAJARAN: MATRIKS C. METODE PEMBELAJARAN: 1. Ikuiri 2. Tanya jawab 3. Penugasan D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Kegiatan Awal: a. Siswa mencermati sifat – sifat matrik b. Siswa mencermati determinan matrik 2. Kegiatan Inti a. Siswa menentukan hasil penyelesaian persamaan dua variabel dengan matriks b. Siswa menentukan hasil penyelesaian persamaan dua variabel dengan determinan

13

c. Dengan contoh cara menyelesaikan persamaan 2 variabel dengan matriks dan determinan siswa diberi tugas untuk mencari himounan penyelesaian persamaan 2 variabel dengan matriks dan determinan 3. Kegiatan Akhir a. Siswa dan guru melakukan refleksi b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran E. SUMBER PEMBELAJARAN 1. Buku pegangan siswa 2. Modul MGMP sekolah 3. LKS F. PENILAIAN 1. Tehnik 2. Bentuk Instrumen 3. Soal Instrumen I.

: Tes tertulis : Tes uraian :

Dengan matriks selesaikan persamaan berikut: a. x + 2y = 3 4x – 2y = 2 b. 2x + y = 5 x+y=5

II.

Dengan determinan selesaikan persamaan berikut: a. 3x - 2y = 13 x + y =5 b. 2x - y = 9 x+3y=1

14

MATRIKS KOMPETENSI DASAR

ILUSTRASI I.

: Menggunakan sifat sifat dari operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi beserta pembuktian rumusnya.

: Menerangkan pengertian matriks dan cirinya beserta operasimya

Pengertian dan Notasi matriks Matriks adalah susunan yang berbentuk persegi panjang dari bilangan – bilangan yang diatur pada baris dan kolom. Contoh : Keadaan kelas XII IA tanggal 5 Agistus 2006 Kelas Sakit IA1 IA2 IA3

1 2 1

Ijin 0 2 3

Tanpa Keterangan 0 0 3

Dari data diatas jika kepala baris dan kolom dihilangkan dan diletakkan diantara kurung kecil atau kurung siku maka susunan tersebut dinamakan matriks.  1 0 0 1 0 0      Adapun bentuknya sebagai berikut:  2 2 0  atau 2 2 0  1 3 3 1 3 3   Banyaknya baris 3 sedangkan banyaknya kolom 3 sehingga ordo matiks adalah 3x3

II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Macam-macam matriks Matriks baris: matiks yang terdiri hanya satu baris Matriks kolom: matriks yang terdiri satu kolom Matriks persegi:matriks yang banyaknya baris dan kolom sama Matrriks segitiga bawah: matriks persegi dengan elemen – elemen diatas diagonal utama nol Matrriks segitiga atas: matriks persegi dengan elemen – elemen dibawah diagonal utama nol Matriks diagonal:matiks segitiga atas dan bawah Matriks skalar: matriks diagonal dengan elemen – elemen k(skalar) Matiks satuan :matriks diagonal yang elemennya 1 Matriks Nol :matriks yang semua elemennya nol

III.

Transpose suatu matriks Tranpose dari matriks A adalah suatu matrik yang elemen – elemennya diperoleh dengan mengubah setiap baris dari matrik A menjadi kolom. Notasinya adalahA’

IV.

Kesamaan 2 matriks Dua matriks A dan matriks B dikatakan sama apabila ordonya sama dan elemenelemen yang seletak juga sama

15

5  x+ y  5 5  dan B=   . Tentukan x! Contoh : A=  x − y  4  4 1 Jawab : A = B 5   5 5 x+ y =   ⇔  x − y   4 1   4 ⇔x+y=5 x–y=1 2x = 6 ⇔ x=3 V. Penjumlahan dan pengurangan matriks Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila ordonya sama  1 5  5 5  . B=   . Carilah A + B dan A – B Contoh: A=   2 3  4 1  1 5  5 5  1 + 5 5 + 5  +   =   Jawab A + B =   2 3  4 1  2 + 4 3 + 1  6 10   =  6 4 

 1 5  5 5  1 − 5 5 − 5  -   =   A – B =   2 3  4 1  2 − 4 3 −1  − 4 0  =   − 2 2 Lawan matriks A adalah – A yang elemennya lawan dari matriks A Sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan suatu matriks: Jika A,B dan C matriks berordo sama , maka berlaku sifat – sifat sebagai berikut: 4. A + B = B +A (sifat komutatif) 5. (A ± B) ± C=A ± (B ± C) (sifat asosiatif) 6. Mempunyai insur identitas yaitu matrik nol sehingga berlaku A+(-A)=(-A) + A =0 VI.

Perkalian Matriks 1. Perkalian matriks dengan skalar: Jika k skalar maka perkalian matriks A dengan k adalah perkalian setiap elemen matriks A dengan k Sifat perkalian matriks dengan skalat: 1. (k+l)A= kA + lA d.. I x A=A x I = A 2. k(A+B)= kA + kB e.. (-I)A=A(-I)=-A 3. k(lA)=(kl)A 2. Perkalian matriks dengan matriks Dua buah matrik A dan B dapat dikalikan apabila banyaknya kolom natriks A sama dengan banyaknya baris natriks B

16

a. b. c. d.

Sifat perkalian matriks dengan matriks (AB)C=A(BC) e. AI=IA=A A(B+C)=AB+AC f. AO=OA=O (B+C)A=BA+CA h. AB≠BA k(AB)=(kA)B=A(kB)

VII. Invers Matriks 1. Invers matrik ordo dua Determinan matriks ordo 2 a b a b   maka detterminan A= A = Jika A =  = ad-bc c d c d  Jika A dan B saling merupakan invers naka AB = BA = I Rumus matriks Invers: 1  d − b   A-1 = ad − bc  − c a  Matriks singular dan non sungular: Matriks singular adalah matriks yang detnya = 0 Matriks non singular adalah matriks yang detnya ≠ 0 2. Invers matriks ordo 3 Determinan matriks ordo 3 a b a b c    Jika A =  d e f  maka detterminan A= A = d e g h i  g h   cdh)-(gec+hfa+idb)  e f d f − + g i  h i a c  b c + Adj A =  − g i  h i a c  b c + e f − d f  Rumus A-1=

c f = (aei +bfg + i

d e  g h a b − g h  a b + d e 

+

1 adj A det A

VIII. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan invers matriks 1. Untuk menyelesaikan bentuk : AX = B maka X = A-1.B 2. Untuk menyelesaikan bentuk : X.A = B maka X = B. A-1

17

IX.

Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan Determinan: a b e b a e Misal: ax + by = e maka D = , Dx = , Dy = c d f d c f dx + ey = f x=

Dx Dy dan y = D D

18

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN SEKOLAH : MA PPMI ASSALAAM MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1 TAHUN PELAJARAN : 2007-2008 STANDAR KOMPETENSI : Merancang dan menggunakanmodel matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret , matriks , vektor, tranformasi , fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi pembuktian.

INDIKATOR

matematika

dalam

: 1. Menulis suatu deret dengan notasi sigma. 2. Menjelaskan ciri rumus yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika. 3. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN: Siswa dapat mrngubah suatu deret kedalam notasi sigma B. MATERI PEMBELAJARAN: Notasi sigma C. METODE PEMBELAJARAN: 1. Inkuiri 2. Tanya jawab 3. Penugasan D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Kegiatan Awal: a. Siswa mencermati konsep notasi sigma b. Siswa mencermati ciri – ciri notasi sigma 2. Kegiatan Inti : a. Siswa menyelesaikan soal notasi sigma b. Siswa membuktikan dengan menggunakan sifat – sifat notasi sigma c. Siswa mengubah bentuk deret kedalam notasi sigma

19

3.

Kegiatan Akhir a. Siswa dan guru melakukan refleksi b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN a. Buku pegangan siswa b. Modul MGMP sekolah c. LKS F. PENILAIAN a. Tehnik : Tes tertulis b. Bentuk Instrumen : Tes uraian c. Soal Instrumen : 7

I.

Selesaikan :a.

∑ (3n − 1) = n =1

7

b.

∑ (3n

2

+ 3n + 10) =

n=2

II.

Ubahlah dengan batas bawah 1 : 17

a.

∑ (3n − 1) n =5 7

b.

III. IV.

Buktikan :

∑ (3n

2

+ 3n − 1)

n =−10 7

7

n=1

n=1

∑ (3n − 10) = 3∑ n −70

Ubahlah kedalam notasi sigma dengan batas bawah 5 a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 b. 3 + 5 + 7 + 9 c. 8 + 26 + 31 + 63

20

NOTASI SIGMA KOMPETENSI DASAR

ILUSTRASI

: Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematikadalam pembuktian.

: Menyatakan suatu deret dengan notasi sigma

Notasi sigma adalah suatu cara un tuk menyatakan bentuk penjumlahan dengan cara yang singkat yaitu mrnggunakan notasi ∑ n

Definisi : a1 + a2 + a3 + ... + an =

∑a n =1

n 7

Contoh: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 =

∑ (3n − 1) n =1

7

∑ (3n − 1) dibaca jumlah 3n – 1 untuk n = 1 sampai n = 7

Keterangan : notasi

n =1

1 disebut batas bawah 7 disebut batas atas n disebut indeks penjumlahan sifat – sifat : n

1.

∑u n =1 n

2.

= u1 + u2 + u3 ....un

n

∑u n =1

n

n

= ∑u j j =1

n

3.

∑ k = nk , dengan k konstanta

n=1 n

4.

∑ ku n=1 n

5.

∑ (u i =1 n

6.

∑ (u i =1

n

n

i

= k ∑ un n=1

n

n

i =1 n

i =1

± vi ) = ∑ ui ± ∑ vi n

n

n

i =1

i =1

i =1

± vi ) = ∑ u i ± 2∑ ui ∑ vi + ∑ v i2 2

i

, dengan k konstanta

i =1

2

21

n

7.

n

∑ i =1

i

∑u i =m

i =n +1

i

i =1

n −1

n =1

i =0

i =2

i

u i = ∑ u i +1 = ∑ u i −1

m

9.

m

∑u + ∑u = ∑u i =1

8.

m

m

= u m dengan m = 1,2,3,...n merupakan elemen bil asli

Mengetahui, Sigit Rahardja, S.Si

Sukoharjo, 01 Juni 2007 Guru Mata Pelajaran ................................

22

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN SEKOLAH : MA PPMI ASSALAAM MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1 TAHUN PELAJARAN : 2007-2008 STANDAR KOMPETENSI : Merancang dan menggunakan Model matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret , matriks , vektor, tranformasi , fungsi Eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : Merumuskan masalah nyata yang model matematikanya berbentuk deret ; menyelesaikan modelnya dan menafsirkannya hasil yang diperoleh.

INDIKATOR

: 1. Menjelaskan

karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmatika atau geometri, 2. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah. 3. Menentukan penyelesaian dari model matematika 4. Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN: Siswa dapat menyelesaikan soal – soal yang berhubungan dengan deret aritmatika dan deret geometri. B. MATERI PEMBELAJARAN: Barisan dan deret C. METODE PEMBELAJARAN: 1. Inkuiri 2. Tanya jawab 3. Penugasan D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN: 1. Kegiatan Awal: a. Siswa mencermati konsep barisan b. Siswa mencermati ciri – ciri barisan c. Siswa mencermati konsep deret d. Siswa mencermati ciri – ciri deret

23

2. Kegiatan Inti a. Siswa menyelesaikan soal barisan aritmatika b. Siswa menyelesaikan soal barisan geometri c. Siswa mengerjakan soal deret aritmatika d. Siswa mengerjakan soal deret geometri e. Siswa mengerjakan soal deret geometri tak terhingga f. Siswa menyelesaikan soal siaipan barisan aritmatika g. Siswa menyelesaikan soal siaipan barisan geometri h. Dengan contoh cara menyelesaikan barisan dan deret siswa diberi tugas untuk mencari penyelesaian barisan dan deret 3.

Kegiatan Akhir a. Siswa dan guru melakukan refleksi b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN 1. Buku pegangan siswa 2. Modul MGMP sekolah 3. LKS F. PENILAIAN 1. Tehnik 2. Bentuk Instrumen 3. Soal Instrumen

: Tes tertulis : Tes uraian :

a. Sebutkan ciri-ciri barisan aritmetika. b. Diketahui suku pertama dan kedua deret aritmetika adalah 2 dan 5, hitung jumlah c.

d. e.

f. g. h. i.

14 suku suku pertama deret aritmetika itu. Tentukan beda dan suku ke 8 dari barisan : 1. 2,4,6..... 2. 3,8,13,... 3. 4,7,10,... Sebutkan ciri-ciri barisan geometri Tentukan rasio dan suku ke 8 dari barisan : 1. 2,4,8,... 2. 3,9,27,... 3. 100,50,25,... Hitunglah x dari deret : 1. 2+ 4 + 6 +…+ x = 930 2. 5 + 7 + 9 + …+ x = 192…… Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri yang hasil kalinya 1000. Jika jumlahnya 35 Tentukan tiga bilangan itu. Tentukan jumlah 10 suku dari deret geometri: 32 + 16 + 6 = ... Sebuah bola dujatuhkan dari suatu tempat yang ketinggiannya 10 m. Setelah jatuh dilantai memantul setinggi 5 meter kemudian 2,5 m dan seterusnya. Tentukan jarak yang ditempoh bola sampai berhenti.

24

j. Diketahui barisan aritmatika 1,5,9,13. Jika setiap suku disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan beda baru dan jumlah suku baru. k. Diketahui barisan geometri 1,8,64,512. Jika setiap suku disisipkan 2 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan rasio baru dan jumlah suku baru.

25

Barisan dan deret KOMPETENSI DASAR

ILUSTRASI

: Merumuskan masalah nyata yang model matematikanya berbentuk deret, menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh..

: menyatakan suatu kalimat verbal kedalam bentuk deret

A. Barisan Aritmatika: barisan yang suku –suku berikutnya didapat dengan menambahkan konstanta yang sama Bentuk Umum: a, a+b, a+2b, a+3b,...a +(n-1)b Keterangan : suku pertama: a Beda : b Banyaknya suku : n Suku ke n : Un Rumus suku ke n : Un = a + ( n – 1 )b B. Barisan Geometri : barisan yang suku –suku berikutnya didapat dengan mengalikan dengan konstanta yang sama Bentuk Umum: a, ar, ar2, ar3, ..., arn-1 Keterangan : suku pertama: a Ratio : r Banyaknya suku : n Suku ke n : Un Rumus suku ke n : Un = a rn-1 C. Deret aritmetika: barisan aritmatika yang suku-sukunya dijumlahkan Bentuk umum: a + (a+b)+ (a+2b) + (a+3b) +...(a +(n-1)b) n Rumus jumlah n suku pertama: Sn = ( U1 + Un) atau 2 n = ( 2a + ( n – 1 )b) 2 rumus suku ke n Un = Sn – Sn-1 D. Deret Geometri: barisan geometri yang suku-sukunya dijumlahkan Bentuk umum : a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 a (r n − 1) a (1 − r n ) , r > 1 atau Sn = ,r <1 Rumus jumlah n suku pertama: Sn = r −1 1− r rumus suku ke n Un = Sn – Sn-1 E. Deret Gepmetri tak terhingga: Bentuk umum : a + ar + ar2 + ar3 + ...

26

Deret Konvergen syarat : -1 < r <1 Rumus jumlah suku takterhingga : S∞ = Deret Divergen syarat :

a 1− r

r >1

F. Sisipan : 1. Barisan Aritmatika: Bentuk Umum: U1,......,U2,........U3,.........,Un Jika diantara suku disipkan k suku sehingga membentuk Barisan aritmatika . b Maka didapat b’ = dan n’ = n+ (n-1)k k +1 Ket : b = beda lama , b’ = beda naru , n = banyaknya suku lamadan n’= banyaknya suku baru 2. Barisan Geometri: Jika diantara suku disipkan k suku sehingga membentuk Barisan Geometri. Maka didapat

r ' = k +1 r

dan n’ = n+ (n-1)k

Ket : r = ratio lama , r’ = ratio naru , n = banyaknya suku lamadan n’= banyaknya suku baru

27

PROGRAM SATUAN PELAJARAN No: 1 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA POKOK BAHASAN : INTEGRAL KELAS/SEMESTER : XII/1 WAKTU : kali pertemuan A. Alokasi Waktu dan alat peraga/alat praktek/alat bantu.. NO SUB RP KEGIATAN ALOKASI POKOK PERTEMUAN WAKTU BAHASAN KE

1

Integral Tak tentu

2

Integral tertentu

3

Luas daerah

4

Volume Benda Putar

5

Uji kompetensi

ALAT PERAGA, ALAT PRAKTEK, ALAT BANTU

Menerangkan, diskusi , buat kesimpulan Menerangkan, diskusi , buat kesimpulan Menerangkan, diskusi , buat kesimpulan Menerangkan, diskusi , buat kesimpulan tes

B. Tahab Pembelajaran: - Menggunakan integral untuk mencari persamaan kurva - Menggambar dan menghitung luas dan volume benda putar

28

PROGRAM SATUAN PELAJARAN No: 2 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA POKOK BAHASAN : PROGRAM LINIER KELAS/SEMESTER : XII/1 WAKTU : kali pertemuan C. Alokasi Waktu dan alat peraga/alat praktek/alat bantu.. NO SUB POKOK RP KEGIATAN ALOKASI BAHASAN PERTEMUAN WAKTU KE

1 2 3

4 5

Pertidaksamaan linier dua variabel Menentukan daerah penyelesaian Menentukan nilai Maksimum dan minimum Garis selidik ax + by = c Menelesaikam soal program linier

Diskusi , Buat kesi,pulan Diskusi , Buat kesi,pulan Menerangkan, Diskusi , Buat kesi,pulan Diskusi , Buat kesi,pulan Menerangkan, Diskusi , Buat kesi,pulan

.

D. Tahab Pembelajaran: -Memahami komponen

29

ALAT PERAGA, ALAT PRAKTEK, ALAT BANTU

PROGRAM SATUAN PELAJARAN No: 3 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA POKOK BAHASAN : MATRIKS KELAS/SEMESTER : XII/1 WAKTU : kali pertemuan 5. Alokasi Waktu dan alat peraga/alat praktek/alat bantu.. NO SUB RP KEGIATAN ALOKASI POKOK PERTEMUAN WAKTU BAHASAN KE

1

2 3

4 5 6

Pengertian Notasi dan Ordo matriks Kesamaan dua Matriks Penjumlahan dan pengurangan Matriks Perkalian Matriks. Invers Martriks Determinan.

Diskusi , Buat kesi,pulan Diskusi , Buat kesi,pulan Menerangkan, Diskusi , Buat kesi,pulan Diskusi , Buat kesi,pulan Menerangkan, Diskusi , Buat kesi,pulan Menerangkan, Diskusi , Buat kesi,pulan

6. Tahab Pembelajaran: -Memahami komponen

30

ALAT PERAGA, ALAT PRAKTEK, ALAT BANTU

PROGRAM SATUAN PELAJARAN No: 4 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA POKOK BAHASAN : NOTASI SIGMA KELAS/SEMESTER : XII/1 WAKTU : kali pertemuan 7. Alokasi Waktu dan alat peraga/alat praktek/alat bantu.. NO SUB RP KEGIATAN ALOKASI POKOK PERTEMUAN WAKTU BAHASAN KE

1 2

Notasi signa Sifat – sifat notasi sigma

Menerangkan,Diskusi , Buat kesi,pulan Diskusi , Buat kesi,pulan

8. Tahab Pembelajaran: -Memahami komponen

31

ALAT PERAGA, ALAT PRAKTEK, ALAT BANTU

PROGRAM SATUAN PELAJARAN No: 5 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA POKOK BAHASAN : BARISAN DAN DERET KELAS/SEMESTER : XII/1 WAKTU : kali pertemuan 9. Alokasi Waktu dan alat peraga/alat praktek/alat bantu.. NO SUB RP KEGIATAN ALOKASI POKOK PERTEMUAN WAKTU BAHASAN KE

1 2 3 4 5

Barisan Aritmatika Barisan Geometri Deret Airtmatika Deret Geometri Deret Geometri takterhingga

Menerangkan,Diskusi , Buat kesi,pulan Diskusi , Buat kesi,pulan

10. Tahab Pembelajaran: -Memahami kompone

32

ALAT PERAGA, ALAT PRAKTEK, ALAT BANTU

1. Carilah ∫ f ( x)dx , jika f(x) =12 x5 + 7x3 + 4x 2. 3. Bila f(x) =3 x5 + 4 sin2x, carilah ∫ f ( x)dx 4.

33