Rp

1. Żarówki losujemy do uzyskania wadliwej. Wylosowaliśmy z rozkładu: NIE(dwumianowy) TAK(ujemny dwumianowy, geometryczny(u. dwum z parametrem 1) 2. Rzucamy kostką. Zdarzenie A to wyrzucenie oczek nieparzystych, B – wyrzucimy nie więcej niż 3 oczka. NIE(A i B są niezależne, P(A|B) < P(A), P(A+B) = P(A) + P(B)) 3. Niech ξ1, ξ2….. będą iid; Zmienna losowa……. Eξ1=µ oraz D2 ξn=σ2 <∞; jeżeli 1 / n∑ ξ1 − µ  ∀t lim P  ≤ t  = Φ( t ) to zachodzi: NIE(SPWL, CTG, MPWL) W mianowniku n →∞   σ n  σ powinno być n 4. Żarówki działały z rozkładem wykładniczym z parametrem λ. (ktoś tu wpisał poissona ale chyb się pomylił) TAK( (∀x, y > 0) P{X>x +y|X>x}=P{X>y}, zmienne losowa X ma P{ X > x + ∆x | X > x} = λ ) własność braku pamięci) NIE( (∀x > 0) ∆lim x →0 5. Żarówki działały z rozkładem wykładniczym z parametrem λ. ξ ~ E(λ) TAK(ξ ma brak pamieci) NIE( (∀x, y > 0) P{ξ>x+y|ξ>y}=P{ξ>y), (∀x > 0) lim_(Δx->0)P{ξx+Δx|ξ>x}=λ) 6. Niech X ma rozkład beta z parametrami (a,b) TAK(1-X ma rozkład beta z parametrami (b,a), jeżeli a=b, to EX=1/2) NIE(jeżeli a+b=1 to X ma rozkład jednostajny) 7. Niech f będzie gęstością rachunku prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, b

zaś F będzie jej dystrybuantą. TAK(P{a<x
∞

NIE(F(x) =

∫ f ( x)dx

(trzeba odwrócić całkę żeby było ok.))

t

1 n ∑i =1 Xi = EX } = 1 to: n →∞ n NIE(MPWL, CTG, SPWL) Wariancja musi być skończona albo zmienne losowe muszą mieć ten sam rozkład i być niezależne, a Wartość oczekiwana musi być skoszona, jak to zajdzie: a) tak b) nie c) tak 9. Niech X1 i X2 będą zmiennymi losowymi: TAK(E(X1+X2)=EX1 + EX2) NIE(D2(X1+X2)= D2(X1) + D2(X2), [cov(X1,X2)2] >= D2(X1)D2(X2)) 10. W celu oszacowania popularności wśród studentów wykładowcy podaje się ankiecie pewną ilość osób. Zmienna losowa opisująca ilość studentów pozytywnie oceniających wykładowcę ma rozkład: TAK(hipergeometryczny) NIE(ujemny dwumianowy, dwumianowy) 11. Mamy zdarzenie A i Bi (i=1,2,...,k), gdzie Bi*Bj=zbiór pusty dla i≠j oraz k P(B1)+...+P(bk)=1: TAK(P(Bi|A)P(A)=P(A|Bi)P(Bi), P(A)= ∑i =1 P ( A | Bi ) P ( Bi ) ) NIE(B1 i 8. Niech X1, X2,…. Będą i.i.d. zmiennymi losowymi. Jeżeli P {lim

B2 są niezależne) 12. Mamy zdarzenie A i Bi (i=1,2,...,k), gdzie Bi*Bj=zbiór pusty dla i≠j oraz k P(B1)+...+P(bk)=1: TAK(P(A)= ∑i =1 P ( A | Bi ) P ( Bi ) ) NIE(P(Bi|A)P(A)=P(A|Bi)P(A), B1 i B2 są niezależne) 13. Niech X=|X1,X2| będzie dwuwymiarowy wektorem losowym o funkcji gęstości f. Niech f1 oraz f2 będą gęstościami brzegowymi. TAK(Zmienne X1 oraz X2 są niezależne jeżeli (∀x1 x2 ) f ( x1 , x2 ) = f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) , f 2 ( x2 ) = ∫ f ( x1 , x2 )dx1 ) NIE(Zmienne losowe X1 oraz X2 są niezależne jeżeli współczynnik korelacji miedzy zmiennymi wynosi 0)

F ( x) = 0 ) NIE( 14. Jeżeli funkcja F jest dystrybuanta zmiennej losowej X to: TAK( xlim → −∞ P{ a < x ≤ b} = lim− F ( x) − F (a ) , F jest ciągła.) x →b

15. Niech ξ1, ξ2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie odpowiednio N(µ1, σ12), 2

2

 ξ − µ1   ξ 2 − µ 2   +   ma rozkład gama z parametrem N(µ2, σ2 ): TAK(Zmienna losowa  1  σ1   σ 2  1,2) NIE(Zmienna losowa ξ12+ ξ22 ma rozkład chi – kwadrat z 2 stopniami swobody, Zmienna losowa ξ1 - ξ2 ma rozkład N(µ1- µ2, σ12- σ22)) 2

n

16. Niech ξ1, ξ2….. będą niezależnymi zmiennymi losowymi η = ∑ ξ1 TAK(Jeśli ξ1 ma i =1

rozkład dwumianowy z parametrem (m1,p) to η ma rozkład dwumianowy z parametrem ( n

∑ m , p ),Jeśli ξ 1

1

ma rozkład Poissona z parametrem λ1 , to η ma rozkład Po z parametrem

∑λ

) NIE(η ma rozkład gama z parametrami ( ∑ α 1 , ∑ λ1 )) 17. Niech ξ1, ξ2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie z dystrybuantami F1 , F2 1

∞

TAK( P( max{ξ1 , ξ 2 } ≤ t ) = F1 ( t ) * F2 ( t ) , P{ξ1 + ξ 2 ≤ t } =

∫ F ( t − x ) dF ( x ) ) NIE( 1

2

=∞

P( min{ξ1 , ξ 2 } ≤ t ) = (1 − F1 ( t ) ) (1 − F2 ( t ) ) ) 18. Czas życia pewnego urządzenia jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem (λ) TAK(średni czas pracy układu wynosi (λ), całkowity czas pracy n pracujących niezależnie urządzeń ma rozkład gamma) NIE(Jeżeli n urządzeń zaczęło jednocześnie pracować to moment pierwszej awarii jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym ze średnią n(λ)) n

19. Niech ξ1, ξ2….. będą niezależnymi zmiennymi losowymi η = ∑ ξ1 TAK(suma k i =1

zmiennych losowych o rozkładzie B(ni, p) ma rozkład B(n1+n2+...+nk; p)) NIE(suma k zmiennych o rozkładzie gamma (ai,bi) ma rozkład gamma (a1+a2+...+ak; b1+b2+...+ bk), Niech ξ1 ~ N ( µ1 , σ 12 ) oraz ξ 2 ~ N ( µ 2 , σ 22 ) Zmienna losowa ξ - ξ ma rozkład N(µ - µ σ 2- σ 2)) 1

2

1

2,

1

2

20. Niech ξ1, ξ2….. będą niezależnymi zmiennymi o rozkładzie dwupunktowym e − np np k TAK(P(Σξi=k) ≈ , D2(Σξi) = np(1-p)) NIE(1/n*Σξ jest AN(p, p(1-p))) k! 21. Wykonajmy n rzutów kostką do gry. Niech ξ i dla (i ∈ 1 6) będzie liczbą rzutów w n n n n n n  których wypadło i oczek. Niech ξ = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , ξ 5 , ξ 6 ) TAK( Eξ =  , , , , , ,  ,ξ 6 6 6 6 6 6  ma rozkład wielomianowy, ξ i ma rozkład dwumianowy z parametrami (n,1/6)) 2 22. Zmienna losowa ξ1 ,..., ξ n ξ ~ N ( µ , σ ) TAK( Eξ = µ ) NIE(pozostałe)