اﻟﺪوران -Iﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪوران -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ Oﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻮﺟﻪ Pو αﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Oو زاوﻳﺘﻪ αهﻮ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻣﻦ Pﻧﺤﻮ Pاﻟﺬي ﻳﺮﺏﻂ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ Mﺏﻨﻘﻄﺔ ' Mﺏﺤﻴﺚ: M ' = O -إذا آﺎﻧﺖ M = O
-
] [ 2π
' OM = OM JJJJG JJJJJGإذا آﺎن M ≠ O OM ; OM ' ≡ α
)
(
* -ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻠﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Oو زاوﻳﺘﻪ αﺏﺎﻟﺮﻣﺰ ) r ( O;αأو ﺏﺎﻟﺮﻣﺰ r * -اﻟﻨﻘﻄﺔ ' Mﺗﺴﻤﻰ ﺻﻮرة Mﺏﺎﻟﺪوران rﻧﻜﺘﺐ ' r ( M ) = M
ﻣﺜﺎل π
ﻟﺘﻜﻦ Oو Aو Bﺙﻼث ﻧﻘﻂ و rاﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Oو زاوﻳﺘﻪ
6
أﻧﺸﺊ ' Aو ' Bﺻﻮرﺗﻲ Aو Bﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺏﺎﻟﺪوران r
– 2اﺱﺘﻨﺘﺎﺟﺎت أ( اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ
(
)
JJJ G JJJG n ABC -ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ رأﺱﻪ Aﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Aو زاوﻳﺘﻪ AB; ACﻳﺤﻮل Bإﻟﻰ C
-
إذا آﺎن ABCﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ وﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ A
ﻣﺮآﺰﻩ Aو زاوﻳﺘﻪ -
π 2
زاوﻳﺘﻪ
3
ﺏﺤﻴﺚ ] [ 2π
ﻳﺤﻮل Bإﻟﻰ C
ب( اﻟﺪوران اﻟﺬي زاوﻳﺘﻪ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻟﻴﻜﻦ ) r ( O;αدوراﻧﺎ
-إذا آﺎن ] [ 2π
2
(
ﻳﺤﻮل Bإﻟﻰ C
إذا آﺎن ABCﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼعπ
ﺏﺤﻴﺚ ] [ 2π
π
)
JJJ G JJJG n
≡ AB; ACﻓﺎن اﻟﺪوران اﻟﺬي
α ≡ 0ﻓﺎن r ( M ) = M
ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ rهﻮ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﻤﺘﻄﺎﺏﻖ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى
π 3
)
JJJ G JJJG n
(
≡ AB; ACﻓﺎن اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Aو
ﺟﻤﻴﻊ ﻧﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺻﺎﻣﺪة
إذا آﺎن ] [ 2π
α ≡/ 0ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻮﺣﻴﺪ اﻟﺼﺎﻣﺪة ﺏﺎﻟﺪوران rهﻲ ﻣﺮآﺰﻩ O
ج( اﻟﺪوران اﻟﺬي زاوﻳﺘﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ r ( O; π ) = S O
-3اﻟﺪوران اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻴﻜﻦ ) r ( O;αدوراﻧﺎ ' OM = OM r ( M ) = M ' ⇔ JJJJG JJJJJG ] OM ; OM ' ≡ α [ 2π OM ' = OM r ( M ) = M ' ⇔ JJJJJG JJJJG ] OM '; OM ≡ −α [ 2π ) r ( M ) = M ' ⇔ r ' ( M ') = M / r ' = r ( O; −α
)
(
)
(
اﻟﺪوران ) r ( O; −αﻳﺴﻤﻰ اﻟﺪوران اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻠﺪوران ) r ( O;αﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺏﺎﻟﺮﻣﺰ r −1 −1 ' r ( M ) = M r ( M ') = M ⇔ −1 r (O ) = O r ( O ) = O
اﻟﺪوران rﺗﻄﺒﻴﻖ ﺗﻘﺎﺏﻠﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺧﺎﺻﻴﺔ آﻞ دوران ) r ( O;αهﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺗﻘﺎﺏﻠﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺪوران ) r ( O; −αﻳﺴﻤﻰ اﻟﺪورا ن اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻠﺪوران ) r ( O;αﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺏـr −1 :
ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ -1ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﺮﺏﻌﺎ ﺣﺪد زاوﻳﺘﻲ اﻟﺪوارﻧﻴﻴﻦ r1و r2اﻟﺬي ﻣﺮآﺰاهﻤﺎ Aو Cﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ وﻳﺤﻮﻻن ﻣﻌﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ Dإﻟﻰ B
-2ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ﺣﻴﺚ أ -ﺣﺪد ﻣﺮآﺰ اﻟﺪوران rاﻟﺬي ﻳﺤﻮل Bإﻟﻰ C
ب -ﺣﺪد اﻟﺪوران اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻠﺪوران r
-IIﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺪوران -1ﺧﺎﺻﻴﺔ أﺱﺎﺱﻴﺔ ) اﻟﺤﻔﺎظ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ( ﻟﻴﻜﻦ ) r ( O;αدوراﻧﺎ و Aو Bﻧﻘﻄﺘﻴﻦ
] [ 2π
n π ≡ ) ; CB (CA 3 JJJG JJJG
r ( B ) = B ' ; r ( A) = A '
AB = A ' B ' ﻟﻨﻘﺎرن
: ﻟﺪﻳﻨﺎOA ' B ' وOAB ﺣﺴﺐ ﻋﻼﻗﺔ اﻟﻜﺎﺵﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA ⋅ OB.cos n AOB AB '2 = OA '2 + OB '2 − 2OA '⋅ OB '.cos n A ' OB '
OB = OB ' JJJG JJJJG OB; OB ' ≡ α
(
)
[ 2π ]
و
OA = OA ' JJJG JJJG OA; OA ' ≡ α
(
)
[ 2π ]
: ﻓﺎنr ( B ) = B ' ; r ( A ) = A ' و ﺏﻤﺎ أن و ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ أﺧﺮى
) ( ) ( ) ( ( JJJG JJJG JJJG JJJJG O A O B O ; ≡ + α ) ( A '; O B ' ) − α [2π ] ( JJJG JJJG JJJG JJJJG O A O B O ; ≡ ) ( A '; O B ' ) [2π ] (
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG O A ; O B ≡ O A ; O A ' + O A '; O B ' + O B '; O B
)
[ 2π ]
n AOB = n A ' OB ' وﻣﻨﻪ A ' B '2 = OA2 + OB 2 − 2OA ⋅ OB.cos n AOB و ﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
A ' B ' = AB اذنA ' B '2 = AB 2 وﻣﻨﻪ
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦB وA دوراﻧﺎ و وr ﻟﻴﻜﻦ A ' B ' = AB ﻓﺎنr ( B ) = B ' ; r ( A ) = A ' إذا آﺎن
ﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ هﺬا ﺏﻘﻮﻟﻨﺎ اﻟﺪوران ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ اﻷﺿﻼعNAC وMAB ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺧﺎرج اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺏﺤﻴﺚN وM ﻧﻌﺘﺒﺮ. ﻣﺜﻠﺜﺎABC ﻟﻴﻜﻦ NB وMC ﻗﺎرن
اﻟﺪوران و اﺱﺘﻘﺎﻣﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ-2 أ( ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ r ﺏﺪورانB وA ﺻﻮرﺗﻲB ' وA ' [ ﻗﻄﻌﺔ وAB ] ﻟﺘﻜﻦ
r ﺻﺮﺗﻬﺎ ﺏﺎﻟﺪورانM ' [ وAB ] ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦM ﻟﺘﻜﻦ M ' ∈ [ A ' B '] ﺏﻴﻦ أن-1
JJJJG
JJJG
-2ﺏﻴﻦ اذا آﺎن AM = λ ABﺣﻴﺚ λ 0 ≤ λ ≤ 1ﻓﺎن
JJJJJG JJJJJG ' AM ' = λ A ' B
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ] [ ABﻗﻄﻌﺔ و ' Aو ' Bﺻﻮرﺗﻲ Aو Bﺏﺪوران r
ﺻﻮرة اﻟﻘﻄﻌﺔ ] [ ABﺏﺎﻟﺪوران JJJG
rهﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]' [ A ' B
JJJJG
اذا آﺎن AM = λ ABﺣﻴﺚ λ 0 ≤ λ ≤ 1ﻓﺎن
JJJJJG JJJJJG ' AM ' = λ A ' Bﺣﻴﺚ ' r ( M ) = M
ب -ﺻﺮة ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﺘﻜﻦ ' Aو ' Bﺻﻮرﺗﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ Aو Bﺏﺪوران r أ -ﺏﻴﻦ أن )' r ([ AB ) ) = [ A ' B
ب -ﺏﻴﻦ أن )' r ( ( AB ) ) = ( A ' B
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ' Aو ' Bﺻﻮرﺗﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ Aو Bﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺏﺪوران r
* ﺻﻮرة ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) [ ABهﻮ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
)' [ A ' B
* ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( ABهﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )' ( A ' B JJJG
JJJJG
* إذا آﺎن AM = λ ABﺣﻴﺚ \ ∈ λ λﻓﺎن
JJJJJG JJJJJG ' AM ' = λ A ' Bﺣﻴﺚ ' r ( M ) = M
ج -اﻟﻤﺮﺟﺢ و اﻟﺪوران ' Aو ' Bو ' Gﺻﻮر اﻟﻨﻘﻂ Aو B
و Gﺏﺪوران rﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ و Gﻣﺮﺟﺢ ) ( A;αو ) ( B; β
ﺏﻴﻦ أن ' Gﻣﺮﺟﺢ ) ( A ';αو ) ( B '; β ﺧﺎﺻﻴﺔ ' Aو ' Bو ' Gﺻﻮر اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Gﺏﺪوران rﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ إذا آﺎن Gﻣﺮﺟﺢ ) ( A;αو ) ( B; βﻓﺎن
' Gﻣﺮﺟﺢ ) ( A ';αو ) ( B '; β
اﻟﺪوران ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻼﺣﻈﺔ :اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻟﻤﺮﺟﺢ أآﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ ' Aو ' Bو ' Iﺻﻮراﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Iﺏﺪوران rﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ إذا آﺎن Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ ABﻓﺎن ' I
اﻟﺪوران ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ
ﻣﻨﺘﺼﻒ ]' [ A ' B
د( اﻟﺤﻔﺎظ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺱﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ ) ﻣﻘﺒﻮﻟﺔ( ﻟﺘﻜﻦ ' Aو ' Bو ' Cو ' Dﺻﻮر أرﺏﻊ ﻧﻘﻂ Aو Bو Cو Dﺏﺪوران rﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ و \ ∈ λ JJJJJG JJJJJG JJJG JJJG إذا آﺎن CD = λ ABﻓﺎن ' C ' D ' = λ A ' B
ﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ هﺬا ﺏﻘﻮﻟﻨﺎ اﻟﺪوران ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﺱﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﺮﺏﻌﺎ ﻧﻨﺸﺊ ﺧﺎرﺟﻪ اﻟﻤﺜﻠﺚ CBFاﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع و داﺧﻠﻪ اﻟﻤﺜﻠﺚ ABE
π ﺏﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ Dو Eو Fﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ) ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﺪورن r = r B; − 3
-3اﻟﺪوران و اﻟﺰواﻳﺎ أ( ﺧﺎﺻﻴﺔ أﺱﺎﺱﻴﺔ
JJJG JJJG ﻟﺘﻜﻦ ' Aو ' Bﺻﻮرﺗﻲ Aو Bﺏﺪوران rزاوﻳﺘﻪ αﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ .ﻟﺘﻜﻦ Cﻧﻘﻄﺔ ﺣﻴﺚ OC = AB JJJG JJJJJG ﻟﺘﻜﻦ ' r ( C ) = Cوﻣﻨﻪ ' OC ' = A ' B
و ﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ] [ 2π وﺣﻴﺚ أن ] [ 2π
n n )' ; OC ') ≡ ( AB; A ' B (OC JJJG JJJJG n ; OC ') ≡ α ( OCﻓﺎن ] [ 2π JJJG JJJJJG
JJJG JJJJG
AB; A ' B ') ≡ α (n JJJG JJJJJG
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﻴﻜﻦ rدواراﻧﺎ زاوﻳﺘﻪ α
إذا آﺎن ' Aو ' Bﺻﻮرﺗﻲ Aو Bﺏﺎﻟﺪوران rﻓﺎن
] [ 2π
)
JJJ G JJJJJG n AB; A ' B ' ≡ α
ب -ﻧﺘﻴﺠﺔ
( ( ) ( ) ( ) ] ) [ 2π JJJ G JJJG JJJJJ G JJJJJG n n A B ; C D ≡ + A ' B α ( ] ) ( '; C ' D ') − α [2π JJJ G JJJG JJJJJ G JJJJJG n n AB ; CD ≡ A ' B إذن ] ( ) ( ';C ' D ') [2π JJJ G JJJG JJJ G JJJJJG JJJJJ G JJJJJG JJJJJ G JJJG n n n n A B ; C D ≡ A B ; A ' B ' + A ' B '; C ' D ' + C ' D '; C D
(
ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﺘﻜﻦ ' Aو ' Bو ' Cو ' Dﺻﻮر أرﺏﻊ ﻧﻘﻂ Aو Bو Cو Dﺏﺪوران rﺣﻴﺚ A ≠ Bو C ≠ D
] [ 2π
)
( )
JJJ G JJJG JJJJJ G JJJJJG n n ' AB; CD ≡ A ' B '; C ' D
(
ﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ هﺬا ﺏﻘﻮﻟﻨﺎ اﻟﺪوران ﻳﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﺎ س اﻟﺰواﻳﺎ ﺗﻤﺮﻳﻦ pاﻟﺬي ﻻ ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ رأﺱﻪ Aو ) ( Cداﺋﺮة ﻣﺤﻴﻄﺔ ﺏﻪ .ﻧﻌﺘﺒﺮ Mﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮس AB
)
JJJG JJJG
(
ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ . Cﻟﻴﻜﻦ rاﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Aو زاوﻳﺘﻪ . AB; AC ﺏﻴﻦ أن Mو ' Mو Cﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺣﻴﺚ ' r ( M ) = M
-4ﺻﻮرة داﺋﺮة ﺏﺪوران ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺻﻮرة داﺋﺮة ) C ( Ω; Rﺏﺪوران rهﻲ داﺋﺮة ) C ( Ω '; Rﺣﻴﺚ ' r ( Ω ) = Ω
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﺮﺏﻌﺎ و ) ( Cداﺋﺮة ﻣﺎرة ﻣﻦ Aو C
ﻟﺘﻜﻦ Qو Rﻧﻘﻄﺘﺎ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ( Cﻣﻊ ) ( BCو ) ( CDﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺏﻴﻦ أن BQ = DR
) ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﺪوران rاﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Aو زاوﻳﺘﻪ
π 2
(