Rosso

Cálculo del área bajo una curva

Taller

Estimación del área bajo una curva utilizando una planilla de cálculo.

Mg. Ana E. Rosso

Septiembre 2005 1

Salta 2005

Cálculo del área bajo una curva

Cálculo del área bajo una curva Situación Problema Un campo está atravesado por un río y queremos calcular cuantas ha cultivables tiene ese terreno, sabiendo que a lo largo de la ribera, del río al lado de las márgenes se dejan 5 metros de cada lado. El siguiente dibujo ilustra la situación: Calle 1

Área norte 2Km

río Área sur

Calle 2 5 Km

Los datos aportados fueron diferentes mediciones realizadas desde la Calle 1 a la margen norte del río (tabla 1) y desde la calle 2 a la margen sur del río (tabla2) . El ancho (y Km) del terreno es la distancia desde un punto (x Km) de la calle a la marca de la ribera una distancia x de la calle. Esos valores se muestran en la siguiente tabla: Tabla 1 (Km) 0 Y(Km) 0,54

0,5 0,83

1 0,72

1,5 0,62

2 0,74

2,5 0,82

3 0,68

3,5 0,72

4 0,98

4,5 1,03

Tabla 2 X(Km) 0 Y(Km) 0,96

0,5 0,89

1 1,12

1,5 0,87

2 0,98

2,5 0,86

3 0,79

3,5 0,48

4, 0,68

4,5 5 0,76 0,94

2

5 0,89

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Cálculo del área bajo una curva

1. Introducción Es bien conocido por nosotros que podemos calcular el área bajo una curva utilizando una integral definida

b

∫a f (x )dx

. En ciertas ocasiones no es posible

calcular exactamente el área utilizando este recurso ya que puede ser que no se conozca una primitiva de la función f(x), o ésta sea muy complicada o también puede suceder que no se conozca una expresión analítica para la función, sino que el integrando venga definido por una tabla de valores. En esos casos es posible realizar una estimación o una aproximación del valor del área basado en el hecho que:

Si tenemos una función continua, no negativa para todo punto del intervalo [a,b]; si dividimos el intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales entre sí de longitud (b-a)/n entonces n

b

∫ f (x )dx = lim a

n →+∞

f (x k ) ∆ k x ∑ k =1

donde los puntos xk son los puntos de la partición en n-puntos del intervalo [a,b] y ∆k x es la longitud del k-ésimo intervalo. Así

es que, n

tomaremos

como

aproximación

del

área

a

la

suma

parcial

Sn = ∑ f (x k )∆ k x . Basados en las propiedades de linealidad de la integración y en el k =1

hecho de que existe un único polinomio de grado menor o igual que n que interpola a la función f(x), podemos establecer diferentes reglas que nos permiten calcular una aproximación del área. Para todos los casos que consideramos sea la siguiente partición del intervalo [a,b] a=x0 <...<xk<...xn donde se toman los puntos {xk} igualmente espaciados sea

h

x1=a+h

x0=a

h

x2=a+2h

k = 1,..., N con h = (b − a ) n

x k = a + kh

h b

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Caso 1

f(xk-1 )

Si en cada subintervalo consideramos un rectángulo, que tiene como base la longitud h y como altura f(xk-1), podemos aproximar el área total haciendo la suma de las áreas de todos los sub-intervalos, quedando

f(x)

a

xk-1 h xk

b

n

b

∫ f (x )dx ≅ h ∑f (x k −1 ) a

k =1

a este método se lo llama la regla del rectángulo. El error al aplicar este método f ′(η)(b − a )h como aproximación del área es E R = 2

Caso 2

Este caso difiere del anterior ya que tomamos como altura del rectángulo la imagen del punto medio del intervalo [xk-1, xk] en lugar del extremo. A esta regla se la conoce como regla del punto medio.

f((xk-1 + xk)/2) f(x)

a

Así la regla queda

(xk-1 + xk)/2 b

b n

∫ f (x )dx ≅ h ∑f ( a

k =1

x k −1 + x k ) 2

Y el error en la aproximación resulta E PM =

f ′′(η)(b − a )h 2 24

Caso 3 En este caso, tomamos como aproximante el área de un trapecio. El trapecio que tiene por lados los segmentos (0,f(xk-1) ) y (0,f(xk)) y por altura h=(xk-xk-1). Luego sumamos todas las áreas de la partición para dar una aproximación al área buscada. f(xk-1 ) )

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f(xk) )

f(x) Salta 2005

a

xk-1

xk

b

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Gráficamente queda A esta regla se la conoce como la regla del Trapecio La expresión para el cálculo es

∫

b

a

n −1 h [ f (a) + f (b)] + h∑ f ( x k ) 2 k =1 h = [ f ( a) + f (b)] + h[ f ( a + h) + f ( a + 2h) + ... + f ( a + ( n − 1)h)] 2

f ( x)dx ≅

y la expresión del error es ET = −

Caso 4

f ′′(η)(b − a )h 2 12

El método Montecarlo se utiliza para predecir los valores promedio de las propiedades de un cierto sistema. Se basa en conceptos estadísticos. El método recibe este nombre porque consiste en introducir números aleatorios en el cálculo. Aplicado al cálculo de área, lo podemos presentar bajo la siguiente interpretación:

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Forma de trabajo con la planilla PASOS A SEGUIR 1. Si es posible, construye el gráfico de la función por medio de la planilla de cálculo. Para lo cual llena las celdas con valores de la variable independiente utilizando la opción de rellenar de la planilla (menú edición). 2. Calcula en valor de las imágenes para los valores elegidos. 3. Aplica la regla elegida calculando los valores de cada nueva celda. 4. Obtiene el valor de la aproximación. 5. Si es posible dibuja en un mismo gráfico las áreas aproximadas y exacta 6. Cuando sea posible, calcula la integral definida de la función en forma analítica y compara los resultados. 7. Elabora una conclusión respecto de la comparación de ambos resultados. Realiza alguna aproximación para mejorar la precisión.

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

METODO DE MONTECARLO PASOS A SEGUIR Construye el gráfico de la función por medio de la planilla de cálculo. Sombrea en el gráfico obtenido el área buscada, y considera la misma como un blanco al cual le van a disparar tiros. Si caen en zona rayada el tiro es un acierto. Genera valores aleatorios para la abscisa en el intervalo formado por los ceros de la función. Halla las imágenes de esos valores. Verifica cuáles de los tiros calculados son aciertos. Cuenta los aciertos y calcula por su intermedio el valor de área buscado. Recalcula la planilla varias veces, para obtener un área promedio. Si es posible, calcula la integral definida de la función en forma analítica y compara los resultados. Elabora una conclusión respecto de la comparación de ambos resultados. ¿A qué valor tiende el área por simulación?. Si comparas el valor obtenido por la simulación con el área calculada por la integral definida ¿qué conclusión obtienes del experimento realizado con la planilla de cálculo?

Funciones útiles Número aleatorio entre a y b, usando la función aleatorio de la planilla. (b-a)*(aleatorio)+a 7

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sentencia para establecer una condición SI(, ,>valor falso>)

Actividades 1. Un terreno está situado entre una valla rectilínea y un río. El ancho del terreno medido en metros a un punto x de la valla viene dada por: X(m) Y(m)

0 0

20 22

40 41

60 53

80 38

100 17

120 0

Grafica el área a estimar. Realiza los cálculos para estimar el área del terreno utilizando a) el método del rectángulo, b) el método del trapecio, c) el método de Montecarlo, realiza 7 tiros y recalcula 5 veces la planilla. Estima el valor final de la aproximación como el valor promedio. 2.

Calcula el área comprendida entre la función: f ( x ) = 4 − x 2 y el eje de abscisas en el intervalo que forman los ceros de la función. Grafica el área a calcular. Utiliza para el cómputo a) el método del rectángulo, con n=10 b) el método del trapecio, con n=10 c) el método de Montecarlo, haciendo 10 tiros y recalculando la planilla 5 veces. Estima el valor de la aproximación como el promedio. Compara los resultados con el valor exacto.

3.

Calcula el valor aproximado de

dx utilizando: a) el método del 1+x 2 rectángulo con n=5 b) el método del trapecio, con n=5. c) Refina la partición utilizando n=10, y aplica el método del trapecio. d) Estima el valor del paso (h) en la partición para obtener un error menor que 10-4 1 / 2 dx 1 = arctg ( ) = 0.463647609 El valor exacto está dado por: ∫0 2 2 1+x 1/2

∫

0

4. Hallar el área limita por, el eje x y las rectas x=0 y x=1, aplicando a) la regla del trapecio tomando h=0.1 y b) su desarrollo en serie de Taylor utilizando 7 términos. Una buena estimación del área es 0,74682413281243 ¿Cuál de las dos aproximaciones tiene menor error? Recalcule el valor de la aproximación utilizando h=0,01. ¿Qué precisión obtiene? Si agrega un término más al desarrollo en serie ¿aumenta la precisión?

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Para los ejercicios 1 y 2 se utiliza la siguiente proporción: cantidad de tiros cantidad de unos = área rectángulo área bajo la curva

Bibliografía BURDEN R, FAIRES J.(1985) Análisis Numérico. Ed. Grupo Editorial Iberoamérica CONTE S , BOOR C de (1974). Análisis Numérico. Ed. Mc.Graw-Hill. SHOICHIRO-NAKAMURA(1992): Métodos numéricas aplicados con software. Ed Prentice Hall Hipanoamerica, S.A. SMITH W. A.(1998) Análisis Numérico. Ed. Prentice Hall Hipanoamerica, S.A. MANUAL DE PLANILLA DE CÁLCULO

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