Romberg.docx

INTEGRACIÓN POR ROMBERG

RAFAEL ANDRES BELTRAN 2009288517

Presentado a: YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS DOCENTE ENCARGADO

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA NEIVA – HUILA 2018

TABLA DE CONTENIDO

PÁGINA 1. 2. 3. 4. 5. 6.

INTRODUCCIÓN DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DESARROLLO DEL EJERCICIO ANÁLISIS DE RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

3 4 5 7 8 8

INTRODUCCIÓN

El método de Romberg se apoya en el método de integración trapezoidal. Este método lo que hace es tomar datos de integración trapezoidal, y a partir de ellos, obtener uno muchísimo más preciso que los valores iniciales.

Con este método de integración, podemos obtener el área bajo la curva, de un polinomio cualquiera, ya sea integrable o no, entre 2 puntos dados.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Este método se complementa con el método de integración trapezoidal. A partir de datos de integración trapezoidal, este método calcula un dato más exacto que los dados por integración trapezoidal inicialmente.

Los datos son calculados mediante la fórmula:

𝐼𝑖𝑘

𝑘−1 4𝑘 𝐼𝑖+1 − 𝐼𝑖𝑘−1 = 4𝑘 − 1

Cabe destacar que el resultado es numérico, más no analítico.

DESARROLLO DEL EJERCICIO

Para la aplicación de este método, usamos un polinomio en base a nuestros códigos, de la siguiente manera:

𝑓(𝑥) = 𝑒

−2 𝑥 4

4 ∗ ( 𝑆𝑖𝑛𝑥) 2

La gráfica para dicha función es:

Antes de empezar a calcular datos, por medio de integración trapezoidal para el polinomio: 𝑓(𝑥) = 𝑒

−2 𝑥 4

4 ∗ ( 𝑆𝑖𝑛𝑥) 2

Obtuvimos distintos datos para distintas sub áreas (con límites de 1 y 2):

  

Para 1 sub área: 0,8449 Para 3 sub áreas: 0,9027 Para 6 sub áreas: 0,9082

Luego, se procede a organizar los datos de la siguiente forma:

𝐼00 = 0,8449 𝐼10

𝐼01 = 0,9219

= 0,9027

𝐼20 = 0,9082

𝐼11 = 0,91

𝐼02 = 0,9092

Ahora, se procede a calcular los valores, hasta llegar al valor final: 𝐼02

𝐼01

1−1 41 𝐼0+1 − 𝐼01−1 4𝐼10 − 𝐼00 4(0,9027) − 0,8449 = = = = 0,9219 41 − 1 4−1 3

𝐼11

1−1 41 𝐼1+1 − 𝐼11−1 4𝐼20 − 𝐼10 4(0,9082) − 0,9027 = = = = 0,91 41 − 1 4−1 3

𝐼02

2−1 42 𝐼0+1 − 𝐼02−1 16𝐼11 − 𝐼01 16(0,91) − 0,9219 = = = = 0,9092 42 − 1 16 − 1 15

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Al aplicar integración por Romberg entre 1 y 2 al polinomio:

𝑓(𝑥) = 𝑒

−2 𝑥 4

4 ∗ ( 𝑆𝑖𝑛𝑥) 2

Obtenemos que el valor del área bajo la curva entre 1 y 2, es de 0,9092

Haciendo la integral definida del polinomio entre 1 y 2, y resolviendo de forma analítica, tenemos:

2 −2

4

𝑥 ∫1 𝑒 4 ∗ (2 𝑆𝑖𝑛𝑥) 𝒅𝒙 =0.91

Determinando el porcentaje de error, tenemos que:

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|𝑉𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 | |0,91 − 0,9092| × 100 = × 100 = 0,0879 𝑉𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 0,91

CONCLUSIONES



El método de integración por Romberg es muy preciso, comparándolos con el trapezoidal y el rectangular.



Su porcentaje de error es muy pequeño, por lo que facilita su uso.



Depende de datos provenientes de integración por el método trapezoidal.

BIBLIOGRAFÍA



Integración numérica de una función con límites definidos por el método de la regla trapezoidal-Yamil Armando Cerquera- Universidad Surcolombiana



es.slideshare.net/robertozenaidobustamante/regla-trapezoidal



wwwprof.uniandes.edu.co/~gprieto/classes/compufis/integracion.pdf