Roger Penrose - Texto

Roger Penrose

1. Dados Pessoais Roger Penrose nasceu em Colchester, Inglaterra, em 8 de Agosto de 1931. É físico-matemático Oxford.

e professor emérito de Matemática da Universidade de

Filho do cientista Lionel S. Penrose e de Margaret Leathes

é irmão

do matemático Oliver Penrose e do mestre no xadrez Jonathan Penrose. É altamente reconhecido pelos seus trabalhos em física matemática, em particular pelas suas contribuições para a relatividade geral e a cosmologia, conjuntamente com o físico Stephen Hawking. contribuições em matemática recreativa e em filosofia.

Penrose tem também Recentemente foi-lhe

atribuído o título de Sir pelos seus extraordinários contributos à matemática. É considerado um dos pensadores mais originais e criativos da actualidade. A sua admiração

pela obra do artista M.C. Escher (criador de mundos

imaginários) fê-lo trabalhar na criação de suas “figuras impossíveis”, que serão citadas ao longo do presente trabalho. Também escreveu alguns livros, entre eles: “O Grande, o Pequeno e a Mente Humana” e “O Caminho à Realidade: Uma guia completa às leis do universo”. A presente pesquisa dará maior ênfase ao trabalho de Penose na matemática recreativa, nomeadamente nas pavimentações.

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2.

Contribuição de Penrose na Matemática Recreativa

A Matemática Recreativa é a área da matemática que se utiliza de jogos, probelmas,

desafios,

puzzles,

que,

para

alem

de

exigir

conhecimento

matemático, surgem como recreação, diversão. Constitui, nos nossos dias, uma área já muito vasta, com uma história muito antiga, já que os problemas, os jogos e os puzzles existem em todas as civilizações. Na

matemática recreativa , Penrose dedicou-se muito em particular

às

pavimentações. Investigou a existência, ou não, de um conjunto de ladrilhos que pavimentassem o plano, mas sem gerar um padrão repetido. Como esse desafio não era passível de ser resolúvel em computador, Penrose precisou de utilizar o processo manual de desenho. Esta última actividade descobrir há alguns anos

as “figuras impossíveis” e os mosaicos

levou-o

a

que hoje

levam o seu nome ( protoladrilhos de Penrose). Assim, começou a desenvolver conjuntos de ladrilhos que gerassem este tipo de pavimentações. Após vários anos de investigação, conseguiu reduzir o número , de milhares no início da sua pesquisa, para seis e, mais tarde, para dois. Foram desta forma criados os três conjuntos de protoladrilhos de Penrose, com seis, dois e dois ladrilhos respectivamente.

Conjunto de seis ladrilhos diferentes

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Dois tipos de ladrilhos ( seta e papagaio)

Dois tipos de ladrilhos ( losangos)

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2.1. Alguns

conceitos básicos para melhor entender o

trabalho de Penrose Com o objectivo de melhor entendermos os resultados da pesquisa de Penrose com pavimentações, acreditamos ser importante rever alguns conceitos básicos.

2.1.1. Pavimentação Pavimentação de

um plano é o

preenchimento

desse mesmo plano

completamente através do uso repetido de polígonos, ou de outras figuras, sem falhas nem sobreposições. A essas figuras que se repetem indefinidamente, chamamos ladrilhos. Fazem-se necessárias ainda as seguintes observações sobre pavimentação: - O ponto onde se intersectam três ou mais ladrilhos é um vértice; - Para pavimentar é necessário utilizar pelo menos três polígonos em torno de cada vértice; - A soma dos ângulos internos que convergem no mesmo vértice tem se ser 360º, para que não haja falhas nem sobreposições.

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2.1.1.1. Tipos de Pavimentações As pavimentações podem ser: •

Periódicas : são pavimentações

que,

ao

sofrer uma translação,

permanecem invariantes, ou seja, é possível deslocá-la sobre si própria, continuando os ladrilhos perfeitamente alinhados. Mantêm um padrão de repetição. Dentre elas, encontramos: Pavimentações regulares: são pavimentações monoédricas ( formadas por apenas um tipo de ladrilho)

em que os ladrilhos são polígonos regulares

congruentes (ou seja, com o mesmo tamanho e forma) e que seus vértices coincidem com os de outros ladrilhos.

Pavimentações irregulares : são consideradas pavimentações

irregulares

todas aquelas em que a cada vértice concorre pelo menos um dos lados do polígono. 5

Pavimentações demiregulares: são pavimentações constituídas por mais de um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices. Existem mais de catorze pavimentações diferentes formadas apenas por dois ou três polígonos. Com mais de três polígonos diferentes há infinitas possibilidades.

•

Aperiódicas: são pavimentações onde não existe um padrão que se repita, apesar de ser possível haver uma cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições. Este tipo de pavimentações é possível quando cada um dos ladrilhos tem elementos gráficos que restringem a sua colocação no plano. Esse é o tipo de pavimentação pesquisada por Penrose.

2.2. Protoladrilhos de Penrose Protoladrilho é um ladrilho com o qual é possível construir uma pavimentação do plano.

Vamos apresentar os três conjuntos de protoladrilhos de Penrose,

bem como as suas formas de combinação. 6

2.2.1.

Primeiro Conjunto de Protoladrilhos

Vejamos agora o exemplo de uma pavimentação aperiódica formada por este conjunto de protoladrilhos:

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2.2.2. Segundo Conjunto de Protoladrilhos

kite ou papagaio

dart ou seta

Este é o mais notável conjunto de protoladrilhos construído por Roger Penrose. Os dois protoladrilhos obtêm-se a partir de um losango de ângulos internos 36º e 72º. Ambos os protoladrilhos têm a forma de um papagaio, um côncavo e outro convexo. É notório que se podem obter inúmeras pavimentações periódicas

utilizando

estes

dois

protoladrilhos,

de

facto,

para

que

a

pavimentação seja aperiódica é necessário unir os vértices com a mesma letra. Foi John Conway que lhes atribuiu o nome de kite e dart, ou papagaio e seta. Vejamos agora o exemplo de uma pavimentação aperiódica formada por este conjunto de protoladrilhos.

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Esta é uma das mais importantes pavimentações papagaios e setas, kites e darts é a

de Penrose, usando

Cartwheel. A região central é rodeada por

um decágono de papagaios e setas nas pontas. Cada ponto de cada ladrilho está contido num decágono idêntico - ainda que o conteúdo deste possa variar.

2.2.3. Terceiro Conjunto de Protoladrilhos

Estes protoladrilhos são designados por rombos aperiódicos. É um conjunto formado por dois losangos. As regras de junção estão demonstradas na figura seguinte. 9

Com

os

losangos

marcados

desta

forma

é

possível

construir

infinitas

pavimentações aperiódicas, mas nenhuma periódica. Vejamos o exemplo de uma delas:

2.3. Figuras impossíveis de Penrose Triângulo de Penrose Este triângulo parece ser um objecto sólido, feito de três barras entrelaçadas que se encontram aos pares nos ângulos rectos dos vértices dos triângulos que formam ( chamado tribarra). 10

O conceito do triângulo de Penrose pode ser estendido a outros polígonos, como por exemplo, o "quadrado de Penrose", mas o efeito visual não é o mesmo.

3. Da Matemática recreativa para os estudos sobre o Universo A partir de seus estudos e criações de pavimentações assimétricas, Penrose chegou a uma digressão sobre o Universo. Este Universo possui uma ordem na criação das suas formas, com a repetição padronizada, à semelhança das pavimentações periódicas.

Penrose, porém, ao criar as pavimentações

aperiódicas, acabou por provar que no Universo também há formas que não se repetem de maneira padronizada.

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4. Curiosidades 4.1. Arte feita com a pavimentação de Penrose Quadro pintado a partir das formas propostas por Penrose.

4.2. Mau uso do conhecimento O segundo conjunto de protoladrilhos de Penrose, de setas e papagaios (kites e darts), foi utilizado para

pavimentar rolos de papel higiénico de uma

conhecida marca. Como estes ladrilhos permitem construir pavimentações sem haver repetição de um padrão, o fabricante pretendia produzir um rolo de papel higiénico em que nunca houvesse sobreposição de perfurações, com o objectivo de reduzir o volume de papel em 15% num mesmo rolo , o que foi conseguido. Houve a abertura de um processo na Inglaterra contra esse fabricante.

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4.3. Puzzle de Penrose - Perplexing Poutry Penrose desenhou

um puzzle

usando o conceito de pavimentação que

desenvolveu, denominado Perplexing Poutry. O puzzle é constituído por peças em forma de pássaro. Existem apenas dois tipos de peças, pássaros pequenos e pássaros grandes. O objectivo é cobrir completamente a superfície plana, onde se brinca. Embora aparente ser uma tarefa fácil, na realidade não é! E para além disso existe apenas uma solução.

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5. Opinião dos Elementos do Grupo 5.1. Opinião de João Zanini Gostei muito de fazer este trabalho porque me ajudou a perceber para que, na realidade, serviam os conhecimentos sobre pavimentações e como podemos fazê-las.

Esta pesquisa

despertou-me para o facto de como foi trabalhoso

para Penrose criar esses padrões de protoladrilhos. O que mais gostei foram as diversas possibilidades de pavimentações, e as que mais me agradam são as formadas pelo segundo conjunto de protoladrilhos. Foi-me também agradável realizar um protoladrilho de Penrose do terceiro grupo, através de colagem, em anexo a este trabalho.

5.2. Opinião de Gabriel Zanini Ao fazer este trabalho, eu percebi que havia muitas coisas interessantes sobre pavimentações e que estavam relacionadas com Penrose. A parte que mais gostei foram os inúmeros tipos desenhos que se formavam, bem como o modo

de pavimentações e os de serem construídas.

O

terceiro conjunto de pavimentações de Penrose, constituído só por losangos, foi o que mais me agradou. Este trabalho ajudou-me a perceber o grande esforço e dedicação que foram necessários a Penrose para atingir seu ideal de pesquisa Ao realizar o protoladrilho em colagem, pude ter idéia da complexidade desta criação.

6. Bibliografia http://www.geometrias.com.br/GEONOVO http://esidm.0fees.net/disciplina/matematica/abaco40.htm#rogerpenrose www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm22/paviaper.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_penrose 15