Rezistenta Materialelor

ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR

1

INTRODUCERE IN REZISTENTA MATERIALELOR

1. REZISTENTA MATERIALELOR. OBIECTUL STUDIULUI Perechea de valori efort unitar-deformaţie specifică (constituind - în forma sa cea mai elementară - răspunsul stucturii pe o anumită treaptă a solicitării) reprezintă coordonatele unui punct aflat pe diagrama caracteristică a materialului din care este acătuită structura (fig.1.1.)

Fig.1.1. In raport cu desfăşurarea complexă a diagramei caracteristice, poziţia punctului indică atât nivelul solicitării, cât şi un anume mod particular de comportare şi patru răspunsuri de tip diferit sunt precizate pe diagrama σ - ε a moale:

Fig.1.2. 1 - solicitare moderată; comportare liniar-elastică; 2 - solicitare cu intensitate medie; comportare elastică neliniară; 3 - solicitare puternică; comportare plastică cu deformaţii exagerat de mari; 4 - solicitare excesivă, în preajma ruperii.

2

Dirijarea răspunsului spre anumite zone ale diagramei caracteristice, spre un anume mod de comportare a materialului, este posibilă şi constituie aspectul ingineresc al procesului de proiectare. Următorii sunt factorii care controlează răspunsul şi asupra cărora există posibilitatea unor intervenţii de natură să-i modifice parametrii: - regimul acţiunilor exterioare (solicitarea); - configuraţia de ansamblu a sistemului de bare care alcătuiesc structura (geometria axelor); - configuraţia secţiunii transversale (geometria secţiunii). In determinarea tuturor formelor răspunsului, aceşti factori sunt angrenaţi în cadrul următorului sistem de relaţii: STATICA CONSTRUCTIILOR

SOLICITAREA GEOMETRIA AXELOR

EFORTURI SECTIONALE

EFORTURI UNITARE SI DEFORMATII SPECIFICE

GEOMETRIA SECTIUNII REZISTENTA MATERIALELOR

Elemente sumare de STATICA CONSTRUCTIILOR, care au făcut obiectul părţii a III-a a cursului, au furnizat - deocamdată - metode pentru determinarea eforturilor secţionale. (Dirijarea răspunsului secţional prin modelarea geometriei axelor, corelarea configuraţiei de ansamblu a structurii cu regimul acţiunii exterioare, constituie o treaptă superioară a acestui studiu şi va fi abordată mai târziu). Pentru elementele de tip bară, alcătuite din materiale omogene, cu comportare simetrică (oţel şi alte materiale metalice, lemn etc.), modul în care EFORTURILE SECTIONALE - parametrii globali (la nivelul secţiunii considerate în ansamblu) ai forţelor interioare de legătură - se traduc în EFORTURI UNITARE - parametrii discuţii, punctuali (la nivelul fiecăruie punct aparţinând secţiunii) ai aceleeaşi interacţiuni - şi implicaţiile pe care GEOMETRIA SECTIUNII TRANSVERSALE ca element cheie în dirijarea răspunsului punctual, le are în cadrul acestui sistem relaţional fac obiectul părţii a patra a cursului , intitulată ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR. Răspunsul structurilor alcătuite din materiale omogene sau cu comportare puternic nesimetrică (beton simplu, beton armat, beton precomprimat) va fi studiat în cursul anilor următori. Determinarea distribuţiei pe secţiune a forţelor interioare de legătură (precizarea parametrilor eforturilor unitari în fiecare punct al secţiunii( capătă rezolvări particulare pentru fiecare din cele patru tipuri de solicitare simplă

3

(întindere/compresiune centrică, forfecare, încovoiere, torsiune) definite în cadrul staticii construcţiilor. Procesul proiectării secţiunii transversale (modelare geometriei secţiunii), în vederea dirijării răspunsului spre forme raţionale (dictate de un complex de considerente dintre care SIGURANTA SI ECONOMIA joacă rolurile principale) se desfăşoară în cadrul organizat al unei METODE DE CALCUL. Metoda de calcul folosită curent în Rezistenţa materialelor este moetoda rezistenţelor admisibile. 2. METODA DE CALCUL A REZISTENTELOR ADMISIBILE In metoda rezistenţelor admisibile comportarea elementului sub încărcări este controlată prin eforturi unitare. Conform metodei, proiectarea trebuie să asigure răspunsului parametrie liniarelastice*. In acest scop, metoda impune următoarele două inegalităţi fundamentale: σ max ≤ τ τ max ≤ τ

(1.1)

unde: - σmax, şi τmax reprezintă (pentru solicitarea dată) eforturile unitare maxime ce pot apărea în cea mai solicitată zonă a structurii (în cel mai solicitat punct al celei mai solicitate secţiuni); - σa, şi τa reprezintă rezistenţe admisibile, valori convenţionale ale unor eforturi moderate, situate în domeniul comportării liniar elastice, proprii fiecărui material (şi în anumite condiţii - proprii şi unor particularităţi ale modului de solicitare a elementului). Se obişnuişte ca rezistenţa admisibilă să fie subordonată uneia din valorile particulare de pe curba caracteristică (limita de curgere, σC, pentru materialele ductile, cu curgere, sau limita de ruperi, σr, pentru materiale fragile, fără curgere); în funcţie de tipul materialului (ductil, fragil), rezistenţele admisibile se definesc atunci sub una din formele următoare: σ c σ σa = c , σa = (pentru materiale ductile), sau c c

σ σ σa = r , σa = r (pentru materiale casante), c c unde c, cu valori supraunitare, reprezintă coeficientul de siguranţă.

*) Acest tip de răspuns, caracterizat de liniaritatea relaţiei efort unitar-deformaţii specifică, este guvernat de legea lui Hooke, sub cele două forme: σ = Eε şi τ = Gγ

4

Fig.1.3. Rolul moderator al coeficientului de siguranţă, care limitează comportarea materialului la o zonă restrânsă a diagramei sala caracteristice (OA - în fig. 1.3), are în vedere siguranţa în comportare a structurii şi decurge din următoarele considerente: - determinarea încărcărilor este în toate cazurile aproximativă şi o depăşire a valorilor considerate în calcul nu este exclusă; - caracteristicile mecanice ale materialului nu pot fi cunoscute cu precizie şi este posibilă oricând o supraevaluare a rezistenţelor; - schematizările privind forma structurii şi modul de aplicare a forţelor, procedeele, procedeele de calcul etc. sunt sursa unor modelări aproximative ale fenomenului real. Rezistenţele admisibile sunt precizate prin normele şi standardele de stat care reglemetează proiectarea. Pentru oţelul OL 37 (oţel moale, ductil), a cărui limită de curgere se consideră egală cu 24 ore Kg/cm2, se acceptă un coeficient de siguranţă c = 1,6; în aceste condiţii. Pentru lemnul de brad supus la întindere/compresiune în lungul fibrelor, σ 2 a = 100 kgf/cm . Metoda de calcul a rezistenţelor admisibile, introdusă de Navier la începutul sec. XIX, a fost unanim acceptată până către jumătatea secolului nostru. Pentru noi ea mai constituie metoda de calcul a structurilor metalice şi din lemn.

5

Capitolul II GEOMETRIA SECTIUNII BAREI 1. MOMENTE DE INERTIE 1.1. DEFINITII 1.1.1. MOMENT DE INERŢIE AXIAL Fie suprafaţa secţiunii (de arie A) şi axa ∆ cuprinsă în planul ei (fig.2.1.) Momentul de inerţie axial al suprafeţei secţiunii în raport cu axa este definitiv de expresia

I∆ =

∫

A

a2dA,

(2.1.)

unde a reprezintă distanţele de la elementele de arie dA (aparţinând suprafaţa secţiunii) la axa ∆.

fig.2.1. 1.1.2. MOMENT DE INERŢIE POLAR Fie suprafaţa secţiunii (de arie A) şi punctul 0 cuprins în planul ei (fig.2.2). Momentul de inerţie polar al suprafeţei secţiunii în raport cu polul σ este definit de expresia. Io =

∫

A

r2 dA

(2.2)

unde r reprezintă distanţele de la elementele de arie dA (aparţinând suprafeţei secţiunii) la polul 0.

6

Fig.2.2. Observaţie. Faţă de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea în polul 0), Ix + Iy = Io = const.

(2.3)

căci x2 + y2 = 22 (fig.2.3)

fig.2.3. 1.1.2. MOMENT DE INERŢIE CENTRIFUGAL Fie suprafaţa secţiunii (de arie A) şi sistemul ortogonal de axe 0xy cuprins în planul ei (fig.2.4).

Fig.2.4. Momentul de inerţie centrifugal al suprafeţei secţiunii în raport cu cele două axe este definit de expresia: Ixy = ςA xy dA,

(2.4.)

unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la cele două axe.

7

1.2.

MOMENTE DE INERTIE AXIALE ALE SUPRAFATA DE FORMA PARTICULARA

UNOR SECTIUNI CU

1.2.1. Momentul de inerţie al unei secţiuni dreptunghiulare în raport cu o axă de simetrie Fie o suprafaţă dreptunghiulară cu laturile b, h şi axa x paralelă cu latura b (fig. 2.5). Ix =

bh 3 12

Notă: în produsul de la numărător, la puterea întâi intervine dimensiunea laturii paralele cu axa In mod similar, în raport cu axa y, paralelă cu latura h,

Iy =

hb 3 12

(2.5)

fig. 2.5. 1.2.1. Momentul de inerţie al unei secţiuni circulare în raport cu un diametru 4 ID = πd 64

(2.6)

unde D este diametrul cercului

8

1.3. MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE PARALELE Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A în raport cu axa D G ce trece prin centrul de greutate al suprafeţei (axă centrală). Să se determine momentul de inerţie al aceleaşi suprafeţe în raport cu axa D paralelă cu axa ∆G, la distanţa d (fig.2.6).

Fig.26 I = ςAa2dA= ςA (aG = d)2 da; I = ςAa2 GdA + 2d ςA abdA + d2ςAdA; întrucât ςA aGdA = 0 (căci reprezintă momentul static al unei suprafeţe în raport cu σ axă centrală), I = IG + Ad2

(2.7)

epresie cunoscută sub numele de formula lui Steiner Momentul de inerţie în raport cu o axă centrală are valoare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă). 1.4. MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE CONCURENTE. MOMENTE PRINCIPALE DE INERTIE. AXE PRINCIPALE DE INERTIE. In raport cu diferite axe trecând prin punctul 0 cuprins în planul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite. Intrucât în raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2) suma momentelor de inerţie este o constantă - conf. relaţiei (2.3) stabilită anterior - dacă I1 (în raport cu axa D) are valoare maximă, rezultă că I2 (în raport cu axa D2) are valoare minimă. Momentele de inerţie cu valori extreme, I1 = Imax şi I2 = I min, se numesc momente principale de inerţie; cele două axe perpendiculare între ele - în raport cu

9

care momentele de inerţie ating aceste valori se numesc axe principale de inerţie. Când punctul 0 este centrul de greutate al suprafeţei, momentele extreme se numesc momente centrale principale de inerţie, iar axele - axe centrale principale de inerţie. Dacă suprafaţa are o axă de simetrie, ea este axă centrală principală de inerţie (fără demonstraţie); perpendicular pe ea se află, desigur, cea de-a doua axă principală (fig.2.7).

Fig.2.7 Pe baza relaţiei de definiţie (2.1) în care intervin distanţele a, pentru anumite forme de secţiuni, la care suprafaţa este distribuită evident în lungul uneia din cele două axe, se poate aprecia (fără calcul) că în raport cu această axă momentul de inerţie este minim; este cazul secţiunilor b, c, d din fig. 2.7. La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toate momentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele centrale sunt axele principale de inerţie; este cazul suprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie (suprafeţele poligoanelor regulate, inclusiv cercul).

10

1.5.

CALCULUL MOMENTELOR DE INERTIE LA SECTIUNI DE FORMA OARECARE

Fie o suprafaţă de arie A compusă din mai multe suprafaţe cu ariile AI, AII, AIII…. Integrala pe aria A, reprezentând expresia momentului de inerţie se poate descompune în integrale pe ariile parţiale AI, AII, AIII…., reprezentând momentele de inerţie ale suprafeţelor parţiale: I = ςA a2dA = ςAI a2dA + ς AII a2dA + ςAIII a2dA + …… adică I = II + III + IIII + ….

(2.8)

Momentul de inerţie al unei suprafeţe în raport cu o axă este egal cu suma momentelor de inerţie al unor suprafeţe componente, în raport cu aceeaşi axă. Observaţia serveşte la calculul momentului de inerţie al suprafeţelor compuse din figuri geometrice regulate (de obicei dreptunghiuri), pentru care momentul de inerţie este uşor de calculat. Cu notaţiile din fig.2.8, unde GI şi GII sunt centrale de greutate ale celor două suprafeţe parţiale de formă dreptunghiulară, în baza relaţiilor (2.7), (2.5) şi (2.8), momentul de inerţie I al întregii suprafeţe în raport cu axa ∆ este I = II + III =

b.I n3 b h3 + b.h, a12 + H II + bII hII a II2 12 12

Fig.2.8 2. MODUL DE REZISTENTA 2.1. DEFINITIE Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a suprafeţei secţiunii definită în raport cu una din cele două axe principale centrale de inerţie.

11

Modulul de rezistenţă Wx în raport cu axa x are expresia. Wx =

1x I max

unde : - Ix este momentul de inerţie al suprafeţei în raport cu axa x; - Ymax este distanţa, de-a lungul axei y (cea de-a doua axă principală de inerţie) , de la axa x la extremităţile secţiunii (fig.2.9)

Fig.2.9 Dacă axa x nu este axă de simetrie, se definesc două valori ale modulului de rezistenţă - WIx şi WxII - corespunzătoare celor două distanţe maxime. IImax şi III max. 2.2. MODULUL DE REZISTENTA AL UNOR SECTIUNI DE FORMA PARTICULARA 2.2.1. Modulul de rezistenţă al unei secţiuni dreptunghiulare Fie o suprafaţă dreptunghiulară cu laturile b, h şi axa x paralelă cu latura b în baza relaţiilor (2-9) şi (2.5) bh 3 Wx = 12 h 2

Wx =

bh 2 6

(2.10)

12

2.2.2. Modulul de rezistenţă al unei secţiuni circulare In baza relaţiilor (2.9) şi (2.b), dacă d este diametrul cercului,

πd 4 W = 64 , d 2 πd 3 W= 32

(2.11)

3. RAZA DE INERTIE (RAZA DE GIRATIE) 3.1. DEFINITIE Rapa de inerţie este o caracteristică geometrică a suprafeţei secţiunii definită în raport cu una din cele două axe principale de inerţie. Raza de inerţie ix în raport cu axa x are expresia ix )

Ix , A

(2.12)

unde - Ix este momentul de inerţie al suprafeţei în raport cu axa x, - A este aria secţiunii 4. TABELE DE CARACTERISTICI GEOMETRICE Următoarele tabele cuprind caracteristicile geometrice ale secţiunilor profilelor laminate I şi U din oţel şi ale secţiunilor dreptunghiulare din lemn ecarisat, cu dimensiuni standardizate în România*.

13

LEMN ECARISAT (după STAS 942-71) Denumirea bxh cm 10 x 12 10 x 15 10 x 19 12 x 12 12 x 15 12 x 19 12 x 25 15 x 15 15 x 17 15 x 19 15 x 25 15 x 30 19 x 25 19 x 30 25 x 25 25 x 30 30 x 30

Aria A cm2 120 150 190 144 180 228 300 225 255 285 375 450 475 570 625 750 900

Axa de încovoiere x - z Iz Wz iz m4 cm2 cm 1.140 240 3,46 2.812 375 4,33 5.716 602 5,48 1.728 288 3,46 3.375 450 4,33 6.859 722 5,48 15.625 1.250 7,22 4.219 562 4,33 6.141 722 4,91 8.547 902 5,48 19.531 1.562 7,22 33.750 2.250 8,66 24.740 1.979 7,22 42.750 2.850 8,66 32.552 2.604 7,22 56.250 3.750 8,66 67.500 4.500 8,66

Iy cm2 1000 1.250 1.583 1.728 2.160 2.736 3.600 4.219 4,781 5.344 7.031 8,437 14.290 17,148 32.552 39.063 67.500

Wy cm2 200 250 317 288 360 456 600 562 637 712 937 1.125 1.504 1,805 2.604 3.125 4.500

iy cm 2,89 3,46

4,33 5,48 7,22 8,66

*) In tabele, pentru axele principale de inerţie ale secţiunii, s-au folosit notaţiile y şi z.

14

Capitolul III REZISTENTA SI RIGIDITATEA ELEMENTELOR DE TIP BARA

1. ELEMENTE SOLICITATE LA INTINDERE SI COMPRESIUNE CENTRICA 1.1. INTINDEREA SI COMPRESIUNEA CENTRICA. DEFINITIE; EXEMPLE Intinderea/compresiunea centrică este solicitarea simplă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală, interacţiunea este exprimată printr-o pereche de forţe axiale (fig.3.1).

fig.3.1. O pereche de forţe echilibrate aplicate pe o bară dreaptă de-a lungul axului ei generează între punctele de aplicaţii întindere/compresiune centrică (fig.3.2). Forţa axială N are intensitatatae P a fiecăruia din cele două forţe exterioare

Fig. 3.2. In practică, întinderea/compresiunea centrică este solicitarea caracteristică barelor grinzilor cu zăbrele (şi în general sistemelor alcătuite din bare drepte articulate la capete, încărcate cu forţe în punctele de articulare), numai sub formă de întindere, ea este proprie firelor (drepte, poligonale sau curbe).

15

1.2. REZISTENTA BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRIC 1.2.1. Eforturi unitare pe sectiunea transversala Studiul geometric (privind modul de deformare). Pe suprafeţele laterale ale unei bare drepte cu secţiune dreptunghiulară se trasează un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) şi transversale (perpendiculare pe axă). In regim de solicitare (fig.3.3) liniile transversale se depărtează /aproape (prin translaţii) rămânând drepte, paralele între ele şi normale pe cele longitudinale.

Fig. 3.3. Observaţia corespunde ipotezei Bernoulli (secţiuni transversale plane şi normale pe axă rămân plane şi normale tot timpul deformării), confirmând-o (cu puţin pe suprafaţa - vizibilă - a barei) Cu privire la cele două tipuri de deformaţii (liniare şi unghiulare) se constată - lipsa deformaţiilor unghiulare ( = 0) căci unghiurile reţelei nu se modifică - prezenţa unor deformaţii liniare egale în toate fibrele longitudinale ale barei (∆l = const., deci ε = const.). Studiul fizici consemnează condiţia de elasticitate liniară (legea lui Hooke) acceptată în Rezistenţa materialelor.

Sinteza studiu geometrică - studiu fizic. Dacă γ = 0, rezultă τ = 0. Dacă ε = const., rezultă = const. Pe secţiunea transversală, interacţiunea punctuală este exprimată prin eforturi unitare normale τ egale (uniform distribuite) (fig.3.4).

Fig. 3.4. Studiul static. Efortul secţional N şi sistemul de eforturi unitare sunt măsura aceleaşi interacţiuni. Studiul static consemnează echivalenţa dintre cele două moduri de exprimare ale ei:

16

N=

∫

A

σ dA

Sinteza studiu geometric - studiu static. Intrucât σ = const.

de unde:

N = σ ∫A dA = τA, σ=

N A

(3.1)

Mărimea efortului unitar σ depinde de doi parametri: - forţa axială N, parametrul global al interacţiunii din secţiune, măsura solicitării - aria A, parametrul geometriei secţiunii transversale. I.2.2. Proiectarea de rezistenţă a secţiunii barelor întinse/comprimate centric 1.2.2.1. Condiţii de rezistenţă. Verificare; dimensionare, capacitate portantă. Condiţia de rezistenţă impusă de metoda rezistenţelor admisibile (1.1) devine N ≤ σa A Relaţia conţine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar ăn procesul celor trei factori care apar în procesul proiectării secţiunii: - solicitarea, exprimată prin forţa axială N; - materialul, exprimat prin rezistenţa sa admisibilă τa; - geometria suprafeţei secţiunii transversale, exprimată prin aria A. După felul în care aceştia intervin (ca parametrii cunoscuţi sau necunoscuţi), proiectaread îmbracă trei aspecte: verificarea, dimensionarea şi determinarea capacităţii portante a secţiunii. Cele trei aspecte ale proiectării sunt prezentate sintetic în tabelul 3.1 şi comentate în continuare. Tabelul 3.1.

Verificare Dimensionare

Parametri cunoscuţi

Parametri necunoscuţi

N, σa, A

-

N, σa

Aria necesară Anec

17

Relaţia de calcul N ≤ σa A N

Anec = σ a

Forţa capabilă Ncap = σaA Ncap In problemele de dimensionare, după stabilirea ariei necesare Anec, dimensiunile secţiunii (cărora le va corespunde aria efectivă Aef) se aleg astfel, încât, indiferent de forma ei , Aef ≥ Anec. Capacitatea portantă a unei secţiuni se măsoară prin forţa axială - numită forţă capabilă, Ncap - corespunzătoare unor eforturi unitare egale cu rezistenţa admisibilă. Rezistenţa barei este asigurată dacă efortul axial N corespunzător solicitării (determinat în funcţie de încărcări) nu depăşeşte efortul capabil N ≤ Ncap.

Capacitate portantă

σa, A

1.2.2.2. Observaţie privind proiectarea barelor comprimate. Barele comprimate se pot distruge mai înainte cu eforturile unitare (determinate cu raport între forţa axială şi aria secţiunii transversale) să atingă limita de rupere sau de curgere a materialului, prin fenomenul numit flambaj*. In principiu, pericolul flambajului este cu atât mai mare cu cât barele sunt mai svelte. Numai barele robuste (cu lungimea redusă şi secţiuni transversale desvoltate) pot fi proiectate la compresiune în condiţiile analizate în capitolul de faţă. 1.2.3. Concentrări de eforturi In secţiuni transversale foarte apropiate de punctul de aplicaţie a forţei exterioare axiale (fig.3.8) ipoteza lui Bernoulli (a secţiunilor plane…) este infirmată de experiment. Fibrele longitudinale din preajma axei barei, cu deformaţii longitudinale mai mari, vor fi mai puternic solicitate;

*) Flambajul va fi analizat pe larg în unul din capitolele următoare ale cursului.

Fig.3.8. fig.3.8 prezintă distribuţia eforturilor unitare σ în trei secţiuni (a, b, c) aflate la distanţe diferite de punctul de aplicaţii a forţei exterioare.

18

In secţiuni transversale suficient de depărtate de punctul de aplicaţie a forţelor exterioare, distribuţia în secţiune a eforturilor unitare nu este influenţată de modul de aplicare a acestor forţe (principiului Saint-Venant). Neuniformităţile în distribuţia eforturilor unitare pe secţiunea transversală apar şi la variaţii …….. ale formei secţiunii (găuri, crestături etc.) (fig.3.9). Concentraţiile de eforturi din secţiunile slăbite de găuri sau crestături au consecinţe diferite la materialele casante şi ductile. La materialele casante bara se rupe brusc când “vârful” eforturilor atinge τr (deci la o valoare a efortului mediu mult mai mică decât τr (fig.3.10). La materialele ductile (cu curgere, sau cu deformaţii plastice mari) ruperea este un proces îndelungat, care se sfârşeşte chiar după ce, treptat, pe măsură ce creşte solicitarea, toate eforturile unitare din secţiune ating rezistenţa de curgere; distribuţia eforturilor unitare în câteva faze premergătoare ruperii unei bare alcătuite din material ductil este prezentată în fig.3.11.

fig.3.10

fig.3.10

19

fig. 3.11 1.3. DEFORMATIILE BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CETRIC 1.3.1. Calculul deformaţiilor Intre deformaţii şi eforturi există legătura liniară exprimată de legea lui Hook σ = Eε; de aici se deduce expresia formaţiilor specifice liniare ε: N N ε= σ = A = E E EA Deformaţia specifică liniară ε este proporţională cu solicitarea (N) şi invers proporţională cu factorul de rigiditate la întindere /compresiune (produsul EA); acesta, la rândul lui, depinde de două categorii de parametri: modulul de elasticitate E (care exprimă rigiditatea materialului) şi aria suprafeţei secţiunii transversale A (care exprimă rigiditatea secţiunii). Cum ε reprezintă deformaţia unităţii de lungime, deformaţia întregii unităţi de lungime, deformaţia întregii bare (alungirea sau scurtarea ∆l) e proporţională cu lungimea l: ∆l = εl (3.3) Nl ∆l = (3.4) EA 1.3.2. Efectul static al variaţiilor de temperatură în bare O bară liberă, cu lungimea l, supusă unei variaţii de temperatură ∆to se dilată/contractă (alungeşte/scurteayă) cu cantiatea. ∆lt = ∆to α l

(3.5)

unde α este coeficientul de dilataţie termică al materialului; pentru oţel, α = 1,2 . 10-5 Aplicaţie. La o variaţie de temperatură de 30o, o bară de oţel de 8 m lungime se alungeşte/scurtează cu ∆lt = 30 . 1,2 . 10-5 . 8000 mm = 2,88 mm Dacă dilataţia/contracţia barei este împiedicată de legăturile acesteia în sistem, în bară apar eforturi τt de compresiune/întindere corespunzătoare

20

alungirii/scurtării blocate (ca şi cum eforturi axiale de compresiune N ar constrânge bara dilatată cu cantitatea ∆lt să revină la poziţia iniţială printr-o scurtare ∆lN egală ∆lt = ∆l N; ∆to . α . l =

Nl , EA

de unde

σt =

N = ∆t . α . E A

(3.6)

Aplicaţie. Pentru bara din exemplul precedent, blocarea deformaţiilor de dilatare/contracţie genereayă eforturi unitare care consumă mai mult de jumătate din reyistenţa admisibilă a materialului: σt = 30 . 1,2 . 10-5 . 2,1 . 106 = 755 Kgf/cm2 De remarcat că în expresia eforturilor unitare (3.6) nu intervine geometria barei (nici aria secţiunii transversale, nici lungimea). Eforturile nu pot fi moderate prin dimensionare, ci printr-o conformare de ansamblu a structurii care să permită deformaţii libere. In sistemul static determinate (cu număr minim de legături) deformaţiile de dilatare/contracţie se produc liber (fig.3.12.a), deci fără consecinţe asupra stării de efort din bare. Legăturile suplimentare ale sistemelor static nedeterminate îngrădesc libertatea de deformare, generând în bare eforturi (fig.3.12.b). Podurile metalice sunt totdeauna structuri simplu rezemate (cu un reazem fix şi altul mobil), cu posibilitatea de dilatare sau contracţii neblocată în lungul axului podului.

fig. 3.12

21

2. ELEMENTE SOLICITATE LA FORFECARE PURA. FORFECAREA PIESELOR CU SECTIUNE REDUSA. 2.1. FORFECARE PURA. DEFINITIE; EXEMPLE. Forfecarea pură este solicitarea simplă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală, interacţiunea este exprimată printr-o pereche de forţe tăietoare (fig. 3.14).

Fig.3.14. Două forţe P, paralele, egale şi de sens contrar, acţionând, la distanţă neglijabilă între ele, normal pe axul barei, generează forfecare pură (fig.3.15). Forşa tăietoare T are intensitatea P a fiecăreia din cele două forţe exterioare.

Fig.3.14.

2.2. CADRUL PROBLEMEI Sub formă pură (sau măcar aproximativ) solicitarea apare rar. In cele ce urmează studiul se limitează la cazane curent al forfecării pieselor cu secţiuni transversale mici (mituri, buloane, cordoane de sudură , etc. - folosite la îmbinările elementelor din metal) la care efectul unor solicitări secundare este redus.

22

2.3. APROXIMATIV SI IPOTEZE SIMPLIFICATOARE A. Chiar şi în cazul din fig.3.15 forfecarea lor însoţită la încovoiere; momentul cuplului este mic însă şi se neglijează. B. La forfecarea pieselor cu suprafaţa secţiunii redusă se admite că forţa tăietoare este rezultanţa unor eforturi elementare tangenţiale paralele, a căror măsură este un efort unitar τ cu intensitate constantă. 2.4. EFORTURI UNITARE PE SECŢIUNEA TRANSVERSALA In condiţiile ipotezei B făcută în paragraful precedent (τ = const), T = A; de unde, τ =

T A

(3.7)

2.5. PROBLEME DE FORFECARE LA O IMBINARE CU NITURI SOLICITATA AXIAL 2.5.1. Descrierea imbinării O îmbinare realizează legarea elementelor într-un ansamblu indeformabil. Imbinărilşe cu nituri solicitate axial blochează deplasările relative în lungul unui ax comun celor două elemente. Fig.3.16 prezintă o astfel de îmbinare.

Fig. 3.16. Niturile sunt piese din oţel (rezistenţa oţelului nitului este puţin inferioară celei a oţelului pieselor care se îmbină) cu forma din fig.3.17.a. Imbinarea se realizează prin introducerea niturilor încălzite la roşu în găuri date în prealabil şi formarea, prin baterie, a celui de-al doilea cap (fig. 3.17.b).

23

fig.3.17. 2.5.2. Proiectarea îmbinărilor cu nituri 2.5.2.1. Modul de lucru. Sub acţiunea forţelor P, de sens contrar, care solicită îmbinarea, cele două elemente au tendinţa de a luneca relativ (fig.3.18). Ca urmare, îmbinarea se poate distruge în două feluri:

fig. 3.18 - prin forfecarea tijei sitului în secţunea transversală din dreptul planului de separaţie a celor două elemente; - prin strivirea tijei pe suprafaţa de contact dintre tijă şi pereţii găurii de nit. “Transportul” forţelor prin îmbinare (adică efectul lor pe suprafaţa forfecată şi pe suprafaţa strivită) este reprezentat în fig.3.19 prin forţe interioare de legătură.

fig. 3.19

24

Se remarcă echilibrul care controlează parametrii tuturor acestor forţe. Forţa pe care o poate transmite îmbinarea prin intermediul unui singur nit (numită rezistenţa nitului) depinde de rezistenţa la forfecare Rf (în secţiunea transversală a tijei) şi de rezistenţa la strivire Rs (pe suprafaţa de contact dintre dijă şi elementele îmbinate. 2.5.2.2. Rezistenţa nitului la forfecare. Capacitatea de rezistenţă în secţiunea transversală a tijei depinde de aria secţiunii forfecate, Af, şi de rezistenţa admisibilă la forfecare, τaf, a materialului tijei. In baza relaţiei (3.7); Rf = Af . af Rf =

πd 2 af, r

(3.8)

unde d este diametrul nitului. Pe baza experimentale, se consideră af = 0,8 τa, unde τa este rezistenţa admisibilă la compresiune a materialului elementelor care se îmbină. Pentru elemente din OL 37 (cu nituri din OL34), af = 0,8 x 1500 = 1200 Kgf/cm2. 2.5.2.3. Rezistenţa nitului la strivire. Presiunile reciproce dintre tijă şi pereţii găurii au distribuţia neuniformă din fig.3.2 pentru simplificarea calculelor, volumul matizat, având o distribuţie uniformă, pe edeală, de formă dreptunghiulară, a unui plan diametral (fig.3.20.b).

fig.3.20 In aceste condiţii simplificatoare, capacitatea de rezistenţă la strivire Rs depinde de aria secţiunii strivite. As = dt

25

si de rezistenţa admisibilă la strivire de pereţii găurii de nit τag. Dacă elementele care se îmbină au grosimi diferite (t1ft2), aceeaşi forţă P se distribuie pe suprafeţe cu arii diferite; eforturile unitare de strivire fiin mai mari pe piesa mai subţire, în determinarea ariei As se va considera tmin : Rs = dtmin τag

(3.9)

Rezistenţa admisibilă la strivire τag se consideră dat în raport cu rezistenţa admisibilă τa a materialului elementelor de îmbinat: ag = 2 a Pentru OL37, ag = 2 x 1500 = 3000 Kgf/cm2 2.5.2.4. Rezistenţa nitului. Rezistenţa nitului (forţa P pe care o poate transmite îmbinarea prin intermediul unui singur mit), R, este cea mai mică dintre valorile Rf şi Rs definite anterior. 2.5.2.5. Rezistenţa nitului cu mai multe secţiuni de forfecare. La o îmbinare de trei elemente (fig.3.21) forţa P se transmite prin forfecare a două secţiuni. Rezistenţa nitului la forfecare Rf se va dubla, căci numai jumătate din forţa P trebuie echilibrată de eforturile tangenţiale dintr-o secţiuune transversală a tijei. La limita de rezistenţă, P = Af . 2

af,

de unde Rf = 2

πd 2 af 4

Pentru mai multe secţiuni de forfecare, dacă nf este numărul lor

Rf = ng

πd 2 af 4

(3.10)

La determinarea rezistenţei nitului la strivire, interacţiunile ce apar la contactul tijei cu elementele cu tendinţe de lunecare opuse

26

Fig.3.21. se consideră separat; strivirea maximă apare pe suprafeţa minimă şi aceasta este suprafaţa care intervine în determinarea rezistenţei Rs Rs = d (Σt) min

ag

(3.11)

unde (Σt) min este suma minimă a grosimilor elementelor care tind să se deplaseze în acelaşi sens. 2.5.2.6. Determinarea numărului de nituri. La îmbinarea elementelor solicitate la întindere sau compresiune centrică se admite că forţa transmisă prin îmbinare se repartizează în mod egal tuturor niturilor. In această ipoteză, numărul necesar de nituri, n, se determină împărţind forţa P care “traversează” îmbinarea la rezistenţa R a unui singur mit: n=

P R

(3.12)

Diametrul nitului (care intervine în calculul rezistenţei sale) se alege în funcţie de grosimea celui mai subţire element din pachet, pe baza unor prevederi constructive cuprinse în standarde (cu aproximaţie, d = 2t). Tot standardele precizează reguli privind propoziţia niturilor în îmbinare. Deşi calculul îmbinărilor nituite are un caracter convenţional (fiind condus pe baza mai multor ipoteze simplificatoare), rezultate obţinute corespund capacităţi reale de rezistenţă, întrucât rezistenţele admisibile acceptate sunt determinate, experimental, tocmai prin ruperea unor astfel de îmbinări.

27

2.6. COMPORTAREA IMBINARILOR CU BULOANE La îmbinarea elementelor metalice se folosesc două categorii de buloane: - buloane obişnuite (buloane brute, cu tija neprelucrată , care se introduc liber în găuri cu diametrul mai mare şi buloane păsuite, cu tija prelucrată, introduse forţat în găuri de acelaşi diametru); - buloane de înaltă rezistenţă, pretensionate la montaj. Imbinarea cu buloane obişnuite se comportă la foc cu îmbinarea cu nituri (cu rezistenţe admisibile identice celor folosite la îmbinările cu nituri - în cazul buloanelor păsuite - sau cu rezistenţe ceva mai mici - în cazul buloanelor brute). La îmbinarea prin buloane de înaltă rezistenţă, transmiterea forţelor prin îmbinare se bazează pe frecarea dintre elementele strivite puternic prin intermediul buloanelor. In aceste condiţii bulonul este solicitat la întindere. 2.7. PROBLEME DE FORFECARE LA IMBINARI SUDATE SOLICITATE AXIAL 2.7.1. Descriere Solidarizarea elementelor sudate se realizează cu material topit sub forma unui cordon. După poziţia relativă a elementelor care se îmbină, rândurile se împart în două categorii: - suduri în adâncime, folosite la îmbinarea cap la cap a două elemente în prelungire (fig.3.22); - suduri în relief sau de colţ, executate la elemente suprapuse (fig.3.23).

fig.3.22

fig.3.23

28

2.7.2. Proiectarea îmbinărilor sudate 2.7.2.1. Modul de lucru. Se constată experimentul că sudurile în relief se distrug prin forfecarea cordonului de sudură în planul său bisector; fig.3.24 prezintă ruperea unui cordon lateral, iar fig.3.25 - ruperea unui cordon frontal.

fig.3.24

fig.3.25

2.7.2.2. Condiţii de rezistenţă. Capacitatea de rezistenţă a cordonului de sudură (forţa tăietoare din planul suprafaţă forfecate corespunzătoare unei distribuţii de eforturi unitare egale cu rezistenţa admisibilă) depinde de aria forfecată As şi rezistenţa admisibilă a materialului sudurii, as, admiţând că eforturile tangenţiala τ se distribuie uniform pe suprafaţa forfecată, capacitatea cordonului este T = τas A Se consideră că rezistenţa admisibilă la forfecare a cordonului de sudură τas este două treimi din rezistenţa admisibilă τa a materialului pieselor îmbinării; pentru OL 37, τas = 2/3 . 1500 = 1000 Kgf/cm2. Suprafaţa forfecată a cordonului de sudură este un dreptunghi cu latura mică egală cu grosimea cordonului, de sudură şi latura mare egală cu lungimea cordonului de sudură. Grosimea de calcul, a, se consideră, acoperitor, egală cu înălţimea triunghiulară isoscel înscris în forma secţiunii transversale prin cordon (fig. 3.2.b) : a ≅ 0,7 b; ea corespunde secţiunii forfecate cu aria (deci şi capacitate de rezistenţă) minimă. Lungimea de calcul, l, rezultă din lungimea efectivă ls a cordonului prin

fig.3.26

29

scăderea zonelor de capăt (fiecare cu o lungime aproximativ egală cu grosimea de calcul a) unde sudura este de slabă calitate : l = ls - 2a. Cu observaţiile de mai sus: As = Σl . a Alegând grosimea unui cordon (se recomandă b ≤ tmin), rezultă lungimea sa, astfel încât capacitatea însumată a tuturor cordoanelor forfecate să fie superioară forţei axiale transmise prin îmbinare. x Sudurile în adâncime lucrează la întindere, şi sunt solicitate la eforturi normale τ. 3. ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE PURA 3.1. DEFINITIE; EXEMPLE Incovoierea pură este solicitarea simplă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală interacţiunea este exprimată printr-o pereche de momente încovoietoare (vectori cuplu cuprinşi în planul secţiunii). Sub formă pură, încovoierea apare iar. Două cazuri sunt furnizate la situaţiile particulare de încărcare din fig.3.27; tronsoanele 1 - 2 ale celor două grinzi (unde T=0) sunt solicitate la încovoiere pură.

Fig.3.27 De obicei, încovoierea apare însoţită de forfecare; sub această formă, tipică grinzilor va fi tratată în subcapitolul 4. In funcţie de direcţia vectorului moment încovoietor faţă de axele principale de inerţie ale secţiunii transversale, se deosebesc următoarele două cazuri: - încovoiere pe două direcţii sau încovoiere oblică (cazul general), când direcţia vectorului cuplu este oarecare faţă de direcţia axelor; - încovoiere pe o direcţie sau încovoiere simplă (cazul particular), când direcţia vectorului cuplu coincide cu direcţia uneia din axe.

30

Grinzile cu secţiuni simetrice (în raport cu cel puţin o axă), încărcate cu forţe în planul de simetrie longitudinal, sunt solicitate la încovoiere pe o singură direcţie (fig.3.28). Este cazul cel mai des întâlnit în practică şi el va fi studiat în continuare. O pavă de acoperiş (fig.3.29) este solicitată la încovoiere oblică (pe două direcţii) ; dar fiecare din cele două componente Mx şi My (pe direcţiile principale de

fig.3.28 inerţie) este măsura unei solicitări de încovoiere simplă.

fig.3.29

31

3.2. REZISTENTA BARELOR INCOVOIATE 3.2.1. EFORTURI UNITARE PE SECTIUNEA TRANSVERSALA. FORMULA LUI NAVIER Studiul geometric. Pentru a evidenţia modul de deformare, pe suprafeţele laterale ale unei bare drepte cu secţiune dreptunghiulară se trasează un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) şi transversale (perpendiculare pe axă) (fig. 3.30.a). In regim de solicitare (fig.3.30.b) liniile longitudinale se curbează în liniile transversale se curbează în liniile transversale se rotesc, rămânând - în spiritul ipotezei lui Bernoulli - drepte şi normale pe cele longitudinale. Cu privire la cele două tipuri de deformaţii (liniare şi unghiulare) se constată: - lipsa deformaţiilor unghiulare (γ = 0), căci unghiurile reţelei nu se modifică; - prezenţa unor deformaţii liniare pe direcţia axei barei. In zonele cu încovoiere pozitivă (cazul din figura) fibrele longitudinale de la partea inferioară se alungesc, iar cele de la partea superioară se scurtează. Se intuieşte prezenta unui plan de fibre (fibre neutre) care se curbează fără

Fig.3.30 a-şi modifica lungimea; intersecţia dintre acest plan şi planul secţiunii transversale se numeşte axă neutră. Două secţiuni aflate la distanţa elementară dz se rotesc cu unghiul elementar d (fig.3.31.a); pe desen s-au pus în evidenţă fibra neutră AB cu lungimea neschimbată (AB = dz) şi raza de curbură a fibrei neutre (OA = OB = ). Variaţia de lungime a unei fibre oarecare (MNN’) aflată la cota y’ faţă de firbra neutră este pusă în evidenţa în fig. 3.31.b prin segmentul NN’. Din asemănarea triunghiurilor OAB şi BNN’ rezultă: NN ' BN = AB OA sau

32

NN ' Y ' = ; AB ρ primul raport (dintre alungirea fibrei şi lungimea ei iniţială) este deformaţia specifică ε şi relaţia de asemănare devine:

ε=

1 >’; ρ

(3.13)

deformaţiile specifice ε, nule în dreptul axei neutre, variază liniar pe înălţimea secţiunii transversale (fig. 3.32.a).

fig. 3.31 Studiul fizic consemnează condiţia de elasticitate liniară (legea lui Hooke) acceptată în Rezistenţa materialelor:

σ = Eε τ = 6γ Sinteza studiu geometric - studiu fizic. Dacă γ = 0, τ = 0. Pe secţiunea transversală, interacţiunea este măsurată numai prin eforturi unitare normale τ. Introducând relaţia (3.13) în legea lui Hooke, rezultă:

σ=E

1 y’; ρ

(3.14)

ca şi deformaţiile specifice ε, eforturile unitare normale τ, nule în dreptul axei neutre, variază liniar pe înălţimea secţiunii transversale (fig.3.32.b şi 3.32.c). Axa neutră împarte secţiunea în două zone: una comprimată şi alta întinsă (fig.3.32.d).

33

Studiul static consemnează echivalenţa dintre cele două moduri de exprimare a interacţiunii: prin eforturi

a - diagrama de distribuţie a deformaţiilor specifice ε b - diagrama de distribuţie a eforturilor unitare normale c - măsura interacţiunii: prin eforturi unitare normale şi prin momentul încovoietor M d - secţiunea transversală şi axa neutră Fig.3.32 secţionale (Mx ≠ 0; N = 0) şi prin eforturi unitare ( ) (fig.3.33):

Fig.3.33 N = SA τdA = 0; Mx = SA τdA . y

(3.15) (3.16)

Sinteza studiu geometric - studiu fizic - studiu static. Cu (3.24), prima relaţie de contravalenţă devine N=E.

1 SA y’dA ρ

adică SA y’dA = 0

34

Integrala reprezintă un moment static (al suprafeţei secţiunii transversale faţă de axa neutră a secţiunii); din faptul că e nul, rezultă că axa neutră trece prin centrul de greutate al suprafeţei secţiunii; ea coincide cu axa x, motiv pentru care y şi y’ măsoară aceeaşi distanţă. Cu (3.14) a doua relaţie de echivalentă devine: Mx = E

1 SA y2dA ρ

sau Mx = E

1 SA Ix, ρ

(3.17)

unde Ix reprezintă momentul de inerţie ale suprafeţei secţiunii în raport cu axa x. Revenind la relaţia (3.14), din care rezultă

E

1 τ = ρ y

(3.17) devine Mx =

τ=

τ Ix y

Mx y Ix

(3.18)

Expresia (3.18) cunoscută sub numele de formula lui Navier precizează mărimea efortului unitar normal τ într-un punct M situat la distanţa y faţă de axa neutră (fig.3.34).

Fig. 3.34

35

3.2.2. EFORTURI UNITARE MAXIME Valorile maxime ale eforturilor unitare se dezvoltă în fibrele extreme (cele mai depărtate de axa neutră). Dacă Ymax este distanţa de la fibra extremă la axa neutră rezultă τmax =

Mx Ymax Ix

Mx τmax = Ix Ymax unde la numitor apare expresia modulului de rezistenţă Wx al suprafeţei secţiunii în raport cu axa netură x (2.9). Cu această observaţie,

τmax =

Mx Wx

(3.19)

Mărimea efortului unitar maxim deprinde de doi parametri: - momentul încovoietor M, parametrul global al interacţiunii din secţiune, măsura solicitării; - modulul de rezistenţă W, parametrul geometriei secţiunii transversale. 3.2.3. Trei forme ale interacţiunii sectionale Rezultanţa forţelor interioare de legătură de pe zona întinsă, Fi, şi comprimată, Fc, sunt două forţe egale şi de sens contrar (fig.3.35); ele formează un cuplu al cărui

Fig. 3.35 moment este echivalent cu momentul încovoietor M. Momentul încovoietor M, cuplul forţelor Fc şi Fi (rezultantele forţelor interioare de legătură) şi sistemul de forţă

36

interioare de legătură cu distribuţie continuă (a căror măsură sunt eforturile unitare normale σ) reprezintă trei forme ale aceleaşi interacţiuni. 3.2.4. Proiectarea de rezistenţă a secţiunii barelor încovoiate 3.2.4.1. Condiţii de rezistenţă. Verificare; dimensionare; capacitate portantă Condiţii de rezistenţă impusă de metoda de calcul a rezistenţelor admisibile (1.1) devine M ≤ σa W

(3.20)

Relaţia conţine trei parametri; ei corespund celor trei factori care intervin în procesul proiectării secţiunii barelor încovoietoare: - solicitarea, exprimată prin momentul încovoietor M; - materialul , exprimat prin rezisnteţa sa admisibilă σa; - geometria suprafeţei secţiunii transversale, exprimată prin modulul de rezistenţă W, determinat în raport cu axa neutră (axa principală centrală de inerţie ce coincide cu suportul vectorului moment). După felul în care aceştia intervin (ca parametri cunoscuţi sau necunoscuţi), proiectarea îmbracă trei aspecte; verificarea rezistenţei secţiunii, dimensionarea secţiunii şi determinarea capacităţii portante a secţiunii. Cele trei aspecte ale proiectării secţiunii sunt sintetic în tabelul 3.2. Tabelul 3.2. Parametrii cunoscuţi

Parametrii necunoscuţi

M, σa,W

-

Dimensionare

M, σa

modulul de rezistenţă necesar Wnec

M ≤σa W M Wnec = σa

Capacitate portantă

σa, M

momentul capabil Mcap

Mcap = σaW

Verificare

Relaţia de calcul

La materialele cu rezistenţe admisibile diferite la întindere şi la compresiune (de ex. fonta) sunt necesare două verificări: una în zona întinsă, alta în zona comprimată a secţiunii. In problemele de dimensionare dimensiunile secţiunii se aleg astfel, încât Wef ≥ Wnec,

(3.21)

37

unde Wef este modulul de rezistenţă efectiv (al secţiunii propuse prin proiectare). Pentru bare cu secţiune circulară,

πd 3 ≥ Wnec 32 de unde rezultă diametrul. Pentru bare cu secţiunea dreptunghiulară, bh 2 ≥ Wnec; 6 relaţia conţine două necunoscute - b şi h; determinarea lor se face propunând fie una din ele, fie cu anumit raport (orientativ) între ele. Pentru barele cu secţiuni stadardizate care se confecţionează într-un număr limitat de tipuri (cazul profilelor laminate din oţel, sau al majorităţii grinzilor din lemn cu secţiune dreptunghiulară), secţiunea rezultă direct prin compararea valorii Wnec cu valoarea Wef din tabelele de caracteristici ale fiecărui tip de secţiune. Pentru secţiuni de alte forme, dimensionarea se face prin încercări, verificând relaţia (3.2) pentru diferite secţiuni propuse. Capacitatea portantă a unei secţiuni se măsoară prin momentul încovoietor (numit moment capabil, Mcap), căruia îi corespunde un efort unitar maxim egal cu rezistenţa admisibilă. Rezistenţa barei în secţiunea analizată este asigurată dacă momentul încovoietor M generat de încărcare nu depăşeşte momentul capabil: M ≤ Mcap. Verificarea şi dimensionarea cu momentul încovoietor maxim. 3.2.4.2. Criterii de conformare. Secţiuni raţionale; randamentul secţiunii. Criteriul de rezistenţă Wnec = M/σa aplicat la dimensionarea secţiunii oferă o infinitate de soluţii. El poate fi satisfăcut de secţiuni cu forme şi arii diferite; urmând reducerea consumului de material se preferă formele cu arie minimă. Pe de altă parte, la arii egale, forme diferite asigură capacităţi diferite; forma raţională va corespunde capacităţii maxime. Capacitatea secţiunii (exprimată ca moment al cuplului rezultantelor forţelor interioare de legătură) este proporţională cu valoarea - egală - a celor două rezultante (Fc = Fi) şi cu braţul lor de pârghie Z (fig.3.36). A. Creşterea capacităţii secţiunii prin creşterea valorii rezultantelor forţelor interioare de legătură Suprafaţa secţiunii nu este solicitată uniform. Cu cât o parte cât mai mare din suprafaţa secţiunii se va afla în zonele cele mai solicitate (cu eforturi unitare mari), cu atât rezultanta forţelor interioare de legătură (ca sumă a produselor dintre efortul unitar şi elementul de arie) va fi mai mare. Pentru o secţiune dreptunghiulară cu aria A,

38

Fc = Fi =

1A σa; 22

Fc = Fi =

A σ 4

Pentru o secţiune fictivă, ideală, cu aceeaşi arie, cu suprafaţa concentrată în mod simetric la cele două extremităţi (acolo unde toate eforturile unitare ating rezistenţa admisibilă ) (fig.3.37.b), rezultanta va fi dublă; Fc = Fi =

A σa 2

Fig.3.36

Fig.3.37 B. Creşterea capacităţii secţiunii prin creşterea braţului de pârghie. Este evident că braţul creşte odată cu creşterea înălţimii secţiunii. Dar creşterea înălţimii h este limitată de diferite considerente (funcţionale, estetice, etc.). La înălţimea constantă, braţul creşte (ca şi rezultantele forţelor interioare de legătură) tot prin îndepărtarea materialului axa neutră. Pentru secţiunile de formă dreptunghiulară, indiferent de proporţiile lor, Z=

2 h 3

(3.22)

Braţul de pârghie maxim, z = h, corespunde secţiunii ideale cu suprafaţa concentrată la cele două extremităţi. Iată acum, pentru cele două tipuri de secţiune luate ca repere în exemplele precedente, valoarea capacităţii portante, Mcap, ca produs între rezultantele forţelor interioare de legătură şi braţul de pârghie:

39

- pentru secţiunea dreptunghiulară,

Mcap =

A 2 Ah σa . h = σa; 4 3 6

- pentru secţiunea ideală, Mcap =

A Ah σa . h = σa; 2 2

Dacă secţiunile au aceeaşi arie, aceeaşi înălţime şi sunt alcătuite din aceleaşi material, capacitatea secţiunii ideale este de trei ori mai mare decât capacitatea secţiunii de formă dreptunghiulară. O secţiune naţională tinde, prin conformarea ei, către forma ideală descrisă mai sus. Această formă constituie reperul secţiunilor de tip I sau U ale parapetelor laminate sau ale grinzilor din oţel “cu secţiune compusă”, confecţionate prin sudare sau solidarizarea cu nituri (fig.3.38).

Fig.3.38 Este de semnalat şi tipul de grindă metalică “expandată”, realizată prin sudarea, în poziâie decalată, a două jumătăţi de inimă tăiate după o linie poligonală (fig.3.39).

Fig.3.39 Caracteristica geometrică a suprafeţei secţiunii care determină nemijlocit capacitatea portantă este modelul de rezistenţă W: N cap = W σa;

40

capacitatea este direct proporţională cu modulul de rezistenţă. In legătură cu secţiunea ideală se defineşte modulul de rezistenţă ideal:

Wideal =

I ideal = h 2

Wideal =

2

A h 2 ( ) 2 2 h 2

Ah 2

Raportul dintre modulul de rezistenţă W al unei secţiuni de formă dată şi modulul de rezistenţă ideal reflectă raportul dintre capacităţile portante ale celor două secţiuni şi se numeşte randament al secţiunii: r=

W Wideal

(3.23)

Randamentul secţiunii dreptunghiulare este doar 1/3. Randamentul secţiunii profilelor laminate de tip I şi U este aproape 2/3, deci dublu. 3.3. DEFORMAREA BARELOR INCOVOIATE 3.3.1. Parametrii deformării 3.3.1.1. Parametrii elementar)

fundamentali

(privind

deformaţia

unui

volum

Parametrii care definesc deformarea unui volum elementar sunt deformaţia specifică liniară ε şi de formaţia specifică unghiulară γ. In elementele solicitate de încovoiere pură, deformaţiile unghiulare sunt nule (γ = 0) iar deformaţiile liniare ε, măsurate în lungul axului barei, variază liniar pe înălţimea secţiunii, cu valori nule în dreptul axei neutre (care o împarte în două zone: una comprimată, cu fibre scurtate, alta întinsă, cu fibre alungite) (fig.3.40).

Fig. 3.40 3.3.1.2. Parametrii globali (privind deformarea unui tronson elementar de bază. Parametrii globali sunt raza de curbura barei 1/σ, rotirea elementară dρ (rotirea elementară a două secţiuni aflate la distanţa elementară dz), rotirea specifică cu (rotirea relativă a două secţiuni aflate la distanţă unitară( (fig. 3.41).

41

Fig. 3.41. 3.3.1.3. Parametrii practici ai deformării (privind deformaţiile absolute ale bazei). Parametrii practici ai deformării sunt rotirea ϕ (rotirea absolută a unei secţiuni) şi săgeata v (deplasarea, pe direcţia normală la axa barei, a centrului de greutate al unei secţiuni ) (fig.3.42).

Fig. 3.42

Fig. 3.43

3.3.1.4. Relaţii între parametrii deformării. Deformaţia specifică ε este proporţională cu curbura 1/ρ (conform relaţiei 3.24): ε=

1 y ρ

Din fig.3.41 se deduce relaţia dintre parametrii globali ai deformării: 1 dϕ =ω = ρ dz

(3.24)

Din fig.3.43, care prezintă un tronson elementar de bară în două poziţii înainte şi după deformarea barei, se deduce relaţia dintre cei doi parametri practici ai deformării: dv =ϕ dz

(3.25)

De unde, prin derivare, considerând şi relaţia (3.24), rezultă:

42

d 2 v dϕ 1 = = dz ρ dz 2

(3.26)

care face legătura între toţi parametrii deformării. 3.3.2. Determinarea parametrilor deformării 3.3.2.1. Relaţii între parametrii statici şi parametrii geometrici ai răspunsului şi schema relaţiilor; expresia curburii. parametrul σ=

parametrii

global

statici

parametrul fundamental τ

M y I

σ = εE

Parametrii răspunsului parametrul fundam. ε

ε=

parametrii geometrici

1 y ρ

parametrul global 1/ρ

Introducând în legea lui Hooke (relaţia dintre parametrii fundamentali ai răspunsului - τ şi ε) expresiile lor în funcţie de parametrii globali M şi 1/ρ, rezultă 1 M = ρ EI

(3.27)

Curbura barei este proporţională cu solicitarea, măsurată prin momentul încovoietor M. Produsul EI, numit factor de rigiditate la incovoiere introduce în expresia curburii atât rigiditatea materialului, prin modulul de elasticitate E, cât şi rigiditatea formei secţiunii, prin momentul de inerţie I al suprafeţei secţiunii în raport cu axa neutră. De remarcat faptul că expresia rotirii specifice ω=

M , EI

43

care derivă din (3.27) şi (3.24), are aceeaşi structură cu expresia alungirii/scurtării specifice ε la solicitarea de întindere/compresiune centrică (3.2). 3.3.2.2. Ecuaţia axei elastice a barei (a axei bazei în regim de deformare liniar - elastic) Cu (3.2b) relaţia (3.27 devine d 2v M = dz 2 EI

(3.28)

Intrucât pentru momente încovoietoare pozitive (în prezenţa cărora săgeţile sunt pozitive) concavitatea barei este îndreptată spre sensul negativ al axei v, derivată a doua a săgeţii trebuie să fie negativă, cu această observaţie, relaţia (3.28) devine d 2v M =− 2 EI dz

(3.29)

Fig. 3.44 3.3.2.3. Determinarea rotirii şi săgeţii prin integrarea analitică a ecuaţiei axei elastice. prin integrarea succesivă a ecuaţiei (3.29) se obţin expresiile rotirii, ϕ(z) =

dv dz

şi săgeţii v(z) Următoarea aplicaţie va urmări stabilirea ecuaţiei elastice a barei şi determinarea expresiilor rotirii şi săgeţii pentru o consolă încărcată cu o forţă concentrată la extremitatea ei (fig.3.45)

Fig. 3.45

Fig. 3.46

44

Intr-o secţiune S, la distanţa z de încastrare, momentul încovoietor are expresia M (z) = - P (l - z)

(3.30)

Cu (3.30) ecuaţia axei elastice devine d 2v P = (l - z) 2 EI dz Integrând de două ori, se obţine pe rând : d v P z2 = (l ) + C1, z EI dz 2 2 P lz 2 z 3 v= ( − ) + Ciz + C2 Ei 2 6 ϕ=

Pentru z = 0 (în încastrare), şi rotirea şi săgeata sunt nule; de unde, C1 = 0 şi C2 = 0. Epresiile generale ale rotirii şi săgeţii sunt deci: ϕ(z) =

P z2 (lz − ); EI 2

v(z) =

P lz 2 z 3 ( − ) EI 2 6

La capătul liber al consolei (pentru z = l), şi săgeata şi rotirea sunt maxime (fig.3.46): Pl 2 ϕmax = (3.31) 2 EI vmax =

Pl 3 3EI

(3.32)

3.3.2.4. Determinarea rotirii şi săgeţii prin metoda grinzii conjugate (fictive). In paralel cu grinda reală (fig.3.49), pentru care urmează să se determine parametrii deformării ϕ şi v, se consideră o grindă fictivă, conjugată celei reale (fig.3.50). Intre săgeata v, rotirea ϕ şi momentul încovoietor M (parametrii ai situaţiei reale) există relaţia, dedusă anterior. d 2 v dϕ M = =− 2 dz EI dv

(3.33)

45

Intre încărcarea p, forţa tăietoare T şi momentul încovoietor M (parametri ai situaţiei fictive) există relaţia dedusă în partea a III-a a cursului.

Fig. 3.49

Fig. 3.50

d 2 M dT = = −p dz dz 2 Dacă p=

M ; EI

d 2v d 2 M = dz 2 dz 2 şi dϕ dT = dz dz iar în condiţiile în care constanţele de integrare sunt nule, v=M

(3.34)

şi

46

ϕ=T

(3.35)

Ceea ce înseamnă că, în orice secţiune a grinzii reale, săgeata şi rotirea sunt egale cu momentul încovoietor şi forţa tăietoare din secţiunea corespunzătoare a unei grinzi fictive, conjugată celei reale, supusă încărcării

p (z) =

M ( z) Ei

Anularea constantelor de integrare este condiţionată de un anume mod de rezemare a grinzii fictive în funcţie de rezemarea grinzii reale. Unei încastrări a grinzii reale (cu ϕ = 0 şi v = o) în corespunde în grinda fictivă un capăt liber (căci numai întro astfel de situaţie şi T şi M sunt nule); unui capăt liber al grinzii reale (cu ϕ ≠ 0 şi v ≠ 0) îi corespunde în grinda fictivă o încastrare (care asigură F ≠ 0 şi M ≠ 0) ; unui reazem simplu sau articulat (cu ϕ ≠ 0 şi v = 0) la capătul grinzii reale îi corespunde în grinda fictivă acelaşi tip de reazem (pentru care F ≠ 0 şi M = 0). Modul de rezemare a grinzii fictive este sintetizat în tabelul de mai jos. Grindă reală

Grindă fictivă

Următoarea aplicaţie va urmări determinarea săgeţii şi rotirii maxime pentru o consolă încărcată cu o forţă concentrată la extremitatea ei (fig. 3.51).

Fig. 3.51

47

Tmax =

1 Pl l, 2 EI

ϕmax = Tmax =

M max =

PC 2 2 EI

PC 2 2 l 2 EI 3

vmax = Mmax =

PC 3 2 EI

Aceleaşi rezultate s-au obţinut şi prin integrarea analitică a ecuaţiei axei elastice, în cadrul aplicaţiei de la punctul 3.3.2.3. 3.3.2.5. Formule uzuale pentru cazuri particulare de rezemare şi încărcare. Tabelul următor prezintă expresiile acţiunii maxime şi săgeţii maxime pentru grinda simplă rezemată şi grinda încastrată în două situaţii particulare de încărcare. ϕmax Pl 2 16 EI

vmax Pl 3 48 EI

Pl 2 16 EI

5Pl 4 384 EI

Pl 2 16 EI

Pl 3 3EI

Pl 3 6 EI

Pl 4 8 EI

3.3.3. Proiectarea rigidităţii barelor încovoiate Funcţionarea corectă a unei construcţii este condiţionată şi de o anume rigiditate a elementelor sale. Deformaţii mari dăunează exploatării, chiar dacă rezistenţa este asigurată. Proiectarea rezistenţei trebuie dublată de proiectarea rigidităţii.

48

Condiţia de rigiditate care se impune de obiecei urmăreşte limitarea săgeţilor. Cu o săgeată mare ste perceptibilă numai în raport cu o deschidere relativ mică, condiţia de serie sub forma f 1 ≤ s k

(3.36)

unde f este săgeata maximă, l - deschiderea iar k - un coeficient care depinde de funcţiunea elementului, de importanţa sa etc. Valorile sale curente sunt cuprinse între 200 şi 400. 4. ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE CU FORTE TAIETOARE. EFECTULA FORTEI TAIETOARE IN GRINZI 4.1. DEFINITIA SOLICITARII. EXEMPLE Incovoierea cu forţe tăietoare este o solicitare compusă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală, interacţiunea este exprimată prin două tipuri de efort secţional: moment încovoietor şi forţa tăietoare. Incovoierea cu forţe tăietoare este tipică elementelor de tip grindă (bare drepte încărcate cu forţe normale pe axul lor). (fig.3.53).

Fig. 5.53. Intre momentul încovoietor şi forţa tăietoare există relaţia stabilită anterior (partea a III-a) dM =T dy aceasta înseamnă că prezenţa forţei tăietoare atrage după sine variaţia momentului încovoietor. Efectul momentului încovoietor (răspunsul barelor solicitate la încovoiere pură) a fost analizat în paragraful precedent. In paragraful de faţă va fi analizat efectul forţei tăietoare.

49

4.2. EFECTUL FORTEI TAIETOARE. FORFECAREA SI LUNECAREA Echilibrul tronsonului elementar din fig. 3.54.a este asigurat, alături de forţele exterioare a-i revin, de eforturile secţionale M, T, M + dm, T + dT.

Fig. 3.54 Cele două cupluri (M şi M + dm) introduc în lungul fibrelor longitudinale compresiuni, respectiv întinderi, cu valori diferite în cele două secţiuni (conf. schemei din fig. 3.54.b). Această diferenţă de valoare este sursa unei tendinţe de lunecare dea lungul oricărui plan longitudinal ce separă (imaginar) elementul de bară. Tendinţa de lunecare este consecinţa variaţiei momentului încovoietor, deci a prezenţei forţei tăietoare în zonă. (Pe zonele de bară cu forţa tăietoare nulă, momentul încovoietor este constant şi tendinţele de lunecare sunt nule). Măsura interacţiunii dintre partea superioară şi cea inferioară a elementului este perechea forţelor de lunecare dL; restabilind echilibrul fiecărei părţi, forţele de lunecare blochează lunecarea şi asigură integritatea formei. Pe un element de bară aflat deopotrivă sub regimul forţelor tăietoare şi al forţelor de lunecare, interacţiunea este măsurată prin eforturi unitare tangenţiale (fig.3.55). Conform principiului dualităţii eforturilor unitare tangenţiale, eforturile unitare sunt egale şi formează, împreună cu cele de pe feţele opuse ale elementului, cupluri egale şi de sens contrar (fig 3.56)

50

Fig. 3.55

Fig. 3.56

4.3. REZISTENTA GRINZILOR IN PREZENTA FORTEI TAIETOARE 4.3.1. Eforturi unitare tangenţiale. Formula lui Juravski Se consideră volumul ABCD, decupat din bară (fig.3.57). Echilibrul de translaţii pe direcţia axului barei (fig.3.58) este asigurat de forţele de interacţiune a căror măsură, pe secţiunea transversală este sistemul eforturilor unitare σ, iar pe secţiunea longitudinală - forţa elementelor de lunecare dL = τbdz

(3.37)

Fig. 3.57

Fig. 3.58 In prezenţa unor momente încovoietoare pozitive, la partea superioară a barei, eforturile unitare τ măsoară compresiuni. Pe cele două secţiuni transversale compresiunile sunt diferite, căci în prezenţa forţei tăietoare momentul încovoietor variază. Creşterea de a rezultanţei volumului de compresiuni este echilibrată de forţa elementară de lunecare dL:

51

dL = dC

(3.38)

Rezultanta volumului de compresiune cu expresia C = SA, σdA unde A’ este aria secţiunii transversale aflate în interacţiune, înlocuind efortul σ cu expresia (3.18), se obţine

C = SA’

Mx Mx yDA = S A , ydA , Ix Ix

C=

Mx S 'x Ix

unde S’x este momentul static al suprafeţei parţiale A’ a secţiunii transversale în raport cu axa x; de aici dC = dMx

S'x Ix

(3.39)

Din (3.37), (3.38) şi (3.39) rezultă

bdz = dMx

=

dMx S ' x dz bIx

=

TS ' x bIx

S'x Ix

şi

(3.40)

In expresia (3.40), care poartă numele lui Juravski, σ reprezintă efortul unitar tangenţial yz din planul longitudinal egal cu efortul unitar tangenţial zy din planul secţiunii transversale; ambele planuri trec prin punctul C în care ne-am propus determinarea efectului forţei tăietoare (fig. 3.57 şi 3.58). Semnificaţia parametrilor din membrul drept al formulei lui Juravski este următoarea:

52

T - forţa tăietoare din secţiune; S’x - momentul static în raport cu axa x (axa neutră a secţiunii) al suprafeţei parţiale A’ determinate pe secţiunea transversală de planul longitudinal ce trece prin punctul C (punctul în dreptul căruia se defineşte efortul tangenţial); momentul static al suprafeţei A’ este egal cu momentul static al suprafeţei” (S’x + S”x = Sx = 0, căci Sx reprezintă momentul static al unei suprafeţe în raport cu o axă ce trece prin centrul de greutate; în valoare absolută, S’x = S”x); b - lăţimea secţiunii transversale în dreptul punctului considerat; Ix - momentul de inerţie al suprafeţei secţiunii în raport cu axa x (axa neutră a secţiunii).

Fig. 3.58 4.3.2.1. Distribuţia eforturilor unitare pe secţiunea transversală; eforturi unitare tangenţiale maxime. Aşa cum rezultă din formula lui Juravski, parametrii care determină variaţia eforturilor unitare … pe secţiunea transversală sunt b şi S. La secţiunile dreptunghiulare (cu lăţime constantă), variaţia eforturilor este determinată doar de variaţia momentului static. Expresia momentului static, în funcţie de cota y a planului de lunecare, este (fig.3.59): h ( + y) b h2 S(y) = b ( h − y) 2 = ( − y2) 2 2 2 4 Ei - şi deci şi efortului unitar - îi corespunde o variaţie parabolică, simetrică în raport cu axa x, cu valori nule pentru y = h/2 (la extremităţile secţiunii) şi valoarea

Fig. 3.59

53

maximă pentru y = 0 (în dreptul axei x, axa neutră a secţiunii). Pentru y = 0

Smax =

bh 2 8

bh 2 8 τmax = bh 3 b. 12 T

τmax = 1,5

T = 1,5 τ med bh

(3.41)

unde σ med s-a notat efortul unitar (fictiv) corespunzător unei distribuţii uniforme pe secţiunea transversală. La secţiunile de tip I şi asimilate, cu secţiunea tălpilor şi a inimii de formă dreptunghiulară, distribuţia eforturilor unitare este cea din fig.3.60.a. Variaţia parabolică este întreruptă de salturi în dreptul modificării bruşte a lăţimii secţiunii.

Fig. 3.60

Fig. 3.61

In realitate această variaţie bruscă a formei este sursa unor perturbaţii în distribuţia teoretică a eforturilor unitare şi generaeză concentrăii de eforturi (fig.3.60.b). Pentru atenuarea vârfului de efort, secţiunile profilelor laminate de acest tip au laturile unite prin racordări (fig. 3.61). 4.3.2.2. Verificarea rezistenţei la forfecare. La grinzi cu secţiune de formă dreptunghiulară eforturile unitare tangenţiale sunt mici în comparaţie cu eforturile unitare normale. Aplicaţia din fig.3.ba este edificatoare.

54

Fig. 3.62 Pl M max = 42 σmax = W bh 6

τ

P T max max = 1,5 = 1,5 2 bh bh

de unde

τ ma x h = δ max 2l Se vede că pentru grinzi cu proporţie normală, raportul τmax este net în favoarea efortului unitar τ; de aceea aceste grinzi se verifică numai la încovoiere. In mod curent verificarea la forfecare nu este necesară nici în cazul grinzilor cu secţiune I sau asimilată acesteia, deşi eforturile unitare tangenţiale sunt mai mari ca cele corespunzătoare secţiunii dreptunghiulare. 4.3.3. Rezistenţa barelor în secţiuni longitudinale (rezistenţa la lunecare) 4.3.3.1. Determinarea forţei de lunecare. Variaţia forţei de lunecare Observaţie privind ipteza lui Bernoulli. Forţa elementară de lunecare a fost determinată în paragraful 4.3.1. dL = dM

ς I

55

Pe lungimea finită cuprinsă între două secţiuni (A şi B),

LAB =

LAB =

LAB =

∫

B

A

∫

dl B

I

∫

∫

AT

I

A

dm =

∫ I

∫

B

A

Tdz

(3.42)

unde AT este aria diagramei de forţe tăietoare cuprinsă între secţiunile A şi B. La grinzile cu secţiune constantă (cazul curent), forţa de lunecare este proporţională cu aria diagramei de forţe tăietoare, deci maximă spre reazemele grinzii. In planuri situate la cote diferite, forţa de lunecare este proporţională cu momentul static, deci maximă în dreptul planului neutru. In fig.3.b se exprimă această variaţii prin deplasări relative diferite între fâşii longitudinale de bară.

Fig. 3.63 Imaginea obţinută infirmă ipoteza lui Bernoulli (a secţiunilor plane….). Tipul de deformaţie din fig.3.b3 este doar una din cele trei componente ale deformaţii complexe cu care bara răspunde solicitării de încovoiere cu forţe tăietoare; ele sunt prezentate în fig.3.64.

56

Fig. 3.64 4.3.3.2. Probleme practice privind asigurarea interacţiunii longitudinale. Când dimensiunile prea mari ale secţiunii transversale nu permit realizarea grinzii dintr-o singură bucată, în planurile longitudinale care separă elementele componente ale grinzii se manifestă tendinţe de lunecare (fig.3.65). In cele ce urmează se prezintă

Fig. 3.65 modul particular de blocare a acestor lunecări (asigurarea interacţiunii longitudinale) la diferite tipuri de astfel de grinzi. I. Grinzi de lemn cu secţiune compusă La acest tip de grindă asigurarea interacţiunii longitudinale se realizează, tradiţional, prin intermediul penelor (fig.3.66). Distanţa dintre pene depinde de capacitatea lor la forfecare şi de mărimea de capacitatea lor la forfecare şi de mărimea forţelor de lunecare. La grinzile de mare deschidere sau în cazul în care forţa tăietoare prezintă variaţii mari în lungul grinzii, se urmăreşte ca prin aşezarea penelor la distanţe diferite (mici în zonele cu forţă tăietoare mare, deci lunecări puternice şi mari zonele cu forţă tăietoare redusă) să se realizeze o încărcare uniformă a penelor.

fig. 3.66 Istoria construcţiilor şi sistemul din fig. 3.68, marcabil prin eleganţa soluţiei.

57

fig. 3.68 II. Grinzi metalice cu secţiune compusă de tip I sau asimilată. Asigurarea în turaţiuni longitudinale între inimă şi tălpi - elementele componente ale grinzii - se realizează prin îmbinări sudate (fig.3.69) sau nituite (3.70)

fig. 3.69

fig. 3.70 III. Grinzi cu zăbrele. Lunecarea dintre cele două tălpi este blocată de legături de tip pendul, asigurate de bare transversale simple, articulate la capete, compuse în sistem cu ochiuri triunghiulare (fig. 3.71 şi 3.72)

Fig. 3.71

Fig. 3.72

58

Barele transversale (denumite, în funcţie de orientarea lor, diagonale sau montanţi) sunt alternativ comprimate şi întinse (pentru sensul tendinţei de lunecare precizat în fig.3.71, diagonala din stânga este comprimată, iar cea din dreapta întinsă). IV. Grinzi Vierendel. Lunecarea dintre cele două tălpi este blocată de montanţi robuşti, încastraţi la capete, formând, împreună cu tălpile, sisteme cu ochiuri dreptunghiulare (fig.3.73 şi 3.74). Montanţii sunt forfecaţi şi încovoiaţi.

Fig. 3.73

Fig. 3.74

V. Grinda de beton armat. Grinda de beton armat (fig.3.75 şi 3.76) poate fi asimilată cu o grindă cu zăbrele: talpa superioară (comprimată) este alcătuită din beton simplu (doar pe cca un sfert din înălţimea sa grinda de beton armat este comprimată), talpa inferioară (întinsă) este alcătuită din bare longitudinale de oţel (armături) iar elementele transversale “de coasere” ale celor două tălpi - din “vine” de beton comprimat şi armături întinse (în două variante: bare înclinate, de tip diagonale şi etrieri, de tip montanţi).

Fig. 3.75

5. ELEMENTE SOLICITATE EXCENTRICA

Fig. 3.76

LA

COMPRESIUNE

(INTINDERE)

5.1. DEFINITIA SOLICITARII. EXEMPLE Compresiunea (întinderea) excentrică este o solicitare compusă, în prezenţa căreia, pe secţiunea transversală, interacţiunea este reprezentată de o forţă axială şi un moment încovoietor (vector cuplu cuprins în planul secţiunii). In funcţie de direcţia vectorului moment încovoietor faţă de axele principale de inerţie ale secţiunii transversale, se deosebesc următoarele două cazuri:

59

- încovoiere oblică cu forţa axială (cazul general de compresiune sau întindere excentrică), când direcţia vectorului cuplu este oarecare faţă de direcţia axelor; - încovoiere simplă cu forţă axială (cazul particular), când direcţia vectorului cuplu coincide cu direcţia uneia din axe. O pereche de forţe echilibrate aplicate pe o bară dreaptă de-a lungul unui suport paralel cu axa barei generează, între punctul de aplicaţie, compresiune (întindere) excentrică (fig.3.77). In aria secţiuni transversală, măsura interacţiunii este o forţă normală A = P, aplicată excentrică, de-a lungul suportului.

Fig. 3.77 forţelor exterioare, ea se reduce în centrul de greutate al secţiunii la o forţă axială N = P şi un cuplu M = Pl, unde e este excentricitatea punctului de aplicaţie a forţei interioare. Când punctul de aplicaţie se află pe una din axele principale de inerţie (fig.3.78) se generează cazul particular de compresiune excentrică - încovoierea simplă cu forţa axială.

fig. 3.78 In practică, compresiunea excentrică este solicitarea caracteristică a stâlpilor de cadru în regim gravitanţional de solicitare (fig. 3.79).

60

Fig. 3.79 5.2. INCOVOIEREA SIMPLA CU FORTE AXIALE 5.2.1. Eforturi unitare pe secţiunea transversală Determinarea eforturilor unitare pe secţiunea transversală se face prin suprapunerea efectelor celor două solicitări (simple) componente: compresiunea (întinderea) centrică şi încovoierea …… Ambele generează pe secţiunea transversală eforturi unitare normale τ (fig.3.80).

Fig. 3.80 Intr-un punct curent al secţiunii, efortul unitar corespunzător solicitării compuse se obţine prin însumarea eforturilor unitare corespunzătoare fiecărei solicitări simple. τ = τN + τM La distanţa y de axa x , cu semnele corespunzătoare sensului eforturilor unitare τ=

N Mx + y A Ix

5.2.2. Semnele eforturilor şi condiţiile de încărcare Eforturile unitare însumate pot avea acelaşi semn (când domină efectul forţei axiale) sau semne diferite (când domină efectul momentului încovoietor). Dacă elementele supuse la compresiune excentrică (stâlpi, arce etc) sunt alcătuite din materiale nerezistente la întindere (piatră, cărămidă, etc.) se urmăreşte ca secţiunea să fie comprimată în totalitatea ei. Pentru aceasta este necesar ca (în valoare

61

absolută) ……………., unde ……….. reprezintă efortul maxim de întindere corespunzător momentului încovoietor: N Mx ≥ A Wx de unde

l=

Mx Wx ≥ N A

(3.43)

La o secţiune dreptunghiulară, indiferent de proporţiile ei, W bh 2 / b h = = A bh b

(3.44)

Pentru excentricităţi inferioare valorii h/b adică pentru poziţii ale forţei de compresiune cuprinse în treimea mijlocie a secţiunii dreptunghiulare, eforturile vor avea acelaşi semn (compresiuni). Tipurile de diagramă, în corespondenţă cu poziţia forţei faţă de treimea mijlocie, sunt prezentate în fig.3.87.

Fig. 3.81

5.3. INCOVOIERE OBLICA CU FORTA AXIALA 5.3.1. Descompunerea solicitarii compuse in solicitari simple Forţa P aplicată în punctul P (xo,y) se reduce în centrul de greutate al secţiunii la o forţă axială N = P şi două momente încovoietoare: Mx Pyo şi My = Pxo. Reducerea s-a făcut în două etape. din punctul P în punctul P1 şi din P1 în centrul de greutate; etapele sunt prezentate în fig. 3.82.

62

fig. 3.82 Cele trei eforturi secţionale (N, Mx, My) le corespund eforturi unitare normale … Intr-un punct curent al secţiunii, efortul unitar corespunzător solicitării compusă se obţine prin însumarea eforturilor unitare corespunzătoare fiecărei solicitări simple: τ = τn + τMx + τmy In punctul M (x,y), τ=+

N Mx My + y+ x, A Ix Ix

τ=-

P Pyo Pxo − y− x, A Ix Ix

τ=-

P YYo xxo (+ + , A I 2 x Ix 2

(3.45)

5.3.2. Axa neutră 5.3.2.1. Ecuaţia axei neutre. Axa neutră este locul geometric al punctelor cu eforturi unitare nule. Din condiţia τ = 0 rezultă ecuaţia axei:

1+

yy o xxo + 2 =0 i x2 i y

x y + 2 2 i ix = 1 − x xo yo sau, cu notaţiile

63

-

i y2 xo

=a

şi

i x2 =b yo

x y + =1 a b

(3.46)

(3.48)

Axa neutră este o dreaptă care taie axele de referinţă la distanţele a şi b de originea aflată în centrul de greutate al secţiunii (fig.3.83)

fig. 3.83 5.3.2.2. Proprietăţile axei neutre. A. Intrucât, conform relaţiilor (3.46), la valori pozitive ale coordonatelor xo, yo corespund valori negative ale distanţelor a şi b, faţă de punctul de aplicaţie a forţei, axa neutră se află de cealaltă parte a centrului de greutate (fig.3.84). B. Punctelor de aplicaţie a forţei aflate pe o dreaptă ce trece prin centrul de greutate le corespund axe neutre parafele, căci i y2

i y2 yo a xo = = 2 . = const. b i xx i x xo − yo

Conform relaţiilor (3.46) , axa neutră se apropie de centrul de greutate când punctul de aplicaţie se depărtează (fig. 3.85).

64

fig. 3.84

fig. 3.85 C. Punctelor de aplicaţie ale forţei aflate pe o dreaptă care nu trece prin centrul de greutate le corespund axe neutre concurente (fără demonstraţie) (fig.3.86).

fig. 3.86 5.3.4.3. Sîmburele central al unei secţiuni dreptungiulare. Fie secţiunea dreptunghiulară din fig. 3.88, cu dimensiunile laturilor B şi H.

65

fig. 3.87 conform (3.46)

xo = -

yo = -

i y2 a

,

i x2 b

Poziţiei (1) a axei neutru, tangentă la una din laturile mici ale secţiunii (cu a α şi b = - H/2), îi corespunde punctul 1 de aplicaţie a forţei, cu coordonatele. xo = 0 BH 3 12 H yo = - BH = H b − 2 Poziţiei (2) a axei neutre, tangentă la una din laturile mari ale secţiunii, îi corespunde punctul 2 cu coordonatele xo =

B b

y=o Când axa neutră se roteşte în jurul punctului A, punctul de aplicaţie a forţei parcurge segmentul 1-2. Prin anologie, se deduce

66

Fig. 3.88

Fig. 3.89.

şi poziţia punctelor simetrice 3 şi 4 şi segmentele 2-3, 3-4 şi 4-1 care închid sâmburile central. Acesta este un romb cu diagonalele egale cu o treime din lungimea laturilor dreptunghiului (fig. 3.89). 5.3.4.4. Sâmburele central al unei secţiuni circulare este un cerc cu diametrul egal cu un sfert din diametrul secţiunii (fig. 3.90 şi 3.91):

πD 4 64 πD 2 yo = 4 =D D 8 2

Fig. 3.90

Fig. 3.91

5.4. Eforturi unitare pe talpa unei fundaţii Pământul este un material nerezistent la întindere. De aceea, la contractul dintre fundaţie şi teren, interacţiunea nu poate fi realizată decât prin eforturi de compresiune. Dacă forţa este aplicată în interiorul sâmburelui central, distribuţia presiunilor se face pe toată suprafaţa tălpii, după legea trapezoidală precizată anterior (fig.3.92). Dacă forţa este aplicată în afara sâmburelui central, distribuţia presiunilor se face pe o zonă limitată a suprafeţei tălpii, numită zona activă (fig.3.93).

67

Fig. 3.92

Fig. 3.93

Suprafaţa zonei active şi valoarea efortului unitar maxim se determină din condiţia ca forţa P, aplicată exentric şi rezultanta R a volumului de presiuni să formeze un sistem echilibrat. Dacă P calcă pe una din axele de simetrie ale unei fundaţii dreptunghiulare, la distanţa C de marginea fundaţiei (fig. 3.93), lăţimea zonei active este d = 3 c, iar efortul unitar maxim, de două ori mai mare decât efortul mediu P σmax = 2 bd

68