(revisi) Tugas M1 Ansyari.pdf

TUGAS AKHIR MODUL 1 ( LOGIKA MATEMATIKA – KOMBINATORIKA – TEORI GRAF ) Nama NUPTK NO. Peserta PPG Bidang Studi Sertifikasi Sekolah Asal

: ANSYARI, S.Pd : 3736767668200022 : 19140718010025 : 180 – MATEMATIKA : SMPN 2 HANAU

Jawaban: 1. a. [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑞)] ⟹ [(𝑝 ⟹ 𝑟) ⟹ 𝑞] . masalah ini akan diselesaikan dengan uji tabel kebenaran : p

q

r

pq

rq

( p  q)  ( r  q)

pr

( p  r)  q

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

B

S

S

Berdasarkan tabel di atas, maka pernyataan

b. 𝑝 ∧ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) Masalah ini akan dibuktikan dengan sifat sifat logika:

p  ~ p  q Sifat Asosiatif

∧ q

Sifat Identitas

S S

⇒ ((𝑝 ⇒ 𝑟) ⇒ 𝑞)

 ( p  q)  (r  q)    ( p  r )  q  bukan

tautologi dan bukan kontradiksi.

𝑝 ∧∼ 𝑝 ∧ 𝑞

𝑝⟹𝑞 ∧ 𝑟⇒𝑞

Kontradiksi

Jadi, pernyataan p   ~ p  q  merupakan kontradiksi.

2. Bukti keabsahan

( p  q)  (r  s) ~ r ~ s ~ p ~ q Bukti: 1. ( p  q)  (r  s)

(Premis 1)

2. ~ r  ~ s

(Premis 2)

3. ~ (r  s)

(2 Hukum DeMorgan)

4. ~ ( p  q)

(1 dan 3 Modus Tolens)

5. ~ p ~ q

(4 Hukum DeMorgan)

Jadi argument tersebut valid (terbukti).

3. Banyaknya solusi dari 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 20 ,dengan 𝑥1 ≥ 2 , 0 ≤ 𝑥2 ≤ 3 , 3 ≤ 𝑥3 ≤ 5 Maka untuk batasan 𝑥1 adalah 2 ≤ 𝑥2 ≤ 17 Banyaknya solusi dari persamaan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 20 dapat dinyatakan oleh koefisien 𝑥 20 Dalam ekspansi: G(x) = (𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + . . . +𝑥17 ) (1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) (𝑥 3 + 𝑥 4 +𝑥 5 ) = 𝑥 2 (1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + . . . +𝑥15 ) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) 𝑥 3 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) = 𝑥 5 (1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + . . . +𝑥15 ) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) = 𝑥5 = 𝑥5

1−𝑥 16

1−𝑥 4

1−𝑥 3

1−𝑥

1−𝑥

1−𝑥

1−𝑥 16 (1−𝑥 3 −𝑥 4 +𝑥 7 ) (1−𝑥)3

= 𝑥 5 (1 − 𝑥 3 − 𝑥 4 + 𝑥 7 − 𝑥16 + 𝑥19 − 𝑥 23 )

1 (1−𝑥)3

Banyak cara yang dimaksud = Koefisien dari 𝑥 20 dalam G(x) G(x) = (𝑥 5 + 𝑥 8 − 𝑥 9 + 𝑥12 )

𝑛 𝑘=0

𝑛+𝑘−1 𝑘

1 (1−𝑥)3

Maka untuk perhitungan koefisiennya; -

Untuk 𝑥 5 , maka k= 20 – 5 =15 = 𝑥5

𝑛+𝑘−1 𝑘

= 𝑥5

3+15−1 15

= =

3+15−1 15 17! 15!2!

𝑥𝑘 𝑥15

𝑥 20

𝑥 20

= 136 𝑥 20  jadi koefisiennya = 136

, n=3

-

Untuk −𝑥 8 , maka k= 20 – 8 =12 = −𝑥 8

𝑛+𝑘−1 𝑘

= −𝑥 8

3+12−1 12

3+12−1 12

= − =−

14! 12!2!

𝑥𝑘 𝑥12

𝑥 20

𝑥 20

= − 91 𝑥 20  jadi koefisiennya = −91

-

Untuk −𝑥 9 , maka k= 20 – 9 =11 = −𝑥 9

𝑛+𝑘−1 𝑘

= −𝑥 9

3+11−1 11

3+12−1 11

= − =−

13! 11!2!

𝑥𝑘 𝑥11

𝑥 20

𝑥 20

= − 78 𝑥 20  jadi koefisiennya = −78 -

Untuk 𝑥12 , maka k= 20 – 12 =8 = 𝑥12

𝑛+𝑘−1 𝑘

𝑥𝑘

= 𝑥12

3+8−1 8

𝑥8

= =

3+8−1 8 10! 10!2!

𝑥 20

𝑥 20

= 45 𝑥 20  jadi koefisiennya = 45 Jadi, Koefisien 𝑥 20 = 136 −91 – 78 + 45 = 12 Sehingga terdapat 12 solusi untuk persamaan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 20 , dengan 𝑥1 ≥ 2 , 0 ≤ 𝑥2 ≤ 3 , 3 ≤ 𝑥3 ≤ 5

4. Graf berikut a

b e

f

h g d

c

Graf pada gambar diatas merupakan graf bipartisi, karena himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2 seperti pada gambar berikut: V1

V2

a

b

c

d

f

e

h

g

Berdasarkan gambar diatas, maka graf tersebut bukan graf bipartisi lengkap karena tidak setiap titik di V1 bertetangga dengan semua titik di V2. 5. Diketahui grafh sebagai berikut

Tersedia 6 buah warna untuk mewarnai titik pada graf tersebut dengan aturan dua titik yang bertetangga berbeda warna. Berikut akan ditentukan banyak cara pewarnaan.

Misalkan 6 warna tersebut adalah: 1 , 2, 3, 4, 5, 6 Kemungkinan 1 : Ditempatkan semua warna berbeda pada setiap titik (ada 6 warna berbeda pada graf) 3

2

1

4

5

6

Maka banyak cara dari pewarnaan tersebut = 6.5.4.3.2.1 = 720 (ini memakai kaidah aturan pengisian tempat pada titik)

Kemungkinan 2 : Ditempatkan 1 pasang warna yang sama pada 2 buah titik (ada 5 warna berbeda pada graf) 4

3

1

5

1

2

Atau 4

1

2

5

3

1

Maka banyak cara dari pewarnaan tersebut = 6.5.4.3.2 .2( bentuk berbeda) = 1440

Kemungkinan 3 : Ditempatkan 2 pasang warna yang sama pada 2 pasang titik (ada 4 warna berbeda pada graf) 3

1

2

4

2

1

Maka banyak cara dari pewarnaan tersebut = 6.5.4.3 = 360

Kemungkinan 4 : Ditempatkan 2 pasang warna yang sama pada 2 pasang titik Saling berjauhan (ada 4 warna berbeda pada graf) 1

3

1

2

4

2

Atau 2

3

1

1

4

2

Maka banyak cara dari pewarnaan tersebut = 6.5.4.3 .2( bentuk berbeda) = 720

Kesimpulan Jadi,

dari 4 kemungkinan pewarnaan tersebut Maka banyak cara pewarnaan yang mungkin pada graf tersebut adalah 720 + 1440 + 360 + 720 = 3240 cara