Review Perpan Akbar.docx

Dalam perpindahan panas terdapat 2 keadaan temperatur, antara lain: STEADY : Keadaan dimana waktu tidak mempengaruhi temperatur,artinya temperatur hanya fungsi dari posisi, biasa dituliskan T (x, y, z) (Tidak ada perubahan temperatur terhadap waktu) TRANSIENT : Keadaan dimana faktor waktu diperhitungkan sehingga temperatur merupakan fungsi dari posisi dan waktu, T(x, y, z, t) (Adanya perubahan temperatur terhadap waktu) Transient Conduction • Proses perpindahan panas dengan adanya perubahan temperatur terhadap waktu, seperti pad permukaan solid • Transient conduction terjadi setiap kali sistem mengalami perubahan kondisi operasi (perpindahan panas diawal yg diserap oleh wall / bendanya) • Disebabkan oleh perubahan: Surface convection conditions (h, T∞) Surface radiation conditions (hf , Tsur ) Temperatur permukaan atau heat flux Internal energy generation • Solution Techniques  The lumped Capacitance Method  Exact Solutions  The Finite-Difference Method 5.1. The Lumped Capacitance Method Pertimbangkan penempaan logam panas yang awalnya pada suhu yang seragam Ti dan didinginkan dengan merendamnya dalam cairan dengan suhu yang lebih rendah T <<Ti (Gambar 5.1). Jika pendinginan dikatakan dimulai pada waktu t = 0, suhu padatan akan berkurang untuk waktu t> 0, hingga akhirnya mencapai Tœ. Pengurangan ini disebabkan perpindahan panas konveksi pada antarmuka padat-cair. Asumsi ini menyiratkan bahwa gradien suhu dalam padatan dapat diabaikan. Ti

t<0 T = Ti •

Eout = qconv

Liquid •

Est

T(t) T < Ti

t0 T = T(t)

Gambar 5.1 Cooling of a hot metal forging.

Dari hukum Fourier, konduksi panas tanpa adanya gradien suhu menyiratkan adanya konduktivitas termal yang tak terbatas. Kondisi seperti itu jelas mustahil. Namun, kondisi ini diperkirakan dekat jika resistansi terhadap konduksi dalam padatan kecil dibandingkan dengan resistansi terhadap perpindahan panas antara padatan dan sekitarnya. Respon suhu transien ditentukan oleh merumuskan keseimbangan energi secara keseluruhan di seluruh solid. Hasil sebelumnya menunjukkan bahwa perbedaan antara suhu padat dan cairan harus membusuk secara eksponensial menjadi nol ketika t mendekati tak terhingga 5.2. Validity of the Lumped Capacitance Method Metode lumped merupakan metode yang sederhana dan mudah karena dapat menentukan dalam kondisi apa ia dapat digunakan dengan akurasi yang masuk akal. Dalam kondisi tunak keseimbangan energi permukaan, Persamaan 1.13, berkurang menjadi

di mana k adalah konduktivitas termal padatan. Mengatur ulang, kami kemudian dapatkan

Gambar 5.3 Pengaruh nomor Biot pada distribusi suhu kondisi-mapan pada dinding bidang dengan konveksi permukaan. Menurut Persamaan 5.9 dan seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 5.3, nomor Biot memberikan ukuran penurunan suhu dalam padatan relatif terhadap perbedaan suhu antara permukaan padatan dan cairan. Dari Persamaan 5.9, juga terbukti bahwa nomor Biot dapat ditafsirkan sebagai rasio hambatan termal. 5.3. General Lumped Capacitance Analysis Jika suhu benda padat dan lingkungan berbeda, pertukaran radiasi dapat menyebabkan energi termal internal, dan karenanya suhu, benda padat berubah. Perubahan suhu juga dapat diinduksi dengan menerapkan fluks panas pada sebagian, atau semua, dari permukaan atau dengan memulai pembangkit energi termal dalam padatan. Gambar 5.5 menggambarkan situasi umum di mana kondisi termal dalam padatan dapat dipengaruhi secara simultan oleh konveksi, radiasi, fluks panas permukaan yang diterapkan, dan pembangkit energi internal.

Gambar 5.5 Control surface for general lumped capacitance analysis.

Persamaan 5.15 adalah persamaan diferensial biasa yang tidak linier, pertama, tidak homogen, yang tidak dapat diintegrasikan untuk mendapatkan solusi yang tepat.1 Namun, solusi yang tepat dapat diperoleh untuk versi persamaan yang disederhanakan. 5.3.1. Only Radiaton Pengabaian relatif terhadap radiasi

Memisahkan dan mengintegrasikan dari kondisi awal ke waktu t kapan saja

Mengevaluasi dan mengaturulang integral ,waktu yang diperluka untukmencapai suhu T

5.3.2. Negligible Radiation Solusi tepat untuk Persamaan 5.15 juga dapat diperoleh jika radiasi dapat diabaikan dan semua kuantitas (selain T, tentu saja) tidak tergantung waktu. Persamaan 5.15 direduksi menjadi persamaan diferensial linear, orde-pertama, nonhomogen dari bentuk

5.3.3. Convection Only with Variable Convection Coefficient Dalam situasi ini, koefisien konveksi sering dapat didekati dengan ekspresi bentuk

5.4. Spatial Effects Penggunaan metode kapasitansi lumped akan menghasilkan hasil yang salah, sehingga pendekatan alternatif, disajikan dalam sisa bab ini, harus dimanfaatkan.

Untuk menyelesaikan Persamaan 5.29 untuk distribusi suhu T (x, t), perlu untuk menentukan kondisi awal dan dua kondisi batas. Untuk masalah konduksi sementara tipikal pada Gambar 5.4, kondisi awal adalah

Dan kondisi batasnya

Dan

Persamaan 5.30 mengandaikan distribusi temperatur yang seragam pada waktu t 0; Persamaan 5.31 mencerminkan persyaratan simetri untuk bidang tengah dinding; dan Persamaan 5.32 menggambarkan kondisi permukaan yang dialami untuk waktu t 0. Dari Persamaan 5.29 hingga 5.32, terbukti bahwa, selain bergantung pada x dan t, suhu di dinding juga tergantung pada sejumlah parameter fisik. Khususnya

Masalah di atas dapat diselesaikan secara analitis atau numerik. Ini dapat dilakukan dengan mengatur variabel yang relevan ke dalam kelompok yang sesuai. Pertimbangkan variabel dependen T, suatu bentuk tak berdimensi dari variabel dependen dapat didefinisikan sebagai

5.5 The Plane Wall with Convection Beberapa teknik matematika, termasuk metode pemisahan variabel , dapat digunakan untuk tujuan ini, dan biasanya solusi untuk distribusi temperatur tanpa dimensi, namun kecuali untuk nilai-nilai bilangan Fourier yang sangat kecil, seri ini dapat didekati dengan satu istilah, yang menyederhanakan evaluasinya. 5.5.1. Exact Solution Pertimbangkan dinding bidang dengan ketebalan 2L (Gambar 5.6a). Jika ketebalannya relatif kecil terhadap lebar dan tinggi dinding, masuk akal untuk mengasumsikan bahwa konduksi terjadi secara eksklusif pada arah-x. Jika dinding awalnya pada suhu yang seragam, T (x, 0) = Ti, dan tiba-tiba direndam dalam cairan T ≠ Ti, suhu yang dihasilkan dapat diperoleh dengan menyelesaikan Persamaan 5.37 tergantung pada kondisi Persamaan 5.38 hingga 5.40 . Karena kondisi konveksi untuk permukaan pada x * = ± 1 adalah sama, distribusi suhu setiap saat harus simetris tentang midplane (x * - 0). Solusi tepat untuk masalah ini adalah dalam bentuk [4]

5.5.2. Approximate Solution Penyelesaian yang dinyatakan dalam bentuk deret, seperti pada persamaan (5.34) masih jauh dari praktis untuk digunakan. Oleh karena itu diperlukan pendekatan. Pada kasus khusus dengan bilangan Forier Fo > 2,0 , persamaan (5.39) dapat diwakili dengan suku pertama deretnya, dengan kesalahan kurang dari 2%

θ* adalah temperatur bagian tengah plat datar, yang dirumuskan dengan:

Dimana C1 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (5.39b). Nilai C1 dan akar pertama persamaan karakteristik ξ1 adalah fungsi dari bilangan Biot, seperti yang ditampilkan pada Tabel 5.1.

5.5.3. Total Energy Transfer Dalam banyak situasi, penting untuk mengetahui energi total yang telah meninggalkan (atau memasuki) dinding sampai kapan t dalam proses transien. Konservasi kebutuhan energi, Persamaan 1.12b, dapat diterapkan untuk interval waktu yang dibatasi oleh kondisi awal (t = 0) dan kapan saja 0
yang dapat diartikan sebagai energi internal awal dinding relatif terhadap suhu fluida. Ini juga merupakan jumlah maksimum transfer energi yang dapat terjadi jika proses dilanjutkan ke waktu t. Oleh karena itu, dengan asumsi sifat konstan, rasio energi total yang ditransfer dari dinding selama interval waktu t ke transfer maksimum yang mungkin adalah

5.5.4. Additional Considerations Karena masalah matematisnya persis sama, hasil sebelumnya juga dapat diterapkan pada dinding bidang dengan ketebalan L yang diisolasi pada satu sisi (x * = 0) dan mengalami transpor konvektif di sisi lain (x * = 1). Kesetaraan ini adalah konsekuensi dari kenyataan bahwa, terlepas dari apakah persyaratan simetris atau adiabatik ditentukan pada x * = 0, kondisi batas adalah dalam bentuk 𝜕* /𝜕 x *= 0. Juga perhatikan bahwa hasil sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan respon transien dari dinding bidang terhadap perubahan suhu permukaan yang tiba-tiba. Proses ini setara dengan memiliki koefisien konveksi tidak terbatas, dalam hal ini nomor Biot adalah nite (Bi =∞) dan suhu cairan T∞ digantikan oleh suhu permukaan yang ditentukan Ts ͦ

5.6. Radial Systems with Convection Untuk silinder atau bola radius yang tidak tertentu yang berada pada suhu seragam awal dan mengalami perubahan dalam kondisi konvektif, hasil yang dapat dikembangkan. Yaitu, solusi deret yang tepat dapat diperoleh untuk ketergantungan waktu dari distribusi temperatur radial, dan perkiraan satu istilah dapat digunakan untuk sebagian besar kondisi. Silinder ini adalah idealisasi yang memungkinkan asumsi konduksi satu dimensi dalam arah radial. Ini adalah perkiraan yang masuk akal untuk silinder yang memiliki L /ro ≳ 10. 5.6.1. Exact Solutions Untuk suhu awal yang seragam dan kondisi batas konvektif, solusi yang tepat [4], berlaku setiap saat (Fo >0), adalah sebagai berikut.

dimana Bi=hro / k. Kuantitas J1 dan J0 adalah fungsi Bessel dari jenis pertama, dan nilainya ditabulasikan dalam Lampiran B.4. Akar persamaan transendental (5.50c) ditabulasi oleh Schneider [4]. Silinder Tidak Terbatas Dalam bentuk tanpa dimensi, suhunya

Dimana

dan nilai diskrit dari adalah akar positif dari persamaan transendental Dimana Kuantitas J1 dan J0 adalah fungsi Bessel dari jenis pertama, dan nilainya ditabulasikan dalam Lampiran B.4. Akar persamaan transendental (5.50c) ditabulasi oleh Schneider [4].

Bola , sama halnya untuk bola

Dimana

dan nilai diskrit

dari adalah akar positif dari persamaan transendental

Dimana Akar persamaan transendental ditabulasi oleh Schneider [4]. 5.6.2. Approximate Solutions Untuk silinder dan bola tak terbatas, solusi seri yang disebutkan di atas dapat didekati kembali dengan istilah tunggal, 1, untuk Fo>0.2. Oleh karena itu, seperti untuk kasus dinding bidang, ketergantungan waktu suhu pada setiap lokasi dalam sistem radial adalah sama dengan garis tengah atau titik tengah. 5.6.3. Total Energy Transfer Seperti pada Bagian 5.5.3, keseimbangan energi dapat dilakukan untuk menentukan transfer energi total dari silinder atau bola tak terbatas selama interval waktu ∆t=t. Mengganti darisolusi perkiraan, Persamaan 5.52b dan 5.53b, dan memperkenalkan 𝒬𝑜 dari Persamaan 5.47, hasilnya adalah sebagai berikut. Silinder yang tidak terbatas

Sphere(bola)

5.6.4. Additional Considerations Sedangkan untuk dinding bidang, hasil sebelumnya dapat digunakan untuk memprediksi respon transien dari silinder dan bola panjang yang mengalami perubahan suhu permukaan secara tiba-tiba. Yaitu, nomor Biot tak terbatas akan ditentukan, dan suhu fluida T∞ akan digantikan oleh suhu permukaan konstan Ts*

5.7 The Semi-Infinite Solid Geometri yang sederhana solusi analitis adalah semi infinitesolid. Karena, pada prinsipnya, padatan seperti itu meluas di semua arah kecuali satu yaitu dicirikan oleh satu permukaan yang dapat diidentifikasi (Gambar 5.7). Jika perubahan kondisi tiba-tiba dikenakan pada permukaan ini, transien, konduksi satu dimensi akan terjadi di dalam.

Gambar 5.7 Distribusi suhu transien dalam padatan semi-tak-terhingga untuk tiga kondisi permukaan: suhu permukaan konstan, fluks panas permukaan konstan, dan konveksi permukaan. Persamaan panas untuk konduksi transien dalam padatan semi-tak-terbatas diberikan oleh Persamaan 5.29. Kondisi awal ditentukan oleh Persamaan 5.30, dan kondisi batas dalam bentuk

Solusi untuk kasus 1 dapat diperoleh dengan mengenali adanya kesamaan variabel 𝜂, di mana persamaan panas dapat ditransformasikan daripersamaan diferensial parsial, yang melibatkan dua variabel independen (x dan t), ke diferensial biasa persamaan dinyatakan dalam variabel kemiripan tunggal. Untuk mengonfirmasi bahwa persyaratan tersebut dipenuhi oleh 𝜂≡x/(4∝t))½ , pertama-tama mengubah diferensial yang bersangkutan operator

Mengganti menjadi Persamaan 5.29, persamaan panas menjadi

Dengan x= 0 yang sesuai dengan𝜂 = 0, kondisi permukaan dapat dinyatakan sebagai

dan dengan x→ ∞, serta t = 0, sesuai dengan 𝜂→ ∞, kondisi awal dan syarat batas interior sesuai dengan persyaratan tunggal itu

Karena persamaan panas yang ditransformasikan dan kondisi awal / batas tidak tergantung dari x dan t,𝜂≡ 𝑥/(4𝛼𝑡)½memang merupakan variabel kesamaan.Keberadaannya menyiratkan bahwa, terlepas dari dari nilai x dan t, suhu dapat direpresentasikan sebagai fungsi unik dari𝜂.Bentuk khusus dari ketergantungan suhu, T(𝜂), dapat diperoleh dengan memisahkan variabel dalam Persamaan 5.57, sedemikian rupa sehingga

Mengintegrasikan, mengikuti itu Atau

Mengintegrasikan kedua kalinya, kami dapatkan

di manau adalah variabel dummy. Menerapkan syarat batas pada𝜂 = 0, Persamaan 5.58, itu mengikuti 𝐶2 =𝑇𝑆 dan

Dari syarat batas kedua, Persamaan 5.59, kita dapatkan

atau, mengevaluasi integral yang pasti,

Karenanya distribusi temperatur dapat dinyatakan sebagai

Perhatikan bahwa erf (𝜂) secara asimptotik mendekati kesatuan sebagaimana menjadi tak terbatas. Dengan demikian, setiap saat bukan nol, suhu di mana-mana diperkirakan telah berubah dari 𝑇𝑖 (menjadi lebih dekat dengan𝑇𝑠 ). Fluks panas permukaan dapat diperoleh dengan menerapkan hukum Fourier pada x 0, in kasus yang mana

Solusi analitik juga dapat diperoleh untuk kondisi permukaan kasus 2 dan kasus 3, dan hasil untuk ketiga kasus dirangkum sebagai berikut. Kasus 1 Suhu Permukaan Konstan:𝑇(0. 𝑡) = 𝑇𝑠

Kasus 2 Fluks Panas Permukaan Konstan:𝑞𝒔" =𝑞𝑜"

Kasus 3 Konveksi Permukaan:

Suhu permukaan kesetimbangan pada Gambar 5.9 dapat ditentukan dari suatu permukaan keseimbangan energi, yang mengharuskan itu

Mengganti dari Persamaan 5.61 untuk 𝑞𝑠," Adan 𝑞𝑠," Bdan mengakui bahwa koordinat x dari Gambar 5.9 membutuhkan perubahan tanda, karena itu

atau, pemecahan untuk𝑇𝑠 ,

Karenanya kuantitas 𝑚 ≡ (𝑘𝑝𝑐)½ adalah faktor pembobot yang menentukan apakah𝑇𝑠 akan lebih mendekati 𝑇𝐴,𝑖 (𝑚𝐴 > 𝑚𝐵 )atau 𝑇𝐵,𝑖 (𝑚𝐵 > 𝑚𝐵 ). 5.8. Objects with Constant Surface Temperatures or Surface Heat Fluxes 5.8.1. Constant Temperature Boundary Conditions Semi-Infinite Solid wawasan dalam respons termal objek terhadap konstanta yang diterapkan kondisi batas suhu dapat diperoleh dengan menuang fluks panas dalam Persamaan 5.61 ke dalam bentuk nondimensional

dimana𝐿𝑐 adalah panjang karakteristik dan q* adalah tingkat panas konduksi tak berdimensi itu diperkenalkan pada Bagian 4.3. Mengganti Persamaan 5.67 menjadi Persamaan 5.61 hasil

Transfer Panas Interior: Dinding Pesawat, Silinder, dan Bola untuk perpindahan panas ke interior dinding pesawat, silinder, dan bola juga ditunjukkan pada Gambar 5.10a. Ini hasil dihasilkan dengan menggunakan hukum Fourier bersama dengan Persamaan 5.42, 5.50, dan 5.51 untuk 𝐵𝑖 → ∞. Seperti pada Bagian 5.5 dan 5.6, panjang karakteristik adalah 𝐿𝑐 = 𝐿 atau 𝑟𝑜 untuk dinding bidang dengan ketebalan 2L atau silinder (atau bola) dengan jari-jari masing-masing. Untuk setiap geometri, q * awalnya mengikuti solusi padat semi-tak terbatas tetapi pada beberapa titik menurun dengan cepat ketika objek mendekati suhu kesetimbangannya dan 𝑞𝑠" (𝑡 → ∞) → 0. Nilai q* diharapkan menurun lebih cepat untuk geometri yang memiliki permukaan besar rasio area ke volume, dan tren ini terlihat jelas pada Gambar 5.10a.

Perpindahan Panas Eksterior: Berbagai Geometri Hasil tambahan ditunjukkan pada Gambar 5.10a untuk objek yang tertanam dalam media eksterior (sekitarnya) dengan luas tak terbatas. Untuk kasus eksterior, 𝐿𝑐 adalah panjang karakteristik yang digunakan dalam Bagian 4.3, yaitu𝐿𝑐 = (𝐴𝑠 /4)½. Untuk bola dalam medium tak terbatas di sekitarnya, the solusi tepat untuk q * (Fo) adalah [7]

Seperti yang terlihat pada Gambar 5.10a, semua respons termal runtuh ke respon semiinfinite padat untuk zaman awal, yaitu, untuk Fo kurang dari sekitar 10−3 . Ini luar biasa konsistensi mencerminkan fakta bahwa variasi suhu terbatas pada lapisan tipis yang berdekatan ke permukaan benda apa pun di awal kali, terlepas dari apakah panas internal atau eksternal transfer menarik.

5.8.2. Constant Heat Flux Boundary Conditions Semi-Infinite Solid Dalam kasus semi-infinite solid, sejarah suhu permukaan dapat ditemukan dengan mengevaluasi Persamaan 5.62 pada x 0, yang dapat disusun ulang dan dikombinasikan dengan Persamaan 5.67 untuk menghasilkan

Transfer Panas Eksterior: Berbagai Hasil Geometri untuk perpindahan panas antar bola dan media infinite eksterior juga disajikan pada Gambar 5.10b. Solusi tepat untuk bola yang tertanam adalah

5.9. Periodic Heating Satu situasi melibatkan kondisi batas tidak konstan adalah pemanasan berkala, yang menjelaskan berbagaiaplikasi, seperti pemrosesan termal bahan menggunakan laser berdenyut, dan terjadi secara alamidalam situasi seperti yang melibatkan pengumpulan energi matahari. Perhatikan, misalnya, padatan semi tak terbatas pada Gambar 5.11a. Untuk suhu permukaan sejarah dijelaskan oleh T (0, t) = 𝑇𝑖 + ∆𝑇sin 𝜔𝑡, solusi dari Persamaan 5.29 subjek dengan kondisi batas interior yang diberikan oleh Persamaan 5.56 adalah

Solusi ini berlaku setelah waktu yang cukup berlalu untuk menghasilkan kondisi quasi-stable yang semua suhu berfluktuasi secara berkala tentang nilai rata-rata waktu-invarian.Di lokasi dalam padatan, fluktuasi memiliki jeda waktu relatif terhadap suhu permukaan.

Fluks panas pada permukaan dapat ditentukan dengan menerapkanHukum Fourier pada x= 0, menghasilkan

Pemanasan berkala juga dapat terjadi dalam pengaturan dua atau tiga dimensi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.11b.Bahwa untuk geometri ini, kondisi mapan dapat dicapai dengan konstanta pemanasan strip ditempatkan pada padatan semi tak terbatas (Tabel 4.1, kasus 13).Kondisi semi-stabil dicapai untuk semua suhu berfluktuasi tentang nilai rata-rata waktu-invarian. Solusi dari persamaan difusi panas transien dua dimensi untuk dua dimensi konfigurasi yang ditunjukkan pada Gambar 5.11b telah diperoleh, dan hubungannya antara

amplitudo pemanasan sinusoidal yang diterapkan dan amplitudo suhu respons strip yang dipanaskan dapat diperkirakan sebagai [10]

5.10. Finite-Difference Methods 5.10.1. Discretization of the Heat Equation: The Explicit Method Pertimbangkan sistem dua dimensi pada Gambar 4.4. Dalam kondisi sementara dengan sifat konstan dan tanpa generasi internal, bentuk persamaan panas yang sesuai, Persamaan 2.21, adalah

Untuk mendapatkan bentuk beda hingga dari persamaan ini, kita dapat menggunakan perbedaan pusat perkiraan untuk turunan spasial yang ditentukan oleh Persamaan 4.27 dan 4.28. Sekali lagi subscript m dan n dapat digunakan untuk menunjuk lokasi x- dan y- dari nodal diskrit poin.Namun, selain diskritisasi di ruang angkasa, masalahnya juga harus diskritisasi di waktu. Integral p diperkenalkan untuk tujuan ini, di mana

dan pendekatan beda hingga terhadap turunan waktu dalam Persamaan 5.75 dinyatakan sebagai

Jika Persamaan 5.77 diganti menjadi Persamaan 5.75, sifat dari beda hingga solusi akan tergantung pada waktu spesifik di mana suhu dievaluasi dalam pendekatan beda hingga untuk turunan spasial. Dalam metode solusi eksplisit, suhu ini dievaluasi pada waktu (p) sebelumnya.Maka Persamaan 5.77 dipertimbangkan menjadi perkiraan perbedaan-maju ke derivatif waktu. Mengevaluasi persyaratan pada sisi kanan Persamaan 4.27 dan 4.28 di p dan menggantikan ke Persamaan 5.75, bentuk eksplisit dari persamaan beda hingga untuk simpul interior (m, n) adalah

Memecahkan untuk suhu nodal di yang baru (hal 1) waktu dan mengasumsikan bahwa xy, itu mengikuti itu di mana Fo adalah bentuk beda hingga dari bilangan Fourier

Pendekatan ini dapat dengan mudah diperluas ke sistem satu atau tiga dimensi. Jika sistemnya satu dimensi dalam x, bentuk eksplisit dari persamaan beda hingga untuk simpul interior m dikurangi menjadi

Dilakukan dengan mengumpulkan semua istilah yang terlibat untuk mendapatkan bentuk koefisien. Hasil ini kemudian digunakan untuk memperoleh hubungan pembatas yang melibatkan Fo, dari mana nilai maksimum yang diijinkan dari t dapat ditentukan. Misalnya, dengan Persamaan 5.79 dan 5.81 sudah dinyatakan dalam bentuk yang diinginkan, maka mengikuti kriteria stabilitas untuk satu dimensi simpul interior adalah (1 2Fo) ≥ 0, atau

dan untuk simpul dua dimensi, itu adalah (1-4Fo) ≥ 0, atau

Untuk nilai yang ditentukan dari ∆𝑥 dan 𝛼, kriteria ini dapat digunakan untuk menentukan batas atasnilai ∆𝑡. Persamaan 5.79 dan 5.81 juga dapat diturunkan dengan menerapkan metode keseimbangan energi. Bagian 4.4.3 ke volume kontrol tentang simpul interior. Akuntansi untuk perubahan penyimpanan energi termal, bentuk umum dari persamaan keseimbangan energi dapat dinyatakan sebagai

Untuk mengilustrasikan penerapan Persamaan 5.84, pertimbangkan simpul permukaan dimensi tunggalsistem ditunjukkan pada Gambar 5.12. Untuk lebih akurat menentukan kondisi termal dekat permukaan, simpul ini telah diberi ketebalan yang setengah darinode interior. Dengan asumsi transfer konveksi dari fluida yang berdampingan dan tidak ada generasi, itu mengikuti dari Persamaan 5.84 itu

atau, pemecahan untuk suhu permukaan pada 𝑡 + ∆𝑡,

Bahwa (2ℎ∆𝑡/𝑝𝑐∆𝑥 = 2(ℎ∆𝑥/𝑘)(𝛼∆𝑡/∆𝑥 2 ) = 2BiFo dan istilah pengelompokan yang melibatkan𝑇0𝑝 , karena itu Bentuk beda hingga dari nomor Biot adalah

Mengingat prosedur untuk menentukan kriteria stabilitas, kami memerlukan koefisien untuk lebih besar dari atau sama dengan nol. Karenanya

atau

5.10.2. Discretization of the Heat Equation: The Implicit Method Untuk penambahan ruang tertentu, interval waktu harus kompatibel dengan persyaratan stabilitas.Seringkali, ini menentukan penggunaan nilai ∆𝑡 yang sangat kecil, dan sejumlah besar interval waktu mungkin diperlukan untuk mendapatkan solusi.Pengurangan jumlah waktu perhitungan mungkin sering direalisasikan dengan menggunakan suatu skema implisit, daripada eksplisit, hingga-perbedaan. Bentuk implisit dari perbedaan-terbatas persamaan dapat diturunkan dengan menggunakan Persamaan 5.77 untuk memperkirakan turunan waktu, sementara mengevaluasi semua suhu lainnya (p=1) waktu, bukan waktu (p) sebelumnya. Persamaan 5.77 kemudian dianggap untuk memberikan perkiraan perbedaanmundur ke turunan waktu. Berbeda dengan Persamaan 5.78, bentuk implisit dari persamaan beda hingga untuk simpul interior sistem dua dimensi kemudian

Menyusun ulang dan mengasumsikan ∆𝑥 = ∆𝑦, berarti demikian

Dari Persamaan 5.95 terbukti bahwa suhu baru dari simpul (m, n) tergantung pada suhu baru dari node yang berdekatan, yang, secara umum, tidak diketahui.Karena itu, untuk menentukan suhu nodal yang tidak diketahui pada𝑡 + ∆𝑡, persamaan nodal yang sesuai harus diselesaikan secara bersamaan. Solusi semacam itu dapat dilakukan dengan menggunakan Gauss-Seidel iterasi atau inversi matriks, seperti yang dibahas dalam Bagian 4.5 dan Lampiran D. Pawai solusi kemudian akan melibatkan secara bersamaan memecahkan persamaan nodal pada setiap waktu𝑡 = ∆𝑡, 2∆𝑡, … , hingga waktu akhir yang diinginkan tercapai. Untuk memaksimalkan akurasi, ∆𝑡 harus cukup kecil untuk memastikan bahwa hasilnya independen dari pengurangan lebih lanjut dalam nilainya. Bentuk implisit dari persamaan beda hingga juga dapat berasal dari energi metode keseimbangan. Untuk simpul permukaan pada Gambar 5.12, dapat ditunjukkan dengan mudah

Untuk setiap simpul interior Gambar 5.12, dapat juga ditunjukkan Bentuk persamaan beda hingga implisit untuk geometri umum lainnya adalahdisajikan pada Tabel 5.3b. Setiap persamaan dapat diturunkan dengan menerapkan keseimbangan energimetode.