Resumo-integrais

C´ alculo Integral Integral de Riemann Defini¸c˜ ao, Propriedades Teorema fundamental do c´ alculo M´ etodos de integra¸c˜ ao Aplica¸co ˜es geom´ etricas do integral

Integral impr´ oprio

Na primeira parte deste cap´ıtulo vamos apresentar a no¸c˜ao de integral segundo Riemann, estudar algumas das suas propriedades e referir algumas das suas aplica¸c˜oes. Na segunda parte estudaremos os integrais impr´ oprios.

1

Introdu¸ c˜ ao e motiva¸ c˜ ao

Classicamente, o conceito de integral aparece associado `a no¸c˜ao intuitiva de ´area de uma regi˜ao plana. N´ os vamos seguir a via cl´assica para motivar a nossa exposi¸c˜ao. Considere-se uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : [a, b] −→ R e sejam m = max f (x)

e

x∈[a,b]

M = min f (x).

(67)

x∈[a,b]

Suponhamos que f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], e consideremos a regi˜ao plana (cf. a Figura 1)  D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f (x)

(68)

Figura 1: Regi˜ ao D limitada pelo gr´ afico de f , pelo eixo OX e pelas rectas x = a e x = b.

Suponhamos que pretendemos determinar o valor da ´area da regi˜ao D. Em geral, a forma geom´etrica de D ´e pouro “regular”, pelo que as f´ormulas da geometria elementar n˜ao s˜ao aplic´ aveis. Podemos pensar ent˜ao em aproximar a ´area de D pela ´area de figuras simples, compostas por regi˜ oes rectangulares justapostas.

29

Estrat´egia 1. Come¸camos por decompor o intervalo [a, b] num n´ umero finito de subintervalos, determinados pelos pontos x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn , tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b, s a ≡ x0

s

s

x1

x2

s ···

···

···

xn−1

s xn ≡ b

A uma tal decomposi¸c˜ ao iremos chamar parti¸c˜ ao P do intervalo [a, b]. 2. Em cada subintervalo gen´erico, Ji = [xi−1 , xi ], fixamos arbitrariamente um ponto, digamos y1 ∈ [x0 , x1 ] ,

y2 ∈ [x1 , x2 ], ,

yn−1 ∈ [xn−2 , xn−1 ] ,

yn ∈ [xn−1 , xn ]

e consideramos o correspondente valor de f , f (y1 ), f (y2 ), . . . , f (yn−1 ), f (yn ). 3. Aproximamos a ´ area da por¸c˜ao Dk da regi˜ao D que assenta no subintervalo [xk−1 , xk ], Figura 2, ` a esquerda, pela ´area da regi˜ao rectangular Rk de base xk − xk−1 e altura f (yk ), Figura 2, `a direita, area Dk ' f (yk )(xk − xk−1 ) . ´

Figura 2: Aproxima¸c˜ ao da ´ area de Dk pela ´area de uma regi˜ao rectangular.

Para a regi˜ ao completa D tomamos a aproxima¸c˜ao (Figura 3) area D ' ´ ´ area R1 + ´ area R2 + · · · + ´area Rn ' f (y1 )(x1 − x0 ) + f (y2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (yn )(xn − xn−1 ), ou seja, abreviando a nota¸c˜ ao, area D ' ´

n X

f (yk )(xk − xk−1 ).

k=1

30

(69)

Figura 3: Aproxima¸c˜ ao da a´rea de D pela ´area de uma regi˜ao poligonal

´ intuitivo que: 4. E (a) a aproxima¸c˜ ao obtida na express˜ao (69) ser´a tanto melhor quanto maior for o n´ umero de pontos considerados para a decomposi¸c˜ao do intervalo [a, b]; (b) a aproxima¸c˜ ao ´ optima seria obtida com um n´ umero infinitamente grande de pontos, ou seja, com subintervalos de amplitude infinitamente pequena. 5. Obtemos ent˜ ao uma defini¸c˜ ao para a ´area de D atrav´es da passagem ao limite na na express˜ ao (69), tomando area D = lim ´

n X

n→+∞

f (yk )(xk − xk−1 ).

(70)

k=1

Vamos passar agora ` a exposi¸c˜ ao rigorosa deste assunto, formalizando adequadamente as ideias intuitivas que acabamos de expor. A ´area da regi˜ao D vai dar lugar ao integral de f em [a, b] e cada quantidade introduzida na express˜ao (69) para aproximar a ´area de D vai dar lugar a uma soma de Riemann.

2

Defini¸ c˜ ao de integral

Nesta sec¸c˜ ao apresentaremos a defini¸c˜ao de integral segundo Riemann, para uma fun¸c˜ao f : [a, b] −→ R, limitada, n˜ ao necessariamente cont´ınua nem necessariamente positiva. Dada uma parti¸c˜ ao P do intervalo [a, b], chamamos amplitude de P `a maior das amplitudes dos subintervalos [xk−1 , xk ], ||P|| = max {xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n} , pelo que, considerar o n´ umero de subintervalos a tender para +∞, equivale a considerar ||P|| a tender para 0. 31

Fixando arbitrariamente pontos yk ∈ [xk−1 , xk ], definimos uma soma de Riemann da fun¸c˜ao f em [a, b], para a parti¸c˜ ao P considerada, por S(f ; P) =

n X

f (yk )(xk − xk−1 ).

(71)

k=1

Dizemos que a fun¸c˜ ao f ´e integr´ avel em [a, b] e que o correspondente integral ´e igual a I quando, independentemente da parti¸c˜ao P e da escolha dos pontos yk , se tiver n X

I = lim

||P||→0

f (yk )(xk − xk−1 ).

(72)

k=1

Ao n´ umero I chamamos o integral de f em [a, b] e represent´amo-lo por Z b f (x) dx, a

onde f ´e a fun¸c˜ ao integranda, a ´e o limite inferior do integral, b ´e o limite superior do integral, [a, b] ´e o intervalo de integra¸c˜ ao e x ´e a vari´ avel de integra¸c˜ ao. O s´ımbolo dx representa uma part´ıcula formal que fixa a vari´avel de integra¸c˜ao. Exemplo 1 Seja f (x) = c, x ∈ R, com c uma constante e x em certo intervalo [a, b]. Dada uma parti¸c˜ ao P de [a, b] em subintervalos J1 , J2 , . . . , Jn teremos, independentemente da escolha dos pontos yk , f (yk ) = c , para todo k = 1, 2, . . . , n, pelo que n X

f (yk )(xk − xk−1 )

=

c(x1 − x0 ) + c(x2 − x1 ) + · · · + c(xn − xn−1 )

=

c(x1 − x0 + x2 − x1 + · · · + xn − xn−1 )

k=1

c(cn − x0 ) = c(b − a) Z b Ent˜ ao f ´e integr´ avel em [a, b], tendo-se f (x) dx = c(b − a). =

a

Exemplo 2  1 se x ∈ Q, Seja g(x) = para todo x em certo intervalo [a, b]. 0 se x ∈ R\Q, Independentemente da parti¸c˜ ao P de [a, b], podemos escolher cada um dos pontos yk em Q ou em R\Q, uma vez que todo o intervalo n˜ao degenerado de R cont´em racionais e irracionais. Se os escolhermos todos em Q, resulta g(yk ) = 1 , para todo k = 1, 2, . . . , n, e pelo que vimos no Exemplo 1, vem n X

g(yk )(xk − xk−1 ) = b − a.

k=1

32

De modo perfeitamente an´ alogo, se escolhermos todos os yk em R\Q, resulta g(yk ) = 0 , para todo k = 1, 2, . . . , n, e

n X

g(yk )(xk − xk−1 ) = 0.

k=1

Consequentemente, n˜ ao existe o limite das somas de Riemann para esta fun¸c˜ao, no sentido exposto anteriormente, e g n˜ ao ´e integr´ avel em intervalo algum.

Observa¸ c˜ ao 1 S´o se define integral de uma fun¸c˜ ao limitada, mas nem toda a fun¸c˜ao limitada ´e integr´avel. Veja-se o Exemplo 2. Mais adiante, identificaremos algumas classes de fun¸c˜oes limitadas que s˜ ao integr´ aveis. A defini¸c˜ao que apresent´ amos anteriormente para fun¸c˜ao integr´avel e para integral de uma fun¸c˜ao, e que us´ amos nos Exemplos 1 e 2, ´e muito complexa para a generalidade das fun¸c˜oes, por ser dif´ıcil estudar a existˆencia do limite das somas de Riemann para uma parti¸c˜ ao qualquer do intervalo e para uma escolha arbitr´aria de pontos yk . O nosso objectivo ser´ a agora o de enunciar resultados que nos ajudem a decidir sobre a integrabilidade de uma fun¸c˜ ao e o de apresentar processos eficazes para o c´alculo do integral. Comecemos com as principais propriedades do integral.

3

Propriedades do integral

Nesta sec¸c˜ ao vamos apresentar, sem demonstrar, algumas propriedades do integral que se revelar˜ao extremamente u ´teis. Propriedade 1 [Aditividade do integral a respeito do intervalo de integra¸c˜ao] Sejam f limitada em [a, b] e c ∈ ]a, b[ . Ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b] se e s´o se f integr´avel separadamente em [a, c] e [c, b], tendo-se Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a

a

(73)

c

No sentido de estender a Propriedade 1 a todos os reais a, b, c, adoptamos as seguintes conven¸c˜oes cl´ assicas Z

a

f (x) dx = 0,

para todo a ∈ R,

(74a)

a

Z

a

Z f (x) dx = −

b

b

f (x) dx , a

33

para todos a, b ∈ R.

(74b)

Propriedade 2 [Linearidade do integral] Sejam f e g fun¸c˜ oes integr´ aveis em [a, b]. Ent˜ao: (a) a soma f + g ´e integr´ avel em [a, b] e Z

b

b

Z

Z

(75)

a

a

a

b

g(x) dx ;

f (x) dx +

[f (x) + g(x)] dx =

(b) o produto f g ´e integr´ avel em [a, b]; em particular, se α ´e uma constante real arbitr´ aria, o produto αf ´e integr´avel em [a, b] e b

Z

b

Z

f (x) dx.

αf (x) dx = α

(76)

a

a

Propriedade 3 Sejam f e g fun¸c˜ oes integr´ aveis em [a, b]. Se |g(x)| ≥ k > 0, ∀x ∈ [a, b], ent˜ao a fun¸c˜ao 1/g ´e limitada e o quociente f /g ´e integr´avel. Propriedade 4 [Monotonia do integral] Se f e g s˜ ao integr´ aveis em [a, b] e g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b], ent˜ao Z

b

b

Z f (x) dx ≤

a

g(x) dx;

(77)

a b

Z em particular, se f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], ent˜ao

f (x) dx ≥ 0. a

Propriedade 5 Se f ´e integr´ avel em [a, b] ent˜ ao a fun¸c˜ao |f | ´e integr´avel em [a, b] e Z b Z b |f (x)| dx ≥ f (x) dx . a

(78)

a

Propriedade 6 (a) Se f ´e limitada em [a, b], anulando-se em todos os pontos de [a, b] excepto, eventualmente, num n´ umero finito de pontos de [a, b], ent˜ao Z

b

f (x) dx = 0;

(79a)

a

(b) se f ´e integr´ avel em [a, b] e g ´e uma fun¸c˜ao que difere de f apenas num n´ umero finito de pontos [a, b], ent˜ ao Z

b

Z g(x) dx =

a

f (x) dx. a

34

b

(79b)

4

Caracteriza¸ c˜ ao das fun¸c˜ oes integr´ aveis

Vamos agora enunciar, sem demonstrar, alguns resultados que estabelecem condi¸c˜oes suficientes para a integrabilidade de uma fun¸c˜ao num intervalo, a partir dos quais identificaremos trˆes classes de fun¸c˜ oes integr´aveis (Teoremas 1, 2 e 3). Teorema 1 [Integrabilidade das fun¸c˜oes cont´ınuas] Se f : [a, b] −→ R ´e cont´ınua ent˜ ao f ´e integr´avel em [a, b]. Exemplo 3 As fun¸c˜oes xk , x ∈ R,

ex , x ∈ R,

sen x, x ∈ R,

1 , x ∈ R, 1 + x2

s˜ao integr´ aveis em qualquer intervalo [a, b] por serem fun¸c˜oes cont´ınuas. Observa¸ c˜ ao 2 O Teorema 1 estabelece que a continuidade de uma fun¸c˜ao garante a sua integrabilidade. No entanto, ´e conveniente reter, desde j´a, que existem fun¸c˜oes descont´ınuas que s˜ao integr´aveis.

Teorema 2 [Integrabilidade das fun¸c˜oes mon´otonas] Se f : [a, b] −→ R ´e mon´ otona ent˜ ao f ´e integr´avel em [a, b]. Exemplo 4   0 1 A fun¸ca˜o f (x) =  n

se x = 0 1 1 definida em [0, 1], possui um n´ umero se < x ≤ , n ∈ N, n+1 n

1 infinito de descontinuidades - todos os pontos da forma , n ∈ N, s˜ao pontos de n descontinuidade de f . No entanto, f ´e integr´avel por ser mon´otona. Observa¸ c˜ ao 3 Do Teorema 2, podemos concluir que, ainda que uma fun¸c˜ao n˜ao seja cont´ınua, se for mon´otona, ent˜ ao ela ´e tamb´em integr´avel. Mais uma vez, chama-se a aten¸c˜ao para o faco de existirem fun¸c˜ oes que n˜ ao s˜ ao mon´otonas (nem cont´ınuas) e, mesmo assim, s˜ao integr´aveis.

Teorema 3 [Integrabilidade das fun¸c˜oes com um n´ umero finito de descontinuidades] Se f : [a, b] −→ R ´e limitada possuindo um n´ umero finito de descontinuidades ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b].

35

Exemplo 5 A fun¸c˜ao   5 se 0 ≤ x ≤ 1 2 se 1 < x ≤ 2 g(x) =  3 se 2 < x ≤ 4 ´e integr´avel em [0, 4] porque possui apenas duas descontinuidades, em x = 1 e em x = 2. Tamb´em a fun¸c˜ ao  h(x) =

esen x se x 6= π −1 se x = π

´e integr´avel em [0, 9] porque possui apenas uma descontinuidade em x = π. Observa¸ c˜ ao 4 Mostra-se ainda que, se f : [a, b] −→ R ´e limitada e o conjunto dos pontos de descontinuidade de f constitui um conjunto numer´avel1 ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b].

5

O Teorema fundamental do c´ alculo

Um dos resultados mais not´ aveis do C´alculo est´a patente no teorema que agora iremos apresentar. Nele estabelece-se uma liga¸c˜ao crucial entre os conceitos de derivada e de integral, a partir da qual ´e poss´ıvel obter um processo extremamente eficaz para o c´alculo do integral, dispensando o recurso ` a defini¸c˜ao apresentada na Sec¸c˜ao 2. Consideremos uma fun¸c˜ ao cont´ınua, f : [a, b] −→ R, logo integr´avel. Para cada x ∈ [a, b], f ´e integr´avel em [a, x], pelo que podemos definir uma nova fun¸c˜ao, F : [a, b] −→ R, por passagem ao integral, pondo Z F (x) =

x

f (t) dt,

x ∈ [a, b].

(80)

a

A fun¸c˜ao F acabada de definir possui uma caracter´ıstica importante, relacionada com a fun¸c˜ao inicial f . Teorema 4 [Teorema Fundamental do C´alculo, parte I] A fun¸c˜ao F : [a, b] −→ R definida pela express˜ao (80) ´e deriv´avel em [a, b], tendo-se F 0 (x) = f (x),

∀x ∈ [a, b].

(81)

A partir da express˜ ao (81), podemos concluir que a fun¸c˜ao f ´e uma primitiva de F , pelo que vale o seguinte resultado. 1

Um conjunto A ⊂ R diz-se numer´ avel se existir uma bijec¸ca ˜o ψ : A −→ N, significando que A possui tantos elementos como o conjunto N. Alguns exemplos de conjuntos numer´ aveis s˜ ao Z e Q e de conjuntos n˜ ao numer´ aveis s˜ ao R e R\Q.

36

Corolario 1 Toda a fun¸c˜ ao cont´ınua f : [a, b] −→ R possui primitiva em [a, b]. De facto, basta pensar na correspondente fun¸c˜ao F obtida como em (80), por integra¸c˜ao da fun¸c˜ao f desde a at´e x. Observa¸ c˜ ao 5 Quando f n˜ ao ´e cont´ınua, mantendo-se integr´avel, podemos definir uma fun¸c˜ao F como em (80). Acontece, por´em, que F pode n˜ao ser deriv´avel, ou ent˜ao, at´e ser deriv´avel mas a sua derivada n˜ ao coincidir com f nos pontos de descontinuidade de f (Exemplos 6, 7 e 8). Exemplo 6 y

y f

6

1

t

ppt pp p pp p

-

2

x

6 p p p p p p p p p t pp 2 p pp pp pp t

2

F

-

x

f ´e cont´ınua, logo integr´ avel (Teorema 1) e primitiv´avel (Teorema 4). Define-se a fun¸c˜ ao F , que ´e deriv´ avel. Al´em disso, Z x 1 dt = x, ∀x ∈ [0, 2]. f (x) = 1 =⇒ F (x) = 0

Exemplo 7 y

y 6

1

t

pd p tpp pp p

1

f

tp pp p pp pp

2

6 p p p p p p p p p t pp 2 pp p pp pp t

-

x

2

F

-

x

f ´e limitada com uma descontinuidade em 1, logo ´e integr´avel (Teorema 3). No entanto, f n˜ao ´e primitiv´ avel (isto ´e, f n˜ ao ´e a derivada de fun¸c˜ao alguma em [0, 2]. Mesmo assim, a integrabilidade de f em [0, 2] ´e suficiente para que se possa definir a fun¸c˜ao F , como em (80). Como a fun¸c˜ ao f deste Exemplo 7 difere da fun¸c˜ao f do Exemplo 6 apenas no ponto 1, os integrais das duas s˜ ao iguais (Propriedade 6), pelo que F (x) = x, ∀x ∈ [0, 2]. Al´em disso, F ´e obviamente deriv´ avel, com F 0 (x) = 1, ∀x ∈ [0, 2]. Acontece, por´em, que a derivada de F em 1 difere de f (1).

37

Exemplo 8 y

y 6 p p p p p p p p p tp pp 1 p pp p p t e

f

F

6 pt pp p pp pp

1

p p p p p p p p p p p p p p p p p p pt pp 1 p pp p p t

-

2

1

x

-

2

x

f ´e limitada e possui uma descontinuidade no ponto 1. Logo f ´e integr´avel (Teorema 3) mas n˜ao ´e primitiv´ avel. Define-se novamente a fun¸c˜aoZF , como em (80), e vem x 0 dt = 0, x ∈ [0, 1[ =⇒ f (x) = 0 =⇒ F (x) = 0

Z

x

1 dt = x − 1.

x ∈ [1, 2] =⇒ f (x) = 1 =⇒ F (x) = 1

A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua mas n˜ ao ´e deriv´avel em 1. Do ponto de vista do c´ alculo do integral de uma fun¸c˜ao, a consequˆencia mais relevante que se extrai do Teorema 4 ´e a que se apresenta a seguir. Teorema 5 [Teorema Fundamental do C´alculo, F´ormula de Barrow] Sejam f : [a, b] −→ R cont´ınua e G uma primitiva de f em [a, b]. Ent˜ao Z

b

f (t) dt = G(b) − G(a).

(82)

a

Demonstra¸c˜ aoZ Pondo F (x) =

x

Z f (x) dx, tem-se F (b) =

a

b

f (x) dx. a

Atendendo a que F e G s˜ ao duas primitivas de f em [a, b], tem-se G(x) = F (x) + C,

x ∈ [a, b],

C constante.

Em particular, para x = a, vem G(a) = F (a) + C =⇒ C = G(a), pelo que G(x) = F (x) + G(a),

x ∈ [a, b].

Para x = b, vem G(b) = F (b) + G(a) =⇒ F (b) = G(b) − G(a) ficando, assim, justificada a igualdade (82).

Nota¸ c˜ ao Z Para traduzir a identidade (82), usamos a nota¸c˜ao a

38

b

h ib f (t) dt = G(x) . a

O Teorema 5 fornece um processo extremamaente u ´til para o c´alculo do integral de uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo. Quando a fun¸c˜ao integranda n˜ao ´e cont´ınua, conjugamos o Teorema 5 com as propriedades enunciadas na Sec¸c˜ao 3, para calcular o integral por interm´edio de uma primitiva da fun¸c˜ao integranda em cada intervalo de continuidade. Exemplo 9 Z π h iπ sen x dx = − cos x = − cos π + cos 0 = 2 . (a) 0

0 3

Z

Z

0

|x| dx =

(b)

−5

−5

3

Z

1 h 2 i0 1 h i3 25 9 x + x2 = + = 7. 2 2 2 2 −5 0

x dx = −

(−x) dx + 0

i5 1 √ x 1h 2 = 26 . dx = log (x + 1) (log 26 − log 1) = log 2 2 2 0 0 x +1  Z 2 Z 1 Z 2 Prop. 6(b) 1 se x ∈ [0, 1] 3 dx 1 dx + (d) Se f (x) = f (x) dx = ent˜ao 3 se x ∈ ]1, 2] 1 0 0 h i1 h i2 = x + 3x = (1 − 0) + (6 − 3) = 4 . 5

Z

(c)

0

1

x2 se 0 ≤ x ≤ 1 (e) Se f (x) = 2 se 1 < x ≤ 3 ent˜ao, novamente pela Propriedade 6 (b), vem  x − 3 se 3 < x ≤ 6  

Z

6

1

Z

2

 =

x3 3

Z

6

(x − 3) dx 3

1

0

0

3

2 dx +

x dx +

f (x) dx =

6

Z

1

6   h i3  x2 1 9 53 + 2x + − 3x = + (6 − 2) + 0 + = . 2 3 2 6 1 0 3

Resultados cl´ assicos do c´ alculo do integral

Do teorema fundamental do c´ alculo, Teorema 4, saem algumas consequˆencias que passamos a apresentar. A - Deriva¸c˜ao sob o sinal de integral Seja f : [a, b] −→ R uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ao a fun¸c˜ao F definida como em (80) ´e deriv´avel e ser´ a tamb´em deriv´ avel a composta F ◦ ϕ, com ϕ : [c, d] −→ [a, b] uma fun¸c˜ao deriv´avel qualquer. Por um lado, pela regra de deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes compostas, vem (F ◦ ϕ)0 (x) = F 0 (ϕ(x)) ϕ0 (x) , e pelo teorema fundamental do c´ alculo, Teorema 4, sai que (F ◦ ϕ)0 (x) = f (ϕ(x)) ϕ0 (x).

39

(83a)

Por outro lado, da defini¸c˜ ao (80) para F , sai tamb´em que ϕ(x)

Z (F ◦ ϕ)(x) = F (ϕ(x)) =

f (t) dt, 0

pelo que Z

0

!0

ϕ(x)

(F ◦ ϕ) (x) =

f (t) dt

.

(83b)

0

Das express˜ oes (83a-b), resulta Z

!0

ϕ(x)

= f (ϕ(x)) ϕ0 (x) ,

f (t) dt

(84)

a

que d´a uma f´ ormula para a deriva¸ca˜o do integral com limite superior que ´e fun¸c˜ao da vari´avel. Mais em geral, sendo ϕ, ψ : [c, d] −→ [a, b] fun¸c˜oes deriv´aveis, partindo de Z

ψ(x)

ψ(x)

Z

ϕ(x)

Z f (t) dt −

f (t) dt = ϕ(x)

a

f (t) dt a

e usando o resultado da f´ ormula (84), vem Z

!0

ψ(x)

= f (ψ(x)) ψ 0 (x) − f (ϕ(x)) ϕ0 (x) .

f (t) dt

(85)

ϕ(x)

que d´a uma f´ ormula para a deriva¸c˜ ao do integral com os dois limites de integra¸c˜ao que s˜ao fun¸c˜ao da vari´ avel. Exemplo 10 Estudemos a monotonia da fun¸c˜ ao definida por H(x) = x

2

x3

Z

2

e−t dt,

x ∈ R.

0

Temos H 0 (x) = 2x

Z

x3

2

6

e−t dt + 3x4 e−x ,

x ∈ R,

0 6

que se anula apenas para x = 0, j´ a que 3x4 e−x ≥ 0, ∀x ∈ R, e que Z

x3

x > 0 =⇒ 2x > 0 ∧

2

e−t dt > 0 =⇒ H 0 (x) > 0,

0

Z x < 0 =⇒ 2x < 0 ∧

x3

2

e−t dt < 0 =⇒ H 0 (x) > 0.

0

Logo H ´e mon´ otona crescente.

40

B - F´ormula do valor m´edio para integrais Novamente, dada f: [a, b] −→ R, cont´ınua, podemos definir m = min f (x)

e

M = max f (x),

x∈[a,b]

x∈[a,b]

e por ser m ≤ f (x) ≤ M,

∀x ∈ [a, b],

da monotonia do integral, sai que Z b Z b Z b M dx, f (x) dx ≤ m dx ≤ a

a

a

ou seja, Z

b

f (x) dx ≤ M (b − a).

m(b − a) ≤ a

Consequentemente, ter-se-´ a Z b f (x) dx = α(b − a),

com

α ∈ [m, M ].

a

Sendo cont´ınua em [a, b], a fun¸c˜ ao f toma todos os valores desde m at´e M , existindo c ∈ [a.b] tal que f (c) = α, valendo o seguinte resultado. Teorema 6 [do valor m´edio para integrais] Se f: [a, b] −→ R ´e cont´ınua ent˜ ao existe c ∈ [a, b] tal que Z b f (x) dx = (b − a)f (c) .

(86)

a

Com base no Teorema 6, define-se ususalmente o valor m´edio da fun¸c˜ao f por Z b 1 e f= f (x) dx b−a a

(87)

Exemplo 11 O valor m´edio da fun¸c˜ ao f (x) = cos x no intervalo [0, π/2] ´e dado por Z π/2 iπ/2 1 2h 2 cos x dx = fe = sen x = . π/2 0 π π 0

C - Integra¸c˜ao por partes Consideremos agora f, g : [a, b] −→ R com f cont´ınua, F uma sua primitiva e g possuindo derivada cont´ınua. Ent˜ ao f g ´e integr´avel e conjugando a f´ormula de Barrow expressa pelo teorema fundamental do c´ alculo, Teorema 5, com o m´etodo de primitiva¸c˜ao por partes, sai que 41

b

Z

h  ib f (x)g(x) dx = F (x)g(x) − P F (x)g 0 (x)

a

a

ou seja, Z

b

h ib Z b F (x)g 0 (x) dx . f (x)g(x) dx = F (x)g(x) − a

a

(88)

a

Exemplo 12 Z

2

(a)

h i2 Z xex dx = ex x − 0

0 e

2

h i2 ex dx = 2e2 − ex = e2 + 1 . 0

0 1 √ 2 x

Z e 1 e e 1 h ie 1 log (b) x √ dx = − dx = − x = . 2 2 2 2 x 1 1 1 1 1 2 Z Z 1 h x2 i1 i1 1 2 x 2x π 1h 4 (c) x arctg x2 dx = arctg x2 − dx = − ln(1 + x ) 4 2 8 4 0 0 0 2 1+x 0 π 1 = − ln 2. 8 4 Z

√

Z √ ie x dx = x log x − h

e

C - Integra¸c˜ao por por substitui¸c˜ao Z b Para calcular o integral f (x) dx de uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] −→ R, podemos a

conjugar a f´ ormula de Barrow, Teorema 5, com o m´etodo de primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao, passando da vari´ avel x a uma nova vari´avel, digamos t, atrav´es da mudan¸ca de vari´avel x = g(t). J´ a sabemos como uma tal mudan¸ca altera a fun¸c˜ao a primitivar, que passar´a de f (x) para f (g(t)) g 0 (t). Mas ´e de esperar que o intervalo de integra¸c˜ao tenha que ser adaptado ` a nova vari´ avel t. Para isso, devemos procurar saber em que intervalo ir´a variar t, se temos x a variar em [a, b] e fazemos x = g(t). Ou seja, devemos procurar pontos α e β tais que a = g(α)

e

b = g(β) .

Para uma fun¸c˜ ao f : [a, b] −→ R, cont´ınua, e para uma substitui¸c˜ao definida atrav´es de uma fun¸c˜ ao g : [α, β] −→ [a, b] possuindo derivada cont´ınua e tal que g(α) = a e g(β) = b, o resultado ´e o seguinte Z b Z β
f (x) dx = f g(t) g 0 (t) dt . a

(89)

α

A express˜ao (89) d´ a a f´ ormula de substitui¸c˜ao no integral, para uma mudan¸ca de vari´avel definida por x = g(t). Observa¸ c˜ ao 6 No integral do segundo membro da express˜ao (89), os limites de integra¸c˜ao α e β s˜ao quaisquer n´ umeros reais tais que g(α) = a, g(β) = b, ainda que haja v´arias escolhas poss´ıveis. Cf. o Exemplo 13.

42

Exemplo 13 1p

Z

1 − x2 dx, efectuando a mudan¸ca de vari´avel x = sen t.

(a) Calculemos 0

Pondo g(t) = sen t, vem g 0 (t) = cos t. Quanto aos limites de integra¸c˜ao, temos  x = sen t =⇒ sen t = 0 =⇒ t = t1 = kπ, k ∈ Z, x=0 

π x = sen t =⇒ sen t = 1 =⇒ t = t2 = + 2kπ, k ∈ Z. x=1 2 π , resultando 2 Z π2 p 2 cos2 t dt 1 − sen t cos t dt =

A escolha mais simples parece ser t1 = 0 e t2 = 1

Z

p

1−

π 2

Z

x2

dx

=

0

0

1 2

=

0 π 2

Z 0

  π2 π 1 1 = . (1 + cos 2t) dt = t + sen 2t 2 2 4 0

A t´ıtulo de ilustra¸c˜ ao, fa¸ca-se outra escolha, por exemplo, t1 = 2π e t2 = 1

Z

p

1 − x2 dx =

0

Mas

√

π 2

Z

√

cos2 t cos t dt = −

1

p

3π 2

Z

1 − x2 dx

=

cos2 t dt −

Z

π 2

0

=

=

Z (b) Calculemos agora

2

x

√

2π

√

cos2 t cos t dt

π 2

2π

cos2 t = | cos t| e cos t n˜ ao tem sinal constante em Z

Z

π . Viria 2

hπ 2

i , 2π , pelo que

2π

cos2 t dt 3π 2

  3π  2π 2 1 1 1 − t + sen 2t t + sen 2t 2 2 2 π 3π 2 2     1 3π π 1 3π π π π − − 2π − = − = . 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2

x − 1 dx, efectuando a mudan¸ca de vari´avel x − 1 = t2 .

1

Pondo g(t) = t2 + 1, vem g 0 (t) = 2t. Atendendo a que g(0) = 1 e g(1) = 2, resulta Z

2

√

x x − 1 dx

Z =

1

1 2

(1 + t )

√

t2

Z 2t dt = 2

0

=

1


t2 + t4 dt

0

2 2 16 2 h 3 i1 2 h 5 i1 t + t = + = . 3 5 3 5 15 0 0

43

Z

e

(c) Calculemos

f (x) dx para −1

 p  1 − x2 se − 1 ≤ x < 0, f (x) = 2 se 0 ≤ x < 1,  log x se 1 ≤ x ≤ e .

Recorrendo ` a Propriedade 6 (b), vem Z

e

Z

0

p

f (x) dx =

1 − x2 dx +

Z

Z

e

log x dx,

2 dx +

−1

−1

1

1

0

onde o primeiro integral se calcula por substitui¸c˜ao fazendo, Zpor exemplo, x = sen t, o e π segundo ´e imediato e o terceiro calcula-se por partes. Resulta f (x) dx = + 2 + 1 . 4 −1

Exemplo 14 Sejam a ∈ R+ e f: [−a, a] −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Vejamos que: Z a Z a (a) se f ´e par ent˜ ao f (x) dx = 2 f (x) dx; −a

0

Z

a

(b) se f ´e ´ımpar ent˜ ao

f (x) dx = 0. −a

(a) Sendo f par, tem-se f (x) = f (−x), ∀x ∈ [−a, a], e ent˜ao Z

a

Z

0

f (x) , dx =

a

Z f (x) dx +

−a

Z f (x) dx =

−a

0

0

a

Z

f (−x) dx + −a {z } |

f (x) dx. 0

J

Fazendo a mudan¸ca de vari´ avel x = −t no integral J, vem Z a Z 0 Z a Z a Z f (x) dx = f (t)(−1) dt + f (x) dx = f (t) dt + −a

a

0

0

a

Z f (x) dx = 2

0

a

f (x) dx. 0

(b) Sendo f ´ımpar, tem-se f (x) = −f (−x), ∀x ∈ [−a, a], e ent˜ao Z

a

Z

0

f (x) dx =

Z

−a

Z f (x) dx = −

f (x) dx +

−a

a

0

0

a

Z

f (−x) dx + −a {z } |

f (x) dx. 0

J

Fazendo a mudan¸ca de vari´ avel x = −t no integral J, vem Z a Z 0 Z a Z f (x) dx = − f (t)(−1) dt + f (x) dx = − −a

a

0

0

44

a

Z f (t) dt +

a

f (x) dx = 0. 0

7

Aplica¸ c˜ oes do integral

Algumas aplica¸c˜ oes geom´etricas do integral est˜ao relacionadas com a ´area de um dom´ınio plano limitado, o comprimentos de um arco de curva entre dois pontos, o volume de um s´olido de revolu¸c˜ ao, e a ´ area de uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao.

7.1

´ Area de um domiınio plano

Vamos retomar o problema que serviu de motiva¸c˜ao `a defini¸c˜ao de integral (Sec¸c˜ao 1). No caso em que f : [a, b] −→ R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], dissemos que a ´ area do dom´ınio limitado pelo gr´afico de f , pelo eixo OX e pelas rectas verticais x = a e x = b, representado na Figura 1 da Sec¸c˜ao 1, ´e dada por Z b area(D) = ´ f (x) dx. a

Daqui extraem-se as seguintes consequˆencias. (a) Se f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], ent˜ ao, por simetria em rela¸c˜ao a OX, a ´ area da regi˜ ao plana  D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ f (x) ≤ y ≤ 0 coincide com a ´ area de um novo dom´ınio plano, digamos D∗ , obtido de D por simetria em rela¸c˜ao ao eixo OX, ou seja  D∗ = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ −f (x)

Figura 4: Regi˜ ao limitada pelo gr´ afico de uma fun¸ca ˜o negativa, pelo eixo OX e pelas rectas x = a e x = b.

donde Z area(D) = − ´

b

f (x) dx.

(90)

a

(b) Se f, g : [a, b] −→ R s˜ ao cont´ınuas e tais que 0 ≤ g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b], ent˜ ao, a a´rea da regi˜ao  D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ f (x) pode ser dada por ´ area(D) =´ area(D1 )−´area(D2 ), onde D1 ´e a regi˜ ao plana sob o gr´ afico de f e D2 ´e a regi˜ao plana sob o gr´ afico de g. Ent˜ao Z

b

Z f (x) dx −

´area(D) = a

b

Figura 5: Regi˜ ao limitada pelos

g(x) dx

gr´ aficos de duas fun¸c˜ oes positivas

a

e pelas rectas x = a e x = b.

ou seja area(D) = ´

Z bh

i f (x) − g(x) dx.

a

45

(91)

(c) Consideremos agora uma regi˜ ao plana  D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ f (x) onde f e g s˜ ao duas fun¸c˜ oes cont´ınuas, n˜ao necessariamente positivas, tais que g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b]. Por translac¸c˜ ao segundo um vector vertical orientado no sentido positivo de OY , a regi˜ao D seria transportada para o semiplano superior (positivo), obtendo-se uma regi˜ ao D∗ geometricamente igual a D, limitada por y = f (x) + k, y = g(x) + k, com k uma constante positiva tal que k > | min f (x)|.

Figura 6: Regi˜ ao limitada pelos gr´ aficos de duas fun¸co ˜es quaisquer, e pelas rectas x = a e x = b.

x∈[a,b]

A ´area da regi˜ ao D seria ent˜ ao dada por Z bh  i ∗ area(D) = ´ ´ area(D ) = f (x) + k − g(x) + k dx, a

ou seja novamente por Z bh i area(D) = ´ f (x) − g(x) dx. a

(d) Mais em geral, se os gr´ aficos das fun¸c˜oes f e g se intersectam num ponto de abcissa c e invertem a posi¸c˜ao relativa, a ´ area da regi˜ ao D limitada pelos gr´aficos de f e de g e pelas rectas verticais x = a e x = b pode ser calculada como a soma de duas ´areas, a da regi˜ ao entre x = a e x = c e a da regi˜ao entre x = c e x = b. Pelo que vimos em (b), resulta Z ch i ´area(D) = f (x) − g(x) dx a Z bh i g(x) − f (x) dx. (92) +

Figura 7: Regi˜ ao limitada pelos gr´ aficos de f e de g, quando estes se intersectam, e ainda pelas rectas x = a e x = b.

c y

Exemplo 15 2

(a) A ´area da regi˜ ao limitada pelas par´abolas y = x2 e y = 2 − x2 , que se intersectam para x = −1 e x = 1, ´e dada por (caso (b)) Z 1 h 2 i1 8 (2 − 2x2 ) dx = 2x − x3 = . 3 3 −1 −1

y!x^2

y!2"x^2 x

y

y " sen x

1

(b) A ´area da regi˜ ao limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x, x = 0 e x = π/2 ´e dada por (caso (d))

y " cos x Π!4

46

Π!2

x

π/4

Z

π/4

0

7.2

(sen x − cos x) dx

(cos x − sen x) dx +

area D = ´ =

π/2

Z

h

iπ/2 iπ/4 h √ = 2 2 − 2. + − cos x − sen x sen x + cos x π/4

0

Comprimento de um arco de curva

Seja f : [a, b] −→ R uma fun¸c˜ ao possuindo derivada cont´ınua. Designemos por C o arco de curva y = f (x), com x ∈ [a, b], representado na Figura 8, imagem da esquerda. Vamos atribuir significado ao comprimento do arco C, recorrendo `a defini¸c˜ao de integral em termos das somas de Riemann. Para tal, vamos considerar uma parti¸c˜ao P de [a, b] definida por pontos x0 = a, x1 , . . ., xn−1 , xn = b. Sejam P0 , P1 , . . . , Pn os pontos correspondentes sobre a curva C e consideremos a linha poligonal LP representada `a direita na Figura 8, definida pelos segmentos de recta Pi−1 Pi , com i = 1, 2, . . . , n.

Figura 8: Arco de curva C (` a esquerda) e linha poligonal LP (` a direita).

Quando os pontos Pi s˜ ao considerados cada vez mais pr´oximos uns dos outros, ou seja, quando a amplitude ||P|| da parti¸c˜ ao tende para zero, a linha poligonal LP tende a confundir-se com o arco C. Ent˜ ao, por defini¸c˜ao, pomos comp C = lim comp LP . ||P||→0

(93)

Mas o comprimento da linha poligonal ´e a soma dos comprimentos dos v´ arios segmentos de recta que a constituem, ou seja comp LP = P0 P1 + P1 P2 + · · · + Pn−1 Pn , sendo o comprimento de cada segmento Pi−1 Pi dado pela distˆ ancia entre Pi−1 = (xi−1 , yi−1 ) e Pi = (xi , yi ), ou seja por q
2
2 Pi−1 Pi = xi −xi−1 + f (xi )−f (xi−1 ) , 47

Figura 9: Amplia¸ca ˜o de uma por¸ca ˜o do arco C e da linha poligonal LP .

ou ainda por s Pi−1 Pi = xi −xi−1




1+



f (xi )−f (xi−1 ) xi −xi−1

2 .

O quociente que figura no radical do segundo membro d´ a o declive do segmento de recta Pi−1 Pi e, portanto, d´ a tamb´em o declive de uma recta r paralela ao segmento e tangente `a curva C. Como f ´e deriv´ avel (teorema do valor m´edio Figura 10: Recta r tangente a C e de Lagrange), tal declive pode ser expresso como paralela ao segmento Pi−1 Pi . a derivada de f em algum ponto yi ∈ ]xi−1 , xi [, e vem q
2
Pi−1 Pi = 1 + f 0 (yi ) xi − xi−1 . Consequentemente, o comprimento da linha poligonal LP ´e dado por comp(LP ) =

n q X


2
1 + f 0 (yi ) xi − xi−1 ,

(94)

i=1

onde, no segundo membro, mais n˜ ao temos do que uma soma de Riemann para a fun¸c˜ao p integr´avel g : [a, b] −→ R definida por g(x) = 1 + (f 0 (x))2 . Tomando o limite quando ||P|| → 0 na equa¸c˜ ao (94), vem (cf. as equa¸c˜oes (71) e (72)) Z bp lim comp(LP ) = 1 + (f 0 (x))2 dx,

||P||→0

(95)

a

e tendo em conta a defini¸c˜ ao (93), sai Z bq
2 comp(C) = 1 + f 0 (x) dx .

(96)

a

Exemplo 16 (a) O comprimento do arco de curva y = ch x, entre os pontos de abcissa x = −1 e x = 2 ´e dado por Z 2p Z 2 h i2 2 comp(C) = 1 + sh x dx = ch x dx = sh x = sh 2 + sh 1 . −1

−1

−1

(b) O comprimento do arco de curva y = 23 x3/2 , entre os pontos de abcissa x = 1 e x = 8 ´e dado por Z 8q Z 8 i8 √ √ 2 2h 4√ comp(C) = 1 + ( x) dx = 1 + x dx = (1 + x)3/2 = 18 − 2. 3 3 1 1 1

48

7.3

Volume de um s´ olido de revolu¸c˜ ao

Quando uma regi˜ ao plana roda em torno de uma recta r do mesmo plano, obt´em-se um s´olido dito de revolu¸c˜ ao. Assim, um cilindro pode ser obtido pela rota¸c˜ao de uma regi˜ao rectangular, uma esfera pode ser obtida pela rota¸c˜ao de um semi-c´ırculo, e um cone pode ser obtido pela rota¸c˜ ao de uma regi˜ao triangular.

Nesta sec¸c˜ ao, estamos interessados nos s´olidos de revolu¸c˜ao S gerados pela rota¸c˜ao em torno do eixo OX de uma regi˜ ao plana D limitada pelo gr´afico de uma fun¸c˜ao cont´ınua, pelo eixo OX e por dua rectas verticais, x = a e x = b. Mais concretamente vamos obter uma express˜ ao para o c´ alculo do volume do s´olido S, recorrendo novamente `a defini¸c˜ao de integral em termos das somas de Riemann. Para tal, consideramos uma parti¸c˜ao P de [a, b] definida por pontos x0 , x1 , . . . , xn . Em cada subintervalo [xi−1 , xi ] fixamos arbitrariamente um ponto ci . Tomamos a regi˜ ao poligonal RP definida pelas n regi˜oes rectangulares de altura f (ci ) que se erguem sobre os v´ arios subintervalos. Observamos que, quando a amplitude ||P|| da parti¸c˜ao tende para zero, a regi˜ ao poligonal RP tende a confundir-se com o dom´ınio D e o s´olido SP gerado por RP , ` a direita na Figura 11, tende a confundir-se com o s´ olido S gerado por D, ` a esquerda na Figura 11. Ent˜ao,

Figura 11: Soma de Riemann para o

por defini¸c˜ ao, pomos

volume de um s´ olido de rota¸ca ˜o.

vol S = lim vol SP . |P|→0

(97)

Reparando (Figura 10) que cada rectˆangulo elementar Ri gera um cilindro “achatado” Si (Figura 11, ` a direita) com volume  2 vol(Si ) = π f (ci ) (xi − xi−1 ), obtemos

n  2 X vol(SP ) = π f (ci ) (xi − xi−1 ). i=1

49

(98)

Figura 12: S´ olido S de volume a definir e s´ olido SP cujo volume aproxima o de S.

No segundo membro da equa¸c˜ ao (98) temos novamente uma soma de Riemann, desta
2 vez para a fun¸c˜ ao h : [a, b] −→ R definida por h(x) = π f (x) , que ´e integr´avel. Logo, tomando o limite quando ||P|| → 0 na equa¸c˜ao (98), vem Z b
2 lim vol(SP ) = π f (x) dx, ||P||→0

(99)

a

e da defini¸c˜ ao (97), sai b

Z

π f (x)

vol(S) =


2

dx.

(100)

a

Exemplo 17 O volume do s´ olido S gerado pela rota¸c˜ao em torno de OX da regi˜ao  D = (x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 + 1 ´e dado por Z

1

vol S = −1

π(x2 + 1)2 dx = π

h x5 5

+

i1  1 2 2x3 +x = 2π + +1 . 3 5 3 −1

Exemplo 18 A f´ormula para o volume de uma esfera S de raio r pode ser obtida pensando na esfera como o s´olido gerado pela rota¸c˜ ao em torno de OX do semi-c´ırculo superior  D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ r2 ∧ y ≥ 0 . Atendendo ` a simetria da esfera, podemos considerar apenas a rota¸c˜ao do quarto de c´ırculo situado no primeiro quadrante. Vem Z r p Z r 2  r 2π  3 r 4 2 2 vol S = 2 r −x dx = 2π r2 − x2 ) dx = 2πr2 x 0 − x 0 = πr3 . π 3 3 0 0

50

` semelhan¸ca do que fizemos na Subsec¸c˜ao 7.1 em rela¸c˜ao ao conceito de ´area, podeA mos obter f´ ormulas mais gerais para o c´alculo do volume de s´olidos de revolu¸c˜ao. Por exemplo, no caso em que f, g : [a, b] −→ R s˜ao cont´ınuas e 0 ≤ g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b], o volume do s´ olido S gerado pela rota¸ca˜o em torno de OX da regi˜ ao plana  D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ f (x) ´e dado por b

Z

Z

2

πf (x) dx −

vol(S) = a

b

πg 2 (x) dx

a b

Z

Figura 13: S´ olido gerado pela rota¸ca ˜o em

  π f 2 (x) − g 2 (x) dx.

=

torno de OX da regi˜ ao D.

a

Exemplo 19 O volume do s´ olido S gerado pela rota¸c˜ao em torno de OX da regi˜ ao plana  B = (x, y) ∈ R2 : |x − 2| + 1 ≤ y ≤ 3

y

3

2

´e dado por (tendo em conta a simetria) Z 2   vol S = 2 π 32 − (−x + 3)2 dx 0 Z 2 56π = 2π − x2 + 6x) dx = . 3 0

1

1

2

3

4

x

Exemplo 20 [Volume de um toro] O volume do s´ olido S gerado pela rota¸c˜ao em torno de OX da regi˜ ao plana  C = (x, y) ∈ R2 : (x − 4)2 + (y − 4)2 ≤ 1 ´e dado por (tendo em conta a simetria em rela¸c˜ao `a recta x = 4) Z vol S = 2π

5h

4+

p p
2
2 i 1 − (x − 4)2 − 4 − 1 − (x − 4)2 dx

4

Z = 32π

5p

1 − (x − 4)2 dx

[substitui¸c˜ao x − 4 = sen t]

4

Z = 32π

π/2 p

1−

Z

sen t2

cos t dt = 32π 0   π/2  1 π/2 = 16π t 0 + sen 2t 0 = 8π 2 . 2 51

π/2 2

Z

cos t dt = 16π 0

0

π/2


1 + cos 2t dt

7.4

´ Area de uma superf´ıcie de revolu¸c˜ ao

Quando um arco de curva y = f (x), com x ∈ [a, b], roda em torno do eixo OX, obt´em-se uma superf´ıcie de revolu¸c˜ ao. Vamos recorrer `a defini¸c˜ao de integral em termos das somas de Riemann para obter uma f´ ormula para o c´alculo da ´area de tal superf´ıcie.

Figura 14: Arco de curva C (` a esquerda) e superf´ıcie S de revolu¸ca ˜o (` a direita).

Para tal, consideramos uma parti¸ca˜o P de [a, b] definida por pontos x0 , x1 , . . . , xn . Sejam P0 , P1 , . . . , Pn os correspondentes pontos sobre a curva C e consideremos a linha poligonal LP representada na Figura 15, definida pelos segmentos de recta Pi−1 Pi , com i = 1, 2, . . . , n. Quando os pontos Pi s˜ao considerados cada vez mais pr´ oximos uns dos outros, ou seja quando a amplitude ||P|| da

Figura 15: Parti¸ca ˜o do intervalo [a, b] e linha poligonal LP .

parti¸c˜ao tende para zero, a linha poligonal LP tende a confundir-se com a curva C e a superf´ıcie SP gerada por LP tende a confundir-se com a superf´ıcie S gerada por C. Ent˜ao pomos area S = lim ´area SP . ´ ||P||→0

Figura 16: Superf´ıcie S gerada por C e superf´ıcie SP gerada por LP .

52

(101)

Mas cada segmento de recta “inclinado” gera um tronco de superf´ıcie c´onica Ci (Figura 16, `a direita), com ´ area lateral area(Ci ) = 2π Pi−1 Pi ´

f (xi − 1) + f (xi ) , 2

uma vez que a ´ area da superf´ıcie lateral de um tronco de cone (Figura 17, direita) ´e dada por 2π g(r + R)/2.

Figura 17: Tronco de cone (` a direita) e pormenor da curva que gera a superf´ıcie S (` a esquerda).

Mas (Figura 17, esquerda) Pi−1 Pi =

p (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2

e como vimos na subsec¸c˜ ao 7.3, podemos escrever q
2
Pi Pi+1 = 1 + f 0 (yi ) xi − xi−1 , para algum yi ∈ [xi−1 , xi ]. Se agora aproximarmos q area(Ci ) = 2π f (yi ) ´

f (xi −1)+f (xi ) 2

por f (yi ) vem ent˜ao


2
1 + f 0 (yi ) xi − xi−1 .

Consequentemente, a ´ area da superf´ıcie de revolu¸c˜ao SP ´e dada por area(SP ) = 2π ´

n X

f (yi )

q
2
1 + f 0 (yi ) xi − xi−1 .

(102)

i=1

O segundo membro da express˜ ao (102) n˜ao ´e mais do que uma soma de Riemann para p a fun¸c˜ao k : [a, b] −→ R definida por k(x) = 2πf (x) 1 + (f 0 (x))2 . Como a fun¸c˜ao k ´e integr´avel, tomando o limite quando ||P|| → 0 na equa¸c˜ao (102) vem ent˜ao b

Z area(S) = 2π ´

p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx.

(103)

a

Nos casos mais gerais em que a fun¸c˜ ao f muda de sinal entre a e b, resulta Z

b

|f (x)|

area(S) = 2π ´ a

53

p 1 + (f 0 (x))2 dx.

(104)

Exemplo 21 A ´area da superf´ıcie de revolu¸c˜ ao S gerada pela rota¸c˜ao em torno de OX do arco de par´abola x = y 2 , para y ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ 1, ´e dada por r Z 1 Z 1 √ √ 1 x 1+ 1 + 4x dx area(S) = 2π ´ dx = π 4x 0 0 =

8

√
i1 π 5 5−1 π hp 3 (1 + 4x) . = 6 6 0

Coordenadas polares

Habitualmente identificamos a posi¸c˜ao de um ponto P do plano atrav´es das suas coordenadas cartesianas, (x, y), definidas em rela¸c˜ao a um referencial ortonormado XOY constitu´ıdo por uma origem O e por dois eixos ortonormados, OX e OY . Em muitas situa¸c˜oes revela-se mais u ´til introduzir um novo referencial e identificar a posi¸c˜ao de um ponto do plano atrav´es de um novo sistema de coordenadas. Vamos agora introduzir as chamadas coordenadas polares.

8.1

Defini¸c˜ ao

Consideremos em R2 um ponto O, a que chamamos p´ olo, e uma semirecta OX, a que chamamos eixo polar. A posi¸c˜ ao de um ponto P de R2 pode ser identificada pela distˆancia de P ao p´ olo e pelo ˆ angulo entre a direc¸c˜ao de P e o eixo polar. Definimos assim as coordenadas polares de P 6= O pelo par (ρ, θ), com ρ > 0 e θ ∈ [0, 2π[, onde −→

ρ = dist(O, P ),

θ=< | (OX, OP ),

(105)

a que chamamos raio vector e ˆ angulo polar, respectivamente. O ˆangulo ´e medido no sentido positivo, ou anti-hor´ario, a partir do eixo polar.

Para

cada ponto P = 6 O, o par (ρ, θ) assim definido ´e u ´nico e escrevemos P = (ρ, θ). Por outro lado, o ponto O ´e identificado por qualquer par (0, θ), com θ ∈ [0, 2π[ , pelo que as suas coordenadas polares n˜ ao s˜ ao u ´nicas.

Figura 17: Sistema de coordenadas polares.

Em vez do habitual sistema de eixos graduados, usamos um referencial polar graduado (cf. a Figura 18) com uma escala para a distˆancia ρ e outra para o ˆangulo θ. Assim, em rela¸c˜ao aos pontos A, B, C e D representados na Figura 18, teremos

54

A = (3, 0),


B = 1, π3 ,



3π C = 3, 5π 6 , D = 2, − 2 .

Figura 18: Referencial polar “graduado”.

8.2

Rela¸c˜ ao entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares

Para relacionarmos os dois tipos de coordenadas, consideremos um referencial cartesiano ortonormado, XOY , e um referencial polar com p´olo coincidente com O e eixo polar sobre OX + . Dado um ponto P , qualquer, de coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (ρ, θ), da Figura 19, ´e f´acil reconhecer que se tem x = ρ cos θ

y = ρ sen θ,

(106)

donde

Figura 19: Coordenadas cartesianas e polares.

ρ=

e

p x2 + y 2 .

(107a)

Por outro lado, se x 6= 0, tem-se tamb´em tg θ =

y , x

(107b)

e, se x = 0, ent˜ ao P est´ a sobre OX, podendo ser (θ = π/2 se y > 0) ∨

(θ = 3π/2 se y < 0) ∨

(θ ∈ [0, 2π[ se y = 0) .

(107c)

Assim, usaremos as express˜ oes (106) para passar de coordenadas polares a cartesianas, e as express˜ oes (107a) e (107b-c), juntamente com os sinais de x e de y, para passar de coordenads cartesianas a polares. Exemplo 22 1. Se as coordenadas cartesianas de certos pontos s˜ao dadas por    √  1 A = (1, 1) , B = (−4, −4) , C = (0, 2) , E = 0, − , F = − 3, −3 , 2 55

ent˜ao as correspondentes coordenadas polares s˜ao        π √ π  √ 4π √ 7π 1 3π , C = 2, , F = 2 3, . A= 2, , B = 4 2, , E= , 4 4 2 2 2 3 2. Reciprocamente, se as coordenadas polares de certos pontos s˜ao dadas por    π √  11π A = 1, , C = (0, π) , E = , B = 3, 3, 0 , F = (1, 5) . 4 6 ent˜ao as correspondentes coordenadas cartesianas s˜ao ! √ √ √ ! √  2 2 3 3 3 , B= , C = (0, 0) , E = 3, 0 , F = (cos 5, sen 5) . A= , ,− 2 2 2 2

8.3

Representa¸c˜ ao polar de curvas

Analisemos agora o problema da representa¸c˜ao geom´etrica de curvas, dadas pelas suas equa¸c˜oes polares. Comecemos com os casos mais simples. A) ρ = r, com r uma constante positiva. Trata-se da circunferˆencia de centro O e raio r, tal como decorre da defini¸c˜ao (105). Cf. a Figura 20.

Figura 21: Curva de equa¸c˜ ao θ = α.

Figura 20: Curva de equa¸ca ˜o ρ = r.

B) θ = α, com α uma constante em [0, 2π[. Trata-se da semi-recta de origem em O que faz com OX um ˆangulo de α radianos, tal como decorre tamb´em da defini¸c˜ao (105). Cf. a Figura 21. C1) ρ = θ, considerando θ ∈ R+ 0. Neste caso, a curva passa pelo p´olo e ρ cresce linearmente com θ. Obt´em-se a curva representada na Figura 22, que ´e conhecida por espiral de Arquimedes.

56

Figura 22: Espiral de Arquimedes, ρ = θ.

Figura 23: Espiral exponencial, ρ = eθ .

C2) ρ = eθ , considerando θ ∈ R+ 0. A curva n˜ ao passa pelo p´ olo, pois para θ = 0 vem ρ = 1. Al´em disso, ρ cresce exponencialmente com θ e obt´em-se a curva representada na Figura 23, que come¸ca de dentro para fora. Esta curva ´e conhecida por espiral exponencial.

+ C3) ρ = e−θ , considerando θ ∈ R0 . A curva n˜ ao passa pelo p´ olo, pois para

θ = 0 vem ρ = 1. Desta vez, ρ decresce exponencialmente com θ e obt´em-se a curva

!!1,Θ!0

representada na Figura 24, que come¸ca de fora para dentro. Esta curva ´e conhecida por espiral logar´ıtmica.

Figura 24: Espiral logar´ıtmica, ρ = e−θ .

D1) ρ = 1 − cos θ, θ ∈ [0, 2π[. Como cos θ varia entre −1 e 1, ρ vai variar entre ρmin = 0 (para θ = 0) e ρmax = 2 (para θ = π). Obt´em-se a curva da Figura 25, conhecida por carde´ oide.

Figura 25: Carde´ oide ρ = 1 − cos θ.

Figura 26: Carde´ oide ρ = 1 + cos θ.

D2) ρ = 1 + cos θ, θ ∈ [0, 2π[. Com uma an´ alise breve, semelhante `a efectuada em F1), bt´em-se o carde´ oide da Figura 26. 57

D3) ρ = 1 − sen θ, θ ∈ [0, 2π[. Tamb´em agora, com uma an´ alise semelhante `a efectuada em F1), bt´em-se o carde´ oide da Figura 27.

Figura 27: Carde´ oide ρ = 1 − sen θ.

Figura 28: Carde´ oide ρ = 1 + sen θ.

D4) ρ = 1 + sen θ, θ ∈ [0, 2π[. Mais uma vez, de maneira semelhante, bt´em-se o carde´ oide da Figura 28. i h i h i h 5π 7π E1) ρ2 = cos 2θ, θ ∈ 0, π4 ∪ 3π , ∪ , 2π . 4 4 4 Observe-se que o intervalo de varia¸c˜ao de θ ´e aquele onde se tem cos 2θ ≥ 0. Neste caso, ρ ´e m´ aximo quando θ = 0 e quando θ = π, caso em que ρ = 1. Analisando a monotonia de ρ como fun¸c˜ ao de θ, obt´em-se a curva da Figura 29, a que se chama lemniscata.

Figura 30: Lemniscata ρ2 = sen 2θ.

Figura 29: Lemniscata ρ2 = cos 2θ.

E2)

ρ2

h

= sen 2θ, θ ∈ 0,

π 2

i

h

∪ π,

3π 2

i .

O intervalo de varia¸c˜ ao de θ ´e aquele onde se tem sen 2θ ≥ 0. A curva ´e a lemniscata representada na Figura 30, tendo-se ρ = 1 para θ =

π 4

e para θ =

3π 4 .

  F1) ρ = | cos 2θ |, θ ∈ 0, 2π . Agora, ρ ser´ a m´ aximo e igual a 1 quando θ = 0, θ = π2 , θ = π, θ = est´a representada na Figura 31 e chama-se rosa de quatro p´etalas.

58

3π 2 .

A curva

Figura 31: Rosa de 4 p´etalas, ρ = | cos 2θ |.

Figura 32: Rosa de 8 p´etalas, ρ = | cos 4θ |.

  F2) ρ = | cos 4θ |, θ ∈ 0, 2π . Desta vez, ρ ser´ a m´ aximo e igual a 1 quando θ = 0, θ = π4 , θ = π2 , θ = θ=

5π 4 ,

θ=

3π 2

eθ=

7π 4 .

3π 4 ,

θ = π,

A curva est´a representada na Figura 31 e chama-se rosa

de quatro p´etalas.   G1) ρ = | sen 3θ |, θ ∈ 0, 2π . A curva est´ a representada na Figura 33 e chama-se rosa de trˆes p´etalas.

Figura 33: Rosa de 4 p´etalas, ρ = | sen 3θ |.

Figura 34: Rosa de 8 p´etalas, ρ = | cos 3θ |.

  G2) ρ = | cos 3θ |, θ ∈ 0, 2π . A curva est´ a representada na Figura 34 e tamb´em ´e uma rosa de trˆes p´etalas. H) Se agora a curva for dada em coordenadas cartesianas, podemos obter a correspondente equa¸c˜ ao polar, atendendo `as express˜oes (105). H1) Circunferˆencia (x − 1)2 + y 2 = 1, de centro C = (1, 0) e raio 1. Tem-se x2 −2x+1+y 2 = 1, donde x2 +y 2 −2x = 0. Em coordenadas polares, fica ρ2 − 2ρ cos θ = 0, donde se conclui que ρ = 2 cos θ ´e a equa¸c˜ao polar da circunferˆ eincia a que ρ = 0 define apenas o p´olo. Como ρ ≥ 0, tem-se h h dada,h j´

θ ∈ 0, π2 ∪

3π 2 , 2π

. A circunferˆencia est´a representada na Figura 35.

59

Figura 35: Circunferˆencia passando por O

Figura 36: Circunferˆencia passando por O

com diˆ ametro sobre OX, ρ = 2 cos θ.

com diˆ ametro sobre OY , ρ = 2 sen θ.

H2) Circunferˆencia x2 + (y − 1)2 = 1, de centro C = (0, 1) e raio 1. A correspondente equa¸c˜ ao polar ´e ρ = 2 sen θ, com θ ∈ [0, π]. A circunferˆencia est´ a representada na Figura 36.

8.4

´ Areas planas em coordenadas polares

Em muitas situa¸c˜ oes, torna-se mais simples trabalhar em R2 com coordenadas polares. Esta situa¸c˜ ao ocorre frequentemente no c´alculo de ´areas de regi˜oes planas, quando a primitiva da fun¸c˜ ao integranda ´e complicada. Vamos agora estabelecer uma f´ormula para o c´alculo de uma tal ´ area, atrav´es de um integral em coordenadas polares. Suponhamos que pretendemos determinar a ´area da regi˜ ao plana A, que ´e limitada pela curva de equa¸c˜ ao ρ = f (θ), com f cont´ınua, e pelas semi-rectas θ = α e θ = β (cf. a Figura 37). Ent˜ ao, adoptando uma estrat´egia semelhante ` a que utiliz´amos para determinar a ´ area em co-

Figura 37: Regi˜ ao plana A.

ordenadas cartesianas:

(i) Consideramos uma parti¸c˜ ao P de [α, β] em n subintervalos [θi−1 , θi ], i = 1, 2, . . . , n. (ii) A regi˜ ao A fica dividida em n fatias, cada uma de amplitude θi − θi−1 (Figura 38).

Figura 38: Regi˜ ao plana A.

Figura 39: Fatia elementar Ai .

60

(iii) Aproximamos a ´ area de cada fatia elementar pela ´area de um sector circular, come¸cando por observar que (Figura 39) 1 2 1 ρ (θi − θi−1 ) ≤ area(Ai ) ≤ ρ2i−1 (θi − θi−1 ). 2 i 2 Mas ρi = f (θi ) e ρi−1 = f (θi−1 ), donde 1 2 1 2 f (θi ) (θi − θi−1 ) ≤ area(Ai ) ≤ f (θi−1 ) (θi − θi−1 ). 2 2 Como f ´e cont´ınua, resulta que area(Ai ) = ´

1 2 f (ci ) (θi − θi−1 ). 2

para algum ci ∈ [θi−1 , θi ]. (iv) Fazendo a soma para i = 1, . . . , n e tomando o limite quando a amplitude ||P|| tende para zero, obtemos 1 area A = ´ 2

Z

β

f 2 (θ) dθ.

α

Exemplo 23 A ´area do c´ırculo de raio r pode ser obtida com um integral em coordenadas polares, bastando atender a que, se a circunferˆencia estiver centrada na origem, a sua equa¸c˜ao polar ´e ρ = r, pelo que 1 area A = ´ 2

Z

2π

r2 dθ =

0

1 2 h i2π r θ = π r2 . 2 0

Exemplo 24 A ´area da regi˜ ao plana A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ θ ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π}, limitada pela espiral de Arquimedes (Figura 22), ´e dada por Z 1 1 h 3 i2π 4 1 2π 2 area A = ´ θ dθ = θ = π3. 2 0 23 3 0 Exemplo 25 A ´area da regi˜ ao plana A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1 + cos θ ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π}, limitada pelo carde´oide ρ = 1 + cos θ (Figura 25), ´e dada por Z π Z π 2 area A = ´ (1 + cos θ) dθ = (1 + 2 cos θ + cos2 θ) dθ 0

0

h iπ h iπ 1 Z π = θ + 2 sen θ + (1 + cos 2θ) dθ 2 0 0 0 = π+

iπ  3π 1 h iπ 1 h θ + sen θ = . 2 2 2 0 0

61

9

Integral Impr´ oprio

Na sec¸c˜ao 2 deste cap´ıtulo apresent´ amos a defini¸c˜ao de integral segundo Riemann, para uma fun¸c˜ao limitada que est´ a definida num intervalo limitado. A extens˜ao desta defini¸c˜ao aos casos em que o intervalo de integra¸c˜ao ´e n˜ao limitado, ou em que a fun¸c˜ao integranda se torna n˜ ao limitada nas vizinhan¸cas de um ponto do intervalo de integra¸c˜ao, conduz `a no¸c˜ ao de integral impr´ oprio. Assim, diremos que os integrais Z +∞ Z +∞ Z 1 1 1 2 dx e dx x dx, x2 −1 0 0 x s˜ao todos impr´ oprios. Para estender a defini¸c˜ao de Riemann a estes casos, iremos recorrer `a no¸c˜ao de limite.

9.1

Intervalo de integra¸c˜ ao ilimitado

Neste caso, o integral impr´ oprio diz-se de primeira esp´ecie ou de tipo I. Comecemos com o caso em que o intervalo de integra¸c˜ao ´e do tipo [a, +∞[ e, a t´ıtulo de motiva¸c˜ao, consideremos os integrais +∞

Z I= 1

Z

1 dx x

e

+∞

J= 1

Do ponto de vista geom´etrico, os integrais I e J est˜ ao relacionados com a medida

1 dx. x2

(108)

y y!1!x2

da ´area das regi˜ oes n˜ ao limitadas situadas a` direita da recta x = 1, acima do eixo OX, sob o gr´ afico de cada uma das curvas representadas na Figura 40. Por´em,

1" " " " " "

tratando-se de regi˜ oes com “largura” infinita e “altura” que se torna infinitamente

1

y!1!x x

pequena, poder´ a ser poss´ıvel atribuir uma medida `a ´ area em causa.

Figura 40: Regi˜ oes associadas aos integrais I e J.

Para decidir se esta possibilidade se verifica, estudamos os limites Z b Z b 1 1 dx, L(I) = lim dx e L(J) = lim b→+∞ 1 x b→+∞ 1 x2 para os quais vem, respectivamente, h ib
L(I) = lim ln x = lim ln b − ln 1 = +∞, b→+∞

1

(109)

b→+∞

 1  1 ib = lim − + 1 = 1, b→+∞ x 1 b→+∞ b donde se depreende que apenas far´ a sentido atribuir significado `a ´area da regi˜ao relacionada com o integral J, podendo dizer-se que a medida dessa ´area ´e igual a 1. L(J) = lim

h

−

Passemos agora a expor a teoria geral. 62

Caso A. Comecemos por considerar uma fun¸c˜ao f: [a, +∞[−→ R , que ´e integr´avel em todo o intervalo limitado [a, x] tal que [a, x] ⊂ [a, +∞[. Z +∞ Dizemos que o integral impr´ oprio f (x) dx ´e convergente, ou que a fun¸c˜ao f ´e a

integr´ avel em sentido impr´ oprio, se existir o correspondente limite, Z b f (x) dx, lim b→+∞

a

caso em que escrevemos Z

+∞

b

Z f (x) dx =

a

f (x) dx .

lim

b→+∞

a

No caso contr´ ario, em que aquele limite n˜ao exite (em R), dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente ou que a fun¸c˜ao f n˜ ao ´e integr´ avel em sentido impr´ oprio. Propriedade 7 [Linearidade] Sejam α, β ∈ R . Se f e g s˜ ao integr´aveis em sentido impr´oprio em [a, +∞[ ent˜ao αf + βg ´e integr´ avel em sentido impr´oprio em [a, +∞[ e Z +∞ Z +∞ Z +∞ [αf (x) + βg(x)] dx = α f (x) dx + β g(x) dx. (110) a

a

a

Propriedade 8 [Aditividade] Sejam a, b ∈ R. Se f ´e integr´ avel em sentido impr´oprio em [a, +∞[ ent˜ao f ´e integr´avel em sentido impr´ oprio em [b, +∞[ e Z +∞ Z b Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. (111) a

a

b

Exemplo 26 Z +∞ 1. ex dx ´e divergente. 0

De facto, estudando o correspondente limite (cf. a Figura 41), vem Z b lim ex dx = lim [ex ]b0 = lim (eb − 1) = +∞. b→+∞ a

b→+∞

exp b

b→+∞

1

y ! exp!"x"

y ! exp x

1

exp!"b"

! b

Figura 41: Exemplo 26.1

Figura 42: Exemplo 26.1

63

# b

Z 2.

+∞

e−x dx ´e convergente e igual a 1.

0

Para o correspondente limite (cf. a Figura 42), vem Z b  b e−x dx = lim −e−x 0 = lim (−e−b + 1) = 1. lim b→+∞

b→+∞

b→+∞ 0

Exemplo 27 Z

+∞

1 dx , com k uma constante real. xk

Estudemos agora o integral 1

• Para k = 1, vem Z

b

lim

b→+∞ 1

• J´a para k 6= 1, vem Z lim

b→+∞ 1

1 dx = lim [ln x]b1 = lim [ln b − ln 1]b1 = +∞. b→+∞ b→+∞ x

b

 1−k   1−k b 1 b −1 x = lim , dx = lim b→+∞ b→+∞ 1 − k 1 1−k xk

e como lim b1−k = 0, se

b→+∞

lim b1−k = +∞, se

1 − k < 0,

b→+∞

1 − k > 0,

resulta Z

b

lim

b→+∞ 1

1 1 , dx = k 1−k x

se

k > 1, (112)

Z

b

lim

b→+∞ 1

1 dx = +∞, xk +∞

Z Consequentemente, o integral impr´ oprio 1

k > 1, caso em que +∞

Z 1

se

k < 1.

1 dx diverge se k ≤ 1 e converge se xk

1 1 . dx = k 1−k x

Z

b

f (x) dx, quando f : ] − ∞, b] −→ R

Caso B. O estudo do integral impr´oprio −∞

´e integr´avel em todo o intervalo limitado [x, b] com [x, b] ⊂ ] − ∞, b], ´e semelhante, baseando-se no

b

Z lim

a→−∞

f (x) dx. a

Para este caso, valem resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, com as adapta¸c˜oes necess´ arias. 64

Exemplo 28 Z 0 cos x dx ´e divergente.

y ! cos x

−∞ A5

De facto, estudando o limite correspon-

7Π " $$$$$$$$ 2

dente, vemos que Z lim

a→−∞ a

A3

0

cos x dx = lim

h

a→−∞

A4

5Π " $$$$$$$$ 2

A1 3Π " $$$$$$$$ 2

A2

Π " $$$$ 2

i0 sen x = − lim sen a, a

a→−∞

Figura 43: Exemplo 28

que n˜ao existe porque, sendo a fun¸c˜ ao seno peri´odica, podemos exibir duas restri¸c˜oes do seno com limites diferentes. Por exemplo, pondo 

n o π A = x ∈ R : x = + 2kπ, k ∈ Z− , 2

x∈R: x=

B=

 3π + 2kπ, k ∈ Z− , 2

tem-se x ∈ A =⇒ sen x = 1 e x ∈ B =⇒ sen x = −1, pelo que lim sen x = 1

lim sen x = −1.

e

x→−∞ x∈A

x→−∞ x∈B

N˜ao seria dif´ıcil antecipar esta conclus˜ao a partir da Figura 43. Por um lado, se cada Ai representar a ´ area de uma parte da regi˜ao (cf. a Figura 43), ent˜ao A1 = A5 = 1

e

A2 = A3 = A4 = 2.

Por outro lado, como a ´ area de cada regi˜ao Ai se pode exprimir como um integral de cos x ou de − cos x , consoante estiver em causa um intervalo onde o cosseno seja positivo ou negativo, temos por exemplo Z 0 cos x dx = A5 − A4 + A3 − A2 + A1 = 0, −4π 0

Z

cos x dx = −A4 + A3 − A2 + A1 = −1, −7π/2 Z 0

cos x dx = A3 − A2 + A1 = 1, −5π/2

o que, de imediato, nos leva a intuir que n˜ao ser´a poss´ıvel atribuir um valor ao integral apresentado. Z

+∞

f (x) dx, quando f: ] − ∞, +∞[−→ R

Caso C. Para analisar o integral impr´oprio −∞

´e integr´avel em todo o intervalo limitado [x, y], escolhe-se arbitrariamente um ponto c ∈ R (em geral, considera-se c = 0) e estuda-se separadamente cada um dos integrais Z c Z +∞ f (x) dx e f (x) dx, (113) −∞

c

65

como descrito anteriormente. Pela aditividade do integral impr´oprio (Propriedade 8 e correspondente adapta¸c˜ ao ao caso B), a convergˆencia destes integrais n˜ao depende da Z +∞ escolha do ponto c. Assim, dizemos que o integral impr´oprio f (x) dx ´e convergente, −∞

ou que a fun¸c˜ ao f ´e integr´ avel em sentido impr´ oprio, se e s´o se os integrais indicados em (113) s˜ ao convergentes. Escrevemos Z +∞ Z c Z +∞ f (x) dx. (114) f (x) dx + f (x) dx = −∞

−∞

c

Por outro lado, se algum dos integrais de (113) ´e divergente, ent˜ao dizemos que o integral Z +∞

impr´oprio

f (x) dx tamb´em ´e divergente. −∞

Para este caso, valem tamb´em resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, com as adapta¸c˜ oes necess´ arias. Exemplo 29 Z

+∞

1.

ex dx ´e divergente.

−∞

Basta atender ` a defini¸c˜ ao apresentada e ao que vimos no Exemplo 26. Z +∞ 1 2. dx ´e convergente e igual a π. 1 + x2 −∞ De facto, por um lado, Z lim

b→+∞ 0

b

1 π π dx = lim (arctg b − arctg 0) = − 0 = . 2 b→+∞ 1+x 2 2

e, por outro lado, t Z 0  π π 1 lim dx = lim (arctg 0 − arctg a) = 0 − − = . a→−∞ a 1 + x2 a→−∞ 2 2 y 1

Atendendo ao gr´ afico da fun¸c˜ao

y!1!"1"x2 #

integranda, e ` a sua simetria em rela¸c˜ ao ao eixo OY (Figura 44), bastaria ter estudado o integral impr´ oprio estendido a um dos intervalos [0, +∞[ ou ] − ∞, 0].

a

b

Figura 44: Exemplo 29.2.

66

x

9.2

Fun¸c˜ ao integranda ilimitada

No caso em que a fun¸c˜ ao integranda se torna ilimitada numa vizinhan¸ca de algum ponto do intervalo de integra¸c˜ ao – um extremo ou um ponto interior – o integral impr´oprio diz-se de segunda esp´ecie ou de tipo II. Caso A. Consideremos uma fun¸c˜ ao f : ]a, b] −→ R que ´e ilimitada, mantendo-se integr´avel em qualquer intervalo [c, b] com [c, b] ⊂ ]a, b] Z b Dizemos que o integral impr´ oprio f (x) dx ´e convergente, ou que a fun¸c˜ao f ´e ina

tegr´ avel em sentido impr´ oprio, se existir o limite Z b f (x) dx, lim c→a+

c

caso em que escrevemos Z

b

Z

b

f (x) dx .

f (x) dx = lim

c→a+

a

c

Quando este limite n˜ ao exite (em R), dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente ou que a fun¸c˜ ao f n˜ ao ´e integr´ avel em sentido impr´ oprio. Tamb´em para este tipo de integral impr´oprio valem resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, com as adapta¸c˜ oes necess´arias. Exemplo 30 1

Z 1. 0

1 dx ´e divergente (Figura 45). x2

A fun¸c˜ ao integranda torna-se ilimitada `a direita da origem. Calculamos Z 1 h 1 i1  1 1 L = lim dx = lim − = +∞, = lim − 1 + x c c→0+ c c→0+ c x2 c→0+ donde se conclui que o integral impr´oprio apresentado diverge para +∞. y

y

"### y!1! x y!1!x2 1 1 1

x

1

Figura 45: Exemplo 30.1.

Z 2. 0

1

Figura 46: Exemplo 30.2.

1 √ dx ´e convergente (Figura 46). x 67

x

A fun¸c˜ ao integranda torna-se ilimitada `a direita da origem. Calculamos Z 1 h √ i1  √  1 √ dx = lim 2 x = lim 2 − 2 c = 2, L = lim x c c→0+ c c→0+ c→0+ 1

Z

1 √ dx = 2. x

pelo que o integral converge, tendo-se 0 1

Z 3. Estudemos, mais em geral, o integral 0

1 dx , com k uma constante real. xk

• Para k = 1, vem 1

h i1 1 dx = lim ln x = lim (− ln c) = +∞. x c c→0+ c→0+

1

 1−k 1   x 1 1 − c1−k dx = lim = lim 1−k xk c→0+ 1 − k c c→0+

Z lim

c→0+

c

• Para k 6= 1, vem Z lim

c→0+

c

e como lim c1−k = 0, se

c→0+

lim c1−k = +∞, se

1 − k > 0,

c→0+

1 − k < 0,

resulta 1

Z lim

c→0+

c

1 1 dx = , 1−k xk

se

k < 1, (115)

1

Z lim

c→0+

c

1 dx = +∞, xk Z

Consequentemente, o integral impr´oprio 0

k < 1, caso em que Z

1

1

se

k > 1.

1 dx diverge se k ≥ 1 e converge se xk

1 1 dx = . 1−k xk

0

b

Z

f (x) dx, quando f : [a, b[ −→ R ´e ilimitada,

Caso B. O estudo do integral impr´ oprio a

mantendo-se integr´ avel em todo o intervalo [a, c], com [a, c] ⊂ [a, b[, ´e perfeitamente an´alogo, baseando-se no estudo do Z lim

c→b−

c

f (x) dx. a

Valem novamente resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, com as adapta¸c˜oes necess´arias. 68

Caso C. O caso em que f : ]a, b[ −→ R ´e ilimitada, mantendo-se integr´avel em todo o intervalo [x, y], com [x, y] ⊂ ]a, b[, reduz-se aos casos anteriores, escolhendo arbitrariamente um ponto c ∈ ]a, b[ e estudando separadamente os integrais impr´oprios Z c Z c f (x) dx e f (x) dx, (116) a

a

Z

b

f (x) dx

como descrito anteriormente (casos A e B). Dizemos que o integral impr´oprio a

´e convergente, ou que a fun¸c˜ ao f ´e integr´ avel em sentido impr´ oprio, se e s´o se os integrais indicados em (116) s˜ ao convergentes. Escrevemos Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a

a

(117)

c

Por outro lado, se algum dos integrais de (116) ´e divergente, ent˜ao dizemos que o integral Z b f (x) dx tamb´em ´e divergente. impr´oprio a

Caso D. Consideremos agora a, b, c ∈ R, tais que a < c < b, e seja f: [a, c[ ∪ ]c, b] −→ R uma fun¸c˜ao ilimitada em pelo menos um dos intervalos [a, c[ ou ]c, b], que se mant´em integr´avel em qualquer intervalo [a, x] com [a, x] ⊂ [a, c[ e em qualquer intervalo [y, b] com [y, b] ⊂ ]c, b]. Neste caso, estudamos separadamente os integrais impr´oprios Z c Z c f (x) dx e f (x) dx, a

a b

Z como descrito anteriormente. Dizemos que o integral impr´oprio

f (x) dx ´e convera

gente, ou que a fun¸c˜ ao f ´e integr´ avel em sentido impr´ oprio, se e s´o se estes dois integrais s˜ao convergentes, caso em que escrevemos Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a

a

(118)

c

Por outro lado, se algum daqueles integrais ´e divergente, ent˜ao dizemos que o integral Z b impr´oprio f (x) dx tamb´em ´e divergente. a

Exemplo 31 Z 2 1 1. dx ´e divergente. 2 0 (x − 1)

y

A fun¸c˜ ao integranda torna-se ilimitada em torno do ponto x = 1. Estudamos separadamente os integrais Z 1 Z 2 1 1 I= dx e J = dx . 2 2 1 (x − 1) 0 (x − 1)

4 y!1!"x"1#2 1 1

2

3

x

Figura 47: Exemplo 31.1.

Para o primeiro, calculamos    c   Z c 1 1 1 L(I) = lim dx = lim − = lim − − 1 = +∞, x−1 0 c−1 c→1− 0 (x − 1)2 c→1− c→1− 69

donde se conclui que o integral proposto ´e divergente (independentemente da natureza do integral J). Z

1

ln |x| dx ´e convergente.

2. −1

A fun¸c˜ ao integranda torna-se ilimitada em torno do ponto x = 0. Ent˜ao estudamos separadamente os integrais Z 0 Z 0 I= ln |x| dx = ln(−x) dx −1

1

Z e

ln |x| dx =

J=

−1

0

que possuem a mesma natureza, tendo em conta a simetria da figura a respeito do eixo OY . Estudamos ent˜ ao o integral J, come¸cando por primitivar por partes,

1

Z y

ln x dx , 0

y!ln!x! -1

1

x

P(ln x) = x ln x − x + C, e calculando depois o limite Z L(J) = lim

c→0+

c

1

Figura 48: Exemplo 31.2.

h i1   ln x dx = lim x ln x − x = lim − 1 − c| {z ln }c +c = −1. c→0+

c

c→0+

(*)

Concluimos que o integral J converge, tendo-se J = −1. O mesmo se passa com o integral I, tendo-se tamb´em I = −1. Consequentemente, o integral proposto converge e Z

1

ln |x| dx = −2. −1

(*) Este limite ´e igual a 0 porque a velocidade com que c tende para 0 ´e exponencialmente superior ` a velocidade com que ln c tende para −∞.

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