Resumo Funções Trigonométricas

C´alculo (A e B) MIEEIC, MIECOM 2007/2008 Ana Jacinta Soares

Notas sobre a disciplina

Programa Resumido 1. Fun¸c˜ oes trigonom´etricas inversas. 2. Fun¸c˜ oes hiperb´olicas directas e inversas 3. Primitivas. 4. Integral de Riemann. Aplica¸c˜ oes. 5. S´ eries num´ericas.

Principais Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1 ] T. Apostol, C´ alculo, Vol. 1, Editora R´evert´e, 1991. [2 ] Robert A. Adams,, A Complete Course: Calculus, Addison-Wesley, 1999. [3 ] Jaime. C. Silva, Princ´ıpios de An´ alise Matem´ atica Aplicada, McGraw Hill, 1994. [4 ] J. Campos Ferreira, Introdu¸ca ˜o a ` An´ alise Matem´ atica, Gulbenkian, 1999. [5 ] H. L. Guidorizzi, Um Curso de C´ alculo, Vol 1, Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora S. A., 1986.

Fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas directas e inversas

A. Fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas directas As fun¸c˜oes seno, cosseno, tangente e cotangente s˜ ao cont´ınuas e peri´ odicas nos respectivos dom´ınios. Todas elas s˜ ao fun¸c˜ oes n˜ ao injectivas e, portanto, n˜ ao possuem inversa.

Seno

Cosseno

y = sen x, x ∈ R, CDsen = [−1, 1]

y = cos x, x ∈ R, CDcos = [−1, 1] y

y

x

x -2 Π

-Π

2Π

Π

-2 Π

-Π

2Π

Π

Tangente

Cotangente

sen x , x ∈ R\ y = tg x = cos x 2 CDtg = R

nπ

o + kπ, k ∈ Z

y = cotg x =

y

cos x , x ∈ R\{kπ, k ∈ Z} sen x CDcotg = R y

x -2 Π

-Π

Π

x 3Π - €€€€€€€€ 2

2Π

Π - €€€€ 2

Π €€€€ 2

3Π €€€€€€€€ 2

B. Fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas inversas Considerando restri¸c˜ oes adequadas das fun¸c˜oes trigonom´etricas, obtemos fun¸c˜oes cont´ınuas e bijectivas definidas em intervalos. A injectividade ser´ a conseguida excluindo do dom´ınio todos os pontos onde a fun¸c˜ao se repete. A sobrejectividade ser´ a obtida eliminando do conjunto de chegada todos os pontos que a fun¸c˜ao n˜ ao assume. As inversas das restri¸c˜ oes assim definidas ser˜ ao tamb´em cont´ınuas.

B.1 Arco-seno Relativamente ` a fun¸c˜ ao seno, convencionamos considerar a restri¸c˜ao bijectiva h π πi −→ [−1, 1] sen : − , 2 2 x 7−→ sen x .

(1)

A sua inversa, que se designa por arco-seno – lˆe-se arco (cujo) seno – ´e a a fun¸c˜ao h π πi − , 2 2 7 → arcsen y , −

arcsen : [−1, 1] −→ y

1

(2)

h π πi cujo seno ´e igual a y. Assim, onde arcsen y indica o u ´nico arco do intervalo − , 2 2 h π πi x = arcsen y , y ∈ [−1, 1] ⇐⇒ y = sen x , x ∈ − , . (3) 2 2 y Π €€€€ 2

1 x

-1

Π - €€€€ 2

  y = arcsen x, x ∈ [−1, 1], CDarcsen = − π2 , π2 Pelo facto de as fun¸c˜ oes (1) e (2) serem inversas uma da outra, tem-se h π πi , arcsen (sen x) = x, ∀x ∈ − , 2 2 sen (arcsen y) = y, ∀y ∈ [−1, 1].

(4)

  No entanto, apesar de fazer sentido calcular arcsen (sen z), para z ∈ R\ − π2 , π2 , tem-se h π πi arcsen (sen z) 6= z , ∀z 6∈ − , , (5) 2 2   uma vez que CDarcsen = − π2 , π2 . Exemplo 1

√ √ ! 2 3 π π π (a) arcsen 1 = , arcsen =− . = , arcsen − 2 2 4 2 3 h π πi π π π onde o seno ´e, respecti, e − s˜ao os u ´ nicos arcos do intervalo − , 2 4 3 2 2 √ √ 2 3 vamente, igual a 1 , e− . 2 2 De facto,

(b) Tem-se, por exemplo, sen (3π) = 0 e sen (8π) = 0, mas arcsen 0 = 0. h π πi Porque 0 ´e o u ´ nico arco do intervalo − , onde o seno ´e igual a 0 . 2 2

2

B.2 Arco-cosseno Relativamente ` a fun¸c˜ ao cosseno, convencionou-se considerar a restri¸c˜ao bijectiva cos : [0, π] −→ [−1, 1] x 7−→ cos x .

(6)

A sua inversa, que se designa por arco-cosseno – lˆe-se arco (cujo) cosseno – ´e a fun¸c˜ao arccos : [−1, 1] −→ [0, π] y 7−→ arccos ,

(7)

onde arccos y indica o u ´nico arco do intervalo [0, π] cujo cosseno ´e igual a y. Assim x = arccos y , y ∈ [−1, 1] ⇐⇒ y = cos x , x ∈ [0, π] .

(8)

y

Π

1 x

-1

y = arccos x, x ∈ [−1, 1], CDarccos = [0, π] Atendendo a que as fun¸c˜ oes (6) e (7) s˜ ao inversas uma da outra, tem-se arccos (cos x) = x , ∀x ∈ [0, π] ,

(9)

cos (arccos y) = y , ∀y ∈ [−1, 1] . Por outro lado, uma vez que CDarccos = [0, π], tem-se arccos (cos z) 6= z , ∀z 6∈ [0, π] .

(10)

Exemplo 2 √ ! 3π 2 (a) arccos 1 = 0 , arccos(−1) = π , arccos − = . 2 4 (b) arccos (cos 5π) = arccos(−1) = π ,



25π arccos cos 4

3



= arccos

√ ! π 2 = . 2 4

B.3 Arco-tangente Relativamente ` a fun¸c˜ ao tangente, consideramos a restri¸c˜ao bijectiva i π πh tg : − , −→ R 2 2 x 7−→ tg x .

(11)

A sua inversa, designada por arco-tangente – lˆe-se arco (cuja) tangente – ´e a fun¸c˜ao i π πh arctg : R −→ − , (12) 2 2 y 7−→ arctg y, i π πh onde arctg y indica o u ´nico arco do intervalo − , cuja tangente ´e igual a y. 2 2 y

Assim,

Π €€€€ 2

x = arctg y, com y ∈ R

x Π - €€€€ 2

se e s´ o se i π πh . y = tg x , x ∈ − , 2 2

  y = arctg x, x ∈ R, CDarccos = − π2 , π2

B.4 Arco-cotangente Relativamente ` a fun¸c˜ ao co-tangente, consideramos a restri¸c˜ao bijectiva tg : ]0, π[ −→ R x 7−→ cotg x,

(13)

cuja inversa ´e a fun¸c˜ ao arco-cotangente – lˆe-se arco (cuja) cotangente – definida por arccotg : R −→ ]0, π[ y 7−→ arccotg y,

(14)

onde arccotg y indica o u ´nico arco do intervalo ]0, π[ cuja cotangente ´e igual a y. y

Ent˜ao,

Π Π €€€€ 2

x = arccotg y, com y ∈ R

x

se e s´ o se y = cotg x , x ∈ ]0, π[ . y = arccotg x, x ∈ R, CDarccos = ]0, π[

4