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Elementos de ondas Isa´ıas Rojas Pe˜ na* Departamento de F´ısica, Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa. 11 de marzo de 2019

Resumen En este apunte se presenta un breve resumen las de las ideas principales de ondas, con la finalidad que el estudiante recuerde conceptos m´ınimos que se requiere para estudiar temas propios de la asignatura F´ısica General IV (FIS140), como son las ondas electromag´eticas y ondas de materia.

1.

Introducci´ on

Cuando un medio es perturbado, por ejemplo cuando una piedra impacta en el agua, la perturbaci´ on es capaz de propagarse. Denominamos onda, a la propagaci´on de una perturbaci´on.

Figura 1: Una piedra impactando el agua es una perturbaci´on (izquierda). La perturbaci´on se propaga a trav´es del agua como ondas (derecha).

Podemos observar algunas caracter´ısticas de las ondas producidas en el agua, la primera es que se propaga en c´ırculos conc´entricos, esto se debe a que el medio, en este caso el agua, es homog´eneo, por ello la onda se propaga a la misma rapidez en cualquier direcci´on. Otra cosa que podemos observar es que un objeto que flote sobre el agua, como un trozo de corcho, se desplaza arriba y abajo al ser alcanzado por las olas, de aqu´ı podemos deducir dos cosas, las olas transportan energ´ıa, toda vez que pueden desplazar al cuerpo que flota, lo otro es que no desplazan a dicho objeto en la direcci´on en que avanzan las ondas. En general, en todo fen´ omeno de propagaci´on de ondas, podemos observar algunos elementos comunes: 1. La perturbaci´ on inicial que se propaga de un punto a otros desde un foco emisor, y sin desplazamiento neto de la materia. 2. Transmisi´ on de energ´ıa a trav´es de un medio. *

El autor agradece que haga llegar sus comentarios y correcciones a [email protected]

1

2

2

´ DE ONDA FUNCION

3. La perturbaci´ on se propaga a rapidez finita, esto es, tarda tiempo en alcanzar sucesivamente los puntos m´as alejados. Las ondas, que denominamos mec´ anicas, se propagan a trav´es de alg´ un medio material el´astico, como el aire, el agua o una cuerda. Son ejemplos de ellas las olas, las ondas en cuerdas y las ondas sonoras. Las ondas mec´ anicas se clasifican de acuerdo a la direcci´on de oscilaci´on de las part´ıculas del medio respecto de la direcci´ on de propagaci´ on de la onda en: transversales, longitudinales y de superficie. Ondas transversales: la direcci´ on de propagaci´on es perpendicular Ondas Transversales a la direcci´on de oscilaci´ on de las part´ıculas del medio perturbado. Las ondas en cuerdas son ejemplo de ondas transversales. Ondas longitudinales: la direcci´ on de propagaci´on es paralela a la direcci´on de oscilaci´ on de las part´ıculas del medio perturbado. Las onOndas Longitudinales das producidas en resortes por compresiones y expansiones son ejemplo de ondas longitudinales. Ondas superficiales: las part´ıculas oscilan tanto paralela como perpendicularmente a la direcci´ on de propagaci´ on de la onda. Las ondas Movimiento de la onda en l´ıquidos, como las olas, son ejemplo de ondas superficiales.

2.

Funci´ on de Onda

Considera un pulso transversal que propaga por una cuerda. La Movimiento de las partículas funci´on y (x, t) que describe el desplazamiento de un elemento de cuerFigura 2: Ondas longitudinal (arrida en cualquier instante y cualquier posici´ on tiene la forma: ba), transversal (medio) y de superficie (abajo).

y (x, t) = f (x − vp t) si la propagaci´ on del pulso es en la direcci´on de x.

y (x, t) = f (x + vp t) si la propagaci´ on del pulso es en la direcci´on opuesta de x.

La funci´on y (x, t) es denominada funci´ on de onda. Ejemplo: Considera la siguiente funci´ on en t = 0: y (x, 0) = Ae−Bx

2

donde A y B son constantes positivas. Bosqueja la gr´ afica de esta funci´ on, para ello construye una tabla de al menos 5 valores (positivos y negativos) de x:

3

Escribe la funci´ on de onda y (x, t) para t > 0. Explica y haz un bosquejo.

...................................................................................................... ......................................................................................................

Antes de continuar, pide a tu profesor que revise tus respuestas.

3.

Ecuaciones diferenciales de onda

Considera nuevamente una funci´ on de onda gen´erica y (x, t). Dado que es una funci´on de dos variables, x y t (vp es una constante positiva), buscaremos una ecuaci´on que relacione las derivadas parciales de la funci´on de onda respecto a la posici´ on y respecto al tiempo. Estas ecuaciones nos permitir´an identificar cuando estamos en presencia de una onda y obtener una expresi´on para la rapidez de propagaci´on. Consideremos el siguiente cambio de variable:  y = f (u) y = f (x − vp t) → u (x, t) = x − vp t Donde la funci´ on f (u) es una funci´ on gen´erica de la variable u. Usando la regla de la cadena, se obtenienen las derivadas de la funci´on de onda y (u) respecto de x y de t: ∂y df ∂u = = f0 ∂t du ∂x ∂y df ∂u = = ±vp f 0 ∂x du ∂t Reemplazando f 0 se obtiene la ecuaci´ on: ∂y (x, t) 1 ∂y (x, t) =± ∂x vp ∂t Donde:

(1)

4

3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ONDA

∂y : corresponde a la velocidad transversal del elemento de cuerda y ∂t ∂y : corresponde a la pendiente de la cuerda en la posici´on del elemento de cuerda ∂x Por lo que la ecuaci´ on 1 relaciona la pendiente de la cuerda en la posici´ on del elemento de cuerda con la velocidad transversal de dicho elemento de cuerda. Como se observa no es la misma ecuaci´on dependiendo si viajan en direcci´ on del eje x o en direcci´ on contraria, difieren por el signo. Por lo que esta ecuaci´ on NO describe la propagaci´ on de cualquier pulso, requiere que se informe si el pulso se propaga en direcci´ on del eje x o en direcci´on contraria. En lo que sigue, nos interesa una ecuaci´ on diferencial a derivadas parciales que describa la propagaci´ on de cualquier pulso para cualquier observador. Usando nuevamente la regla de la cadena, se puede verficar que se cumple la ecuaci´ on diferencial parcial de segundo orden: ∂2y 1 ∂2y = ∂x2 vp2 ∂t2

(2)

Donde:   ∂2y ∂ ∂y = : corresponde a la raz´ on de cambio de la pendiente del elemento de cuerda repecto de ∂x2 ∂x ∂x la posici´on a lo largo de la cuerda, es decir, la curvatura de la cuerda   ∂2y ∂ ∂y = : corresponde a la raz´ on de cambio de la velocidad transversal del elemento de cuerda, ∂t2 ∂t ∂t es decir, la aceleraci´ on del elemento de cuerda. Por lo que la ecuaci´ on 2 relaciona la aceleraci´ on de un elemento de la cuerda con la curvatura de la cuerda en la posici´ on de dicho elemento de cuerda. Esta ecuaci´on 2 es v´ alida para todas las ondas y por lo tanto nos permite redefinir una onda matem´ aticamente como una soluci´ on de esta ecuaci´ on de onda.

3.1.

Onda en una cuerda

Consideremos una cuerda el´ astica, sometida a una u ´nica fuerza: la tensi´on (T ).

y T' Δl

θ'

θ T x Si dibujamos el DCL y aplicamos las leyes de Newton se obtiene: Eje x:
ΣFx = 0 → T cos (θ) − T 0 cos θ0 = 0

(ax = 0)

5 Si asumimos aproximaci´ on de ´ angulo peque˜ no: θ0 , θ << 1
cos θ0 ≈ cos (θ) ≈ 1 Se obtiene que se debe cumplir que: T ≈ T0 Eje y: ΣFy = m ay = m

∂2y ∂t2

ΣFy = F sin (θ) − sin θ0





≈ F (θ (x + dx) − θ (x)) ≈ F

∂θ dx ∂x

Igualando: F

∂θ ∂2y dx = m 2 ∂x ∂t

Introduciendo la densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud): µ=

dm dx

obtenemos:

∂θ ∂2y =µ 2 ∂x ∂t Por otra parte usando la aproximaci´ on de ´angulo peque˜ no: F

θ ≈ tan (θ) =

∂y ∂x

obtenemos: ∂2y µ ∂2y = ∂x2 F ∂t2 Comparando con la ecuaci´ on de onda general: ∂2y 1 ∂2y = ∂x2 vp2 ∂t2 se deduce que la rapidez de propagaci´ on est´a dada por: s F vp = µ

4.

Ondas arm´ onicas

Se denominan ondas arm´ onicas a aquellas producidas por perturbaciones peri´odicas producidas en un medio el´astico por un movimiento arm´ onico simple. Un movimiento arm´onico simple es un movimiento peri´odico que queda descrito por una funci´ on arm´onica, esto es, una funci´on sinusoidal. Existe una serie de magnitudes que caracterizan las ondas arm´ onicas transversales y las ondas arm´onicas longitudinales. Consideremos la producci´ on de una onda peri´odica transversal en una cuerda tensa. Cada elemento de cuerda oscilar´a arm´ onicamente en direcci´ on vertical. Si las vibraciones que aplicamos al extremo de la cuerda se suceden de forma continuada se forma un tren de ondas que se propagar´a a lo largo de la cuerda. Se denomina elongaci´ on a la distancia comprendida entre la posici´on de equilibrio de un elemento de cuerda y la posici´on en que se encuentra en un instante determinado. La m´axima elongaci´on es denominada amplitud de la onda (A o ym´ax ). Las unidades de elongaci´on y amplitud en el sistema internacional de medidas (SI) es el metro.

6

4

´ ONDAS ARMONICAS

Se denomina ciclo de una onda a una oscilaci´on completa de un Cresta  elemento del medio por el que se propaga una onda, y frecuencia (f ) al n´ umero de ciclos que pasan por un punto del medio por unidad A de tiempo, o tambi´en, como el n´ umero de oscilaciones que efect´ ua un elemento del medio por unidad de tiempo. Su unidad en el SI es el  A hertz [Hz], y equivale a [s−1 ]. Se denomina per´ıodo (T ) al tiempo que emplea un elemento del  medio afectado por la perturbaci´ on, en efectuar una oscilaci´on comValle pleta. Figura 3: Elementos de una onda Se denomina longitud de onda (λ) a la m´ınima distancia entre arm´onica. dos elementos consecutivos del medio que se encuentran en el mismo estado de vibraci´on. Su unidad en el SI es el metro. Una onda se propaga una distancia igual a una longitud de onda en un intervalo de tiempo igual a un per´ıodo. Las ondas transversales tienen crestas y valles. La cresta es el punto que ocupa la posici´on m´as alta en una onda y el valle es el punto m´ as bajo de la onda. El punto del medio material que no tiene desplazamiento vertical, es decir, cuya elongaci´ on es cero, se denomina nodo.

4.1.

Funci´ on de onda arm´ onica

Supongamos una onda arm´ onica unidimensional que se propaga en una cuerda en direcci´on del eje x, como consecuencia de cierta perturbaci´ on peri´odica producida en un punto O. La expresi´on matem´ atica que describe el estado de vibraci´on de cada part´ıcula de la cuerda en un instante t = 0 est´a dada por: y (x, 0) = ym´ax sin (kx)

(3)

Donde ym´ax representa la amplitud de la onda. Dado que el argumento de la funci´ on seno corresponde a un ´angulo en radianes, k debe tener dimensiones de longitud−1 . Si comparamos la funci´ on de onda de la cuerda y y (x, 0) en el instante t = 0 mostrada en la gr´afica λ A siguiente, con la de la funci´ on sin θ podemos enconxA trar una expresi´on que entre relacione cada valor de x x con un valor angular θ, por ejemplo xA con θA . Pa−A ra ello basta hacer una proporci´ on con los periodos espacial de la onda y el de la funci´ on seno: f (θ) sin θ 2π θA xA 1 = 2π λ θA θ

De aqu´ı se obtiene que: θ=

−1

2π x λ

Y con ello una relaci´ on entre desfase y diferencia de camino: ∆θ =

2π ∆x λ

El resultado anterior nos permite encontrar una expresi´on para la constante k, denominada n´ umero de onda: 2π k= λ

7 Si considera que la onda arm´ onica se propaga en la direcci´on positiva del eje x a una rapidez vp > 0, la funci´on de onda para cualquier instante est´ a dada por: y (x, t) = ym´ax sin (k (x − vp t)) = ym´ax sin (kx − ωt) −1 el producto kvp = 2π λ vp ≡ ω tiene dimensiones de tiempo , es denominado frecuencia angular. Puede ocurrir que el valor de la elongaci´ on del elemento del medio ubicado en x = 0 en el instante t = 0 no sea cero (y (0, 0) 6= 0). Por lo que al argumento kx − ωt debemos sumarle una constante ϕ0 denominada fase inicial : y (x, t) = ym´ax sin (kx − ωt + ϕ0 ) (4)

El argumento de la funci´ on seno corresponde a un ´angulo, denominado ´ angulo de fase (ϕ) o fase de la onda: ϕ = kx − ωt + ϕ0 (5) La funci´on de onda arm´ onica es doblemente peri´odica, ya que se trata de una funci´on de dos variables; el valor y (x, t) de la perturbaci´ on depende tanto del tiempo t como de la posici´on x en el medio de propagaci´ on.

y

Período temporal

Para un x fijo

y

Período espacial

Para un t fijo

l

T A

A

t

x

Figura 4: Doble periodicidad de la funci´ on de onda, a la izquierda se muestra la gr´afica de la elongaci´on para un x fijo y a la derecha la gr´ afica de la elongaci´ on para un t fijo. Los per´ıodos son dos, el espacial (λ) y el temporal (T ) respectivamente.

Si fijamos el tiempo, esto es como tomar una fotograf´ıa, la curva que se observa representa y en funci´ on de x para ese instante t dado. El valor de y se repite peri´odicamente para intervalos de x iguales a la longitud de onda λ. Por lo que, para t fijo, la elongaci´on y se repite de forma peri´odica para las posiciones x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ, etc. As´ı, las part´ıculas separadas por un n´ umero entero de longitudes de onda est´ an en el mismo estado de vibraci´ on, y se dice que est´ an en fase. Las part´ıculas que se encuentran separadas por un
λ 3λ n´ umero impar de medias longitudes de onda x, x + 2 , x + 2 , . . . se dice que est´an en oposici´ on de fase. Por otra parte, para un valor constante de x, es decir, nos fijamos en un u ´nica part´ıcula del medio, esto es como ver un v´ıdeo de esta part´ıcula. El valor de y se repite peri´odicamente para intervalos de t iguales al per´ıodo de la onda T . Por lo que, para x fijo, la elongaci´on y se repite de forma peri´odica para los instantes t, t + T, t + 2T, t + 3T , etc. As´ı, las part´ıculas separadas por un n´ umero entero de per´ıodos est´an en fase.
Las part´ıculas que se encuentran separadas por un n´ umero impar de semiper´ıodos t, t + T2 , t + 3T 2 , ... est´an en oposici´ on de fase.

5.

Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos

Una onda viajera transversal se propaga por una cuerda muy larga. En el instante t, la forma de la cuerda puede describirse como: y (x, t) = y0 sin (kx − ωt) Donde “y” es la altura de un punto de la cuerda respecto del nivel de equilibrio, “x” es la posici´ on a lo largo de la cuerda. “y0 ”, “k” y “ω” son constantes reales positivas.

8

5

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA CON EXTREMOS FIJOS

Supongamos que en x = L la cuerda tiene un extremo fijo P. La funci´on de onda de la onda reflejada en el extremo P est´a dada por: y (x, 0) = y0 sin (kx + ωt) Dado que ahora hay dos ondas que viajan por el mismo medio (la cuerda), se cumple el principio de superposici´on: la onda resultante es la suma algebraica de estas ondas: yr = y1 + y2 = A [sin(kx − ωt) + sin(kx + ωt)] = 2A sin(kx) cos(ωt)

(6)

La expresi´on obtenida en 6, NO tiene la forma f (x ± vp t) que es la funci´on de onda para una onda viajera. Si graficamos la funci´ on de la onda resultante en los instantes t = 0, Antinodo t=0 Nodo Nodo T /8, T /4, 3T /8, T /2 (figura 5) observamos que los elementos de cuer- Nodo da oscilan con la misma frecuencia, pero con amplitud de oscilaci´on L diferente, existiendo puntos que no vibran (nodos), y que permanecen inm´oviles, es decir, son estacionarios, mientras que otros (vientres o Antinodo antinodos) lo hacen con una amplitud de vibraci´on m´axima, igual al doble de la de las ondas superpuestas, y con una energ´ıa m´axima. Este Antinodo Nodo Nodo tipo de onda es denominada onda estacionaria, debido a la inmovili- Nodo dad de los nodos. L Se producen ondas estacionarias por ejemplo cuando un medio es Antinodo limitado, como un tubo o una cuerda, se ve afectado por un movimiento ondulatorio; las ondas estacionarias son provocadas por las Antinodo Nodo Nodo reflexiones que este movimiento experimenta en los extremos del meNodo dio. L La amplitud de la oscilaci´ on depende de la posici´on a lo largo de la cuerda. La amplitud resultante Ar corresponde al t´ermino 2A sin(kx). Antinodo Por tanto, la funci´ on de onda para la estacionaria toma la forma siT guiente: t= 4 yr = 2A sin(kx) cos(ωt) = Ar cos(ωt) Nodo Por lo que la onda estacionaria es arm´ onica de igual frecuencia L que las componentes y su amplitud Ar , var´ıa sinusoidalmente con a lo largo de la cuerda (direcci´ on x) y es independiente del tiempo, es decir, donde Ar = 0 (para cualquier valor de t), habr´a un nodo. Antinodo Nodo Nodo Debido a que los nodos se encuentran siempre en reposo, la onda Nodo estacionaria parece permanecer fija sobre la direcci´on de propagaci´on L por lo que no se propaga y por lo tanto, la onda estacionaria no transAntinodo porta energ´ıa. Los vientres o antinodos de la onda estacionaria est´an separados Antinodo por distancias iguales a λ/2, aunque se debe recordar que las longituNodo Nodo des de onda est´an asociadas a las ondas viajeras arm´onicas. Los nodos Nodo de la onda estacionaria se encuentran a distancias iguales a un n´ umero L impar de cuartos de longitud de onda. Antinodo Los extremos de la cuerda, de abscisas 0 y L, deben ser nodos, ya T que estos puntos est´ an fijos en los extremos. Antinodo t = 2 Para determinar las frecuencias de cada uno de los modos normales Nodo Nodo Nodo de vibraci´on, debemos tener en cuenta que en toda onda estacionaria L la distancia entre nodos consecutivos vale λ2 . Por lo tanto, la formaci´on de ´esta requiere que la longitud de la cuerda sea igual a un n´ umero Antinodo entero de semilongitudes de onda: Figura 5: Im´agenes de distintos instanλ L=n tes de oscilaci´on de una onda estaciona2 ria en una cuerda.

9 De aqu´ı tenemos: 2L n Evaluando los distintos valores de n obtenemos: λn =

n = 1, 2, 3...

λ1 = 2L λ2 = L 2L λ3 = 3 .. . Cada modo normal tiene asociada una frecuencia que est´ a cuantizada, es decir, es un n´ umero entero de la frecuencia del modo fundamental: fn =

vp vp =n λn 2L

n = 1, 2, 3

Evaluando los distintos valores de n y sabiendo que vp = la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda, obtenemos: s F 1 f1 = 2L µ s 1 F f2 = L µ s 3 F f3 = 2L µ .. .

q

F µ

donde F es la magnitud de la tensi´ on de

La frecuencia menor se denomina frecuencia fundamental o primer arm´ onico; la siguiente, segundo arm´onico; y as´ı, sucesivamente, constituyendo una serie arm´onica.

6.

Pulsaciones

Una situaci´on de especial inter´es se produce cuando en un punto se superponen dos ondas de frecuencias levemente distintas. F1(x) En la figura 6 se muestran dos ondas de la misma amplitud y distinta frecuencia y la onda resultante obtenida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sumando las oscilaciones componentes. La consecuencia es 0 x que la amplitud de la onda resultante en ese punto, var´ıa F2(x) peri´odicamente con el tiempo, pasando sucesivamente por 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valores m´aximos y m´ınimos. Estas variaciones peri´odicas 0 x que experimenta la amplitud reciben el nombre de pulsaF1(x)+F2(x) ciones. Se denomina pulsaciones a las variaciones peri´odicas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 de la amplitud de la onda producida por la superposici´on 0 de dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes. La frecuencia con la que un punto dado se convierte Figura 6: Superposici´on de dos ondas de frecuencias en nodo se denomina frecuencia de pulsaci´ on. levemente distintas.

10

7

´ DE FOURIER DESCOMPOSICION

Este fen´omeno sucede, por ejemplo, haciendo vibrar a la vez dos diapasones o dos cuerdas de guitarra que produzcan frecuencias muy poco diferentes: percibimos un sonido semejante al producido por cada onda individual pero con altibajos peri´ odicos en la intensidad del sonido. Las pulsaciones se perciben como una intensificaci´on de la sensaci´ on sonora cada vez que se produce un m´aximo en la onda resultante, ya que la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. La amplitud de la onda resultante var´ıa sinusoidalmente con el tiempo. Se dice que tiene la amplitud modulada y es el principio en que est´ an basadas las emisiones radiof´onicas AM. La frecuencia de la onda resultante es igual al promedio de ambas. La frecuencia de la pulsaci´ on, es decir, el n´ umero de pulsaciones por segundo, es igual a la diferencia de las frecuencias de las dos ondas que se superponen.

7.

Descomposici´ on de Fourier

Hemos visto que la superposici´ on de ondas producen nuevas ondas, ¿ser´a posible que una onda cualquiera pueda descomponerse en otras ondas? Sea una f (x) funci´ on periodica cualquiera con per´ıodo λ (f (x) = f (x + λ)), ´esta puede escribirse como una suma de funciones sinusoidales: ∞ X 1 f (x) = A0 + (Am cos (km x) + Bm sin (km x)) 2

(7)

m=1

Donde: 2π m λ a+λ Z 2 = f (x) cos (km x) dx λ

km =

(8)

Am

(9)

Bm =

2 λ

a a+λ Z

f (x) sin (km x) dx

(10)

a

La expresi´on 7 puede ser escrita en notaci´on exponencial: f (x) =

∞ X

Cm exp (ikm x)

(11)

m=1

Los coeficientes Cm , en general complejos, est´an dados por: Cm

2 = λ

a+λ Z

f (x) exp (ikx) dx

(12)

a

El teorema de Fourier afirma que toda onda compleja peri´odica se puede representar como la suma de ondas arm´onicas. Esto es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja peri´odica mediante la suma sucesiva de ondas arm´ onicas.

11 Ejemplo: Consideremos la funci´ on periodica “diente de sierra” (Figura 7). Si realizamos la descomposici´ on de Fourier y sumamos los 5, 20 y 50 primeros t´erminos y graficamos dichas sumas, se obtiene lo mostrado en la figura 8.

Figura 7: Funci´on diente de sierra

Figura 8: Suma de n primeros t´erminos de Fourier con n = 5, n = 20 y n = 50.

¿Y si la funci´on no es peri´odica? Si la funci´on f (x) es no peri´ odica, la descomposici´on de Fourier se puede generalizar considerando la funci´on como si tuviera periodo infinito: λ → ∞: 1 f (x) = 2π

Z∞ F (k) exp (ikx) dk

(13)

−∞

Esta generalizaci´ on es denominada transformada de Fourier. Los coeficientes (amplitudes) ahora forman una funci´on continua: Z∞ F (k) = f (x) exp (ikx) dx (14) −∞

12

7

´ DE FOURIER DESCOMPOSICION

Ejemplo: Supongamos un pulso rectangular (figura 9) de altura f0 y ancho L.

Figura 9: Pulso rectangular altura f0 y ancho L.

El espectro de Fourier es: Z∞ F (k) =

f (x) exp (ikx) dx = f0 L −∞

sin k L2




k L2

(15)

Figura 10: Espectro de Fourier del pulso rectangular de altura f0 y ancho L.

Comparando el ancho del pulso original y de su transformada de Fourier: ∆x = L 4π ∆k = L Se obtiene la siguiente relaci´ on: ∆x∆k = 4π

(16)

¡Los anchos no son independientes! Si el pulso se propaga con rapidez vp , se puede reescribir la relaci´on 16: ∆x∆k = vp ∆t∆k = vp ∆t

∆ω = 4π vp

Por lo que: ∆ω∆t = 4π

(17)

13

8.

Polarizaci´ on de ondas

Cuando las part´ıculas del medio pueden oscilar en dos direcPolarización vertical ciones independientes entre si, se requiere especificar en cu´al de Polarización horizontal estas direcciones oscilan dichas part´ıculas. A cada direcci´on independiente en que pueden oscilar las part´ıculas, se le denomina polarizaci´ on. Dado que en las ondas longitudinales solo existe una u ´nica direcci´on independiente de oscilaci´on (la de propagaci´on), no se requiere especificar la direcci´ on de polarizaci´on, sin embargo, dado que en el caso de ondas transversales existen dos posibles direcciones independientes de oscilaci´on, se debe especificar la direcci´ on de polarizaci´ on. Figura 11: Las dos posibles direcciones indeCuando la direcci´ on de oscilaci´ on de las part´ıculas es u ´nica y pendientes de oscilaci´on de las part´ıculas de se mantiene fija se dice que la onda tiene polarizaci´ on lineal . Un una cuerda definen dos posibles polarizacioejemplo de onda polarizada linealmente es la que producimos nes. cuando se sacude arriba y abajo el extremo libre de una cuerda fija en el otro extremo, ya que todos sus puntos oscilan siempre en la direcci´ on vertical. Se denomina plano de polarizaci´ on al formado por la direcci´on de oscilaci´on y de propagaci´on. Si elegimos el eje x en la direcci´ on de propagaci´ on y el eje y en la direcci´on de oscilaci´on, entonces el plano de polarizaci´ on es el plano XY.

9.

Ondas planas, circulares y esf´ ericas

En una cuerda o en un resorte las ondas pueden propagarse en una direcci´on, sin embargo, si la perturbaci´on ocurre en un medio extenso, como un l´ıquido, un gas o un s´olido, las ondas pueden propagarse por la superficie o en todas direcciones. De esta forma existen ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Da un ejemplo de ondas bidimensionales y tridimensionales. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Cuando el medio es homog´eneo e is´ otropo las ondas se propagan con la misma rapidez en todas direcciones, por lo que las ondas bidimensionales son circulares y las tridimensionales son esf´ericas. Las ondas circulares se propagan en direcci´ on radial desde el punto donde se originan las perturbaciones, de modo que todos los elementos del medio que se encuentran en la misma circunferencia oscilan en fase. Similarmente ocurre con las ondas esf´ericas: todos los puntos que oscilan en fase se encuentran sobre una superficie esf´erica. Introduciremos los siguientes conceptos: Frente de onda: Es la superficie imaginaria constituida por todos los elementos del medio que en un instante dado tienen la misma fase. Dos frentes de onda que est´ an alejados entre s´ı una distancia igual a la longitud de onda, est´ an en fases equivalentes, es decir, los elementos del medio se hallan en el mismo estado de vibraci´on. En el caso de ondas esf´ericas, un foco emisor producir´a un frente de onda esf´erico con centro en dicho foco.

Superficies de onda esféricas

Rayos

Lugar de perturbación

Superficies de onda plana Rayos

Rayos: Son las rectas que indican la direcci´on de propagaci´on del movimiento ondulatorio. Estas rectas son normales a los frentes de onda Figura 12: Representaci´ on de raen cada uno de sus puntos. yos para la propagaci´ on y de frentes de onda.

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10

´ Y ABSORCION ´ DE LAS ONDAS ATENUACION

Un observador muy lejano al un foco emisor de ondas esf´ericas ve rayos paralelos y frentes de onda planos. Se define intensidad (I) de una onda, a la energ´ıa que atraviesa por unidad de tiempo una superficie unitaria perpendicular a la direcci´ on de propagaci´on de la onda. Sup´on que no hay p´erdida de energ´ıa durante la propagaci´on de la onda. Si en un instante t1 la energ´ıa se reparte en una esfera de radio r1 y en un instante posterior t2 la energ´ıa se reparte en una esfera de radio r2 , la relaci´ on entre las intensidades est´a dada por: I1 = I2

P 4πr12 P 4πr22

=

r22 r12

(18)

La intensidad decrecre con el inverso cuadrado de la distancia a la fuente.

10.

Atenuaci´ on y absorci´ on de las ondas

A medida que se aleja del foco emisor, la energ´ıa propagada se distribuye en la superficie del frente de onda y el n´ umero de part´ıculas en vibraci´ on aumenta, por lo que la energ´ıa que alcanza a cada part´ıcula es menor y, en consecuencia, vibran con menos energ´ıa. Este fen´ omeno recibe el nombre de atenuaci´ on de la onda. Por otra parte, el roce de las part´ıculas del medio produce absorci´ on de energ´ıa, cuya magnitud depende de la naturaleza del medio de propagaci´ on de la onda. Si la absorci´on de energ´ıa es lo suficientemente grande, puede producir a la anulaci´on de la onda. Debido a la p´erdida de energ´ıa, la intensidad de una onda Figura 13: Atenuaci´on de una onda viajera con en funci´on de la distancia que recorre. decrece exponencialmente con la distancia al foco emisor: I (r) = I0 e−αr

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donde I (r) es la intensidad de la onda a la distancia r del foco emisor, I0 es la Intensidad inicial y α es el coeficiente de absorci´ on del medio.