Resumenes De Los Algoritmos Para El Tercer Parcial Del Curso Ma-2115

RESUMENES DE LOS ALGORITMOS.

1.1.- REDUCCIONES DE ÓRDENES.

Caso (1):  ( )  (, ,   ) DEPENDE DE SOLO VARIABLE INDEPENDIENTE. # # #$  & '  () ( )*+(,-./01 #01 2(3(1.   ( ) % # # #

Caso (2): (2) (,   )  (, ,   ) DEPENDE DE DERIVADA DE “y” Y VARIABLE INDEPENDIENTE.

CAMBIO DE VARIBLE: 9  :<  = :;

Caso (3):  (,   )  (, ,   ) NO DEPENDE DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE.

CAMBIO DE VARIBLE: 9  :<  = :;

2.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1. .- Ecuación diferencial de orden 1:

:; :<

 J( ) K L()

P ,P (+) Q ( ) .- Sistema.   O S y ,   O Q S R ,R (+) #P .PP (+) V #+ Y # U #$ X . (+)  U #+ X  Z $P Q #+ U Q X .RP (+) #R T #+ W

.P$ (+) [ Q [

El sistema se reescribe de la forma

:; :<

P [ .PR (+) ,P (+) $ [ .$R (+) , (+) \ . ] Q ^ K L (+ )  ] $ ^ Q Q Q R ,R (+) [ .RR (+)

 `(a) .  K L(+)

DEFINICIONES:

#  `(a)  bSISTEMA HOMOGENEO La  0e #+ #  `a  K La fSISTEMA NO HOMOGENEOg #+

TEOREMA: La solución general del sistema no homogéneo es la suma de la solución del sistema general homogéneo mas la solución particular no homogéneo.

TEOREMA: Si lP  l$ son soluciones del sistema homogéneo entonces, cualquier combinación lineal de estas también es solución del sistema.

TEOREMA: Las siguientes proposiciones son equivalentes entre si.

1.- o P …  R q es un conjunto linealmente

stuvwvtuxvtyv zvwvtuxvtyv

2.- o P + …  R +q {+ es un conjunto linealmente

stuvwvtuxvtyv zvwvtuxvtyv

3.- Existe un +} tal que o P +}  …  R +} q es un conjunto linealmente

stuvwvtuxvtyv zvwvtuxvtyv

DEFICION: Se llama “matriz fundamental” del sistema diferencial a la matriz formada lP 

l$ 

l€ … lR  …  ‚ …

CASO: LA MATRIZ „… ES DE COEFICIENTES CONSTANTES.

LAS SOLUCIONES VIENE DE LA FORMA lP  (

†a

‡P .O Q S ‡R

.- Donde ˆ+ es el autovalor asociado a la matriz `+

‡P .- y O Q S es el autovector de la matriz `+ asociado al autovalor ˆ+ ‡R

CASOS (1).(1).- A tiene “n” autovalores LI con “n” autovectores. Las soluciones vienen dadas de la forma. l P (+)  ‰P ( Š‹ a

l $ (+)  ‰ $ ( ŠŒa … … … … … l R (+)  ‰ R ( Š a

Son “n” soluciones LI del sistema HOMOGENEO.

3P l P (+) K 3$ l $ (+) K [ K 3R l R (+)

SOLUCION GENERAL:

CASOS (2). A no tiene “n” autovalores LI Ž A tiene autovalores de Multiplicidad Algebraica  Multiplicidad Geométrica. Se determina las soluciones restantes por medio del siguiente método. Caso particular de una segunda solución.

Si l ‘P es solución del sistema entonces se cumple que ’9 K “ (1 K ’+)  `9 K +`“

Para + }

+P

’9 K “  `9 ’“  `“

V es autovector de A asociado a λ

De este sistema se determina u y V de manera que la segunda solución viene dado por: l ‘P  (9 K +“ )( Ša

9, “•– R

Análogamente se tiene.

l ‘$  (9 K +“ K + $ ˜ )( Ša

…

9, “, ˜•– R

l ™  (9 K +“ K + $ ˜ K + € š K [ K + ™ ›)( Ša

9, “, ˜, š, … , ›•– R

Si tiene duda de cómo determinar los vectores incógnitas œ, , ž, Ÿ, … ,  ¡¢£ lo único que debe hacer es suponer que es solución del sistema homogéneo

¨, ©, ª, … , «

¥¦ ¥§

 „(§)¦ y evalué para § 

CASOS (3): A tiene autovalores COMPLEJOS.

Recuerde que estos valores SIEMPRE vienen en parejas y de la forma ’  . K )­ Resumen para determinar las soluciones.

(1) ¯(.* °01 .9+02.°0-(1 ’P  . K )­  ’$  . ± )­ º ® (2)²13-)­)/01 °.1 10°93)0*(1 f³œ§´µ¶·§´¸g¶f³œ§´µ³¹´¸g§

En la exponencial separamos las potencias y recordamos la ecuación de Euler Entonces sea.

¶»¼  ½¾¿(¼) K » ¿ÀÁ(¼)

( (‘ÃÄ)a  ( Âa (cos(­+) K ) sin(­+))  ( (ÂÅÃÄ)a  ( Âa (cos(­+) ± ) sin(­+))

Se tiene que:

lÆ (+)  (. K )­)( (ǑÃÈ)a  ( Ça (. K )­)(cos(É+) K ) sin(É+)) lÊÆ (+)  (. ± )­)( (ÇÅÃÈ)a  ( Ça (. ± )­)(cos(É+) ± ) sin(É+))

Entonces las soluciones que se obtiene de las raíces complejas serán las combinaciones lineales apropiadas para que sean: l P (+)  lÆ (+) K lÊÆ (+)  2( Ça (. cos(É+) ± ­ sin(É+)) PARTE REAL

l $ (+)  lÆ (+) ± lÊÆ (+)  2( Ça (. sin(É+) K ­ cos(É+)) PARTE IMAGINARIA

SON LAS SOLUCION LI DEL SISTEMA DADO.

SOLUCIONES PARTICULAR A CASO DE SISTEMAS NO HOMOGENEOS. #  `(a)  K L(a) #+

Debemos buscar una solución 9(+) tal que sea solución del sistema no homogéneo. Por lo cual se tiene que se cumple

l (+ ).

#9(+)  L (+) #+

De esto se determina 9 (+) siguiendo los siguientes pasos.

i.i.- Se despeja 9  (+) de (1)

(1)

Ya sea i.i.i.i.- Calcular l ÅP (+) % 9 (+)  l ÅP (+). L(+)

i.ii.i.ii.- Hacer eliminación Gauss Jordan con incógnita 9 (+) y se despeja.

ii.ii.-Integrar y Obtener 9(+)

iii.iii.- Se calcula X(+). 9(+) la cual vendrá ser la solución particular del sistema no homogéneo.

OJO TENGA PRESENTE QUE l(+)ES LA MATRIZ FUNDAMENTAL DEL SISTEMA, SU DEFINICION ESTA PRESENTE EN ESTA GUIA.

ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN N LINEAL.

ÎR     R K .RÅP  RÅP K .RÅ$  RÅ$ K [ K .P   K .}   L+

Resolución de ecuación diferencia de orden “n” HOMOGENEAS. ÎR     0

Se determina la ECUACION CARACTERISTICA. CARACTERISTICA

–R K .RÅP –RÅP K .RÅ$ –RÅ$ K [ K .P – K .}  0

Se determina las raíces y las soluciones de la ecuación vienen de la forma Solución general será

l P +  ( ϋa … … l R +  ( ύa ÐP l P + … … ÐR l R +

CASO CASO 1: La Ecuación Característica EC tiene “n” soluciones reales diferentes.

Entonces las soluciones vienen de la forma o( ϋa , ( όa , ( ÏÑa , … , ( ύa q son n soluciones Linealmente independientes. SOLUCION GENERAL ÐP ›P K Ð$ › $ K Ѐ › € … K ÐR › R

CASO 2: EC tiene una raíz real con multiplicidad “m”

Entonces las soluciones se forman de la manera

›P  ( ϋa ; › $  +( ϋ a ; › €  + $ ( ϋa ; … ; › ™  + ™ ( ϋa

Soluciones asociadas a la raíz –P y son LI.

CASO 3: 3: EC tiene “n” raíces COMPLEJAS.

Se procede a determinar las raíces complejas que vienen en pares ’P,$  Ó Ô )É

Por lo cual las soluciones de la ecuación vienen de la forma Ê  ( (ǑÃÈ)a

 Õ  ( (ÇÅÃÈ)a

Entonces se tendrá que las soluciones particulares a esta ecuación surgen de la combinación lineal. Ê K Õ  ( Ça cos(É+) PARTE REAL 2 º Ö Ê ± Õ  ( Ça sinÉ+ PARTE IMAGINARIA 2

CASO 4: EC tiene raíces COMPLEJAS con multiplicidad mayor a 1

Sea la raíz ’P,$  Ó Ô )É con potencia “m”

Las soluciones vienen de la siguiente forma. Ê  ( ǑÃÈa

ÊÕ  +( ǑÃÈa

 Õ  ( ÇÅÃÈa

 Ø  +( ÇÅÃÈa

………….

ÊÙ  + ™ÅP ( ǑÃÈa

 Ú  + ™ÅP ( ÇÅÃÈa

Por lo cual las soluciones particulares surgen de la combinación lineal. Ê K Õ  ( Ça cos É+ 2 º Ö Ê ± Õ Ça  ( sin É+ 2

ÊÕ K Ø  +( Ça cos É+ 2 º Ü ÊÕ ± Ø Ça Û 2  +( sin É+ Ý

………

ÊÙ K Ú  + ™ÅP ( Ça cos É+ 2 º Ê Ü Ù ± Ú ™ÅP Ça ( sin É+ Û 2 + Ý

METODO DE COEFICIENTE INDETERMINADOS.

Lo que persigue este método es determinar la solución particular del sistema NO HOMOGENEO de las ecuaciones diferenciales lineales de orden “n”.

EN ESTE METODO HAY QUE ESTAR PENDIENTE DE CÓMO ESTA FORMADO EL TERMINO FORZANTE L+.

CASO 1: El termino forzante está formado por combinación lineal CL de exponencial y polinomio. L +  ( Ça . +  K .ÅP + ÅP K [ K .P + K .} 

Caso 1.1 SI α ES RAIZ DEL POLINOMIO CARACTERISITICO PC.

Entonces la solución particular vendrá de la forma

  + ™ ( Ça ­ +  K [ K ­ß 

Caso 1.2. SI α NO ES RAIZ DEL PC.

En este caso la solución viene de la forma

  ( Ça ­ +  K [ K ­ß 

CASO 2 El termino forzante está formado por combinación lineal de exponencial polinomio y senos o cosenos. L +  ( Ça . +  K .ÅP + ÅP K [ K .P + K .} sin É+

L +  ( Ça . +  K .ÅP + ÅP K [ K .P + K .} cos É+

Casos 2.1 .- Si Ó K )É es raíz característica del sistema

Entonces la solución viene de la forma.

  + ™ ( Ça ­ +  K [ K ­} sinÉ+ K + ™ ( Ça 3 +  K [ K 3} cos É+

Caso 2.2 .- Si Ó K )É NO es raíz característica del sistema

En este caso las soluciones son.

  ( Ça ­ +  K [ K ­} sinÉ+ K ( Ça 3 +  K [ K 3} cos É+

NOTA IMPORTANTE: Se debe despejar los valores de b y c. Sustituya la solución en la ecuación diferencial y despeje del sistema que queda.

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS.

Si se realiza un cambio de variable a la ecuación de orden “n”  l  à = … á RÅP 

Queda que: ÎR +  ,+ transformado a l   `+l K L+

Queremos entonces es buscar una solución particular lâ de l   `+l K L+ y asi tendremos una solución lâ P la cual será solución particular de ÎR +  ,+. La solución lâ  l +. ã+ donde l+ es la MATRIZ FUNDAMENTAL. FUNDAMENTAL Y ã+ viene de: l +. ã  +  L+

Es un proceso análogo al de los sistemas de ecuaciones debido a que el cambio de variable transforma la ecuación lineal a un sistema. Pero ojo en este caso 0 0 á L +   à … ,+

ä ©  妧. æ§ç Y otro punto importante ¦ lo que quiere decir que la solución 軹³ © particular a la ecuación lineal de orden “n” es la primera fila de la matriz lâ . METODO DEL ANULADOR.

Sea la ecuación diferencial de orden “n”

ÎR     R K .RÅP  RÅP K .RÅ$  RÅ$ K [ K .P   K .}   L+

Se define el OPERADOR DIFERENCIAL de la siguiente forma.

é  ê R K .RÅP ê RÅP K .RÅ$ ê RÅ$ K [ K .P ê K .} ë

Por lo tanto puede ocurrir una reescritura de la forma

ÎR    é  L+

Se tiene que si L(+) es de la forma combinación lineal de exponencial, senos o cosenos entonces. IMPORTANTE ê ± .ë ™ + ì ( Âa   0

ê $ ± 2.ê K (. $ K ­ $ )ë )™ (+ ì ( Âa cos(­+))  0

(ê $ ± 2Óê K (Ó $ K É $ )ë )™ (+ ì ( Âa sin(É+))  0

Siempre y cuando 0 í ‡ í / ± 1

Por lo cual se tiene: RECUERDE ESTO.

ê ± .ë ™‘P .*9°. . + ì ( Âa 

ê $ ± 2.ê K (. $ K ­ $ )ë )™‘P .*9°. . (+ ì ( Âa cos(­+))

(ê $ ± 2Óê K (Ó $ K É $ )ë )™‘P .*9°. . (+ ì ( Âa sin(É+))

Una vez que haya determinado el anulador del término que componen a L(+) “multiplique” ambos lados de ÎR (+)  ,(+) de manera que obtiene una ecuación HOMOGENEA. Resuelva por medios antes estudiados. Polinomio característico.

Note que una vez que se multiplica por el anulador. Se crea nueva soluciones a la ecuación diferencial. Una que proviene de la ecuación homogénea y otra que viene del anulador. anulador Por lo tanto debo “suprimir” la que se origina de la ecuación homogénea por lo cual procedemos al siguiente razonamiento. ÎR   †ß™ßîïRïß K ÂRðñÂ:ßò

Se multiplica el operador diferencial T de la ecuación diferencial por ÂRðñÂ:ßò e igualamos a L +. éÂRðñÂ:ßò   L+

Se despeja las constantes presente en la solución del anulador y este vendrá a ser la solución particular que se buscaba de un principio.

ECUACION DE EULER.

Sea ecuación diferencial con coeficientes no constantes

Con + ó 0

Î R     R K

.Ã + 

3++(  ­Ã +Ã

­RÅP RÅP ­RÅ$ RÅ$ ­P   K  K [ K  K ­}   L+ + RÅP + RÅ$ +

Se va a realizar un cambio de variable ô

1) +  0 3./­)0 1(-. +  ( ð º 1) + õ 0 3./­)0 1(-. +  ±( ð

Con este cambio se transforma la ecuación lineal con coeficientes variables a una ecuación diferencial de coeficientes constantes. constantes Aplique cualquier método ante estudiado para su resolución.

Importante: Importante Como y depende de t  +  entonces el cambio de variable viene ( ð 

Y luego se determina las n-esimas derivadas de y con respecto a u. Tenga presente lo siguiente. Derive

cambio   ( ð % 9  ln  #9 1   ( Åð # 

Se puede demostrar de manera general como se determina  R (( ð )  ( ì

Åìð

ì

Oö -Ãì 1 à (9 )S Ã÷P

30* -Ãì (* –

LUEGO RECUERDE REGRESAR EL CAMBIO DE VARIABLES.

1 2 3 4

PUNTOS FINALES.

Note que los anteriores métodos son algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales.

Puede en cierta forma se tedioso debido a la amplia gama de posibilidades que se puede presentar. Sin embargo la práctica permite manejar “al pelo” estos métodos. Los métodos de coeficientes indeterminados, método del anulador y de variación de parámetros queda a juicio del profesor cual enseñar, aquí le presento los tres para que vean sus diferencias. No se equivoque en las raíces de los polinomios, ya que puede ser catastrófico al momento de dar el resultado, como habrá notado a cada raíz se le asocia una rama de soluciones particulares y generales por lo tanto si determino mal la raíz tendrá TODA esta rama errada y implica EJERCICIO MALO.

Para practicar descargue la guía de ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDA PARTE. Para mayor información consulte. 1

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3

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.

Ana M de Viola-Prioli, ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Editorial Equinoccio Universidad Simón Bolívar, Publicación Libros de EL NACIONAL. George F. Simmons, DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATIONS AND HISTORICAL NOTES, Ediciones McGraw-Hill R. Kent Nagle, Edward B. Saff, A. David Snider “FUNDAMENTALS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS” FOURTH EDITION, PEARSON ADDISON WESLEY, 2004.